Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

7Ecuaciones de rectas y sistemas lineales

Una línea recta en el plano de coordenadas se describe mediante ecuación, y dos líneas juntas forman un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son sus intersección puntos. Este capítulo conecta tres lenguajes: geométrico. (líneas), algebraico (ecuaciones) y funcional (funciones afines de Capítulo 4) — y enseña las dos formas estándar de resolver un sistema lineal.

7.1 La ecuación de una recta.

Teorema 7.1 (Ecuación reducida)

En un sistema de coordenadas:

cada línea no vertical tiene un ecuación de la forma

$y = mx + p ,$

con $m$ (el pendiente) y $p$ (el $y$ -intercepción) determinado de forma única — este es el ecuación reducida de la línea;
cada línea vertical tiene un ecuación $x = c$ ;
un punto se encuentra en la recta exactamente cuando su coordenadas satisface la ecuación.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Proposición 7.2 (pendiente por dos puntos)

El pendiente de la línea (no vertical) hasta $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ , con $x_A \neq x_B$ , es

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{(``change in $y$ over change in $x$'').}

Demostración. Ambos puntos satisfacen $y = mx + p$ , por lo que $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; dividir por $x_B - x_A \neq 0$ . ∎

Tres tipos de líneas: inclinadas (m ≠ 0), horizontales (m = 0), y vertical (no ecuación reducida — el ecuación es x = c). — Tres tipos de líneas: inclinadas ( $m \neq 0$ ), horizontales ( $m = 0$ ), y vertical (no ecuación reducida — el ecuación es $x = c$ ).

Método 7.3 (Encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.)

Dado $A$ y $B$ con $x_A \neq x_B$ :

calcula el pendiente $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
escribe $y = mx + p$ y sustituye el coordenadas por $A$ (o $B$ ) para encontrar $p$ ;
comprueba el ecuación final con el punto otro.

Si $x_A = x_B$ , la línea es vertical: su ecuación es $x = x_A$ .

Ejemplo 7.4

Línea por $A(1, 5)$ y $B(3, 1)$ . pendiente: $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$ . Entonces $y = -2x + p$ ; el el punto $A$ da $5 = -2 \times 1 + p$ , por lo que $p = 7$ . Ecuación: $y = -2x + 7$ . Consulte con $B$ : $-2 \times 3 + 7 = 1$ .

Proposición 7.5 (Líneas paralelas)

Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen las mismas pendiente. Dos líneas paralelas distintas no tienen un punto común; dos líneas con diferentes pendientes tienen exactamente uno.

Demostración. Sean $y = mx + p$ y $y = m'x + p'$ las dos líneas. Un punto común resuelve $mx + p = m'x + p'$ , es decir $(m - m')x = p' - p$ . Si $m \neq m'$ , esto tiene exactamente una solución $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ : una intersección punto. Si $m = m'$ , ecuación dice $0 = p' - p$ : no solución cuando $p \neq p'$ (paralelos distintos), cada $x$ cuando $p = p'$ (misma línea). Por lo tanto, el paralelismo (no tener intersección, o ser igual) es equivalente a $m = m'$ . ∎

Observación 7.6 (Vector de dirección)

La línea $y = mx + p$ sube unidades $m$ por cada unidad a la derecha, por lo que vector $\vec u\,(1, m)$ es un dirección vector de la recta: la recta es paralela a $\vec u$ . Dos rectas son paralelas exactamente cuando sus direcciones vectores son colineal (Teorema 6.13).

7.2 Sistemas lineales

Definición 7.7 (sistema lineal)

Un sistema de dos ecuaciones lineales en el desconocidos $x$ y $y$ es un par de ecuaciones

\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}

estar satisfecho simultáneamente. Un solución es un par $(x, y)$ satisfaciendo a ambos. Cada ecuación describe una línea, por lo que resolver la El sistema significa encontrar el intersección de dos líneas.

Método 7.8 (Sustitución)

Resuelva un ecuación para una incógnita — elija la más fácil, por ejemplo expresar $y$ en términos de $x$ ;
sustituye esta expresión en otro ecuación, que ahora contiene sólo $x$ ;
resuelva para $x$ , luego calcule $y$ desde el paso 1;
verifique el par en ambos ecuaciones originales.

Ejemplo 7.9

Resolver $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ por sustitución. El segundo ecuación da $y = 3x - 3$ . Sustituir en el primero:

x + 2(3x - 3) = 8 \ \Longleftrightarrow\ x + 6x - 6 = 8 \ \Longleftrightarrow\ 7x = 14 \ \Longleftrightarrow\ x = 2 ,

luego $y = 3 \times 2 - 3 = 3$ . La solución es el par $(2, 3)$ . Verifique: $2 + 2 \times 3 = 8$ y $3 \times 2 - 3 = 3$ .

Método 7.10 (Eliminación)

Multiplica cada ecuación por un número bien elegido para que uno desconocido obtiene coeficientes opuestos en los dos ecuaciones;
añade el ecuaciones: esa incógnita desaparece;
resuelva la incógnita restante ecuación y luego sustitúyala por encontrar al otro desconocido;
verifique el par en ambos ecuaciones originales.

Ejemplo 7.11

Resolver $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ por eliminación. Para eliminar $y$ , multiplique el primer ecuación por $2$ y el segundo por $3$ :

\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}

Agregándolos: $19x = 38$ , entonces $x = 2$ . Sustituyendo en $2x + 3y = 7$ : $4 + 3y = 7$ , entonces $y = 1$ . Solución: $(2, 1)$ . Consulta en el segundo ecuación: $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$ .

A sistema lineal visto geométricamente: cada ecuación es una línea, y la solución (2,1) de es su intersección punto. — A sistema lineal visto geométricamente: cada ecuación es una línea, y la solución $(2,1)$ de Ejemplo 7.11 es su intersección punto.

Observación 7.12 (¿Cuántas soluciones?)

Como dos líneas, un sistema lineal tiene exactamente una solución en general (líneas no paralelas), y excepcionalmente ninguna (líneas paralelas distintas) o infinitamente muchos (dos veces la misma línea). El criterio de Teorema 6.13 decide: el sistema tiene una solución única exactamente cuando $ab' - a'b \neq 0$ .

Ejemplo 7.13 (Modelado con un sistema)

Tres cuadernos y dos bolígrafos cuestan $8$ ; cuesta un cuaderno y cuatro bolígrafos $6$ . Sea $x$ el precio de una libreta y $y$ el de un bolígrafo:

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + 4y = 6 . \end{cases}

Del segundo ecuación, $x = 6 - 4y$ ; sustituyendo, $3(6 - 4y) + 2y = 8$ , entonces $18 - 10y = 8$ , dando $y = 1$ y luego $x = 2$ . Una libreta cuesta $2$ y un bolígrafo cuesta $1$ .

7.3 Ceremonias

Ejercicio 7.1 ★

Para cada línea, lea el intercepto pendiente y $y$ y dibujelo:

y = 2x - 3, \qquad y = -\tfrac13 x + 1, \qquad y = 4, \qquad x = -2 .

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

$y = 2x - 3$ : pendiente $2$ , ordenada en el origen $-3$ . $y = -\frac13 x + 1$ : pendiente $-\frac13$ , ordenada en el origen $1$ . $y = 4$ : pendiente $0$ , ordenada en el origen $4$ (línea horizontal). $x = -2$ : línea vertical, no pendiente y no ecuación reducida.

Ejercicio 7.2 ★

¿El punto $A(2, 7)$ pertenece a la línea $y = 3x + 1$ ? ¿Y $B(-1, -1)$ ? ¿Y el punto $C(4, 13)$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

$3 \times 2 + 1 = 7$ : sí, $A$ está en línea. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ no lo es. $3 \times 4 + 1 = 13$ : sí, $C$ está en línea.

Ejercicio 7.3 ★

Encuentra el ecuación reducida de la línea a través de:

\text{(a) } A(0, 2) \text{ and } B(3, 8); \qquad \text{(b) } A(-1, 5) \text{ and } B(2, -4); \qquad \text{(c) } A(4, 1) \text{ and } B(4, 6).

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ y $p = y_A = 2$ (el punto $A$ está en el eje $y$ ): $y = 2x + 2$ .

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; entonces $5 = -3 \times (-1) + p$ da $p = 2$ : $y = -3x + 2$ .

Ejercicio 7.4 ★

Entre las líneas $y = 3x - 1$ , $y = -3x + 2$ , $y = 3x + 5$ , $y = \frac{6x + 2}{2}$ , ¿cuáles son paralelos entre sí? cuales son realmente iguales?

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$ . Las líneas con pendiente $3$ son $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 5$ y $y = 3x + 1$ : esos tres son paralelos entre sí; no hay dos de ellos iguales (intersecciones diferentes) y ninguno es paralelo a $y = -3x + 2$ .

Ejercicio 7.5 ★

Resuelva por sustitución:

\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \qquad\text{then}\qquad \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y = 3 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

Primer sistema: sustituir $y = 2x - 1$ en $3x + y = 9$ : $3x + 2x - 1 = 9$ , entonces $5x = 10$ , $x = 2$ , luego $y = 3$ . Solución: $(2, 3)$ .

Segundo sistema: de $x - y = 4$ , $x = y + 4$ . entonces $2(y + 4) + 3y = 3$ , entonces $5y = -5$ , $y = -1$ , luego $x = 3$ . Solución: $(3, -1)$ .

Ejercicio 7.6 ★

Resolver por eliminación:

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad\text{then}\qquad \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

Primer sistema: al agregar ecuaciones se elimina $y$ : $2x = 14$ , $x = 7$ ; entonces $7 + y = 10$ da $y = 3$ . Solución: $(7, 3)$ .

Segundo sistema: multiplica el primer ecuación por $5$ y el segundo por $-2$ :

\begin{cases} 15x + 10y = 60 \\ -4x - 10y = -16 \end{cases}

Añadiendo: $11x = 44$ , entonces $x = 4$ ; entonces $3 \times 4 + 2y = 12$ da $y = 0$ . Solución: $(4, 0)$ .

Ejercicio 7.7 ★★

Determina, sin resolverlas, cuántas soluciones tiene cada sistema:

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 0 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

Calcule $ab' - a'b$ en cada caso.

Primero: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$ , y el segundo. ecuación es $-2$ veces la primera: dos veces la misma línea, infinitas soluciones.

Segundo: $ab' - a'b = 0$ nuevamente, pero los lados derechos no están en el relación $-2$ ( $1 \neq -6$ ): dos líneas paralelas distintas, sin solución.

Tercero: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : exactamente una solución.

Ejercicio 7.8 ★★

Se vendieron doscientas entradas para una obra de teatro escolar, algunas en $5$ (niños) y algunos en $9$ (adultos), para un total de $1352$ . cuantos billetes de cada uno tipo se vendieron?

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

Sea $x$ el número de entradas de niño y $y$ el número de entradas de adulto. entradas:

\begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 9y = 1352 . \end{cases}

Del primer ecuación $x = 200 - y$ ; sustituyendo, $5(200 - y) + 9y = 1352$ , entonces $1000 + 4y = 1352$ , $y = 88$ , entonces $x = 112$ . Entonces $112$ boletos para niños y $88$ boletos para adultos. Comprobar: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$ .

Ejercicio 7.9 ★★

Sea $d$ la línea $y = 2x - 3$ y $A(1, 4)$ .

Da el ecuación de la línea $d'$ paralela a $d$ que pasa hasta $A$ .
Calcule el punto intersección de $d'$ con el eje $x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

1. Paralelo significa igual pendiente $2$ : $y = 2x + p$ con $4 = 2 \times 1 + p$ , entonces $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$ .

2. En el eje $x$ , $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ da $x = -1$ . el El punto intersección es $(-1, 0)$ .

Ejercicio 7.10 ★★★

Sean $A(0, 0)$ , $B(6, 2)$ y $C(2, 4)$ .

Encuentra el ecuaciones de las medianas del triángulo $ABC$ emitido de $A$ y de $B$ (una mediana une un vértice al punto medio de el lado opuesto).
Calcule su punto intersección $G$ y verifique que $G$ también se encuentra en la tercera mediana. (Deberías encontrar que el coordenadas de $G$ son los promedios de los de $A$ , $B$ , $C$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

1. Punto medio de $[BC]$ : $A' = \left(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ . La mediana de $A(0,0)$ tiene pendiente $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ : ecuación $y = \frac34 x$ .

Punto medio de $[AC]$ : $B' = (1, 2)$ . La mediana de $B(6, 2)$ tiene pendiente $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ : es la línea horizontal $y = 2$ .

2. Intersección: $\frac34 x = 2$ da $x = \frac83$ , entonces $G\left(\frac83, 2\right)$ . La tercera mediana une $C(2,4)$ con la punto medio de $[AB]$ , $C' = (3, 1)$ ; su pendiente es $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$ , ecuación $y = -3x + 10$ . En $x = \frac83$ : $y = -8 + 10 = 2$ : $G$ está en él. Y de hecho $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : el el centroide promedia el coordenadas de los vértices.

7.4 Problema: una solución, ninguna o infinitas soluciones

Problema 7.1

Problema de fin de semana — dos líneas tienen tres posibles destinos, un determinante decide entre ellos y el mundo. el libro de texto más antiguo ya lo sabía

Dos lineales ecuaciones, dos incógnitas: el par de rectas que dibujan puede cruzarse una vez, nunca, o ser la misma línea — y cada sistema lineal hereda uno de estos tres destinos. Este problema los clasifica, cumple con el número que decide (un viejo conocido del capítulo vectores), resuelve el faisanes y conejos chinos de dos mil años de antigüedad Nueve capítulos, y termina con esquinas de regiones — el Primer paso de la optimización utilizada por cada aerolínea y fábrica. hoy.

Parte I — The line, fluently.

Encuentre el ecuación reducida de la línea a través $(1, 2)$ y $(3, 8)$ (Método 7.3).
Entre $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ y $y = -x + 7$ : cuál dos rectas son paralelas (Proposición 7.5), y ¿dónde están los ¿Se encuentran pares no paralelos? (Calcule uno intersección.)
La línea que pasa por $(2, 1)$ y $(2, 5)$ : ¿por qué tiene no ecuación reducida $y = mx + p$ , y cuál es su ecuación?
¿Está el punto $(4, 11)$ en la línea $y = 3x - 1$ ? y $(-1, -5)$ ?
La línea que pasa por $(0, 3)$ con pendiente $-2$ : dé su ecuación, sus dos ejes se interceptan y el área del triángulo que corta del primer cuadrante.

Parte II — Three destinies.

Resolver por sustitución (Método 7.8): $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
Resolver por eliminación (Método 7.10): $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
Clasificar — e interpretar con líneas — los dos sistemas

$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \qquad\text{and}\qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$

Indique la tricotomía completa: cruzada, paralela, idéntico — una solución, ninguna, infinitas.
Para el sistema general $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ , el número decisivo es $ad - bc$ — el mismo determinante como prueba de colinealidad de Problema 6.1. Explique la coincidencia (que dos vectores son colineal exactamente cuando las líneas están ¿Paralelo o idéntico?), y evalúe $ad - bc$ para el tres sistemas de preguntas 7 y 8.
¿Para qué valor de $m$ no $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ no tiene solución? Resuelva el sistema para todos los demás valores. de $m$ … o al menos explica cómo lo harías.

Parte III — The Nine Chapters.

Del Nueve capítulos sobre el arte matemático (China, hace unos 2000 años): una jaula contiene faisanes y conejos — $35$ cabezas y $94$ patas en total. como muchos de cada uno?
Un puesto de jugos mezcla un jarabe de frutas $60\,\%$ con una $20\,\%$ -bebida de frutas para obtener $30$ L en $35\,\%$ fruta. ¿Cuántos litros de cada uno?
Un número de dos dígitos tiene una suma de dígitos $12$ ; intercambiando su dígitos lo disminuye en $18$ . Encuéntralo usando el dígito álgebra del problema de fin de semana de álgebra de dígitos del volumen de la escuela secundaria para configurar el sistema.
En la panadería cuestan $3$ cafés y $2$ croissants $9.10$ euros; Costo de cafés $2$ y croissants $3$ $8.90$ euros. Resuelve elegantemente: ¿qué significa añadiendo el dos ecuaciones y restando cada uno te lo dice directamente?
Un puesto en el mercado dice: $2$ manzanas $+ 1$ peras para $5$ euros, y $4$ manzanas $+ 2$ peras por $9$ euros. Resolver — o mejor dicho, explicar cuál es el destino del sistema revela sobre la aritmética del puesto.

Parte IV — Corners rule.

La línea $y = 3x - 1$ divide el avión en dos. cual ¿De qué lado está el origen? describir el conjunto $y > 3x - 1$ y cómo se contrasta un punto.
Dibujar la región definida por las cuatro restricciones.

$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4, \qquad y \leq 2x + 1,$

y calcular sus cuatro puntos vértices.
La ganancia de un taller es $P = 3x + 2y$ en la región de pregunta 17. Evaluar $P$ en las cuatro esquinas. Admitiendo que el máximo de tal cantidad lineal en tal La región siempre se alcanza en una esquina (imagínese las líneas $3x + 2y =$ barrido constante), proporciona el óptimo plano de producción.
Los dos taxis del problema de fin de semana de dos termómetros del volumen de la escuela secundaria como sistema: escribe y resuelve $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ y Interpretar la solución.
Final, el diccionario: uno ecuación $\leftrightarrow$ una línea; un sistema $\leftrightarrow$ dos líneas con tres destinos, decididos por $ad - bc$ ; muchas desigualdades $\leftrightarrow$ una región cuyas esquinas llevan el óptimo. Exprésalo en tres frases: acabas de recorrió el vestíbulo de entrada de álgebra lineal y programación lineal, ambos construidos íntegramente en el volúmenes universitarios.

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. pendiente $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; hasta $(1, 2)$ : $y = 3x - 1$ .

2. $y = 3x - 1$ y $y = 3x + 4$ : mismo pendiente, paralelo (y distinto). Cruzando $y = 3x - 1$ con $y = -x + 7$ : $3x - 1 = -x + 7$ da $x = 2$ , $y = 5$ : punto $(2, 5)$ .

3. Ambos puntos comparten $x = 2$ : la línea es vertical, ecuación $x = 2$ . Un formulario reducido $y = mx + p$ responde “un $y$ por $x$ ”, que una línea vertical rechaza: su pendiente sería infinito.

4. $3 \times 4 - 1 = 11$ : sí, $(4, 11)$ está en el línea. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$ : no.

5. $y = -2x + 3$ ; cruza los ejes en $(0, 3)$ y $\left(\frac32, 0\right)$ . Área del triángulo: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$ .

6. Sustituyendo: $3x + 2x - 3 = 7$ , $x = 2$ , $y = 1$ : solución $(2, 1)$ .

7. Añadiendo: $7x = 7$ , $x = 1$ ; entonces $3y = 6$ , $y = 2$ : solución $(1, 2)$ .

8. Primer sistema: el segundo ecuación es el doble del primero: una línea contada dos veces — infinitas soluciones (todos los puntos de $2x - y = 3$ ). Segundo sistema: mismos lados izquierdos proporcional, lados derechos no ( $2 \times 3 = 6 \neq 1$ ): dos Líneas paralelas — sin solución. Tricotomía: distinta pendientes $\to$ un cruce; igual pendientes, diferentes intersecciones $\to$ paralelo, ninguno; igual a todo $\to$ misma línea, infinitamente muchos.

9. La dirección de las líneas vectores es $(-b, a)$ y $(-d, c)$ (o: pendientes $-\frac ab$ y $-\frac cd$ ), colineal exactamente cuando $ad - bc = 0$ — el determinante de Problema 6.1 en un nuevo trabajo. Valores: pregunta 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$ : solución única. Pregunta 8: $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ para ambos: paralelos o idénticos, y las constantes separan los dos casos.

10. $ad - bc = 6 - 2m$ : cero para $m = 3$ . allí $x + 3y = 3$ contra $2x + 6y = 7$ : duplicar el primero da $2x + 6y = 6 \neq 7$ : paralelo, ninguna solución. Para $m \neq 3$ , la eliminación da la solución única $y = \frac{1}{6 - 2m}$ , luego $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$ .

11. $p + r = 35$ , $2p + 4r = 94$ : reducir a la mitad, $p + 2r = 47$ , entonces $r = 12$ y $p = 23$ : veintitrés faisanes, doce conejos — respuesta del propio Nueve capítulos.

12. $x + y = 30$ y $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$ : restando $0.2 \times$ el primero, $0.4x = 4.5$ : $x = 11.25$ L de almíbar, $y = 18.75$ L de bebida.

13. Dígitos $a$ , $b$ : $a + b = 12$ y $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$ , entonces $a - b = 2$ : $a = 7$ , $b = 5$ : el número es $75$ .

14. Añadiendo: $5c + 5r = 18$ , entonces $c + r = 3.60$ — uno café más un croissant. Restando: $c - r = 0.20$ . Por lo tanto $c = 1.90$ y $r = 1.70$ euros: el atajo simétrico solucionado sin ninguna sustitución.

15. Duplicar la primera reclamación da $4$ manzanas $+ 2$ peras $= 10$ euros, pero el puesto cobra $9$ : el sistema está inconsistente — líneas paralelas, conjunto de soluciones vacío. Veredicto: las dos afirmaciones sobre el precio no pueden ser ambas correctas; ya sea un descuento se esconde, o la aritmética sí.

16. En el origen: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$ : verdadero, entonces $(0,0)$ se encuentra en la región $y > 3x - 1$ (encima de la línea). Pruebe cualquier punto enchufándolo: arriba/abajo según el La verdad de la desigualdad.

17. Esquinas: $(0, 0)$ ; $(4, 0)$ (ejes y $x + y = 4$ ); $(0, 1)$ (eje y $y = 2x + 1$ ); y $x + y = 4$ con $y = 2x + 1$ : $x = 1$ , $y = 3$ : $(1, 3)$ .

18. $P(0,0) = 0$ ; $P(4, 0) = 12$ ; $P(0, 1) = 2$ ; $P(1, 3) = 9$ . Máximo en la esquina $(4, 0)$ : el plano $x = 4$ , $y = 0$ gana $12$ — regla de esquinas, como el barrido Las líneas paralelas $3x + 2y = c$ hacen visible.

19. $1.5x + 3 = 2x$ da $x = 6$ , $y = 12$ : a las seis kilómetros ambos taxis cobran doce euros — el punto de equilibrio cruce del problema de fin de semana de dos termómetros del volumen de la escuela secundaria, ahora un sistema único solución.

20. Las soluciones de un ecuación lineal dibujan una línea; un El sistema superpone dos líneas y $ad - bc$ indica de un vistazo si se cruzan una vez (distinto de cero) o caen en el casos paralelos o idénticos (cero). Acumular desigualdades en cambio y las soluciones forman una región poligonal cuyas esquinas llevar cualquier óptimo lineal. El álgebra lineal generaliza determinante para cualquier número de incógnitas; programación lineal industrializa los rincones.