Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

7Ecuaciones de rectas y sistemas lineales

Una recta del plano de coordenadas se describe mediante una ecuación, y dos rectas juntas forman un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son sus puntos de corte. Este capítulo conecta tres lenguajes (el geométrico de las rectas, el algebraico de las ecuaciones y el funcional de las funciones afines del Capítulo 4) y enseña las dos maneras habituales de resolver un sistema lineal.

7.1 La ecuación de una recta

Teorema 7.1 (Ecuación explícita)

En un sistema de coordenadas:

toda recta no vertical tiene una ecuación de la forma

$y = mx + p ,$

con $m$ (la pendiente) y $p$ (la ordenada en el origen) determinados de manera única; es la ecuación explícita de la recta;
toda recta vertical tiene una ecuación $x = c$ ;
un punto está sobre la recta exactamente cuando sus coordenadas satisfacen la ecuación.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Proposición 7.2 (Pendiente a partir de dos puntos)

La pendiente de la recta (no vertical) que pasa por $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ , con $x_A \neq x_B$ , es

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{(``lo que sube $y$ dividido entre lo que avanza $x$'').}

Demostración. Los dos puntos cumplen $y = mx + p$ , luego $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; dividimos entre $x_B - x_A \neq 0$ . ∎

Tres tipos de rectas: inclinada (m ≠ 0), horizontal (m = 0) y vertical (sin ecuación explícita: su ecuación es x = c). — Tres tipos de rectas: inclinada ( $m \neq 0$ ), horizontal ( $m = 0$ ) y vertical (sin ecuación explícita: su ecuación es $x = c$ ).

Método 7.3 (Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos)

Dados $A$ y $B$ con $x_A \neq x_B$ :

calcula la pendiente $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
escribe $y = mx + p$ y sustituye las coordenadas de $A$ (o de $B$ ) para hallar $p$ ;
comprueba la ecuación final con el otro punto.

Si $x_A = x_B$ , la recta es vertical: su ecuación es $x = x_A$ .

Ejemplo 7.4

Recta que pasa por $A(1, 5)$ y $B(3, 1)$ . Pendiente: $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$ . Entonces $y = -2x + p$ ; el punto $A$ da $5 = -2 \times 1 + p$ , luego $p = 7$ . Ecuación: $y = -2x + 7$ . Comprobación con $B$ : $-2 \times 3 + 7 = 1$ .

Proposición 7.5 (Rectas paralelas)

Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente. Dos rectas paralelas distintas no tienen ningún punto común; dos rectas de pendientes distintas tienen exactamente uno.

Demostración. Sean $y = mx + p$ e $y = m'x + p'$ las dos rectas. Un punto común resuelve $mx + p = m'x + p'$ , es decir, $(m - m')x = p' - p$ . Si $m \neq m'$ , esto tiene exactamente una solución, $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ : un punto de corte. Si $m = m'$ , la ecuación queda $0 = p' - p$ : sin solución cuando $p \neq p'$ (paralelas distintas) y con todo $x$ cuando $p = p'$ (la misma recta). Así pues, el paralelismo (no cortarse, o coincidir) equivale a $m = m'$ . ∎

Observación 7.6 (Vector director)

La recta $y = mx + p$ sube $m$ unidades por cada unidad hacia la derecha, así que el vector $\vec u\,(1, m)$ es un vector director de la recta: la recta es paralela a $\vec u$ . Dos rectas son paralelas exactamente cuando sus vectores directores son colineales (Teorema 6.13).

7.2 Sistemas lineales

Definición 7.7 (Sistema lineal)

Un sistema de dos ecuaciones lineales con las incógnitas $x$ e $y$ es una pareja de ecuaciones

\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}

que deben cumplirse simultáneamente. Una solución es una pareja $(x, y)$ que cumple las dos. Cada ecuación describe una recta, así que resolver el sistema es hallar el corte de dos rectas.

Método 7.8 (Sustitución)

Despeja una incógnita en una de las ecuaciones, la que resulte más cómoda; por ejemplo, expresa $y$ en función de $x$ ;
sustituye esa expresión en la otra ecuación, que pasa a contener solo $x$ ;
resuelve en $x$ y calcula después $y$ con el paso 1;
comprueba la pareja en las dos ecuaciones de partida.

Ejemplo 7.9

Resolvamos $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ por sustitución. La segunda ecuación da $y = 3x - 3$ . Sustituimos en la primera:

x + 2(3x - 3) = 8 \ \Longleftrightarrow\ x + 6x - 6 = 8 \ \Longleftrightarrow\ 7x = 14 \ \Longleftrightarrow\ x = 2 ,

y entonces $y = 3 \times 2 - 3 = 3$ . La solución es la pareja $(2, 3)$ . Comprobación: $2 + 2 \times 3 = 8$ y $3 \times 2 - 3 = 3$ .

Método 7.10 (Reducción)

Multiplica cada ecuación por un número bien elegido para que una incógnita quede con coeficientes opuestos en las dos ecuaciones;
suma las ecuaciones: esa incógnita desaparece;
resuelve la ecuación con una sola incógnita que queda y sustituye hacia atrás para hallar la otra;
comprueba la pareja en las dos ecuaciones de partida.

Ejemplo 7.11

Resolvamos $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ por reducción. Para eliminar $y$ , multiplicamos la primera ecuación por $2$ y la segunda por $3$ :

\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}

Sumándolas: $19x = 38$ , luego $x = 2$ . Sustituyendo en $2x + 3y = 7$ : $4 + 3y = 7$ , luego $y = 1$ . Solución: $(2, 1)$ . Comprobación en la segunda ecuación: $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$ .

Un sistema lineal visto geométricamente: cada ecuación es una recta, y la solución (2,1) del es su punto de corte. — Un sistema lineal visto geométricamente: cada ecuación es una recta, y la solución $(2,1)$ del Ejemplo 7.11 es su punto de corte.

Observación 7.12 (¿Cuántas soluciones?)

Igual que dos rectas, un sistema lineal tiene en general exactamente una solución (rectas no paralelas) y, excepcionalmente, ninguna (rectas paralelas distintas) o infinitas (dos veces la misma recta). El criterio del Teorema 6.13 decide: el sistema tiene solución única exactamente cuando $ab' - a'b \neq 0$ .

Ejemplo 7.13 (Modelizar con un sistema)

Tres cuadernos y dos bolígrafos cuestan $8$ ; un cuaderno y cuatro bolígrafos cuestan $6$ . Sea $x$ el precio de un cuaderno e $y$ el de un bolígrafo:

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + 4y = 6 . \end{cases}

De la segunda ecuación, $x = 6 - 4y$ ; sustituyendo, $3(6 - 4y) + 2y = 8$ , luego $18 - 10y = 8$ , de donde $y = 1$ y después $x = 2$ . Un cuaderno cuesta $2$ y un bolígrafo, $1$ .

7.3 Ejercicios

Ejercicio 7.1 ★

Para cada recta, indica la pendiente y la ordenada en el origen, y represéntala:

y = 2x - 3, \qquad y = -\tfrac13 x + 1, \qquad y = 4, \qquad x = -2 .

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

$y = 2x - 3$ : pendiente $2$ , ordenada en el origen $-3$ . $y = -\frac13 x + 1$ : pendiente $-\frac13$ , ordenada en el origen $1$ . $y = 4$ : pendiente $0$ , ordenada en el origen $4$ (recta horizontal). $x = -2$ : recta vertical, sin pendiente y sin ecuación explícita.

Ejercicio 7.2 ★

¿Pertenece el punto $A(2, 7)$ a la recta $y = 3x + 1$ ? ¿Y $B(-1, -1)$ ? ¿Y el punto $C(4, 13)$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

$3 \times 2 + 1 = 7$ : sí, $A$ está sobre la recta. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ no lo está. $3 \times 4 + 1 = 13$ : sí, $C$ está sobre la recta.

Ejercicio 7.3 ★

Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por:

\text{(a) } A(0, 2) \text{ y } B(3, 8); \qquad \text{(b) } A(-1, 5) \text{ y } B(2, -4); \qquad \text{(c) } A(4, 1) \text{ y } B(4, 6).

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ y $p = y_A = 2$ (el punto $A$ está sobre el eje $y$ ): $y = 2x + 2$ .

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; después $5 = -3 \times (-1) + p$ da $p = 2$ : $y = -3x + 2$ .

Ejercicio 7.4 ★

De entre las rectas $y = 3x - 1$ , $y = -3x + 2$ , $y = 3x + 5$ , $y = \frac{6x + 2}{2}$ , ¿cuáles son paralelas entre sí? ¿Cuáles son en realidad iguales?

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$ . Las rectas de pendiente $3$ son $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 5$ e $y = 3x + 1$ : esas tres son paralelas entre sí; ninguna pareja de ellas coincide (las ordenadas en el origen son distintas) y ninguna es paralela a $y = -3x + 2$ .

Ejercicio 7.5 ★

Resuelve por sustitución:

\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \qquad\text{y después}\qquad \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y = 3 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

Primer sistema: sustituimos $y = 2x - 1$ en $3x + y = 9$ : $3x + 2x - 1 = 9$ , luego $5x = 10$ , $x = 2$ y después $y = 3$ . Solución: $(2, 3)$ .

Segundo sistema: de $x - y = 4$ , $x = y + 4$ . Entonces $2(y + 4) + 3y = 3$ , luego $5y = -5$ , $y = -1$ y después $x = 3$ . Solución: $(3, -1)$ .

Ejercicio 7.6 ★

Resuelve por reducción:

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad\text{y después}\qquad \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

Primer sistema: sumando las ecuaciones se elimina $y$ : $2x = 14$ , $x = 7$ ; después $7 + y = 10$ da $y = 3$ . Solución: $(7, 3)$ .

Segundo sistema: multiplicamos la primera ecuación por $5$ y la segunda por $-2$ :

\begin{cases} 15x + 10y = 60 \\ -4x - 10y = -16 \end{cases}

Sumando: $11x = 44$ , luego $x = 4$ ; después $3 \times 4 + 2y = 12$ da $y = 0$ . Solución: $(4, 0)$ .

Ejercicio 7.7 ★★

Determina, sin resolverlos, cuántas soluciones tiene cada sistema:

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 0 . \end{cases}

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

Calculamos $ab' - a'b$ en cada caso.

Primero: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$ , y la segunda ecuación es $-2$ veces la primera: dos veces la misma recta, infinitas soluciones.

Segundo: de nuevo $ab' - a'b = 0$ , pero los segundos miembros no están en la razón $-2$ ( $1 \neq -6$ ): dos rectas paralelas distintas, sin solución.

Tercero: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : exactamente una solución.

Ejercicio 7.8 ★★

Se vendieron doscientas entradas para una obra de teatro del instituto, unas a $5$ (infantiles) y otras a $9$ (de adulto), con una recaudación total de $1352$ . ¿Cuántas entradas de cada clase se vendieron?

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

Sea $x$ el número de entradas infantiles e $y$ el de entradas de adulto:

\begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 9y = 1352 . \end{cases}

De la primera ecuación, $x = 200 - y$ ; sustituyendo, $5(200 - y) + 9y = 1352$ , luego $1000 + 4y = 1352$ , $y = 88$ y después $x = 112$ . Así pues, $112$ entradas infantiles y $88$ de adulto. Comprobación: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$ .

Ejercicio 7.9 ★★

Sea $d$ la recta $y = 2x - 3$ y sea $A(1, 4)$ .

Da la ecuación de la recta $d'$ paralela a $d$ que pasa por $A$ .
Calcula el punto de corte de $d'$ con el eje $x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

1. Paralela significa misma pendiente $2$ : $y = 2x + p$ con $4 = 2 \times 1 + p$ , luego $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$ .

2. Sobre el eje $x$ , $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ da $x = -1$ . El punto de corte es $(-1, 0)$ .

Ejercicio 7.10 ★★★

Sean $A(0, 0)$ , $B(6, 2)$ y $C(2, 4)$ .

Halla las ecuaciones de las medianas del triángulo $ABC$ que parten de $A$ y de $B$ (una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto).
Calcula su punto de corte $G$ y comprueba que $G$ está también sobre la tercera mediana. (Deberías encontrar que las coordenadas de $G$ son las medias de las de $A$ , $B$ y $C$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

1. Punto medio de $[BC]$ : $A' = \left(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ . La mediana desde $A(0,0)$ tiene pendiente $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ : ecuación $y = \frac34 x$ .

Punto medio de $[AC]$ : $B' = (1, 2)$ . La mediana desde $B(6, 2)$ tiene pendiente $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ : es la recta horizontal $y = 2$ .

2. Corte: $\frac34 x = 2$ da $x = \frac83$ , luego $G\left(\frac83, 2\right)$ . La tercera mediana une $C(2,4)$ con el punto medio de $[AB]$ , $C' = (3, 1)$ ; su pendiente es $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$ , ecuación $y = -3x + 10$ . En $x = \frac83$ : $y = -8 + 10 = 2$ : $G$ está sobre ella. Y, en efecto, $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : el baricentro promedia las coordenadas de los vértices.

7.4 Problema: Una solución, ninguna o infinitas

Problema 7.1

Problema de fin de semana — dos rectas tienen tres destinos posibles, un determinante decide entre ellos y el libro de texto más antiguo del mundo ya lo sabía

Dos ecuaciones lineales, dos incógnitas: la pareja de rectas que dibujan puede cortarse una vez, no cortarse nunca o ser una sola y misma recta, y todo sistema lineal hereda uno de esos tres destinos. Este problema los clasifica, presenta al número que decide (un viejo conocido del capítulo de vectores), resuelve los faisanes y conejos de hace dos mil años de los Nueve capítulos chinos y termina con los vértices de una región: el primer paso de la optimización que hoy usan todas las compañías aéreas y todas las fábricas.

Parte I — La recta, con soltura.

Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por $(1, 2)$ y $(3, 8)$ (Método 7.3).
De entre $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ e $y = -x + 7$ : ¿qué dos rectas son paralelas (Proposición 7.5) y dónde se cortan las parejas no paralelas? (Calcula uno de los cortes.)
La recta que pasa por $(2, 1)$ y $(2, 5)$ : ¿por qué no tiene ecuación explícita $y = mx + p$ y cuál es su ecuación?
¿Está el punto $(4, 11)$ sobre la recta $y = 3x - 1$ ? ¿Y $(-1, -5)$ ?
La recta que pasa por $(0, 3)$ con pendiente $-2$ : da su ecuación, sus dos cortes con los ejes y el área del triángulo que recorta en el primer cuadrante.

Parte II — Tres destinos.

Resuelve por sustitución (Método 7.8): $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
Resuelve por reducción (Método 7.10): $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
Clasifica, e interpreta con rectas, los dos sistemas

$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \qquad\text{y}\qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$

Enuncia la tricotomía completa: rectas que se cortan, paralelas o idénticas; una solución, ninguna o infinitas.
Para el sistema general $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ , el número que decide es $ad - bc$ : el mismo determinante que la prueba de colinealidad del Problema 6.1. Explica la coincidencia (¿qué dos vectores son colineales exactamente cuando las rectas son paralelas o idénticas?) y evalúa $ad - bc$ en los tres sistemas de las preguntas 7 y 8.
¿Para qué valor de $m$ no tiene solución $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ ? Resuelve el sistema para todos los demás valores de $m$ … o, al menos, explica cómo lo harías.

Parte III — Los Nueve capítulos.

De los Nueve capítulos sobre el arte matemático (China, hace unos 2000 años): en una jaula hay faisanes y conejos, con $35$ cabezas y $94$ patas en total. ¿Cuántos hay de cada?
Un puesto de zumos mezcla un jarabe con un $60\,\%$ de fruta y una bebida con un $20\,\%$ para obtener $30$ L al $35\,\%$ de fruta. ¿Cuántos litros de cada uno?
Un número de dos cifras tiene suma de cifras $12$ ; al intercambiarlas, disminuye en $18$ . Halla el número, usando para plantear el sistema el álgebra de las cifras del problema de fin de semana del volumen anterior sobre las cifras.
En la panadería, $3$ cafés y $2$ cruasanes cuestan $9.10$ euros; $2$ cafés y $3$ cruasanes cuestan $8.90$ euros. Resuelve con elegancia: ¿qué te dicen directamente sumar las dos ecuaciones y restarlas?
Un puesto del mercado anuncia: $2$ manzanas $+ 1$ pera por $5$ euros, y $4$ manzanas $+ 2$ peras por $9$ euros. Resuelve o, mejor dicho, explica qué revela el destino del sistema sobre la aritmética del puesto.

Parte IV — Mandan los vértices.

La recta $y = 3x - 1$ parte el plano en dos. ¿De qué lado está el origen? Describe el conjunto $y > 3x - 1$ y cómo se comprueba si un punto pertenece a él.
Dibuja la región definida por las cuatro restricciones

$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4, \qquad y \leq 2x + 1,$

y calcula sus cuatro vértices.
El beneficio de un taller es $P = 3x + 2y$ sobre la región de la pregunta 17. Evalúa $P$ en los cuatro vértices. Admitiendo que el máximo de una cantidad lineal así sobre una región de este tipo se alcanza siempre en un vértice (imagina las rectas $3x + 2y =$ constante barriendo el plano), da el plan de producción óptimo.
Los dos taxis del problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos termómetros, como sistema: escribe y resuelve $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ e interpreta la solución.
Final, el diccionario: una ecuación $\leftrightarrow$ una recta; un sistema $\leftrightarrow$ dos rectas con tres destinos, decididos por $ad - bc$ ; muchas inecuaciones $\leftrightarrow$ una región cuyos vértices llevan el óptimo. Enúncialo en tres frases: acabas de recorrer el vestíbulo del álgebra lineal y de la programación lineal, que se construyen enteras en los volúmenes universitarios.

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. Pendiente $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; pasando por $(1, 2)$ : $y = 3x - 1$ .

2. $y = 3x - 1$ e $y = 3x + 4$ : misma pendiente, paralelas (y distintas). Cortando $y = 3x - 1$ con $y = -x + 7$ : $3x - 1 = -x + 7$ da $x = 2$ , $y = 5$ : el punto $(2, 5)$ .

3. Los dos puntos comparten $x = 2$ : la recta es vertical, de ecuación $x = 2$ . Una forma explícita $y = mx + p$ responde a “un $y$ por cada $x$ ”, cosa que una recta vertical se niega a hacer: su pendiente sería infinita.

4. $3 \times 4 - 1 = 11$ : sí, $(4, 11)$ está sobre la recta. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$ : no.

5. $y = -2x + 3$ ; corta a los ejes en $(0, 3)$ y $\left(\frac32, 0\right)$ . Área del triángulo: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$ .

6. Sustituyendo: $3x + 2x - 3 = 7$ , $x = 2$ , $y = 1$ : solución $(2, 1)$ .

7. Sumando: $7x = 7$ , $x = 1$ ; después $3y = 6$ , $y = 2$ : solución $(1, 2)$ .

8. Primer sistema: la segunda ecuación es el doble de la primera: una recta contada dos veces, con infinitas soluciones (todos los puntos de $2x - y = 3$ ). Segundo sistema: los primeros miembros son proporcionales, pero los segundos no ( $2 \times 3 = 6 \neq 1$ ): dos rectas paralelas, sin solución. Tricotomía: pendientes distintas $\to$ un corte; pendientes iguales y ordenadas en el origen distintas $\to$ paralelas, ninguna solución; todo igual $\to$ la misma recta, infinitas soluciones.

9. Los vectores directores de las rectas son $(-b, a)$ y $(-d, c)$ (o bien las pendientes $-\frac ab$ y $-\frac cd$ ), colineales exactamente cuando $ad - bc = 0$ : el determinante del Problema 6.1 en un nuevo oficio. Valores: pregunta 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$ : solución única. Pregunta 8: $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ en los dos casos: paralelas-o-idénticas, y son los términos independientes los que separan los dos casos.

10. $ad - bc = 6 - 2m$ : se anula para $m = 3$ . Ahí, $x + 3y = 3$ frente a $2x + 6y = 7$ : doblando la primera queda $2x + 6y = 6 \neq 7$ , luego son paralelas y no hay solución. Para $m \neq 3$ , la reducción da la solución única $y = \frac{1}{6 - 2m}$ y después $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$ .

11. $f + c = 35$ , $2f + 4c = 94$ ; dividiendo entre dos, $f + 2c = 47$ , luego $c = 12$ y $f = 23$ : veintitrés faisanes y doce conejos, la misma respuesta que dan los Nueve capítulos.

12. $x + y = 30$ y $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$ ; restando $0.2 \times$ la primera, $0.4x = 4.5$ : $x = 11.25$ L de jarabe e $y = 18.75$ L de bebida.

13. Cifras $a$ y $b$ : $a + b = 12$ y $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$ , luego $a - b = 2$ : $a = 7$ , $b = 5$ ; el número es $75$ .

14. Sumando: $5c + 5r = 18$ , luego $c + r = 3.60$ : un café más un cruasán. Restando: $c - r = 0.20$ . De ahí, $c = 1.90$ y $r = 1.70$ euros: el atajo simétrico lo ha resuelto sin ninguna sustitución.

15. Doblando el primer anuncio se obtienen $4$ manzanas $+ 2$ peras $= 10$ euros, pero el puesto cobra $9$ : el sistema es incompatible, rectas paralelas y conjunto de soluciones vacío. Veredicto: las dos afirmaciones de precio no pueden ser ciertas a la vez; o se esconde un descuento, o se esconde un error de cuentas.

16. En el origen: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$ : cierto, así que $(0,0)$ está en la región $y > 3x - 1$ (por encima de la recta). Cualquier punto se comprueba sustituyéndolo: quedará por encima o por debajo según la desigualdad sea cierta o falsa.

17. Vértices: $(0, 0)$ ; $(4, 0)$ (los ejes y $x + y = 4$ ); $(0, 1)$ (el eje y $y = 2x + 1$ ); y el corte de $x + y = 4$ con $y = 2x + 1$ : $x = 1$ , $y = 3$ : $(1, 3)$ .

18. $P(0,0) = 0$ ; $P(4, 0) = 12$ ; $P(0, 1) = 2$ ; $P(1, 3) = 9$ . Máximo en el vértice $(4, 0)$ : el plan $x = 4$ , $y = 0$ rinde $12$ ; mandan los vértices, como dejan ver las rectas paralelas $3x + 2y = c$ al barrer la región.

19. $1.5x + 3 = 2x$ da $x = 6$ , $y = 12$ : a los seis kilómetros los dos taxis cobran doce euros; el punto de equilibrio del problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos termómetros, ahora convertido en la solución única de un sistema.

20. Las soluciones de una ecuación lineal dibujan una recta; un sistema superpone dos rectas, y $ad - bc$ dice de un vistazo si se cortan una vez (si es no nulo) o si caen en los casos paralelas-o-idénticas (si es nulo). Si en lugar de eso apilamos inecuaciones, las soluciones forman una región poligonal cuyos vértices llevan cualquier óptimo lineal. El álgebra lineal generaliza el determinante a cualquier número de incógnitas; la programación lineal industrializa los vértices.

Términos definidos en este capítulo

Sistema lineal

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