Matemática do ensino médio · Grades 10–12

25Integração

A integração responde a duas perguntas ao mesmo tempo: qual é a área sob uma curva e como se recupera uma função a partir da sua taxa de variação? O teorema fundamental do cálculo afirma que essas são a mesma pergunta — a descoberta mais profunda e mais útil da matemática do século XVII.

25.1 A integral de uma função contínua

Definição 25.1 (Integral de uma função positiva)

Seja $f$ contínua e positiva em $\intcc{a}{b}$ . A integral

\int_a^b f(x)\,\dd x

é a área, em unidades de área, da região delimitada pela curva de $f$ , pelo eixo $x$ e pelas retas verticais $x = a$ e $x = b$ .

Para uma função de sinal qualquer, as áreas abaixo do eixo $x$ são contadas negativamente; e define-se $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$ .

Áreas com sinal: ∈t_02π x\, x = 0, com a região abaixo do eixo (vermelha) cancelando a região acima (azul). — Áreas com sinal: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$ , com a região abaixo do eixo (vermelha) cancelando a região acima (azul).

Proposição 25.2 (Propriedades da integral)

Sejam $f, g$ contínuas em um intervalo que contém $a, b, c$ , e seja $\lambda \in \R$ .

Linearidade: $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ .
Relação de Chasles: $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ .
Positividade: se $a \leq b$ e $f \geq 0$ em $\intcc{a}{b}$ , então $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; se $f \leq g$ , então $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

Demonstração. Chasles e a positividade são imediatas pela interpretação como área (as áreas se somam quando as regiões são justapostas; uma região de altura positiva tem área positiva). A comparação segue aplicando a positividade a $g - f$ . A linearidade é intuitivamente clara para a soma de funções positivas (empilhe as áreas) e é demonstrada com rigor na graduação; ela é admitida aqui. ∎

25.2 O teorema fundamental do cálculo

Definição 25.3 (Primitiva)

Uma primitiva (ou antiderivada) de $f$ em um intervalo $I$ é uma função derivável $F$ em $I$ tal que $F' = f$ .

Proposição 25.4

Se $F$ é uma primitiva de $f$ em um intervalo $I$ , as primitivas de $f$ em $I$ são exatamente as funções $F + c$ , $c \in \R$ . Dados $x_0 \in I$ e $y_0 \in \R$ , existe uma única primitiva com $F(x_0) = y_0$ .

Demonstração. Se $G' = F' = f$ , então $(G - F)' = 0$ no intervalo $I$ , de modo que $G - F$ é constante.¹ Reciprocamente, toda $F + c$ é primitiva. A condição $F(x_0) = y_0$ fixa a constante. ∎

Teorema 25.5 (Teorema fundamental do cálculo)

Seja $f$ contínua em um intervalo $I$ e seja $a \in I$ . A função

F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t

é a primitiva de $f$ em $I$ que se anula em $a$ . Por consequência, para qualquer primitiva $G$ de $f$ e $a, b \in I$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a).

A ideia da demonstração: o acréscimo F(x+h) - F(x) é a área da faixa estreita (laranja), espremida entre os retângulos de alturas f(x) e f(x+h) sobre uma base de comprimento h. — A ideia da demonstração: o acréscimo $F(x+h) - F(x)$ é a área da faixa estreita (laranja), espremida entre os retângulos de alturas $f(x)$ e $f(x+h)$ sobre uma base de comprimento $h$ .

Demonstração no caso em que $f$ é crescente. Fixe $x \in I$ e $h > 0$ com $x + h \in I$ . Por Chasles,

F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t .

Como $f$ é crescente, $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ para $t \in \intcc{x}{x+h}$ e, por comparação de integrais (a integral de uma constante $c$ em um intervalo de comprimento $h$ vale $ch$ ):

h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h),

de modo que

f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h).

Quando $h \to 0^+$ , $f(x+h) \to f(x)$ por continuidade, e o teorema do confronto dá que o quociente de diferenças tende a $f(x)$ ; o caso $h < 0$ é simétrico. Logo $F' = f$ , e $F(a) = 0$ . O caso contínuo geral (não monótono) é demonstrado na graduação.

Por fim, se $G$ é uma primitiva qualquer, $G = F + c$ (Proposição 25.4), de modo que $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

Exemplo 25.6

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : a área sob a parábola é um terço do quadrado unitário, como Arquimedes sabia.

A tabela de primitivas se lê na tabela de derivadas ( $u$ denota uma função derivável e $c$ uma constante arbitrária):

$f(x)$	primitiva	$f$	primitiva
$x^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$u'u^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$
$\dfrac1x \ (x > 0)$	$\ln x + c$	$\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$	$\ln u + c$
$\eu^x$	$\eu^x + c$	$u'\eu^u$	$\eu^u + c$
$\cos x$	$\sin x + c$	$\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$	$2\sqrt u + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$

Método 25.7 (Reconhecer a forma $u' \times (\text{algo em } u)$ )

Para integrar um produto, procure um fator que seja a derivada de uma função interna $u$ , a menos de uma constante multiplicativa. Por exemplo, em $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ , o fator $x$ é $\frac12 (x^2)'$ :

\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}.

Teorema 25.8 (Integração por partes)

Sejam $u, v$ deriváveis em $\intcc{a}{b}$ com derivadas contínuas. Então

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t .

Demonstração. A regra do produto dá $(uv)' = u'v + uv'$ ; integrar os dois lados em $\intcc{a}{b}$ e usar o teorema fundamental no lado esquerdo dá $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ . ∎

Exemplo 25.9

$\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$ : tome $u' = \eu^t$ , $v = t$ , logo $u = \eu^t$ , $v' = 1$ :

\int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

25.3 Aplicações

Definição 25.10 (Valor médio)

O valor médio de uma função contínua $f$ em $\intcc{a}{b}$ ( $a<b$ ) é

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t .

Proposição 25.11

Se $m \leq f \leq M$ em $\intcc{a}{b}$ , então $m \leq \mu \leq M$ .

Demonstração. Integre as desigualdades $m \leq f(t) \leq M$ em $\intcc{a}{b}$ e divida por $b - a > 0$ . ∎

Método 25.12 (Área entre duas curvas)

Se $f \geq g$ em $\intcc{a}{b}$ , a área entre as duas curvas é $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$ . Se as curvas se cruzam, divida o intervalo nos pontos de cruzamento e integre $\abs{f - g}$ pedaço a pedaço.

A área entre a reta y = x + 1 (vermelha) e a parábola y = x2 - 1 (azul) é ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2. — A área entre a reta $y = x + 1$ (vermelha) e a parábola $y = x^2 - 1$ (azul) é $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$ .

25.4 Exercícios

Exercício 25.1 ★

Calcule

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} .

Solução

Solução de Exercício 25.1.

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}.

\int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 .

Com $u = 2t+1$ , $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ :

\int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}.

Exercício 25.2 ★

Encontre a primitiva $F$ de $f(x) = x\eu^{x^2}$ em $\R$ tal que $F(0) = 1$ .

Solução

Solução de Exercício 25.2.

$x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ tem primitivas $\frac12\eu^{x^2} + c$ . A condição $F(0) = 1$ dá $\frac12 + c = 1$ , logo

F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}.

Exercício 25.3 ★

Calcule o valor médio de $f(t) = \sin t$ em $\intcc{0}{\pi}$ e interprete o resultado em um gráfico.

Solução

Solução de Exercício 25.3.

\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 .

Graficamente, o retângulo de base $\intcc{0}{\pi}$ e altura $\frac{2}{\pi}$ tem a mesma área que o arco da curva do seno.

Exercício 25.4 ★★

Usando integração por partes, calcule

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{e}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t .

Solução

Solução de Exercício 25.4.

Tome $u' = 1$ , $v = \ln t$ , logo $u = t$ , $v' = \frac1t$ :

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

Tome $u' = \sin t$ , $v = t$ , logo $u = -\cos t$ , $v' = 1$ :

\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi .

Exercício 25.5 ★★

Calcule a área da região entre a parábola $y = x^2$ e a reta $y = x + 2$ .

Solução

Solução de Exercício 25.5.

As curvas se cruzam onde $x^2 = x + 2$ , isto é, $x \in \{-1, 2\}$ , e em $\intcc{-1}{2}$ a reta está acima da parábola. A área é

\int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}.

Exercício 25.6 ★★

Seja $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$ .

Calcule $I$ .
Para $n \in \N$ , seja $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Mostre que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ e que $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ .
Deduza que $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ .

Solução

Solução de Exercício 25.6.

1. $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$ .

I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}.

Em $\intcc{0}{1}$ , $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$ , de modo que, por comparação, $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$ .

3. Da recorrência, por uma indução telescópica,

I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right),

isto é, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (lembre que $I_0 = \ln 2$ ). Como $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ , a soma harmônica alternada tende a $\ln 2$ .

Exercício 25.7 ★★

A velocidade de um trem (em m/s) durante os primeiros $100$ segundos após a partida é modelada por $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$ . Calcule a distância percorrida nesses $100$ segundos e a velocidade média do trem no intervalo.

Solução

Solução de Exercício 25.7.

Distância:

d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}.

Numericamente, $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Velocidade média: $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s.

Exercício 25.8 ★★★

Para $n \geq 1$ , seja $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$ .

Interprete $S_n$ como uma área de retângulos que aproxima uma região sob a curva de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ em $\intcc{0}{1}$ .
Usando a monotonicidade de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ , mostre que

$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$

e deduza $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ .

Solução

Solução de Exercício 25.8.

1. $S_n$ é a área total de $n$ retângulos de largura $\frac1n$ e alturas $f\left(\frac kn\right)$ , $k = 1, \dots, n$ , com $f(t) = \frac{1}{1+t}$ : é a aproximação por retângulos “pela extremidade direita” da área sob $f$ em $\intcc{0}{1}$ .

2. $f$ é decrescente, de modo que, em cada intervalo $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ , $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ; integrando e somando em $k$ :

S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}.

(O termo do meio do enunciado, com $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$ , é exatamente essa cota.) Logo $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$ e $S_n \to \ln 2$ .

Exercício 25.9 ★★★

(Integrais de Wallis.) Para $n \in \N$ , seja $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

Calcule $W_0$ e $W_1$ .
Escrevendo $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ e integrando por partes, mostre que $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ .
Deduza $W_2$ , $W_3$ , $W_4$ e mostre que $(W_n)$ é decrescente e positiva.

Solução

Solução de Exercício 25.9.

1. $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ e $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. Integre por partes com $u' = \sin t$ , $v = \sin^{n+1} t$ , logo $u = -\cos t$ , $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$ :

W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t,

pois o colchete se anula nas duas extremidades. Logo $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$ , isto é, $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$ .

3. $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$ , $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$ , $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$ . Em $\intoo{0}{\frac\pi2}$ , $0 < \sin t < 1$ , de modo que $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ , com desigualdade estrita no interior; integrando, $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (de fato, $<$ ): $(W_n)$ é decrescente e positiva.

25.5 Problema: Arquimedes contra a máquina

Problema 25.1

Problema de fim de semana — a área sob a parábola, calculada de três maneiras ao longo de vinte e dois séculos, e a identidade secreta do logaritmo como área

Por volta de 240 a.C., Arquimedes calculou a área exata de um segmento parabólico — sem coordenadas, sem limites, sem álgebra. Dezenove séculos depois, os retângulos de Riemann refizeram a conta por puro cerco; e o teorema fundamental do cálculo (Teorema 25.5) hoje a faz em uma linha. Este problema disputa as três partidas e depois usa a mesma máquina para revelar o que o logaritmo realmente é: uma área com uma simetria de escala.

Parte I — Fluência.

Calcule $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ e $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ .
Identifique as formas $u'u$ (Método 25.7): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ e $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ .
Por partes (Teorema 25.8): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ e $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ .
Calcule o valor médio (Definição 25.10) de $\sin$ em $\intcc{0}{\pi}$ — e note que ele não é $\frac12$ .
Calcule a área entre a reta $y = x$ e a parábola $y = x^2$ em $\intcc{0}{1}$ (Método 25.12).

Parte II — A parábola, de três maneiras.

A montagem de Riemann para a área sob $y = x^2$ em $\intcc{0}{1}$ : escreva a soma inferior $L_n$ e a soma superior $U_n$ sobre $n$ retângulos iguais (como no Exercício 25.8).
Demonstre por indução (a máquina do Problema 20.1) a fórmula da soma dos quadrados

$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$
Deduza formas fechadas para $U_n$ e $L_n$ , calcule seu limite comum e conclua: a área é $\frac13$ .
Agora a máquina: calcule $\int_0^1 x^2\,\dd x$ pelo teorema fundamental, em uma linha. Compare os esforços.
Arquimedes enunciou de outro modo: um segmento parabólico vale $\frac43$ do triângulo nele inscrito. Para o segmento recortado de $y = x^2$ pela corda que liga $(-1, 1)$ a $(1, 1)$ : calcule a área do segmento por uma integral, a área do triângulo inscrito (com vértice no ponto $(0, 0)$ ) e verifique a razão do mestre.
O método do próprio Arquimedes: preencha o segmento com o triângulo grande $T$ , depois com dois triângulos que somam $\frac T4$ , depois com quatro que somam $\frac{T}{16}$ , e assim por diante. Some a série geométrica e recupere $\frac43 T$ — a barra de chocolate mordida sem fim, do volume do ensino fundamental, comida por um geômetra grego.
Uma frase para cada: exaustão (Arquimedes), cerco (Riemann), antiderivação (Newton e Leibniz) — do que cada uma precisa e o que cada uma dá?

Parte III — O logaritmo é uma área. Para $x > 0$ , ponha $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$ .

Dê $A(1)$ e $A'(x)$ (Teorema 25.5) e conclua que $A$ é exatamente o logaritmo natural da Definição 23.5.
O milagre da escala: fixe $a > 0$ e estude $g(x) = A(ax) - A(x)$ . Calcule $g'$ (regra da cadeia), deduza que $g$ é constante, avalie a constante — e conclua a equação funcional

$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$

demonstrada por puro cálculo: a área de $1$ até $ab$ divide-se em cópias reescaladas.
Deduza da questão 14: $\ln(a^n) = n\ln a$ e $\ln\frac1a = -\ln a$ .
O Exercício 25.8 lê $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ como retângulos sob $\frac{1}{1 + t}$ : calcule essa soma para $n = 10$ (três casas decimais) e compare com $\ln 2$ . Que somas de sabor harmônico, divergentes termo a termo, convergem aqui para uma área?

Parte IV — Acumulação.

Um carro acelera com velocidade $v(t) = 3t^2$ m/s para $t \in \intcc{0}{10}$ . Calcule a distância percorrida, a velocidade média e o instante em que a velocidade instantânea iguala a média.
Uma barra de $4$ metros tem densidade linear $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. Calcule sua massa total e seu centro de massa $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ — o ponto de equilíbrio do triângulo de papelão do volume do ensino fundamental, finalmente calculado com pesos que variam.
As integrais de Wallis (Exercício 25.9): calcule $W_0$ , $W_1$ e $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ usando a linearização do Problema 24.1. (Sua escada infinita sobe, nos volumes de graduação, até uma fórmula de produto para $\pi$ e até a normalização da curva em sino.)
Final — as três faces da integração: uma área por definição, uma acumulação no mundo (distância, massa), uma antiderivada pelo teorema fundamental; e sua história em três nomes. Encerre com a pérola do capítulo: que botão corriqueiro da calculadora é, em segredo, a área sob $\frac1t$ — e que identidade essa área demonstrou?

Solução

Solução de Problema 25.1.

1. $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$ ; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$ ; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$ ; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$ .

3. $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$ . E $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$ .

4. $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$ : a altura média do arco do seno é $\frac2\pi$ , sensivelmente mais que a metade — o arco é gordo perto do topo.

5. $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$ .

6. $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ e $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$ : retângulos de largura $\frac1n$ com alturas lidas na extremidade esquerda (abaixo da curva) ou direita (acima).

7. Verdadeiro para $n = 1$ ( $1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$ ). Se vale para $n$ , então, somando $(n+1)^2$ :

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},

a fórmula em $n + 1$ : hereditariedade, pronto.

8. $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$ , e $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$ : espremida entre suas escadas, a área vale exatamente $\frac13$ .

9. $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : uma linha. O teorema fundamental converte um cerco infinito em uma única avaliação de antiderivada — é por isso que ele se chama fundamental.

10. Segmento: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$ . Triângulo de base a corda (comprimento $2$ , na altura $1$ ) e vértice $(0,0)$ : área $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$ . Razão: $\frac43$ — exatamente o teorema de Arquimedes, verificado pela máquina que lhe faltava.

11. $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (série geométrica de razão $\frac14$ ): com $T = 1$ , de novo a área $\frac43$ do segmento. Arquimedes somou a série por um argumento puramente geométrico — as mordidas de um quarto, do tipo barra de chocolate, dois milênios antes de os limites terem nome.

12. A exaustão precisa de uma autossemelhança geométrica engenhosa e dá áreas exatas caso a caso; Riemann precisa apenas de monotonicidade e dá uma definição universal ao preço de calcular somas; o teorema fundamental precisa de todo o edifício das derivadas e o retribui tornando as áreas contas de uma linha.

13. $A(1) = 0$ e $A'(x) = \frac1x$ (teorema fundamental): $A$ é a primitiva de $\frac1x$ em $\intoo{0}{+\infty}$ que se anula em $1$ — que é precisamente o logaritmo natural.

14. $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$ : $g$ é constante; em $x = 1$ : $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$ . Logo $A(ax) = A(a) + A(x)$ para todo $x$ e, com $x = b$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ . A área da hipérbole não se importa com a escala horizontal: esticar $t$ por $a$ achata $\frac1t$ por $a$ , e a área sobrevive — somar logaritmos é uma simetria de escala.

15. Iterando: $\ln(a^n) = n\ln a$ (indução em $n$ ). E $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$ : $\ln\frac1a = -\ln a$ .

16. $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$ , contra $\ln 2 \approx 0.693$ : dez retângulos sob $\frac{1}{1+t}$ , já bem próximos. A série harmônica diverge, mas suas fatias de $n$ até $2n$ acomodam-se em $\ln 2$ : divergência a passo de tartaruga, medida por uma área.

17. Distância: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. Velocidade média: $100$ m/s. Instante com $v = 100$ : $3t^2 = 100$ : $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s.

18. Massa: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. Momento: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$ . Centro de massa: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m — empurrado para além do meio pela extremidade direita, mais pesada, como a intuição exige.

19. $W_0 = \frac\pi2$ ; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$ ; e $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$ .

20. Área: a definição, espremida por escadas. Acumulação: distâncias a partir de velocidades, massas a partir de densidades — a integral como total corrente. Antiderivada: o teorema fundamental, o atalho de Newton e Leibniz através da paciência de Arquimedes. A pérola: o botão $\ln$ é a área sob $\frac1t$ , e a simetria de escala dessa área é a identidade $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .

Que uma função de derivada nula em um intervalo seja constante segue do Teorema 22.7: ela é ao mesmo tempo crescente e decrescente. ↩

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