Matemática do ensino médio · Grades 10–12

26Equações diferenciais

Uma equação diferencial relaciona uma função com suas derivadas. A física, a química, a biologia e a economia exprimem suas leis nessa forma: a taxa de resfriamento de um corpo, o decaimento de um núcleo radioativo, o crescimento de uma população são todos afirmações sobre $y'$ . Este capítulo resolve por completo as equações lineares de primeira ordem com coeficientes constantes.

26.1 A equação $y' = ay$

Definição 26.1 (Equação diferencial)

Uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função $y$ e que envolve $y$ e suas derivadas. Uma solução em um intervalo $I$ é uma função derivável que satisfaz a equação em todo ponto de $I$ .

Teorema 26.2 (Soluções de $y' = ay$ )

Seja $a \in \R$ . As soluções em $\R$ da equação $y' = ay$ são exatamente as funções

y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .

Para cada par $(x_0, y_0)$ existe uma única solução com $y(x_0) = y_0$ .

Demonstração. Cada $y = C\eu^{ax}$ satisfaz $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$ . Reciprocamente, seja $y$ uma solução qualquer e ponha $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$ . Então

z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax} = \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,

de modo que $z$ é constante, digamos $C$ , e $y(x) = C\eu^{ax}$ . A condição inicial $y(x_0) = y_0$ obriga $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ , de modo único. ∎

Observação 26.3

A exponencial é, assim, caracterizada pela mais simples de todas as equações diferenciais: crescimento proporcional ao tamanho. É por isso que ela aparece em toda parte na natureza.

A equação y' = y prescreve um coeficiente angular em cada ponto do plano (segmentos cinzentos). As soluções C x — aqui C = 1 (azul), C = 0.3 (vermelho) e C = -0.5 (laranja) — são exatamente as curvas que seguem esse campo de inclinações. — A equação $y' = y$ prescreve um coeficiente angular em cada ponto do plano (segmentos cinzentos). As soluções $C\eu^{x}$ — aqui $C = 1$ (azul), $C = 0.3$ (vermelho) e $C = -0.5$ (laranja) — são exatamente as curvas que seguem esse campo de inclinações.

Exemplo 26.4 (Decaimento radioativo)

Uma quantidade radioativa satisfaz $N' = -\lambda N$ com $\lambda > 0$ , logo $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ ; veja o Exemplo 23.9 para a meia-vida.

26.2 A equação $y' = ay + b$

Teorema 26.5 (Soluções de $y' = ay + b$ )

Sejam $a \neq 0$ e $b \in \R$ . As soluções em $\R$ de $y' = ay + b$ são exatamente as funções

y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .

A função constante $y_p = -\frac ba$ é a solução de equilíbrio. Para cada $(x_0, y_0)$ existe uma única solução com $y(x_0) = y_0$ ; se $a < 0$ , toda solução tende ao equilíbrio $-\frac ba$ quando $x \to +\infty$ .

Demonstração. A constante $y_p = -\frac{b}{a}$ satisfaz $y_p' = 0 = a y_p + b$ . Agora $y$ é solução se, e somente se,

(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0} = a (y - y_p),

isto é, se e somente se $z = y - y_p$ resolve $z' = az$ . Pelo Teorema 26.2, $z = C\eu^{ax}$ , donde a fórmula, a existência e a unicidade. Se $a < 0$ , $\eu^{ax} \to 0$ quando $x \to +\infty$ , de modo que $y(x) \to -\frac ba$ . ∎

Método 26.6 (Resolver $y' = ay + b$ com condição inicial)

Encontre a solução de equilíbrio $y_p = -\frac{b}{a}$ (resolva $y' = 0$ ).
Escreva a solução geral $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
Determine $C$ pela condição inicial.
Confronte o comportamento a longo prazo com a intuição física (a solução converge para o equilíbrio?).

A mesma estratégia — solução particular mais solução geral da equação homogênea — estende-se a $y' = ay + f(x)$ : veja a Proposição 26.8.

Exemplo 26.7 (Lei do resfriamento de Newton)

Uma xícara de café a $80\,^\circ$ C está numa sala a $20\,^\circ$ C. A lei de Newton afirma que a temperatura $T$ satisfaz $T' = -k(T - 20)$ para algum $k > 0$ , isto é, $T' = -kT + 20k$ . O equilíbrio é $20$ , e $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$ : o café esfria exponencialmente depressa até a temperatura ambiente.

Qualquer que seja sua temperatura inicial, todas as soluções de T' = -k(T - 20) convergem exponencialmente para o equilíbrio T = 20. — Qualquer que seja sua temperatura inicial, todas as soluções de $T' = -k(T - 20)$ convergem exponencialmente para o equilíbrio $T = 20$ .

26.3 A equação $y' = ay + f(x)$

Proposição 26.8 (Estrutura do conjunto de soluções)

Seja $f$ contínua em um intervalo $I$ e seja $y_p$ uma solução particular de

y' = ay + f(x)

em $I$ . Então as soluções em $I$ são exatamente as funções $y = C\eu^{ax} + y_p$ , $C \in \R$ .

Demonstração. Como no Teorema 26.5: $y$ é solução se, e somente se, $z = y - y_p$ satisfaz $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$ , se e somente se $z = C\eu^{ax}$ . ∎

Método 26.9 (Adivinhar uma solução particular)

Procure uma solução particular da mesma forma que $f$ :

$f$ polinomial de grau $n$ : tente um polinômio de grau $n$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ com $k \neq a$ : tente $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
$f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (caso ressonante): tente $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Substitua na equação e identifique os coeficientes.

Exemplo 26.10

Resolva $y' = 2y + 4x$ . Tente $y_p = \alpha x + \beta$ : $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ para todo $x$ obriga $2\alpha + 4 = 0$ e $\alpha = 2\beta$ , logo $\alpha = -2$ e $\beta = -1$ . Solução geral: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$ .

26.4 Exercícios

Exercício 26.1 ★

Resolva em $\R$ : (a) $y' = 3y$ com $y(0) = 2$ ; (b) $2y' + y = 0$ com $y(0) = -1$ ; (c) $y' = -y + 5$ com $y(0) = 0$ .

Solução

Solução de Exercício 26.1.

(a) $y = C\eu^{3x}$ ; $y(0) = 2$ dá $y = 2\eu^{3x}$ .

(b) $y' = -\frac12 y$ , logo $y = C\eu^{-x/2}$ ; $y(0) = -1$ dá $y = -\eu^{-x/2}$ .

(c) Equilíbrio $y_p = 5$ ; $y = C\eu^{-x} + 5$ ; $y(0) = 0$ dá $C = -5$ : $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$ .

Exercício 26.2 ★

Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho, dobrando a cada $3$ horas. Escreva a equação diferencial satisfeita pela população $N(t)$ e determine a constante de proporcionalidade.

Solução

Solução de Exercício 26.2.

$N' = kN$ , logo $N(t) = N_0 \eu^{kt}$ . Dobrar em $3$ horas significa $\eu^{3k} = 2$ , isto é,

k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.

Exercício 26.3 ★

Verifique que $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ é solução de $y' = y + \eu^x$ e dê todas as soluções em $\R$ .

Solução

Solução de Exercício 26.3.

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$ : $y_p$ é uma solução particular (este é o caso ressonante do Método 26.9). Pela Proposição 26.8, as soluções são $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$ , $C \in \R$ .

Exercício 26.4 ★★

Resolva $y' = -2y + \eu^{x}$ com $y(0) = 1$ . (Sugestão: procure uma solução particular da forma $\beta\,\eu^{x}$ .)

Solução

Solução de Exercício 26.4.

Tente $y_p = \beta\eu^x$ : $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ dá $3\beta = 1$ , logo $y_p = \frac13\eu^x$ . Solução geral $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$ ; a condição $y(0) = 1$ dá $C = \frac23$ :

y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.

Exercício 26.5 ★★

O carbono-14 decai com meia-vida de $5730$ anos. Uma amostra arqueológica contém $60\%$ do carbono-14 de um organismo vivo. Estime sua idade.

Solução

Solução de Exercício 26.5.

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ com $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ (Exemplo 23.9). Resolvemos $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ :

t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ anos}.

Exercício 26.6 ★★

Um tanque contém $100$ L de água pura. Uma salmoura com $0.2$ kg de sal por litro entra a $5$ L/min, e a mistura (mantida uniforme) sai à mesma vazão. Seja $m(t)$ a massa de sal no tanque no instante $t$ (em minutos).

Justifique que $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
Resolva e determine o limite de $m(t)$ quando $t \to +\infty$ . Interprete.

Solução

Solução de Exercício 26.6.

1. O sal entra a $0.2 \times 5 = 1$ kg/min. A saída leva concentração $\frac{m}{100}$ kg/L a $5$ L/min, isto é, $\frac{m}{20}$ kg/min. Logo $m' = 1 - \frac{m}{20}$ .

2. Equilíbrio $m_p = 20$ ; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$ , e $m(0) = 0$ dá $C = -20$ :

m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.

A longo prazo, a concentração do tanque iguala a da salmoura que entra: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

Exercício 26.7 ★★

Uma paraquedista de $80$ kg cai sujeita à gravidade ( $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ) e a uma resistência do ar proporcional à velocidade, de modo que sua velocidade satisfaz $v' = g - \frac{k}{m}v$ com $k = 16$ kg/s.

Resolva a equação com $v(0) = 0$ .
Calcule a velocidade terminal $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ e o tempo necessário para atingir $95\%$ dela.

Solução

Solução de Exercício 26.7.

1. $v' = g - \frac{k}{m} v$ com $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$ . Equilíbrio $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$ , e $v(0) = 0$ dá

v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).

2. Velocidade terminal $49$ m/s ( $\approx 176$ km/h). Queremos $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$ , isto é, $\eu^{-0.2t} = 0.05$ :

t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.

Exercício 26.8 ★★★

(Equação logística.) Uma população $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (como fração da população máxima) satisfaz

y' = y(1 - y).

Seja $z = \dfrac{1}{y}$ . Mostre que $z$ satisfaz a equação linear $z' = -z + 1$ .
Resolva em $z$ e depois em $y$ , com $y(0) = \frac{1}{10}$ .
Mostre que $y(t) \to 1$ quando $t \to +\infty$ e esboce a forma da curva solução.

Solução

Solução de Exercício 26.8.

1. $z = \frac1y$ dá $z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$ .

2. Equilíbrio $z_p = 1$ , logo $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$ . De $y(0) = \frac{1}{10}$ vem $z(0) = 10$ , logo $C = 9$ e

y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .

3. Quando $t \to +\infty$ , $9\eu^{-t} \to 0$ e $y(t) \to 1$ . A curva é a clássica curva logística em S (sigmoide): crescimento lento no início ( $y$ pequeno, $y' \approx y$ ), crescimento máximo quando $y = \frac12$ (onde $y' = y(1-y)$ é máximo) e depois saturação rumo à capacidade de suporte $1$ .

Exercício 26.9 ★★★

Seja $y$ uma solução de $y' = ay + b$ e seja $u_n = y(n)$ para $n \in \N$ . Mostre que $(u_n)$ satisfaz uma recorrência aritmético-geométrica $u_{n+1} = q u_n + r$ e exprima $q$ e $r$ em função de $a$ e $b$ . A que corresponde a condição $\abs{q} < 1$ para a equação diferencial?

Solução

Solução de Exercício 26.9.

Pelo Teorema 26.5, $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$ . Logo

u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba = \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right) = q\,u_n + r

com $q = \eu^{a}$ e $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$ . A condição $\abs q < 1$ significa $\eu^a < 1$ , isto é, $a < 0$ : exatamente a condição sob a qual as soluções da equação diferencial convergem para o equilíbrio $-\frac ba$ — e, de fato, o ponto fixo da recorrência é $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$ .

26.5 Problema: O relógio dentro das coisas

Problema 26.1

Problema de fim de semana — o carbono-14 data as cavernas, a lei do resfriamento de Newton cronometra um crime, e uma equaçãozinha veste quatro trajes

Uma equação diferencial é uma lei de mudança; resolvê-la transforma a lei em um relógio. A mesma equaçãozinha $y' = ay + b$ (Teorema 26.5) faz tique-taque dentro de carvão pré-histórico, de café esfriando, de gotas de chuva caindo e de soros hospitalares — e ler esses relógios é o ofício deste problema: ele data as pinturas de Lascaux, fixa uma hora da morte e audita as próprias hipóteses, como faz um bom cientista.

Parte I — Fluência.

Resolva $y' = 3y$ , $y(0) = 2$ ; e depois $y' = -2y + 6$ , $y(0) = 0$ (Método 26.6).
Rededuza o truque de unicidade por trás do Teorema 26.2: se $y' = ay$ , calcule a derivada de $y(t)\,\eu^{-at}$ e conclua que toda solução é $C\eu^{at}$ .
Para $y' = -2y + 6$ : encontre a solução de equilíbrio e descreva o destino de todas as demais soluções quando $t \to +\infty$ . (Os pontos fixos das recorrências do Problema 13.1, agora contínuos.)
Para a lei de decaimento $y' = -\frac{y}{\tau}$ : mostre que a meia-vida é $t_{1/2} = \tau \ln 2$ .
Esboce (ou descreva) a família de soluções de $y' = -2y + 6$ : o que fazem as soluções que começam acima de $3$ ? E abaixo de $3$ ? E em $3$ ?

Parte II — Carbono-14. O tecido vivo mantém uma proporção constante de carbono-14 radioativo; na morte a entrada cessa e o estoque decai: $N' = -\lambda N$ , com meia-vida de $5\,730$ anos.

Calcule $\lambda$ (por ano).
Um osso retém $20\,\%$ da proporção do vivo: qual é a idade dele?
Carvão das cavernas pintadas de Lascaux retém cerca de $15\,\%$ : date as pinturas.
O homem do gelo, Ötzi, encontrado em uma geleira alpina, media cerca de $53\,\%$ : date-o (os arqueólogos falam em cerca de $5\,300$ anos — como foi o seu resultado?).
Por que o carbono-14 não pode datar dinossauros? Calcule a fração restante após dez meias-vidas, enuncie a fração após $65$ milhões de anos como potência de $2$ e conclua.
Barras de erro: se os $53\,\%$ de Ötzi só são conhecidos com precisão de $\pm 1\,\%$ , calcule a faixa de idade. Que precisão de laboratório compra que precisão de datação?

Parte III — O resfriamento de Newton e um crime. Um corpo à temperatura $T$ em um ambiente à temperatura constante $T_a$ esfria segundo $T' = -k\,(T - T_a)$ .

Resolva a equação (substitua $z = T - T_a$ ):

$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$
Um café servido a $90\,^\circ$ C em uma sala a $20\,^\circ$ C marca $70\,^\circ$ C após $5$ minutos. Determine $k$ e, em seguida, o tempo de espera até os $55\,^\circ$ C em que se pode beber.
A questão do leite: para tomar o café mais quente possível daqui a dez minutos, o leite frio deve ser acrescentado agora ou no último momento? Responda com a equação (o que acrescentar leite faz com a diferença $T - T_a$ , e como essa diferença comanda a perda?).
Perícia: um corpo é encontrado à meia-noite a $30\,^\circ$ C em uma sala a $20\,^\circ$ C; uma hora depois ele marca $28\,^\circ$ C. Supondo $37\,^\circ$ C no momento da morte, recupere $k$ com as duas medições e calcule a hora da morte.
Audite o relógio do perito: cite três violações reais das hipóteses do modelo e o sentido em que cada uma enviesaria a hora da morte estimada.

Parte IV — Quatro trajes e uma curva em S.

A equação logística do Exercício 26.8, $y' = y(1 - y)$ com $y(0) = 0.1$ : usando a substituição do exercício, deduza $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ e encontre o instante do ponto de inflexão $y = \frac12$ — a data do epidemiologista do Problema 22.1, agora calculável.
Uma gota de chuva obedece a $v' = 10 - \frac v2$ (gravidade menos arrasto), com $v(0) = 0$ . Encontre a velocidade terminal, resolva em $v(t)$ e calcule quando a gota atinge $95\,\%$ da velocidade terminal.
Um soro hospitalar libera um medicamento a taxa constante enquanto o organismo o elimina proporcionalmente: $c' = 4 - 0.5c$ , com $c(0) = 0$ . Encontre a concentração de regime e o tempo para alcançar metade dela. Enuncie em uma frase o paralelo com as recorrências de empréstimo do Exercício 26.9.
Final — uma equação, quatro trajes: decaimento, resfriamento, queda, dosagem, todos $y' = ay + b$ com sinais e nomes diferentes. Recite o ciclo de modelagem que este problema percorreu quatro vezes (lei $\to$ equação $\to$ solução $\to$ calibração $\to$ previsão $\to$ auditoria) e nomeie o fenômeno que exige $y''$ — e que problema já o encontrou.

Solução

Solução de Problema 26.1.

1. $y = 2\eu^{3t}$ . Para a segunda: equilíbrio $3$ , logo $y = 3 + C\eu^{-2t}$ com $y(0) = 0$ : $C = -3$ : $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$ .

2. $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} - ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$ : o produto é uma constante $C$ , logo $y = C\eu^{at}$ — nenhuma solução escapa.

3. Equilíbrio: $y \equiv 3$ . Toda outra solução é $3 + C\eu^{-2t}$ com $C \neq 0$ : a exponencial morre e a solução desliza até $3$ — um ponto fixo estável, o gêmeo contínuo dos pontos fixos das recorrências do Problema 13.1.

4. $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ cai à metade quando $\eu^{-t/\tau} = \frac12$ : $t = \tau\ln 2$ .

5. Todas as soluções são translações verticais do decaimento rumo a $3$ : as que começam acima caem até $3$ , as que começam abaixo sobem até $3$ , e a solução constante $3$ fica parada — um funil em torno do equilíbrio.

6. $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times 10^{-4}$ por ano.

7. $\eu^{-\lambda t} = 0.2$ : $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ anos.

8. $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ anos: os touros de Lascaux são do fim da era glacial.

9. $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ anos: dentro de uma vida humana do valor dos arqueólogos — o relógio funciona.

10. Dez meias-vidas deixam $2^{-10} \approx 0.1\,\%$ : no limite da medição. Após $65$ milhões de anos a fração é $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$ : nenhum átomo do estoque original resta em qualquer fóssil — os dinossauros são datados por relógios mais lentos (potássio-argônio e parentes).

11. $52\,\%$ dá $\approx 5\,405$ anos e $54\,\%$ dá $\approx 5\,095$ : o $\pm 1\,\%$ da química vira cerca de $\pm 155$ anos de história — precisão no laboratório é precisão na etiqueta do museu.

12. $z = T - T_a$ satisfaz $z' = -kz$ : $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$ , e $T = T_a + z$ .

13. A diferença inicial é $T_0 - T_a = 70$ ; após cinco minutos ela é $70 - 20 = 50$ , logo $50 = 70\eu^{-5k}$ : $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ por minuto. Para beber: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$ : $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ minutos.

14. A taxa de perda é proporcional à diferença $T - T_a$ : café fervendo sangra calor mais depressa. Acrescentar o leite agora corta a diferença imediatamente, de modo que se perde menos calor ao longo dos dez minutos; deixar para o fim permite que o café esfrie a toda velocidade antes. Para a xícara mais quente: leite primeiro. (Anfitriões impacientes têm a termodinâmica ao contrário.)

15. Diferenças em relação ao ambiente: à meia-noite $10$ , uma hora depois $8$ : $\eu^{-k} = 0.8$ : $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ por hora. Na morte a diferença era $17$ ; ela decaiu até $10$ à meia-noite: $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ horas. Hora da morte: por volta das $21{:}40$ .

16. Uma sala aquecida ou com corrente de ar ( $T_a$ não constante) entorta o relógio para qualquer lado; roupas ou a massa corporal mudam $k$ (as tabelas do perito corrigem isso) — um $k$ errado reescala todo o intervalo; e um corpo movido de outro lugar reinicia $T_a$ no meio do decaimento, forjando uma morte mais cedo ou mais tarde. A equação é honesta; o risco está nas hipóteses.

17. $z = \frac1y$ obedece a $z' = 1 - z$ : $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (de $z(0) = 10$ ), logo $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ . Inflexão em $y = \frac12$ : $9\eu^{-t} = 1$ : $t = \ln 9 \approx 2.2$ — a data de virada da epidemia, direto da fórmula.

18. Velocidade terminal: $v' = 0$ em $v = 20$ m/s. Solução: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ . Então $0.95$ : $\eu^{-t/2} = 0.05$ : $t = 2\ln 20 \approx 6$ s — as gotas de chuva alcançam sua velocidade de cruzeiro em segundos, e é por isso que a chuva não mata.

19. Regime permanente: $c = 8$ . Metade disso: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ : $\eu^{-t/2} = \frac12$ : $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ hora. O soro é o gêmeo contínuo do empréstimo: entrada constante, saída proporcional — o Exercício 26.9 torna o dicionário exato.

20. Decaimento ( $a < 0$ , $b = 0$ ), resfriamento ( $y = T - T_a$ ), queda ( $a < 0$ , $b > 0$ : aproximação do equilíbrio por baixo), dosagem (a mesma coisa, numa veia): uma equação, quatro mundos. O ciclo: enunciar a lei da mudança; escrever a equação; resolver (Método 26.6); calibrar as constantes com medições; prever; e então auditar as hipóteses (questão 16). A oscilação exige $y'' = -\omega^2 y$ — encontrada, resolvida e posta a balançar no Problema 24.1.

26.1 A equação y′=ayy' = ayy′=ay

26.2 A equação y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

26.3 A equação y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)y′=ay+f(x)

26.4 Exercícios

26.5 Problema: O relógio dentro das coisas

26.1 A equação $y' = ay$

26.2 A equação $y' = ay + b$

26.3 A equação $y' = ay + f(x)$