Matemática do ensino médio · Grades 10–12

23Exponencial e logaritmo

A função exponencial é a única função igual à própria derivada e que vale $1$ em $0$ . Ela converte somas em produtos; sua inversa, o logaritmo natural, converte produtos em somas. Juntas, descrevem todo fenômeno cuja taxa de variação é proporcional ao seu tamanho: decaimento radioativo, crescimento populacional, juros compostos.

23.1 A função exponencial

Teorema 23.1 (Existência e unicidade)

Existe uma única função derivável $f \colon \R \to \R$ tal que

f' = f \qquad\text{e}\qquad f(0) = 1 .

Ela é chamada de função exponencial e escrita $\exp$ , ou $x \mapsto \eu^x$ .

Demonstração da unicidade. Primeiro, uma função assim nunca se anula. De fato, seja $g(x) = f(x)f(-x)$ ; então

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

de modo que $g$ é constante igual a $g(0) = 1$ : para todo $x$ , $f(x)f(-x) = 1$ e, em particular, $f(x) \neq 0$ .

Agora sejam $f_1, f_2$ duas soluções e $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (legítimo, já que $f_2$ nunca se anula). Então

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

de modo que $h$ é constante igual a $h(0) = 1$ , isto é, $f_1 = f_2$ .

A existência é admitida neste nível (pode ser obtida pela sequência do Exercício 20.10, ou como inversa do logaritmo construído por integração no Capítulo 25). ∎

Proposição 23.2 (Equação funcional)

Para todos $x, y \in \R$ e $n \in \Z$ :

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

Além disso, $\eu^x > 0$ para todo $x$ .

Demonstração. Fixe $y$ e considere $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ . Seu numerador e seu denominador, como funções de $x$ , são ambos soluções de $f' = f$ a menos da constante $\exp(y)$ ; derivar $\varphi$ diretamente (regra do quociente) dá $\varphi' = 0$ , de modo que $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ , o que demonstra a primeira identidade. Tomar $y = -x$ dá a segunda (com o valor $\eu^0 = 1$ ), e a terceira segue. A quarta é uma indução a partir da primeira para $n \geq 0$ , estendida a $n < 0$ pela segunda.

Positividade: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ e $\eu^x \neq 0$ (mostrado no Teorema 23.1), logo $\eu^x > 0$ . ∎

Proposição 23.3 (Variação e limites)

A exponencial é estritamente crescente, convexa, e

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

Demonstração. $(\exp)' = \exp > 0$ dá o crescimento estrito; $(\exp)'' = \exp > 0$ dá a convexidade. Pela convexidade, $\eu^x \geq 1 + x$ (tangente em $0$ , veja o Exemplo 22.15), de modo que $\eu^x \to +\infty$ quando $x \to +\infty$ , por comparação. Então $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ quando $x \to -\infty$ . ∎

A exponencial: estritamente crescente, convexa, com _-∈fty x = 0. Ela fica acima de sua tangente em 0: x ≥ 1 + x. — A exponencial: estritamente crescente, convexa, com $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ . Ela fica acima de sua tangente em $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ .

Teorema 23.4 (Comparação de crescimentos)

Para todo inteiro $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

Em palavras: a exponencial vence toda potência de $x$ .

Demonstração. Para $n = 1$ : aplicando $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ em $t = x/2$ ,

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

Para $n$ geral, escreva

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

pelo caso $n=1$ e por composição. O limite em $-\infty$ segue da substituição $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ . ∎

$A exponencial (azul) acaba vencendo toda potência: ela ultrapassa x2 (vermelho) logo no início e x3 (laranja) em x 4.54.$

A exponencial (azul) acaba vencendo toda potência: ela ultrapassa

x^2

(vermelho) logo no início e

x^3

(laranja) em

x \approx 4.54

23.2 O logaritmo natural

Definição 23.5 (Logaritmo natural)

A exponencial é contínua e estritamente crescente de $\R$ sobre $\intoo{0}{+\infty}$ ; pelo teorema da bijeção (Teorema 21.15), para todo $y > 0$ a equação $\eu^x = y$ tem solução única. Essa solução é o logaritmo natural de $y$ , escrito $\ln y$ . Assim,

\text{para } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

Em particular, $\ln 1 = 0$ , $\ln \eu = 1$ , e $\eu^{\ln y} = y$ , $\ln(\eu^x) = x$ .

As curvas de e de são espelhos uma da outra na reta y = x: o ponto (x, x) reflete-se em ( x, x). — As curvas de $\exp$ e de $\ln$ são espelhos uma da outra na reta $y = x$ : o ponto $(x, \eu^x)$ reflete-se em $(\eu^x, x)$ .

Proposição 23.6 (Propriedades algébricas)

Para todos $a, b > 0$ e $n \in \Z$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

Demonstração. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ , e tomar $\ln$ dos dois lados dá a primeira identidade. As demais seguem pelo mesmo mecanismo, a partir das identidades correspondentes da Proposição 23.2. ∎

Proposição 23.7 (Propriedades analíticas)

A função $\ln$ é derivável em $\intoo{0}{+\infty}$ , com

(\ln x)' = \frac{1}{x},

estritamente crescente, côncava, e $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ . Além disso, para todo inteiro $n \geq 1$ ,

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

Demonstração. A derivabilidade da função inversa é admitida neste nível; admitindo-a, derive a identidade $\eu^{\ln x} = x$ pela regra da cadeia: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ , logo $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ , donde o crescimento estrito, e $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ , donde a concavidade. Os limites em $0^+$ e em $+\infty$ espelham os de $\exp$ pela bijeção. Para a comparação de crescimentos, substitua $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ quando $t \to +\infty$ , pelo Teorema 23.4, e do mesmo modo para os demais limites com $x = \eu^{-t}$ , o que dá $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ . ∎

Método 23.8 (Resolver equações com $\exp$ e $\ln$ )

As duas funções são estritamente crescentes, de modo que podem ser aplicadas aos (ou retiradas dos) dois lados de uma equação ou inequação sem mudar seu sentido:

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

e do mesmo modo para $\ln$ em quantidades positivas. Verifique sempre os domínios primeiro ( $\ln$ exige argumentos positivos). Para equações como $a^x = b$ com $a>0$ , $a \neq 1$ , reescreva $a^x = \eu^{x\ln a}$ e resolva $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ .

Exemplo 23.9

Uma amostra radioativa decai segundo $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ . Sua meia-vida $T$ satisfaz $N(T) = N_0/2$ , isto é, $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ , logo $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : a meia-vida não depende da quantidade inicial.

23.3 Exercícios

Exercício 23.1 ★

Simplifique $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ e $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ .

Solução

Solução de Exercício 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ .

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ .

Exercício 23.2 ★

Resolva em $\R$ :

\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

Solução

Solução de Exercício 23.2.

(a) Ponha $X = \eu^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ dá $X = 1$ ou $X = 2$ , ambos positivos, logo $x = 0$ ou $x = \ln 2$ .

(b) Domínio: $x - 1 > 0$ e $x + 2 > 0$ , logo $x > 1$ . A equação vira $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ , portanto $(x-1)(x+2) = 4$ , isto é, $x^2 + x - 6 = 0$ , logo $x = 2$ ou $x = -3$ . Só $x = 2$ está no domínio: $S = \{2\}$ .

Exercício 23.3 ★

Calcule os limites:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

Solução

Solução de Exercício 23.3.

Divida por $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ , usando $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (Teorema 23.4).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ pela Proposição 23.7 (caso $n = 2$ ).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ .

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ , pois $\frac{\ln x}{x} \to 0$ .

Exercício 23.4 ★★

Estude a função $f(x) = x\,\eu^{-x}$ em $\R$ : variação, limites, extremo; mostre que sua curva tem um ponto de inflexão e dê suas coordenadas.

Solução

Solução de Exercício 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ , com o sinal de $1 - x$ : $f$ cresce em $\intoc{-\infty}{1}$ e decresce em $\intco{1}{+\infty}$ , com máximo global $f(1) = \eu^{-1}$ .

Limites: quando $x \to +\infty$ , $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (Teorema 23.4); quando $x \to -\infty$ , $x \to -\infty$ e $\eu^{-x} \to +\infty$ , logo $f(x) \to -\infty$ .

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ , que muda de sinal em $x = 2$ : ponto de inflexão em $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ .

Exercício 23.5 ★★

Mostre que, para todo $x > -1$ , $\ln(1 + x) \leq x$ , com igualdade somente em $x = 0$ . Deduza que, para todo $n \geq 1$ ,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

Solução

Solução de Exercício 23.5.

Seja $g(x) = x - \ln(1+x)$ em $\intoo{-1}{+\infty}$ . Então $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ , negativa em $\intoo{-1}{0}$ e positiva em $\intoo{0}{+\infty}$ : $g$ atinge seu mínimo $g(0) = 0$ , logo $g \geq 0$ , com igualdade só em $0$ . Portanto $\ln(1+x) \leq x$ .

Aplique isso com $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ , logo $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ . Aplique com $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ , logo $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ e $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ .

Exercício 23.6 ★★

Um capital $C_0$ é aplicado a uma taxa anual de $3\%$ , com juros capitalizados a cada ano.

Exprima o capital $C_n$ após $n$ anos.
Depois de quantos anos o capital dobra? Dê a resposta exata usando $\ln$ e depois um valor numérico.
Compare com a aproximação “ $70$ dividido pela taxa em porcentagem”, usada pelos banqueiros.

Solução

Solução de Exercício 23.6.

1. Cada ano multiplica o capital por $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$ .

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : o capital dobra após $24$ anos.

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ , próximo do valor exato $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ . A regra funciona porque $\ln(1 + r) \approx r$ para $r$ pequeno, de modo que $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ .

Exercício 23.7 ★★

Resolva a inequação $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ e depois a inequação $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ .

Solução

Solução de Exercício 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (a exponencial é estritamente crescente): $S = \intoo{1}{+\infty}$ .

Domínio da segunda inequação: $x^2 - 1 > 0$ e $x + 5 > 0$ , isto é, $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ . Nesse domínio, sendo $\ln$ estritamente crescente,

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

Intersectando com o domínio: $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ .

Exercício 23.8 ★★★

Seja $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ para $x > 0$ .

Estude a variação de $f$ em $\intoo{0}{+\infty}$ e dê seu mínimo.
Para quais valores de $k$ a equação $\eu^x = kx$ tem $0$ , $1$ ou $2$ soluções em $\intoo{0}{+\infty}$ ?

Solução

Solução de Exercício 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ , negativa em $\intoo{0}{1}$ e positiva em $\intoo{1}{+\infty}$ : mínimo $f(1) = \eu$ . Limites: $f \to +\infty$ em $0^+$ (numerador $\to 1$ , denominador $\to 0^+$ ) e em $+\infty$ (Teorema 23.4).

2. Para $x > 0$ , $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ . Pelo quadro de variação ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ , contínua e estritamente monótona de cada lado): nenhuma solução para $k < \eu$ ; exatamente uma ( $x = 1$ ) para $k = \eu$ ; exatamente duas para $k > \eu$ (uma em $\intoo{0}{1}$ e outra em $\intoo{1}{+\infty}$ , pelo teorema da bijeção em cada intervalo).

Exercício 23.9 ★★★

Para $n \geq 1$ , seja $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ .

Usando o Exercício 23.5, mostre que $(u_n)$ é limitada superiormente por $\eu$ .
Mostre que $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ e deduza que $u_n \to \eu$ . (Sugestão: reconheça um quociente de diferenças de $\ln$ em $1$ .)

Solução

Solução de Exercício 23.9.

1. Direto da primeira desigualdade do Exercício 23.5: $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ .

2. Escreva

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

um quociente de diferenças de $\ln$ no ponto $1$ com incremento $h = \frac1n \to 0$ . Como $\ln$ é derivável em $1$ com derivada $1$ , $\ln u_n \to 1$ . Pela continuidade de $\exp$ (Proposição 21.12), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ .

23.4 Problema: O logaritmo domestica o mundo

Problema 23.1

Problema de fim de semana — tempos de duplicação e a regra de 72, as escalas de terremotos, ácidos e pianos, e a constante $\eu$ deixando digitais em toda parte

Tudo o que cresce por uma porcentagem fixa cresce exponencialmente — poupanças, bactérias, epidemias — e tudo o que abrange potências de dez demais para se apreender — energias de terremotos, acidez, intensidades sonoras — é domesticado por um logaritmo. Este problema calcula tempos de duplicação e desmonta a regra de 72 dos banqueiros, lê as escalas logarítmicas do mundo e recolhe as digitais que o número $\eu$ deixa em cada cena de crime (Proposição 23.2, Teorema 23.4, Método 23.8).

Parte I — Fluência.

Resolva: $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (um trinômio do segundo grau disfarçado).
Simplifique: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
Demonstre a desigualdade-mãe: $\eu^x \geq 1 + x$ para todo real $x$ (estude $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ) e deduza $\ln(1 + u) \leq u$ para $u > -1$ .
Calcule $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (Teorema 23.4) e $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (reconheça uma derivada).
Estude $f(x) = x \ln x$ em $\intoo{0}{+\infty}$ : variação, mínimo e o limite em $0^+$ (admitido: $x \ln x \to 0$ ). Essa pequena função mede informação e entropia ao longo dos volumes de graduação.

Parte II — Tempos de duplicação e a regra de 72.

Uma poupança rende $3\,\%$ ao ano. Resolva $1.03^n = 2$ : quanto tempo para dobrar o capital?
Os banqueiros estimam o tempo de duplicação como $\frac{72}{\text{taxa em }\%}$ . Teste a regra a $3\,\%$ , $6\,\%$ e $9\,\%$ contra o valor exato $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ e explique-a: para $r$ pequeno, $\ln(1 + r) \approx r$ (a desigualdade da questão 3 é metade da história), de modo que a constante exata é $100 \ln 2 \approx 69.3$ — por que os banqueiros preferem $72$ ?
Uma bactéria se divide a cada $20$ minutos: $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ em minutos). Reescreva isso como $\eu^{\lambda t}$ e calcule $p$ após $24$ horas. A resposta (mais de $10^{21}$ ) prova o quê sobre o modelo — e o que detém as colônias reais?
A cafeína deixa o organismo com meia-vida de cerca de $5$ horas. Após um café de $100$ mg às 15h, quanto resta às 23h? A que horas o valor cai abaixo de $10$ mg? (A insônia tem um logaritmo.)
Um euro a $100\,\%$ de juros anuais: calcule o capital no fim do ano com capitalização anual, mensal e diária, e dê o teto que o Exercício 23.9 demonstrou ser inquebrável. Que constante famosa é o limite da pura ganância?
Por que os cientistas plotam $\ln(\text{casos})$ contra o tempo na fase inicial de uma epidemia? O que uma reta nesse gráfico revela, e o que seu coeficiente angular mede?

Parte III — As escalas logarítmicas do mundo. (Escreva $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ .)

Nível sonoro em decibéis: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . Uma conversa mede $60$ dB e um show de rock, $120$ dB: por que fator as intensidades sonoras diferem?
As magnitudes de terremotos sobem $1$ quando a amplitude sísmica é multiplicada por $10$ , e a energia liberada escala como amplitude $^{3/2}$ . Compare terremotos de magnitude $5$ e $7$ : razão das amplitudes e depois razão das energias.
Química: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . O suco de limão tem pH $2$ e o leite, pH $6.5$ : qual é a razão entre suas concentrações de ácido?
Música: cada oitava dobra a frequência. Do lá mais grave do piano ( $27.5$ Hz) ao dó mais agudo ( $4\,186$ Hz), quantas oitavas o teclado abrange? E por que nossos sentidos — audição, visão, percepção de tremores — preferem escalas logarítmicas? (Uma frase.)
A régua de cálculo, a calculadora dos engenheiros por $350$ anos: duas réguas graduadas de modo que o comprimento até a marca $x$ seja proporcional a $\ln x$ . Explique como deslizar uma régua sobre a outra multiplica números e nomeie a identidade da Proposição 23.6 que faz o trabalho.

Parte IV — As digitais de $\eu$ .

Do Exercício 23.8: a equação $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) tem $0$ , $1$ ou $2$ soluções conforme a posição de $k$ em relação a um limiar. Reenuncie o resultado — e verifique o fato geométrico por trás dele: a reta $y = \eu x$ é exatamente a tangente à exponencial que passa pela origem.
A constante do quase: com $n$ bilhetes de loteria de probabilidade de vitória $\frac1n$ cada, $\P(\text{nenhuma vitória}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . Calcule seu limite via $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (use o limite padrão $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ) e reconcilie com o misterioso $0.368$ do Problema 19.1.
A regra dos $37\,\%$ : para escolher o melhor entre $n$ candidatos entrevistados em ordem aleatória (sem voltar atrás), a estratégia ótima rejeita os primeiros $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ e depois aceita o primeiro candidato melhor que todos os anteriores — tendo sucesso com probabilidade de cerca de $\frac1\eu$ . De onde vêm os dois $\frac1\eu$ das questões 18 e 19 — enuncie o mecanismo comum (muitos eventos independentes de pequena chance) — e calcule $\frac1\eu$ com três casas decimais.
Final — o retrato de $\eu$ : o teto da capitalização (questão 10); a base cuja tangente em $0$ tem coeficiente angular exatamente $1$ (questões 3 e 4); o crescimento que nenhum polinômio alcança (questão 4); a constante dos quases e da parada ótima (questões 18–19); e sua inversa, o $\ln$ , que transforma produtos em somas (questão 16) e décadas de grandeza em centímetros (Parte III). Uma frase para cada.

Solução

Solução de Problema 23.1.

1. $x = \frac{\ln 5}{2}$ . $3x - 1 = \eu^2$ : $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$ . Com $u = \eu^x$ : $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$ : $x = 0$ ou $x = \ln 2$ .

2. $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$ ; $3 + \frac12 = \frac72$ ; $\frac52$ .

3. $f'(x) = \eu^x - 1$ : negativa antes de $0$ e positiva depois: mínimo $f(0) = 0$ , de modo que $f \geq 0$ em toda parte: $\eu^x \geq 1 + x$ . Substituindo $x = \ln(1 + u)$ : $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$ , isto é, $\ln(1 + u) \leq u$ .

4. $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ e $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : as exponenciais esmagam as potências, e as potências esmagam os logaritmos. E $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$ .

5. $f'(x) = \ln x + 1$ : nula em $\eu^{-1}$ , negativa antes e positiva depois: mínimo $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$ ; e $x \ln x \to 0$ em $0^+$ : a curva sai da origem, mergulha até $-\frac1\eu$ e sobe.

6. $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ anos.

7. Exato: $23.4$ , $11.9$ , $8.0$ anos; regra de 72: $24$ , $12$ , $8$ . Como $\ln(1+r) \approx r$ , $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$ , isto é, $\frac{69.3}{\text{taxa em }\%}$ ; os banqueiros arredondam para $72$ porque ele se divide lindamente por $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ — a aritmética mental vale mais que uma casa decimal de precisão.

8. $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$ : $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ por minuto. Após $24 \times 60 = 1440$ minutos: $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ bactérias — mais que os grãos de areia da Terra, a partir de uma célula em um dia. O modelo só é honesto enquanto houver comida e espaço: o crescimento real se dobra na curva logística em S (a curva do epidemiologista do Problema 22.1).

9. Às 23h ( $8$ horas): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Abaixo de $10$ mg: $2^{-t/5} < 0.1$ dá $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 16.6$ h: por volta das 7h40 da manhã seguinte — o cafezinho das três tem cauda longa.

10. Anual: $2$ . Mensal: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$ . Diária: $\approx 2.715$ . O teto: $\eu = 2.71828\ldots$ (Exercício 23.9) — capitalizando continuamente, a ganância converge.

11. Se os casos crescem exponencialmente, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$ , então $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$ : uma reta de coeficiente angular $\lambda$ — a taxa de crescimento. Um trecho retilíneo no gráfico logarítmico é a fase exponencial, e sua inclinação é o compasso da epidemia.

12. $120 - 60 = 60$ dB significa $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$ : o show é $10^6$ — um milhão de vezes — mais intenso que a conversa.

13. Amplitude: $10^{7-5} = 100$ . Energia: $100^{3/2} = 1000$ : dois pontos de magnitude escondem três ordens de grandeza em energia.

14. $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$ : o suco de limão é trinta mil vezes mais ácido que o leite — o pH comprime os abismos da química em uma escala de bolso.

15. $\log_2\!\frac{4186}{27.5} = \frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$ : um piano abrange pouco mais de sete oitavas. Os sentidos respondem a razões de estímulo — dobrar a intensidade parece um degrau, seja qual for o ponto de partida —, de modo que a percepção é construída sobre uma escala logarítmica, e as unidades que inventamos para ela também.

16. Encostar a régua de $a$ na posição de $b$ soma os comprimentos $\ln a + \ln b$ , e a graduação que se encontra nesse comprimento total marca $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$ : a régua de cálculo faz produtos somando logaritmos — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ (Proposição 23.6) entalhado em madeira.

17. O mínimo de $\frac{\eu^x}{x}$ em $\intoo{0}{+\infty}$ é $\eu$ , em $x = 1$ : nenhuma solução para $k < \eu$ , exatamente uma para $k = \eu$ e duas para $k > \eu$ . Verificação da tangente: em $a = 1$ a tangente a $\eu^x$ é $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$ : ela passa pela origem — a reta do limiar, tocando a curva em $(1, \eu)$ .

18. $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) = \frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$ , logo $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$ : o $0.999^{1000} \approx 0.368$ do Problema 19.1, explicado — a constante do quase da loteria é $\frac1\eu$ .

19. Os dois são a forma-limite de “muitos eventos independentes, cada um individualmente improvável”: a chance de que nenhuma de $n$ oportunidades de tamanho $\frac1n$ se realize tende a $\eu^{-1}$ , e a regra da secretária ajusta sua janela de rejeição para que o sucesso se concentre nessa mesma constante. $\frac1\eu \approx 0.368$ .

20. O teto da capitalização; a única base cuja tangente em $0$ tem coeficiente angular $1$ (razão pela qual o cálculo a adora); o crescimento que ultrapassa toda potência; a constante em que os quases e a parada ótima se acomodam; e o logaritmo — a multiplicação virada adição, e as faixas mais selvagens do mundo dobradas sobre uma régua.