Matemática do ensino médio · कक्षा 10–12

4Funções de referência

Um punhado de funções simples — afim, quadrado, inverso, raiz quadrada, cubo — aparece em toda parte, sozinho ou combinado. Saber de cor seus gráficos e sua variação transforma muitos problemas em um esboço rápido. Este capítulo estuda cada uma delas por sua vez e demonstra sua variação com a técnica de comparação do Capítulo 3.

4.1 Funções afins

Definição 4.1 (Função afim)

Uma função afim é uma função da forma

f(x) = mx + p,

onde $m$ e $p$ são números reais fixos. Seu gráfico é uma reta: $m$ é o coeficiente angular e $p$ o coeficiente linear (a reta corta o eixo vertical em $(0, p)$ ). Quando $p = 0$ , a função é linear: $f(x) = mx$ exprime uma proporcionalidade.

Proposição 4.2 (Coeficiente angular e variação)

Seja $f(x) = mx + p$ .

Para quaisquer duas entradas distintas $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (o coeficiente angular é a variação da saída por unidade de variação da entrada).
Se $m > 0$ , $f$ é estritamente crescente em $\R$ ; se $m < 0$ , estritamente decrescente; se $m = 0$ , constante.

Demonstração. 1. Calcule $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ e divida em seguida por $v - u \neq 0$ .

2. Se $u < v$ , então $f(v) - f(u) = m(v-u)$ tem o sinal de $m$ , pois $v - u > 0$ : com $m$ positivo, $f(u) < f(v)$ (crescente); com $m$ negativo, $f(u) > f(v)$ (decrescente). ∎

Duas funções afins: crescente para m = 1/2 > 0, decrescente para m = -1 < 0. Avançar uma unidade para a direita faz y variar de m. — Duas funções afins: crescente para $m = \frac12 > 0$ , decrescente para $m = -1 < 0$ . Avançar uma unidade para a direita faz $y$ variar de $m$ .

Exemplo 4.3

Encontre a função afim cujo gráfico passa por $A(1, 3)$ e $B(4, 9)$ . O coeficiente angular é

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

Então $f(x) = 2x + p$ , e $f(1) = 3$ dá $2 + p = 3$ , logo $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$ . Confira com $B$ : $f(4) = 9$ .

4.2 A função quadrado

Proposição 4.4 (Função quadrado)

A função $f(x) = x^2$ , definida em $\R$ :

é estritamente decrescente em $\intoc{-\infty}{0}$ e estritamente crescente em $\intco{0}{+\infty}$ , com mínimo $0$ em $x = 0$ ;
satisfaz $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ : seu gráfico, uma parábola, é simétrico em relação ao eixo vertical.

Demonstração. 1. Sejam $0 \leq u < v$ . Então

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

pois $v - u > 0$ e $v + u > 0$ : $f$ é estritamente crescente em $\intco{0}{+\infty}$ . Se $u < v \leq 0$ , então $v - u > 0$ , mas $v + u < 0$ , logo $f(v) - f(u) < 0$ : estritamente decrescente. Por fim, $x^2 \geq 0 = f(0)$ para todo $x$ .

2. $(-x)^2 = x^2$ ; assim, os pontos $(x, x^2)$ e $(-x, x^2)$ , simétricos em relação ao eixo vertical, estão ambos no gráfico. ∎

Observação 4.5 (Quadrados e ordem)

Como a função quadrado decresce no lado negativo, elevar ao quadrado inverte a ordem dos números negativos: $-3 < -2$ , mas $9 > 4$ . Nunca eleve os dois lados de uma desigualdade ao quadrado sem antes verificar os sinais.

4.3 A função inverso

Proposição 4.6 (Função inverso)

A função $f(x) = \dfrac1x$ , definida para $x \neq 0$ :

é estritamente decrescente em $\intoo{-\infty}{0}$ e estritamente decrescente em $\intoo{0}{+\infty}$ ;
satisfaz $f(-x) = -f(x)$ : seu gráfico, uma hipérbole, é simétrico em relação à origem.

Demonstração. 1. Sejam $0 < u < v$ . Então

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

pois $u - v < 0$ e $uv > 0$ : estritamente decrescente em $\intoo{0}{+\infty}$ . Em $\intoo{-\infty}{0}$ o mesmo quociente tem novamente $u - v < 0$ e $uv > 0$ (produto de dois negativos), de modo que $f$ também decresce ali.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ . ∎

Observação 4.7

Cuidado: $\frac1x$ não é decrescente em todo o seu domínio. De $u = -1$ até $v = 1$ o valor salta de $-1$ para $1$ . Os dois ramos devem ser estudados separadamente.

A parábola y = x2 (simétrica em relação ao eixo vertical) e a hipérbole y = 1x (dois ramos, simétricos em relação à origem). — A parábola $y = x^2$ (simétrica em relação ao eixo vertical) e a hipérbole $y = \frac1x$ (dois ramos, simétricos em relação à origem).

4.4 Raiz quadrada e cubo

Proposição 4.8 (Função raiz quadrada)

A função $f(x) = \sqrt{x}$ , definida em $\intco{0}{+\infty}$ , é estritamente crescente.

Demonstração. Sejam $0 \leq u < v$ . Multiplique e divida pelo conjugado:

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

pois $v - u > 0$ e $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (note que $v > 0$ , logo $\sqrt v > 0$ ). ∎

Proposição 4.9 (Função cubo)

A função $f(x) = x^3$ , definida em $\R$ , é estritamente crescente, e seu gráfico é simétrico em relação à origem.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

A raiz quadrada (definida só para x ≥ 0) e o cubo, ambas crescentes. — A raiz quadrada (definida só para $x \geq 0$ ) e o cubo, ambas crescentes.

Proposição 4.10 (Comparação entre $x$ , $x^2$ e $\sqrt x$ )

Para $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$ . Para $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$ . Em $x = 0$ e $x = 1$ os três valores coincidem.

Demonstração. Suponha $0 < x < 1$ . Multiplicar $x < 1$ por $x > 0$ dá $x^2 < x$ . Em seguida, $x < \sqrt x$ : como os dois lados são positivos e elevar ao quadrado é crescente nos positivos, essa desigualdade equivale a $x^2 < x$ , que acabamos de provar. Para $x > 1$ , multiplicar $x > 1$ por $x$ dá $x^2 > x$ , e $\sqrt x < x$ segue pelo mesmo argumento com quadrados. ∎

As três curvas se cruzam em (0,0) e (1,1) e trocam de ordem nesses pontos: entre 0 e 1, x2 é a menor e √ x a maior; depois de 1 a ordem se inverte. — As três curvas se cruzam em $(0,0)$ e $(1,1)$ e trocam de ordem nesses pontos: entre $0$ e $1$ , $x^2$ é a menor e $\sqrt x$ a maior; depois de $1$ a ordem se inverte.

Método 4.11 (Comparar imagens)

Para comparar $f(a)$ e $f(b)$ para uma função de referência $f$ :

coloque $a$ e $b$ em um intervalo onde a variação de $f$ seja conhecida;
se $f$ cresce ali, as imagens ficam na mesma ordem que as entradas; se $f$ decresce, a ordem se inverte;
se $a$ e $b$ não estiverem no mesmo intervalo de monotonicidade, trate primeiro os sinais (por exemplo, no quadrado: uma entrada negativa e uma positiva).

Exemplo 4.12

Compare $\dfrac{1}{2.3}$ e $\dfrac{1}{2.4}$ : as duas entradas estão em $\intoo{0}{+\infty}$ , onde a função inverso decresce, e $2.3 < 2.4$ , logo $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ . Compare $(-1.2)^2$ e $(-1.5)^2$ : em $\intoc{-\infty}{0}$ o quadrado decresce, e $-1.5 < -1.2$ , logo $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — de fato, $2.25 > 1.44$ .

4.5 Exercícios

Exercício 4.1 ★

Para cada função afim, dê o coeficiente angular, o coeficiente linear e diga se ela é crescente ou decrescente:

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

Solução

Solução de Exercício 4.1.

$f$ : coeficiente angular $3$ , coeficiente linear $-2$ , crescente. $g$ : coeficiente angular $-\frac12$ , coeficiente linear $4$ , decrescente. $h$ : coeficiente angular $0$ , coeficiente linear $7$ , constante. $k$ : coeficiente angular $-1$ , coeficiente linear $0$ , decrescente (e linear).

Exercício 4.2 ★

Encontre a função afim cujo gráfico passa por $(2, 1)$ e $(5, 10)$ ; e depois a que passa por $(-1, 4)$ e $(3, -4)$ .

Solução

Solução de Exercício 4.2.

Por $(2,1)$ e $(5,10)$ : coeficiente angular $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; então $1 = 3 \times 2 + p$ dá $p = -5$ : $f(x) = 3x - 5$ .

Por $(-1,4)$ e $(3,-4)$ : coeficiente angular $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; então $4 = -2 \times (-1) + p$ dá $p = 2$ : $f(x) = -2x + 2$ .

Exercício 4.3 ★

Sem calculadora, compare:

(3.1)^2 \text{ e } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ e } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ e } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ e } \sqrt{15}.

Solução

Solução de Exercício 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : o quadrado cresce nos positivos.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : o quadrado decresce nos negativos e $-2.8 < -2.7$ .

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : o inverso decresce nos positivos.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : a raiz quadrada cresce.

Exercício 4.4 ★

Usando o gráfico da função quadrado, resolva $x^2 = 16$ , depois $x^2 \leq 16$ e depois $x^2 > 9$ .

Solução

Solução de Exercício 4.4.

$x^2 = 16$ : duas soluções, $x = 4$ e $x = -4$ (a reta horizontal $y = 16$ corta a parábola duas vezes).

$x^2 \leq 16$ : a parábola está abaixo da reta entre os dois pontos de interseção: $x \in \intcc{-4}{4}$ .

$x^2 > 9$ : a parábola está estritamente acima de $y = 9$ fora de $\intcc{-3}{3}$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ .

Exercício 4.5 ★

Seja $x \in \intoo{0}{1}$ . Ordene os números $x$ , $x^2$ , $x^3$ e $\sqrt x$ do menor para o maior e confira sua resposta com $x = 0.25$ .

Solução

Solução de Exercício 4.5.

Para $0 < x < 1$ : multiplicar $x < 1$ repetidamente por $x$ dá $x^3 < x^2 < x$ , e a Proposição 4.10 dá $x < \sqrt x$ , logo

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

Verificação com $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$ , $x^2 = 0.0625$ , $x = 0.25$ , $\sqrt x = 0.5$ .

Exercício 4.6 ★★

Resolva graficamente e depois algebricamente: $\dfrac1x = 2$ e $\dfrac1x < 2$ para $x > 0$ . O que muda se também permitirmos $x < 0$ ?

Solução

Solução de Exercício 4.6.

$\frac1x = 2$ tem a única solução $x = \frac12$ (a hipérbole encontra a reta horizontal $y = 2$ uma só vez, no ramo positivo).

Para $x > 0$ : $\frac1x < 2$ . Multiplicando por $x > 0$ : $1 < 2x$ , logo $x > \frac12$ : conjunto solução $\intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Se $x < 0$ for permitido: todo $x$ negativo satisfaz $\frac1x < 0 < 2$ , de modo que o conjunto solução completo é $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ .

Exercício 4.7 ★★

Sabendo que a função quadrado decresce em $\intoc{-\infty}{0}$ e cresce em $\intco{0}{+\infty}$ , enquadre $x^2$ quando:

\text{(a) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.

(No caso (c), atenção: o mínimo de $x^2$ não está em um extremo.)

Solução

Solução de Exercício 4.7.

(a) Em $\intcc{2}{5}$ , todas as entradas são positivas e elevar ao quadrado é crescente: $4 \leq x^2 \leq 25$ .

(b) Em $\intcc{-3}{-1}$ , elevar ao quadrado é decrescente: o maior quadrado vem de $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$ .

(c) Em $\intcc{-2}{3}$ , o intervalo contém $0$ , onde o quadrado atinge seu mínimo $0$ ; o máximo é o maior entre $(-2)^2 = 4$ e $3^2 = 9$ . Portanto $0 \leq x^2 \leq 9$ .

Exercício 4.8 ★★

Uma empresa de táxi cobra uma taxa fixa de $4$ mais $1.5$ por quilômetro; outra não cobra taxa e cobra $2$ por quilômetro. Modele cada preço por uma função afim da distância $x$ , trace as duas retas e descubra a partir de que distância a primeira empresa sai mais barata.

Solução

Solução de Exercício 4.8.

Primeira empresa: $f(x) = 1.5x + 4$ ; segunda: $g(x) = 2x$ . A primeira é mais barata quando

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

Acima de $8$ km a primeira empresa é mais barata; em exatamente $8$ km as duas cobram $16$ .

Exercício 4.9 ★★

Mostre que, para todos $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . (Sugestão: os dois lados são não negativos, portanto compare seus quadrados.) Quando há igualdade?

Solução

Solução de Exercício 4.9.

Os dois lados são não negativos, logo a desigualdade equivale à desigualdade entre seus quadrados:

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{e}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

Como $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ , o segundo quadrado é pelo menos igual ao primeiro, o que prova $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . Há igualdade exatamente quando $\sqrt a \sqrt b = 0$ , isto é, quando $a = 0$ ou $b = 0$ .

Exercício 4.10 ★★★

Seja $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , definida para $x \neq 1$ .

Mostre que $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ para todo $x \neq 1$ .
Deduza a variação de $f$ em $\intoo{1}{+\infty}$ a partir da variação da função inverso.

Solução

Solução de Exercício 4.10.

1. Reduza o lado direito ao mesmo denominador:

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. Em $\intoo{1}{+\infty}$ , quando $x$ cresce, $x - 1$ cresce e permanece positivo, de modo que $\frac{3}{x-1}$ decresce (função inverso, multiplicada pela constante positiva $3$ ); logo $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ decresce: $f$ é estritamente decrescente em $\intoo{1}{+\infty}$ .

4.6 Problema: As leis da natureza falam em funções de referência

Problema 4.1

Problema de fim de semana — distâncias de frenagem crescem como $v^2$ , alavancas obedecem a $1/d$ , planetas seguem $a^{3/2}$ : ler a física com as funções de referência

Abra um livro de física e os mesmos poucos gráficos reaparecem em cada página: a parábola, a hipérbole, a curva da raiz. A natureza escreve suas leis com as funções de referência deste capítulo — e conhecer suas formas (Proposição 4.4, Proposição 4.6, Proposição 4.8, Proposição 4.9) basta para frear um carro, equilibrar uma alavanca e cronometrar os planetas. O grande final é a terceira lei de Kepler, lida diretamente nos dados do sistema solar.

Parte I — A lei quadrática da frenagem. Uma regra prática para a distância de frenagem de um carro em pista seca: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ metros, à velocidade $v$ km/h.

Calcule as distâncias de frenagem a $30$ , $50$ , $90$ e $130$ km/h.
Dobrar a velocidade multiplica a distância de frenagem por quanto? Explique a partir da escala da função quadrado e confira em $50 \to 100$ km/h.
Perícia: as marcas de derrapagem medem $50$ m. De que velocidade a fórmula acusa o motorista (até o km/h)? Qual função de referência respondeu — e em que domínio a leitura é inequívoca (Proposição 4.8)?
Compare a distância extra causada por um km/h a mais, em baixa e em alta velocidade: calcule $d(31) - d(30)$ e $d(91) - d(90)$ . Que propriedade da parábola (Proposição 4.4) as duas respostas ilustram?
A parada real acrescenta o tempo de reação — cerca de um segundo, durante o qual o carro percorre $0.28v$ metros: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . Calcule $D(50)$ e $D(130)$ . Qual dos dois termos — o afim ou o quadrático — domina na velocidade urbana, e qual domina na rodovia?

Parte II — As hipérboles do dia a dia.

Uma alavanca se equilibra quando força $\times$ distância é a mesma dos dois lados. Uma criança de $60$ kg senta a $2$ m do apoio; a força equilibrante à distância $d$ do outro lado é $F(d) = \frac{120}{d}$ (em equivalentes de quilograma). Calcule $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
O que a variação da função inverso (Proposição 4.6) diz sobre as alavancas — e por que a bravata de Arquimedes (“dai-me um ponto de apoio e moverei a Terra”) esconde-se na cauda da hipérbole? O que proíbe $d = 0$ ?
O som e a luz enfraquecem com o quadrado da distância: a $1$ m de uma lâmpada a intensidade é $100$ unidades; dê-a a $2$ , $3$ e $10$ m. Explique o expoente $2$ com uma esfera: sobre que área a luz se espalhou à distância $d$ (o problema sobre a lápide de Arquimedes, no volume do ensino fundamental)?
Um ônibus para a excursão escolar custa $600$ euros, divididos igualmente entre $n$ participantes. Faça uma tabela do custo por pessoa para $n = 10, 20, 30$ , descubra quantos participantes o reduzem a $25$ euros ou menos e diga o que a forma da hipérbole promete — e recusa — à medida que $n$ cresce.
Produzir $x$ cartazes custa $2x + 3$ euros ( $3$ euros de preparação). Mostre que o custo médio por cartaz é $a(x) = 2 + \frac3x$ , descreva sua variação e interprete economicamente sua assíntota horizontal. (Compare com a álgebra do Exercício 4.10.)

Parte III — A harmonia de Kepler. Para cada planeta, seja $a$ sua distância média ao Sol (em unidades astronômicas, Terra $= 1$ ) e $T$ seu período (em anos). Dados: Marte $a = 1.52$ , $T = 1.88$ ; Júpiter $a = 5.20$ , $T = 11.86$ ; Saturno $a = 9.54$ , $T = 29.4$ .

Calcule $a^3$ e $T^2$ para a Terra, Marte e Júpiter. O que Kepler notou em 1618?
Enuncie a lei como função: $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . Teste-a em Saturno.
Duas previsões: um asteroide orbita a $a = 4$ UA — encontre seu período (os números saem inteiros); um cometa retorna a cada $27$ anos — encontre sua distância média (procure um cubo perfeito).
Que três funções de referência a lei entrelaça? E sua regra de escala: quando $a$ é multiplicado por $4$ , o que acontece com $T$ ? (Confira com o asteroide, comparado à Terra.)
Kepler leu essa lei nos dados de Tycho Brahe setenta anos antes de a gravitação de Newton explicá-la. Em uma frase: o que esse episódio diz sobre o poder de reconhecer uma função de referência em uma tabela de números?

Parte IV — A tartaruga e a lebre.

Ordene $\sqrt x$ , $x$ e $x^2$ em $\intoo{0}{1}$ e em $\intoo{1}{+\infty}$ (Proposição 4.10) e verifique as duas ordens em $x = 0.25$ e $x = 4$ .
Resolva $\sqrt x > x$ por completo (para $x \geq 0$ , eleve ao quadrado com cuidado e conclua com um quadro de sinais).
Traga o cubo: ordene $x$ , $x^2$ , $x^3$ em $x = 0.5$ e em $x = 2$ , e encontre todos os pontos onde as funções quadrado e cubo se cruzam.
Dois planos de poupança pagam, após $t$ anos, $100\sqrt t$ euros (plano A) ou $10 t^2$ euros (plano B). Mostre que B ultrapassa A quando $t^3 = 100$ e dê o instante da ultrapassagem com precisão de meses. Moral sobre raízes contra potências no longo prazo?
Final: para cada lei deste problema — frenagem ( $v^2$ ), alavanca ( $1/d$ ), lâmpada ( $1/d^2$ ), Kepler ( $a^{3/2}$ ), plano A ( $\sqrt t$ ) — diga em uma oração qual traço do seu gráfico de referência carrega o significado físico (subida cada vez mais íngreme, assíntota vertical, esfera que se espalha, expoente de escala, crescimento que se achata). Conclusão: as funções de referência são o alfabeto; a natureza escreve com elas.

Solução

Solução de Problema 4.1.

1. $d(30) = 3^2 = 9$ m; $d(50) = 25$ m; $d(90) = 81$ m; $d(130) = 169$ m.

2. Dobrar $v$ dobra $\frac v{10}$ e multiplica seu quadrado por $4$ : $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$ . O dobro da velocidade, o quádruplo da distância — a escala da função quadrado.

3. $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ dá $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$ , logo $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/h. Quem respondeu foi a raiz quadrada; a leitura é inequívoca porque as velocidades são positivas e, em $\intco{0}{+\infty}$ , a função quadrado sobe estritamente (Proposição 4.8: uma única pré-imagem positiva).

4. $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, enquanto $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m: o mesmo $+1$ km/h custa três vezes mais distância em alta velocidade. A parábola não só sobe, ela fica cada vez mais íngreme — sua taxa de subida cresce com $x$ .

5. $D(50) = 14 + 25 = 39$ m; $D(130) = 36.4 + 169 = 205.4$ m. Na cidade, o termo afim (de reação) é a parcela maior; na rodovia, o termo quadrático o esmaga — o afim cresce de modo regular, os quadrados disparam.

6. $F(0.5) = 240$ , $F(1) = 120$ , $F(3) = 40$ .

7. A função inverso decresce: quanto mais longe do apoio, menor a força necessária — com um braço de alavanca suficientemente longo ( $d$ enorme), qualquer força, por menor que seja, equilibra qualquer carga: a bravata de Arquimedes mora na cauda da hipérbole, que se aproxima de $0$ sem nunca alcançá-lo. E $d = 0$ é o valor proibido: sem braço, não há alavanca — a assíntota vertical.

8. $\frac{100}{4} = 25$ a $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ a $3$ m, $1$ a $10$ m. À distância $d$ a luz se espalhou por uma esfera de área $4\pi d^2$ (o problema sobre a lápide de Arquimedes, no volume do ensino fundamental): a mesma energia dividida por uma área que cresce como $d^2$ — daí o inverso do quadrado.

9. $60$ , $30$ , $20$ euros por pessoa para $n = 10, 20, 30$ . Para $\frac{600}{n} \leq 25$ : $n \geq 24$ participantes. A hipérbole promete parcelas cada vez mais baratas à medida que $n$ cresce — e recusa-se a chegar a $0$ : o ônibus nunca é de graça.

10. $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$ : decrescente em $\intoo{0}{+\infty}$ (função inverso deslocada), aproximando-se da assíntota $y = 2$ . Economicamente: diluir os $3$ euros fixos por mais cartazes empurra o custo unitário para baixo, rumo aos $2$ euros incompressíveis de material — economia de escala, com um piso rígido.

11. Terra: $a^3 = 1$ , $T^2 = 1$ . Marte: $1.52^3 \approx 3.51$ e $1.88^2 \approx 3.53$ . Júpiter: $5.20^3 \approx 140.6$ e $11.86^2 \approx 140.7$ . O que Kepler notou: $T^2 = a^3$ para todo planeta — uma única lei para todo o céu.

12. $T = \sqrt{a^3}$ : para Saturno, $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ anos, contra os $29.4$ observados: a lei acerta na casa dos décimos.

13. Asteroide: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ anos. Cometa: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$ , logo $a = 9$ UA.

14. Quadrado ( $T^2$ ), cubo ( $a^3$ ) e raiz quadrada (para extrair $T$ ). Escala: multiplicar $a$ por $4$ multiplica $T$ por $4\sqrt4 = 8$ — como o asteroide confirma (distância quatro vezes a da Terra, período oito vezes).

15. Uma tabela de números, confrontada com as formas de algumas poucas funções de referência, entregou uma lei do universo setenta anos antes de alguém saber por que ela valia — reconhecer a função é metade da ciência.

16. Em $\intoo{0}{1}$ : $x^2 < x < \sqrt x$ ; em $\intoo{1}{+\infty}$ : $\sqrt x < x < x^2$ . Verificações: em $x = 0.25$ , $0.0625 < 0.25 < 0.5$ ; em $x = 4$ , $2 < 4 < 16$ .

17. Para $x \geq 0$ os dois lados são $\geq 0$ , logo $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff x \in \intoo{0}{1}$ .

18. Em $x = 0.5$ : $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$ . Em $x = 2$ : $2 < 4 < 8$ : a ordem se inverte. Cruzamentos de $x^2$ e $x^3$ : $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$ : em $x = 0$ e $x = 1$ .

19. $10t^2 = 100\sqrt t$ dá $t^2 = 10\sqrt t$ ; elevando ao quadrado, $t^4 = 100t$ , logo $t^3 = 100$ e $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ anos — cerca de $4$ anos e $8$ meses. (Os dois planos pagam então uns $215$ euros.) Moral: as raízes disparam no início, as potências vencem toda maratona.

20. Frenagem: a parábola ficando mais íngreme é o perigo da velocidade. Alavanca: a assíntota vertical em $0$ e a cauda longa são a vantagem do mecânico. Lâmpada: o $d^2$ da esfera que se espalha determina o enfraquecimento. Kepler: o expoente $\frac32$ é o compasso do sistema solar. Plano A: o achatamento da raiz é o destino de quem poupa devagar. Cinco gráficos, cinco leis: o alfabeto da natureza, de fato.