Matemática do ensino médio · Grades 10–12

10Funções e equações do segundo grau

As funções quadráticas são as mais simples depois das lineares, e as primeiras cujos gráficos são de fato curvos. Este capítulo desenvolve a caixa de ferramentas completa para elas: a forma canônica, o discriminante, o sinal de uma expressão do segundo grau e a geometria da parábola.

10.1 A forma canônica

Definição 10.1 (Função quadrática)

Uma função quadrática é uma função da forma

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

onde $a$ , $b$ , $c$ são números reais. A expressão $ax^2 + bx + c$ também é chamada de trinômio do segundo grau.

Teorema 10.2 (Forma canônica)

Toda função quadrática pode ser escrita de exatamente uma maneira como

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{onde } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ e } \beta = f(\alpha).

Essa é a forma canônica de $f$ .

Demonstração. Vamos completar o quadrado. Como $a \neq 0$ , coloque-o em evidência nos dois primeiros termos:

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

Ora, $x^2 + \frac{b}{a}x$ é o começo do quadrado $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ , de modo que $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . Substituindo:

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

com $\alpha = -\frac{b}{2a}$ e $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ . Calcular em $x = \alpha$ anula o termo ao quadrado, logo $\beta = f(\alpha)$ . Unicidade: expandir $a(x-\alpha)^2 + \beta$ e identificar os coeficientes de $x$ obriga $\alpha = -\frac{b}{2a}$ , e então $\beta$ fica determinado. ∎

Exemplo 10.3

Seja $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . Então $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ e $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ , logo

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

Confira expandindo: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ .

Proposição 10.4 (Extremo e variação)

Seja $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ .

Se $a > 0$ , então $f$ é decrescente em $\intoc{-\infty}{\alpha}$ e crescente em $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ tem um mínimo $\beta$ , atingido em $x = \alpha$ .
Se $a < 0$ , a variação se inverte: $f$ tem um máximo $\beta$ em $x = \alpha$ .

Demonstração. Suponha $a > 0$ e sejam $\alpha \leq u < v$ . Então

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

Cada fator é positivo: $a > 0$ , $v - u > 0$ e $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ , pois $v > \alpha$ e $u \geq \alpha$ . Logo $f(v) > f(u)$ : $f$ é crescente em $\intco{\alpha}{+\infty}$ . Para $u < v \leq \alpha$ o último fator é negativo, de modo que $f(v) < f(u)$ : $f$ é decrescente ali. Por fim, $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ para todo $x$ , logo $\beta = f(\alpha)$ é o mínimo. O caso $a < 0$ segue aplicando o que precede a $-f$ . ∎

Exemplo 10.5

Um fazendeiro tem $100$ metros de cerca para delimitar um terreno retangular encostado em um muro reto (não é preciso cercar ao longo do muro). Se $x$ é a largura, a área cercada é $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ . Aqui $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ e $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ : a área é máxima para uma largura de $25$ m, dando $1250$ m $^2$ .

10.2 Raízes e fatoração

Definição 10.6 (Raiz, discriminante)

Uma raiz do trinômio $ax^2+bx+c$ é uma solução da equação $ax^2 + bx + c = 0$ . O discriminante do trinômio é o número

\Delta = b^2 - 4ac .

Teorema 10.7 (Resolução de $ax^2+bx+c=0$ )

Se $\Delta > 0$ , a equação tem duas raízes distintas

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

e $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Se $\Delta = 0$ , a equação tem a única raiz $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , e $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
Se $\Delta < 0$ , a equação não tem solução real, e o trinômio não pode ser fatorado com coeficientes reais.

Demonstração. Parta da forma canônica obtida no Teorema 10.2:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

pois $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ .

1. Se $\Delta > 0$ , então $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ e o colchete é uma diferença de dois quadrados:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

Um produto é nulo exatamente quando um de seus fatores é nulo, o que dá as duas raízes, distintas porque $\sqrt\Delta \neq 0$ .

2. Se $\Delta = 0$ , o colchete é $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ , que se anula apenas em $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .

3. Se $\Delta < 0$ , então $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ , de modo que o colchete é um quadrado somado a um número positivo: ele nunca se anula, e a equação não tem solução real. Uma fatoração $a(x-x_1)(x-x_2)$ produziria raízes, logo não existe nenhuma. ∎

Exemplo 10.8

Resolva $2x^2 - 8x + 3 = 0$ . Aqui $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ , de modo que há duas raízes:

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

Para $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , nenhuma solução real.

Proposição 10.9 (Soma e produto das raízes)

Se $\Delta \geq 0$ e $x_1, x_2$ são as raízes (iguais quando $\Delta = 0$ ), então

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

Reciprocamente, dois números de soma $s$ e produto $p$ são as soluções de $x^2 - sx + p = 0$ .

Demonstração. Expanda a fatoração do Teorema 10.7:

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

Identificar os coeficientes com $ax^2 + bx + c$ dá $-a(x_1+x_2) = b$ e $a\,x_1x_2 = c$ . Para a recíproca, se $u + v = s$ e $uv = p$ , então $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ , de modo que $u$ e $v$ são suas raízes. ∎

Exemplo 10.10

Encontre dois números de soma $10$ e produto $21$ . Eles resolvem $x^2 - 10x + 21 = 0$ ; $\Delta = 100 - 84 = 16$ , raízes $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ e $3$ . Raiz à vista: como os coeficientes de $x^2 - 5x + 4$ satisfazem $1 - 5 + 4 = 0$ , o número $1$ é raiz, e a outra é $\frac{c}{a} = 4$ (o produto delas tem de ser $\frac ca$ ).

10.3 Sinal de um trinômio

Teorema 10.11 (Sinal de um trinômio)

Seja $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a \neq 0$ .

Se $\Delta > 0$ , com raízes $x_1 < x_2$ : $f(x)$ tem o sinal de $a$ fora de $\intcc{x_1}{x_2}$ e o sinal de $-a$ em $\intoo{x_1}{x_2}$ .
Se $\Delta = 0$ : $f(x)$ tem o sinal de $a$ para todo $x \neq x_0$ , e anula-se em $x_0$ .
Se $\Delta < 0$ : $f(x)$ tem o sinal de $a$ para todo $x$ .

Em resumo: um trinômio tem o sinal de $a$ , exceto entre suas raízes.

Demonstração. 1. Escreva $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ e acompanhe os sinais dos fatores. Se $x < x_1$ : tanto $x - x_1$ quanto $x - x_2$ são negativos, seu produto é positivo, logo $f(x)$ tem o sinal de $a$ . Se $x_1 < x < x_2$ : os fatores têm sinais contrários, o produto é negativo e $f(x)$ tem o sinal de $-a$ . Se $x > x_2$ : os dois fatores são positivos e $f(x)$ tem novamente o sinal de $a$ .

2. $f(x) = a(x - x_0)^2$ e $(x-x_0)^2 > 0$ para $x \neq x_0$ .

3. Pela demonstração do Teorema 10.7, $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ , e o colchete é sempre positivo. ∎

Método 10.12 (Resolver inequações do segundo grau)

Para resolver $ax^2 + bx + c \leq 0$ (ou $\geq$ , $<$ , $>$ ):

calcule $\Delta$ e as raízes, se houver;
monte o quadro de sinais usando o Teorema 10.11 (sinal de $a$ fora das raízes);
leia o intervalo (ou os intervalos) solução, atento a se as próprias raízes estão incluídas (desigualdade ampla) ou não (estrita).

Exemplo 10.13

Resolva $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ . Aqui $\Delta = 9 + 16 = 25$ , e as raízes são $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ , isto é, $x_1 = -1$ e $x_2 = 4$ . Como $a = -1 < 0$ , o trinômio é negativo fora das raízes e positivo entre elas. Com a desigualdade ampla, o conjunto solução é $\intcc{-1}{4}$ .

10.4 A parábola

Definição 10.14 (Parábola)

O gráfico de uma função quadrática $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ é uma parábola de vértice $S(\alpha, \beta)$ . Ela tem a concavidade voltada para cima se $a > 0$ e para baixo se $a < 0$ , e é simétrica em relação à reta vertical $x = \alpha$ .

Observação 10.15

A simetria é fácil de verificar: para qualquer $h$ , $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ , de modo que dois pontos a igual distância horizontal da reta $x = \alpha$ têm a mesma altura.

As três posições de uma parábola com concavidade para cima (a > 0) em relação ao eixo x: duas raízes, uma raiz dupla, nenhuma raiz. O vértice S tem abscissa = -b/2a. — As três posições de uma parábola com concavidade para cima ( $a > 0$ ) em relação ao eixo $x$ : duas raízes, uma raiz dupla, nenhuma raiz. O vértice $S$ tem abscissa $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Sinal de um trinômio com concavidade para baixo (a < 0) e duas raízes: o sinal de -a entre as raízes (região sombreada), o sinal de a fora delas. — Sinal de um trinômio com concavidade para baixo ( $a < 0$ ) e duas raízes: o sinal de $-a$ entre as raízes (região sombreada), o sinal de $a$ fora delas.

Método 10.16 (Ler uma parábola)

Para esboçar $f(x) = ax^2+bx+c$ : determine a concavidade (sinal de $a$ ), o vértice $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ , a interseção $(0, c)$ com o eixo $y$ e as raízes, se houver. O eixo de simetria $x = -\frac{b}{2a}$ coloca então cada ponto calculado duas vezes.

Exemplo 10.17

Para $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : concavidade para cima, vértice $(2, -1)$ , corta o eixo $y$ em $(0,3)$ , raízes $1$ e $3$ (vistas de imediato: $1 - 4 + 3 = 0$ ). Por simetria, o ponto $(4, 3)$ também está na curva, espelhando $(0, 3)$ .

10.5 Exercícios

Exercício 10.1 ★

Resolva as equações

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

Solução

Solução de Exercício 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , raízes $\frac{5 \pm 1}{2}$ , isto é, $2$ e $3$ .

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ , raízes $\frac{-3 \pm 5}{4}$ , isto é, $\frac12$ e $-2$ .

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , nenhuma solução real.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ , uma raiz (dupla) $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ .

Exercício 10.2 ★

Escreva na forma canônica e dê o vértice da parábola:

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

Solução

Solução de Exercício 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : vértice $(3, 2)$ .

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : vértice $(1, 3)$ .

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : vértice $(-1, -3)$ .

Exercício 10.3 ★

Resolva as inequações

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

Solução

Solução de Exercício 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ , raízes $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ e $5$ ; coeficiente dominante positivo, de modo que o trinômio é negativo estritamente entre as raízes: o conjunto solução é $\intoo{-2}{5}$ .

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ e $a = 2 > 0$ : sempre positivo, e o conjunto solução é $\R$ .

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : é $\geq 0$ apenas onde $(x-3)^2 \leq 0$ , isto é, em $x = 3$ . O conjunto solução é $\{3\}$ .

Exercício 10.4 ★

Sem calcular $\Delta$ , encontre uma raiz evidente e depois a outra:

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(Sugestão: teste $x = 1$ e $x = -1$ e use em seguida o produto das raízes.)

Solução

Solução de Exercício 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , logo $1$ é raiz; o produto das raízes é $6$ , logo a outra raiz é $6$ .

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$ , logo $1$ é raiz; o produto é $\frac{c}{a} = -\frac72$ , logo a outra raiz é $-\frac72$ .

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$ , logo $1$ é raiz; o produto é $-5$ , logo a outra raiz é $-5$ .

Exercício 10.5 ★★

Encontre dois números cuja soma seja $14$ e cujo produto seja $45$ . Encontre em seguida as dimensões de um retângulo de perímetro $34$ e área $60$ .

Solução

Solução de Exercício 10.5.

Os dois números resolvem $x^2 - 14x + 45 = 0$ (Proposição 10.9); $\Delta = 196 - 180 = 16$ , raízes $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ e $5$ .

Para o retângulo: metade do perímetro dá comprimento $+$ largura $= 17$ , e a área dá o produto deles, $60$ . Eles resolvem $x^2 - 17x + 60 = 0$ ; $\Delta = 289 - 240 = 49$ , raízes $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ e $5$ . O retângulo é $12 \times 5$ .

Exercício 10.6 ★★

Seja $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ , onde $m$ é um parâmetro real. Para quais valores de $m$ a equação $f(x) = 0$ tem exatamente uma solução? Nenhuma solução?

Solução

Solução de Exercício 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ . Exatamente uma solução quando $\Delta = 0$ : $(m-2)^2 = 4$ , logo $m - 2 = \pm 2$ , isto é, $m = 0$ ou $m = 4$ . Nenhuma solução quando $\Delta < 0$ : $(m-2)^2 < 4$ , isto é, $-2 < m - 2 < 2$ , ou seja, $0 < m < 4$ .

Exercício 10.7 ★★

Uma bola é lançada para cima; sua altura após $t$ segundos é $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (em metros). Qual é a altura máxima atingida, e em que instante? Durante qual intervalo de tempo a bola fica a pelo menos $16$ m de altura?

Solução

Solução de Exercício 10.7.

O vértice está em $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ , e $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : altura máxima $21$ m, atingida após $2$ segundos.

$h(t) \geq 16$ significa $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ , isto é (dividindo por $-5$ , o que inverte a desigualdade), $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ . As raízes de $t^2-4t+3$ são $1$ e $3$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ , produto $3$ ), de modo que $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ exatamente em $\intcc{1}{3}$ : a bola fica a pelo menos $16$ m de altura entre os instantes $t = 1$ s e $t = 3$ s.

Exercício 10.8 ★★

Resolva a equação $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ fazendo $X = x^2$ (uma equação biquadrada).

Solução

Solução de Exercício 10.8.

Com $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$ , $\Delta = 169 - 144 = 25$ , logo $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ ou $4$ . De volta a $x$ : $x^2 = 9$ dá $x = \pm 3$ , e $x^2 = 4$ dá $x = \pm 2$ . O conjunto solução é $\{-3, -2, 2, 3\}$ .

Exercício 10.9 ★★

Para quais valores de $x$ o ponto $M(x, x^2)$ da parábola $y = x^2$ está estritamente abaixo da reta $y = x + 2$ ? Interprete em um esboço.

Solução

Solução de Exercício 10.9.

A condição é $x^2 < x + 2$ , isto é, $x^2 - x - 2 < 0$ . Como $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (raízes $-1$ e $2$ ), a desigualdade vale estritamente entre as raízes: $x \in \intoo{-1}{2}$ . Num esboço, a parábola $y = x^2$ mergulha abaixo da reta $y = x+2$ exatamente entre seus dois pontos de interseção $(-1, 1)$ e $(2, 4)$ .

Exercício 10.10 ★★

A soma de um número positivo com o seu inverso é $\frac{13}{6}$ . Encontre o número. (Reduza a uma equação do segundo grau.)

Solução

Solução de Exercício 10.10.

Seja $x > 0$ satisfazendo $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ . Multiplicando por $6x > 0$ : $6x^2 + 6 = 13x$ , isto é, $6x^2 - 13x + 6 = 0$ . Então $\Delta = 169 - 144 = 25$ e $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ , o que dá $x = \frac32$ ou $x = \frac23$ . Os dois são positivos e inversos um do outro, como se esperava: o número é $\frac32$ (ou $\frac23$ ).

Exercício 10.11 ★★★

Seja $\mathcal P$ a parábola $y = x^2$ e seja $d_m$ a reta $y = mx - 1$ , onde $m$ é um parâmetro real.

Para quais valores de $m$ as curvas $\mathcal P$ e $d_m$ se intersectam em dois pontos? Em um ponto? Em nenhum ponto?
Quando se tocam em exatamente um ponto, calcule o ponto de contato. (No Capítulo 12 você reconhecerá $d_m$ como a tangente a $\mathcal P$ nesse ponto.)

Solução

Solução de Exercício 10.11.

1. As interseções correspondem às soluções de $x^2 = mx - 1$ , isto é, $x^2 - mx + 1 = 0$ , cujo discriminante é $\Delta = m^2 - 4$ . Dois pontos quando $\abs{m} > 2$ ; exatamente um quando $m = \pm 2$ ; nenhum quando $-2 < m < 2$ .

2. Para $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ , de modo que o único ponto de contato é $(1, 1)$ . Para $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$ , ponto de contato $(-1, 1)$ . Nos dois casos a reta encontra a parábola em um único ponto sem atravessá-la — é a tangente ali, e de fato seu coeficiente angular $m = \pm 2$ é igual ao valor em $x = \pm 1$ da derivada $2x$ de $x^2$ (Capítulo 12).

10.6 Problema: O ponto secreto da parábola

Problema 10.1

Problema de fim de semana — foco e diretriz: por que antenas parabólicas, faróis e pontes pênseis desenham todos a mesma curva, da qual existe essencialmente só uma

Toda antena parabólica de toda varanda aponta seu receptor para um ponto interior preciso; todo farol esconde sua lâmpada no mesmo lugar especial. Esse ponto — o foco — é um segredo que a parábola guarda desde a geometria grega, e a fórmula da distância basta para extraí-lo. Pelo caminho, este problema treina o discriminante, lança projéteis por cima de muros, suspende uma ponte e demonstra um fato final espantoso: a menos de ampliação, só existe uma parábola no mundo.

Parte I — Fluência com trinômios.

Resolva $x^2 - 5x + 6 = 0$ , depois $2x^2 + x - 6 = 0$ , e depois $x^2 + x + 1 = 0$ (Teorema 10.7).
Escreva $2x^2 - 4x - 6$ na forma fatorada e na forma canônica (Teorema 10.2). Junto com a forma expandida, você tem agora três trajes de uma mesma função: diga qual característica cada um exibe à primeira vista (raízes, vértice, interseção com o eixo $y$ ).
Resolva $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ com a regra dos sinais (Teorema 10.11).
Viète como detetive (Proposição 10.9, continuando a Babilônia do Problema 2.1): encontre dois números de soma $7$ e produto $12$ escrevendo a equação deles. Depois: uma raiz de $x^2 - 5x + c = 0$ vale $2$ ; encontre $c$ e a outra raiz sem resolver nada.
Para quais valores de $m$ a equação $x^2 + mx + 9 = 0$ tem raiz dupla? Nenhuma raiz? Duas raízes?

Parte II — O foco revelado. Trabalhe com a parábola $y = x^2$ , o ponto $F\left(0, \frac14\right)$ e a reta horizontal $\delta$ de equação $y = -\frac14$ .

Para um ponto $P(x, x^2)$ da parábola, expanda $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ e mostre que ele é o quadrado perfeito $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Deduza $PF$ .
Calcule a distância de $P$ à reta $\delta$ e conclua: todo ponto da parábola está exatamente tão longe de $F$ quanto de $\delta$ . ( $F$ é o foco, e $\delta$ a diretriz.)
Demonstre a recíproca: um ponto $P(x, y)$ com $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ tem necessariamente $y = x^2$ . (Eleve as duas distâncias ao quadrado e simplifique.) A parábola é, assim, um lugar geométrico, exatamente como o círculo foi no Problema 5.1: equidistância de um ponto e de uma reta, em vez de distância a um único ponto.
Para a parábola mais aberta $y = \frac{x^2}{4f}$ (com $f > 0$ ), adapte a questão 6 para mostrar que o foco é $(0, f)$ e a diretriz é $y = -f$ . Aplicação: uma antena parabólica tem $60$ cm de largura e $9$ cm de profundidade — sua borda passa por $(30, 9)$ . Encontre $f$ : a que altura acima do vértice o receptor deve ser colocado?
A razão pela qual as antenas funcionam: os raios que chegam paralelos ao eixo refletem todos pelo foco (e uma lâmpada no foco lança um feixe paralelo — faróis são antenas ao contrário). Explique por que a equidistância da questão 7 torna isso plausível (pense nos raios como frentes de onda que avançam) e diga qual ferramenta, a chegar no Capítulo 12 (veja o Exercício 10.11), transforma plausibilidade em demonstração.

Parte III — Parábolas em serviço.

Uma bola segue a trajetória $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ e $y$ em metros). Encontre onde ela cai, a posição horizontal do seu ponto mais alto e a altura máxima (Proposição 10.4).
Na mesma trajetória, há um muro em $x = 4$ . Calcule a altura da bola ali: ela passa por cima de um muro de $3$ m? E de um muro de $4$ m?
Um arco parabólico vence $40$ m de vão com altura máxima de $10$ m: em coordenadas centradas, $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . Um caminhão de $7$ m de altura pode passar a $10$ m do centro? E a $15$ m?
A receita de um teatro com ingresso a $p$ euros é $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (a demanda cai quando o preço sobe). Encontre o preço que maximiza a receita e o valor máximo.
Os cabos principais da ponte Golden Gate são parabólicos com excelente precisão (uma carga uniforme no tabuleiro produz uma parábola — uma corrente pendurada livremente não: sua curva, a catenária, precisa da exponencial do ano 12). Com vão de $1\,280$ m e flecha de $143$ m, o cabo segue $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ a partir do centro. A que altura acima do seu ponto mais baixo está o cabo em $x = 320$ m?

Parte IV — Retas, tangentes e a última surpresa.

Complete o Exercício 10.11: as retas $y = mx - 1$ que passam pelo ponto exterior $(0, -1)$ encontram $y = x^2$ conforme o sinal de um discriminante. Encontre as duas retas tangentes tiradas de $(0, -1)$ e seus pontos de contato.
Agora as retas $y = mx + 1$ que passam pelo ponto interior $(0, 1)$ : calcule o discriminante da equação de interseção e mostre que toda reta desse tipo corta a parábola duas vezes. Moral: de dentro, não há tangentes — exatamente como num círculo.
A corda focal: intersecte $y = x^2$ com a reta horizontal que passa pelo foco, $y = \frac14$ . Qual é o comprimento da corda? Verifique a regra geral (que vale a pena guardar para antenas): para $y = \frac{x^2}{4f}$ , a corda que passa pelo foco e é paralela à diretriz tem comprimento $4f$ .
A última surpresa: aplique a ampliação $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ à parábola $y = x^2$ e mostre que a imagem é exatamente $y = \frac{x^2}{k}$ . Conclua: toda parábola $y = \frac{x^2}{4f}$ é uma ampliação da parábola unitária — ao contrário de círculos e elipses de proporções diferentes, todas as parábolas são semelhantes.
Final: o retrato da parábola em cinco linhas — uma equação com três trajes (questão 2), um lugar geométrico (questões 7–8), o refletor do engenheiro (questões 9 e 10), a trajetória de um projétil e o cabo de uma ponte (questões 11–15) e uma única curva a menos de ampliação (questão 19). Uma frase para cada.

Solução

Solução de Problema 10.1.

1. $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 1$ , raízes $2$ e $3$ . $2x^2 + x - 6$ : $\Delta = 1 + 48 = 49$ , raízes $\frac{-1 \pm 7}{4}$ : $\frac32$ e $-2$ . $x^2 + x + 1$ : $\Delta = -3 < 0$ : nenhuma solução real.

2. $\Delta = 16 + 48 = 64$ : raízes $3$ e $-1$ , logo $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$ ; forma canônica $2(x - 1)^2 - 8$ . A forma fatorada mostra as raízes, a forma canônica o vértice $(1, -8)$ e a forma expandida a interseção $-6$ com o eixo $y$ .

3. Raízes $1$ e $3$ , coeficiente dominante negativo: o trinômio é $\geq 0$ entre as raízes: $x \in \intcc{1}{3}$ .

4. Os números são as raízes de $x^2 - 7x + 12 = 0$ : $3$ e $4$ . Se $2$ é raiz de $x^2 - 5x + c$ , a outra raiz $r$ satisfaz $2 + r = 5$ (soma), logo $r = 3$ , e $c = 2 \times 3 = 6$ (produto): Viète lê tudo de imediato.

5. $\Delta = m^2 - 36$ : raiz dupla para $m = \pm 6$ (raiz $\mp 3$ ); nenhuma raiz para $-6 < m < 6$ ; duas raízes para $\abs m > 6$ .

6. $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = \left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Portanto $PF = x^2 + \frac14$ (os dois fatores são positivos).

7. A distância de $P(x, x^2)$ à reta horizontal $y = -\frac14$ é $x^2 + \frac14$ — exatamente $PF$ . Todo ponto da parábola é equidistante do foco e da diretriz.

8. $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ e $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$ . A igualdade dá $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$ , logo $x^2 = y$ : o lugar geométrico é exatamente a parábola. Um ponto e uma reta geram a curva, como um ponto e uma distância geraram o círculo.

9. Para $y = \frac{x^2}{4f}$ , a mesma expansão com $F(0, f)$ dá $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2 = \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$ : a distância a $F$ é igual à distância a $y = -f$ . Antena: $9 = \frac{30^2}{4f}$ dá $4f = 100$ , $f = 25$ cm: o receptor fica um quarto de metro acima do vértice — fora da concha de $9$ cm, como se vê nas antenas reais.

10. Uma frente de onda que chega paralela ao eixo percorreu distâncias iguais até atingir o nível da diretriz; a equidistância converte “mesma distância à diretriz” em “mesma distância a $F$ ”: todos os sinais refletidos chegam a $F$ em fase, reforçando-se — é ali que se deve escutar. A demonstração honesta precisa do coeficiente angular da tangente em cada ponto — a derivada do Capítulo 12, entrevista no Exercício 10.11.

11. $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$ : cai em $x = 20$ m. Vértice na metade: $x = 10$ , altura $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

12. $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: passa sobre um muro de $3$ m com folga e bate num muro de $4$ m.

13. $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$ : o caminhão passa a $10$ m do centro. $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ m: não passa a $15$ m.

14. $R(p) = -2p^2 + 120p$ : vértice em $p = \frac{120}{4} = 30$ euros, receita $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euros.

15. $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2 = \frac{143}{4} \approx 36$ m acima do ponto mais baixo.

16. $x^2 = mx - 1$ dá $x^2 - mx + 1 = 0$ , $\Delta = m^2 - 4$ : dois pontos para $\abs m > 2$ , nenhum para $\abs m < 2$ , tangência para $m = \pm 2$ com contato em $x = \frac m2 = \pm 1$ : tangentes $y = 2x - 1$ em $(1, 1)$ e $y = -2x - 1$ em $(-1, 1)$ .

17. $x^2 = mx + 1$ dá $\Delta = m^2 + 4 > 0$ para todo $m$ : sempre duas interseções. De um ponto interior, toda reta atravessa a curva duas vezes — tangentes só se traçam de fora, exatamente como nos círculos.

18. $y = \frac14$ encontra $y = x^2$ em $x = \pm\frac12$ : corda de comprimento $1$ . Para $y = \frac{x^2}{4f}$ : $y = f$ dá $x^2 = 4f^2$ , $x = \pm 2f$ : comprimento $4f$ — a largura focal é quatro vezes a distância focal (os projetistas de antenas a chamam de latus rectum).

19. Um ponto de $y = x^2$ é $(a, a^2)$ ; sua imagem é $(X, Y) = (ka, ka^2)$ , e $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$ : a curva imagem é exatamente $y = \frac{x^2}{k}$ . Escolhendo $k = 4f$ alcança-se toda parábola: todas são ampliações de uma única curva-mestra. (Os círculos também são todos semelhantes — mas as elipses não: o achatamento importa, a ampliação não.)

20. Uma equação com três trajes legíveis; o lugar geométrico da equidistância entre um ponto e uma reta; o refletor que reúne no foco os raios paralelos e o cabo que sustenta um tabuleiro uniforme; a trajetória de toda bola lançada; e, a menos de ampliação, uma única curva — uma só parábola, em toda parte.