Matemática do ensino médio · Grades 10–12

15Vetores e retas no plano

Os vetores codificam deslocamentos; as retas são suas trajetórias. A principal ferramenta nova deste capítulo é o determinante, um único número que decide se dois vetores são colineares — e, a partir daí, produz equações de retas e resolve por puro cálculo as questões de colinearidade e paralelismo. As mesmas ideias se estendem ao espaço no Capítulo 31.

15.1 Vetores: uma retomada

Definição 15.1 (Vetor, coordenadas)

Um vetor $\vec u$ representa um deslocamento: todas as setas de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o mesmo vetor. Em um sistema de coordenadas, $\vec u\,(x, y)$ registra o deslocamento ( $x$ na horizontal, $y$ na vertical); para pontos $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ ,

\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).

Os vetores somam-se coordenada a coordenada, e $\lambda\vec u$ tem coordenadas $(\lambda x, \lambda y)$ .

Proposição 15.2 (Ponto médio)

O ponto médio $M$ do segmento $[AB]$ tem coordenadas $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .

Demonstração. $M$ é caracterizado por $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$ : coordenada a coordenada, $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$ , logo $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ , e analogamente para $y_M$ . ∎

15.2 Colinearidade e o determinante

Definição 15.3 (Vetores colineares)

Dois vetores são colineares se um é múltiplo escalar do outro: $\vec v = \lambda \vec u$ para algum $\lambda \in \R$ (ou $\vec u = \vec 0$ ). Geometricamente: eles têm a mesma direção, ou um deles é nulo.

Definição 15.4 (Determinante)

O determinante de $\vec u\,(x, y)$ e $\vec v\,(x', y')$ é

\det(\vec u, \vec v) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = x y' - x' y .

Teorema 15.5 (Critério de colinearidade)

Dois vetores $\vec u$ e $\vec v$ são colineares se, e somente se, $\det(\vec u, \vec v) = 0$ .

Demonstração. ( $\Rightarrow$ ) Se $\vec v = \lambda\vec u$ , então $x' = \lambda x$ e $y' = \lambda y$ , logo $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$ ; se $\vec u = \vec 0$ , o determinante é trivialmente $0$ .

( $\Leftarrow$ ) Suponha $xy' - x'y = 0$ com $\vec u \neq \vec 0$ , digamos $x \neq 0$ (o caso $y \neq 0$ é simétrico). Ponha $\lambda = \frac{x'}{x}$ . Então $x' = \lambda x$ por construção, e a relação $xy' = x'y = \lambda x y$ dá, após dividir por $x \neq 0$ , $y' = \lambda y$ . Logo $\vec v = \lambda \vec u$ . ∎

Exemplo 15.6

$\vec u\,(3, -2)$ e $\vec v\,(-6, 4)$ : $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$ , colineares (de fato, $\vec v = -2\vec u$ ). $\vec u\,(3, -2)$ e $\vec w\,(2, 1)$ : $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$ , não são colineares.

Método 15.7 (Colinearidade de três pontos)

$A$ , $B$ , $C$ são colineares se, e somente se, $\vect{AB}$ e $\vect{AC}$ são vetores colineares: calcule os dois vetores e verifique se $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$ .

15.3 Equações cartesianas de retas

Definição 15.8 (Vetor diretor)

Um vetor diretor de uma reta $d$ é qualquer vetor não nulo $\vec u$ tal que $\vect{AB}$ seja colinear com $\vec u$ para todos os pontos $A, B$ de $d$ .

Teorema 15.9 (Equação cartesiana)

Uma reta de vetor diretor $\vec u\,(-b, a)$ admite uma equação da forma

ax + by + c = 0 \qquad (a, b) \neq (0, 0).

Reciprocamente, toda equação desse tipo descreve uma reta de vetor diretor $\vec u\,(-b, a)$ .

Demonstração. Seja $d$ passando por $A(x_A, y_A)$ com direção $\vec u\,(-b, a)$ . Um ponto $M(x, y)$ está em $d$ exatamente quando $\vect{AM}$ é colinear com $\vec u$ , isto é (Teorema 15.5),

0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr) = (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A) = ax + by - (a x_A + b y_A),

uma equação da forma anunciada com $c = -(a x_A + b y_A)$ . Reciprocamente, as soluções de $ax + by + c = 0$ com, digamos, $b \neq 0$ são os pontos $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$ : subtrair duas delas mostra que toda corda é colinear com $(-b, a)$ , e sempre existe uma solução — trata-se da reta que passa por ela e é dirigida por $(-b, a)$ . ∎

Método 15.10 (Reta por dois pontos)

Para achar uma equação da reta $(AB)$ : calcule o vetor diretor $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$ ; identifique-o com $(-b, a)$ , isto é, tome $a = y_B - y_A$ e $b = -(x_B - x_A)$ ; determine $c$ substituindo as coordenadas de $A$ .

Exemplo 15.11

Reta por $A(1, 2)$ e $B(4, 3)$ : $\vect{AB}\,(3, 1)$ , logo $a = 1$ , $b = -3$ , e a equação é $x - 3y + c = 0$ . Substituindo $A$ : $1 - 6 + c = 0$ , logo $c = 5$ . Equação: $x - 3y + 5 = 0$ . Confira com $B$ : $4 - 9 + 5 = 0$ .

Observação 15.12

Quando $b \neq 0$ , a equação pode ser resolvida em $y$ : $y = mx + p$ , com coeficiente angular $m = -\frac ab$ . A forma cartesiana $ax + by + c = 0$ é mais geral: ela cobre também as retas verticais ( $b = 0$ ), que não têm coeficiente angular.

A reta x - 3y + 5 = 0 do , seu vetor diretor u = AB (em vermelho, aqui reduzido pela metade) e os dois pontos usados para montar a equação. — A reta $x - 3y + 5 = 0$ do Exemplo 15.11, seu vetor diretor $\vec u = \vect{AB}$ (em vermelho, aqui reduzido pela metade) e os dois pontos usados para montar a equação.

15.4 Representação paramétrica

Definição 15.13 (Representação paramétrica)

A reta que passa por $A(x_A, y_A)$ com direção $\vec u\,(\alpha, \beta)$ é o conjunto dos pontos

M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .

O número $t$ é o parâmetro: cada valor de $t$ produz um ponto da reta, como se a percorrêssemos com velocidade constante $\vec u$ .

Exemplo 15.14

A reta do Exemplo 15.11 também é $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$ : $t = 0$ dá $A$ e $t = 1$ dá $B$ . Eliminar $t$ ( $t = y - 2$ , logo $x = 1 + 3(y-2)$ ) recupera $x - 3y + 5 = 0$ .

15.5 Posições relativas de duas retas

Proposição 15.15 (Paralelas ou concorrentes)

Duas retas de vetores diretores $\vec u$ e $\vec v$ são paralelas se, e somente se, $\det(\vec u, \vec v) = 0$ . Em forma de equação: $d : ax + by + c = 0$ e $d' : a'x + b'y + c' = 0$ são paralelas se, e somente se, $ab' - a'b = 0$ . Retas não paralelas se encontram em exatamente um ponto.

Demonstração. Paralelismo significa direções colineares, o que é a Teorema 15.5; com $\vec u\,(-b, a)$ e $\vec v\,(-b', a')$ , o determinante é $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$ . Se as retas não são paralelas, resolver as duas equações simultaneamente (por substituição ou combinação) leva a uma única solução: o sistema se comporta como um sistema $2 \times 2$ de determinante não nulo. ∎

Método 15.16 (Interseção de duas retas)

Resolva o sistema das duas equações: isole uma incógnita em uma delas e substitua na outra, ou combine as equações para eliminar uma incógnita. Confira sempre o ponto obtido nas duas equações.

Exemplo 15.17

Intersecte $d: x - 3y + 5 = 0$ e $d': 2x + y - 4 = 0$ . De $d'$ : $y = 4 - 2x$ . Substituindo em $d$ :

x - 3(4 - 2x) + 5 = 0 \iff x - 12 + 6x + 5 = 0 \iff 7x = 7 \iff x = 1,

e então $y = 2$ . As retas se encontram em $(1, 2)$ . Verificação em $d$ : $1 - 6 + 5 = 0$ .

15.6 Exercícios

Exercício 15.1 ★

Dados $A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ e $C(-1, 1)$ , calcule as coordenadas de $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ , $\vect{AB} + \vect{AC}$ e $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$ , e o ponto médio de $[BC]$ .

Solução

Solução de Exercício 15.1.

$\vect{AB}\,(3, 4)$ , $\vect{AC}\,(-3, 2)$ , $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$ , $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$ . O ponto médio de $[BC]$ é $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

Exercício 15.2 ★

Os vetores são colineares?

\vec u\,(4, -6) \text{ e } \vec v\,(-2, 3); \qquad \vec u\,(2, 5) \text{ e } \vec v\,(3, 7); \qquad \vec u\,(0, 3) \text{ e } \vec v\,(0, -8).

Solução

Solução de Exercício 15.2.

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$ : colineares (de fato, $\vec v = -\frac12 \vec u$ ).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$ : não são colineares.

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$ : colineares (ambos verticais).

Exercício 15.3 ★

Encontre uma equação cartesiana da reta que passa por $A(2, 1)$ com vetor diretor $\vec u\,(3, -1)$ e, em seguida, da reta que passa por $B(0, 4)$ e $C(2, 0)$ .

Solução

Solução de Exercício 15.3.

Por $A(2,1)$ , direção $(3, -1)$ : identificar $(-b, a) = (3, -1)$ dá $a = -1$ , $b = -3$ , logo $-x - 3y + c = 0$ ; substituindo $A$ : $-2 - 3 + c = 0$ , $c = 5$ . Multiplicando por $-1$ : $x + 3y - 5 = 0$ .

Por $B(0,4)$ e $C(2,0)$ : $\vect{BC}\,(2, -4)$ , logo $a = -4$ , $b = -2$ : $-4x - 2y + c = 0$ ; substituindo $B$ : $-8 + c = 0$ , $c = 8$ . Simplificando por $-2$ : $2x + y - 4 = 0$ . Confira com $C$ : $4 + 0 - 4 = 0$ .

Exercício 15.4 ★

Para a reta $d: 3x - 2y + 6 = 0$ , dê um vetor diretor, as interseções com os dois eixos coordenados e decida se os pontos $P(2, 6)$ e $Q(1, 4)$ pertencem a $d$ .

Solução

Solução de Exercício 15.4.

Um vetor diretor é $(-b, a) = (2, 3)$ . Interseções: $x = 0$ dá $y = 3$ , ponto $(0, 3)$ ; $y = 0$ dá $x = -2$ , ponto $(-2, 0)$ . Para $P(2,6)$ : $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$ , logo $P \in d$ . Para $Q(1,4)$ : $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$ , logo $Q \notin d$ .

Exercício 15.5 ★★

Os pontos $A(1, 2)$ , $B(4, 8)$ , $C(-2, -4)$ são colineares? Mesma pergunta para $D(0, 1)$ , $E(2, 4)$ , $F(5, 9)$ .

Solução

Solução de Exercício 15.5.

$\vect{AB}\,(3, 6)$ e $\vect{AC}\,(-3, -6)$ : $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$ , logo $A$ , $B$ , $C$ são colineares.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ e $\vect{DF}\,(5, 8)$ : $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$ : $D$ , $E$ , $F$ não são colineares.

Exercício 15.6 ★★

Determine o ponto de interseção, se houver:

d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ e }\ d': x - y + 1 = 0; \qquad e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ e }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .

Solução

Solução de Exercício 15.6.

Primeiro par: somando as duas equações, $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$ , logo $x = 2$ e então $y = x + 1 = 3$ : elas se encontram em $(2, 3)$ (verificação: $4 + 3 - 7 = 0$ ).

Segundo par: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$ , logo as retas são paralelas; multiplicar $e$ por $-2$ dá $-2x + 4y - 6 = 0$ , que difere de $e'$ ( $-6 \neq 1$ ): estritamente paralelas, sem interseção.

Exercício 15.7 ★★

Dê uma representação paramétrica da reta $d: 2x - y + 3 = 0$ e uma equação cartesiana da reta $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$ .

Solução

Solução de Exercício 15.7.

Para $d: 2x - y + 3 = 0$ : direção $(-b, a) = (1, 2)$ , e o ponto $(0, 3)$ está em $d$ , logo $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$ .

Para a reta paramétrica que passa por $(1, -3)$ com direção $(2, 1)$ : $a = 1$ , $b = -2$ , logo $x - 2y + c = 0$ ; substituindo $(1, -3)$ : $1 + 6 + c = 0$ , $c = -7$ . Equação: $x - 2y - 7 = 0$ (confira com $t = 1$ , ponto $(3, -2)$ : $3 + 4 - 7 = 0$ ).

Exercício 15.8 ★★

Encontre a equação da reta que passa por $P(1, -2)$ e é paralela a $d: 4x - 3y + 2 = 0$ , e o valor de $m$ para o qual a reta $mx + 2y - 5 = 0$ é paralela a $d$ .

Solução

Solução de Exercício 15.8.

Uma reta paralela tem o mesmo par $(a, b)$ : $4x - 3y + c = 0$ ; passando por $P(1, -2)$ : $4 + 6 + c = 0$ , logo $c = -10$ e a reta é $4x - 3y - 10 = 0$ .

O paralelismo de $mx + 2y - 5 = 0$ com $d$ exige $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$ , logo $m = -\frac83$ .

Exercício 15.9 ★★

Sejam $A(-1, 0)$ , $B(3, 2)$ e $C(1, -4)$ . Encontre uma equação cartesiana da mediana do triângulo $ABC$ que parte de $C$ (a reta que liga $C$ ao ponto médio de $[AB]$ ).

Solução

Solução de Exercício 15.9.

O ponto médio de $[AB]$ é $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1)$ . A mediana é a reta $(CM)$ com $C(1, -4)$ : os dois pontos têm abscissa $1$ , de modo que a mediana é a reta vertical

x - 1 = 0 .

Exercício 15.10 ★★

Para que valor (ou valores) do parâmetro $m$ os vetores $\vec u\,(m, 2)$ e $\vec v\,(3, m - 1)$ são colineares?

Solução

Solução de Exercício 15.10.

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$ . Ele se anula quando $m^2 - m - 6 = 0$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$ , raízes $m = \frac{1 \pm 5}{2}$ , isto é, $m = 3$ ou $m = -2$ .

Exercício 15.11 ★★★

Seja $ABCD$ um paralelogramo, $I$ o ponto médio de $[AB]$ e $J$ o ponto definido por $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$ . Trabalhando no sistema de coordenadas em que $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $D(0,1)$ (de modo que $C(1,1)$ ):

Calcule as coordenadas de $I$ e $J$ .
Mostre que $A$ , $J$ e $C$ são colineares. (Um fato bonito: a reta $(DI)$ corta a diagonal $(AC)$ a um terço do caminho.)

Solução

Solução de Exercício 15.11.

1. $I = \left(\frac12, 0\right)$ . Então $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ e $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$ , logo

J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).

2. $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ e $\vect{AC}\,(1, 1)$ : $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$ , logo $A$ , $J$ , $C$ são colineares — na verdade, $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$ : a reta $(DI)$ corta a diagonal $(AC)$ exatamente a um terço do seu comprimento a partir de $A$ .

15.7 Problema: Rotas de colisão e coordenadas espertas

Problema 15.1

Problema de fim de semana — cruzar trajetórias não é colidir: a aproximação mínima no mar e teoremas demonstrados escolhendo o referencial certo

As rotas retas de dois navios se cruzam — os navios têm de colidir? Só se chegarem ao cruzamento ao mesmo tempo: trajetórias são conjuntos de pontos, movimentos são paramétricos, e confundir as duas coisas já afundou navios de verdade. Este problema opera um pequeno serviço de controle de tráfego marítimo com retas paramétricas (Definição 15.13) e depois volta-se para a geometria pura com o outro superpoder das coordenadas: escolhê-las com esperteza, como no Exercício 15.11, para que os teoremas clássicos se demonstrem sozinhos.

Parte I — Retas, de três maneiras.

Dê uma representação paramétrica da reta que passa por $A(1, 2)$ com vetor diretor $\vec u(3, -1)$ e depois elimine o parâmetro para obter uma equação cartesiana.
Para a reta $2x - 5y + 3 = 0$ : leia um vetor diretor (Teorema 15.9), encontre um ponto e escreva uma representação paramétrica.
Calcule o ponto de interseção das duas retas das questões 1 e 2 (Método 15.16).
Confirme com o determinante (Teorema 15.5) que essas duas retas tinham mesmo de se cruzar; mostre em seguida que $2x - 5y + 3 = 0$ e $-4x + 10y + 1 = 0$ são estritamente paralelas.
$A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ são colineares (Método 15.7)?

Parte II — O controle de tráfego marítimo. No instante $t$ (em horas), o navio $P$ está em $(2t,\ 3 + t)$ e o navio $Q$ em $(10 - t,\ 2t - 1)$ (distâncias em milhas náuticas).

Encontre as equações cartesianas das duas trajetórias e calcule onde elas se cruzam.
Em que instante cada navio passa pelo ponto de cruzamento? Os navios colidem? Enuncie o aviso geral em uma frase: trajetórias que se cruzam contra movimentos que se encontram.
Calcule o quadrado da distância $D^2(t)$ entre os navios no instante $t$ e reduza-o a um trinômio do segundo grau em $t$ . Em que instante os navios ficam mais próximos, e a que distância chegam a estar (a tecnologia do vértice do Problema 10.1)?
O regulamento exige uma separação de pelo menos $1$ milha. Ela é violada? Se for, resolva $D^2(t) < 1$ e dê a duração da violação.
Explique por que, para quaisquer dois navios em rotas retas com velocidades constantes, $D^2(t)$ é sempre uma função do segundo grau em $t$ — de modo que o “ponto de aproximação mínima” é sempre um cálculo de vértice.
Interceptação: uma lancha de patrulha parte da origem em $t = 0$ com velocidade constante $(a, b)$ e deve encontrar o navio $P$ exatamente em $t = 3$ . Calcule o $(a, b)$ necessário e a velocidade da lancha.

Parte III — Coordenadas espertas. Trabalhe no referencial do Exercício 15.11: o paralelogramo $ABCD$ vira $A(0,0)$ , $B(1,0)$ , $C(1,1)$ , $D(0,1)$ ; seja $I$ o ponto médio de $[AB]$ e $K$ o ponto médio de $[CD]$ .

Calcule uma equação cartesiana da reta $(DI)$ .
Intersecte $(DI)$ com a diagonal $(AC)$ : recupere o fato do Exercício 15.11 — o corte fica exatamente a um terço do caminho ao longo da diagonal.
Agora a reta $(BK)$ : encontre sua equação, intersecte-a com $(AC)$ e conclua o teorema clássico completo: as cevianas $(DI)$ e $(BK)$ dividem a diagonal $(AC)$ em três partes iguais.
Por que foi legítimo demonstrar o teorema nesse referencial particular? (O que a escolha de coordenadas preserva e do que o enunciado trata?) Responda em duas ou três frases.
Mais uma trissecção para praticar: seja $E$ o ponto médio de $[BC]$ . Onde a reta $(AE)$ corta a outra diagonal, $(DB)$ ?

Parte IV — Enigmas de posição.

As três retas $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ são concorrentes? (Intersecte duas e teste a terceira.)
Para cada real $m$ , seja $d_m$ a reta $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Mostre que toda $d_m$ passa por um mesmo ponto fixo. (Agrupe os termos em $m$ .)
Na família $(d_m)$ : qual membro é paralelo a $y = 2x + 7$ ? Qual passa pela origem?
Final — os três trajes de uma reta: cartesiano (teste de pertinência em uma substituição), reduzido (coeficiente angular e gráfico à vista), paramétrico (movimento, horários, interceptação); o determinante como oráculo do paralelismo; e o referencial bem escolhido como fábrica de teoremas. Uma frase para cada.

Solução

Solução de Problema 15.1.

1. $x = 1 + 3t$ , $y = 2 - t$ . Da segunda, $t = 2 - y$ ; substituindo: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$ : equação cartesiana $x + 3y - 7 = 0$ .

2. Para $ax + by + c = 0$ , um vetor diretor é $(-b, a)$ : aqui $(5, 2)$ . Um ponto: $y = 1$ dá $x = 1$ : $(1, 1)$ . Paramétrica: $x = 1 + 5t$ , $y = 1 + 2t$ .

3. De $x = 7 - 3y$ em $2x - 5y + 3 = 0$ : $14 - 6y - 5y + 3 = 0$ , logo $y = \frac{17}{11}$ e $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$ : o ponto $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$ .

4. Direções $(5, 2)$ e $(3, -1)$ : $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$ : concorrentes, como se encontrou. Para o segundo par: as direções $(5, 2)$ e $(10, 4)$ têm $\det = 0$ (paralelas), e dobrar $2x - 5y + 3 = 0$ dá $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1 = 0$ : estritamente paralelas.

5. $\vect{AB}(3, 2)$ , $\vect{AC}(9, 6)$ : $\det = 18 - 18 = 0$ : colineares.

6. $P$ : de $x = 2t$ e $y = 3 + t$ vem $y = 3 + \frac x2$ . $Q$ : de $x = 10 - t$ vem $t = 10 - x$ , logo $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$ . Cruzamento: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ dá $x = 6.4$ , $y = 6.2$ : as trajetórias se cruzam em $(6.4,\ 6.2)$ .

7. $P$ passa ali quando $2t = 6.4$ : $t = 3.2$ h. $Q$ , quando $10 - t = 6.4$ : $t = 3.6$ h. Vinte e quatro minutos de diferença: nenhuma colisão. Aviso: uma carta mostra trajetórias; só os relógios paramétricos dizem se dois movimentos ocupam o mesmo ponto no mesmo instante.

8. $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 = 10t^2 - 68t + 116$ : vértice em $t = \frac{68}{20} = 3.4$ h, onde $D^2 = 0.4$ : aproximação mínima $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ milha em $t = 3.4$ .

9. Violada: $0.63 < 1$ . $D^2(t) < 1$ lê-se $10t^2 - 68t + 115 < 0$ : $\Delta = 4624 - 4600 = 24$ , raízes $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$ : os navios ficam próximos demais de $t \approx 3.16$ a $t \approx 3.64$ — cerca de $29$ minutos de infração. Um deles precisa mudar de rota.

10. Cada coordenada de cada navio é uma função afim de $t$ , de modo que cada diferença de coordenadas é afim, e $D^2$ — uma soma de dois quadrados de funções afins — é do segundo grau (com coeficiente dominante não negativo). A aproximação mínima, portanto, é sempre lida em um vértice.

11. Encontrar $P$ em $t = 3$ , isto é, em $(6, 6)$ : $(3a, 3b) = (6, 6)$ dá $(a, b) = (2, 2)$ , velocidade $\sqrt{8} \approx 2.8$ nós.

12. $D(0, 1)$ , $I\left(\frac12, 0\right)$ : direção $\left(\frac12, -1\right)$ , isto é, $(1, -2)$ : equação $2x + y = 1$ .

13. $(AC)$ : $y = x$ . Então $2x + x = 1$ : $x = \frac13$ : o ponto $\left(\frac13, \frac13\right)$ , a um terço do caminho de $A$ até $C$ .

14. $B(1, 0)$ , $K\left(\frac12, 1\right)$ : direção $\left(-\frac12, 1\right)$ , equação $2x + y = 2$ . Com $y = x$ : $x = \frac23$ : o ponto $\left(\frac23, \frac23\right)$ . As duas cevianas cortam $(AC)$ em seus dois pontos de trissecção: teorema demonstrado, duas vezes três linhas de aritmética.

15. Todo paralelogramo é levado ao quadrado unitário escolhendo-se $A$ como origem e $\vect{AB}$ , $\vect{AD}$ como unidades dos dois eixos. Essa escolha preserva tudo aquilo de que o teorema fala — pontos médios, colinearidade e razões ao longo de uma mesma reta (tudo exprimível com vetores e escalares) —, de modo que demonstrar o enunciado no quadrado o demonstra para todo paralelogramo. (Ela não transportaria comprimentos nem ângulos: esses o referencial distorce.)

16. $E\left(1, \frac12\right)$ : reta $(AE)$ : $y = \frac x2$ . Diagonal $(DB)$ : de $(0,1)$ a $(1,0)$ : $y = 1 - x$ . Interseção: $\frac x2 = 1 - x$ : $x = \frac23$ : o ponto $\left(\frac23, \frac13\right)$ — de novo um ponto de trissecção, agora da outra diagonal. As cevianas dos pontos médios adoram terços.

17. As duas primeiras: $x + y = 4$ e $2x - y = 2$ dão $3x = 6$ : $(2, 2)$ . A terceira: $2 - 4 = -2$ : satisfeita. Concorrentes em $(2, 2)$ .

18. $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$ : para a equação valer para todo $m$ , tome $x = 3$ , $y = 2$ — e, de fato, toda $d_m$ contém $(3, 2)$ . Um feixe de retas por um único ponto, uma reta para cada coeficiente angular $m$ .

19. Paralela a $y = 2x + 7$ : coeficiente angular $m = 2$ , a reta $2x - y - 4 = 0$ . Passando pela origem: $2 - 3m = 0$ : $m = \frac23$ .

20. Cartesiana: substitua um ponto e a pertinência está respondida. Reduzida: coeficiente angular e coeficiente linear à vista, gráfico imediato. Paramétrica: o relógio já embutido — colisões, aproximação mínima, interceptação. O determinante: uma multiplicação em cruz e o paralelismo está decidido. O referencial escolhido: um paralelogramo vira um quadrado unitário, e um teorema clássico de trissecção vira três interseções de retas.