Matemática do ensino médio · Grades 10–12

35Variáveis aleatórias contínuas

Tempos de espera, medidas físicas, proporções: muitas grandezas aleatórias assumem um contínuo de valores, e nenhum valor isolado tem probabilidade positiva. As probabilidades são então calculadas integrando uma densidade. Este capítulo estuda as distribuições uniforme, exponencial e normal, e usa a distribuição normal para quantificar as flutuações de pesquisas e amostras.

35.1 Densidades de probabilidade

Definição 35.1 (Densidade, variável aleatória contínua)

Uma densidade de probabilidade em um intervalo $I$ é uma função contínua e não negativa $f$ em $I$ com $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (a integral sobre um $I$ ilimitado sendo entendida como limite de integrais sobre intervalos limitados crescentes). Uma variável aleatória $X$ tem densidade $f$ se, para todos $a \leq b$ em $I$ :

\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .

As probabilidades são áreas sob a curva da densidade. Em particular, $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ para todo valor isolado $a$ : só os intervalos carregam probabilidade, e $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$ .

Definição 35.2 (Esperança e variância)

Para $X$ de densidade $f$ em $I$ :

\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad \V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t = \E(X^2) - \E(X)^2 .

As regras dos Capítulos 14–15 (linearidade da esperança, aditividade da variância para variáveis independentes, Bienaymé–Chebyshev) continuam válidas; suas demonstrações, com integrais no lugar de somas, são admitidas neste nível.

35.2 Distribuição uniforme

Definição 35.3 (Distribuição uniforme)

$X$ segue a distribuição uniforme $\mathcal U\intcc ab$ se sua densidade é constante, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ em $\intcc{a}{b}$ . Então, para $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$ , $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : probabilidade proporcional ao comprimento.

Proposição 35.4

Se $X \sim \mathcal U\intcc ab$ , então $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ e $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ .

Demonstração. $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$ . Para a variância, $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$ , e

\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere

∎

35.3 Distribuição exponencial

Definição 35.5 (Distribuição exponencial)

Para $\lambda > 0$ , $X$ segue a distribuição exponencial $\mathcal E(\lambda)$ se sua densidade em $\intco{0}{+\infty}$ é

f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.

Então $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ e $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ para $x \geq 0$ .

Proposição 35.6

Se $X \sim \mathcal E(\lambda)$ : $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ e $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ .

Demonstração. Integrando por partes em $\intcc{0}{A}$ :

\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t = \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t = -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda} \xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,

usando $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ (Teorema 23.4). Uma segunda integração por partes dá $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ , donde $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$ . ∎

Teorema 35.7 (Ausência de memória)

Se $X \sim \mathcal E(\lambda)$ , então, para todos $s, t \geq 0$ :

\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .

A distribuição exponencial é a lei dos tempos de vida sem envelhecimento (núcleos radioativos, não lâmpadas).

Demonstração.

\pcond{X > s}{X > s+t} = \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)} = \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t} = \P(X > t). \qedhere

∎

A densidade exponencial - x (aqui = 1): a área da cauda além de t (em vermelho) vale - t, e a ausência de memória diz que toda cauda se parece com a distribuição inteira reescalada. — A densidade exponencial $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (aqui $\lambda = 1$ ): a área da cauda além de $t$ (em vermelho) vale $\eu^{-\lambda t}$ , e a ausência de memória diz que toda cauda se parece com a distribuição inteira reescalada.

35.4 Distribuição normal

Definição 35.8 (Distribuição normal)

$X$ segue a distribuição normal padrão $\mathcal N(0, 1)$ se sua densidade em $\R$ é

\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}

(a curva em sino). Mais geralmente, $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ se $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal N(0,1)$ ; então $\E(X) = \mu$ e $\V(X) = \sigma^2$ .

A densidade normal: cerca de 68.3\% da massa fica a menos de da média, 95.4\% a menos de 2 e 99.7\% a menos de 3. — A densidade normal: cerca de $68.3\%$ da massa fica a menos de $\sigma$ da média, $95.4\%$ a menos de $2\sigma$ e $99.7\%$ a menos de $3\sigma$ .

Observação 35.9

O fator $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ faz a área total valer $1$ — um cálculo famoso (a integral de Gauss) feito na graduação. Não há fórmula elementar para $\int \varphi$ : as probabilidades normais são lidas em tabelas ou calculadoras.

Teorema 35.10 (Moivre–Laplace, admitido)

Sejam $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ e $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (a binomial padronizada). Então, para todos $a \leq b$ ,

\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b \varphi(t)\,\dd t .

Este resultado é admitido neste nível. Ele explica a aparição universal da curva em sino: uma binomial com $n$ grande é aproximadamente normal — e (teorema central do limite, na graduação) o mesmo vale para qualquer soma de muitos efeitos independentes e pequenos.

Método 35.11 (Intervalo de flutuação a $95\%$ )

Como uma variável normal cai a menos de $1.96$ desvios padrão de sua média com probabilidade $0.95$ , para $n$ grande uma frequência $F_n = \frac{X_n}{n}$ de uma amostra $\mathcal B(n,p)$ satisfaz

\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .

Intervalo de flutuação (teste): se um $p$ alegado coloca a frequência observada fora desse intervalo, rejeite a alegação ao nível de $5\%$ .
Intervalo de confiança (estimativa): o intervalo simplificado $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ contém $p$ com probabilidade de pelo menos $0.95$ (usando $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ , veja o Exercício 34.8).

Exemplo 35.12

Uma pesquisa com $n = 1000$ eleitores dá $52\%$ a um candidato. O intervalo de confiança $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm 3.2\%$ ainda contém $50\%$ : a pesquisa sozinha não estabelece que o candidato esteja à frente.

35.5 Exercícios

Exercício 35.1 ★

Um ônibus passa a cada $15$ minutos; um passageiro chega em um instante uniformemente aleatório. Seja $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ o tempo de espera. Calcule $\P(X \leq 5)$ , $\P(4 \leq X \leq 10)$ , $\E(X)$ e $\sigma(X)$ .

Solução

Solução de Exercício 35.1.

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$ ; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$ ; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ min; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ min.

Exercício 35.2 ★

Verifique que $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ é uma densidade em $\intcc{0}{2}$ e calcule $\E(X)$ e $\P(X \geq 1)$ para uma variável $X$ com essa densidade.

Solução

Solução de Exercício 35.2.

$f \geq 0$ e $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 = \frac38 \times \frac83 = 1$ : é uma densidade.

\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32, \qquad \P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .

Exercício 35.3 ★

O tempo de vida (em anos) de um componente eletrônico segue $\mathcal E(0.2)$ .

Calcule o tempo de vida esperado e $\P(X > 5)$ .
O componente já funcionou $3$ anos. Qual é a probabilidade de que funcione ao menos mais $5$ ?

Solução

Solução de Exercício 35.3.

1. $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ anos; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$ .

2. Pela ausência de memória (Teorema 35.7), $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$ : os três anos de serviço não mudam nada.

Exercício 35.4 ★★

A meia-vida de um átomo radioativo cujo tempo de vida segue $\mathcal E(\lambda)$ é a mediana $m$ : $\P(X > m) = \frac12$ . Exprima $m$ em função de $\lambda$ e compare com a esperança. Qual é maior, e por que isso faz sentido para uma distribuição assimétrica?

Solução

Solução de Exercício 35.4.

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ dá $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$ , menor que $\E(X) = \frac1\lambda$ . A densidade exponencial tem uma longa cauda à direita: alguns tempos de vida atipicamente longos puxam a média acima da mediana, o valor que metade da população ultrapassa. (Esta é a meia-vida do Exemplo 23.9: metade dos átomos sobrevive a ela, embora o tempo de vida médio seja maior.)

Exercício 35.5 ★★

As alturas em uma população seguem $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (em cm). Usando a regra $68$ – $95$ – $99.7$ , estime a proporção da população com altura entre $168$ e $182$ cm, acima de $189$ cm e abaixo de $154$ cm.

Solução

Solução de Exercício 35.5.

$168 = \mu - \sigma$ e $182 = \mu + \sigma$ : cerca de $68\%$ . $189 = \mu + 2\sigma$ : acima disso fica metade dos $100 - 95.4 = 4.6\%$ restantes, ou seja, cerca de $2.3\%$ . $154 = \mu - 3\sigma$ : cerca de $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$ .

Exercício 35.6 ★★

Uma máquina enche pacotes rotulados $500$ g; a massa envasada segue $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$ . A regulamentação exige que no máximo $2.5\%$ dos pacotes pesem menos de $500$ g. Usando a regra dos $95\%$ , qual é o ajuste mínimo de $\mu$ que atende à exigência?

Solução

Solução de Exercício 35.6.

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ significa que $500$ tem de ficar pelo menos dois desvios padrão abaixo da média (a normal deixa $2.3\% \approx 2.5\%$ abaixo de $\mu - 2\sigma$ ; com o convencional $1.96$ , o raciocínio é idêntico):

\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.

A máquina tem de ser ajustada para $508$ g em média — o preço da garantia são $8$ g de produto “de graça” por pacote.

Exercício 35.7 ★★

Um dado apresentado como honesto é lançado $1200$ vezes e mostra um seis $260$ vezes (como no Exercício 34.7).

Calcule o intervalo de flutuação a $95\%$ para a frequência de seis de um dado honesto em $1200$ lançamentos.
A frequência observada está dentro dele? Compare a força dessa conclusão com a da análise por Bienaymé–Chebyshev.

Solução

Solução de Exercício 35.7.

1. Com $p = \frac16$ , $n = 1200$ : $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$ , de modo que o intervalo de flutuação a $95\%$ é

\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.

2. A frequência observada $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ fica bem fora: a hipótese de honestidade é rejeitada ao nível de $5\%$ . O desvio é de cerca de $4.6$ desvios padrão — para uma aproximação normal, uma probabilidade da ordem de $10^{-6}$ , muito mais conclusiva que a cota $\leq 4.6\%$ de Bienaymé–Chebyshev (Exercício 34.7).

Exercício 35.8 ★★★

Antes de uma eleição, uma pesquisa com $n$ pessoas vai estimar a votação $p$ de um candidato pela frequência observada $F_n$ .

Com o intervalo de confiança do Método 35.11, que tamanho de amostra garante uma margem de $\pm 2$ pontos?
Os candidatos estão separados por $1$ ponto na realidade. Explique por que nenhuma pesquisa realista pode apontar o vencedor com segurança, por melhor que seja conduzida.

Solução

Solução de Exercício 35.8.

1. A margem $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ exige $n \geq 2500$ pessoas.

2. Para distinguir votações separadas por $1$ ponto, a margem tem de ficar bem abaixo de $0.5$ ponto, o que exige $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ pela fórmula simplificada — já impraticável para a maioria das pesquisas. Pior: a margem estatística só leva em conta o erro de amostragem; os vieses sistemáticos (amostras não representativas, não resposta, viradas de última hora) não encolhem quando $n$ cresce e costumam superar um ponto. Uma disputa de $1$ ponto é genuinamente indecidível.

Exercício 35.9 ★★★

Seja $X$ de densidade $f$ em $\intcc ab$ e seja $Y = \alpha X + \beta$ com $\alpha > 0$ .

Mostre que $\P(c \leq Y \leq d) = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , e deduza que $Y$ tem densidade $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ .
Deduza que, se $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , então $\mu + \sigma Z$ tem densidade $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ — a densidade normal geral.

Solução

Solução de Exercício 35.9.

1. Como $\alpha > 0$ , $c \leq \alpha X + \beta \leq d \iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$ , de modo que

\P(c \leq Y \leq d) = \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .

A substituição $y = \alpha t + \beta$ (isto é, ler a área na variável $y$ , com $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$ , $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$ ) transforma isso em $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$ : a função $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ é uma densidade de $Y$ .

2. Com $f = \varphi$ , $\alpha = \sigma$ , $\beta = \mu$ :

g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

que é, portanto, a densidade de $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$ .

35.6 Problema: esperando o ônibus, medindo a multidão

Problema 35.1

Problema de fim de semana — três densidades governam o mundo: a ignorância total, a espera sem memória e o sino de muitas causas pequenas; mais o paradoxo que deixa seu ônibus sempre atrasado

Por que seu ônibus parece sempre demorar mais do que a tabela promete? Por que a turma em que um aluno médio se senta é maior que a turma média? Por que seus amigos têm mais amigos que você? Um matreiro pedaço de matemática — a amostragem enviesada pelo comprimento — responde às três perguntas, e ele mora neste capítulo, entre as distribuições uniforme, exponencial e normal (Definição 35.3, Definição 35.5, Definição 35.8). Este último problema do volume põe as três densidades para trabalhar e termina onde toda a série aponta: a curva em sino.

Parte I — Três personagens.

Um ônibus chega em um instante uniformemente aleatório nos próximos $30$ minutos. Calcule $\P(\text{espera} \leq 10)$ , a espera esperada e $\sigma$ (Proposição 35.4).
Verifique que $f(x) = 2x$ em $\intcc{0}{1}$ é uma densidade e calcule $\E(X)$ e $\P\left(X > \frac12\right)$ .
As ligações chegam a uma central de atendimento como um fluxo sem memória: a espera pela próxima ligação é exponencial de média $10$ minutos. Calcule $\P(T > 15)$ e a espera mediana — por que a mediana é menor que a média?
Você já esperou $20$ minutos. Quanto vale $\P(T > 35 \mid T > 20)$ (Teorema 35.7)? Interprete em uma frase.
Associe cada espera ao seu modelo correto — uniforme, exponencial ou nenhum dos dois: (a) o clique de um contador Geiger; (b) um metrô que passa a cada $8$ minutos, com sua chegada não sincronizada; (c) a próxima ligação na central; (d) a queima de uma lâmpada que se desgasta. Justifique (d) com o teorema da ausência de memória.

Parte II — O sino em ação. (Use os marcos normais: $68\,\%$ dentro de $\sigma$ , $95\,\%$ dentro de $2\sigma$ , $99.7\,\%$ dentro de $3\sigma$ .)

As alturas de adultos seguem aproximadamente $\mathcal N(172,\ 8)$ (cm). Que frações ficam em $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ , $\intcc{148}{196}$ ?
Estime a proporção de pessoas com mais de $190$ cm (escore z primeiro; depois tabela ou calculadora).
Os escores de QI são calibrados em $\mathcal N(100, 15)$ . Que fração fica acima de $130$ — e, aproximadamente, uma pessoa em cada quantas?
Uma máquina corta parafusos de comprimento $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm e a especificação é $\intcc{49.8}{50.2}$ . Que parcela é rejeitada? A indústria celebra os processos “seis sigma”, cujas especificações ficam a $\pm 6\sigma$ : o que isso compra e por que as fábricas perseguem esse padrão?
Moivre–Laplace (Teorema 35.10): para $100$ lançamentos de uma moeda honesta, aproxime $\P(45 \leq \text{caras} \leq 55)$ (continuidade: $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ ). Que máquina de madeira do Problema 19.1 este teorema alisa até virar uma curva?
A partir do Exercício 35.8: uma margem de $\pm 2$ pontos exige cerca de $n = 2\,400$ . Calcule a amostra necessária para $\pm 0.5$ ponto — e conclua, em uma frase, por que uma disputa separada por um ponto não pode ser honestamente decidida por pesquisa nenhuma.

Parte III — O paradoxo do ônibus.

Os ônibus chegam como um fluxo sem memória com intervalo médio de $10$ minutos. Você chega ao ponto em um momento arbitrário. A intuição diz que a espera esperada é de $5$ minutos (metade de um intervalo). O que diz, em vez disso, o teorema da ausência de memória?
Diagnostique a intuição com uma tabela de horários de brinquedo: os intervalos alternam $5$ e $15$ minutos (intervalo médio $10$ ). Calcule a probabilidade de que uma chegada uniformemente aleatória caia em um intervalo longo, depois a espera esperada verdadeira — e nomeie o culpado: as chegadas amostram os intervalos com probabilidade proporcional ao comprimento deles.
No fluxo sem memória, o intervalo em que você cai tem comprimento esperado de $20$ minutos — o dobro do intervalo típico (o tempo de volta até o ônibus anterior e o tempo até o próximo são ambos exponenciais de média $10$ ). Concilie isso com a questão 12 e enuncie o paradoxo da inspeção em uma frase.
A mesma ferroada em terra firme: uma universidade tem nove turmas de $10$ alunos e uma de $110$ . Calcule o tamanho médio das turmas e, depois, o tamanho de turma vivido pelo aluno médio. Que número o folheto vai citar, e qual é a verdade vivida pelos alunos?
O paradoxo da amizade — “seus amigos têm, em média, mais amigos que você” — é a mesma matemática. Diga em uma frase o que faz o papel do intervalo longo.

Parte IV — Fechando o volume.

Simulação, a ponte dos praticantes: se $U$ é uniforme em $\intoo{0}{1}$ , mostre que $T = -10\ln U$ é exponencial de média $10$ (calcule $\P(T > t)$ ). Toda simulação industrial de espera aleatória roda sobre esse truque de uma linha.
Uma velha receita dos programadores de jogos constrói um sino: some doze uniformes independentes em $\intcc{0}{1}$ e subtraia $6$ . Dê a média e a variância da soma e explique — com a tábua de Galton na mão — por que o resultado é quase normal.
Os mercados desabam com mais força do que o sino permite: a quebra de 1987 foi descrita como um “evento de $25\sigma$ ”, o que, sob normalidade, tem probabilidade da ordem de $10^{-137}$ . Qual é a conclusão correta — sobre o mundo ou sobre o modelo? (Uma frase, o catecismo do estatístico.)
Finale, e despedida do volume: os três personagens em uma linha cada — uniforme (ignorância dentro de limites), exponencial (risco sem memória), normal (a soma de muitas causas pequenas); o paradoxo da inspeção como a ferroada do capítulo; e o arco de toda a série — de contar caixas no ano 6 à curva em sino que mede qualquer multidão — com os volumes de graduação esperando onde os limites, as integrais e o teorema central do limite assumem o comando.

Solução

Solução de Problema 35.1.

1. $\P(\text{espera} \leq 10) = \frac{10}{30} = \frac13$ ; $\E = 15$ min; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ min.

2. $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$ : é uma densidade. $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$ ; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x = 1 - \frac14 = \frac34$ .

3. $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$ . Mediana: $\eu^{-m/10} = \frac12$ : $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ min — menos que a média $10$ , porque a longa cauda à direita da exponencial (esperas enormes e raras) arrasta a média para cima, deixando a mediana na espera “típica”.

4. Pela ausência de memória, $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$ : os vinte minutos já cumpridos não compram nada — o fluxo não envelhece.

5. (a) exponencial (o decaimento radioativo é o modelo para o qual a ausência de memória foi inventada); (b) uniforme em $\intcc{0}{8}$ (um horário com defasagem aleatória); (c) exponencial; (d) nenhum dos dois: uma lâmpada gasta tem mais probabilidade de queimar na próxima hora que uma nova, de modo que $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$ : o envelhecimento contradiz o teorema da ausência de memória.

6. $68\,\%$ , $95\,\%$ , $99.7\,\%$ : os três intervalos de referência.

7. $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$ : cauda superior $\approx 1.2\,\%$ .

8. $z = 2$ : cerca de $2.3\,\%$ — mais ou menos uma pessoa em cada $44$ .

9. A especificação fica a $\pm 2\sigma$ : cerca de $95.4\,\%$ passam, $4.6\,\%$ são rejeitados — ruinoso em escala. A $\pm 6\sigma$ , a taxa de falha cai para cerca de duas partes por bilhão: o seis sigma compra o direito de produzir em massa sem inspecionar em massa.

10. $\sigma = 5$ ; com correção de continuidade, $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) = \P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73$ . O teorema alisa a tábua de Galton do Problema 19.1: a escadinha de compartimentos vira o sino contínuo.

11. $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2} \approx 38\,400$ pessoas — e, nesse tamanho, os erros que não são de amostragem (cadastro, recusas, mentiras) engolem a margem: uma disputa de um ponto está além do alcance de uma pesquisa honesta, e é por isso que os institutos sérios então dizem “empate técnico”.

12. Ausência de memória: a partir do instante em que você chega, a espera restante é exponencial de média $10$ — os $10$ minutos completos, não $5$ . O “intervalo médio $10$ ” da tabela engana: sua espera tem a mesma distribuição de um intervalo inteiro.

13. As chegadas aleatórias caem proporcionalmente ao comprimento do intervalo: $\P(\text{intervalo longo}) = \frac{15}{20} = \frac34$ . Espera esperada: $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times \frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25$ min — mais que os ingênuos $5$ , embora o intervalo médio seja $10$ . Culpada: a amostragem enviesada pelo comprimento — intervalos longos apanham mais passageiros.

14. As esperas para trás e para a frente são cada uma exponencial de média $10$ (a ausência de memória vale nos dois sentidos a partir de sua chegada): o intervalo que contém você tem média de $20$ minutos — o dobro do intervalo típico. Paradoxo da inspeção em uma frase: o intervalo que por acaso você inspeciona não é um intervalo típico, porque você tinha mais chance de cair em um intervalo grande.

15. Turma média: $\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20$ alunos. Média vivida pelos alunos: $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000} {200} = 65$ alunos. O folheto imprime $20$ ; três em cada cinco alunos sentam na turma de $110$ e vivem os $65$ .

16. As pessoas populares aparecem em muitas listas de amigos, de modo que amostrar “um amigo” é enviesado em favor dos sociáveis — seus amigos são sorteados nos intervalos longos da tabela de horários social.

17. Para $t \geq 0$ : $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U < \eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}$ : exatamente a função de sobrevivência da exponencial — um logaritmo converte o ruído uniforme do computador em qualquer tempo de espera.

18. Cada uniforme tem média $\frac12$ e variância $\frac{1}{12}$ : a soma de doze tem média $6$ e variância $1$ — de modo que a receita devolve média $0$ e variância $1$ . Doze empurrõezinhos independentes somados: o mecanismo de Galton e, com a bênção de Moivre–Laplace, o histograma já tem forma de sino a olho nu.

19. Sobre o modelo: os mercados não são somas de muitas causas pequenas independentes — os pânicos correlacionam tudo (a lição de 2008 do problema anterior) e produzem caudas pesadas que nenhuma densidade normal possui. Quando os dados sussurram $10^{-137}$ , o catecismo do estatístico responde: quem é rejeitado é o modelo, não o dia.

20. Uniforme: todas as posições iguais, o honesto “só conheço os limites”. Exponencial: o risco que nunca envelhece — decaimentos, chegadas, cliques. Normal: o sino democrático de muitas causas pequenas e independentes — alturas, erros, médias. A ferroada: o que você amostra é enviesado pela maneira como você esbarrou nele — ônibus, turmas, amigos. E o arco: a criança que contava caixinhas de suco no ano 6, dez volumes de problemas depois, mediu a multidão com uma curva; o épsilon, a integral e o teorema central do limite esperam nos volumes de graduação para explicar por que o sino dobra por tudo.