Matemática do ensino médio · Bovenbouw

6Vetores

Um vetor codifica um deslocamento: uma direção com um sentido e um comprimento, independentemente do ponto de partida. Os vetores dão demonstrações limpas de fatos geométricos e, uma vez que as coordenadas entram em cena, reduzem-nos a pequenos cálculos. Serão uma ferramenta central no Capítulo 7 e, mais tarde, para o produto escalar no Capítulo 16.

6.1 Translações e vetores

Definição 6.1 (Vetor)

Dados dois pontos $A$ e $B$ , o vetor $\vect{AB}$ representa o deslocamento de $A$ até $B$ : ele tem uma direção com sentido (a direção da reta $(AB)$ , junto com o modo de percorrê-la, de $A$ rumo a $B$ ) e um comprimento (a distância $AB$ , também escrita $\norm{\vect{AB}}$ ). Dois vetores são iguais quando codificam o mesmo deslocamento: $\vect{AB} = \vect{CD}$ significa que aplicar os dois deslocamentos a um ponto qualquer dá o mesmo resultado.

Proposição 6.2 (Vetores iguais e paralelogramos)

$\vect{AB} = \vect{CD}$ exatamente quando $ABDC$ (nesta ordem!) é um paralelogramo, possivelmente achatado — ou, o que é equivalente, quando $[AD]$ e $[BC]$ têm o mesmo ponto médio.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Vetores iguais AB = CD: mesma direção, mesmo sentido, mesmo comprimento. O quadrilátero ABDC é um paralelogramo. — Vetores iguais $\vect{AB} = \vect{CD}$ : mesma direção, mesmo sentido, mesmo comprimento. O quadrilátero $ABDC$ é um paralelogramo.

Notação 6.3

Um vetor costuma ser designado por uma única letra, $\vec u$ ou $\vec v$ , quando as extremidades não importam. O vetor nulo $\vec 0 = \vect{AA}$ é o deslocamento que não move nada. O oposto de $\vect{AB}$ é $\vect{BA}$ : mesmo comprimento, sentido contrário. Escrevemos $\vect{BA} = -\vect{AB}$ .

6.2 Somar vetores

Definição 6.4 (Soma de dois vetores)

A soma $\vec u + \vec v$ é o deslocamento obtido efetuando $\vec u$ e em seguida $\vec v$ .

Teorema 6.5 (Relação de Chasles)

Para quaisquer três pontos $A$ , $B$ , $C$ :

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

Demonstração. Ir de $A$ a $B$ e depois de $B$ a $C$ é um deslocamento que leva $A$ até $C$ : é o deslocamento codificado por $\vect{AC}$ . ∎

Observação 6.6 (Regra do paralelogramo)

Para somar dois vetores traçados a partir do mesmo ponto, $\vect{AB} + \vect{AC}$ , complete o paralelogramo $ABDC$ : a soma é a diagonal $\vect{AD}$ . De fato, $\vect{AC} = \vect{BD}$ , logo $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ pela relação de Chasles.

Duas visões da soma: ponta com origem (relação de Chasles, à esquerda) e a regra do paralelogramo (à direita).

Exemplo 6.7 (Simplificar com Chasles)

Simplifique $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : encadear os deslocamentos dá $\vect{MQ}$ . Simplifique $\vect{AB} - \vect{AC}$ : reescreva a diferença como soma com o vetor oposto,

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 Multiplicar um vetor por um número

Definição 6.8 (Múltiplo escalar)

Seja $\vec u$ um vetor não nulo e $k$ um número real. O vetor $k\vec u$ tem a mesma direção de $\vec u$ , comprimento $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ e aponta no mesmo sentido de $\vec u$ se $k > 0$ , no sentido contrário se $k < 0$ . Para $k = 0$ , $0\vec u = \vec 0$ .

Definição 6.9 (Colinearidade)

Dois vetores $\vec u$ e $\vec v$ são colineares quando têm a mesma direção, isto é, quando $\vec v = k \vec u$ para algum real $k$ (ou quando um deles é $\vec 0$ ).

Observação 6.10

A colinearidade é a linguagem vetorial do paralelismo e do alinhamento:

as retas $(AB)$ e $(CD)$ são paralelas exatamente quando $\vect{AB}$ e $\vect{CD}$ são colineares;
os pontos $A$ , $B$ , $C$ são colineares exatamente quando $\vect{AB}$ e $\vect{AC}$ o são.

6.4 Coordenadas de vetores

Definição 6.11 (Coordenadas de um vetor)

Em um sistema de coordenadas, as coordenadas do vetor $\vect{AB}$ são os números que descrevem o deslocamento:

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

Um vetor $\vec u\,(a, b)$ move todo ponto $a$ unidades na horizontal e $b$ unidades na vertical.

Proposição 6.12 (Calcular com coordenadas)

Sejam $\vec u\,(a, b)$ e $\vec v\,(c, d)$ , e seja $k \in \R$ .

$\vec u = \vec v$ exatamente quando $a = c$ e $b = d$ ;
$\vec u + \vec v$ tem coordenadas $(a + c,\ b + d)$ ;
$k\vec u$ tem coordenadas $(ka,\ kb)$ ;
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (sistema ortonormal).

Demonstração. 1–3 reenunciam, coordenada a coordenada, o que os deslocamentos fazem: por exemplo, efetuar $\vec u$ e depois $\vec v$ move um ponto horizontalmente de $a$ e depois de $c$ , portanto de $a + c$ ao todo. O item 4 é a fórmula da distância do Teorema 5.4 aplicada a um segmento que representa $\vec u$ . ∎

Teorema 6.13 (Critério de colinearidade)

Dois vetores $\vec u\,(a, b)$ e $\vec v\,(c, d)$ são colineares se, e somente se,

ad - bc = 0 .

Demonstração. Se $\vec v = k\vec u$ , então $c = ka$ e $d = kb$ , logo $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ . O mesmo vale se $\vec u = k \vec v$ ou se um dos vetores é nulo.

Reciprocamente, suponha $ad - bc = 0$ com $\vec u \neq \vec 0$ , digamos $a \neq 0$ (o caso $b \neq 0$ é análogo). Ponha $k = \frac{c}{a}$ ; então $c = ka$ , e $ad = bc = b(ka)$ dá, após dividir por $a \neq 0$ , $d = kb$ . Logo $\vec v = k\vec u$ . ∎

Exemplo 6.14

Os vetores $\vec u\,(3, -2)$ e $\vec v\,(-6, 4)$ são colineares? Calcule $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : sim, e de fato $\vec v = -2\vec u$ . Já para $\vec u\,(3, -2)$ e $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : não são colineares.

Método 6.15 (Colinearidade de pontos e paralelismo)

Para provar que três pontos $A$ , $B$ , $C$ são colineares:

calcule as coordenadas de $\vect{AB}$ e de $\vect{AC}$ ;
verifique o critério $ad - bc = 0$ do Teorema 6.13;
conclua: os vetores são colineares e partilham o ponto $A$ , logo os três pontos são colineares.

O mesmo cálculo com $\vect{AB}$ e $\vect{CD}$ prova que as retas $(AB)$ e $(CD)$ são paralelas.

Exemplo 6.16

Sejam $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ e $C(7, 11)$ . Então $\vect{AB}\,(2, 3)$ e $\vect{AC}\,(6, 9)$ , e $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : os pontos são colineares (na verdade, $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Pontos colineares: AC é um múltiplo escalar de AB. — Pontos colineares: $\vect{AC}$ é um múltiplo escalar de $\vect{AB}$ .

6.5 Exercícios

Exercício 6.1 ★

Simplifique usando a relação de Chasles:

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

Solução

Solução de Exercício 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ .

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ .

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ .

Exercício 6.2 ★

Sejam $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(-1, 4)$ . Calcule as coordenadas de $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ , $\vect{AC}$ e verifique nas coordenadas que $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ .

Solução

Solução de Exercício 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ . Verificação: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ , coordenada a coordenada.

Exercício 6.3 ★

Sejam $\vec u\,(2, -3)$ e $\vec v\,(-1, 4)$ . Dê as coordenadas de $\vec u + \vec v$ , $3\vec u$ , $2\vec u - \vec v$ e calcule $\norm{\vec u}$ .

Solução

Solução de Exercício 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ .

$3\vec u = (6, -9)$ .

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ .

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ .

Exercício 6.4 ★

Em cada caso, diga se $\vec u$ e $\vec v$ são colineares:

\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

Solução

Solução de Exercício 6.4.

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : colineares ( $\vec v = \frac32 \vec u$ ).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : colineares ( $\vec v = -2\vec u$ ).

Exercício 6.5 ★

Sejam $A(0, 2)$ , $B(4, 0)$ , $C(6, 3)$ . Encontre as coordenadas do ponto $D$ tal que $ABCD$ seja um paralelogramo, isto é, tal que $\vect{AB} = \vect{DC}$ .

Solução

Solução de Exercício 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ e $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ . A condição $\vect{AB} = \vect{DC}$ dá $6 - x_D = 4$ e $3 - y_D = -2$ , logo $D(2, 5)$ .

Exercício 6.6 ★★

Sejam $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, -1)$ .

Calcule as coordenadas do ponto $M$ tal que $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
Que quadrilátero é $ABMC$ ? Justifique.

Solução

Solução de Exercício 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ e $\vect{AC}\,(6, -2)$ , logo $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ e $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ .

2. Pela regra do paralelogramo, $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ significa que $ABMC$ é um paralelogramo ( $M$ é o quarto vértice, oposto a $A$ ). Dá para conferir: $\vect{AB}\,(3,2)$ e $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ são iguais.

Exercício 6.7 ★★

Sejam $A(1, -1)$ , $B(4, 1)$ , $C(10, 5)$ . Os pontos $A$ , $B$ , $C$ são colineares? Mesma pergunta para $A(0, 3)$ , $B(2, 2)$ , $C(8, -1)$ .

Solução

Solução de Exercício 6.7.

Primeira terna: $\vect{AB}\,(3, 2)$ , $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : colineares ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

Segunda terna: $\vect{AB}\,(2, -1)$ , $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : também colineares ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ ).

Exercício 6.8 ★★

Sejam $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(6, 1)$ , $D(2, -1)$ . Mostre que $(AB)$ e $(CD)$ são paralelas e, em seguida, que $ABCD$ é um paralelogramo. Qual das duas verificações implica a outra?

Solução

Solução de Exercício 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ e $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : os dois vetores são iguais, logo $ABCD$ é um paralelogramo e, em particular, $(AB) \parallel (CD)$ . A propriedade do paralelogramo é a mais forte: ela implica o paralelismo (colinearidade dos vetores), e não o contrário.

Exercício 6.9 ★★

Seja $ABC$ um triângulo e seja $I$ o ponto definido por $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ . Com $A(0,0)$ , $B(6, 3)$ , $C(2, 5)$ (para que as contas fiquem simples):

calcule as coordenadas de $I$ ;
seja $J$ tal que $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; calcule as coordenadas de $J$ ;
mostre que $(IJ)$ é paralela a $(AC)$ .

Solução

Solução de Exercício 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ , logo $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ e $I(4, 2)$ .

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ , logo $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ e $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ .

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ e $\vect{AC}\,(2, 5)$ . Critério de colinearidade:

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

os vetores são colineares, logo $(IJ)$ é paralela a $(AC)$ . (Tanto $I$ quanto $J$ ficam a um terço do caminho a partir do lado rumo a $B$ : o pequeno triângulo $IBJ$ é uma redução de $ABC$ .)

Exercício 6.10 ★★★

Seja $ABCD$ um quadrilátero qualquer e sejam $I$ , $J$ , $K$ , $L$ os pontos médios de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Usando coordenadas $A(x_A, y_A)$ etc., mostre que $\vect{IJ} = \vect{LK}$ e conclua que os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero formam um paralelogramo.

Solução

Solução de Exercício 6.10.

Os pontos médios são

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

Primeiras coordenadas dos dois vetores:

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

e o mesmo cálculo vale para as segundas coordenadas. Portanto $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (ambos iguais a $\frac12\vect{AC}$ ), e $IJKL$ é um paralelogramo, qualquer que seja o aspecto do quadrilátero $ABCD$ .

6.6 Problema: A álgebra das setas

Problema 6.1

Problema de fim de semana — ginástica de Chasles, o baricentro redemonstrado em duas linhas e forças em equilíbrio: para que servem realmente os vetores

O ano 8 provou que as medianas de um triângulo se encontram a dois terços do seu comprimento — com um engenhoso paralelogramo escondido dentro do triângulo (o problema de fim de semana sobre o baricentro, no volume do ensino fundamental). Os vetores redemonstram isso em duas linhas e ainda dão a concorrência de brinde. É para isso que serve essa nova álgebra: teoremas viram contas com setas. Este problema treina a conta (Chasles acima de tudo), entrega a demonstração de duas linhas, estende Varignon (Exercício 6.10) e termina onde os vetores nasceram: nas forças e nas velocidades.

Parte I — Ginástica de Chasles.

Simplifique usando a relação de Chasles (Teorema 6.5): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
O truque da origem: mostre que, para qualquer ponto $O$ , $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
Demonstre as duas caracterizações do ponto médio $I$ de $[AB]$ :

$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0 \qquad\text{e}\qquad \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right) \ \text{para todo } O .$
Usando $\vect{AB} = \vect{DC}$ , reencontre o quarto vértice $D$ do paralelogramo $ABCD$ com $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ — e compare com a resposta obtida pelo truque do ponto médio no Problema 5.1.
Somar um vetor fixo $\vec u$ a todo ponto do plano realiza que transformação — aquela descoberta com dois espelhos no problema de fim de semana sobre os dois espelhos e com duas meias voltas no problema de fim de semana sobre meias voltas, ambos do volume do ensino fundamental? Calcule a imagem de $(1, 2)$ por $\vec u = (3, -1)$ .

Parte II — O baricentro, terceira demonstração. Defina o ponto $G$ de um triângulo $ABC$ pela elegante condição

\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .

Usando o truque da origem, mostre que essa condição determina $G$ de modo único: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}\right)$ para todo $O$ — de modo que as coordenadas de $G$ são as médias das dos vértices (o problema de fim de semana sobre o baricentro, no volume do ensino fundamental, viu isso numericamente).
Demonstre que $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ e, escrevendo $K$ para o ponto médio de $[BC]$ , que $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ . Conclua: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — o teorema dos dois terços, redemonstrado.
Por que as medianas que partem de $B$ e de $C$ passam pelo mesmo $G$ sem nenhum cálculo adicional? Compare as três demonstrações disponíveis desse teorema — o paralelogramo escondido do ano 8, as coordenadas e os vetores — em uma frase cada.
Verificação numérica: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Calcule $G$ , depois $K$ , e verifique $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ com o critério de colinearidade (Teorema 6.13).
A física lê $G$ como o ponto de equilíbrio de três massas iguais nos vértices. Dobre a massa em $A$ (massas $2, 1, 1$ ): o ponto de equilíbrio passa a ser $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}}{4}$ . Calcule $G'$ para o triângulo da questão 9 e compare sua posição com a de $G$ .

Parte III — A colinearidade em ação.

$\vec u(3, -2)$ e $\vec v(-6, 4)$ são colineares? E $\vec w(2, 5)$ , $\vec z(4, 9)$ ? Decida com o critério do determinante.
Os pontos $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ são colineares?
Para além de Varignon (Exercício 6.10): em qualquer quadrilátero $ABCD$ , as bimedianas unem os pontos médios de lados opostos ( $[IK]$ e $[JL]$ ). Usando vetores posição ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ etc.), mostre que as duas bimedianas têm o mesmo ponto médio, de vetor posição $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD}\right)$ : o baricentro do quadrilátero.
Tales em uma linha: $M$ e $N$ são os pontos definidos por $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ e $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . Calcule $\vect{MN}$ em função de $\vect{BC}$ e conclua o paralelismo e a razão.
Generalize a questão 14 para uma razão $k$ qualquer e diga em uma frase como o cálculo vetorial absorve de uma só vez o teorema da base média e o de Tales.

Parte IV — Forças e velocidades.

Um barco é empurrado por uma correnteza de $3$ km/h para leste enquanto rema a $4$ km/h para o norte. Dê o vetor velocidade resultante, seu módulo e descreva a rota efetiva. (Aparece um trio muito antigo.)
Três forças agem sobre um anel: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Calcule a resultante. O que o anel faz? E por que a soma das setas ao longo de um polígono fechado é sempre $\vec 0$ (Chasles)?
Duas forças $\vec u(4, -1)$ e $\vec v(-1, 3)$ agem sobre um gancho. Que terceira força mantém o gancho em equilíbrio?
Um nadador atravessa um rio apontando perpendicularmente à margem a $2$ m/s; a correnteza corre a $1.5$ m/s. Dê a velocidade resultante e seu módulo. O rio tem $50$ m de largura: quanto tempo dura a travessia e a que distância rio abaixo o nadador chega?
Final: um objeto, três trajes — seta de deslocamento, par de coordenadas, força ou velocidade. Liste os três teoremas clássicos que este problema redemonstrou com álgebra vetorial e nomeie a única grandeza geométrica que os vetores deste capítulo ainda não conseguem medir — a ferramenta que resolve isso chega com o produto escalar, no ano 11.

Solução

Solução de Problema 6.1.

1. $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$ ; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (reordenando a terceira soma).

2. $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} = \vect{AB}$ por Chasles.

3. $I$ é o ponto médio de $[AB]$ exatamente quando $\vect{IA} = -\vect{IB}$ , isto é, $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$ . Então, para todo $O$ : $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$ , logo $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — e reciprocamente.

4. $\vect{AB} = (4, 2)$ , e $D$ satisfaz $\vect{DC} = \vect{AB}$ : $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — o mesmo $D$ do Problema 5.1, uma linha mais rápido.

5. A translação de vetor $\vec u$ — exatamente a transformação produzida por dois espelhos paralelos ou por duas meias voltas. Imagem de $(1, 2)$ : $(4, 1)$ .

6. Desdobrando cada $\vect{GX}$ como $\vect{GO} + \vect{OX}$ : $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$ , logo $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$ : existe um e um só ponto assim, cujas coordenadas são as médias das dos três vértices.

7. $\vect{AB} + \vect{AC} = (\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$ , donde $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$ . A fórmula do ponto médio (questão 3, vista de $A$ ) dá $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$ . Comparando: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — $G$ está sobre a mediana $[AK]$ , a dois terços do caminho a partir de $A$ .

8. A condição que define $G$ trata $A$ , $B$ , $C$ de modo idêntico, de modo que o mesmo cálculo feito a partir de $B$ ou de $C$ coloca o mesmo $G$ a dois terços dessas medianas: a concorrência sai de graça. A demonstração pelo paralelogramo era engenhosa, mas feita sob medida; as coordenadas calculam, mas obscurecem; os vetores tornam a simetria visível e a demonstração cabe em duas linhas.

9. $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) = (3, 3)$ ; $K(4, 4)$ ; $\vect{AG} = (2, 2)$ e $\vect{AK} = (3, 3)$ : determinante $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$ , colineares, e de fato $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ .

10. $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 + 6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$ : puxado de $G(3,3)$ na direção do vértice de massa dobrada $A(1,1)$ , como convém a um ponto de equilíbrio.

11. $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$ : colineares ( $\vec v = -2\vec u$ ). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$ : não são colineares.

12. $\vect{AB} = (2, 3)$ , $\vect{AC} = (6, 9)$ : determinante $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : colineares.

13. $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ e $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$ , de modo que o ponto médio de $[IK]$ tem vetor posição $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — e a conta para $[JL]$ dá exatamente o mesmo vetor. As duas bimedianas (e, por Varignon, as diagonais do paralelogramo $IJKL$ ) partilham esse centro: o baricentro do quadrilátero.

14. $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} = \frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$ : logo $(MN) \parallel (BC)$ e $MN = \frac13 BC$ .

15. Com $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ e $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ : $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — uma única linha que contém o teorema da base média ( $k = \frac12$ ) e o de Tales (qualquer $k$ ): a razão atravessa a subtração intacta.

16. Resultante $(3, 4)$ , módulo $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/h: o barco anda de fato para nordeste, puxando para o norte, ao longo da hipotenusa do triângulo $3$ – $4$ – $5$ .

17. $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$ : o anel fica parado — equilíbrio. Ao longo de um polígono fechado $A_1 A_2 \dots A_n A_1$ , Chasles telescopa a soma até $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ : dar a volta traz você de volta.

18. $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$ .

19. Resultante $(1.5,\ 2)$ , módulo $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. Travessia: $50$ m a $2$ m/s na direção da outra margem: $25$ s; deriva: $1.5 \times 25 = 37.5$ m rio abaixo.

20. Redemonstrados neste fim de semana: o teorema dos dois terços do baricentro (questão 7), o centro das bimedianas e de Varignon (questão 13) e Tales com a base média (questões 14–15). O que as setas ainda não conseguem fazer: medir ângulos (e, com eles, comprimentos em direções arbitrárias) — o produto escalar do ano 11 é exatamente o instrumento que falta.