Matemática do ensino médio · Grades 10–12

34Somas de variáveis aleatórias e a lei dos grandes números

Por que os cassinos sempre ganham no fim, e por que as pesquisas de opinião funcionam? Porque as médias de muitas grandezas aleatórias independentes flutuam cada vez menos. Este capítulo demonstra isso: linearidade da esperança, aditividade da variância para variáveis independentes, desigualdade de Bienaymé–Chebyshev e lei dos grandes números.

34.1 Somas de variáveis aleatórias

Dadas duas variáveis aleatórias $X, Y$ sobre o mesmo espaço amostral finito $\Omega$ , a soma $X + Y$ é a variável aleatória $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$ .

Teorema 34.1 (Linearidade da esperança)

Para todas as variáveis aleatórias $X, Y$ sobre $\Omega$ e todos $a, b \in \R$ :

\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .

Nenhuma hipótese de independência é necessária.

Demonstração. Escreva a esperança como soma sobre os resultados: como $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$ , agrupar os termos dá $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$ . Então

\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega) + \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere

∎

Definição 34.2 (Variáveis aleatórias independentes)

$X$ e $Y$ são independentes se, para todos os valores $x, y$ :

\P(X = x \text{ e } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).

Várias variáveis $X_1, \dots, X_n$ são independentes se essa regra do produto vale para toda escolha de valores de toda subfamília.

Proposição 34.3

Se $X$ e $Y$ são independentes, $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$ .

Demonstração.

\begin{aligned} \E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ e } Y = y) = \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\ &= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere \end{aligned}

∎

Teorema 34.4 (Variância de uma soma)

Se $X$ e $Y$ são independentes, então

\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).

Mais geralmente, para $X_1, \dots, X_n$ independentes: $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$ .

Demonstração. Usando König–Huygens (Proposição 33.3) e a linearidade:

\begin{align*} \V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\ &= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2) - \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\ &= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr), \end{align*}

e o último colchete se anula para variáveis independentes (Proposição 34.3). O caso geral segue por indução. ∎

Exemplo 34.5 (A binomial revisitada)

Uma variável binomial $X \sim \mathcal B(n, p)$ é uma soma $X = X_1 + \dots + X_n$ de $n$ variáveis de Bernoulli independentes. Logo, estruturalmente:

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),

o que recupera o Teorema 33.8 sem cálculo nenhum.

Proposição 34.6 (Média amostral)

Sejam $X_1, \dots, X_n$ independentes e com a mesma distribuição de $X$ (esperança $\mu$ , variância $\sigma^2$ ), e seja $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ sua média amostral. Então

\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.

Demonstração. A linearidade dá $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$ ; a independência dá $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$ , e dividir por $n$ multiplica a variância por $\frac{1}{n^2}$ (Proposição 33.4). ∎

O $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ é a lei da raiz quadrada, fundamental: para reduzir à metade as flutuações de uma média, quadruplique o tamanho da amostra.

A lei da raiz quadrada: cada quadruplicação do tamanho da amostra apenas reduz à metade o desvio padrão da média.

34.2 Desigualdades de concentração

Teorema 34.7 (Desigualdade de Markov)

Se $X \geq 0$ e $a > 0$ :

\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.

Demonstração. Em $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (todos os termos não negativos), guarde apenas os termos com $x_i \geq a$ : cada um vale ao menos $a\,p_i$ , logo $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$ . ∎

Teorema 34.8 (Desigualdade de Bienaymé–Chebyshev)

Para toda variável aleatória $X$ e todo $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.

Demonstração. Aplique a desigualdade de Markov à variável não negativa $Y = (X - \E(X))^2$ com $a = \varepsilon^2$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) = \P(Y \geq \varepsilon^2) \leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere

∎

Concentração: Bienaymé–Chebyshev limita por (X)/ 2 a probabilidade de X cair nas caudas (em vermelho), a distância pelo menos de sua esperança. — Concentração: Bienaymé–Chebyshev limita por $\V(X)/\varepsilon^2$ a probabilidade de $X$ cair nas caudas (em vermelho), a distância pelo menos $\varepsilon$ de sua esperança.

Teorema 34.9 (Lei dos grandes números)

Sejam $X_1, \dots, X_n$ independentes e com a mesma distribuição (esperança $\mu$ , variância $\sigma^2$ ) e $M_n$ sua média amostral. Para todo $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .

A média amostral se concentra em torno da esperança.

Demonstração. Bienaymé–Chebyshev aplicada a $M_n$ , cuja esperança é $\mu$ e cuja variância é $\frac{\sigma^2}{n}$ (Proposição 34.6). ∎

Observação 34.10

Este teorema é a ponte entre a teoria das probabilidades e a estatística: a frequência de um evento ao longo de muitas repetições independentes se aproxima de sua probabilidade (tome $X_i$ o indicador do evento, de modo que $\mu = p$ ). Ele justifica estimar uma probabilidade por simulação (método de Monte Carlo) e uma proporção populacional por uma pesquisa — quantitativamente: veja o Capítulo 35.

Método 34.11 (Usar Bienaymé–Chebyshev)

Para garantir $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ , basta que $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$ . A cota é grosseira (as flutuações reais costumam ser bem menores), mas perfeitamente geral: nada exige da distribuição além de uma variância finita.

34.3 Exercícios

Exercício 34.1 ★

Dois dados honestos são lançados; seja $S$ a soma. Usando a linearidade (não a distribuição de $S$ !), calcule $\E(S)$ ; depois calcule $\V(S)$ usando a independência, sabendo que um único dado honesto tem variância $\frac{35}{12}$ .

Solução

Solução de Exercício 34.1.

Cada dado tem esperança $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ , logo, por linearidade, $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$ . Os dados são independentes, logo $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$ .

Exercício 34.2 ★

Seja $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$ . Limite $\P(X \geq 75)$ pela desigualdade de Markov, e depois $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ por Bienaymé–Chebyshev. Compare.

Solução

Solução de Exercício 34.2.

$\E(X) = 50$ e $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$ .

Markov ( $X \geq 0$ ): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$ .

Bienaymé–Chebyshev: $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — e isso limita até o evento bilateral, do qual $X \geq 75$ é a metade. Chebyshev é bem mais fina aqui porque explora a variância, e não apenas a média. (O valor verdadeiro de $\P(X \geq 75)$ é menor que $10^{-6}$ : as duas cotas são grosseiras.)

Exercício 34.3 ★

Uma moeda honesta é lançada $n$ vezes e $F_n$ denota a frequência de caras. Quão grande deve ser $n$ para que, pela cota de Bienaymé–Chebyshev, $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$ ?

Solução

Solução de Exercício 34.3.

$F_n$ é a média amostral de $n$ variáveis de Bernoulli $\left(\frac12\right)$ , de variância $\sigma^2 = \frac14$ . A cota

\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right) \leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}

é $\leq 0.05$ assim que $n \geq 2000$ .

Exercício 34.4 ★★

Uma investidora reparte seu capital igualmente entre $n$ ativos independentes, cada um com retorno esperado $\mu = 5\%$ e desvio padrão $\sigma = 20\%$ . Calcule a esperança e o desvio padrão do retorno da carteira $M_n$ , e o número de ativos necessário para levar o desvio padrão abaixo de $4\%$ . Que princípio financeiro isso ilustra?

Solução

Solução de Exercício 34.4.

Pela Proposição 34.6, $\E(M_n) = 5\%$ (a diversificação não altera o retorno esperado) e $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$ . Exigir $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ dá $\sqrt n > 5$ , isto é, $n \geq 26$ . Este é o princípio da diversificação: repartir o capital entre riscos independentes divide o risco (o desvio padrão) por $\sqrt n$ sem reduzir o retorno esperado.

Exercício 34.5 ★★

Sejam $X$ e $Y$ independentes, ambas uniformes em $\{1, 2, 3\}$ .

Dê a distribuição de $S = X + Y$ e calcule $\E(S)$ , $\V(S)$ diretamente a partir dela.
Recupere os dois valores pela linearidade e pela aditividade da variância.

Solução

Solução de Exercício 34.5.

1. Contando os $9$ pares igualmente prováveis: $S$ assume os valores $2, 3, 4, 5, 6$ com probabilidades $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$ . Logo $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ e $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$ , de modo que $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$ .

2. Uma variável: $\E(X) = 2$ , $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ , $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$ . Então $\E(S) = 2 + 2 = 4$ e, por independência, $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$ . Os mesmos valores.

Exercício 34.6 ★★

Mostre que a aditividade da variância pode falhar sem independência: calcule $\V(X + Y)$ para $Y = X$ e compare com $\V(X) + \V(Y)$ . Para quais variáveis $X$ vale $\V(2X) = 2\V(X)$ ?

Solução

Solução de Exercício 34.6.

Com $Y = X$ : $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$ , enquanto $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$ . Os dois só coincidem quando $\V(X) = 0$ , isto é, quando $X$ é constante — de modo que a aditividade exige mesmo a independência (aqui $X$ é maximamente dependente de si mesma).

Exercício 34.7 ★★

Suspeita-se que um dado esteja viciado. Ele é lançado $1200$ vezes e mostra um seis $260$ vezes ( $f = 0.2167$ em vez de $\frac16 \approx 0.1667$ ). Sob a hipótese de que o dado é honesto, limite $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ por Bienaymé–Chebyshev e discuta se a hipótese de honestidade é plausível.

Solução

Solução de Exercício 34.7.

Sob a hipótese de honestidade, $F_n$ é a média de $n = 1200$ variáveis de Bernoulli com $p = \frac16$ , $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$ :

\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right) \leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .

O desvio observado é exatamente $0.05$ : um evento que um dado honesto produz com probabilidade de no máximo $4.6\%$ — e, como Chebyshev é muito conservadora, a probabilidade verdadeira é muito menor. A hipótese de honestidade não é plausível; o dado está muito provavelmente viciado.

Exercício 34.8 ★★★

(Uma desigualdade melhor para a moeda.) Sejam $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ e $F_n = \frac Xn$ .

Mostre que $p(1-p) \leq \frac14$ para $p \in \intcc{0}{1}$ .
Deduza a cota válida para qualquer distribuição $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
Quantas pessoas é preciso entrevistar para que a frequência observada fique a menos de $3$ pontos da proporção verdadeira com probabilidade de pelo menos $95\%$ , usando essa cota? (As pesquisas reais usam estimativas mais finas, mas a ordem de grandeza está certa.)

Solução

Solução de Exercício 34.8.

1. $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$ .

2. $F_n$ tem esperança $p$ e variância $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ ; Bienaymé–Chebyshev dá

\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},

válido qualquer que seja o $p$ desconhecido.

3. Com $\varepsilon = 0.03$ e nível $0.05$ :

\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05 \iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .

Cerca de $5600$ pessoas bastam por essa cota grosseira (a resposta clássica pela aproximação normal fica mais perto de $1100$ , veja o Capítulo 35).

34.4 Problema: a casa sempre ganha

Problema 34.1

Problema de fim de semana — a lei dos grandes números explica cassinos, pesquisas e seguros, e demole a falácia do apostador no caminho

Um jogador de roleta, depois de $100$ rodadas, está — quase tantas vezes quantas não — ganhando. O cassino que roda um milhão de rodadas está ganhando com uma certeza que nenhum tribunal questionaria. Mesmo jogo, mesma vantagem minúscula — a diferença é $\sqrt n$ , e é o assunto deste capítulo (Proposição 34.6, Teorema 34.8, Teorema 34.9). Este problema faz a contabilidade do cassino, dimensiona uma pesquisa eleitoral, precifica a diversificação — e desmonta a falácia mais cara da história do jogo.

Parte I — Fluência.

Dois dados independentes: calcule $V(X + Y)$ (Teorema 34.4).
Lance $100$ dados independentes e faça a média dos resultados: dê a esperança e o desvio padrão da média amostral (Proposição 34.6; para um dado, $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
Uma variável aleatória não negativa tem esperança $2$ . O que a desigualdade de Markov (Teorema 34.7) diz sobre $\P(X \geq 10)$ ?
Limite $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq 0.5\right)$ para a média dos dados da questão 2 com Bienaymé–Chebyshev.
As esperanças sempre se somam; as variâncias, só sob independência: exiba $X, Y$ dependentes (dica: $Y = -X$ ) para os quais $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ .

Parte II — A contabilidade da casa. Roleta europeia, aposta de $1$ euro no vermelho: ganha $+1$ com probabilidade $\frac{18}{37}$ , perde $-1$ com probabilidade $\frac{19}{37}$ .

Calcule a esperança e o desvio padrão do ganho de uma aposta.
Um apostador faz $100$ apostas independentes; seja $G$ o ganho total. Calcule $\E(G)$ e $\sigma(G)$ , e depois a razão $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . O que uma deriva de um quarto de desvio padrão significa para as chances de o apostador estar ganhando ao fim da noite?
O cassino vê $1\,000\,000$ de apostas. Calcule a esperança e o desvio padrão de seu faturamento total e a mesma razão. Interprete o número $27$ .
Certifique com Chebyshev: limite a probabilidade de o cassino perder dinheiro ao longo do milhão de apostas.
Sistemas de aposta: dobrar após as perdas, parar quando estiver ganhando … Usando a linearidade da esperança (Teorema 34.1) sobre a sequência (possivelmente aleatória) de apostas, explique por que toda estratégia em um jogo de vantagem negativa tem ganho esperado negativo — o que um sistema vencedor violaria?
Enuncie o que a lei dos grandes números (Teorema 34.9) promete sobre a frequência do vermelho — e o que ela não promete sobre a próxima rodada depois de dez vermelhos seguidos. Nomeie a falácia.
O ponto mais sutil: a lei funciona por diluição, não por compensação. Se os vermelhos ficam $100$ acima da expectativa depois de certa noite, esse excedente nunca é “devolvido” — calcule o que acontece, em vez disso, com a fração $\frac{100}{n}$ até $n = 10^6$ , e reescreva o erro da falácia do apostador em uma frase.

Parte III — Pesquisas de opinião.

A partir do Exercício 34.8: quantas pessoas é preciso entrevistar para que a frequência observada fique a menos de $3$ pontos da verdade com probabilidade de pelo menos $95\,\%$ , pela cota de Chebyshev válida para qualquer distribuição?
Os institutos de pesquisa reais usam cerca de $1\,100$ pessoas para uma margem de $\pm 3$ pontos a $95\,\%$ : a fórmula deles é $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)} {\varepsilon^2}$ com $p(1-p) \leq \frac14$ . Avalie-a e explique a diferença em relação à questão 13 (o que Chebyshev não sabe sobre a forma das flutuações?).
Para reduzir à metade a margem de erro, como a amostra deve crescer? De $\pm 3$ pontos com $1\,100$ , que amostra dá $\pm 1.5$ ponto?
O clássico contraintuitivo: o tamanho de amostra necessário nunca usou o tamanho da população — $1\,100$ pessoas bastam para uma cidade ou para um continente. Aponte o lugar do modelo em que o tamanho da população está ausente e dê a analogia de cozinha que os institutos de pesquisa usam.

Parte IV — Diversificação.

A seguradora do Problema 33.1 ganha $30n$ euros em esperança sobre $n$ apólices, com um desvio padrão dos sinistros de cerca de $315\sqrt n$ . Para qual $n$ o lucro esperado finalmente supera um desvio padrão dos sinistros? O que o $\sqrt n$ está fazendo pela seguradora?
O retorno anual de uma ação flutua com $\sigma = 20\,\%$ . Reparta o dinheiro igualmente entre $25$ ações desse tipo independentes: calcule o $\sigma$ da carteira. As finanças chamam a diversificação de o único almoço grátis — em que consiste, exatamente, esse almoço?
Agora suponha as $25$ ações perfeitamente correlacionadas (todas se movem juntas): qual é o $\sigma$ da carteira? Compare os dois extremos e diga que hipótese todo raciocínio de diversificação aluga em segredo — e o que aconteceu quando ela falhou em todo o sistema em 2008.
Finale — a sinfonia do $\sqrt n$ : as somas flutuam como $\sqrt n$ enquanto suas médias se assentam como $\frac{1}{\sqrt n}$ ; toque o tema pelas quatro indústrias deste problema (cassino, pesquisas, seguros, carteiras), nomeie os dois abusadores de plantão (a falácia do apostador e a independência falsa) e dê o ponteiro adiante: a forma das flutuações — o sino — é a estrela contínua do próximo capítulo, e seu teorema completo coroa os volumes de graduação.

Solução

Solução de Problema 34.1.

1. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ (independência).

2. $\E(\bar X) = 3.5$ ; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$ : a média de cem dados abraça $3.5$ a menos de um quinto de ponto.

3. $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$ .

4. $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} = \frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$ : no máximo uns $12\,\%$ .

5. Com $Y = -X$ : $V(X + Y) = V(0) = 0$ , enquanto $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : variáveis perfeitamente anticorrelacionadas se cancelam — somar variâncias é um privilégio da independência.

6. $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$ ; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$ .

7. $\E(G) = -2.70$ , $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$ : a deriva é de apenas $0.27\sigma$ . O ruído da noite esmaga a vantagem — uma grande minoria de apostadores (uns $40\,\%$ , diz o sino) sai ganhando, e é exatamente isso que os faz voltar.

8. Faturamento do cassino: esperança $+27\,027$ euros, desvio padrão $\approx 1\,000$ : o lucro fica $27$ desvios padrão acima de zero. A $27\sigma$ , “o cassino pode perder este ano” não é um risco, é um erro de arredondamento.

9. $\P(\text{perda}) = \P(G \geq 27\,027$ para os apostadores $)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$ : até a mais tosca desigualdade do livro garante a casa a $99.86\,\%$ — a verdade é astronomicamente mais forte.

10. Cada euro apostado, quando e como quer que seja escolhido, tem retorno esperado de $-\frac{1}{37}$ de si mesmo; por linearidade, o ganho total esperado é $-\frac{1}{37} \times (\text{total apostado})$ , negativo para toda estratégia que aposte alguma coisa. Um sistema vencedor violaria a linearidade da esperança — nenhum encadeamento esperto de apostas ruins faz uma boa. (Os sistemas de dobramento apenas trocam muitas vitórias pequenas por raras perdas catastróficas.)

11. O teorema: a frequência do vermelho ao longo de $n$ rodadas converge (em probabilidade) para $\frac{18}{37}$ . Ele nada diz sobre a rodada $n + 1$ : a roleta não tem memória e, depois de dez vermelhos, a chance de vermelho continua sendo $\frac{18}{37}$ . Acreditar no contrário é a falácia do apostador, e a questão 12 mostra o que de fato acontece com as sequências.

12. O excedente de $100$ vermelhos não é devolvido — as rodadas futuras são cópias honestas, e o excedente esperado continua $100$ . Mas $\frac{100}{10^6} = 0.0001$ : um centésimo de ponto. O erro da falácia em uma frase: a lei dos grandes números dilui os acidentes passados em um oceano de novos ensaios; ela nunca manda a roleta cobrar dívidas.

13. $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2} \approx 5\,556$ pessoas.

14. $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$ : cinco vezes menos. Chebyshev vale para toda distribuição e paga sua universalidade com folga; a constante $1.96$ dos institutos de pesquisa vem da forma de sino real das flutuações, que se concentra muito mais.

15. Margem $\propto \frac{1}{\sqrt n}$ : reduzi-la à metade quadruplica a amostra — cerca de $4\,400$ pessoas para $\pm 1.5$ ponto. A precisão se compra a preços quadráticos.

16. O modelo é de $n$ retiradas independentes com probabilidade de sucesso $p$ — o tamanho $N$ da população nunca aparece (amostrar uma fração minúscula de uma população grande e bem misturada é o que a independência codifica). A analogia dos institutos: para provar a sopa, uma colherada bem mexida basta — sirva a panela dez ou dez mil pessoas. O problema está na mexida — um cadastro de amostragem enviesado, como na pesquisa do volume do ensino fundamental que enganou um país — e não na panela.

17. $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$ : passadas cem apólices, a deriva supera o ruído, e cada apólice a mais alarga a diferença pela lei do $\sqrt n$ — o agrupamento é o modelo de negócio.

18. Partes iguais e independentes: $\sigma_{\text{cart}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$ : mesmo retorno esperado, um quinto da flutuação. O almoço: redução de risco a custo zero em esperança — a média de aleatoriedades independentes.

19. Perfeitamente correlacionadas: a carteira é uma única ação em $25$ fantasias: $\sigma = 20\,\%$ , redução nenhuma. A diversificação aluga a independência; quando uma crise correlaciona tudo (2008: todas as apostas imobiliárias eram uma só aposta), a proteção do $\sqrt n$ evapora exatamente quando é necessária.

20. As somas derivam como $n$ e flutuam como $\sqrt n$ , de modo que as médias se assentam como $\frac{1}{\sqrt n}$ : o cassino embolsa a deriva ao longo de um milhão de rodadas; o instituto de pesquisa compra $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ de ruído com um orçamento de telefonemas; a seguradora ultrapassa os próprios sinistros em $n > 110$ ; a investidora divide o risco por $\sqrt{25}$ . Abusadores: o apostador que acredita em dívidas (só existe diluição) e o financista que acredita em independência (às vezes só existe uma aposta). A forma universal das flutuações — o sino — é a estrela do capítulo contínuo, e seu teorema, o teorema central do limite, é o cume da probabilidade dos volumes de graduação.