Matemática do ensino médio · Grades 10–12

7Equações de retas e sistemas lineares

Uma reta no plano cartesiano é descrita por uma equação, e duas retas juntas formam um sistema de equações cujas soluções são seus pontos de interseção. Este capítulo conecta três linguagens — a geométrica (retas), a algébrica (equações) e a funcional (funções afins do Capítulo 4) — e ensina as duas maneiras usuais de resolver um sistema linear.

7.1 A equação de uma reta

Teorema 7.1 (Equação reduzida)

Em um sistema de coordenadas:

toda reta não vertical tem uma equação da forma

$y = mx + p ,$

com $m$ (o coeficiente angular) e $p$ (o coeficiente linear) unicamente determinados — essa é a equação reduzida da reta;
toda reta vertical tem uma equação $x = c$ ;
um ponto está na reta exatamente quando suas coordenadas satisfazem a equação.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Proposição 7.2 (Coeficiente angular por dois pontos)

O coeficiente angular da reta (não vertical) que passa por $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ , com $x_A \neq x_B$ , é

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{(``variação de $y$ sobre variação de $x$'').}

Demonstração. Os dois pontos satisfazem $y = mx + p$ , logo $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; divida por $x_B - x_A \neq 0$ . ∎

Três tipos de reta: inclinada (m ≠ 0), horizontal (m = 0) e vertical (sem equação reduzida — sua equação é x = c). — Três tipos de reta: inclinada ( $m \neq 0$ ), horizontal ( $m = 0$ ) e vertical (sem equação reduzida — sua equação é $x = c$ ).

Método 7.3 (Achar a equação da reta por dois pontos)

Dados $A$ e $B$ com $x_A \neq x_B$ :

calcule o coeficiente angular $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
escreva $y = mx + p$ e substitua as coordenadas de $A$ (ou de $B$ ) para achar $p$ ;
confira a equação final com o outro ponto.

Se $x_A = x_B$ , a reta é vertical: sua equação é $x = x_A$ .

Exemplo 7.4

Reta por $A(1, 5)$ e $B(3, 1)$ . Coeficiente angular: $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$ . Então $y = -2x + p$ ; o ponto $A$ dá $5 = -2 \times 1 + p$ , logo $p = 7$ . Equação: $y = -2x + 7$ . Confira com $B$ : $-2 \times 3 + 7 = 1$ .

Proposição 7.5 (Retas paralelas)

Duas retas não verticais são paralelas se, e somente se, têm o mesmo coeficiente angular. Duas retas paralelas distintas não têm ponto comum; duas retas de coeficientes angulares diferentes têm exatamente um.

Demonstração. Sejam $y = mx + p$ e $y = m'x + p'$ as duas retas. Um ponto comum resolve $mx + p = m'x + p'$ , isto é, $(m - m')x = p' - p$ . Se $m \neq m'$ , isso tem exatamente uma solução $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ : um ponto de interseção. Se $m = m'$ , a equação fica $0 = p' - p$ : nenhuma solução quando $p \neq p'$ (paralelas distintas), e todo $x$ quando $p = p'$ (a mesma reta). O paralelismo (não ter interseção, ou coincidir) é, portanto, equivalente a $m = m'$ . ∎

Observação 7.6 (Vetor diretor)

A reta $y = mx + p$ sobe $m$ unidades a cada unidade para a direita, de modo que o vetor $\vec u\,(1, m)$ é um vetor diretor da reta: a reta é paralela a $\vec u$ . Duas retas são paralelas exatamente quando seus vetores diretores são colineares (Teorema 6.13).

7.2 Sistemas lineares

Definição 7.7 (Sistema linear)

Um sistema de duas equações lineares nas incógnitas $x$ e $y$ é um par de equações

\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}

a serem satisfeitas simultaneamente. Uma solução é um par $(x, y)$ que satisfaz as duas. Cada equação descreve uma reta, de modo que resolver o sistema é encontrar a interseção de duas retas.

Método 7.8 (Substituição)

Isole uma incógnita em uma das equações — escolha a mais fácil, por exemplo exprima $y$ em função de $x$ ;
substitua essa expressão na outra equação, que passa a conter apenas $x$ ;
resolva em $x$ e calcule em seguida $y$ pela etapa 1;
confira o par nas duas equações originais.

Exemplo 7.9

Resolva $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ por substituição. A segunda equação dá $y = 3x - 3$ . Substituindo na primeira:

x + 2(3x - 3) = 8 \ \Longleftrightarrow\ x + 6x - 6 = 8 \ \Longleftrightarrow\ 7x = 14 \ \Longleftrightarrow\ x = 2 ,

e então $y = 3 \times 2 - 3 = 3$ . A solução é o par $(2, 3)$ . Verificação: $2 + 2 \times 3 = 8$ e $3 \times 2 - 3 = 3$ .

Método 7.10 (Eliminação)

Multiplique cada equação por um número bem escolhido, de modo que uma das incógnitas fique com coeficientes opostos nas duas equações;
some as equações: essa incógnita desaparece;
resolva a equação restante, de uma só incógnita, e substitua de volta para achar a outra;
confira o par nas duas equações originais.

Exemplo 7.11

Resolva $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ por eliminação. Para eliminar $y$ , multiplique a primeira equação por $2$ e a segunda por $3$ :

\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}

Somando-as: $19x = 38$ , logo $x = 2$ . Substituindo em $2x + 3y = 7$ : $4 + 3y = 7$ , logo $y = 1$ . Solução: $(2, 1)$ . Verificação na segunda equação: $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$ .

Um sistema linear visto geometricamente: cada equação é uma reta, e a solução (2,1) do é o seu ponto de interseção. — Um sistema linear visto geometricamente: cada equação é uma reta, e a solução $(2,1)$ do Exemplo 7.11 é o seu ponto de interseção.

Observação 7.12 (Quantas soluções?)

Como duas retas, um sistema linear tem em geral exatamente uma solução (retas não paralelas) e, excepcionalmente, nenhuma (paralelas distintas) ou uma infinidade (duas vezes a mesma reta). O critério do Teorema 6.13 decide: o sistema tem solução única exatamente quando $ab' - a'b \neq 0$ .

Exemplo 7.13 (Modelar com um sistema)

Três cadernos e duas canetas custam $8$ ; um caderno e quatro canetas custam $6$ . Seja $x$ o preço de um caderno e $y$ o de uma caneta:

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + 4y = 6 . \end{cases}

Da segunda equação, $x = 6 - 4y$ ; substituindo, $3(6 - 4y) + 2y = 8$ , logo $18 - 10y = 8$ , o que dá $y = 1$ e depois $x = 2$ . Um caderno custa $2$ e uma caneta custa $1$ .

7.3 Exercícios

Exercício 7.1 ★

Para cada reta, leia o coeficiente angular e o coeficiente linear e esboce-a:

y = 2x - 3, \qquad y = -\tfrac13 x + 1, \qquad y = 4, \qquad x = -2 .

Solução

Solução de Exercício 7.1.

$y = 2x - 3$ : coeficiente angular $2$ , coeficiente linear $-3$ . $y = -\frac13 x + 1$ : coeficiente angular $-\frac13$ , coeficiente linear $1$ . $y = 4$ : coeficiente angular $0$ , coeficiente linear $4$ (reta horizontal). $x = -2$ : reta vertical, sem coeficiente angular e sem equação reduzida.

Exercício 7.2 ★

O ponto $A(2, 7)$ pertence à reta $y = 3x + 1$ ? E $B(-1, -1)$ ? E o ponto $C(4, 13)$ ?

Solução

Solução de Exercício 7.2.

$3 \times 2 + 1 = 7$ : sim, $A$ está na reta. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ não está. $3 \times 4 + 1 = 13$ : sim, $C$ está na reta.

Exercício 7.3 ★

Encontre a equação reduzida da reta que passa por:

\text{(a) } A(0, 2) \text{ e } B(3, 8); \qquad \text{(b) } A(-1, 5) \text{ e } B(2, -4); \qquad \text{(c) } A(4, 1) \text{ e } B(4, 6).

Solução

Solução de Exercício 7.3.

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ e $p = y_A = 2$ (o ponto $A$ está sobre o eixo $y$ ): $y = 2x + 2$ .

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; então $5 = -3 \times (-1) + p$ dá $p = 2$ : $y = -3x + 2$ .

Exercício 7.4 ★

Entre as retas $y = 3x - 1$ , $y = -3x + 2$ , $y = 3x + 5$ e $y = \frac{6x + 2}{2}$ , quais são paralelas entre si? Quais são, na verdade, iguais?

Solução

Solução de Exercício 7.4.

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$ . As retas de coeficiente angular $3$ são $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 5$ e $y = 3x + 1$ : essas três são paralelas entre si; nenhuma delas é igual a outra (coeficientes lineares diferentes), e nenhuma é paralela a $y = -3x + 2$ .

Exercício 7.5 ★

Resolva por substituição:

\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \qquad\text{e depois}\qquad \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y = 3 . \end{cases}

Solução

Solução de Exercício 7.5.

Primeiro sistema: substitua $y = 2x - 1$ em $3x + y = 9$ : $3x + 2x - 1 = 9$ , logo $5x = 10$ , $x = 2$ , e então $y = 3$ . Solução: $(2, 3)$ .

Segundo sistema: de $x - y = 4$ , $x = y + 4$ . Então $2(y + 4) + 3y = 3$ , logo $5y = -5$ , $y = -1$ , e então $x = 3$ . Solução: $(3, -1)$ .

Exercício 7.6 ★

Resolva por eliminação:

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad\text{e depois}\qquad \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 . \end{cases}

Solução

Solução de Exercício 7.6.

Primeiro sistema: somar as equações elimina $y$ : $2x = 14$ , $x = 7$ ; e então $7 + y = 10$ dá $y = 3$ . Solução: $(7, 3)$ .

Segundo sistema: multiplique a primeira equação por $5$ e a segunda por $-2$ :

\begin{cases} 15x + 10y = 60 \\ -4x - 10y = -16 \end{cases}

Somando: $11x = 44$ , logo $x = 4$ ; e então $3 \times 4 + 2y = 12$ dá $y = 0$ . Solução: $(4, 0)$ .

Exercício 7.7 ★★

Determine, sem resolvê-los, quantas soluções cada sistema tem:

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 0 . \end{cases}

Solução

Solução de Exercício 7.7.

Calcule $ab' - a'b$ em cada caso.

Primeiro: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$ , e a segunda equação é $-2$ vezes a primeira: duas vezes a mesma reta, uma infinidade de soluções.

Segundo: $ab' - a'b = 0$ de novo, mas os lados direitos não estão na razão $-2$ ( $1 \neq -6$ ): duas retas paralelas distintas, nenhuma solução.

Terceiro: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : exatamente uma solução.

Exercício 7.8 ★★

Foram vendidos duzentos ingressos para uma peça escolar, uns a $5$ (crianças) e outros a $9$ (adultos), totalizando $1352$ . Quantos ingressos de cada tipo foram vendidos?

Solução

Solução de Exercício 7.8.

Seja $x$ o número de ingressos infantis e $y$ o de ingressos de adulto:

\begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 9y = 1352 . \end{cases}

Da primeira equação, $x = 200 - y$ ; substituindo, $5(200 - y) + 9y = 1352$ , logo $1000 + 4y = 1352$ , $y = 88$ , e então $x = 112$ . Portanto, $112$ ingressos infantis e $88$ de adulto. Verificação: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$ .

Exercício 7.9 ★★

Seja $d$ a reta $y = 2x - 3$ e seja $A(1, 4)$ .

Dê a equação da reta $d'$ paralela a $d$ que passa por $A$ .
Calcule o ponto de interseção de $d'$ com o eixo $x$ .

Solução

Solução de Exercício 7.9.

1. Paralela significa mesmo coeficiente angular $2$ : $y = 2x + p$ com $4 = 2 \times 1 + p$ , logo $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$ .

2. Sobre o eixo $x$ , $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ dá $x = -1$ . O ponto de interseção é $(-1, 0)$ .

Exercício 7.10 ★★★

Sejam $A(0, 0)$ , $B(6, 2)$ e $C(2, 4)$ .

Encontre as equações das medianas do triângulo $ABC$ que partem de $A$ e de $B$ (uma mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto).
Calcule seu ponto de interseção $G$ e verifique que $G$ também está na terceira mediana. (Você deve encontrar que as coordenadas de $G$ são as médias das de $A$ , $B$ , $C$ .)

Solução

Solução de Exercício 7.10.

1. Ponto médio de $[BC]$ : $A' = \left(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ . A mediana que parte de $A(0,0)$ tem coeficiente angular $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ : equação $y = \frac34 x$ .

Ponto médio de $[AC]$ : $B' = (1, 2)$ . A mediana que parte de $B(6, 2)$ tem coeficiente angular $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ : é a reta horizontal $y = 2$ .

2. Interseção: $\frac34 x = 2$ dá $x = \frac83$ , logo $G\left(\frac83, 2\right)$ . A terceira mediana liga $C(2,4)$ ao ponto médio de $[AB]$ , $C' = (3, 1)$ ; seu coeficiente angular é $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$ , equação $y = -3x + 10$ . Em $x = \frac83$ : $y = -8 + 10 = 2$ : $G$ está sobre ela. E, de fato, $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : o baricentro é a média das coordenadas dos vértices.

7.4 Problema: Uma solução, nenhuma ou uma infinidade

Problema 7.1

Problema de fim de semana — duas retas têm três destinos possíveis, um determinante decide entre eles, e o mais antigo livro-texto do mundo já sabia disso

Duas equações lineares, duas incógnitas: o par de retas que elas desenham pode se cruzar uma vez, nunca se cruzar, ou ser uma só e mesma reta — e todo sistema linear herda um desses três destinos. Este problema os classifica, apresenta o número que decide (um velho conhecido do capítulo dos vetores), resolve os faisões e coelhos, com dois mil anos, dos Nove Capítulos chineses, e termina com os vértices de regiões — o primeiro passo da otimização usada hoje por toda companhia aérea e toda fábrica.

Parte I — A reta, com fluência.

Encontre a equação reduzida da reta que passa por $(1, 2)$ e $(3, 8)$ (Método 7.3).
Entre $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ e $y = -x + 7$ : quais duas retas são paralelas (Proposição 7.5) e onde se encontram os pares não paralelos? (Calcule uma interseção.)
A reta que passa por $(2, 1)$ e $(2, 5)$ : por que ela não tem equação reduzida $y = mx + p$ e qual é a sua equação?
O ponto $(4, 11)$ está na reta $y = 3x - 1$ ? E $(-1, -5)$ ?
A reta que passa por $(0, 3)$ com coeficiente angular $-2$ : dê sua equação, seus dois pontos de corte com os eixos e a área do triângulo que ela recorta no primeiro quadrante.

Parte II — Três destinos.

Resolva por substituição (Método 7.8): $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
Resolva por eliminação (Método 7.10): $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
Classifique — e interprete com retas — os dois sistemas

$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \qquad\text{e}\qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$

Enuncie a tricotomia completa: concorrentes, paralelas, idênticas — uma solução, nenhuma, uma infinidade.
Para o sistema geral $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ , o número que decide é $ad - bc$ — o mesmo determinante do teste de colinearidade do Problema 6.1. Explique a coincidência (quais dois vetores são colineares exatamente quando as retas são paralelas ou idênticas?) e calcule $ad - bc$ para os três sistemas das questões 7 e 8.
Para que valor de $m$ o sistema $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ não tem solução? Resolva o sistema para todos os demais valores de $m$ … ou, ao menos, explique como você faria.

Parte III — Os Nove Capítulos.

Dos Nove Capítulos sobre a Arte Matemática (China, há cerca de 2000 anos): uma gaiola guarda faisões e coelhos — $35$ cabeças e $94$ patas ao todo. Quantos de cada?
Uma barraca de sucos mistura um xarope com $60\,\%$ de fruta e uma bebida com $20\,\%$ de fruta para obter $30$ L a $35\,\%$ de fruta. Quantos litros de cada?
Um número de dois algarismos tem soma de algarismos $12$ ; trocar seus algarismos de posição o diminui em $18$ . Encontre-o, usando a álgebra dos algarismos do problema de fim de semana correspondente, no volume do ensino fundamental, para montar o sistema.
Na padaria, $3$ cafés e $2$ croissants custam $9.10$ euros; $2$ cafés e $3$ croissants custam $8.90$ euros. Resolva com elegância: o que somar as duas equações e o que subtraí-las dizem de imediato?
Uma banca de feira anuncia: $2$ maçãs $+ 1$ pera por $5$ euros e $4$ maçãs $+ 2$ peras por $9$ euros. Resolva — ou melhor, explique o que o destino do sistema revela sobre a aritmética da banca.

Parte IV — Os vértices mandam.

A reta $y = 3x - 1$ parte o plano em dois. De que lado está a origem? Descreva o conjunto $y > 3x - 1$ e como se testa um ponto contra ele.
Desenhe a região definida pelas quatro restrições

$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4, \qquad y \leq 2x + 1,$

e calcule seus quatro vértices.
O lucro de uma oficina é $P = 3x + 2y$ na região da questão 17. Calcule $P$ nos quatro vértices. Admitindo que o máximo de uma grandeza linear como essa sobre uma região desse tipo é sempre atingido em um vértice (imagine as retas $3x + 2y =$ constante varrendo o plano), dê o plano de produção ótimo.
Os dois táxis do problema de fim de semana sobre os dois termômetros, no volume do ensino fundamental, como sistema: escreva e resolva $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ e interprete a solução.
Final, o dicionário: uma equação $\leftrightarrow$ uma reta; um sistema $\leftrightarrow$ duas retas com três destinos, decididos por $ad - bc$ ; muitas inequações $\leftrightarrow$ uma região cujos vértices carregam o ótimo. Enuncie isso em três frases — você acaba de percorrer o saguão de entrada da álgebra linear e da programação linear, ambas construídas por inteiro nos volumes de graduação.

Solução

Solução de Problema 7.1.

1. Coeficiente angular $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; passando por $(1, 2)$ : $y = 3x - 1$ .

2. $y = 3x - 1$ e $y = 3x + 4$ : mesmo coeficiente angular, paralelas (e distintas). Cruzando $y = 3x - 1$ com $y = -x + 7$ : $3x - 1 = -x + 7$ dá $x = 2$ , $y = 5$ : ponto $(2, 5)$ .

3. Os dois pontos têm $x = 2$ : a reta é vertical, de equação $x = 2$ . Uma forma reduzida $y = mx + p$ responde “um $y$ para cada $x$ ”, o que uma reta vertical recusa: seu coeficiente angular seria infinito.

4. $3 \times 4 - 1 = 11$ : sim, $(4, 11)$ está na reta. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$ : não.

5. $y = -2x + 3$ ; corta os eixos em $(0, 3)$ e $\left(\frac32, 0\right)$ . Área do triângulo: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$ .

6. Substituindo: $3x + 2x - 3 = 7$ , $x = 2$ , $y = 1$ : solução $(2, 1)$ .

7. Somando: $7x = 7$ , $x = 1$ ; então $3y = 6$ , $y = 2$ : solução $(1, 2)$ .

8. Primeiro sistema: a segunda equação é o dobro da primeira: uma reta contada duas vezes — uma infinidade de soluções (todos os pontos de $2x - y = 3$ ). Segundo sistema: lados esquerdos proporcionais, lados direitos não ( $2 \times 3 = 6 \neq 1$ ): duas retas paralelas — nenhuma solução. Tricotomia: coeficientes angulares distintos $\to$ um cruzamento; coeficientes angulares iguais e coeficientes lineares diferentes $\to$ paralelas, nenhuma solução; tudo igual $\to$ a mesma reta, uma infinidade.

9. Os vetores diretores das retas são $(-b, a)$ e $(-d, c)$ (ou, equivalentemente, os coeficientes angulares $-\frac ab$ e $-\frac cd$ ), colineares exatamente quando $ad - bc = 0$ — o determinante do Problema 6.1 em novo emprego. Valores: questão 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$ : solução única. Questão 8: $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ nos dois casos: paralelas ou idênticas, e as constantes separam os dois casos.

10. $ad - bc = 6 - 2m$ : nulo para $m = 3$ . Aí $x + 3y = 3$ contra $2x + 6y = 7$ : dobrar a primeira dá $2x + 6y = 6 \neq 7$ : paralelas, nenhuma solução. Para $m \neq 3$ , a eliminação dá a solução única $y = \frac{1}{6 - 2m}$ , e então $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$ .

11. $f + c = 35$ , $2f + 4c = 94$ : dividindo por dois, $f + 2c = 47$ , logo $c = 12$ e $f = 23$ : vinte e três faisões e doze coelhos — a própria resposta dos Nove Capítulos.

12. $x + y = 30$ e $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$ : subtraindo $0.2 \times$ a primeira, $0.4x = 4.5$ : $x = 11.25$ L de xarope e $y = 18.75$ L de bebida.

13. Algarismos $a$ , $b$ : $a + b = 12$ e $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$ , logo $a - b = 2$ : $a = 7$ , $b = 5$ : o número é $75$ .

14. Somando: $5c + 5r = 18$ , logo $c + r = 3.60$ — um café mais um croissant. Subtraindo: $c - r = 0.20$ . Daí $c = 1.90$ e $r = 1.70$ euros: o atalho simétrico resolveu tudo sem nenhuma substituição.

15. Dobrar o primeiro anúncio dá $4$ maçãs $+ 2$ peras $= 10$ euros, mas a banca cobra $9$ : o sistema é incompatível — retas paralelas, conjunto solução vazio. Veredicto: os dois preços anunciados não podem estar ambos certos; ou há um desconto escondido, ou há um erro de conta.

16. Na origem: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$ : verdadeiro, logo $(0,0)$ está na região $y > 3x - 1$ (acima da reta). Teste qualquer ponto substituindo-o: acima ou abaixo conforme a desigualdade seja verdadeira ou falsa.

17. Vértices: $(0, 0)$ ; $(4, 0)$ (eixos e $x + y = 4$ ); $(0, 1)$ (eixo e $y = 2x + 1$ ); e $x + y = 4$ com $y = 2x + 1$ : $x = 1$ , $y = 3$ : $(1, 3)$ .

18. $P(0,0) = 0$ ; $P(4, 0) = 12$ ; $P(0, 1) = 2$ ; $P(1, 3) = 9$ . Máximo no vértice $(4, 0)$ : o plano $x = 4$ , $y = 0$ rende $12$ — os vértices mandam, como as retas paralelas $3x + 2y = c$ deixam ver ao varrer o plano.

19. $1.5x + 3 = 2x$ dá $x = 6$ , $y = 12$ : em seis quilômetros os dois táxis cobram doze euros — o cruzamento de equilíbrio do problema de fim de semana sobre os dois termômetros, no volume do ensino fundamental, agora como solução única de um sistema.

20. As soluções de uma equação linear desenham uma reta; um sistema superpõe duas retas, e $ad - bc$ diz de imediato se elas se cruzam uma vez (não nulo) ou caem nos casos paralelas-ou-idênticas (nulo). Empilhe inequações em vez disso e as soluções formam uma região poligonal cujos vértices carregam qualquer ótimo linear. A álgebra linear generaliza o determinante para um número qualquer de incógnitas; a programação linear industrializa os vértices.