Matemática do ensino médio · Grades 10–12

17Estatística descritiva

A estatística comprime uma lista de números em alguns resumos significativos: onde os dados se situam (média, mediana) e o quanto eles estão dispersos (quartis, variância, desvio padrão). Este capítulo faz tudo sobre um mesmo exemplo condutor. Os mesmos resumos reaparecem para variáveis aleatórias no Capítulo 18, e suas leis probabilísticas no Capítulo 34.

Ao longo do capítulo, nosso conjunto de dados condutor são as notas (de $0$ a $20$ ) de uma turma de $12$ alunos:

8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .

17.1 Média e mediana

Definição 17.1 (Média)

A média dos valores $x_1, x_2, \dots, x_n$ é

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

Se o valor $x_i$ aparece com frequência $n_i$ (com $n_1 + \dots + n_k = n$ ), então $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ .

Definição 17.2 (Mediana)

Uma mediana de um conjunto de dados ordenado é um valor que o divide ao meio: pelo menos metade dos valores é $\leq$ a ela e pelo menos metade é $\geq$ a ela. Na prática, ordene os $n$ valores; se $n$ é ímpar, a mediana é o valor central; se $n$ é par, tome o ponto médio dos dois valores centrais.

Exemplo 17.3

Para o conjunto condutor, a soma é $144$ , logo $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . Os dois valores centrais ( $6^{\text{o}}$ e $7^{\text{o}}$ da lista ordenada) são ambos $12$ , de modo que a mediana também é $12$ . Média e mediana não precisam coincidir: a mediana ignora a que distância estão os valores extremos, e a média não. Substituir a nota máxima $17$ por $20$ leva a média a $12.25$ , mas deixa a mediana em $12$ .

17.2 Quartis

Definição 17.4 (Quartis, amplitude interquartil)

O primeiro quartil $Q_1$ é o menor valor tal que pelo menos um quarto dos dados seja $\leq Q_1$ ; o terceiro quartil $Q_3$ é o menor valor tal que pelo menos três quartos dos dados sejam $\leq Q_3$ . A amplitude interquartil é $Q_3 - Q_1$ : a largura da metade central dos dados.

Exemplo 17.5

$n = 12$ : um quarto é $3$ , de modo que $Q_1$ é o $3^{\text{o}}$ valor ordenado: $Q_1 = 10$ . Três quartos é $9$ , de modo que $Q_3$ é o $9^{\text{o}}$ valor: $Q_3 = 13$ . A amplitude interquartil é $3$ : a metade central da turma cabe em $3$ pontos de nota.

O conjunto condutor como diagrama de pontos, sua média (em vermelho) e o resumo de cinco números acima dele (em laranja): mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo. A caixa contém a metade central dos dados. — O conjunto condutor como diagrama de pontos, sua média (em vermelho) e o resumo de cinco números acima dele (em laranja): mínimo, $Q_1$ , mediana, $Q_3$ , máximo. A caixa contém a metade central dos dados.

17.3 Variância e desvio padrão

Definição 17.6 (Variância, desvio padrão)

A variância do conjunto de dados é a média dos quadrados dos desvios em relação à média:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,

e o desvio padrão é $\sigma = \sqrt{V}$ , expresso na mesma unidade dos dados.

Proposição 17.7 (Fórmula abreviada)

A variância é a média dos quadrados menos o quadrado da média:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.

Demonstração. Expanda cada quadrado de desvio: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$ . Somando e dividindo por $n$ :

V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .

A mesma identidade, para variáveis aleatórias, é a Proposição 18.13. ∎

Exemplo 17.8

Para o conjunto condutor, os desvios em relação a $\bar x = 12$ são $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ , $5$ ; seus quadrados somam

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

Logo

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ pontos}.

Grosso modo, uma nota típica fica a cerca de $2.6$ pontos da média.

Proposição 17.9 (Mudança de unidades)

Se cada valor é transformado por $y_i = a x_i + b$ , então

\bar y = a \bar x + b, \qquad V_y = a^2\, V_x, \qquad \sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .

Demonstração. $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) + \frac1n \cdot nb = a\bar x + b$ . Em seguida, $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$ : cada desvio fica multiplicado por $a$ (o deslocamento $b$ se cancela), de modo que cada quadrado de desvio fica multiplicado por $a^2$ , e a média deles também. Extraindo a raiz quadrada, $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$ . ∎

Exemplo 17.10

Temperaturas registradas em graus Celsius com média $20$ e desvio padrão $3$ convertem-se para Fahrenheit por $F = 1.8\,C + 32$ : a média passa a $1.8 \times 20 + 32 = 68$ e o desvio padrão a $1.8 \times 3 = 5.4$ . Deslocar um conjunto de dados não muda sua dispersão; reescalá-lo reescala a dispersão.

Método 17.11 (Resumir e comparar conjuntos de dados)

Para comparar dois conjuntos de dados, coloque lado a lado: média (ou mediana) para a posição, desvio padrão (ou amplitude interquartil) para a dispersão. O par (mediana, amplitude interquartil) é robusto a valores extremos; o par (média, desvio padrão) usa todos os valores e alimenta a teoria das probabilidades.

Exemplo 17.12

Dois arqueiros disparam $10$ flechas cada; as pontuações têm média $8.5$ para os dois, mas os desvios padrão são $0.5$ e $2.1$ . Mesmo nível em média — mas o primeiro arqueiro é muito mais consistente.

17.4 Exercícios

Exercício 17.1 ★

Calcule a média, a mediana, os quartis e a amplitude interquartil do conjunto de dados

5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .

Solução

Solução de Exercício 17.1.

$n = 8$ , soma $71$ : média $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$ . Mediana: ponto médio entre o $4^{\text{o}}$ e o $5^{\text{o}}$ valores, $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$ . Quartis: um quarto de $8$ é $2$ , de modo que $Q_1$ é o $2^{\text{o}}$ valor, $7$ ; três quartos é $6$ , de modo que $Q_3$ é o $6^{\text{o}}$ valor, $10$ . Amplitude interquartil: $10 - 7 = 3$ .

Exercício 17.2 ★

Calcule a variância e o desvio padrão do conjunto $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ (primeiro a média, depois a fórmula abreviada da Proposição 17.7).

Solução

Solução de Exercício 17.2.

Soma $40$ , logo $\bar x = 5$ . Soma dos quadrados: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$ . Pela fórmula abreviada,

V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4, \qquad \sigma = 2 .

Exercício 17.3 ★

Um dado é lançado $50$ vezes; os resultados são resumidos por frequências:

resultado	1	2	3	4	5	6
frequência	6	9	8	10	9	8

Calcule o resultado médio e a mediana.

Solução

Solução de Exercício 17.3.

Média:

\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10 + 5 \times 9 + 6 \times 8}{50} = \frac{181}{50} = 3.62 .

Mediana: as frequências acumuladas são $6, 15, 23, 33, \dots$ , de modo que o $25^{\text{o}}$ e o $26^{\text{o}}$ resultados ordenados são ambos $4$ : a mediana é $4$ .

Exercício 17.4 ★★

Uma turma de $15$ alunos tem nota média $11.2$ . Um $16^{\text{o}}$ aluno entra e tira $18$ . Qual é a nova média da turma?

Solução

Solução de Exercício 17.4.

O total das $15$ notas é $15 \times 11.2 = 168$ ; com o recém-chegado, $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$ .

Exercício 17.5 ★★

A média do conjunto $6, 8, x, 12, 14$ é $10$ . Encontre $x$ e calcule em seguida o desvio padrão do conjunto completo.

Solução

Solução de Exercício 17.5.

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ dá $40 + x = 50$ , logo $x = 10$ . Os desvios de $6, 8, 10, 12, 14$ em relação à média $10$ são $-4, -2, 0, 2, 4$ , com quadrados somando $40$ : $V = \frac{40}{5} = 8$ e $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$ .

Exercício 17.6 ★

Notas de média $12.4$ e desvio padrão $2.5$ são reescaladas por $y = \frac{x}{2} + 4$ . Dê a nova média e o novo desvio padrão.

Solução

Solução de Exercício 17.6.

Pela Proposição 17.9 com $a = \frac12$ e $b = 4$ : nova média $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$ ; novo desvio padrão $\frac{2.5}{2} = 1.25$ .

Exercício 17.7 ★★

O grupo A ( $20$ valores) tem média $10$ ; o grupo B ( $30$ valores) tem média $15$ . Calcule a média dos $50$ valores reunidos. Ela é o ponto médio $12.5$ ? Por que não?

Solução

Solução de Exercício 17.7.

A média conjunta é a média ponderada

\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,

e não $12.5$ : o grupo B contribui com mais valores e, portanto, puxa a média conjunta para o seu lado.

Exercício 17.8 ★★

Duas linhas de produção enchem pacotes de $1$ kg de açúcar. As amostras dão: linha 1: média $1.002$ kg, desvio padrão $0.006$ kg; linha 2: média $1.001$ kg, desvio padrão $0.019$ kg. Qual linha deve ser recalibrada primeiro, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 17.8.

As duas linhas estão quase no alvo em média ( $1.002$ e $1.001$ kg), mas o desvio padrão da linha 2 é três vezes maior: seus pacotes variam muito mais, produzindo bem mais pacotes visivelmente cheios demais ou vazios demais. A linha 2 deve ser tratada primeiro — o que precisa de conserto é a consistência, não apenas a média.

Exercício 17.9 ★★

Um conjunto de $n = 10$ valores tem $\sum x_i = 70$ e $\sum x_i^2 = 540$ . Calcule sua média, sua variância e seu desvio padrão.

Solução

Solução de Exercício 17.9.

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$ ; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$ ; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$ .

Exercício 17.10 ★★★

O conjunto $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ contém um valor atípico.

Calcule a média e a mediana com e sem o valor $23$ .
Calcule a amplitude interquartil com e sem o $23$ .
Quais resumos são robustos ao valor atípico? Conclua com uma recomendação.

Solução

Solução de Exercício 17.10.

1. Com o $23$ : soma $50$ , média $5$ ; mediana $=$ ponto médio entre o $5^{\text{o}}$ e o $6^{\text{o}}$ valores $= 3$ . Sem o $23$ : soma $27$ , média $3$ ; mediana ( $5^{\text{o}}$ de $9$ valores) $= 3$ .

2. Com o $23$ ( $n = 10$ ): $Q_1$ é o $3^{\text{o}}$ valor ( $2$ ) e $Q_3$ o $8^{\text{o}}$ ( $4$ ): amplitude interquartil $2$ . Sem ele ( $n = 9$ ): $Q_1$ é o $3^{\text{o}}$ valor ( $2$ ) e $Q_3$ o $7^{\text{o}}$ ( $4$ ): ainda $2$ .

3. O único valor atípico arrasta a média de $3$ para $5$ , mas deixa a mediana e a amplitude interquartil inalteradas: essas duas são robustas. Quando um conjunto de dados pode conter valores aberrantes, informe a mediana e a amplitude interquartil, e não a média e o desvio padrão.

17.5 Problema: O escore z, uma régua universal

Problema 17.1

Problema de fim de semana — os desvios padrão comparam laranjas com maçãs, a desigualdade de Chebyshev transforma $\sigma$ em garantia, e a média ganha sua própria medalha

Um $15/20$ numa prova difícil é melhor que um $13/20$ numa prova fácil? Um $23$ em uma lista de números pequenos é acidente ou valor atípico? Os números brutos não sabem dizer — mas, divididos pelo desvio padrão certo, todos passam a falar uma única língua: a do escore z. Este problema domina a maquinaria da variância (Definição 17.6, Proposição 17.7), constrói a régua universal e demonstra a notável desigualdade que transforma $\sigma$ de um número descritivo em uma garantia.

Parte I — Mecânica da variância.

Para o conjunto $4, 8, 6, 5, 2$ : calcule a média, depois a variância diretamente da definição e depois $\sigma$ .
Recalcule a variância com a fórmula abreviada (Proposição 17.7) — média dos quadrados menos quadrado da média — e confira a concordância.
Com frequências: notas $8$ , $10$ , $14$ obtidas por $3$ , $5$ , $2$ alunos. Calcule a média, a variância e $\sigma$ (duas casas decimais).
Temperaturas têm média $20$ e $\sigma = 3$ (em graus Celsius). Dê a média e $\sigma$ em Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ; Proposição 17.9).
Demonstre as duas regras que acabou de usar: somar uma constante $b$ a todos os valores desloca a média de $b$ e deixa $\sigma$ inalterado; multiplicar por $a$ multiplica a média por $a$ e $\sigma$ por $\abs a$ .

Parte II — A régua universal. O escore z de um valor $x$ em um conjunto de média $\bar x$ e desvio padrão $\sigma$ é $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$ : o número de desvios padrão que separam $x$ da média.

A prova A tem média $12$ e $\sigma = 2$ ; a prova B tem média $8$ e $\sigma = 4$ . Alice tirou $15$ em A e Bruno $13$ em B. Calcule os dois escores z: qual desempenho se destaca mais em relação ao grupo?
Calcule os cinco escores z do conjunto da questão 1 e verifique que eles têm média $0$ e desvio padrão $1$ . Explique, a partir da questão 5, por que a padronização sempre produz média $0$ e $\sigma = 1$ .
Um teste de aptidão tem média $100$ e $\sigma = 15$ . Que pontuação bruta corresponde a $z = 2$ ? Qual é o escore z de $76$ ?
Um pediatra registra o peso de um bebê como “ $z = -2.5$ ”. Diga o que isso significa e por que o crescimento é acompanhado em escores z, e não em quilogramas, à medida que a criança envelhece.
O valor atípico do Exercício 17.10 (conjunto $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): calcule a média, $\sigma$ e o escore z de $23$ . O limiar clássico de alarme é $\abs z \geq 3$ : qual o veredicto?
Recalcule $\sigma$ sem o valor $23$ e o escore z que $23$ teria contra a média e o $\sigma$ dos dados limpos. O que o valor atípico fez com a própria régua destinada a medi-lo, e o que o Exercício 17.10 sugere como contramedida?

Parte III — A garantia de Chebyshev.

Demonstre a desigualdade de Bienaymé–Chebyshev para um conjunto de dados: se uma proporção $p$ dos valores satisfaz $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$ , então, mantendo apenas esses termos na soma da variância,

$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2, \qquad\text{logo}\qquad p \leq \frac{1}{k^2} .$
O que a desigualdade garante sobre a proporção de qualquer conjunto de dados além de $2\sigma$ da sua média? E além de $3\sigma$ ? Verifique a afirmação sobre $2\sigma$ no conjunto da questão 1.
Uma fábrica produz parafusos de média $50$ mm e $\sigma = 0.1$ mm. O que Chebyshev garante sobre a proporção de parafusos fora de $\intcc{49.7}{50.3}$ ? (A produção real se sai muito melhor — a curva em sino do ano 12 transforma esse cauteloso $\frac19$ em uma fração de por cento.)
Dois fundos rendem em média $5\,\%$ ao ano, com $\sigma = 2\,\%$ para o fundo A e $\sigma = 12\,\%$ para o fundo B. Para cada fundo, o que Chebyshev diz sobre a proporção de anos com rendimento abaixo de $-19\,\%$ ? Qual é o nome financeiro de $\sigma$ ?

Parte IV — A medalha da média, e um aviso.

Seja $f(c)$ a média dos quadrados dos desvios $(x_i - c)^2$ em relação a um centro arbitrário $c$ . Demonstre a identidade

$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$

e conclua: a média é o único ponto que minimiza o desvio quadrático médio — sua medalha, correspondente à minimização dos desvios absolutos pela mediana no Problema 8.1.
Verifique a identidade no conjunto da questão 1 com $c = 6$ : calcule $f(6)$ diretamente e pela fórmula.
Mesmos resumos, dados diferentes: verifique que $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ e $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ têm a mesma média, mas não a mesma variância; construa em seguida um conjunto da forma $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ com exatamente a média e a variância de $P$ — e ainda assim com uma forma toda sua.
Demonstre que $\sigma = 0$ obriga todos os valores a serem iguais. (O que tem de ser cada termo de uma soma nula de quadrados?)
Final — a escada do estatístico, uma linha por degrau: centros (média, mediana), dispersões ( $\sigma$ , amplitude interquartil), a régua universal ( $z$ ), a garantia (Chebyshev) e o aviso da questão 18: os resumos comprimem, e comprimir perde — com a curva em sino do ano 12 à espera para transformar escores z em probabilidades exatas.

Solução

Solução de Problema 17.1.

1. Média $\bar x = \frac{25}{5} = 5$ . Quadrados dos desvios: $1, 9, 1, 0, 9$ : variância $\frac{20}{5} = 4$ , logo $\sigma = 2$ .

2. Média dos quadrados: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$ ; menos $\bar x^2 = 25$ : variância $4$ . Mesma resposta, metade do trabalho.

3. Média $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times 14}{10} = 10.2$ ; variância $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 + 2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$ ; $\sigma \approx 2.09$ .

4. Média: $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$ F; $\sigma$ : $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$ F — o deslocamento $+32$ não espalha nada.

5. Somando $b$ : cada desvio $x_i + b - (\bar x + b) = x_i - \bar x$ fica inalterado, e a variância também. Multiplicando por $a$ : os desvios ficam multiplicados por $a$ , seus quadrados por $a^2$ , a variância por $a^2$ e $\sigma$ por $\sqrt{a^2} = \abs a$ .

6. $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$ ; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$ . Alice se destaca mais em relação ao seu grupo: o $15$ da prova difícil vence o $13$ da prova fácil.

7. Escores $z$ : $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$ : média $0$ , desvio padrão $1$ . Em geral, padronizar subtrai $\bar x$ (o que zera a média sem tocar em $\sigma$ ) e depois divide por $\sigma$ (o que torna o novo $\sigma$ igual a $1$ ): a questão 5 aplicada duas vezes.

8. $z = 2$ : $100 + 2 \times 15 = 130$ . E $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$ .

9. O bebê está $2.5$ desvios padrão abaixo do peso médio dos bebês da sua idade — preocupantemente leve para a sua faixa. Quilogramas brutos não podem ser comparados entre idades (todos os bebês ganham peso); os escores z medem cada criança contra o próprio grupo etário, uma régua só para todas as idades.

10. Média $5$ ; média dos quadrados $\frac{622}{10} = 62.2$ , variância $37.2$ , $\sigma \approx 6.10$ ; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$ : pouco abaixo do limiar de alarme — o teste mal pisca.

11. Sem o $23$ : média $3$ , variância $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$ , $\sigma \approx 1.15$ ; contra a régua limpa, o $23$ marca $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$ : um monstro. O valor atípico inflou tanto a média quanto $\sigma$ , camuflando-se — e é por isso que o Exercício 17.10 recomenda resumos robustos (mediana, amplitude interquartil) quando há risco de contaminação.

12. Na soma da variância $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$ , mantenha apenas os termos com $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$ : há $pN$ deles, cada um pelo menos $(k\sigma)^2$ , logo $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 = p\,k^2\sigma^2$ : divida por $k^2 \sigma^2$ (dispersão não nula): $p \leq \frac{1}{k^2}$ .

13. Além de $2\sigma$ : no máximo $\frac14 = 25\,\%$ de qualquer conjunto de dados que seja; além de $3\sigma$ : no máximo $\frac19 \approx 11\,\%$ . Os dados da questão 1: além de $2\sigma = 4$ da média $5$ significa $\leq 1$ ou $\geq 9$ : nenhum dos cinco valores — $0\,\% \leq 25\,\%$ , como prometido.

14. Fora de $\intcc{49.7}{50.3}$ significa além de $3\sigma$ : no máximo $\frac19$ da produção, qualquer que seja a forma da distribuição — Chebyshev não pede nada além de uma média e um $\sigma$ . A produção em forma de sino se concentra muito melhor (cerca de $0.3\,\%$ além de $3\sigma$ ): a lei normal, no ano 12.

15. $-19\,\%$ fica $24$ pontos abaixo da média $5$ . Fundo B: $24 = 2\sigma_B$ : Chebyshev permite até $\frac14$ de anos assim ruins. Fundo A: $24 = 12\sigma_A$ : no máximo $\frac{1}{144}$ . Mesma média, perigos incomparáveis — $\sigma$ é o que as finanças chamam de risco (ou volatilidade).

16. Expanda em torno de $\bar x$ : $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2 = (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) + (\bar x - c)^2$ . Tirando a média: o termo do meio morre (os desvios em relação à média somam zero), restando $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ — mínimo exatamente em $c = \bar x$ , com valor mínimo $\sigma^2$ . A média é o centro de mínimos quadrados, como a mediana é o centro de mínimos desvios absolutos (Problema 8.1).

17. Diretamente: os desvios em relação a $6$ são $-2, 2, 0, -1, -4$ , com quadrados $4, 4, 0, 1, 16$ : $f(6) = \frac{25}{5} = 5$ . Pela fórmula: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$ . Concordam.

18. Os dois têm média $7$ ; variâncias: $P$ : $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$ ; $Q$ : $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$ : dispersões diferentes por trás de uma só média. Para $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ : a variância $\frac{2a^2}{5} = 8$ dá $a = \sqrt{20} \approx 4.47$ : o conjunto $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ carrega exatamente a média e a variância de $P$ com um perfil completamente diferente — os resumos comprimem, e comprimir perde.

19. $\sigma^2 = 0$ significa que uma soma de quadrados $(x_i - \bar x)^2$ se anula; quadrados são $\geq 0$ , de modo que uma soma nula obriga cada termo a ser nulo: $x_i = \bar x$ para todo $i$ — todos os valores iguais.

20. Os centros dizem onde os dados moram; as dispersões dizem com que folga; o escore z estende uma única régua sobre todos os conjuntos, provas, idades e moedas; Chebyshev converte $\sigma$ em garantia incondicional; e a questão 18 nos mantém honestos — nenhum punhado de números jamais contém a história inteira. No ano que vem, a curva em sino afia a régua até transformá-la em probabilidades exatas.