Matemática do ensino médio · 10.º ao 12.º ano

1Números e conjuntos numéricos

A matemática começa com os números, e nem todos os números são da mesma espécie: os que servem para contar, os negativos, as frações e números como $\sqrt 2$ ou $\pi$ que nenhuma fração consegue exprimir. Este capítulo organiza-os em famílias encaixadas, apresenta os intervalos para descrever pedaços da reta numérica e usa o módulo para medir distâncias entre números.

1.1 As famílias de números

Definição 1.1 (Conjuntos numéricos)

$\N$ é o conjunto dos números naturais: $0, 1, 2, 3, \dots$
$\Z$ é o conjunto dos números inteiros: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\Q$ é o conjunto dos números racionais: todos os quocientes $\frac{p}{q}$ com $p \in \Z$ , $q \in \N$ e $q \neq 0$ .
$\R$ é o conjunto dos números reais: todos os números que podem ser colocados sobre a reta numérica.

Notação 1.2

O símbolo $\in$ lê-se “pertence a”: $3 \in \N$ , $-5 \in \Z$ , $\frac23 \in \Q$ . O símbolo $\subset$ lê-se “está contido em”: todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional (por exemplo, $-5 = \frac{-5}{1}$ ) e todo racional é real, de modo que

\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .

Uma barra nega o símbolo: $\frac12 \notin \Z$ .

As famílias encaixadas de números: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Cada anel contém números que não pertencem aos menores. — As famílias encaixadas de números: $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ . Cada anel contém números que não pertencem aos menores.

Exemplo 1.3

Vamos situar alguns números na menor família que os contém.

$\frac{28}{4} = 7$ , logo $\frac{28}{4} \in \N$ mesmo estando escrito como fração: simplifique sempre primeiro.
$-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ é racional, mas não é inteiro.
$0.333\dots$ (o algarismo $3$ repetindo-se indefinidamente) vale $\frac13$ , um número racional.
$\sqrt 2$ e $\pi$ são reais, mas não racionais, como veremos a seguir para $\sqrt 2$ ; tais números são ditos irracionais.

Teorema 1.4 (Irracionalidade de $\sqrt 2$ )

O número $\sqrt 2$ não é racional: nenhuma fração de inteiros tem quadrado $2$ .

Demonstração. Raciocinamos por absurdo, em pequenas etapas.

Suponha $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ , com $p$ e $q$ inteiros positivos e a fração totalmente simplificada, de modo que $p$ e $q$ não são ambos pares.
Elevando os dois lados ao quadrado, $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , isto é, $p^2 = 2q^2$ . Logo $p^2$ é par.
Se $p$ fosse ímpar, digamos $p = 2k+1$ , então $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ seria ímpar. Como $p^2$ é par, $p$ tem de ser par: $p = 2k$ para algum inteiro $k$ .
Substituindo: $(2k)^2 = 2q^2$ , logo $4k^2 = 2q^2$ , logo $q^2 = 2k^2$ . Pelo mesmo argumento da etapa 3, $q$ é par.
Agora $p$ e $q$ são ambos pares, o que contradiz a etapa 1. A hipótese era impossível: $\sqrt 2$ é irracional.

∎

Observação 1.5

Os números racionais são exatamente os números cuja representação decimal ou termina (como $\frac72 = 3.5$ ) ou passa a repetir indefinidamente um mesmo bloco (como $\frac13 = 0.333\dots$ ou $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$ ). Os irracionais, como $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ , têm algarismos decimais que nunca caem em um padrão periódico. Admitimos essa caracterização neste nível.

1.2 A reta numérica e os intervalos

Os números reais preenchem uma reta: escolhidos uma origem $0$ e uma unidade de comprimento, cada número real corresponde a exatamente um ponto.

Definição 1.6 (Intervalo)

Sejam $a$ e $b$ números reais com $a < b$ . Um intervalo é o conjunto de todos os números reais compreendidos entre dois extremos. O colchete indica que o extremo está incluído; o parêntese, que está excluído:

notação	descrição
$\intcc{a}{b}$	$a \leq x \leq b$ (ambos os extremos incluídos)
$\intoo{a}{b}$	$a < x < b$ (ambos os extremos excluídos)
$\intco{a}{b}$	$a \leq x < b$
$\intoc{a}{b}$	$a < x \leq b$
$\intco{a}{+\infty}$	$x \geq a$
$\intoo{-\infty}{b}$	$x < b$

Os símbolos $-\infty$ e $+\infty$ (“infinito”) não são números, apenas uma forma de dizer que o intervalo prossegue indefinidamente; ao lado deles o sinal é sempre um parêntese. A reta inteira $\R$ é o intervalo $\intoo{-\infty}{+\infty}$ .

Intervalos na reta numérica: bolinha cheia para extremo incluído, bolinha vazia para extremo excluído.

Definição 1.7 (Interseção e união)

Sejam $I$ e $J$ dois conjuntos de números reais. A interseção $I \cap J$ (“ $I$ e $J$ ”) é o conjunto dos números que pertencem a ambos; a união $I \cup J$ (“ $I$ ou $J$ ”) é o conjunto dos números que pertencem a pelo menos um deles.

Exemplo 1.8

Tome $I = \intcc{-1}{3}$ e $J = \intoo{1}{5}$ . Desenhe os dois sobre a mesma reta: eles se sobrepõem entre $1$ e $3$ . Portanto

I \cap J = \intoc{1}{3}, \qquad I \cup J = \intco{-1}{5}.

Repare nos extremos: $1 \notin J$ , logo $1 \notin I \cap J$ ; mas $3 \in I$ e $3 \in J$ , logo $3 \in I \cap J$ .

Método 1.9 (Trabalhar com intervalos)

Para achar a interseção ou a união de dois intervalos:

desenhe a reta numérica e marque os quatro extremos;
hachure o primeiro intervalo acima da reta e o segundo abaixo;
a interseção é onde as duas hachuras se sobrepõem; a união é onde há pelo menos uma hachura;
decida cada extremo testando se ele próprio pertence aos dois conjuntos (interseção) ou a pelo menos um (união).

1.3 Módulo e distância

Definição 1.10 (Módulo)

O módulo de um número real $x$ é

\abs{x} = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0, \\ -x & \text{se } x < 0. \end{cases}

Por exemplo, $\abs{7} = 7$ e $\abs{-4} = 4$ . Em todos os casos $\abs{x} \geq 0$ .

Proposição 1.11 (Distância na reta)

Para quaisquer números reais $a$ e $b$ , a distância entre os pontos $a$ e $b$ da reta numérica é $\abs{b - a}$ . Em particular, $\abs{x}$ é a distância de $x$ a $0$ .

Demonstração. Se $b \geq a$ , a distância de $a$ a $b$ é $b - a \geq 0$ , que é igual a $\abs{b-a}$ . Se $b < a$ , a distância é $a - b = -(b - a) > 0$ , que é de novo $\abs{b - a}$ pela definição de módulo. ∎

Proposição 1.12 (Módulo e intervalos)

Sejam $a$ um número real e $r > 0$ . Então

\abs{x - a} \leq r \quad\text{exatamente quando}\quad x \in \intcc{a - r}{a + r}.

Demonstração. $\abs{x-a} \leq r$ diz que a distância de $x$ a $a$ é no máximo $r$ , isto é, que $x$ não se afasta mais do que $r$ de $a$ , para nenhum dos dois lados. Os números que cumprem isso são exatamente os que estão entre $a - r$ e $a + r$ , extremos incluídos. ∎

A desigualdade |x - a| ≤ r descreve o intervalo dos números que estão a distância no máximo r de a. — A desigualdade $\abs{x - a} \leq r$ descreve o intervalo dos números que estão a distância no máximo $r$ de $a$ .

Exemplo 1.13

Resolva $\abs{x - 3} \leq 2$ . As soluções são os números que estão a distância no máximo $2$ de $3$ : o intervalo $\intcc{1}{5}$ . Reciprocamente, o intervalo $\intcc{-1}{7}$ tem centro $\frac{-1+7}{2} = 3$ e raio $\frac{7-(-1)}{2} = 4$ , logo é descrito por $\abs{x - 3} \leq 4$ .

1.4 Aproximações

Os números irracionais, e mesmo a maioria das frações, não podem ser escritos exatamente com um número finito de algarismos decimais; na prática, portanto, nós os aproximamos.

Definição 1.14 (Aproximação com precisão dada)

Um número $d$ é uma aproximação de $x$ com precisão $10^{-n}$ quando $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$ . Truncar ou arredondar a representação decimal após o $n$ -ésimo algarismo produz, em ambos os casos, aproximações desse tipo.

Exemplo 1.15

De $\pi = 3.14159\,26\dots$ : a truncatura $3.141$ e o arredondamento $3.142$ são ambos aproximações de $\pi$ com precisão $10^{-3}$ . O arredondamento fica a distância menor que $\frac12 \times 10^{-3}$ ; a truncatura garante apenas $10^{-3}$ . Escrever $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ enquadra $\pi$ entre dois limitantes decimais.

1.5 Exercícios

Exercício 1.1 ★

Para cada número, indique o menor dos conjuntos $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ ao qual ele pertence:

\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad \sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .

Solução

Solução de Exercício 1.1.

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$ . $-7 \in \Z$ . $\frac{22}{7} \in \Q$ (não é inteiro: $22 = 7 \times 3 + 1$ ). $\sqrt 9 = 3 \in \N$ . $\sqrt{10} \in \R$ (irracional, pois $10$ não é o quadrado de um racional — admitido aqui, no espírito do Teorema 1.4). $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$ . $0 \in \N$ .

Exercício 1.2 ★

Escreva cada afirmação em notação de intervalo e depois represente-a na reta numérica: (a) $-2 \leq x < 5$ ; (b) $x > 3$ ; (c) $x \leq -1$ ; (d) a distância de $x$ a $2$ é no máximo $3$ .

Solução

Solução de Exercício 1.2.

(a) $\intco{-2}{5}$ : bolinha cheia em $-2$ , bolinha vazia em $5$ . (b) $\intoo{3}{+\infty}$ : bolinha vazia em $3$ , hachura para a direita. (c) $\intoc{-\infty}{-1}$ : hachura vinda da esquerda até uma bolinha cheia em $-1$ . (d) “distância de $x$ a $2$ no máximo $3$ ” significa $\abs{x - 2} \leq 3$ , isto é, $x \in \intcc{-1}{5}$ : bolinhas cheias em $-1$ e $5$ .

Exercício 1.3 ★

Calcule $I \cap J$ e $I \cup J$ para

\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4}; \qquad \text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.

Solução

Solução de Exercício 1.3.

(a) Os dois intervalos se sobrepõem entre $0$ e $2$ : $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ( $0 \in J$ e $2 \in I$ , e ambos pertencem também ao outro conjunto), e $I \cup J = \intco{-3}{4}$ .

(b) $I \cap J$ é o conjunto dos $x$ com $-2 \leq x$ e $x < 1$ : $\intco{-2}{1}$ . A união cobre tudo: $I \cup J = \R$ .

Exercício 1.4 ★

Calcule sem calculadora:

\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad \abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.

Solução

Solução de Exercício 1.4.

$\abs{-6} = 6$ ; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$ ; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$ ; $\sqrt 2 > 1$ , logo $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$ ; $1 - \sqrt2 < 0$ , logo $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ também (um número e o seu oposto têm o mesmo módulo).

Exercício 1.5 ★

Resolva as equações e inequações e dê os conjuntos solução:

\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad \abs{x + 2} < 3 .

(Observe que $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ é uma distância a $-2$ .)

Solução

Solução de Exercício 1.5.

$\abs{x} = 5$ : distância $5$ a $0$ , logo $x = 5$ ou $x = -5$ .

$\abs{x - 1} = 3$ : distância $3$ a $1$ , logo $x = 4$ ou $x = -2$ .

$\abs{x - 4} \leq 1$ : distância no máximo $1$ a $4$ , logo $x \in \intcc{3}{5}$ .

$\abs{x + 2} < 3$ : distância estritamente menor que $3$ a $-2$ , logo $x \in \intoo{-5}{1}$ .

Exercício 1.6 ★★

Descreva cada intervalo por uma desigualdade da forma $\abs{x - a} \leq r$ ou $\abs{x - a} < r$ :

\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.

Solução

Solução de Exercício 1.6.

Cada intervalo é descrito pelo seu centro $a$ (ponto médio dos extremos) e pelo seu raio $r$ (metade do comprimento).

$\intcc{2}{8}$ : $a = 5$ , $r = 3$ , logo $\abs{x - 5} \leq 3$ .

$\intoo{-5}{1}$ : $a = -2$ , $r = 3$ , extremos abertos, logo $\abs{x + 2} < 3$ .

$\intcc{-7}{-3}$ : $a = -5$ , $r = 2$ , logo $\abs{x + 5} \leq 2$ .

Exercício 1.7 ★★

Mostre que $0.272727\dots$ (o bloco $27$ repetindo-se indefinidamente) é racional. (Sugestão: chame-o de $x$ e calcule $100x - x$ .)

Solução

Solução de Exercício 1.7.

Seja $x = 0.272727\dots$ Então $100x = 27.2727\dots$ e, subtraindo,

100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,

logo $99x = 27$ e $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ , um quociente de inteiros: $x$ é racional.

Exercício 1.8 ★★

Verdadeiro ou falso? Justifique cada resposta com um argumento ou um contraexemplo.

A soma de dois inteiros é um inteiro.
O quociente de dois inteiros é um inteiro.
A soma de dois números racionais é racional.
A soma de um número racional com um número irracional é irracional.

Solução

Solução de Exercício 1.8.

1. Verdadeiro: somar inteiros (positivos ou negativos) produz sempre um inteiro.

2. Falso: $\frac{1}{2}$ é o quociente dos inteiros $1$ e $2$ e não é inteiro.

3. Verdadeiro: $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ é de novo um quociente de inteiros (com denominador não nulo).

4. Verdadeiro: suponha $r$ racional, $t$ irracional e $r + t = s$ racional. Então $t = s - r$ seria uma diferença de dois racionais, logo racional (por 3, aplicado com $-r$ ) — contradição. Portanto $r + t$ é irracional.

Exercício 1.9 ★★

Usando $1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$ , enquadre os números $2\sqrt2$ , $\sqrt2 + 3$ e $-\sqrt2$ entre dois limitantes decimais.

Solução

Solução de Exercício 1.9.

Multiplicando $1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ por $2 > 0$ : $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$ .

Somando $3$ : $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$ .

Multiplicar por $-1 < 0$ inverte as desigualdades: $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$ .

Exercício 1.10 ★★★

Adapte a demonstração do Teorema 1.4 para mostrar que $\sqrt 3$ é irracional. (Troque “par” por “múltiplo de $3$ ”: verifique primeiro que, se $p^2$ é múltiplo de $3$ , então $p$ também é, examinando os restos $0$ , $1$ , $2$ da divisão de $p$ por $3$ .)

Solução

Solução de Exercício 1.10.

Primeiro o fato auxiliar. Divida $p$ por $3$ : o resto é $0$ , $1$ ou $2$ , isto é, $p = 3k$ , $p = 3k+1$ ou $p = 3k+2$ . Elevando ao quadrado:

(3k)^2 = 3(3k^2), \quad (3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad (3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .

Só o primeiro é múltiplo de $3$ : se $p^2$ é múltiplo de $3$ , então $p$ também é.

Agora suponha $\sqrt3 = \frac pq$ totalmente simplificada. Elevando ao quadrado, $p^2 = 3q^2$ , logo $p^2$ é múltiplo de $3$ , logo $p = 3k$ . Então $9k^2 = 3q^2$ , logo $q^2 = 3k^2$ e $q$ também é múltiplo de $3$ — mas então a fração $\frac pq$ não estava totalmente simplificada: contradição. Portanto $\sqrt3$ é irracional.

1.6 Problema: Entre dois números quaisquer

Problema 1.1

Problema de fim de semana — racionais e irracionais entrelaçam-se: todo intervalo, por menor que seja, contém uma infinidade de cada um, e nenhuma medição consegue distingui-los

Os racionais parecem uma multidão (todas as frações!) e os irracionais, exceções exóticas ( $\sqrt2$ , $\pi$ ). Este problema revela o quadro verdadeiro: as duas famílias entrelaçam-se tão finamente que todo intervalo da reta numérica, por microscópico que seja, contém uma infinidade de cada uma — com consequências estranhas, como esta: nenhuma medição física, por mais precisa, jamais poderá decidir se um comprimento é racional.

Parte I — Os quatro reinos.

Para cada número, nomeie o menor dos conjuntos $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ que o contém (Definição 1.1): $-7$ ; $\frac{13}{4}$ ; $\sqrt{16}$ ; $0.121212\ldots$ (lembre-se do problema de fim de semana sobre dízimas periódicas do volume do ensino fundamental); $\sqrt8$ ; $\pi$ (admita sua irracionalidade — demonstrada apenas nos volumes de graduação).
Prove que $\Q$ é estável pela adição e pela multiplicação: se $x = \frac pq$ e $y = \frac rs$ são racionais, escreva $x + y$ e $xy$ como frações únicas.
Deduza por absurdo: (a) a soma de um racional com um irracional é irracional; (b) o produto de um racional não nulo por um irracional é irracional.
Mostre que o conjunto dos irracionais não é estável por nenhuma das duas operações: exiba dois irracionais cuja soma é racional e dois cujo produto é racional.
Situe $\sqrt2 + \sqrt8$ e $\sqrt2 \times \sqrt8$ nos quatro reinos (simplifique $\sqrt8$ primeiro, pelo método do volume do ensino fundamental).

Parte II — Os racionais são densos.

Encontre um racional estritamente entre $3.47$ e $3.48$ ; depois um segundo; depois descreva como produzir quantos se queira (o zoom do problema de fim de semana sobre o número seguinte que não existe, do volume do ensino fundamental, agora com uma demonstração à vista).
O teorema geral. Sejam $a < b$ dois reais quaisquer, com folga $g = b - a > 0$ . Escolha $n$ com $10^{-n} < g$ e considere os múltiplos de $10^{-n}$ (a grade decimal de passo $10^{-n}$ ). Explique por que pelo menos um ponto da grade cai estritamente entre $a$ e $b$ e conclua: todo intervalo de comprimento positivo contém um número racional.
Reforce a conclusão: todo intervalo desses contém uma infinidade de racionais. (Aplique de novo a questão 7, dentro de um intervalo menor.)
Agora os irracionais: dados $a < b$ , tome um racional $r$ estritamente no interior (questão 7) e considere os números $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ . Usando a questão 3, mostre que eles são irracionais e que, para $k$ grande o bastante, continuam dentro do intervalo: todo intervalo também contém uma infinidade de irracionais.
Dois enigmas clássicos resolvidos: existe um menor número real positivo? Existe um real “logo depois de $3$ ”? Responda aos dois com o teorema da questão 7 e saúde a versão da infância (o problema de fim de semana sobre o número seguinte que não existe, do volume do ensino fundamental).

Parte III — O módulo, a geometria de $\R$ .

Resolva e exprima as soluções como intervalos ou uniões (Proposição 1.12): $\abs{x - 5} = 2$ ; $\abs{x - 5} < 2$ ; $\abs{x + 1} \geq 3$ .
Um pistão deve ser fabricado com $80$ mm dentro de uma tolerância de $0.05$ mm. Escreva a exigência com um módulo e depois como intervalo. Dois pistões medem $79.97$ e $80.06$ mm: quais são os veredictos?
A desigualdade triangular na reta: $\abs{a + b} \leq \abs a + \abs b$ . Verifique-a em $(a, b) = (3, -5)$ e $(-2, -7)$ , demonstre-a quando $a$ e $b$ têm o mesmo sinal e quando têm sinais contrários, e diga exatamente quando vale a igualdade.
Resolva $\abs{x - 2} = \abs{x + 4}$ lendo-a como uma igualdade de distâncias na reta. Que ponto do problema de fim de semana sobre os dois espelhos, do volume do ensino fundamental, você acabou de calcular, uma dimensão abaixo?
Simplifique $\sqrt{x^2}$ — com cuidado. Teste sua fórmula em $x = 3$ e $x = -3$ e use-a em seguida para resolver $x^2 < 9$ com um módulo.

Parte IV — O que nenhuma medição decide.

Um físico mede uma barra: $1.41421 \pm 0.00001$ m. Alguma medição desse tipo — esta ou uma futura, mais precisa — poderá algum dia provar que o comprimento da barra é irracional? Ou que é racional? Use as questões 7 e 9 sobre o intervalo de tolerância e explique por que só uma demonstração (como a da diagonal, no problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental) pode decidir a irracionalidade.
As truncaturas $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , $1.4142,\dots$ de $\sqrt2$ são todas racionais. O que elas mostram sobre o quanto $\Q$ se comprime contra cada irracional? Formule o fato geral.
Aritmética de intervalos: valores medidos $a = 2.5 \pm 0.1$ e $b = 1.2 \pm 0.1$ . Enquadre $a + b$ e $a \times b$ entre limitantes seguros. Qual das duas operações degrada mais a precisão?
Uma regra de engenheiro diz que os erros de medições independentes “somam-se” nas somas: exprima com a desigualdade triangular (questão 13) por que o erro de $a + b$ é no máximo a soma dos erros — a desigualdade é a regra de engenharia.
Final, em um parágrafo curto: reúna o retrato da reta real estabelecido por este problema e por seus antecessores — nenhum número seguinte (o problema de fim de semana sobre o número seguinte que não existe, do volume do ensino fundamental), racionais $=$ decimais que param ou se repetem (o problema de fim de semana sobre dízimas periódicas do mesmo volume), as duas famílias densas (questões 8 e 9), a medição para sempre indecisa (questão 16). Termine com a provocação que este capítulo ainda não pode demonstrar: num sentido preciso há muitíssimo mais irracionais do que racionais — os volumes de graduação contam os infinitos.

Solução

Solução de Problema 1.1.

1. $-7 \in \Z$ ; $\frac{13}{4} \in \Q$ ; $\sqrt{16} = 4 \in \N$ ; $0.121212\ldots = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \in \Q$ (o problema de fim de semana sobre dízimas periódicas do volume do ensino fundamental); $\sqrt8 = 2\sqrt2$ é irracional: menor conjunto $\R$ ; $\pi$ : $\R$ .

2. $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ e $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$ : quocientes de inteiros com denominadores não nulos — racionais.

3. (a) Se $r$ é racional, $x$ é irracional e $r + x = q$ fosse racional, então $x = q - r$ seria uma diferença de racionais, logo racional (questão 2): contradição. (b) Se $r \neq 0$ e $r x = q$ fosse racional, então $x = \frac qr$ seria racional: contradição.

4. $\sqrt2$ e $-\sqrt2$ são irracionais e têm soma $0$ ; $\sqrt2$ e $\sqrt2$ têm produto $2$ . Resultados racionais a partir de ingredientes irracionais: os irracionais não formam um reino estável.

5. $\sqrt8 = 2\sqrt2$ , logo $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$ : irracional (questão 3b, com multiplicador $3$ ). E $\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in \N$ : o produto de dois irracionais cai no menor reino de todos.

6. $3.475$ , depois $3.471$ (ou $3.4701$ , $3.47001$ , …): acrescentar algarismos decimais produz indefinidamente novos racionais entre os dois.

7. Os múltiplos de $10^{-n}$ avançam pela reta em passos de $10^{-n} < g$ . O primeiro múltiplo estritamente maior que $a$ — ele existe, pois os múltiplos acabam ultrapassando $a$ — fica no máximo um passo adiante de $a$ , portanto antes de $a + g = b$ : estritamente entre $a$ e $b$ . Um ponto da grade é um decimal, logo um racional: todo intervalo de comprimento positivo contém um.

8. Entre $a$ e o racional $r_1$ obtido na questão 7 há (de novo pela questão 7) um racional $r_2$ ; entre $a$ e $r_2$ , um racional $r_3$ ; e assim por diante: uma infinidade deles, todos distintos, todos no intervalo inicial.

9. $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ é a soma de um racional com um irracional ( $\frac{\sqrt2}{10^k}$ é irracional pela questão 3b), logo é irracional. Como $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ fica abaixo de qualquer limite, para $k$ grande o bastante $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ ainda está antes de $b$ : um irracional dentro do intervalo — e variar $k$ dá uma infinidade deles.

10. Não há menor real positivo: se $s > 0$ o fosse, o intervalo $(0, s)$ ainda conteria um racional (questão 7), positivo e menor que $s$ . Não há número logo depois de $3$ : qualquer candidato $c > 3$ deixa de fora o intervalo $(3, c)$ , que não é vazio — a brincadeira do problema de fim de semana sobre o número seguinte que não existe, do volume do ensino fundamental, agora um teorema sobre $\R$ .

11. $\abs{x - 5} = 2$ : $x = 3$ ou $x = 7$ . $\abs{x - 5} < 2$ : $x \in \intoo{3}{7}$ . $\abs{x + 1} \geq 3$ : distância a $-1$ pelo menos $3$ : $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$ .

12. $\abs{d - 80} \leq 0.05$ , isto é, $d \in \intcc{79.95}{80.05}$ . O pistão de $79.97$ passa; o de $80.06$ é reprovado por um centésimo de milímetro.

13. $(3, -5)$ : $\abs{-2} = 2 \leq 8$ . $(-2, -7)$ : $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$ : igualdade. Sinais iguais: $\abs{a + b}$ é a soma das distâncias, igual a $\abs a + \abs b$ . Sinais contrários: o percurso volta sobre si mesmo, e $\abs{a + b}$ é a diferença das distâncias, estritamente menor que a soma (a menos que um deles seja $0$ ). Há igualdade exatamente quando $a$ e $b$ têm o mesmo sinal ou um deles é nulo.

14. As soluções são os pontos equidistantes de $2$ e $-4$ : o ponto médio, $x = -1$ . É a mediatriz do problema de fim de semana sobre os dois espelhos, do volume do ensino fundamental, reduzida a uma dimensão: um único ponto.

15. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , e não $x$ : para $x = -3$ , $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$ . Então $x^2 < 9$ lê-se $\sqrt{x^2} < 3$ , isto é, $\abs x < 3$ : $x \in \intoo{-3}{3}$ .

16. A medição afirma apenas que o comprimento está no intervalo $\intcc{1.41420}{1.41422}$ — e, pelas questões 7 e 9, esse intervalo contém uma infinidade de racionais e uma infinidade de irracionais. O mesmo vale para toda tolerância futura, por menor que seja. Nenhuma medição consegue separar as duas famílias; só uma demonstração sobre o comprimento exato — como a da diagonal do quadrado de lado $1$ (o problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental) — consegue.

17. Elas se aproximam de $\sqrt2$ com erros abaixo de $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$ : os racionais comprimem-se contra $\sqrt2$ em toda escala. O fato geral: todo número real é aproximado tão bem quanto se queira por racionais (suas truncaturas decimais) — a densidade outra vez, vista do lado do alvo.

18. $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} = \intcc{3.5}{3.9}$ : incerteza $\pm 0.2$ (os erros somaram-se). $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} = \intcc{2.64}{3.38}$ : uma incerteza de cerca de $\pm 0.37$ em torno de $3$ — nos produtos são os erros relativos que se somam, de modo que a precisão se degrada mais depressa.

19. Escreva os valores verdadeiros $a = 2.5 + e_1$ , $b = 1.2 + e_2$ com $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$ . Então o erro da soma é $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} + \abs{e_2} \leq 0.2$ : a regra do engenheiro é a desigualdade triangular da questão 13.

20. A reta real não tem buracos nem vizinhos: depois de um número não vem um “seguinte” (questão 10). Seus pontos dividem-se nos racionais — exatamente os decimais que param ou se repetem (o problema de fim de semana sobre dízimas periódicas do volume do ensino fundamental) — e nos irracionais, e as duas famílias estão tão entrelaçadas que todo intervalo contém uma infinidade de cada uma (questões 8 e 9), razão pela qual nenhuma medição, e sim apenas uma demonstração, consegue distingui-las (questão 16). E a surpresa final, deixada como promessa: os irracionais superam em número os racionais — não contando um a um, mas no sentido preciso de comparar infinitos, uma teoria construída nos volumes de graduação.