Matemática do ensino médio · Grades 10–12

24Funções trigonométricas

As funções $\cos$ e $\sin$ transformam a geometria do círculo em análise. Definidas enrolando a reta real em torno do círculo trigonométrico, elas são o arquétipo das funções periódicas, e suas derivadas fazem delas soluções da equação das oscilações $y'' = -y$ .

24.1 O círculo trigonométrico

Definição 24.1 (Cosseno e seno)

Seja $\mathcal{C}$ o círculo de raio 1 centrado na origem de um sistema de coordenadas ortonormal. A cada real $t$ associe o ponto $M(t)$ obtido enrolando um comprimento $\abs{t}$ ao longo de $\mathcal{C}$ a partir do ponto $I(1,0)$ , no sentido anti-horário se $t \geq 0$ e no horário caso contrário. Então $\cos t$ e $\sin t$ são as coordenadas de $M(t)$ :

M(t) = (\cos t, \sin t).

Como o círculo tem comprimento $2\pi$ , o ponto $M(t)$ não muda quando $t$ aumenta de $2\pi$ ; e, como $M(t)$ está no círculo de raio $1$ :

Proposição 24.2 (Identidades fundamentais)

Para todos $t \in \R$ e $k \in \Z$ :

\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,

\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,

\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

Demonstração. A primeira identidade é a equação do círculo de raio $1$ ; as demais exprimem as simetrias do círculo: $M(-t)$ é o reflexo de $M(t)$ no eixo $x$ , $M(\pi - t)$ no eixo $y$ , e $M(\frac\pi2 - t)$ na reta $y = x$ . ∎

Os valores que se devem saber de cor:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Proposição 24.3 (Fórmulas de adição)

Para todos $a, b \in \R$ :

\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

Em particular, $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ e $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ .

Demonstração. Os vetores $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ e $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ são unitários e formam um ângulo $a - b$ ; seu produto escalar vale tanto $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ (coordenadas) quanto $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (geometria), o que é a terceira fórmula. Trocar $b$ por $-b$ dá a primeira; as fórmulas do seno seguem usando $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$ . As fórmulas do arco duplo são o caso $b = a$ combinado com $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . ∎

24.2 Estudo analítico

Lema 24.4 (Limite fundamental)

\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

Demonstração. Para $0 < t < \frac{\pi}{2}$ , compare três áreas no círculo de raio $1$ : o triângulo $OIM(t)$ , o setor circular $OIM(t)$ e o triângulo retângulo de base $OI$ e altura $\tan t$ :

\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.

As três áreas encaixadas: o triângulo OIM (azul, área t/2), o setor circular (delimitado pelo arco vermelho, área t/2) e o triângulo retângulo de altura t (laranja, área t/2). — As três áreas encaixadas: o triângulo $OIM$ (azul, área $\frac{\sin t}{2}$ ), o setor circular (delimitado pelo arco vermelho, área $\frac{t}{2}$ ) e o triângulo retângulo de altura $\tan t$ (laranja, área $\frac{\tan t}{2}$ ).

A primeira desigualdade dá $\frac{\sin t}{t} \leq 1$ ; a segunda dá $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$ . Quando $t \to 0^+$ , $\cos t \to 1$ (continuidade), e o teorema do confronto dá $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ; a paridade estende isso a $t \to 0$ . Para o segundo limite,

\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

Teorema 24.5 (Derivadas do seno e do cosseno)

As funções $\sin$ e $\cos$ são deriváveis em $\R$ , com

(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

Mais geralmente, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ e $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$ .

Demonstração. Pelas fórmulas de adição,

\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

usando o Lema 24.4. O cálculo para $\cos$ é idêntico, e a forma geral segue da regra da cadeia. ∎

Proposição 24.6 (Variação)

Em $\intcc{0}{\pi}$ , $\cos$ decresce de $1$ a $-1$ . Em $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , $\sin$ cresce de $-1$ a $1$ . As duas funções são $2\pi$ -periódicas e têm imagem $\intcc{-1}{1}$ ; $\cos$ é par e $\sin$ é ímpar.

Demonstração. Em $\intoo{0}{\pi}$ , $(\cos)' = -\sin < 0$ , pois o ponto $M(t)$ tem ali ordenada positiva; analogamente, $(\sin)' = \cos > 0$ em $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ . A periodicidade e a paridade vêm da Proposição 24.2. ∎

As curvas de (azul) e de (vermelho). — As curvas de $\cos$ (azul) e de $\sin$ (vermelho).

Método 24.7 (Resolver $\cos x = a$ e $\sin x = a$ )

Para $a \in \intcc{-1}{1}$ , encontre uma solução particular $\alpha$ (pela tabela de valores ou por uma calculadora). Então todas as soluções são:

\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;

\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

Para inequações, localize os arcos solução no círculo trigonométrico e leia os intervalos dentro de um período.

Exemplo 24.8

Resolva $\cos x = \frac12$ em $\intoc{-\pi}{\pi}$ : uma solução particular é $\frac\pi3$ , de modo que as soluções são $x = \frac\pi3$ e $x = -\frac\pi3$ . Em todo o $\R$ : $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ , $k \in \Z$ .

24.3 Exercícios

Exercício 24.1 ★

Calcule $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\frac{5\pi}{6}$ , $\cos\frac{7\pi}{4}$ e $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ usando as identidades da Proposição 24.2.

Solução

Solução de Exercício 24.1.

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

Exercício 24.2 ★

Derive $f(x) = \sin^2 x$ , $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ e $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$ .

Solução

Solução de Exercício 24.2.

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (regra da cadeia).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (regras da cadeia e do produto).

Regra do quociente:

h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

Exercício 24.3 ★

Resolva em $\intoc{-\pi}{\pi}$ e depois em $\R$ :

\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .

Solução

Solução de Exercício 24.3.

(a) Uma solução particular de $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ é $\frac\pi3$ . Soluções gerais: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ ou $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ . Em $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$ .

(b) $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ dá $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ , logo $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$ . Em $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$ .

Exercício 24.4 ★★

Usando as fórmulas de adição, calcule o valor exato de $\cos\frac{\pi}{12}$ e de $\sin\frac{\pi}{12}$ . (Sugestão: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ .)

Solução

Solução de Exercício 24.4.

Com $a = \frac\pi3$ e $b = \frac\pi4$ :

\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},

\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

Exercício 24.5 ★★

Resolva em $\intcc{0}{2\pi}$ a inequação $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$ . (Sugestão: fatore o trinômio em $\sin x$ .)

Solução

Solução de Exercício 24.5.

Ponha $s = \sin x$ : $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ se, e somente se, $s \leq -\frac12$ ou $s = 1$ .

$\sin x = 1$ dá $x = \frac\pi2$ . $\sin x \leq -\frac12$ : no círculo trigonométrico, o arco abaixo da reta horizontal $y = -\frac12$ , que em $\intcc{0}{2\pi}$ é $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$ . Logo

S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

Exercício 24.6 ★★

Calcule os limites

\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.

Solução

Solução de Exercício 24.6.

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (composição com $u = 3x \to 0$ ).

Usando $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ :

\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

Substituindo $u = \frac1x \to 0^+$ : $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$ .

Exercício 24.7 ★★

Estude a função $f(x) = x + \cos x$ em $\intcc{0}{2\pi}$ : variação e extremos. Mostre que $f$ é crescente em $\R$ embora $f'$ se anule em infinitos pontos.

Solução

Solução de Exercício 24.7.

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ para todo $x$ , com igualdade exatamente quando $\sin x = 1$ , isto é, $x = \frac\pi2 + 2k\pi$ . Em $\intcc{0}{2\pi}$ , $f$ cresce de $f(0) = 1$ até $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (o zero de $f'$ em $\frac{\pi}{2}$ é isolado, de modo que o crescimento é até estrito); mínimo $1$ em $0$ , máximo $2\pi + 1$ em $2\pi$ . Em $\R$ , $f' \geq 0$ em toda parte, com zeros apenas isolados, de modo que $f$ é (estritamente) crescente pelo Teorema 22.7, embora $f'$ se anule em cada $\frac\pi2 + 2k\pi$ .

Exercício 24.8 ★★★

Seja $f(x) = A\cos x + B \sin x$ com $(A,B) \neq (0,0)$ .

Mostre que $f$ pode ser escrita como $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ com $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ e um $\varphi$ adequado.
Deduza o máximo e o mínimo de $f$ e resolva $\cos x + \sin x = 1$ em $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

Solução

Solução de Exercício 24.8.

1. Seja $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$ . O ponto $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ está no círculo de raio $1$ , de modo que existe $\varphi$ com $\cos\varphi = \frac AR$ e $\sin\varphi = \frac BR$ . Então

R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. Como $\cos$ tem imagem $\intcc{-1}{1}$ , $f$ tem máximo $R$ e mínimo $-R$ . Para $\cos x + \sin x$ : $A = B = 1$ , $R = \sqrt2$ , $\varphi = \frac\pi4$ , de modo que a equação vira $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$ , isto é, $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$ , o que dá $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ : em $\intoc{-\pi}{\pi}$ , $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$ .

Exercício 24.9 ★★★

Mostre que $\sin$ e $\cos$ satisfazem ambas a equação diferencial $y'' = -y$ . Reciprocamente, seja $y$ uma solução de $y'' = -y$ com $y(0) = a$ e $y'(0) = b$ ; mostre que $y = a\cos + b\sin$ . (Sugestão: considere $g = (y - a\cos - b\sin)$ e a “energia” $E = g^2 + (g')^2$ .)

Solução

Solução de Exercício 24.9.

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ e $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$ : as duas resolvem $y'' = -y$ .

Seja $g = y - a\cos - b\sin$ . Então $g'' = -g$ (linearidade da derivação), $g(0) = y(0) - a = 0$ e $g'(0) = y'(0) - b = 0$ . Ponha $E = g^2 + (g')^2$ . Então

E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

de modo que $E$ é constante igual a $E(0) = 0$ . Uma soma de dois quadrados identicamente nula obriga $g = 0$ , logo $y = a\cos + b\sin$ .

24.4 Problema: O segredo do pêndulo

Problema 24.1

Problema de fim de semana — um limite geométrico move as derivadas do seno e do cosseno e, a partir delas, toda a oscilação: molas, pêndulos, batimentos e o metro que quase foi

Todo relógio que já bateu, toda corda que já soou obedece à mesma matemática: uma força restauradora proporcional ao deslocamento, portanto a equação $y'' = -\omega^2 y$ , portanto cossenos. Na base de tudo está um limite de aparência inocente, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — prometido no ano 9, usado pelo Teorema 24.5 e demonstrado aqui com um desenho. Este problema sobe desse limite até a oscilação de um pêndulo de um metro e explica por que o metro, por um fio, não é definido por ele.

Parte I — O limite fundamental.

Aqueça numericamente: calcule $\frac{\sin x}{x}$ para $x = 0.1$ e $x = 0.01$ (em radianos!).
O sanduíche, no círculo de raio $1$ com $0 < x < \frac\pi2$ : exprima por geometria elementar as áreas (i) do triângulo de vértices $O$ , $A(1,0)$ e o ponto $M(\cos x, \sin x)$ do círculo; (ii) do setor circular $OAM$ ; (iii) do triângulo retângulo $OAT$ , com $T(1, \tan x)$ .
Do sanduíche de áreas deduza $\sin x < x < \tan x$ e depois $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , e conclua pelo teorema do confronto que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (a paridade trata de $x < 0$ ).
Deduza $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ (multiplique pelo conjugado).
Explique por que esse limite é o motor do Teorema 24.5 (quanto vale $\sin'(0)$ ?) e por que ele também salda uma dívida antiga: em que sentido os radianos são a única unidade de ângulo para a qual $\sin' = \cos$ vale sem constante?

Parte II — Movimento harmônico.

Verifique pela regra da cadeia que $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ satisfaz $y'' = -\omega^2 y$ .
Uma massa presa a uma mola obedece a $y'' = -4y$ , com $y(0) = 3$ e $y'(0) = 8$ . Admitindo (do Exercício 24.9) que todas as soluções são $A\cos 2t + B\sin 2t$ , determine $A$ e $B$ .
Reescreva a solução como $R\cos(2t - \varphi)$ (Exercício 24.8): dê a amplitude $R$ , o período e a fase $\varphi$ (três casas decimais).
Em que instante a massa passa pela primeira vez pela posição de equilíbrio $y = 0$ ?
O pêndulo: uma massa presa a um fio de comprimento $L$ obedece exatamente a $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ — insolúvel por funções elementares. Para oscilações pequenas, substitua $\sin\theta$ por $\theta$ (a Parte I justifica!) e deduza o período $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Calcule $T$ para $L = 1$ m ( $g = 9.81$ ): a famosa descoberta de Galileu — de que a fórmula não depende?
O pêndulo de segundos: que comprimento dá $T = 2$ s exatamente? A Academia francesa de 1791 hesitou entre esse comprimento e a décima milionésima parte do quarto de meridiano para definir o metro — por quantos milímetros os dois candidatos diferem?

Parte III — As fórmulas de adição em serviço.

Mostre, com as fórmulas de adição (Proposição 24.3), que $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ e $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : derivar no círculo é dar um quarto de volta — confira a coerência com o Teorema 24.5.
Deduza a identidade produto-em-soma $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right)$ e a linearização $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (o capítulo de integração lhe agradecerá).
Batimentos: deduza $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2} \cos\frac{p - q}{2}$ e aplique isso a dois diapasões de $440$ e $444$ Hz: que som o ouvido escuta e quantas pulsações por segundo? (É assim que as orquestras afinam.)
Deduza a identidade do arco triplo $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (escreva $3x = 2x + x$ ). Fazendo $x = 20^\circ$ , que equação cúbica $\cos 20^\circ$ tem de satisfazer? (Que essa cúbica não possa ser resolvida só com raízes quadradas é precisamente a razão pela qual a trissecção do ângulo derrotou régua e compasso por dois milênios — a história completa é contada nos volumes de graduação.)
Uma corrente alternada vale $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Reescreva-a como $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : corrente de pico e fase?

Parte IV — O mundo que oscila.

Períodos: qual é o (menor) período de $\sin^2 t$ (use a questão 13)? E de $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
Um pêndulo real amortece: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Descreva o movimento, calcule o valor da envoltória em $t = 10$ (aparece um velho conhecido, Problema 23.1) e nomeie o capítulo em que se resolvem equações com soluções desse tipo.
Por que os senos e cossenos reinam sobre toda vibração? Dê o dicionário física-matemática em duas frases (força restauradora proporcional ao deslocamento $\rightarrow$ que equação $\rightarrow$ que soluções) e diga o que o Exercício 24.9 acrescenta a essa afirmação.
Final: o arco do capítulo em quatro passos — um limite geométrico, duas derivadas, uma equação diferencial, toda a oscilação. E o asterisco honesto: para oscilações grandes, o período verdadeiro do pêndulo envolve uma integral elíptica, calculada à velocidade da luz pela …média aritmético-geométrica de Gauss, a sobremesa do Problema 20.1. Os fios da série amarram-se sozinhos.

Solução

Solução de Problema 24.1.

1. $0.99833\ldots$ e $0.99998\ldots$ : aproximando-se de $1$ .

2. Triângulo $OAM$ : base $1$ , altura $\sin x$ : área $\frac{\sin x}{2}$ . Setor $OAM$ : fração $\frac{x}{2\pi}$ do disco de raio $1$ : área $\frac x2$ . Triângulo $OAT$ : base $1$ , altura $\tan x$ : área $\frac{\tan x}{2}$ .

3. O triângulo está dentro do setor, que está dentro do triângulo grande: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$ , isto é, $\sin x < x < \tan x$ . De $\sin x < x$ vem $\frac{\sin x}{x} < 1$ ; e de $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , multiplicando por $\frac{\cos x}{x} > 0$ , vem $\cos x < \frac{\sin x}{x}$ . Quando $x \to 0^+$ , $\cos x \to 1$ : espremido, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ ; e $\frac{\sin x}{x}$ é par, de modo que o limite bilateral é $1$ .

4. $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \times \frac12$ .

5. $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1$ : toda a derivação do seno e do cosseno decorre desse único limite. Medido em graus, o limite seria $\frac{\pi}{180}$ , e cada derivada arrastaria essa constante: os radianos são exatamente a unidade que deixa limpo o cálculo da oscilação.

6. $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$ , $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$ .

7. $\omega = 2$ . $y(0) = A = 3$ ; $y'(0) = 2B = 8$ : $B = 4$ : $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$ .

8. $R = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; período $\frac{2\pi}{2} = \pi$ ; fase $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$ : $y = 5\cos(2t - 0.927)$ .

9. $5\cos(2t - \varphi) = 0$ pela primeira vez quando $2t - \varphi = \frac\pi2$ : $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s.

10. Com $\sin\theta \approx \theta$ : $\theta'' = -\frac gL \theta$ : harmônico com $\omega = \sqrt{\frac gL}$ , período $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Para $L = 1$ : $T \approx 2.006$ s. O período não depende da amplitude (para oscilações pequenas) — o isocronismo de Galileu, o fato que torna possíveis os relógios de pêndulo.

11. $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m: o pêndulo de segundos é cerca de $6$ mm mais curto que o metro do meridiano. A Academia escolheu o meridiano (a gravidade varia de lugar para lugar, traindo o pêndulo); se $g$ fosse um fio maior, nosso metro faria tique-taque.

12. $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$ ; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ . Assim, derivar o seno o desloca um quarto de volta ( $\cos$ ), e de novo ( $-\sin$ ), e de novo, e volta para casa em quatro passos: a derivação gira o círculo.

13. Somando as duas expansões de $\cos(a \mp b)$ : $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$ . Com $a = b = x$ : $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ , isto é, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ .

14. Com $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ e $q$ seu espelho, expandindo e somando: $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ . Para $440$ e $444$ Hz: um som de $442$ Hz cuja intensidade é modulada por $\cos(2\pi \cdot 2t)$ — a intensidade tem pico $4$ vezes por segundo (o valor absoluto da envoltória): quatro batimentos por segundo, que somem quando os diapasões concordam.

15. $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ . Em $x = 20^\circ$ : $\cos 60^\circ = \frac12$ , de modo que $c = \cos 20^\circ$ satisfaz $8c^3 - 6c - 1 = 0$ — uma cúbica sem solução por raízes quadradas: construir $20^\circ$ , isto é, trissectar $60^\circ$ , está além da régua e do compasso.

16. $R = \sqrt{9 + 27} = 6$ ; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$ : $\varphi = \frac\pi3$ : $I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right)$ : pico de $6$ ampères, defasagem de $60^\circ$ .

17. $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ : período $\pi$ . $\sin 2t$ tem período $\pi$ e $\sin 3t$ tem $\frac{2\pi}{3}$ : a soma se repete após o menor múltiplo comum, $2\pi$ .

18. Uma oscilação de período $1$ dentro da envoltória que encolhe, $\pm\eu^{-t/10}$ : cada oscilação cerca de $10\,\%$ mais baixa. Em $t = 10$ a envoltória vale $\eu^{-1} \approx 0.368$ — de novo a constante do Problema 23.1. Equações com essas soluções amortecidas ( $y'' + a y' + b y = 0$ ) são resolvidas no capítulo de equações diferenciais.

19. Uma força que puxa de volta proporcionalmente ao deslocamento dá $y'' = -\omega^2 y$ ; e o Exercício 24.9 mostra que as soluções dessa equação são exatamente as combinações de $\cos$ e $\sin$ — existência por exibição, unicidade pelo exercício: a vibração não tem escolha senão ser senoidal.

20. Um limite ( $\frac{\sin x}{x} \to 1$ , por áreas ensanduichadas), duas derivadas ( $\sin' = \cos$ , $\cos' = -\sin$ ), uma equação ( $y'' = -\omega^2 y$ ) e um mundo de relógios, cordas, correntes e marés. Asterisco: para oscilações amplas, $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — a média aritmético-geométrica do Problema 20.1 calcula a integral elíptica em um punhado de iterações: a anotação do diário de Gauss e o pêndulo de Galileu, a uma fórmula de distância.