Matemática do ensino médio · Grades 10–12

8Estatística descritiva

A estatística resume uma grande coleção de números — notas, salários, temperaturas — por meio de alguns indicadores bem escolhidos. Este capítulo apresenta as duas famílias de indicadores: os que localizam o centro dos dados (média, mediana) e os que medem sua dispersão (amplitude, quartis). Um tratamento mais profundo, incluindo o desvio padrão, vem no Capítulo 17.

8.1 Dados e frequências

Definição 8.1 (Série estatística)

Uma série estatística é uma lista de valores $x_1, x_2, \dots, x_N$ observados em uma população de tamanho $N$ . Quando um valor $x$ aparece $n$ vezes, $n$ é a sua frequência absoluta e o quociente

f = \frac{n}{N}

é a sua frequência relativa (muitas vezes expressa em porcentagem). As frequências relativas de todos os valores somam $1$ .

Exemplo 8.2

As notas de $20$ alunos em um teste valendo $5$ pontos:

nota $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
quantidade $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
frequência $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

Verificação: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ e as frequências somam $1$ .

O gráfico de barras das notas do teste: uma barra por valor, com altura igual à quantidade.

8.2 Medidas de centro

Definição 8.3 (Média)

A média da série é

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

Se os valores $v_1, \dots, v_k$ aparecem com quantidades $n_1, \dots, n_k$ , o mesmo número é obtido como média ponderada

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

Exemplo 8.4

Para o teste do Exemplo 8.2:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

Definição 8.5 (Mediana)

A mediana é um valor que divide a série ordenada em duas metades: pelo menos metade dos valores é $\leq$ a mediana e pelo menos metade é $\geq$ a ela. Na prática, ordene os $N$ valores;

se $N$ é ímpar, a mediana é o valor central, na posição $\frac{N+1}{2}$ ;
se $N$ é par, tome o ponto médio dos dois valores centrais, nas posições $\frac N2$ e $\frac N2 + 1$ .

Exemplo 8.6

Série ordenada de $7$ preços de casas (em milhares): $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . A mediana é o $4^{\text{o}}$ valor, $180$ . A média é $\frac{1960}{7} = 280$ — maior do que $6$ dos $7$ preços! Um valor extremo ( $900$ ) puxa a média muito mais do que a mediana: a mediana é robusta, a média não.

8.3 Medidas de dispersão

Definição 8.7 (Amplitude, quartis)

Para uma série ordenada:

a amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor;
o primeiro quartil $Q_1$ é o menor valor tal que pelo menos um quarto ( $25\%$ ) dos valores seja $\leq Q_1$ ; o terceiro quartil $Q_3$ é o menor valor tal que pelo menos três quartos ( $75\%$ ) dos valores sejam $\leq Q_3$ ;
a amplitude interquartil $Q_3 - Q_1$ mede a dispersão da metade central dos dados.

Método 8.8 (Encontrar os quartis)

Para uma série de $N$ valores ordenados:

calcule $\frac N4$ ; se não for inteiro, arredonde para cima, até o próximo inteiro; $Q_1$ é o valor nessa posição;
calcule $\frac{3N}{4}$ ; arredonde para cima se preciso; $Q_3$ é o valor nessa posição.

Exemplo 8.9

Tome os $11$ valores ordenados

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

Mediana: posição $\frac{11+1}{2} = 6$ , logo a mediana é $7$ . $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , arredondado para cima dá $3$ ; o $3^{\text{o}}$ valor é $5$ . $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , arredondado para cima dá $9$ ; o $9^{\text{o}}$ valor é $9$ . Amplitude: $12 - 2 = 10$ ; amplitude interquartil: $9 - 5 = 4$ .

O diagrama de caixa do : a caixa cobre o intervalo interquartil [Q_1, Q_3] e contém a metade central dos dados; os bigodes alcançam os valores extremos. — O diagrama de caixa do Exemplo 8.9: a caixa cobre o intervalo interquartil $\intcc{Q_1}{Q_3}$ e contém a metade central dos dados; os bigodes alcançam os valores extremos.

Exemplo 8.10 (Comparar dois grupos)

Duas turmas fazem a mesma prova (notas de $0$ a $20$ ):

	mediana	$Q_1$	$Q_3$
turma A	$12$	$10$	$14$
turma B	$12$	$6$	$17$

Mesma mediana, dispersões muito diferentes: a turma A é homogênea (metade de suas notas em $\intcc{10}{14}$ ), a turma B é heterogênea (sua metade central cobre $\intcc{6}{17}$ ). Indicadores de centro sozinhos nunca contam a história inteira.

Observação 8.11

Nem a média nem a mediana é “melhor”: a média usa todos os valores (e é necessária para calcular totais), e a mediana resiste a valores extremos. Um resumo sério de uma série apresenta pelo menos um indicador de centro e um de dispersão.

8.4 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Eis o número de livros lidos em um ano por $15$ alunos:

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

Calcule a média, a mediana e a amplitude dessa série.

Solução

Solução de Exercício 8.1.

Soma: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ , logo a média é $\frac{60}{15} = 4$ . A série já está ordenada e $N = 15$ é ímpar: a mediana é o $8^{\text{o}}$ valor, $3$ . Amplitude: $12 - 0 = 12$ .

Exercício 8.2 ★

Um dado foi lançado $50$ vezes:

resultado	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
quantidade	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

Calcule a frequência de cada resultado e o resultado médio.

Solução

Solução de Exercício 8.2.

Frequências: $\frac{7}{50} = 0.14$ , $\frac{9}{50} = 0.18$ , $\frac{8}{50} = 0.16$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ , $\frac{6}{50} = 0.12$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ (soma $1$ ). Resultado médio:

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

Exercício 8.3 ★

Encontre a mediana, $Q_1$ e $Q_3$ da série ordenada

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

e desenhe o diagrama de caixa correspondente.

Solução

Solução de Exercício 8.3.

$N = 12$ (par): a mediana é o ponto médio entre o $6^{\text{o}}$ e o $7^{\text{o}}$ valores, ambos iguais a $6$ : mediana $6$ .

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ , logo $Q_1$ é o $3^{\text{o}}$ valor: $4$ .

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ , logo $Q_3$ é o $9^{\text{o}}$ valor: $8$ .

Diagrama de caixa: caixa de $4$ a $8$ com a barra da mediana em $6$ e bigodes de $1$ até $11$ .

Exercício 8.4 ★

A média de $24$ notas de uma prova é $11.5$ . Um $25^{\text{o}}$ aluno faz a prova e tira $19$ . Qual é a nova média da turma?

Solução

Solução de Exercício 8.4.

As $24$ notas somam $24 \times 11.5 = 276$ . Com a nova nota, o total é $276 + 19 = 295$ para $25$ alunos: nova média $\frac{295}{25} = 11.8$ .

Exercício 8.5 ★★

Um aluno tem média $12$ após $5$ provas, todas com o mesmo peso. Que nota na $6^{\text{a}}$ prova elevaria a média a $13$ ? Uma média de $14$ é alcançável (as notas vão até $20$ )?

Solução

Solução de Exercício 8.5.

Total atual: $5 \times 12 = 60$ . Uma média de $13$ em $6$ provas exige um total de $78$ , de modo que a $6^{\text{a}}$ nota deve ser $78 - 60 = 18$ . Uma média de $14$ exigiria $84 - 60 = 24 > 20$ : não é alcançável.

Exercício 8.6 ★★

Invente uma série de $7$ valores não negativos cuja mediana seja $10$ e cuja média seja maior que $20$ ; depois uma cuja mediana seja $10$ e cuja média seja menor que $6$ . Por que a média de uma série assim nunca pode ser menor que $\frac{40}{7}$ ? O que esses exemplos mostram?

Solução

Solução de Exercício 8.6.

Média maior que $20$ : por exemplo, $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — mediana $10$ (o $4^{\text{o}}$ valor ordenado), média $\frac{166}{7} \approx 23.7$ .

Média menor que $6$ : por exemplo, $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — mediana $10$ , média $\frac{40}{7} \approx 5.7$ .

A média não pode ficar abaixo de $\frac{40}{7}$ : para que a mediana (o $4^{\text{o}}$ valor ordenado) seja $10$ , os valores nas posições $4$ a $7$ devem ser todos $\geq 10$ , de modo que o total é pelo menos $40$ e a média pelo menos $\frac{40}{7}$ — o segundo exemplo é extremal.

Esses exemplos mostram que a média e a mediana são em larga medida independentes: conhecer uma diz pouco sobre a outra, e é por isso que um bom resumo informa as duas.

Exercício 8.7 ★★

Em uma empresa, os $9$ funcionários ganham $1800$ cada por mês e o diretor ganha $12000$ .

Calcule o salário médio e o salário mediano.
Qual indicador descreve melhor um salário “típico” aqui? Por quê?

Solução

Solução de Exercício 8.7.

1. Média: $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ . Mediana: ordenados, os $10$ salários são nove valores $1800$ e depois $12000$ ; a mediana é o ponto médio entre o $5^{\text{o}}$ e o $6^{\text{o}}$ valores, ambos $1800$ : mediana $1800$ .

2. A mediana ( $1800$ ) descreve o salário típico: é o que $9$ em cada $10$ funcionários efetivamente ganham. A média ( $2820$ ) é puxada para cima pelo único salário alto e não corresponde ao contracheque de ninguém.

Exercício 8.8 ★★

Uma turma com $12$ meninos tem altura média de $168$ cm; as $18$ meninas da mesma turma têm altura média de $163$ cm. Calcule a altura média da turma inteira. (Cuidado: não é o ponto médio entre $168$ e $163$ — pondere as médias pelos tamanhos dos grupos.)

Solução

Solução de Exercício 8.8.

Altura total: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm para $30$ alunos, de modo que a média é $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Ela fica mais perto da média das meninas porque elas são mais numerosas (média ponderada, com pesos $12$ e $18$ ).

Exercício 8.9 ★★★

Uma série de $N$ valores $x_1, \dots, x_N$ tem média $\bar x$ . Cada valor é transformado em $y_i = a x_i + b$ para números fixos $a$ e $b$ .

Mostre que a média da nova série é $a \bar x + b$ .
As temperaturas de uma semana, em graus Celsius, têm média $20$ . Qual é a média delas em graus Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

Solução

Solução de Exercício 8.9.

1. A nova média é

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. Com $a = 1.8$ e $b = 32$ : média $1.8 \times 20 + 32 = 68$ graus Fahrenheit.

8.5 Problema: A pessoa média não existe

Problema 8.1

Problema de fim de semana — média contra mediana: valores atípicos, curvas de correção, o depósito na estrada e a cabine projetada para ninguém

Em 1950, a Força Aérea dos Estados Unidos mediu $4\,000$ pilotos em dez dimensões corporais e construiu a cabine para o homem médio. Ela servia — como um tenente descobriu contando — essencialmente a ninguém. A estatística resume multidões com números isolados, e cada resumo diz a verdade sobre uma coisa e mente sobre outra. Este problema leva a média e a mediana (Definição 8.3, Definição 8.5) a julgamento, deixa cada uma mostrar no que é melhor e encerra o caso da cabine.

Parte I — Dois resumos no banco dos réus.

Uma rua vende sete casas, em milhares de euros: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — e uma mansão a $1\,200$ . Calcule o preço médio e o preço mediano. Que número descreve “uma casa desta rua”?
Retire a mansão e recalcule os dois. De quanto cada resumo se deslocou? Enuncie a moral sobre valores atípicos.
Uma tabela de censo: de $100$ famílias, $20$ não têm filhos, $25$ têm um, $30$ têm dois, $15$ têm três e $10$ têm quatro. Calcule o número médio de filhos. Nenhuma família “tem $1.7$ filhos” — então que quantidade real a média codifica? (Multiplique-a por $100$ .)
Para as quinze notas $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : encontre a mediana e os quartis $Q_1$ , $Q_3$ (Método 8.8).
Para a mesma série, dê a amplitude e a amplitude interquartil. O que cada uma mede?

Parte II — Curvas de correção e turmas juntadas.

Do Exercício 8.9: deslocar todos os valores de $+b$ desloca média, mediana e quartis de $+b$ ; multiplicá-los por $a$ multiplica-os por $a$ . O que acontece com a amplitude e com a amplitude interquartil sob um deslocamento? E sob uma multiplicação? Justifique.
Uma prova tem média $9$ (de $20$ ) e o professor quer média $12$ . Duas correções são propostas: somar $3$ pontos a todos, ou multiplicar toda nota por $\frac43$ . Calcule o destino de um aluno com $6$ e de um com $18$ sob cada correção. Que correção favorece quem — e qual tem um problema de teto?
A turma A ( $20$ alunos) tem média $12$ ; a turma B ( $30$ alunos) tem média $10$ . Calcule a média dos $50$ alunos juntos e explique por que ela não é $11$ (a lição da média ponderada do problema de fim de semana sobre a média harmônica, no volume do ensino fundamental, agora na sala de aula).
Mostre que as medianas recusam esse jogo: calcule as medianas de $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{0, 10\}$ , depois a mediana da lista reunida, e compare com a média ponderada pelos tamanhos das duas medianas.
Patinação artística: cinco juízes dão $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Calcule a média, a mediana e a média aparada (descarte a menor e a maior nota e tire a média das restantes). Por que a maioria dos esportes com júri apara as notas?

Parte III — Ler distribuições.

Duas fábricas produzem parafusos de comprimento médio $50$ mm. Fábrica A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; fábrica B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Você precisa de parafusos intercambiáveis: qual fábrica, e qual estatística decidiu?
Em uma clínica, a espera mediana é de $10$ minutos, mas a espera média é de $25$ . Que forma dos dados esse par denuncia? Construa um conjunto de cinco valores com exatamente essa mediana e essa média.
“Seu bebê está no percentil 75 de altura” — o que essa frase significa? E todas as crianças de uma cidade podem estar “acima da média”? Acima da mediana? Explique a diferença.
Turma A: mín $4$ , $Q_1\,8$ , mediana $11$ , $Q_3\,13$ , máx $17$ . Turma B: mín $2$ , $Q_1\,9$ , mediana $11$ , $Q_3\,12$ , máx $19$ . Compare: nota típica, homogeneidade da metade central, selvageria dos extremos.
A lista de verificação do jornalista: uma manchete diz “salário médio na TechCorp: $5\,000$ euros”. Liste as três perguntas que este problema lhe ensinou a fazer antes de acreditar que a manchete diz alguma coisa sobre um funcionário típico.

Parte IV — O caso da cabine.

Construa sua própria prova: monte cinco preços de casas com média $300$ e mediana $200$ (em milhares de euros).
A média é o ponto de equilíbrio: prove, a partir da definição, que os desvios em relação à média sempre se cancelam, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , e verifique isso no seu conjunto de dados da questão 16.
A mediana é a que minimiza a rota: há lojas nos quilômetros $1$ , $3$ , $4$ , $9$ , $13$ de uma estrada, e um depósito deve minimizar a distância total às cinco lojas. Calcule esse total para um depósito na mediana ( $4$ ), na média ( $6$ ) e em $5$ . Quem vence? (Isso é geral: a mediana minimiza a distância total absoluta — teste qualquer outro ponto.)
A cabine, resolvida: suponha que um piloto tenha $30\,\%$ de chance de estar “perto da média” em uma dimensão corporal, de modo independente ao longo das $10$ dimensões. Estime a chance de estar perto da média em todas as dez — e reconcilie o resultado com o que o tenente encontrou entre $4\,000$ pilotos. O que a Força Aérea construiu em vez da cabine média?
Final — o manual de uso, uma linha para cada: quando o que importa são totais (um orçamento, uma colheita), use …; quando importa o indivíduo típico (salários, tempos de espera), use …; quando importa a justiça da dispersão, informe …; quando há risco de contaminação, use …. Encerre o caso com o título do problema.

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. Média: $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ mil euros; mediana: o quarto dos sete preços ordenados, $230$ . A mediana descreve a rua — seis das sete casas não custam nada perto de $364$ .

2. Sem a mansão: média $\frac{1\,350}{6} = 225$ , mediana $\frac{220 + 230}{2} = 225$ . A média caiu cerca de $139$ ; a mediana, $5$ . Um único valor extremo pode arrastar a média para qualquer lugar; a mediana mal percebe — ela é robusta.

3. Média $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$ . Nenhuma família tem $1.7$ filhos, mas $1.7 \times 100 = 170$ é o número total exato de filhos: a média codifica o total, redistribuído igualmente — seu verdadeiro talento.

4. $N = 15$ : mediana $=$ $8^{\text{o}}$ valor $= 11$ ; $Q_1 =$ $4^{\text{o}}$ valor $= 8$ ; $Q_3 =$ $12^{\text{o}}$ valor $= 14$ .

5. Amplitude $19 - 4 = 15$ : a dispersão total, extremos incluídos. Amplitude interquartil $14 - 8 = 6$ : a largura da metade central — dispersão sem o ruído dos extremos.

6. Um deslocamento $+b$ move todos os valores, de modo que as diferenças entre valores — amplitude e amplitude interquartil — não mudam: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$ . Multiplicar por $a$ multiplica todas as diferenças por $a$ : amplitude e amplitude interquartil ficam multiplicadas por $\abs a$ .

7. Correção aditiva: $6 \to 9$ e $18 \to 21$ — o aluno fraco ganha $50\,\%$ , o forte $17\,\%$ , e o $21$ estoura a escala de $20$ apenas um pouco. Multiplicativa: $6 \to 8$ e $18 \to 24$ — as razões se preservam, mas $24$ é impossível numa escala de $20$ : o problema do teto. Correções aditivas favorecem a base; as multiplicativas explodem o topo.

8. Total das notas: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$ , de modo que a média conjunta é $\frac{540}{50} = 10.8$ : os trinta alunos da turma B pesam mais que os vinte da turma A — médias se juntam por média ponderada, nunca por média simples.

9. Mediana de $A$ : $2$ ; de $B$ : $5$ . Lista reunida $\{0, 1, 2, 3, 10\}$ : mediana $2$ . A média ponderada pelos tamanhos das medianas daria $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ : as medianas não carregam total algum, logo não existe fórmula de junção — é preciso reordenar a lista inteira.

10. Média: $\frac{31.3}{5} = 6.26$ . Mediana: $5.4$ . Média aparada: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$ . Um juiz entusiasmado (ou corrupto) deslocou a média em quase um ponto; a mediana e a média aparada nem se abalaram — daí as regras de aparo dos esportes com júri.

11. Fábrica A: metade central dentro de $0.2$ mm; fábrica B: dentro de $4$ mm. Mesma média, confiabilidade oposta: compre da A. Quem decidiu foi a amplitude interquartil — médias sozinhas comparam centros, nunca a consistência.

12. Mediana muito abaixo da média denuncia uma cauda longa à direita: a maioria das esperas é curta, e algumas são catastróficas. Exemplo: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — mediana $10$ , média $\frac{125}{5} = 25$ .

13. Significa que $75\,\%$ dos bebês daquela idade são mais baixos (e $25\,\%$ mais altos): é uma posição, não um tamanho. “Toda criança acima da média” é impossível — se todos os valores superassem a média, a média deles superaria a própria média: contradição. Mas quase todas podem estar: uma criança muito baixa segura a média abaixo de todas as outras. Acima da mediana: nunca mais que a metade, por definição. Posições não se lisonjeiam; médias sim.

14. Nota típica: a mesma, mediana $11$ nas duas. Homogeneidade do meio: B é mais compacta (amplitude interquartil $3$ contra $5$ ). Extremos: B é mais selvagem (amplitude $17$ contra $13$ ). B é uma turma de alunos parecidos com alguns valores atípicos; A é uniformemente espalhada.

15. (1) Esses $5\,000$ são a média ou a mediana — e posso ver a mediana? (2) Qual é a dispersão (quartis), para eu saber o quanto o “típico” é típico? (3) Quem foi contado — tamanho e seleção da amostra (a lição das pesquisas do problema de fim de semana sobre como os dados mentem, no volume do ensino fundamental)?

16. Por exemplo, $100, 150, 200, 250, 800$ : mediana $200$ , média $\frac{1\,500}{5} = 300$ .

17. $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x - N\bar x = 0$ . Verificação: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$ . A média é o ponto onde os desvios se equilibram — o centro de gravidade dos dados (o $G$ do problema de fim de semana sobre o baricentro, no volume do ensino fundamental, em uma dimensão).

18. Na mediana $4$ : $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. Na média $6$ : $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. Em $5$ : $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. A mediana vence — afastar-se dela sempre deixa para trás mais lojas do que aquelas de que se aproxima, de modo que o total só pode crescer.

19. $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$ : cerca de seis pilotos por milhão. Em $4\,000$ pilotos o número esperado é $0.02$ — zero, como o tenente Daniels constatou. A Força Aérea parou de projetar para o homem médio e tornou tudo ajustável: assentos, pedais, cintos — projetar para a dispersão, não para o centro.

20. Totais: a média. Indivíduo típico: a mediana. Justiça da dispersão: os quartis (e a amplitude interquartil). Contaminação: a média aparada. E a frase de encerramento: a pessoa média não existe — mas a pessoa mediana quase existe.