Matemática do ensino médio · Grades 10–12

14Trigonometria: o círculo trigonométrico

A trigonometria começa nos triângulos retângulos, mas sua verdadeira casa é o círculo trigonométrico, onde o cosseno e o seno passam a ser funções de um número real qualquer. Este capítulo instala o radiano, o enrolamento da reta real em torno do círculo, os valores exatos que se devem saber de cor e as simetrias que geram todas as identidades clássicas. O estudo de $\cos$ e $\sin$ como funções — variação, derivadas — é feito no Capítulo 24.

14.1 Radianos e o enrolamento

Definição 14.1 (Radiano)

Seja $\mathcal C$ o círculo de raio $1$ centrado na origem $O$ , e seja $I(1, 0)$ . A medida em radianos de um ângulo central de $\mathcal C$ é o comprimento do arco que ele recorta sobre $\mathcal C$ . Como o círculo completo tem comprimento $2\pi$ :

360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .

Método 14.2 (Converter)

Graus e radianos são proporcionais: multiplique por $\frac{\pi}{180}$ para ir de graus a radianos e por $\frac{180}{\pi}$ no sentido inverso. Por exemplo, $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ e $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$ .

Definição 14.3 (Enrolar a reta no círculo)

A cada número real $t$ associe o ponto $M(t)$ de $\mathcal C$ obtido percorrendo uma distância $\abs t$ ao longo do círculo a partir de $I$ , no sentido anti-horário se $t \geq 0$ e no horário se $t < 0$ . Como o comprimento do círculo é $2\pi$ , os números $t$ e $t + 2k\pi$ ( $k \in \Z$ ) chegam ao mesmo ponto: $M(t + 2k\pi) = M(t)$ .

Exemplo 14.4

$M(0) = I$ ; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$ , o topo do círculo; $M(\pi) = (-1, 0)$ ; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$ ; e $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .

14.2 Cosseno e seno

Definição 14.5 (Cosseno e seno)

Para todo real $t$ , o cosseno e o seno de $t$ são as coordenadas do ponto $M(t)$ do círculo trigonométrico:

M(t) = (\cos t,\ \sin t).

O círculo trigonométrico: o número real t, enrolado no sentido anti-horário a partir de I, chega ao ponto M(t), cujas coordenadas definem t e t. — O círculo trigonométrico: o número real $t$ , enrolado no sentido anti-horário a partir de $I$ , chega ao ponto $M(t)$ , cujas coordenadas *definem* $\cos t$ e $\sin t$ .

Proposição 14.6 (Primeiras propriedades)

Para todos $t \in \R$ e $k \in \Z$ :

-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad -1 \leq \sin t \leq 1, \qquad \cos^2 t + \sin^2 t = 1,

\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .

Demonstração. $M(t)$ está no círculo de raio $1$ , de modo que suas coordenadas estão entre $-1$ e $1$ e satisfazem a equação do círculo $x^2 + y^2 = 1$ , que é a identidade $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . A periodicidade reenuncia $M(t + 2k\pi) = M(t)$ (Definição 14.3). ∎

Exemplo 14.7

Se $\sin t = \frac35$ e $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (segundo quadrante), então $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , logo $\cos t = \pm\frac45$ ; no segundo quadrante a abscissa é negativa, portanto $\cos t = -\frac45$ .

Os valores que se devem saber de cor:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Observação 14.8

Um recurso de memória: os senos se leem $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$ , e os cossenos são a mesma lista ao contrário.

14.3 Ângulos associados

Proposição 14.9 (Ângulos associados)

Para todo $t \in \R$ :

\begin{aligned} \cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\ \cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\ \cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t . \end{aligned}

Demonstração. Cada linha exprime uma simetria do círculo.

$M(-t)$ é o reflexo de $M(t)$ no eixo $x$ : a abscissa não muda, a ordenada troca de sinal.

$M(\pi - t)$ é o reflexo de $M(t)$ no eixo $y$ : andar para trás a partir de $\pi$ por $t$ leva ao ponto oposto (na horizontal) ao de andar para a frente a partir de $0$ por $t$ . A abscissa troca de sinal, a ordenada não muda.

$M(\pi + t)$ é diametralmente oposto a $M(t)$ (meia volta): as duas coordenadas trocam de sinal.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ é o reflexo de $M(t)$ na reta diagonal $y = x$ , que troca as duas coordenadas. ∎

Os quatro pontos associados: M(-t) espelha M(t) no eixo x, M(π - t) no eixo y, e M(π + t) é diametralmente oposto. Toda identidade da se lê nesta figura. — Os quatro pontos associados: $M(-t)$ espelha $M(t)$ no eixo $x$ , $M(\pi - t)$ no eixo $y$ , e $M(\pi + t)$ é diametralmente oposto. Toda identidade da Proposição 14.9 se lê nesta figura.

Exemplo 14.10

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ , e $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right) = -\sin\frac\pi6 = -\frac12$ . A tabela de cinco valores, estendida pelas simetrias, cobre o círculo inteiro.

14.4 Resolver equações trigonométricas

Teorema 14.11 (As equações $\cos t = \cos a$ e $\sin t = \sin a$ )

Para números reais $t$ e $a$ :

\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{ou}\ t = -a + 2k\pi \quad (k \in \Z),

\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{ou}\ t = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \Z).

Demonstração. Dois pontos do círculo trigonométrico têm a mesma abscissa exatamente quando são iguais ou reflexos um do outro no eixo $x$ ; pela Proposição 14.9, o reflexo de $M(a)$ é $M(-a)$ . Assim, $\cos t = \cos a$ significa $M(t) = M(a)$ ou $M(t) = M(-a)$ , isto é, $t = \pm a$ a menos de um múltiplo de $2\pi$ . Analogamente, ordenadas iguais significam pontos iguais ou reflexos no eixo $y$ , e o reflexo de $M(a)$ é $M(\pi - a)$ . ∎

Método 14.12 (Resolver $\cos t = c$ em um intervalo)

Encontre um ângulo $a$ com $\cos a = c$ , a partir da tabela de valores conhecidos.
Escreva as soluções gerais $t = \pm a + 2k\pi$ (Teorema 14.11).
Escolha os inteiros $k$ que caem dentro do intervalo pedido e liste as soluções.

Proceda do mesmo modo para $\sin t = c$ , com $t = a + 2k\pi$ ou $t = \pi - a + 2k\pi$ .

Exemplo 14.13

Resolva $\cos t = \frac12$ em $\intoc{-\pi}{\pi}$ . Uma solução de $\cos a = \frac12$ é $a = \frac{\pi}{3}$ . As soluções gerais são $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ e $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$ . Dentro de $\intoc{-\pi}{\pi}$ , só $k = 0$ contribui: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$ .

Resolva $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ em $\intco{0}{2\pi}$ . Um ângulo é $a = -\frac\pi4$ ; as soluções são $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ e $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ . Em $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{4}$ (de $k = 1$ ) e $t = \frac{5\pi}{4}$ .

Resolver t = 1/2: a reta vertical x = 1/2 (laranja) corta o círculo trigonométrico em dois pontos, simétricos em relação ao eixo x — daí as duas famílias de soluções t = ± π3 + 2kπ. — Resolver $\cos t = \frac12$ : a reta vertical $x = \frac12$ (laranja) corta o círculo trigonométrico em dois pontos, simétricos em relação ao eixo $x$ — daí as duas famílias de soluções $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ .

14.5 Exercícios

Exercício 14.1 ★

Converta para radianos: $30^\circ$ , $45^\circ$ , $120^\circ$ , $270^\circ$ . Converta para graus: $\frac{\pi}{5}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{4}$ , $\frac{2\pi}{9}$ .

Solução

Solução de Exercício 14.1.

Para radianos: $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ , $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ , $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ .

Para graus: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$ , $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ , $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$ , $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$ .

Exercício 14.2 ★

Marque no círculo trigonométrico os pontos $M(t)$ para

t = \frac{2\pi}{3},\quad t = -\frac{\pi}{4},\quad t = \frac{17\pi}{6},\quad t = -\frac{7\pi}{2},

depois de reduzir cada um a um valor de $\intoc{-\pi}{\pi}$ módulo $2\pi$ .

Solução

Solução de Exercício 14.2.

$\frac{2\pi}{3}$ e $-\frac{\pi}{4}$ já estão em $\intoc{-\pi}{\pi}$ : segundo quadrante e quarto quadrante, respectivamente.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$ : segundo quadrante, perto do semieixo $x$ negativo.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$ : o topo do círculo, $(0, 1)$ .

Exercício 14.3 ★

Usando a tabela e os ângulos associados, dê os valores exatos de

\cos\frac{3\pi}{4}, \quad \sin\frac{5\pi}{6}, \quad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\frac{4\pi}{3}, \quad \cos\frac{11\pi}{6} .

Solução

Solução de Exercício 14.3.

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$ .

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$ .

Exercício 14.4 ★

Dado $\cos t = \frac{5}{13}$ com $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$ , calcule $\sin t$ exatamente.

Solução

Solução de Exercício 14.4.

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , logo $\sin t = \pm\frac{12}{13}$ . Em $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (quarto quadrante) a ordenada é negativa: $\sin t = -\frac{12}{13}$ .

Exercício 14.5 ★★

Simplifique, para todo real $x$ :

A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x, \qquad B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .

Solução

Solução de Exercício 14.5.

Usando a Proposição 14.9:

A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,

B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .

Exercício 14.6 ★★

Resolva em $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin t = \frac12, \qquad \cos t = -1 .

Solução

Solução de Exercício 14.6.

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$ : uma solução é $\frac\pi6$ , logo $t = \pm\frac\pi6$ (os deslocamentos de $2k\pi$ saem do intervalo).

$\sin t = \frac12$ : $t = \frac\pi6$ ou $t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}$ .

$\cos t = -1$ : o único ponto de abscissa $-1$ é $M(\pi)$ , logo $t = \pi$ .

Exercício 14.7 ★★

Resolva em $\intco{0}{2\pi}$ :

\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos t = 0, \qquad 2\sin t + 1 = 0 .

Solução

Solução de Exercício 14.7.

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$ : a partir de $a = -\frac\pi3$ , as famílias são $-\frac\pi3 + 2k\pi$ e $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$ ; em $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{4\pi}{3}$ e $t = \frac{5\pi}{3}$ .

$\cos t = 0$ : $t = \frac\pi2$ e $t = \frac{3\pi}{2}$ .

$2\sin t + 1 = 0$ significa $\sin t = -\frac12$ : a partir de $a = -\frac\pi6$ , em $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{6}$ e $t = \frac{11\pi}{6}$ .

Exercício 14.8 ★★

Resolva em $\R$ a equação $\cos 2t = \cos t$ . (Use o Teorema 14.11 com $a = t$ e discuta as duas famílias de soluções.)

Solução

Solução de Exercício 14.8.

Pelo Teorema 14.11, $\cos 2t = \cos t$ significa $2t = t + 2k\pi$ ou $2t = -t + 2k\pi$ , isto é, $t = 2k\pi$ ou $t = \frac{2k\pi}{3}$ ( $k \in \Z$ ). A primeira família está contida na segunda (tome $k$ múltiplo de $3$ ), de modo que o conjunto solução é

S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}

— no círculo, os três pontos $M(0)$ , $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ , $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ .

Exercício 14.9 ★★

Mostre que, para todo real $x$ ,

\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .

Solução

Solução de Exercício 14.9.

Expandindo os dois quadrados e usando $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ :

(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x) = 1 + 1 = 2 .

Exercício 14.10 ★★

Uma roda de raio $30$ cm rola sem deslizar. De que ângulo (em radianos e depois em graus) ela gira quando a bicicleta avança $1.5$ m? Quanto a bicicleta avança durante uma volta completa da roda?

Solução

Solução de Exercício 14.10.

Rolar sem deslizar significa que o comprimento do arco é igual à distância percorrida: $r\theta = 150$ cm dá $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ$ . Uma volta completa faz a bicicleta avançar o comprimento do círculo, $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, cerca de $1.88$ m.

Exercício 14.11 ★★★

Resolva em $\intoc{-\pi}{\pi}$ a inequação $\cos t \leq \frac12$ . (Esboce o círculo trigonométrico, marque a região em que a abscissa é no máximo $\frac12$ e leia o intervalo de valores de $t$ .)

Solução

Solução de Exercício 14.11.

No círculo trigonométrico, os pontos de abscissa exatamente $\frac12$ são $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$ . Os pontos de abscissa no máximo $\frac12$ formam o arco à esquerda da reta vertical $x = \frac12$ , percorrido quando $t$ vai de $\frac\pi3$ até $\pi$ , ou de $-\pi$ até $-\frac\pi3$ . Logo, em $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.

(Os extremos $\pm\frac\pi3$ estão incluídos, pois a desigualdade é ampla.)

14.6 Problema: A roda-gigante e a maré

Problema 14.1

Problema de fim de semana — o radiano como distância rolada e o círculo trigonométrico como relógio-mestre de todo fenômeno periódico

Uma roda-gigante leva você em torno de um círculo; a maré leva a água do porto para cima e para baixo pelo mesmo círculo matemático. Todo fenômeno periódico — rodas, marés, som, estações — lê seu horário no círculo trigonométrico deste capítulo (Definição 14.5), e as equações do Método 14.12 dizem os instantes exatos. Este problema converte, enrola, modela e resolve — e decide de passagem por que os matemáticos medem ângulos em radianos.

Parte I — Radianos, a distância rolada.

Converta para radianos: $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; e para graus: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ (Método 14.2).
A razão de ser dos radianos: um arco de ângulo $t$ (em radianos) num círculo de raio $r$ tem comprimento exatamente $r\,t$ . Que arco um ângulo de $2$ radianos recorta num círculo de raio $3$ m? (Nenhum $\pi$ em lugar algum — é exatamente esse o ponto.)
Uma roda de raio $30$ cm rola $1$ km sem deslizar. De quantos radianos ela girou, e quantas voltas completas isso representa?
Marque no círculo trigonométrico e calcule exatamente: $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ e $\cos\frac{19\pi}{6}$ (reduza módulo $2\pi$ primeiro; Proposição 14.9).
Um ângulo $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ satisfaz $\sin t = \frac35$ . Usando $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ e o quadrante, encontre $\cos t$ e $\tan t$ .

Parte II — A roda-gigante. Uma roda-gigante tem raio $60$ m, o eixo a $65$ m do chão, e dá uma volta a cada $30$ minutos. Você embarca no ponto mais baixo no instante $t = 0$ (em minutos), de modo que sua altura obedece a

h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).

Justifique a fórmula: confira o ângulo girado após $t$ minutos, a altura em $t = 0$ e explique o sinal de menos.
Calcule sua altura em $t = 7.5$ , $t = 15$ e $t = 20$ minutos (valores exatos).
Em que instante você chega pela primeira vez a $95$ m? (Resolva $h(t) = 95$ com o Método 14.12.)
Em que intervalo de tempo do passeio você fica a pelo menos $95$ m de altura — e por quanto tempo ao todo? (Compare com o Exercício 14.11.)
Onde a altura muda mais depressa? Compare a subida durante o primeiro minuto ( $h(1) - h(0)$ ) com a subida entre os minutos $7$ e $8$ , e formule a observação (a ferramenta que a torna exata — a derivada da senoide — chega no ano 12).
Vez do engenheiro: projete a fórmula da altura de uma roda com altura máxima $40$ m, altura mínima $4$ m e período $12$ minutos, embarcando embaixo em $t = 0$ .

Parte III — A maré e as simetrias do círculo. Em um porto, a profundidade da água em metros, $t$ horas após a meia-noite, é

d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).

Dê as profundidades máxima e mínima, os instantes em que elas ocorrem pela primeira vez e o período da maré.
Um navio cargueiro precisa de $8.5$ m de água. Resolva $d(t) \geq 8.5$ em $\intco{0}{12}$ : em que janela ele pode entrar e qual é a duração dessa janela? Quando a janela seguinte se abre?
Rededuza duas identidades de ângulos associados diretamente das simetrias do círculo — $\sin(\pi - t) = \sin t$ (espelho no eixo vertical) e $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (meia volta) — e enuncie a identidade complementar $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
Paridade (vocabulário do Problema 11.1): classifique $\sin$ , $\cos$ e $t \mapsto \sin t + t^3$ como pares ou ímpares, com demonstrações de uma linha a partir do círculo.
Resolva em $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ . (Um trinômio do segundo grau disfarçado: fatore-o como no Problema 10.1 e depois leia o círculo.)

Parte IV — O ângulo do matemático.

Quantos graus tem $1$ radiano? E uma armadilha da calculadora: qual é maior, $\sin(1)$ (modo radiano) ou $\sin(1^\circ)$ — e por que fator, mais ou menos? Que moral fica para a configuração da calculadora?
Resolva $\cos t = \sin t$ em $\intco{0}{2\pi}$ , usando o círculo (onde abscissa e ordenada são iguais?).
Para ângulos pequenos, o arco e seu seno quase coincidem: compare $\sin(0.1)$ com $0.1$ (cinco casas decimais) e dê o erro relativo. Essa “aproximação de ângulos pequenos” governa navios e pêndulos; o teorema por trás dela ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) é uma estrela do capítulo de limites do ano 12.
Final — o círculo trigonométrico como relógio-mestre, uma frase por item: os radianos transformam ângulos em números honestos (arco $=$ raio $\times$ ângulo); cosseno e seno são a sombra e a altura do ponteiro do relógio; as simetrias do círculo são as identidades; resolver $\cos t = c$ lê horários no relógio; e todo fenômeno periódico — roda, maré, som — é esse relógio fantasiado.

Solução

Solução de Problema 14.1.

1. $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ ; $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$ ; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$ . E $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$ ; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ .

2. Comprimento $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m. Os radianos fazem do comprimento do arco um produto simples — os graus arrastariam um $\frac{\pi}{180}$ para dentro de cada fórmula.

3. Radianos girados $= \frac{\text{distância}} {\text{raio}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad; divididos por $2\pi$ : cerca de $530$ voltas completas.

4. $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$ ; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$ , logo $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

5. $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ; no segundo quadrante o cosseno é negativo: $\cos t = -\frac45$ , e $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$ .

6. Em $t$ minutos a roda gira $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$ . Em $t = 0$ : $h = 65 - 60 = 5$ m — a plataforma de embarque, embaixo (altura do eixo menos o raio). O sinal de menos coloca você abaixo do eixo quando o ângulo girado é $0$ .

7. $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (altura do eixo); $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (o topo); $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m.

8. $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ dá $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$ : primeira solução $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$ , isto é, $t = 10$ minutos.

9. $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ para $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$ , isto é, $t \in \intcc{10}{20}$ : dez minutos do passeio acima de $95$ m, simétricos em torno do cume em $t = 15$ .

10. Primeiro minuto:

h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right) \approx 1.3 \text{ m}.

Entre os minutos $7$ e $8$ :

60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right) \approx 12.5 \text{ m}

— quase dez vezes mais. A altura muda mais depressa ao passar pelo nível do eixo e quase estagna perto do fundo e do topo: a senoide é íngreme no meio e plana nos extremos.

11. Raio $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, eixo a $4 + 18 = 22$ m, período $12$ min: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ .

12. Máximo $7 + 3 = 10$ m quando $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$ : pela primeira vez em $t = 3$ (3h); mínimo $4$ m pela primeira vez em $t = 9$ ; período $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ horas.

13. $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ para $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$ : $t \in \intcc{1}{5}$ — uma janela de quatro horas, de 1h às 5h, reabrindo um período depois, $t \in \intcc{13}{17}$ (das 13h às 17h).

14. O espelho no eixo vertical leva o ponto de ângulo $t$ ao ponto de ângulo $\pi - t$ , preservando a ordenada: $\sin(\pi - t) = \sin t$ . A meia volta em torno do centro leva $t$ a $\pi + t$ , trocando o sinal das duas coordenadas: $\cos(\pi + t) = -\cos t$ . E o espelho na diagonal troca abscissa e ordenada: $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ — o “co” dos ângulos complementares.

15. $\sin(-t) = -\sin t$ : ímpar (simetria do gráfico por meia volta); $\cos(-t) = \cos t$ : par (espelho). E $\sin t + t^3$ é uma soma de duas funções ímpares: ímpar.

16. Fatorando: $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$ : $\sin t = 1$ dá $t = \frac\pi2$ ; $\sin t = -\frac12$ dá $t = \frac{7\pi}{6}$ e $t = \frac{11\pi}{6}$ . Três soluções no círculo.

17. $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$ . Assim, $\sin(1) \approx 0.841$ , enquanto $\sin(1^\circ) \approx 0.0175$ : um fator de quase $50$ . Moral: confira a indicação de modo antes de confiar em qualquer resultado trigonométrico da calculadora.

18. Abscissa igual a ordenada na diagonal: $t = \frac\pi4$ e $t = \frac{5\pi}{4}$ .

19. $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ contra $0.1$ : erro relativo de cerca de $0.17\,\%$ . Para ângulos pequenos a corda abraça o arco — e o limite $\frac{\sin t}{t} \to 1$ do ano 12 é exatamente essa observação transformada em teorema.

20. Radianos: ângulo $=$ arco no círculo de raio $1$ , de modo que ângulos se calculam como comprimentos. Cosseno e seno: as coordenadas do ponteiro do relógio — a sombra no chão e a altura na parede. Simetrias do círculo: o catálogo inteiro de identidades, lido em espelhos e meias voltas. Equações $\cos t = c$ : a tabela de horários do relógio, com o círculo exibindo todas as soluções de uma vez. Fantasias: a roda vestiu $65 - 60\cos$ , a maré vestiu $7 + 3\sin$ — mesmo relógio, mesma matemática.