Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

10O amplificador operacional

Um extensômetro colado à viga de uma ponte muda a sua resistência em um milésimo quando um caminhão passa; a ponte de Wheatstone ao seu redor (Capítulo 6) transforma isso em dois milivolts. Dois milivolts não acionam nada. Entre o extensômetro e o alarme que fechará a ponte ao tráfego há um chip do tamanho de uma unha, vendido por alguns centavos, que multiplica o sinal por mil, o filtra, o compara com um limiar e acende uma lâmpada — quatro tarefas, um componente, quatro ligações diferentes. Este capítulo apresenta o amplificador operacional pelo seu modelo ideal, deduz o punhado de circuitos com que todo instrumento é construído e mostra o que acontece quando a realimentação é retirada.

10.1 O componente e o seu modelo ideal

Definição 10.1 (Amplificador operacional)

Um amplificador operacional é um circuito integrado com duas entradas — a entrada não inversora, ao potencial $V_+$ , e a entrada inversora, ao potencial $V_-$ — e uma saída ao potencial $V_s$ , alimentado por duas fontes $\pm V_{\mathrm{cc}}$ (tipicamente $\pm15\,\mathrm{V}$ ), em geral omitidas dos esquemas. Ele amplifica a diferença $\epsilon = V_+ - V_-$ :

V_s = \mu\,\epsilon \quad\text{enquanto } \abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}},

com um ganho em malha aberta $\mu$ da ordem de $10^5$ e uma tensão de saturação $V_{\mathrm{sat}}$ ligeiramente abaixo de $V_{\mathrm{cc}}$ . Quando $\mu\abs\epsilon$ ultrapassaria $V_{\mathrm{sat}}$ , a saída trava em $+V_{\mathrm{sat}}$ ou $-V_{\mathrm{sat}}$ : é o regime saturado.

Definição 10.2 (Amplificador operacional ideal)

O modelo ideal supõe: (i) nenhuma corrente entra pelas entradas, $i_+ = i_- = 0$ (impedância de entrada infinita); (ii) a saída impõe a sua tensão qualquer que seja a corrente drenada (impedância de saída nula); (iii) ganho infinito, $\mu \to \infty$ . No regime linear ( $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ) a terceira hipótese força

\epsilon = V_+ - V_- = 0 :

as duas entradas ficam ao mesmo potencial (um “curto-circuito virtual”), embora nenhuma corrente circule entre elas.

O amplificador operacional: o símbolo com as suas duas entradas e a sua característica de transferência V_s( ) — um segmento linear íngreme de inclinação 105 (desenhado bem menos inclinado do que é), depois a saturação em ± V_ sat. No modelo ideal o segmento linear é vertical: = 0. — O amplificador operacional: o símbolo com as suas duas entradas e a sua característica de transferência $V_s(\epsilon)$ — um segmento linear íngreme de inclinação $\mu \sim 10^5$ (desenhado bem menos inclinado do que é), depois a saturação em $\pm V_{\mathrm{sat}}$ . No modelo ideal o segmento linear é vertical: $\epsilon = 0$ .

Proposição 10.3 (Realimentação negativa e regime linear)

Se a saída é ligada de volta à entrada inversora através de uma rede (realimentação negativa), o circuito tem um ponto de operação linear estável em $\epsilon = 0$ e valem as regras do amplificador ideal. Se a saída é realimentada à entrada não inversora (realimentação positiva), ou não é realimentada de modo algum, o amplificador satura: $V_s = \pm V_{\mathrm{sat}}$ conforme o sinal de $\epsilon$ .

Demonstração parcial. Com realimentação negativa, suponha que $V_s$ suba um pouco acima do seu valor de equilíbrio; através da rede de realimentação $V_-$ sobe, $\epsilon$ cai, e o amplificador puxa $V_s$ de volta para baixo: a perturbação é corrigida. Com realimentação positiva a mesma perturbação eleva $V_+$ , aumenta $\epsilon$ e afasta $V_s$ ainda mais, até saturar. O argumento completo (um modelo de primeira ordem do amplificador, $\mu(j\omega) = \mu_0/(1 + j\omega/\omega_0)$ , e a estabilidade da equação diferencial resultante) é assunto do volume do segundo ano; a regra acima é o que se usa. ∎

Observação 10.4 (Amplificadores reais)

Três afastamentos do ideal importam na prática. O ganho em malha aberta cai com a frequência como $\mu_0/(1 + jf/f_0)$ , com $f_0 \sim 10\,\mathrm{Hz}$ : o produto $\mu_0 f_0 = f_T \sim 1\,\mathrm{MHz}$ (o produto ganho–largura de banda) é a largura de banda disponível para um seguidor, e um circuito de ganho em malha fechada $G$ tem largura de banda $f_T/G$ . A saída não pode variar mais depressa que a slew rate, $\sim1\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$ . E uma pequena tensão de offset de entrada ( $\sim1\,\mathrm{mV}$ ) é amplificada como um sinal — fatal para entradas de milivolts, a menos que seja ajustada.

10.2 Os circuitos lineares de base

Método 10.5 (Analisando um circuito com amp. op. ideal em regime linear)

Verifique que a realimentação vai para a entrada inversora.
Escreva $i_+ = i_- = 0$ : os nós de entrada obedecem à lei dos nós de Kirchhoff sem corrente entrando no amplificador (valem os divisores e o teorema de Millman).
Escreva $V_+ = V_-$ e resolva para $V_s$ .
Verifique depois que $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ; se não, o amplificador está saturado e o resultado é $\pm V_{\mathrm{sat}}$ .

Proposição 10.6 (Seguidor, amplificadores não inversor e inversor)

Seguidor: saída ligada a $V_-$ , entrada em $V_+$ : $V_s = V_e$ ; impedância de entrada infinita, impedância de saída nula.
Amplificador não inversor: saída para $V_-$ através de um divisor $R_2$ (realimentação) e $R_1$ (para a terra), entrada em $V_+$ :

$V_s = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_e .$
Amplificador inversor: $V_+$ aterrado, entrada através de $R_1$ para $V_-$ , realimentação $R_2$ da saída para $V_-$ :

$V_s = -\frac{R_2}{R_1}\,V_e ,$

com $V_-$ mantido ao potencial de terra (uma terra virtual) e uma impedância de entrada $R_1$ .

Demonstração. Seguidor: $V_- = V_s$ e $V_+ = V_e$ ; $\epsilon = 0$ dá $V_s = V_e$ . Não inversor: nenhuma corrente entra em $V_-$ , de modo que o divisor dá $V_- = V_sR_1/(R_1 + R_2)$ ; iguale a $V_+ = V_e$ . Inversor: $V_- = V_+ = 0$ ; lei dos nós em $V_-$ com $i_- = 0$ : $(V_e - 0)/R_1 + (V_s - 0)/R_2 = 0$ . A fonte entrega $V_e/R_1$ : impedância de entrada $R_1$ . ∎

Os três amplificadores de base. Em cada um a saída alimenta a entrada inversora, o amplificador trabalha no seu regime linear, e o ganho é fixado apenas por razões de resistências — não pelo enorme e mal definido do próprio amplificador. — Os três amplificadores de base. Em cada um a saída alimenta a entrada inversora, o amplificador trabalha no seu regime linear, e o ganho é fixado apenas por razões de resistências — não pelo $\mu$ enorme e mal definido do próprio amplificador.

Exemplo 10.7 (Por que um seguidor)

Um sensor de resistência de Thévenin $10\,\mathrm{k}\Omega$ que alimenta uma carga de $1\,\mathrm{k}\Omega$ entrega apenas $1/11$ da sua tensão em circuito aberto (Observação 6.14). Um seguidor entre os dois não drena corrente do sensor e alimenta a carga a partir de uma saída de impedância nula: a tensão chega inteira. O seguidor é um adaptador de impedância — e torna exata a regra de cascata da Proposição 9.14.

Proposição 10.8 (Amplificadores somador e diferencial)

Entradas $V_1, V_2$ através de $R_1, R_2$ para o nó inversor, realimentação $R_f$ , $V_+$ aterrado:

V_s = -R_f\left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2}\right) \quad (\text{amplificador somador}).

Com $V_1$ através de $R_1$ para $V_-$ (realimentação $R_2$ ) e $V_2$ através de $R_1$ para $V_+$ (com $R_2$ de $V_+$ à terra):

V_s = \frac{R_2}{R_1}\,(V_2 - V_1) \quad (\text{amplificador diferencial}).

Demonstração. Somador: lei dos nós na terra virtual, $V_1/R_1 + V_2/R_2 + V_s/R_f = 0$ . Diferencial: $V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ (divisor); lei dos nós em $V_-$ : $(V_1 - V_-)/R_1 + (V_s - V_-)/R_2 = 0$ , logo $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$ ; ponha $V_- = V_+$ e simplifique. ∎

10.3 Integrador e derivador

Proposição 10.9 (Integrador)

Entrada através de $R$ para $V_-$ , um capacitor $C$ como realimentação, $V_+$ aterrado:

V_s(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^t V_e(t')\,\dd t' + V_s(0), \qquad \underline H = -\frac{1}{jRC\omega} .

O ganho cai $20\,\mathrm{dB}$ por década em toda frequência e a fase vale $+90^\circ$ : um integrador exato — até que o menor offset ou desvio, integrado indefinidamente, leve a saída à saturação.

Demonstração. Terra virtual: a corrente $V_e/R$ entra no capacitor, cuja tensão (de $V_-$ até a saída) vale $-V_s$ ; logo $C\,\dd(-V_s)/\dd t = V_e/R$ , e em notação complexa $\underline H = -1/(jRC\omega)$ . ∎

Observação 10.10 (Domando o integrador)

Um resistor $R'$ em paralelo com $C$ dá

\underline H = -\frac{R'/R}{1 + jR'C\omega},

um passa-baixa de primeira ordem, de ganho contínuo $-R'/R$ e corte em $1/R'C$ , que integra para $\omega \gg 1/R'C$ mas não pode derivar até a saturação. Do mesmo modo, o derivador (capacitor na entrada, resistor como realimentação: $V_s = -RC\,\dd V_e/\dd t$ , $\underline H = -jRC\omega$ ) amplifica sem limite o ruído de alta frequência, a menos que um pequeno resistor em série limite o seu ganho.

O integrador e o seu diagrama de Bode (azul, -20\, dB por década em toda parte, ganho infinito em contínuo); com um resistor em paralelo com C o ganho fica limitado em baixa frequência (vermelho): um passa-baixa que integra acima da sua frequência de corte. — O integrador e o seu diagrama de Bode (azul, $-20\,\mathrm{dB}$ por década em toda parte, ganho infinito em contínuo); com um resistor em paralelo com $C$ o ganho fica limitado em baixa frequência (vermelho): um passa-baixa que integra acima da sua frequência de corte.

Exemplo 10.11 (Triângulo a partir de quadrada)

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $1/RC = 1000\,\mathrm{s}^{-1}$ . Uma onda quadrada de $1\,\mathrm{kHz}$ e $\pm1\,\mathrm{V}$ dá um triângulo de inclinação $\mp1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ e amplitude $ET/4RC = 0.25\,\mathrm{V}$ — sem a atenuação em $1/\omega$ de um RC passivo, e com uma saída de impedância nula para alimentar o estágio seguinte.

10.4 Filtros ativos

Proposição 10.12 (Passa-baixa ativo de primeira ordem)

O amplificador inversor com um capacitor $C$ em paralelo com o resistor de realimentação $R_2$ tem

\underline H = -\frac{R_2/R_1}{1 + jR_2C\omega}:

um passa-baixa de ganho contínuo $-R_2/R_1$ (que pode exceder $1$ ) e corte em $\omega_c = 1/R_2C$ , com impedância de saída nula — os estágios se põem em cascata por simples multiplicação.

Demonstração. Amplificador inversor com a impedância de realimentação $R_2 \parallel 1/jC\omega = R_2/(1 + jR_2C\omega)$ no lugar de $R_2$ . ∎

10.5 Sem realimentação negativa: comparadores

Proposição 10.13 (Comparador)

Sem realimentação, o amplificador ideal está saturado: $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ se $V_+ > V_-$ , e $-V_{\mathrm{sat}}$ se $V_+ < V_-$ . Com uma referência $V_{\mathrm{ref}}$ numa entrada e um sinal na outra, a saída diz se o sinal ultrapassa a referência — um conversor de um bit.

Demonstração. $\mu\epsilon$ ultrapassa $V_{\mathrm{sat}}$ para qualquer $\abs\epsilon > V_{\mathrm{sat}}/\mu \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ . ∎

Proposição 10.14 (Gatilho de Schmitt)

Realimente uma fração $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ da saída para $V_+$ (divisor $R_1$ à terra, $R_2$ desde a saída) e aplique o sinal $V_e$ a $V_-$ . A saída passa de $+V_{\mathrm{sat}}$ a $-V_{\mathrm{sat}}$ quando $V_e$ sobe acima de $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ , e volta quando $V_e$ cai abaixo de $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ : dois limiares, uma histerese de largura $2\beta V_{\mathrm{sat}}$ , imune a ruídos menores que essa largura.

Demonstração. Realimentação positiva: saturado. Se $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ , então $V_+ = \beta V_{\mathrm{sat}}$ , e $\epsilon = \beta V_{\mathrm{sat}} - V_e$ permanece positivo até que $V_e$ ultrapasse $\beta V_{\mathrm{sat}}$ ; então a saída vira, $V_+$ cai para $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ , e o novo estado se mantém até que $V_e$ caia abaixo desse valor. ∎

O gatilho de Schmitt: a realimentação positiva através de R_1, R_2 dá dois limiares ± V_ sat. A saída vira de alto para baixo quando V_e sobe acima do limiar superior, e de baixo para alto quando cai abaixo do inferior (setas): um ciclo de histerese. — O gatilho de Schmitt: a realimentação positiva através de $R_1$ , $R_2$ dá dois limiares $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$ . A saída vira de alto para baixo quando $V_e$ sobe acima do limiar superior, e de baixo para alto quando cai abaixo do inferior (setas): um ciclo de histerese.

Exemplo 10.15 (O oscilador de relaxação)

Ligue a saída do gatilho de Schmitt de volta à sua própria entrada inversora através de $R$ , com $C$ de $V_-$ à terra. O capacitor se carrega rumo a $\pm V_{\mathrm{sat}}$ e faz o gatilho virar cada vez que atinge $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$ : a saída é uma onda quadrada, a tensão do capacitor é uma sucessão de arcos exponenciais, e o período vale

T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}

(Exercício 10.12): $2.2\,RC$ para $\beta = \tfrac12$ . Sem entrada, com um capacitor, um relógio — um sistema que oscila porque não consegue se acomodar, tema que retorna com os osciladores realimentados do volume do segundo ano.

10.6 Exercícios

Exercício 10.1 ★

Um amplificador não inversor tem $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ . Ganho? Saída para $V_e = 0.50\,\mathrm{V}$ ? Maior entrada antes da saturação?

Solução

Solução de Exercício 10.1.

$G = 1 + 9 = 10$ ; $V_s = 5.0\,\mathrm{V}$ ; saturação em $V_e = 15/10 = 1.5\,\mathrm{V}$ .

Exercício 10.2 ★

Um amplificador inversor tem $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$ . Ganho, impedância de entrada, corrente drenada de uma fonte de $1.0\,\mathrm{V}$ , saída.

Solução

Solução de Exercício 10.2.

$G = -10$ ; impedância de entrada $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; $i = 1.0/10^4 = 0.10\,\mathrm{mA}$ ; $V_s = -10\,\mathrm{V}$ .

Exercício 10.3 ★

Um sensor de resistência interna $10\,\mathrm{k}\Omega$ e tensão em circuito aberto $1.0\,\mathrm{V}$ deve alimentar uma carga de $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ . Tensão na carga sem e com um seguidor entre os dois?

Solução

Solução de Exercício 10.3.

Sem ele: divisor $1/(1 + 10) = 0.091$ , $91\,\mathrm{mV}$ . Com o seguidor: $1.0\,\mathrm{V}$ — o seguidor nada drena do sensor e fornece o $1\,\mathrm{mA}$ de que a carga precisa.

Exercício 10.4 ★

Um amplificador somador tem $R_f = 10\,\mathrm{k}\Omega$ e entradas através de $10\,\mathrm{k}\Omega$ e $20\,\mathrm{k}\Omega$ . Escreva $V_s$ ; calcule-o para $V_1 = 1.0\,\mathrm{V}$ , $V_2 = 2.0\,\mathrm{V}$ .

Solução

Solução de Exercício 10.4.

$V_s = -R_f(V_1/R_1 + V_2/R_2) = -(V_1 + V_2/2) = -(1.0 + 1.0) = -2.0\,\mathrm{V}$ .

Exercício 10.5 ★★

Deduza o $V_s = (R_2/R_1)(V_2 - V_1)$ do amplificador diferencial. Com $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_1 = 1.00\,\mathrm{V}$ , $V_2 = 1.05\,\mathrm{V}$ : qual a saída? O que aconteceu com o $1\,\mathrm{V}$ comum às duas entradas?

Solução

Solução de Exercício 10.5.

$V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ ; em $V_-$ : $(V_1 - V_-)/R_1 = (V_- - V_s)/R_2$ , logo $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$ ; com $V_- = V_+$ : $V_s = V_2R_2/R_1 - V_1R_2/R_1$ . Números: $10 \times 0.05 = 0.50\,\mathrm{V}$ ; o $1\,\mathrm{V}$ comum não contribui em nada — é a rejeição de modo comum.

Exercício 10.6 ★★

Integrador com $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , saída inicialmente nula. Aplica-se um degrau de $1.0\,\mathrm{V}$ : inclinação da saída e tempo até a saturação ( $15\,\mathrm{V}$ ). Uma onda quadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ e $\pm1.0\,\mathrm{V}$ : forma e amplitude da saída.

Solução

Solução de Exercício 10.6.

$V_s = -(1/RC)\int V_e$ : inclinação $-1000 \times 1.0 = -1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ ; saturação após $15/1000 = 15\,\mathrm{ms}$ . Onda quadrada: triângulo de amplitude $ET/4RC = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 10^{-3}) = 0.25\,\mathrm{V}$ (mais a constante que a carga inicial tenha deixado).

Exercício 10.7 ★★

Um resistor de $1.0\,\mathrm{M}\Omega$ é acrescentado em paralelo com o capacitor do integrador anterior. Dê a função de transferência, o ganho em contínuo, a frequência de corte e o ganho a $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; em que faixa o circuito ainda integra?

Solução

Solução de Exercício 10.7.

$\underline H = -(R'/R)/(1 + jR'C\omega)$ : ganho contínuo $-100$ ; corte em $1/(2\pi R'C) = 1.6\,\mathrm{Hz}$ ; a $1\,\mathrm{kHz}$ , $R'C\omega = 628$ , $G = 100/628 = 0.16$ — o valor $1/RC\omega$ do integrador. Ele integra para $f \gg 1.6\,\mathrm{Hz}$ .

Exercício 10.8 ★★

Projete um passa-baixa ativo inversor com ganho de $20\,\mathrm{dB}$ na banda passante e corte em $500\,\mathrm{Hz}$ , usando $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ .

Solução

Solução de Exercício 10.8.

$R_2/R_1 = 10$ : $R_2 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 500) = 32\,\mathrm{nF}$ .

Exercício 10.9 ★★

Um amplificador real tem $\mu_0 = 10^5$ e $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$ . Para um amplificador não inversor projetado para ganho $100$ : ganho real em contínuo (mantenha $\mu_0$ finito na análise) e largura de banda. E a largura de banda de um seguidor?

Solução

Solução de Exercício 10.9.

Com $\mu$ finito: $V_s = \mu(V_e - \beta V_s)$ , $\beta = 1/100$ , logo $G = \mu/(1 + \mu\beta) = 10^5/(1 + 10^3) = 99.9$ . Largura de banda $f_T/G = 10\,\mathrm{kHz}$ ; seguidor: $1\,\mathrm{MHz}$ .

Exercício 10.10 ★★★

Um comparador com $V_{\mathrm{ref}} = 2.0\,\mathrm{V}$ em $V_-$ observa um sinal que sobe devagar e carrega $50\,\mathrm{mV}$ de ruído. Descreva a saída enquanto o sinal cruza $2.0\,\mathrm{V}$ . Qual o remédio?

Solução

Solução de Exercício 10.10.

Cada excursão de ruído através de $2.0\,\mathrm{V}$ faz a saída virar: uma rajada de chaveamentos rápidos (“trepidação”) em torno do cruzamento. Remédio: uma histerese mais larga que o ruído, isto é, um gatilho de Schmitt.

Exercício 10.11 ★★★

Gatilho de Schmitt com $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ : deduza e calcule os dois limiares. Esboce $V_s$ para um $V_e$ triangular de amplitude $3\,\mathrm{V}$ .

Solução

Solução de Exercício 10.11.

$V_+ = V_sR_1/(R_1 + R_2) = V_s/10$ : limiares $\pm1.5\,\mathrm{V}$ . A saída vale $+15\,\mathrm{V}$ enquanto $V_e$ sobe até $1.5\,\mathrm{V}$ , vira para $-15\,\mathrm{V}$ , ali permanece até que $V_e$ caia abaixo de $-1.5\,\mathrm{V}$ e vira de volta: uma onda quadrada na frequência do triângulo, com as bordas nos cruzamentos dos limiares.

Exercício 10.12 ★★★

Oscilador de relaxação com $R_1 = R_2$ ( $\beta = \tfrac12$ ). Deduza o período $T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ a partir da carga de $C$ através de $R$ entre os dois limiares; escolha $R$ para $1.0\,\mathrm{kHz}$ com $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; esboce $V_s(t)$ e $V_C(t)$ .

Solução

Solução de Exercício 10.12.

Com $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ , $V_C$ se carrega de $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ rumo a $+V_{\mathrm{sat}}$ : $V_C = V_{\mathrm{sat}} - (1 + \beta)V_{\mathrm{sat}} \eu^{-t/RC}$ , atingindo $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ quando $\eu^{-t/RC} = (1 - \beta)/(1 + \beta)$ : meio período $RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ , donde $T$ . Para $\beta = \tfrac12$ : $T = 2RC\ln 3 = 2.2RC$ ; $RC = 1/(2.2 \times 10^3) = 0.455\,\mathrm{ms}$ , $R = 4.6\,\mathrm{k}\Omega$ . $V_s$ : onda quadrada $\pm15\,\mathrm{V}$ ; $V_C$ : arcos exponenciais entre $\pm7.5\,\mathrm{V}$ .

10.7 Problema: uma cadeia de instrumentação para um extensômetro

Problema 10.1

Problema de fim de semana — de dois milivolts na viga de uma ponte até uma lâmpada vermelha: seguidores, um amplificador diferencial, um filtro ativo e um gatilho de Schmitt, e as duas imperfeições que decidem se a cadeia funciona

Um extensômetro de resistência $R(1 + \epsilon)$ , $R = 1.00\,\mathrm{k}\Omega$ , $0 \leq \epsilon \leq 2.0 \times 10^{-3}$ , forma uma ponte de Wheatstone com três resistores fixos de $1.00\,\mathrm{k}\Omega$ , alimentada por $E = 5.00\,\mathrm{V}$ . A saída da ponte $u = V_B - V_A$ (entre os dois pontos médios) vale $u \approx E\epsilon/4$ (o sinal é escolhido pela ligação). Amplificadores: ideais, salvo indicação em contrário; $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ ; quando necessário, $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$ , slew rate $0.5\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$ , offset de entrada $1\,\mathrm{mV}$ .

Parte I — A ponte e o seu carregamento.

Lembre por que $u \approx E\epsilon/4$ para $\epsilon$ pequeno.
Calcule $u$ em fundo de escala ( $\epsilon = 2.0 \times 10^{-3}$ ).
Dê o potencial de cada ponto médio (em relação ao terminal negativo da ponte) com deformação nula e em fundo de escala. Como se chama o valor comum aos dois?
Cada ponto médio é a saída de um divisor de dois resistores de $1\,\mathrm{k}\Omega$ : qual é a resistência de Thévenin vista entre os dois pontos médios?
Um amplificador de resistência de entrada $10\,\mathrm{k}\Omega$ é ligado à saída da ponte: que fração de $u$ ele recebe?
Por que um seguidor em cada ponto médio cura isso? Enuncie as duas propriedades usadas.
Quais são as tensões de saída dos seguidores (em termos de $V_A$ , $V_B$ ), e que corrente eles drenam da ponte?

Parte II — Amplificando a diferença.

Os seguidores alimentam um amplificador diferencial ( $R_1$ nas duas entradas, $R_2$ como realimentação e para a terra). Deduza $V_s = (R_2/R_1)(V_B - V_A)$ .
Escolha $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ e $R_2$ para um ganho de $100$ .
Um segundo estágio, não inversor, multiplica por $10$ : dê os seus resistores, o ganho total e a saída em fundo de escala.
Os dois pontos médios ficam perto de $E/2 = 2.5\,\mathrm{V}$ (a tensão de modo comum). O que faz com ela um amplificador diferencial exatamente casado? Se uma razão de resistores estiver errada em $1\%$ , estime a tensão espúria referida à entrada e compare com o sinal.
O primeiro amplificador tem um offset de entrada de $1\,\mathrm{mV}$ . Que erro de saída ele produz após o ganho total? Conclua.
Com $f_T = 1\,\mathrm{MHz}$ , qual é a largura de banda de cada estágio? Ela basta para um sinal abaixo de $5\,\mathrm{Hz}$ ?
A saída deve excursionar $2.5\,\mathrm{V}$ quando um caminhão chega em cerca de $10\,\mathrm{ms}$ : a slew rate limita?

Parte III — Filtragem. O sinal amplificado carrega um zumbido de $50\,\mathrm{Hz}$ captado da rede elétrica.

Projete um passa-baixa ativo inversor de ganho $-1$ e corte em $10\,\mathrm{Hz}$ , usando $R_1 = R_2 = 16\,\mathrm{k}\Omega$ : encontre $C$ .
Calcule a sua atenuação a $50\,\mathrm{Hz}$ em decibéis.
Calcule a defasagem a $5\,\mathrm{Hz}$ e o atraso correspondente. Aceitável para um alarme?
Por que um filtro ativo é preferível aqui a um RC passivo (duas razões)?
Um segundo estágio idêntico é posto em cascata: atenuação a $50\,\mathrm{Hz}$ ? Por que a regra do produto é exata aqui?

Parte IV — Limiar e alarme. O alarme deve disparar quando a deformação ultrapassar $1.6 \times 10^{-3}$ .

A que tensão de saída da cadeia isso corresponde? Um comparador com essa referência: estados da saída.
O sinal filtrado ainda carrega $50\,\mathrm{mV}$ de ruído perto do limiar. O que faz o comparador simples?
Um gatilho de Schmitt com a referência numa entrada e realimentação $\beta$ : mostre que os limiares valem $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$ ; escolha $\beta$ para $\pm0.10\,\mathrm{V}$ e dê $R_1$ , $R_2$ .
Enuncie os dois limiares em volts e em deformação.
A saída aciona um LED ( $2.0\,\mathrm{V}$ , $13\,\mathrm{mA}$ ) através de um resistor: calcule-o. O que protege o LED quando a saída está em $-V_{\mathrm{sat}}$ ?
Resuma a cadeia, estágio por estágio, e nomeie as duas não idealidades que fixam os seus limites reais.

Solução

Solução de Problema 10.1.

1. Dois divisores: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] \approx -E\epsilon/4$ (Proposição 6.22); a ligação fixa o sinal.

2. $u = 5.00 \times 2.0\times10^{-3}/4 = 2.5\,\mathrm{mV}$ .

3. $V_A = E/2 = 2.500\,\mathrm{V}$ sempre; $V_B = E(1 + \epsilon)/(2 + \epsilon) \approx 2.500 + 0.0025 = 2.5025\,\mathrm{V}$ em fundo de escala. Os $2.5\,\mathrm{V}$ comuns aos dois são a tensão de modo comum.

4. Cada ponto médio: $1 \parallel 1 = 500\,\Omega$ ; entre os dois pontos médios, $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ .

5. $10/(10 + 1) = 0.91$ : uma perda de $9\%$ .

6. Impedância de entrada infinita (nenhuma corrente sai da ponte, de modo que os pontos médios conservam os seus potenciais em circuito aberto) e impedância de saída nula (o estágio seguinte pode drenar o que precisar).

7. Exatamente $V_A$ e $V_B$ ; corrente nula.

8. Como em Proposição 10.8: $V_+ = V_BR_2/(R_1 + R_2)$ , lei dos nós em $V_-$ , $V_- = V_+$ .

9. $R_2 = 1.0\,\mathrm{M}\Omega$ .

10. $1 + R_2/R_1 = 10$ : por exemplo, $1\,\mathrm{k}\Omega$ e $9\,\mathrm{k}\Omega$ . Ganho total $1000$ ; fundo de escala $2.5 \times 10^{-3} \times 1000 = 2.5\,\mathrm{V}$ .

11. Casado: os $2.5\,\mathrm{V}$ comuns se cancelam exatamente (só $V_B - V_A$ sobrevive). Um descasamento de $1\%$ deixa passar cerca de $1\%$ deles: um erro referido à entrada da ordem de $25\,\mathrm{mV}$ , dez vezes o sinal de fundo de escala — os quatro resistores precisam ser casados a melhor que $0.01\%$ (ou a tensão de modo comum removida antes).

12. $1\ \mathrm{mV} \times 1000 = 1\,\mathrm{V}$ , quarenta por cento do fundo de escala: inutilizável sem ajuste de offset, sem um amplificador de baixo offset (chopper) ou sem uma calibração de zero com a viga descarregada.

13. Estágio 1: $f_T/100 = 10\,\mathrm{kHz}$ ; estágio 2: $100\,\mathrm{kHz}$ ; muito acima de $5\,\mathrm{Hz}$ .

14. Exige-se $2.5/10^{-2} = 250\,\mathrm{V}/\mathrm{s} = 0.25\,\mathrm{mV}/\text{µ}\mathrm{s}$ , duas mil vezes abaixo da slew rate: não.

15. $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^4 \times 10) = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

16. $x = 5$ : $G = 1/\sqrt{26}$ , $-14\,\mathrm{dB}$ .

17. $\varphi = -\arctan 0.5 = -27^\circ$ ; atraso $\varphi/\omega = 15\,\mathrm{ms}$ — nada diante da passagem de um caminhão.

18. Não carrega o estágio seguinte (impedância de saída nula) e há ganho disponível; além disso, não atenua o sinal desejado abaixo do corte.

19. $-28\,\mathrm{dB}$ (os ganhos se multiplicam, os decibéis se somam), exata porque a impedância de saída do primeiro estágio é nula: o segundo estágio não o carrega.

20. $\epsilon = 1.6\times10^{-3} \to u = 2.0\,\mathrm{mV} \to 2.0\,\mathrm{V}$ ; saída $+V_{\mathrm{sat}}$ quando o sinal ultrapassa $2.0\,\mathrm{V}$ , e $-V_{\mathrm{sat}}$ abaixo (ou o inverso, conforme a ligação).

21. Ela trepida: a lâmpada pisca à medida que o ruído cruza a referência.

22. Com $V_{\mathrm{ref}}$ através de $R_2$ e a saída através de $R_1$ : na forma padrão, a entrada não inversora fica em $V_{\mathrm{ref}}(1 - \beta) + \beta V_s$ ; tomando a referência deslocada de acordo, os níveis de comutação valem $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$ . De $\beta V_{\mathrm{sat}} = 0.10\,\mathrm{V}$ : $\beta = 1/150$ , por exemplo $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 149\,\mathrm{k}\Omega$ .

23. $2.1\,\mathrm{V}$ (disparo) e $1.9\,\mathrm{V}$ (rearme): deformações $1.68 \times 10^{-3}$ e $1.52 \times 10^{-3}$ .

24. $R = (15 - 2.0)/0.013 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ . Em $-V_{\mathrm{sat}}$ o LED fica polarizado reversamente com $15\,\mathrm{V}$ , além da sua especificação: um diodo comum em antiparalelo (ou em série) o protege.

25. Ponte ( $2.5\,\mathrm{mV}$ de fundo de escala) $\to$ dois seguidores (sem carregamento) $\to$ amplificador diferencial $\times100$ $\to$ não inversor $\times10$ $\to$ passa-baixa ativo de $10\,\mathrm{Hz}$ $\to$ gatilho de Schmitt em $2.0\,\mathrm{V} \pm 0.1\,\mathrm{V}$ $\to$ LED. Os limites reais: a tensão de offset de entrada e o casamento dos resistores do amplificador diferencial, ambos comparáveis ao sinal de milivolts.

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