Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

1Unidades, dimensões e medida

Num laboratório de subsolo um pêndulo oscila, um cronômetro dispara e um estudante escreve $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Esse é o valor “certo”? O livro-texto diz $9.81$ . Se os dois números concordam, se o experimento foi bem concebido, qual das suas etapas o limitou — nada disso se decide a partir dos algarismos. A física mede, e uma medida sem a sua incerteza é um boato. Este capítulo monta a linguagem comum de todos os capítulos que virão: unidades, dimensões, ordens de grandeza e a aritmética honesta das incertezas.

A balança de Kibble NIST-4, um dos instrumentos que hoje realizam o quilograma a partir da constante de Planck: uma massa é pesada contra uma força eletromagnética medida em unidades elétricas. Fotografia: J. L. Lee, NIST (domínio público).

1.1 O Sistema Internacional de Unidades

Definição 1.1 (Grandeza física e unidade)

Uma grandeza física é uma propriedade que pode ser medida: um comprimento, uma duração, uma massa, uma corrente. Medi-la é compará-la com uma grandeza de referência da mesma espécie, a unidade: o resultado é um número vezes uma unidade, $\ell = 1.257\,\mathrm{m}$ . O número sozinho nada significa; a unidade sozinha nada mede.

Definição 1.2 (Unidades de base do SI)

O Sistema Internacional de Unidades (SI) repousa sobre sete unidades de base: o segundo ( $\mathrm{s}$ ), o metro ( $\mathrm{m}$ ), o quilograma ( $\mathrm{kg}$ ), o ampère ( $\mathrm{A}$ ), o kelvin ( $\mathrm{K}$ ), o mol ( $\mathrm{mol}$ ) e a candela ( $\mathrm{cd}$ ). Desde 2019 cada uma é definida fixando-se o valor numérico de uma constante da natureza: a frequência hiperfina do césio $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ define o segundo; a velocidade da luz $c = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ define em seguida o metro; a constante de Planck $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ define o quilograma; a carga elementar $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ define o ampère; a constante de Boltzmann $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ o kelvin; a constante de Avogadro $N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ o mol; e uma eficácia luminosa fixa $K_{\mathrm{cd}}$ a candela. Toda outra unidade é uma unidade derivada, um produto de potências de unidades de base: $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ , $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}$ , $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ .

As sete unidades de base (anel externo) e as sete constantes que as definem (anel interno). Uma constante fixa define a sua unidade apenas em conjunto com unidades já definidas (tracejado): c converte segundos em metros, h precisa do metro e do segundo para definir o quilograma, e precisa do segundo para definir o ampère. — As sete unidades de base (anel externo) e as sete constantes que as definem (anel interno). Uma constante fixa define a sua unidade apenas em conjunto com unidades já definidas (tracejado): $c$ converte segundos em metros, $h$ precisa do metro e do segundo para definir o quilograma, $e$ precisa do segundo para definir o ampère.

Observação 1.3 (Nomes e símbolos)

As unidades que levam nomes de pessoas escrevem-se por extenso em minúscula (newton, joule, pascal) e em maiúscula como símbolo ( $\mathrm{N}$ , $\mathrm{J}$ , $\mathrm{Pa}$ ); por extenso em maiúscula, a palavra designa a pessoa. Os prefixos escalam por potências de dez, de p ( $10^{-12}$ ) passando por n, $\mu$ , m, k, M, G até T ( $10^{12}$ ); o quilograma é a única unidade de base que traz um prefixo no próprio nome.

Exemplo 1.4 (Desdobrando uma unidade derivada)

O volt: $\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3})$ . O ohm: $\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3})$ . O farad: $\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2})$ . Esse desdobramento é a maneira mais segura de verificar que uma fórmula foi lembrada corretamente — a próxima seção o torna sistemático.

1.2 Análise dimensional

Definição 1.5 (Dimensão)

A dimensão de uma grandeza $X$ , escrita $[X]$ , registra como $X$ se constrói a partir das sete grandezas de base, independentemente das unidades escolhidas: comprimento $L$ , massa $M$ , tempo $T$ , corrente elétrica $I$ , temperatura $\Theta$ , quantidade de matéria $N$ , intensidade luminosa $J$ . Uma velocidade tem dimensão $[v] = L\,T^{-1}$ , uma força $[F] = M\,L\,T^{-2}$ , uma energia $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$ . Uma grandeza de dimensão $1$ (um ângulo, uma razão, um índice de refração) é adimensional.

Teorema 1.6 (Princípio da homogeneidade dimensional)

Numa lei física, os dois membros de uma igualdade têm a mesma dimensão, e cada parcela de uma soma tem a dimensão do todo. O argumento de uma exponencial, de um logaritmo, de um seno ou de um cosseno é adimensional.

Demonstração. As leis da física não dependem das unidades que os seres humanos escolhem. Mudar a unidade de comprimento por um fator $\lambda$ multiplica toda grandeza de dimensão $L^a \cdots$ por $\lambda^{-a}$ : uma igualdade entre parcelas de dimensões diferentes valeria num sistema de unidades e falharia em outro. Para uma função como $\exp$ , a série $1 + x + x^2/2 + \dots$ soma potências de $x$ de dimensões diferentes, a menos que $x$ seja adimensional. ∎

Método 1.7 (Verificando uma fórmula)

Escreva a dimensão de cada símbolo.
Reduza cada membro (cada parcela) a um produto $L^a M^b T^c \cdots$ .
Expoentes iguais dos dois lados: a fórmula pode estar certa. Expoentes diferentes: ela está certamente errada — falta um fator $g$ , uma grandeza está ao quadrado onde deveria estar simples, um expoente tem dimensões.

Uma fórmula homogênea ainda pode estar errada por um fator adimensional ( $2$ , $\pi$ , $\tfrac12$ ): as dimensões nunca enxergam esse fator.

Exemplo 1.8 (O período de um pêndulo)

Um pêndulo de comprimento $\ell$ e massa $m$ oscila num campo gravitacional $g$ . Suponha o seu período da forma $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ com $k$ adimensional. Então $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ , de modo que $\beta = 0$ , $\gamma = -\tfrac12$ , $\alpha = \tfrac12$ :

\tau = k\sqrt{\ell/g} .

Sem resolver uma única equação de movimento: a massa desaparece e dobrar o comprimento multiplica o período por $\sqrt2$ . A dinâmica (Capítulo 14) fornecerá $k = 2\pi$ para pequenas oscilações.

Proposição 1.9 (Grupos adimensionais)

Se uma grandeza $Y$ depende de $n$ grandezas $X_1, \dots, X_n$ que envolvem $r$ dimensões de base independentes, a relação pode ser reescrita entre $n + 1 - r$ combinações adimensionais dos $X_i$ e de $Y$ . Quando $n + 1 - r = 1$ , a única combinação deve ser constante, e a análise dimensional fornece a lei a menos de um fator numérico.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 1.10 (Usando a proposição)

O enunciado geral (o teorema de Vaschy–Buckingham) é um exercício de álgebra linear sobre os vetores de expoentes. O que importa aqui é a receita: listar as grandezas relevantes, contar as dimensões, formar os grupos adimensionais. No Exemplo 1.8, $n = 3$ ( $\ell, m, g$ ), $r = 3$ ( $L, M, T$ ), de modo que existe um único grupo $\tau\sqrt{g/\ell}$ , que só pode ser constante. O arrasto sobre uma esfera de raio $R$ que se move com velocidade $v$ num fluido de densidade $\rho$ e viscosidade $\eta$ envolve $n = 4$ grandezas e $r = 3$ dimensões: dois grupos, $F/(\rho v^2 R^2)$ e $\rho v R/\eta$ (o número de Reynolds), e as dimensões sozinhas não dizem como o primeiro depende do segundo — só o experimento diz.

1.3 Ordens de grandeza

Definição 1.11 (Ordem de grandeza)

A ordem de grandeza de uma grandeza é a potência de dez mais próxima dela: $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (o raio da Terra) tem ordem de grandeza $10^7$ ; $3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ tem ordem $10^3$ ; $3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ está mais perto de $10^3$ do que de $10^4$ numa escala logarítmica (a fronteira é $\sqrt{10} \approx 3.16$ ). Duas grandezas são “da mesma ordem” quando a razão entre elas fica abaixo de cerca de $3$ .

Método 1.12 (Estimando)

Para estimar uma grandeza que ninguém mediu por você:

decomponha-a em fatores que você saiba estimar a menos de um fator $2$ ou $3$ cada um;
estime cada fator, guardando um algarismo significativo;
multiplique, guardando a potência de dez e um algarismo.

Os erros dos diferentes fatores se cancelam em parte; o resultado costuma estar certo a menos de um fator $3$ a $10$ , o que muitas vezes basta para aceitar ou descartar uma hipótese.

Exemplo 1.13 (A massa da atmosfera)

A pressão atmosférica $P_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ é o peso da coluna de ar acima de um metro quadrado, $P_0 = m_{\text{col}}\,g$ , de modo que $m_{\text{col}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ por metro quadrado. A superfície da Terra vale $4\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2 \approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ; a atmosfera pesa cerca de $5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ . O valor aceito é $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ — a estimativa precisou apenas de $P_0$ e de $R$ .

Definição 1.14 (Algarismos significativos)

Os algarismos significativos de um número escrito são os seus dígitos a partir do primeiro não nulo: $0.0820$ tem três, $8.20 \times 10^{-2}$ os mesmos três, $820$ é ambíguo (dois ou três) a menos que se escreva $8.2 \times 10^{2}$ ou $8.20 \times 10^{2}$ . Um resultado é escrito com os algarismos significativos que a sua incerteza permite (Método 1.20, adiante): nunca “ $g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ” quando o quarto dígito é desconhecido.

1.4 Incerteza de medida

Definição 1.15 (Mensurando, erro, incerteza)

O mensurando é a grandeza que se pretende medir. Repetir uma medida dá valores dispersos: a medida é variável. O erro de um resultado é a sua diferença desconhecida em relação ao valor verdadeiro; a incerteza-padrão $u(x)$ de um resultado $x$ é o desvio padrão dos valores que se poderiam razoavelmente atribuir ao mensurando — uma grandeza que se pode avaliar. Suas fontes: o operador (tempo de reação, paralaxe), o ambiente (temperatura, vibrações), o instrumento (resolução, calibração), o método (um modelo que só é aproximadamente verdadeiro).

Proposição 1.16 (Avaliação do Tipo A)

A partir de $n$ valores repetidos independentes $x_1, \dots, x_n$ de média $\bar x = \frac1n \sum x_i$ e de desvio padrão experimental

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},

a melhor estimativa do mensurando é $\bar x$ , e a sua incerteza-padrão vale

u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .

Demonstração parcial. Que $s$ estime a dispersão de uma única medida é a própria definição do desvio padrão experimental ( $n - 1$ em vez de $n$ porque a média foi ela mesma estimada a partir dos dados). Que a média de $n$ valores independentes se disperse $\sqrt n$ vezes menos do que um único valor é a adição das variâncias: a variância de uma soma de $n$ variáveis independentes vale $n$ vezes a variância de uma delas, de modo que a variância da média vale $s^2 n / n^2 = s^2/n$ . O curso de probabilidades deste ano demonstra ambas as afirmações. ∎

Cinquenta cronometragens do mesmo período de pêndulo, agrupadas em classes de 0.01\, s. A sua dispersão vale s 0.016\, s (uma cronometragem); a média das cinquenta é conhecida a s/√50 0.002\, s. A curva em sino é a gaussiana de mesma média e mesma dispersão. — Cinquenta cronometragens do mesmo período de pêndulo, agrupadas em classes de $0.01\,\mathrm{s}$ . A sua dispersão vale $s \approx 0.016\,\mathrm{s}$ (uma cronometragem); a média das cinquenta é conhecida a $s/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}$ . A curva em sino é a gaussiana de mesma média e mesma dispersão.

Proposição 1.17 (Avaliação do Tipo B)

Quando um valor é lido uma única vez, a sua incerteza é avaliada a partir do que se sabe do instrumento. Se o valor verdadeiro pode estar em qualquer ponto entre $x - a$ e $x + a$ , sem preferência (uma distribuição uniforme de semilargura $a$ ),

u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .

Para uma escala graduada em passos $\delta$ (semilargura $a = \delta/2$ ), $u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}$ ; o mesmo vale para o último dígito de um mostrador digital. Uma tolerância de fabricante anunciada como “ $\pm a$ ” é tratada da mesma maneira, salvo indicação contrária na folha de dados.

Demonstração. A variância de uma distribuição uniforme sobre $[x - a, x + a]$ vale $\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3} = \frac{a^2}{3}$ ; o seu desvio padrão vale $a/\sqrt3$ . ∎

Uma leitura que se sabe apenas estar dentro de ± a: densidade uniforme 1/(2a), desvio padrão a/√3 0.58\,a — menor que a, porque os extremos não são mais prováveis que o centro. — Uma leitura que se sabe apenas estar dentro de $\pm a$ : densidade uniforme $1/(2a)$ , desvio padrão $a/\sqrt3 \approx 0.58\,a$ — menor que $a$ , porque os extremos não são mais prováveis que o centro.

Teorema 1.18 (Incerteza combinada)

Seja $y = f(x_1, \dots, x_n)$ calculada a partir de valores medidos independentes de incertezas-padrão $u(x_i)$ . Então

u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .

Em particular:

soma ou diferença $y = x_1 \pm x_2$ : $u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2$ ;
produto ou quociente $y = x_1 x_2$ ou $x_1/x_2$ : $\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2 + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$ ;
potência $y = k\,x^\alpha$ : $\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}$ .

Demonstração. Para desvios pequenos $\delta x_i$ , o desenvolvimento de Taylor de primeira ordem dá $\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i$ . Os desvios são independentes e de média nula, de modo que a variância da soma é a soma das variâncias, cada uma multiplicada pelo quadrado do seu coeficiente — é a fórmula exibida. Os casos particulares seguem: $\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2$ dá $u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2$ , basta dividir por $y^2 = x_1^2 x_2^2$ ; para $y = kx^\alpha$ , $\partial y/\partial x = \alpha y/x$ . ∎

Exemplo 1.19 (A densidade de um cilindro)

Um cilindro: $m = 47.32\,\mathrm{g}$ ( $u = 0.01\,\mathrm{g}$ ), $d = 12.00\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.02\,\mathrm{mm}$ ), $h = 50.2\,\mathrm{mm}$ ( $u = 0.1\,\mathrm{mm}$ ). Como $\rho = 4m/(\pi d^2 h)$ , o quadrado da incerteza relativa soma $(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}$ , $(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5}$ e $(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}$ : o diâmetro domina, porque está elevado ao quadrado e foi medido a $0.17\%$ . $u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}} = 0.39\%$ ; $\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , logo $u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — latão.

Método 1.20 (Escrevendo um resultado)

Arredonde a incerteza a um algarismo significativo (dois se o primeiro for $1$ ou $2$ ).
Arredonde o valor à mesma casa decimal.
Escreva valor e incerteza com a unidade: $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , ou $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Guarde algarismos a mais durante o cálculo; arredonde só no fim.

Definição 1.21 (Desvio normalizado)

Dois resultados $x_1 \pm u_1$ e $x_2 \pm u_2$ do mesmo mensurando são comparados pelo seu desvio normalizado

z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .

Eles são compatíveis quando $z \leq 2$ ; um $z$ maior aponta um efeito não considerado — ou uma incerteza subestimada. Quando $x_2$ é um valor de referência sem incerteza anunciada, toma-se $u_2 = 0$ .

Observação 1.22 (Por que 2)

Se os dois resultados se dispersam como gaussianas, a sua diferença tem desvio padrão $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$ , e uma gaussiana ultrapassa o dobro do seu desvio padrão em cerca de $5\%$ dos casos. “ $z \leq 2$ ” é uma convenção, não um teorema: ela aceita mais ou menos uma boa medida em vinte como falso desacordo.

1.5 Ajustando um modelo aos dados

Proposição 1.23 (Reta dos mínimos quadrados)

Dados $n$ pontos $(x_i, y_i)$ que se espera obedecerem a $y = a x + b$ , a reta que minimiza a soma dos quadrados das distâncias verticais $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ tem

a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2}, \qquad b = \bar y - a\,\bar x .

Demonstração. A soma é uma função quadrática de $(a, b)$ ; anular as duas derivadas parciais dá duas equações lineares: $\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0$ , isto é, $\bar y = a \bar x + b$ , e $\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0$ . Substituir $b$ na segunda e centrar as variáveis fornece $a$ . A minimização em si é conduzida no curso de matemática sobre funções de duas variáveis. ∎

Método 1.24 (Validando graficamente um modelo)

Escolha variáveis que tornem reta a lei esperada: $\tau^2$ contra $\ell$ para o pêndulo, $\ln y$ contra $\ln x$ para uma lei de potência $y = Cx^\alpha$ (inclinação $\alpha$ ).
Trace os pontos com as suas barras de incerteza.
Ajuste a reta; o modelo é aceitável se as barras cruzam a reta sem tendência sistemática dos resíduos e se o coeficiente linear é o que o modelo prevê (aqui, zero).
Leia a física na inclinação, com a sua incerteza.

2 contra para cinco comprimentos de pêndulo, com as barras de incerteza; a reta dos mínimos quadrados passa pela origem dentro da incerteza e a sua inclinação 4π2/g fornece g. — $\tau^2$ contra $\ell$ para cinco comprimentos de pêndulo, com as barras de incerteza; a reta dos mínimos quadrados passa pela origem dentro da incerteza e a sua inclinação $4\pi^2/g$ fornece $g$ .

Exemplo 1.25 (Lendo $g$ numa inclinação)

Os cinco pontos da figura têm $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ , $\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ , e as somas $\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}$ , $\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}$ : inclinação $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ , coeficiente linear $b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ , desprezível. Com $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ , vem $g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

1.6 Exercícios

Exercício 1.1 ★

Exprima o joule, o watt, o pascal e o coulomb em unidades de base. Deduza que $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}$ é uma unidade de energia.

Solução

Solução de Exercício 1.1.

$\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}$ ; $\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J}$ (o trabalho das forças de pressão, $P\,\dd V$ ).

Exercício 1.2 ★

Dê as dimensões de uma pressão, de uma potência, de uma carga elétrica, de uma tensão e das constantes $G$ (em $F = Gm_1m_2/r^2$ ), $h$ (em $E = h\nu$ ) e $k_B$ (em $E = k_B T$ ).

Solução

Solução de Exercício 1.2.

Pressão $M L^{-1} T^{-2}$ ; potência $M L^2 T^{-3}$ ; carga $I\,T$ ; tensão $=$ potência/corrente $= M L^2 T^{-3} I^{-1}$ . $[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}$ ; $[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}$ ; $[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}$ .

Exercício 1.3 ★

Estas fórmulas são homogêneas? $v = \sqrt{2gh}$ ; $E = \tfrac12 m v$ ; $P = \rho g h$ para uma pressão; $x = v_0 t + \tfrac12 g t^2$ ; $T = 2\pi\sqrt{g/\ell}$ ; $I = I_0 \eu^{-t/RC}$ .

Solução

Solução de Exercício 1.3.

$\sqrt{2gh}$ : $\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}$ , homogênea. $\tfrac12 mv$ : $M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}$ , não é uma energia. $\rho g h$ : $M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}$ , uma pressão. $v_0 t + \tfrac12 g t^2$ : as duas parcelas em $L$ , homogênea. $2\pi\sqrt{g/\ell}$ : $\sqrt{T^{-2}} = T^{-1}$ — uma frequência, não um período. $I_0\eu^{-t/RC}$ : $RC$ em $\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}$ , argumento adimensional, homogênea.

Exercício 1.4 ★

Uma régua é graduada em milímetros; uma balança digital mostra passos de $0.01\,\mathrm{g}$ ; a folha de dados de um voltímetro promete “ $\pm 0.5\%$ da leitura”. Dê a incerteza-padrão do Tipo B de um comprimento de $12.7\,\mathrm{cm}$ , de uma massa de $5.43\,\mathrm{g}$ e de uma leitura de $4.80\,\mathrm{V}$ .

Solução

Solução de Exercício 1.4.

Régua: $\delta = 1\,\mathrm{mm}$ , $u = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ . Balança: $u = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}$ . Voltímetro: $a = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}$ , $u = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}$ .

Exercício 1.5 ★★

A velocidade $v$ das ondas numa corda esticada depende da sua tensão $F$ (uma força) e da sua massa por unidade de comprimento $\mu$ . Encontre $v$ a menos de um fator adimensional. Mesma pergunta para a velocidade do som num gás de pressão $P$ e densidade $\rho$ .

Solução

Solução de Exercício 1.5.

$v = k F^\alpha \mu^\beta$ : $L T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta$ , logo $\alpha + \beta = 0$ , $\alpha - \beta = 1$ , $-2\alpha = -1$ : $\alpha = \tfrac12$ , $\beta = -\tfrac12$ , $v = k\sqrt{F/\mu}$ (de fato $k = 1$ ). Som: $P/\rho$ tem dimensão $M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}$ , logo $v = k\sqrt{P/\rho}$ ( $k = \sqrt\gamma \approx 1.2$ para o ar).

Exercício 1.6 ★★

Oito cronometragens da mesma queda, em milissegundos: $452$ , $447$ , $461$ , $455$ , $449$ , $458$ , $444$ , $454$ . Calcule a média, o desvio padrão experimental e a incerteza-padrão da média; escreva o resultado.

Solução

Solução de Exercício 1.6.

Soma $= 3620\,\mathrm{ms}$ , $\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}$ . Desvios $-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5$ ; os quadrados somam $226$ ; $s = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}$ ; $u(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}$ . Resultado: $t = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}$ .

Exercício 1.7 ★★

Uma resistência é medida como $R = U/I$ com $U = 4.80\,\mathrm{V}$ , $u(U) = 0.03\,\mathrm{V}$ e $I = 12.4\,\mathrm{mA}$ , $u(I) = 0.2\,\mathrm{mA}$ . Calcule $R$ e $u(R)$ ; qual das medidas convém melhorar primeiro?

Solução

Solução de Exercício 1.7.

$R = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega$ . Incertezas relativas $0.03/4.80 = 0.63\%$ e $0.2/12.4 = 1.6\%$ ; combinadas $\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%$ , $u(R) = 7\,\Omega$ : $R = (387 \pm 7)\,\Omega$ . A corrente domina — melhorar primeiro o amperímetro (ou a sua escala).

Exercício 1.8 ★★

Dois grupos medem a velocidade do som: $(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . São compatíveis? Um terceiro grupo encontra $(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : compatível com o primeiro? com o segundo?

Solução

Solução de Exercício 1.8.

$z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2$ : compatíveis. Terceiro contra o primeiro: $z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0$ : no limite, ainda compatíveis. Terceiro contra o segundo: $z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4$ : incompatíveis — pelo menos um dos dois tem um erro sistemático ou uma incerteza subestimada.

Exercício 1.9 ★★

O volume de uma esfera é calculado a partir do seu diâmetro $d = 25.40\,\mathrm{mm}$ medido com um paquímetro, $u(d) = 0.02\,\mathrm{mm}$ . Calcule $V$ , a sua incerteza relativa e absoluta, e escreva o resultado.

Solução

Solução de Exercício 1.9.

$V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}$ . $u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%$ , $u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}$ : $V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Exercício 1.10 ★★★

Uma esfera pequena de raio $R$ cai lentamente num líquido viscoso; o arrasto depende de $R$ , da velocidade $v$ e da viscosidade $\eta$ , de dimensão $M L^{-1} T^{-1}$ . Mostre que $F = k\,\eta R v$ . Em alta velocidade o arrasto depende, em vez disso, de $R$ , $v$ e da densidade $\rho$ do fluido: encontre a nova lei. Estime, para uma gota de chuva ( $R = 1\,\mathrm{mm}$ , $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ar: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ), qual dos regimes se aplica, comparando as duas estimativas.

Solução

Solução de Exercício 1.10.

$F = k\eta^a R^b v^c$ : em $M$ : $a = 1$ ; em $T$ : $-a - c = -2$ , $c = 1$ ; em $L$ : $-a + b + c = 1$ , $b = 1$ : $F = k\eta R v$ (Stokes, $k = 6\pi$ ). Com $\rho$ no lugar: em $M$ : $a = 1$ ; em $T$ : $-c = -2$ , $c = 2$ ; em $L$ : $-3 + b + 2 = 1$ , $b = 2$ : $F = k\rho R^2 v^2$ . Gota de chuva: $\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ ; $\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , trezentas vezes maior: aplica-se o regime inercial (de alta velocidade) — a razão $\rho v R/\eta \approx 330$ é o número de Reynolds.

Exercício 1.11 ★★★

Quatro medidas da tensão nos terminais de um resistor para correntes crescentes: $(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V})$ , $(4.0\,\mathrm{mA}, 0.78\,\mathrm{V})$ , $(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V})$ , $(8.0\,\mathrm{mA}, 1.59\,\mathrm{V})$ . Calcule a inclinação e o coeficiente linear dos mínimos quadrados; deduza $R$ ; o coeficiente linear é compatível com zero se cada $U$ carrega $u = 0.02\,\mathrm{V}$ ?

Solução

Solução de Exercício 1.11.

$\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}$ , $\bar U = 1.000\,\mathrm{V}$ ; desvios em $I$ : $-3, -1, 1, 3$ ; em $U$ : $-0.59, -0.22, 0.22, 0.59$ . $\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98$ , $\sum (I_i - \bar I)^2 = 20$ : $a = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega$ , $b = 1.000 - 0.199 \times 5 = 0.005\,\mathrm{V}$ . Com $u(U) = 0.02\,\mathrm{V}$ por ponto, um coeficiente linear de $0.005\,\mathrm{V}$ está bem dentro da incerteza: compatível com zero, o resistor é ôhmico, $R \approx 199\,\Omega$ .

Exercício 1.12 ★★★

A partir de $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2})$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ e $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , construa por análise dimensional um comprimento, um tempo e uma massa (as unidades de Planck). Calcule-os e compare com o tamanho de um próton ( $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) e com a massa de um ser humano.

Solução

Solução de Exercício 1.12.

$\ell = G^a h^b c^c$ : em $M$ : $-a + b = 0$ ; em $T$ : $-2a - b - c = 0$ ; em $L$ : $3a + 2b + c = 1$ . Logo $b = a$ , $c = -3a$ , $2a = 1$ : $\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}} = 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}$ ; $t_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}$ ; $m_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}} = 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}$ . O comprimento de Planck fica vinte ordens de grandeza abaixo de um próton; a massa de Planck, $55\,\text{µ}\mathrm{g}$ , é um grão de poeira — enorme para uma partícula, ínfima para uma pessoa ( $10^9$ vezes mais leve).

A matéria-prima do capítulo: um paquímetro, um cronômetro, uma bola, uma régua e uma coluna de leituras repetidas que nunca coincidem exatamente.

1.7 Problema: medir $g$ com um pêndulo

Problema 1.1

Problema de fim de semana — um barbante, uma esfera, um cronômetro e uma trena: com que precisão uma mesa de cozinha mede o campo gravitacional da Terra, e qual dos seus quatro números é o elo fraco

Um pêndulo é uma esfera de aço pendurada num ponto fixo por um fio leve; as pequenas oscilações têm período $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ , onde $\ell$ é a distância do ponto de suspensão ao centro da esfera. O objetivo é um valor de $g$ com uma incerteza defensável.

Parte I — O modelo.

Verifique a homogeneidade de $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ .
A esfera tem massa $m$ . Argumente apenas por dimensões que o período não pode depender de $m$ se depender somente de $\ell$ , $g$ e $m$ .
O período também depende, ligeiramente, da amplitude $\theta_0$ da oscilação. Por que a análise dimensional permite isso, e o que é preciso fazer experimentalmente para que a fórmula se aplique?
Exprima $g$ em função de $\ell$ e $\tau$ .

Parte II — Medindo o comprimento. A trena é graduada em milímetros; o fio mede $99.0\,\mathrm{cm}$ da suspensão ao topo da esfera, o diâmetro da esfera vale $2.00\,\mathrm{cm}$ , ambos lidos uma única vez.

Calcule $\ell$ .
Avalie a incerteza do Tipo B de uma leitura única na trena.
Localizar o ponto de suspensão e o centro da esfera acrescenta um erro possível estimado em $\pm5\,\mathrm{mm}$ (uniforme). Combine com o item anterior para obter $u(\ell)$ e dê a incerteza relativa $u(\ell)/\ell$ .

Parte III — Medindo o período. Para reduzir o efeito do tempo de reação, cronometram-se dez períodos. Oito dessas cronometragens, em segundos: $20.12$ , $20.05$ , $20.18$ , $20.09$ , $20.15$ , $20.02$ , $20.11$ , $20.08$ .

Por que cronometrar dez períodos em vez de um? Por que repetir a cronometragem oito vezes?
Calcule a média $\overline{t_{10}}$ e o desvio padrão experimental $s$ das oito cronometragens.
Deduza a incerteza-padrão da média, depois o período $\tau$ e a sua incerteza $u(\tau)$ .
Compare $u(\tau)/\tau$ com $u(\ell)/\ell$ .

Parte IV — O resultado e o seu ponto fraco.

Calcule $g$ .
Escreva $u(g)/g$ em função de $u(\ell)/\ell$ e $u(\tau)/\tau$ , e calcule-o.
Escreva o resultado na forma padrão.
Compare com o valor de referência $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ por meio do desvio normalizado. Veredito?
Qual das duas grandezas medidas limita a precisão de $g$ ? Proponha duas melhorias concretas e diga em quanto cada uma reduziria a incerteza relativa.
Suponha que, por um alinhamento descuidado, todo comprimento tenha sido superestimado em $5\,\mathrm{mm}$ . Isso está contemplado no orçamento de incertezas? Que nome recebe esse tipo de erro, e como seria detectado?

Parte V — Cinco comprimentos e uma reta. O experimento é repetido para $\ell = 0.400$ , $0.600$ , $0.800$ , $1.000$ e $1.200\,\mathrm{m}$ , dando $\tau^2 = 1.62$ , $2.41$ , $3.25$ , $4.04$ e $4.84\,\mathrm{s}^{2}$ , cada um com $u(\tau^2) \approx 1\%$ .

Por que traçar $\tau^2$ contra $\ell$ em vez de $\tau$ contra $\ell$ ?
Calcule $\bar\ell$ e $\overline{\tau^2}$ .
Calcule a inclinação $a$ e o coeficiente linear $b$ dos mínimos quadrados.
Deduza $g$ da inclinação.
Interprete o coeficiente linear: o que revelaria um $b$ claramente não nulo?
O ajuste feito pelo computador informa $u(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ . Deduza $u(g)$ e escreva o resultado.
Compare o resultado de comprimento único da Parte IV com este, por meio do desvio normalizado.
Um estudante propõe medir uma única oscilação de um pêndulo de $10\,\mathrm{m}$ numa caixa de escada, com a mesma trena e o mesmo cronômetro. Estime a incerteza relativa sobre $g$ que isso daria, e conclua sobre a melhor estratégia.

Solução

Solução de Problema 1.1.

1. $\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T$ .

2. $\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ dá $T = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$ , logo $\beta = 0$ : nenhuma combinação de $\ell$ e $g$ pode cancelar uma massa.

3. $\theta_0$ é adimensional, de modo que qualquer fator $f(\theta_0)$ é invisível às dimensões. Mantenha a amplitude pequena (abaixo de cerca de $10^\circ$ ), onde $f \approx 1$ com erro menor que $0.2\%$ .

4. $g = 4\pi^2\ell/\tau^2$ .

5. $\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}$ .

6. $u = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$ .

7. Alinhamento: $5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}$ ; combinadas $\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm}$ — a leitura da trena é desprezível. $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ .

8. O erro de tempo de reação (cerca de $0.1\,\mathrm{s}$ ) é o mesmo quer se cronometre um ou dez períodos, de modo que o seu efeito sobre um período fica dez vezes menor. Repetir revela a dispersão (daí $s$ ) e divide a incerteza da média por $\sqrt8$ .

9. Soma $= 160.80\,\mathrm{s}$ , $\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}$ . Desvios $0.02, -0.05, 0.08, -0.01, 0.05, -0.08, 0.01, -0.02$ ; os quadrados somam $188 \times 10^{-4}$ ; $s = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}$ .

10. $u(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2.0100\,\mathrm{s}$ , $u(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}$ .

11. $u(\tau)/\tau = 0.09\%$ , três vezes menor que $u(\ell)/\ell = 0.29\%$ .

12. $g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 = 9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

13. Como $g \propto \ell\,\tau^{-2}$ : $\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2 + \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\% = 0.34\%$ .

14. $u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

15. $z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2$ : compatíveis.

16. O comprimento ( $0.29\%$ contra $0.18\%$ para o termo do período). Localizar as duas extremidades a $\pm1\,\mathrm{mm}$ leva $u(\ell)/\ell$ a $0.06\%$ e $u(g)/g$ a $\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%$ ; dobrar o comprimento reduz $u(\ell)/\ell$ à metade e alonga $\tau$ , ajudando os dois termos. Cronometrar vinte períodos em vez de dez reduz à metade só o termo do período: $u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\%$ — ganho pequeno enquanto o comprimento é o gargalo.

17. Não: um deslocamento comum a todas as leituras é um erro sistemático (um viés); o orçamento cobre a dispersão aleatória e as tolerâncias declaradas, não um desvio constante. Ele é detectado mudando de método ou de instrumento, ou — Parte V — por um coeficiente linear não nulo da reta $\tau^2$ – $\ell$ .

18. $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ é uma reta que passa pela origem: a linearidade e o coeficiente linear nulo são ambos testáveis a olho e por mínimos quadrados; $\tau \propto \sqrt\ell$ não é.

19. $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$ ; $\overline{\tau^2} = 16.16/5 = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$ .

20. Desvios em $\ell$ : $-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4$ ; em $\tau^2$ : $-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608$ . Soma cruzada $= 1.614$ , $\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400$ : $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ , $b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$ .

21. $g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

22. $b \approx 0$ , como o modelo prevê. Um $b$ claramente não nulo denunciaria um desvio sistemático $\delta$ em todos os comprimentos ( $\tau^2 = a(\ell_{\text{med}} - \delta)$ dá $b = -a\delta$ ), por exemplo um centro de esfera mal localizado — ou um efeito de amplitude.

23. $u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%$ , $u(g) = 0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

24. $z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1$ : plenamente compatíveis. A medida única e cuidadosa é mais precisa; a reta valida o modelo e protege contra um desvio de comprimento.

25. $\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}$ ; uma única oscilação cronometrada com tempo de reação de cerca de $0.2\,\mathrm{s}$ dá $u(\tau)/\tau \approx 3\%$ , logo $u(g)/g \approx 6\%$ , enquanto $u(\ell)/\ell$ cai para $0.03\%$ : vinte vezes pior que a Parte IV. O ganho de comprimento é desperdiçado ao cronometrar um único período. Melhor estratégia: pêndulo longo e muitos períodos, repetidos — dez oscilações do pêndulo de $10\,\mathrm{m}$ , oito vezes, dão $u(\tau)/\tau \approx 0.03\%$ e $u(g)/g \approx 0.07\%$ .

Termos definidos neste capítulo

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1.1 O Sistema Internacional de Unidades

1.2 Análise dimensional

1.3 Ordens de grandeza

1.4 Incerteza de medida

1.5 Ajustando um modelo aos dados

1.6 Exercícios

1.7 Problema: medir ggg com um pêndulo

Termos definidos neste capítulo

1.7 Problema: medir $g$ com um pêndulo