Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

11Cinemática do ponto

O carro de uma montanha-russa entra no loop a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , perde velocidade ao subir, fica suspenso por um instante no alto e sai rugindo; os seus passageiros se sentem esmagados contra os assentos embaixo e quase sem peso no alto. Descrever esse passeio — onde está o carro, com que rapidez ele se move, como a sua velocidade gira e muda — é cinemática, e exige mais que os $x$ , $y$ , $z$ de uma estrada reta: coordenadas polares para tudo o que gira, e um referencial que viaje com o próprio carro. Este capítulo monta essas ferramentas, demonstra as fórmulas da velocidade e da aceleração em cada uma delas e as aplica aos movimentos a que todos os capítulos seguintes vão recorrer: circular, helicoidal, harmônico e o movimento ao longo de uma curva qualquer.

11.1 Posição, velocidade, aceleração

Definição 11.1 (Referencial; posição; trajetória)

Um referencial é um corpo rígido tomado como fixo (o laboratório, a Terra, um trem), acompanhado de um relógio. Um ponto material $M$ — um corpo cujo tamanho é irrelevante para o movimento estudado — é localizado a cada instante pelo seu vetor posição $\vect{OM}(t)$ , a partir de uma origem $O$ presa ao referencial; a curva descrita por $M$ é a sua trajetória. O movimento é sempre movimento relativo a um referencial: o mesmo passageiro está em repouso no trem e em movimento na estação.

Definição 11.2 (Velocidade e aceleração)

A velocidade e a aceleração de $M$ no referencial são

\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad \vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},

derivadas de funções vetoriais: a derivada de um vetor se obtém derivando as suas componentes numa base fixa no referencial. A velocidade é tangente à trajetória e aponta no sentido do movimento; a sua norma $v$ é a velocidade escalar. Unidades: $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Proposição 11.3 (Coordenadas cartesianas)

Com uma base ortonormal fixa $(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z)$ e $\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z$ ,

\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,

em que o ponto designa $\dd/\dd t$ .

Demonstração. Os vetores da base são constantes; só as componentes variam. ∎

Exemplo 11.4 (Projétil)

Lançada de $O$ com velocidade $v_0$ e ângulo $\alpha$ acima da horizontal, uma bola tem coordenadas (dinâmica, no próximo capítulo) $x = v_0\cos\alpha\,t$ , $z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2$ . Então $\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z$ , $\vect a = -g\vect e_z$ : a aceleração é constante enquanto a velocidade gira; no ápice ( $\dot z = 0$ , $t = v_0\sin\alpha/g$ ) a velocidade é horizontal e a aceleração perpendicular a ela. Eliminando $t$ : $z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ , uma parábola.

A parábola de um projétil: a velocidade é tangente à trajetória e gira, e a aceleração g é constante. No ápice, velocidade e aceleração são perpendiculares: a velocidade escalar é momentaneamente estacionária enquanto a direção ainda muda. — A parábola de um projétil: a velocidade é tangente à trajetória e gira, e a aceleração $\vect g$ é constante. No ápice, velocidade e aceleração são perpendiculares: a velocidade escalar é momentaneamente estacionária enquanto a direção ainda muda.

11.2 Coordenadas cilíndricas

Definição 11.5 (Coordenadas cilíndricas e base local)

O ponto $M$ é localizado por $r \geq 0$ (distância ao eixo $z$ ), pelo ângulo $\theta$ que a sua projeção no plano $xy$ faz com $\vect e_x$ e por $z$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z$ , em que

\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad \vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,

e $\vect e_z$ formam a base local $(\vect e_r, \vect e_\theta, \vect e_z)$ , ortonormal e direta, que acompanha $M$ . No plano ( $z$ fixo) essas são as coordenadas polares $(r, \theta)$ .

Lema 11.6 (Derivadas da base local)

\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad \frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad \frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .

Demonstração. Derive as componentes: $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\, \vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta$ , e analogamente para $\vect e_\theta$ . A derivada de um vetor unitário que gira é perpendicular a ele e tem por norma a taxa angular. ∎

Teorema 11.7 (Velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .

Demonstração. Derive $\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z$ com o lema: $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z$ . Derive de novo: $\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2 \vect e_r + \ddot z\vect e_z$ ; agrupe. ∎

Coordenadas polares: a base local ( e_r, e_ ) gira com M; a velocidade tem uma parte radial r e uma parte ortorradial r. Aqui a trajetória (em vermelho) descreve uma espiral para fora, de modo que r > 0 e v se inclina para fora em relação à tangente ao círculo. — Coordenadas polares: a base local $(\vect e_r, \vect e_\theta)$ gira com $M$ ; a velocidade tem uma parte radial $\dot r$ e uma parte ortorradial $r\dot\theta$ . Aqui a trajetória (em vermelho) descreve uma espiral para fora, de modo que $\dot r > 0$ e $\vect v$ se inclina para fora em relação à tangente ao círculo.

Corolário 11.8 (Movimento circular)

Num círculo de raio $R$ ( $r = R$ , $z = 0$ ), com velocidade angular $\omega = \dot\theta$ :

\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad \vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta = -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .

Para o movimento circular uniforme ( $\omega$ constante) a aceleração é puramente centrípeta, de norma $v^2/R = R\omega^2$ , embora a velocidade escalar seja constante.

Demonstração. Faça $\dot r = \ddot r = 0$ no teorema; $v = R\omega$ . ∎

Exemplo 11.9 (Dois círculos)

Um carro faz uma rotatória de raio $20\,\mathrm{m}$ a $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , meio $g$ , dirigida para o centro — o que os pneus precisam fornecer. A Lua ( $R = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ): $\omega = 2\pi/T = 2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , um $3600$ avos de $g$ na superfície da Terra, a sessenta raios terrestres — a comparação que Newton fez (Capítulo 16).

11.3 Coordenadas esféricas

Definição 11.10 (Coordenadas esféricas)

O ponto $M$ é localizado pela sua distância $r = OM$ , pela colatitude $\theta \in [0, \pi]$ entre $\vect{OM}$ e $\vect e_z$ , e pelo azimute $\varphi$ da sua projeção no plano $xy$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r$ com

\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;

$\vect e_\theta$ (tangente ao meridiano, no sentido de $\theta$ crescente) e $\vect e_\varphi$ (tangente ao paralelo) completam a base ortonormal local. Na Terra, $\theta$ é $90^\circ$ menos a latitude e $\varphi$ é a longitude.

Proposição 11.11 (Velocidade em coordenadas esféricas)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .

Demonstração. $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\, \vect e_\varphi$ : o primeiro termo é a rotação no plano meridiano (como no caso polar), e o segundo a rotação em torno de $\vect e_z$ , com taxa $\dot\varphi$ , de um vetor cuja distância ao eixo vale $\sin\theta$ . Então $\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t$ . A aceleração não é necessária este ano. ∎

Coordenadas esféricas (r, , ) e a sua base local: e_r radial, e_ ao longo do meridiano (rumo ao sul num globo), e_ ao longo do paralelo (rumo ao leste). — Coordenadas esféricas $(r, \theta, \varphi)$ e a sua base local: $\vect e_r$ radial, $\vect e_\theta$ ao longo do meridiano (rumo ao sul num globo), $\vect e_\varphi$ ao longo do paralelo (rumo ao leste).

11.4 A base de Frenet

Definição 11.12 (Abscissa curvilínea; base de Frenet)

Ao longo de uma trajetória, a abscissa curvilínea $s(t)$ é o comprimento de arco a partir de um ponto de referência, contado algebricamente; $v = \dot s$ . Em $M$ , a tangente unitária $\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s$ aponta no sentido de $s$ crescente; o raio de curvatura $\rho > 0$ e a normal unitária $\vect N$ , que aponta para o lado côncavo (o centro de curvatura), são definidos por

\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .

$(\vect T, \vect N)$ é a base de Frenet; $\rho = \infty$ numa reta e $\rho = R$ num círculo de raio $R$ .

Teorema 11.13 (Aceleração na base de Frenet)

\vect v = v\,\vect T, \qquad \vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .

A componente tangencial $\dd v/\dd t$ mede a rapidez com que a velocidade escalar muda; a componente normal $v^2/\rho$ , sempre dirigida ao centro de curvatura, a rapidez com que a direção gira. O movimento é uniforme se e só se $\vect a \perp \vect v$ ; é retilíneo se e só se $\vect a \parallel \vect v$ .

Demonstração. $\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T$ . Então $\vect a = \dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s = \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N$ . Que $\dd\vect T/\dd s \perp \vect T$ decorre de derivar $\vect T\cdot\vect T = 1$ . ∎

A base de Frenet num ponto de uma curva: T ao longo do movimento, N rumo ao centro de curvatura C. A aceleração se reparte numa parte tangencial v T (acelerar ou frear) e numa parte normal (v2/ ) N (girar). — A base de Frenet num ponto de uma curva: $\vect T$ ao longo do movimento, $\vect N$ rumo ao centro de curvatura $C$ . A aceleração se reparte numa parte tangencial $\dot v\vect T$ (acelerar ou frear) e numa parte normal $(v^2/\rho)\vect N$ (girar).

Exemplo 11.14 (Frear numa curva)

Um carro a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) numa curva de raio $100\,\mathrm{m}$ freia a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 625/100 = 6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . A parte normal domina: uma curva é antes de tudo um giro, e a aderência dos pneus (próximo capítulo) limita $\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$ , razão pela qual se freia antes da curva.

11.5 Movimentos de referência

Proposição 11.15 (Movimento retilíneo uniformemente acelerado)

Sobre um eixo, com $\ddot x = a$ constante, a partir de $x_0$ e $v_0$ : $v = v_0 + at$ , $x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2$ , e $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$ .

Demonstração. Integre duas vezes; elimine $t$ entre as duas primeiras relações. ∎

Proposição 11.16 (Movimento helicoidal)

$r = R$ , $\theta = \omega t$ , $z = v_zt$ (constantes $R$ , $\omega$ , $v_z$ ): a velocidade escalar $v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2}$ é constante, a aceleração $\vect a = -R\omega^2\vect e_r$ é centrípeta e de norma constante, e o raio de curvatura vale $\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R$ .

Demonstração. Teorema 11.7 com $\dot r = 0$ , $\ddot\theta = 0$ , $\ddot z = 0$ ; o movimento é uniforme, logo $\vect a$ é puramente normal e $v^2/\rho = R\omega^2$ . ∎

Proposição 11.17 (Movimento harmônico)

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$ : $\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ , $\ddot x = -\omega^2 x$ . A velocidade adianta a posição em um quarto de período e a aceleração é oposta à posição; $v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$ . Esta é a projeção sobre um diâmetro de um movimento circular uniforme de raio $A$ e velocidade angular $\omega$ .

Demonstração. Derive; para a projeção, tome $x = A\cos\theta$ com $\theta = \omega t + \varphi$ . ∎

Método 11.18 (Escolhendo as coordenadas)

Movimento retilíneo ou parabólico, com aceleração constante: cartesianas.
Movimento em torno de um eixo ou de um ponto (círculos, espirais, órbitas, plataformas giratórias): cilíndricas/polares; a base se move, então use Teorema 11.7, e nunca a derivação ingênua das componentes.
Uma curva dada (pista, curva, loop) quando a lei da velocidade é conhecida: Frenet, que separa “com que rapidez” de “para que lado”.

Qualquer que seja a escolha, $\vect v$ e $\vect a$ são vetores dependentes do referencial, e um resultado só é completo com o referencial nomeado.

11.6 Exercícios

Exercício 11.1 ★

Um carro parte do repouso com $x(t) = 2.0\,t^2$ (unidades SI). Velocidade e aceleração em $t = 3.0\,\mathrm{s}$ ; distância percorrida nos primeiros $5\,\mathrm{s}$ ; tempo para atingir $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Solução

Solução de Exercício 11.1.

$v = 4.0t$ : $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $3.0\,\mathrm{s}$ ; $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $x(5) = 50\,\mathrm{m}$ ; $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $t = 27.8/4.0 = 6.9\,\mathrm{s}$ .

Exercício 11.2 ★

Um ponto se move num plano com $r = 2.0\,\mathrm{m}$ e $\theta = 3.0\,t$ (rad, SI). Dê $\vect v$ e $\vect a$ na base polar, as suas normas e a natureza do movimento.

Solução

Solução de Exercício 11.2.

$\dot r = 0$ , $\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta = 6.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); $\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r = -18\,\vect e_r$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante, aceleração centrípeta.

Exercício 11.3 ★

Um ponto no equador ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , dia sideral $86\,164\,\mathrm{s}$ ): velocidade e aceleração no referencial geocêntrico. Compare a aceleração com $g$ .

Solução

Solução de Exercício 11.3.

$v = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , ou seja, $g/290$ .

Exercício 11.4 ★

Uma bola é lançada com $v_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $\alpha = 40^\circ$ ; as suas coordenadas são as do Exemplo 11.4. Encontre o tempo até o ápice, a altura máxima, o alcance e a velocidade na chegada ao solo.

Solução

Solução de Exercício 11.4.

$v_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ápice em $t = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s}$ , altura $7.71^2/(2 \times 9.81) = 3.0\,\mathrm{m}$ . Alcance $2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}$ . Na chegada: $(9.19, -7.71)$ , $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $40^\circ$ abaixo da horizontal.

Exercício 11.5 ★★

Um ciclista a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entra numa curva de raio $25\,\mathrm{m}$ e acelera a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Dê $\vect a$ na base de Frenet e a sua norma; e após $5\,\mathrm{s}$ da mesma aceleração na mesma curva?

Solução

Solução de Exercício 11.5.

$a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Após $5\,\mathrm{s}$ : $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $a_N = 225/25 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Exercício 11.6 ★★

Um ponto segue a espiral $r = b\theta$ , $\theta = \omega t$ ( $b$ e $\omega$ constantes). Calcule $\vect v$ , a velocidade escalar e $\vect a$ na base polar. De onde vem o termo $2\dot r\dot\theta$ ?

Solução

Solução de Exercício 11.6.

$r = b\omega t$ , $\dot r = b\omega$ , $\ddot r = 0$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta$ , $v = b\omega \sqrt{1 + \omega^2t^2}$ ; $\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\, \vect e_\theta$ . O termo $2\dot r\dot\theta$ tem duas metades iguais: a direção da velocidade radial gira com taxa $\dot\theta$ (dando $\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta$ ), e afastar-se do centro aumenta a velocidade ortorradial $r\dot\theta$ (mais um $\dot r\dot\theta$ ).

Exercício 11.7 ★★

Hélice: $R = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Velocidade escalar, aceleração, passo da hélice, raio de curvatura.

Solução

Solução de Exercício 11.7.

$v = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = R\omega^2 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ rumo ao eixo; passo $v_z \times 2\pi/\omega = 3.1\,\mathrm{m}$ ; $\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R$ .

Exercício 11.8 ★★

Um pistão se move como $x = 0.10\cos(10t)$ (SI). Dê $v_{\max}$ , $a_{\max}$ , as relações de fase entre $x$ , $v$ , $a$ , e as posições em que $\abs v$ e $\abs a$ são maiores.

Solução

Solução de Exercício 11.8.

$v_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v$ adianta $x$ em um quarto de período, e $a = -\omega^2x$ é oposta a $x$ . $\abs v$ é máximo em $x = 0$ , e $\abs a$ nos extremos $x = \pm A$ .

Exercício 11.9 ★★

Partindo de $\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y$ , deduza $\dd\vect e_r/\dd t$ e $\dd\vect e_\theta/\dd t$ , e em seguida a velocidade e a aceleração polares do Teorema 11.7.

Solução

Solução de Exercício 11.9.

$\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\, \vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r$ . Então $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$ , e derivar mais uma vez com a regra do produto dá a aceleração do Teorema 11.7.

Exercício 11.10 ★★★

Para o projétil do Exemplo 11.4, encontre o raio de curvatura da trajetória no ápice e no ponto de lançamento (use a componente normal de $\vect g$ ). Qual é menor, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 11.10.

Ápice: $v = v_0\cos\alpha$ , $a_N = g$ : $\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g$ . Lançamento: $v = v_0$ , $a_N = g\cos\alpha$ : $\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)$ . O raio no ápice é menor por um fator $\cos^3\alpha$ : a parábola se curva mais onde é mais lenta e onde todo o $\vect g$ é normal.

Exercício 11.11 ★★★

Uma roda de raio $R$ rola sem escorregar com velocidade $v$ ; um ponto do seu aro tem coordenadas $x = vt - R\sin(vt/R)$ , $y = R - R\cos(vt/R)$ (uma cicloide). Calcule a sua velocidade e a sua aceleração; mostre que, quando ele toca o solo, a sua velocidade se anula e a sua aceleração vale $v^2/R$ para cima; encontre a sua velocidade escalar no topo.

Solução

Solução de Exercício 11.11.

$\dot x = v - v\cos(vt/R)$ , $\dot y = v\sin(vt/R)$ ; $\ddot x = (v^2/R) \sin(vt/R)$ , $\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)$ . No solo ( $vt/R = 2\pi n$ ): $\dot x = \dot y = 0$ e $\vect a = (0, v^2/R)$ , para cima. No topo ( $vt/R = \pi$ ): $\dot x = 2v$ , $\dot y = 0$ : velocidade escalar $2v$ .

Exercício 11.12 ★★★

Uma pessoa caminha para fora ao longo de um raio de uma plataforma que gira com $\omega$ constante, com velocidade constante $u$ em relação à plataforma: $r = ut$ , $\theta = \omega t$ . Calcule $\vect a$ na base polar, identifique os dois termos e avalie-os para $u = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ em $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . Que termo não tem contrapartida para uma pessoa que caminha no solo?

Solução

Solução de Exercício 11.12.

$\ddot r = 0$ , $\dot r = u$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect a = -ut\omega^2\, \vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta$ . Em $t = 2.0\,\mathrm{s}$ : $-2.0\,\vect e_r + 2.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). O primeiro é o termo centrípeto da rotação; o segundo, $2\dot r\dot\theta$ , existe apenas porque a própria direção radial gira — no solo, caminhar em linha reta com velocidade constante não dá aceleração alguma.

Um loop vertical (Yomiuriland, Tóquio): uma gota, e não um círculo, para que a curvatura seja máxima no alto, onde a velocidade é mínima — a geometria do problema de fim de semana. Fotografia: Jeremy Thompson, CC BY 2.0.

11.7 Problema: o loop da montanha-russa

Problema 11.1

Problema de fim de semana — um carro entra num loop vertical a noventa quilômetros por hora: onde ele perde velocidade, para onde aponta a sua aceleração, quantos $g$ os passageiros sentem e por que os loops modernos não são círculos

Um carro, tratado como um ponto $M$ , percorre um loop circular vertical de raio $R = 10\,\mathrm{m}$ e centro $C$ . A sua posição é dada pelo ângulo $\theta$ entre $\vect{CM}$ e a vertical descendente ( $\theta = 0$ embaixo, $\pi$ no alto). O atrito é desprezado, e a lei da velocidade (deduzida no Capítulo 13) é

v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),

com $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a velocidade embaixo; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Parte I — Cinemática no círculo.

Em coordenadas polares centradas em $C$ (com $\vect e_r$ de $C$ para $M$ ), escreva $\vect v$ e $\vect a$ para o movimento no círculo.
Identifique os vetores de Frenet $\vect T$ e $\vect N$ em termos de $\vect e_r$ e $\vect e_\theta$ , e o raio de curvatura.
Calcule a velocidade escalar no alto e nos pontos laterais $\theta = \pi/2$ e $3\pi/2$ .
Derive a lei da velocidade em relação ao tempo para mostrar que a aceleração tangencial vale $a_T = -g\sin\theta$ . Interprete o seu sinal na subida e na descida.
Exprima a aceleração normal $a_N(\theta)$ e calcule-a embaixo, nos lados e no alto.
Dê a norma de $\vect a$ nos quatro pontos e o ângulo que ela faz com a vertical no alto.
Em que pontos $\vect a$ é perpendicular a $\vect v$ ? E paralelo?

Parte II — Taxas angulares e tempos.

Exprima $\dot\theta$ em função de $\theta$ e calcule-o embaixo e no alto.
Mostre que $\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta$ (a equação de um pêndulo) e comente.
Para comparar, calcule o período das pequenas oscilações de um pêndulo simples de comprimento $R$ (o Exemplo 1.8 deu a sua forma; $k = 2\pi$ ).
Estime o tempo para dar uma volta no loop, usando a média das velocidades nos quatro pontos de referência.
A velocidade mínima no alto para que o carro permaneça na pista (próximo capítulo) é $\sqrt{gR}$ . Ela é satisfeita? Que $v_0$ mínimo seria necessário?

Parte III — O que os passageiros sentem. O peso aparente por unidade de massa sentido por um passageiro vale $\vect a - \vect g$ (admitido aqui, deduzido no Capítulo 12); a sua norma em unidades de $g$ é a “carga em $g$ ”.

Calcule a carga em $g$ embaixo.
Calcule-a no alto e diga contra o que o passageiro é pressionado (assento ou trava de segurança).
Calcule-a nos pontos laterais.
Os passageiros toleram cerca de $4g$ por pouco tempo. Este loop passa? Onde está o problema?
Mostre que, para um loop circular percorrido com a velocidade mínima que permite passar pelo alto (peso aparente nulo ali), a carga em $g$ embaixo vale necessariamente $6g$ , qualquer que seja $R$ .

Parte IV — O loop em clotoide. Os loops modernos têm forma de “gota”: o raio de curvatura é grande embaixo e pequeno no alto.

Usando a forma de Frenet de $\vect a$ , explique por que variar $\rho$ ao longo da pista muda $a_N$ sem mudar a lei da velocidade (que depende apenas da altura).
Escolha $\rho_{\text{baixo}}$ de modo que a carga em $g$ embaixo seja $3g$ com $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
No alto, a altura continua sendo $2R = 20\,\mathrm{m}$ acima do ponto mais baixo. Escolha $\rho_{\text{alto}}$ de modo que a carga em $g$ ali seja $1.5g$ .
Uma clotoide tem curvatura proporcional ao comprimento de arco, $1/\rho = s/A^2$ . Ao longo de uma entrada assim, com a velocidade quase constante, como cresce $a_N$ com o tempo, e por que isso é mais suave para o pescoço que um círculo (em que $a_N$ salta na entrada)?
Esboce qualitativamente a forma do loop resultante e resuma em duas frases por que ele substituiu o círculo.

Parte V — Visto do solo. Uma câmera no nível do solo, a $50\,\mathrm{m}$ do centro do loop e no seu plano, acompanha o carro.

Quando o carro está no alto, movendo-se horizontalmente a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , com que taxa angular (rad/s) a câmera deve girar? (Coordenadas polares a partir da câmera.)
Por que uma câmera que gira com taxa constante acompanha mal um movimento circular uniforme?
Resuma a lição do capítulo tirada do loop: que sistema de coordenadas respondeu a qual pergunta.

Solução

Solução de Problema 11.1.

1. $\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\vect a = -R\dot\theta^2 \,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta$ .

2. $\vect T = \vect e_\theta$ (movimento com $\theta$ crescente), $\vect N = -\vect e_r$ (rumo a $C$ ), $\rho = R$ .

3. Alto: $v^2 = 625 - 392 = 233$ , $v = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Lados: $625 - 196 = 429$ , $v = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

4. $2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta$ e $v = R\dot\theta$ : $\dot v = -g\sin\theta$ . Negativa para $0 < \theta < \pi$ (perde velocidade na subida) e positiva na descida.

5. $a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta)$ : embaixo $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; lados $62.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; alto $62.5 - 39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

6. Embaixo: $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (sem parte tangencial); lados: $\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; alto: $23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , apontando verticalmente para baixo, rumo a $C$ : ângulo $0$ com a vertical.

7. Perpendicular embaixo e no alto ( $a_T = 0$ ); nunca paralelo ( $a_N > 0$ em toda parte).

8. $\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R$ : embaixo $2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , no alto $1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

9. $\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta$ : a equação de um pêndulo simples de comprimento $R$ — o carro na sua pista é um pêndulo que passa por cima do ponto de suspensão.

10. $2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}$ .

11. Média de $25$ , $20.7$ , $15.3$ , $20.7$ : cerca de $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; comprimento $2\pi R = 63\,\mathrm{m}$ : aproximadamente $3\,\mathrm{s}$ .

12. $\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3$ : sim. Mínimo: $v_0^2 \geq gR + 4gR = 5gR = 490$ , $v_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

13. Embaixo: $\vect a = 62.5$ para cima, $\vect g$ para baixo: $\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g$ .

14. No alto: ambos para baixo, $23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g$ , pressionando o passageiro contra o assento (rumo ao centro, isto é, para cima para o passageiro de cabeça para baixo).

15. Lados: $\vect a = 42.9$ horizontal rumo a $C$ mais $9.8$ para baixo (tangencial); $\vect a - \vect g$ vale $42.9$ na horizontal: $4.4g$ lateralmente, rumo ao centro.

16. Reprovado: $7.4g$ embaixo (o alto e os lados estão bem).

17. Peso aparente nulo no alto: $v_{\text{alto}}^2 = gR$ ; então $v_0^2 = gR + 4gR = 5gR$ , $a_N = 5g$ embaixo e a carga vale $5g + g = 6g$ , independentemente de $R$ .

18. $a_N = v^2/\rho$ : $v$ é fixado pela altura (energia), e $\rho$ pela geometria da pista; um $\rho$ diferente na mesma altura muda $a_N$ sozinho.

19. $a_N + g = 3g$ : $a_N = 2g$ , $\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 = 32\,\mathrm{m}$ .

20. $v_{\text{alto}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_N - g = 1.5g$ : $a_N = 24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}$ .

21. $a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2$ : ela cresce linearmente a partir de zero — uma taxa constante de variação da aceleração — em vez de saltar de $0$ a $v^2/R$ na entrada de um círculo, o que o pescoço sente como um golpe.

22. Uma gota: larga e de curvatura suave embaixo, onde o carro é rápido, e apertada no alto, onde ele é lento. Ela mantém a carga perto de $3g$ ao longo de todo o percurso e a impõe de modo gradual.

23. Linha de visada: distância horizontal $50\,\mathrm{m}$ , altura $20\,\mathrm{m}$ : $r = 53.9\,\mathrm{m}$ , elevação $\beta = 21.8^\circ$ . A componente transversal da velocidade horizontal vale $v\sin\beta = 15 \times 0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

24. Visto de um ponto fora do centro, a taxa angular da linha de visada não é constante (rápida quando o carro está perto, lenta quando está longe): uma câmera de taxa constante se desvia do carro.

25. Coordenadas polares em $C$ para a velocidade e a aceleração no círculo; a decomposição de Frenet para “acelerar” contra “girar” e para a clotoide; coordenadas polares na câmera para a taxa de acompanhamento; a energia (próximos capítulos) para a lei da velocidade.

Termos definidos neste capítulo

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