Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

16Forças centrais: planetas e satélites

Trinta e um satélites dão duas voltas por dia em torno da Terra, cada um um relógio e um rádio, e um celular que ouve quatro deles sabe onde está com alguns metros de precisão. O cometa Halley cai rumo ao Sol durante trinta e oito anos, contorna-o em poucas semanas e volta a subir por mais trinta e oito. Uma sonda rumo a Marte deixa a Terra exatamente com a velocidade que fará o seu trajeto apenas tangenciar a órbita de Marte. Tudo isso é o movimento de um corpo atraído para um ponto fixo por uma força que cai com o inverso do quadrado da distância, e tudo isso decorre de duas grandezas conservadas — a energia e o momento angular — mais uma única ideia nova, o potencial efetivo. Este capítulo deduz a forma e as velocidades das órbitas, as três leis de Kepler e a aritmética de pôr um satélite onde se quer.

16.1 Forças centrais conservativas

Definição 16.1 (Força central; força central conservativa)

Uma força é central com centro $O$ se está sempre dirigida ao longo de $\vect{OM}$ : $\vect F = F(M)\,\vect e_r$ . Ela é central conservativa se o seu módulo depende apenas de $r = OM$ : $\vect F = F(r)\,\vect e_r$ , o que decorre de uma energia potencial $E_p(r)$ com $F(r) = -\dd E_p/\dd r$ .

Teorema 16.2 (Movimento sob uma força central conservativa)

Um ponto material de massa $m$ submetido apenas a uma força central conservativa:

conserva o seu momento angular $\vect L_O$ ; o seu movimento é plano e, em coordenadas polares nesse plano, $r^2\dot\theta = C$ é constante (lei das áreas, Corolário 15.5);
conserva a sua energia mecânica $E_m = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) + E_p(r)$ , que se pode escrever

$E_m = \tfrac12 m\dot r^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r), \qquad E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2} = E_p(r) + \frac{L^2}{2mr^2} .$

O movimento radial é, portanto, o de um ponto material unidimensional no potencial efetivo $E_{p,\mathrm{eff}}$ : os pontos de retorno radiais são as raízes de $E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_m$ , o movimento é ligado se ficar preso entre dois deles, e circular se $r$ se situar num mínimo de $E_{p,\mathrm{eff}}$ .

Demonstração. A parte 1 é o Corolário 15.5. A força é conservativa e nenhuma outra atua, de modo que $E_m$ se conserva; no plano, $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ e $r^2\dot\theta^2 = C^2/r^2$ . O termo $mC^2/2r^2$ , energia cinética do movimento angular, age como uma barreira centrífuga repulsiva no problema radial, ao qual se aplica a análise unidimensional do Capítulo 13. ∎

16.2 A gravitação newtoniana

Definição 16.3 (Gravitação universal)

Uma massa pontual $M$ em $O$ atrai uma massa pontual $m$ em $M$ com

\vect F = -\frac{GMm}{r^2}\,\vect e_r, \qquad E_p = -\frac{GMm}{r} \quad (E_p \to 0 \text{ no infinito}),

com $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ . Um corpo de simetria esférica atrai, fora de si, como se toda a sua massa estivesse no centro (admitido; é consequência do teorema de Gauss, Capítulo 26).

Proposição 16.4 (O potencial efetivo da gravitação)

Para $E_p = -GMm/r$ ,

E_{p,\mathrm{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}

tende a $+\infty$ quando $r \to 0$ (para $L \neq 0$ ) e a $0^-$ no infinito, e tem um único mínimo em $r_c = L^2/GMm^2$ , de valor $-G^2M^2m^3/2L^2$ . Daí: $E_m < 0$ — movimento ligado entre um raio mínimo e um raio máximo (perigeu e apogeu); $E_m \geq 0$ — não ligado, o corpo vem do infinito e a ele retorna; $E_m$ igual ao mínimo — órbita circular de raio $r_c$ .

Demonstração. Os limites por inspeção; $E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ em $r_c$ ; substitua. O caso circular é $\dot r = 0$ para sempre, possível apenas no mínimo. ∎

O potencial efetivo da gravitação newtoniana: a atração -GMm/r mais a barreira centrífuga L2/2mr2. Abaixo da energia zero o movimento radial fica preso entre dois pontos de retorno (perigeu, apogeu); no mínimo a órbita é circular; em zero ou acima dele o corpo escapa. — O potencial efetivo da gravitação newtoniana: a atração $-GMm/r$ mais a barreira centrífuga $L^2/2mr^2$ . Abaixo da energia zero o movimento radial fica preso entre dois pontos de retorno (perigeu, apogeu); no mínimo a órbita é circular; em zero ou acima dele o corpo escapa.

Teorema 16.5 (Órbitas circulares)

Numa órbita circular de raio $r$ em torno de uma massa $M$ :

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad E_m = -\frac{GMm}{2r} = -E_k = \tfrac12 E_p .

Em particular, $T^2/r^3 = 4\pi^2/GM$ é o mesmo para todas as órbitas circulares em torno do mesmo centro (terceira lei de Kepler).

Demonstração. O movimento circular uniforme exige a força centrípeta $mv^2/r = GMm/r^2$ ; $T = 2\pi r/v$ ; $E_k = \tfrac12 mv^2 = GMm/2r$ e $E_p = -GMm/r$ . ∎

Exemplo 16.6 (Três órbitas)

$GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ . Órbita baixa ( $r = 6770\,\mathrm{km}$ , $400\,\mathrm{km}$ de altitude): $v = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $T = 92\,\mathrm{min}$ . Geoestacionária ( $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ , um dia sideral): $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = 42\,200\,\mathrm{km}$ , $v = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . A Lua ( $r = 384\,000\,\mathrm{km}$ ): $T = 27.4\,\mathrm{d}$ — e a sua aceleração centrípeta $v^2/r = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vale $g/3600$ a sessenta raios terrestres: o inverso do quadrado, verificado pelo próprio Newton.

16.3 As leis de Kepler e a forma das órbitas

Teorema 16.7 (Trajetórias num campo newtoniano)

A trajetória de um corpo no campo de uma massa fixa $M$ é uma cônica com $O$ num dos focos: uma elipse se $E_m < 0$ , uma parábola se $E_m = 0$ e uma hipérbole se $E_m > 0$ . Para a elipse de semieixo maior $a$ e excentricidade $e$ :

(Kepler I) o centro de força está num foco; perigeu e apogeu ficam em $r_p = a(1 - e)$ e $r_a = a(1 + e)$ ;
(Kepler II) a velocidade areolar é constante (lei das áreas);
(Kepler III) o período obedece a $T^2 = 4\pi^2a^3/GM$ ;
a energia depende apenas de $a$ , $E_m = -GMm/2a$ , de modo que a velocidade à distância $r$ é dada por

$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) .$

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 16.8 (O que é demonstrado e o que é admitido)

Kepler II e a classificação por energia foram demonstrados acima. Que as órbitas ligadas sejam exatamente elipses com $O$ num foco, com Kepler III e $E_m = -GMm/2a$ em geral, exige a integração da equação radial (o volume do segundo ano a faz); para órbitas circulares ( $a = r$ , $e = 0$ ) toda afirmação se reduz ao Teorema 16.5, que é a verificação possível aqui. A relação $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ decorre de $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/r = -GMm/2a$ , uma vez concedida essa fórmula da energia.

À esquerda: uma órbita elíptica em torno do foco O — semieixo maior a, semieixo menor b, distância focal c = ea; o corpo é mais rápido no perigeu P e mais lento no apogeu A. À direita: uma hipérbole (energia positiva) e uma parábola (energia nula) em torno do mesmo foco — os trajetos não ligados de cometas e sondas. — À esquerda: uma órbita elíptica em torno do foco $O$ — semieixo maior $a$ , semieixo menor $b$ , distância focal $c = ea$ ; o corpo é mais rápido no perigeu $P$ e mais lento no apogeu $A$ . À direita: uma hipérbole (energia positiva) e uma parábola (energia nula) em torno do mesmo foco — os trajetos não ligados de cometas e sondas.

Exemplo 16.9 (O cometa Halley)

Periélio $0.586\,\mathrm{AU}$ , afélio $35.1\,\mathrm{AU}$ : $a = 17.8\,\mathrm{AU}$ , $e = 0.967$ , $T = \sqrt{17.8^3} = 75$ anos (Kepler III em unidades astronômicas e anos, em que $T^2 = a^3$ para o Sol). Com $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , a velocidade no periélio vale $\sqrt{GM(2/r_p - 1/a)} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e no afélio $0.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — sessenta vezes mais lenta, como a lei das áreas exige ( $r_pv_p = r_av_a$ ).

16.4 Satélites

Proposição 16.10 (Velocidade de escape; órbita geoestacionária)

A partir da superfície de um corpo de massa $M$ e raio $R$ , a menor velocidade de lançamento capaz de alcançar o infinito é $v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt2\,v_c$ , em que $v_c = \sqrt{GM/R}$ é a velocidade circular ao nível do solo: $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para a Terra. Um satélite geoestacionário orbita no plano equatorial com o período sideral da Terra, a $r = 42\,200\,\mathrm{km}$ ( $35\,800\,\mathrm{km}$ de altitude).

Demonstração. $E_m \geq 0$ : $\tfrac12 mv_e^2 - GMm/R = 0$ . Kepler III com $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ . ∎

Proposição 16.11 (Transferência de Hohmann)

Para levar um satélite de uma órbita circular de raio $r_1$ a uma órbita circular coplanar de raio $r_2 > r_1$ com duas queimas breves, acione o motor em $r_1$ para entrar na elipse de transferência de perigeu $r_1$ e apogeu $r_2$ ( $a = (r_1 + r_2)/2$ ), percorra meio período e acione de novo em $r_2$ para circularizar:

\Delta v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right), \qquad \Delta v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right), \qquad t = \pi\sqrt{\frac{(r_1 + r_2)^3}{8GM}} .

Demonstração. As velocidades na elipse de transferência vêm de $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ em $r_1$ e $r_2$ ; subtraia as velocidades circulares; e tome metade do período do Teorema 16.7. ∎

Uma transferência de Hohmann entre duas órbitas circulares: uma primeira queima na órbita interna eleva o apogeu até r_2; meia elipse depois, uma segunda queima eleva o perigeu — a rota de dois acionamentos de menor consumo, e a que leva uma sonda a Marte. — Uma transferência de Hohmann entre duas órbitas circulares: uma primeira queima na órbita interna eleva o apogeu até $r_2$ ; meia elipse depois, uma segunda queima eleva o perigeu — a rota de dois acionamentos de menor consumo, e a que leva uma sonda a Marte.

Exemplo 16.12 (Da órbita baixa à geoestacionária)

$r_1 = 6770\,\mathrm{km}$ , $r_2 = 42\,200\,\mathrm{km}$ : $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_2 = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , com $5.3\,\mathrm{h}$ de percurso. O total, $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , é metade do que o lançamento até a órbita baixa já custou: a “última milha” rumo a uma órbita alta é cara, e os satélites levam o próprio motor para ela.

Observação 16.13 (Centros repulsivos)

Para uma força repulsiva em inverso do quadrado (duas cargas de mesmo sinal, Capítulo 26) o potencial efetivo não tem poço: toda trajetória é uma hipérbole, a partícula se aproxima, é desviada e vai embora. Lançando uma partícula $\alpha$ direto contra um núcleo de ouro, a sua distância de máxima aproximação decorre só da energia, $E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r_{\min}$ — o modo como Rutherford limitou o tamanho do núcleo (Exercício 16.11).

16.5 Exercícios

Exercício 16.1 ★

A Estação Espacial Internacional orbita a $400\,\mathrm{km}$ de altitude ( $R_\oplus = 6370\,\mathrm{km}$ , $GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ ). Velocidade, período e número de nasceres do Sol que a sua tripulação vê por dia.

Solução

Solução de Exercício 16.1.

$r = 6770\,\mathrm{km}$ : $v = \sqrt{GM/r} = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v = 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 92\,\mathrm{min}$ ; $1440/92 \approx 16$ nasceres do Sol por dia.

Exercício 16.2 ★

Encontre o raio e a altitude da órbita geoestacionária a partir do dia sideral de $86\,164\,\mathrm{s}$ , e a velocidade orbital.

Solução

Solução de Exercício 16.2.

$r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.99\times10^{14} \times 7.42\times10^9/39.5)^{1/3} = 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ : altitude $35\,800\,\mathrm{km}$ ; $v = 2\pi r/T = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Exercício 16.3 ★

Velocidade de escape da Terra e da Lua ( $GM = 4.90 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R = 1740\,\mathrm{km}$ ). Por que a Lua não conserva atmosfera?

Solução

Solução de Exercício 16.3.

$v_e = \sqrt{2GM/R}$ : Terra $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; Lua $\sqrt{2 \times 4.90\times 10^{12}/1.74\times10^6} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . As moléculas de um gás, a algumas centenas de metros por segundo, têm uma cauda da distribuição de velocidades acima de $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; em tempos geológicos o gás da Lua vazou para o espaço.

Exercício 16.4 ★

Marte tem $a = 1.524\,\mathrm{AU}$ e Júpiter $5.20\,\mathrm{AU}$ : os seus anos, pela terceira lei de Kepler. E um corpo a $30\,\mathrm{AU}$ (Netuno)?

Solução

Solução de Exercício 16.4.

$T = a^{3/2}$ (anos, AU): Marte $1.88\,\mathrm{yr}$ ; Júpiter $11.9\,\mathrm{yr}$ ; a $30\,\mathrm{AU}$ : $164\,\mathrm{yr}$ .

Exercício 16.5 ★★

Energia necessária para pôr $1000\,\mathrm{kg}$ na órbita da EEI a partir do repouso na superfície (despreze a rotação da Terra e o ar). Compare com a energia química da gasolina ( $46\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).

Solução

Solução de Exercício 16.5.

$\Delta E = \tfrac12 mv^2 + GMm(1/R - 1/r) = 2.94\times10^{10} + 3.99\times 10^{17} \times (1.570 - 1.477)\times10^{-7} = 2.94\times10^{10} + 0.37\times 10^{10} = 3.3 \times 10^{10}\,\mathrm{J}$ — $33\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , a energia de $0.7\,\mathrm{kg}$ de gasolina por quilograma posto em órbita (os foguetes precisam de muito mais, por terem de erguer o próprio combustível).

Exercício 16.6 ★★

Cometa Halley: periélio $0.586\,\mathrm{AU}$ , afélio $35.1\,\mathrm{AU}$ . Calcule $a$ , $e$ , o período e as velocidades no periélio e no afélio ( $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $1\,\mathrm{AU} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).

Solução

Solução de Exercício 16.6.

$a = (0.586 + 35.1)/2 = 17.8\,\mathrm{AU}$ ; $e = (35.1 - 0.586)/35.7 = 0.967$ ; $T = 17.8^{3/2} = 75\,\mathrm{yr}$ . $v_p^2 = GM(2/r_p - 1/a)$ com $r_p = 8.77\times10^{10}$ m e $a = 2.67\times10^{12}$ m: $v_p = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $v_a = v_pr_p/r_a = 0.91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Exercício 16.7 ★★

Transferência de Hohmann da órbita da EEI ( $6770\,\mathrm{km}$ ) para a órbita geoestacionária ( $42\,200\,\mathrm{km}$ ): as duas queimas, o total e a duração.

Solução

Solução de Exercício 16.7.

$a = 24\,490\,\mathrm{km}$ . $v_1 = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; na elipse, em $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 10.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Em $r_2$ : $\sqrt{GM(2/r_2 - 1/a)} = 1.62\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , contra a circular $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $\Delta v_2 = 1.45\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Total $3.85\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; duração $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s} = 5.3\,\mathrm{h}$ .

Exercício 16.8 ★★

Mostre que o mínimo de $E_{p,\mathrm{eff}}$ fica em $r_c = L^2/GMm^2$ e que as pequenas oscilações radiais em torno dele têm frequência angular $\sqrt{GM/r_c^3}$ — a própria frequência orbital. O que isso diz sobre uma órbita circular ligeiramente perturbada?

Solução

Solução de Exercício 16.8.

$E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ em $r_c = L^2/GMm^2$ . $E_{p,\mathrm{eff}}'' = -2GMm/r^3 + 3L^2/mr^4$ ; em $r_c$ , $L^2 = GMm^2r_c$ dá $E'' = GMm/r_c^3$ , logo $\omega_r^2 = E''/m = GM/r_c^3 = \omega_{\text{orb}}^2$ . Uma pequena perturbação radial oscila exatamente uma vez por revolução: a órbita se fecha sobre si mesma — uma elipse pouco excêntrica, e não uma roseta.

Exercício 16.9 ★★

Os astronautas a bordo da EEI flutuam. Explique pelas forças; qual é o valor de $g$ na sua altitude, e por que isso não contradiz a flutuação?

Solução

Solução de Exercício 16.9.

Só a gravidade age sobre a estação e a tripulação, igualmente; ambas caem na mesma órbita, de modo que não é preciso força de contato entre elas — nenhum piso empurra, donde a “ausência de peso”. $g = GM/r^2 = 3.99\times10^{14}/(6.77\times10^6)^2 = 8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : a gravidade está quase com toda a força; o peso não está ausente, ele está inteiramente empregado em curvar a trajetória.

Exercício 16.10 ★★★

O “teste da Lua” de Newton: calcule a aceleração centrípeta da Lua a partir de $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ e $T = 27.3\,\mathrm{d}$ , e compare com $g(R/r)^2$ . Conclua.

Solução

Solução de Exercício 16.10.

$a = 4\pi^2r/T^2 = 39.5 \times 3.84\times10^8/(2.36\times10^6)^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g(R/r)^2 = 9.81/60.3^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : a mesma lei de força que derruba uma maçã segura a Lua, diluída como $1/r^2$ .

Exercício 16.11 ★★★

Uma partícula $\alpha$ ( $q = 2e$ , $E_k = 5.0\,\mathrm{MeV}$ ) é lançada direto contra um núcleo de ouro ( $Z = 79$ ), tomado como fixo. Usando a conservação da energia com $E_p = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$ ( $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ ), encontre a distância de máxima aproximação; compare com o raio nuclear, cerca de $7\,\mathrm{fm}$ . Que energia seria necessária para tocar o núcleo?

Solução

Solução de Exercício 16.11.

$E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r_{\min}$ : $r_{\min} = 8.99\times10^9 \times 2 \times 79 \times (1.60\times10^{-19})^2/8.0\times10^{-13} = 4.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} = 45\,\mathrm{fm}$ , seis vezes o raio nuclear: a partícula $\alpha$ volta antes de tocá-lo. Para chegar a $7\,\mathrm{fm}$ : $E_k \approx 32\,\mathrm{MeV}$ .

Exercício 16.12 ★★★

Um satélite em órbita baixa é freado pela atmosfera residual, de modo que a sua energia mecânica diminui. Mostre, com $E_m = -GMm/2r$ e $v = \sqrt{GM/r}$ , que ele passa então a se mover mais depressa. Para onde vai a energia, e que fração da energia potencial perdida vira calor?

Solução

Solução de Exercício 16.12.

$E_m = -GMm/2r$ diminui $\Rightarrow$ $r$ diminui $\Rightarrow$ $v = \sqrt{GM/r}$ aumenta. A energia cinética $GMm/2r$ sobe de $\abs{\Delta E}$ enquanto a energia potencial $-GMm/r$ cai de $2\abs{\Delta E}$ : metade da energia potencial liberada vira cinética, e metade é dissipada como calor pelo arrasto.

Um satélite GPS (concepção artística da NASA): um dos trinta e tantos da constelação a 20\,200\, km do problema de fim de semana, cada um um relógio numa órbita kepleriana. — Um satélite GPS (concepção artística da NASA): um dos trinta e tantos da constelação a $20\,200\,\mathrm{km}$ do problema de fim de semana, cada um um relógio numa órbita kepleriana.

16.6 Problema: os satélites que dizem onde você está

Problema 16.1

Problema de fim de semana — uma constelação de navegação a vinte mil quilômetros de altitude: a sua órbita, o combustível para chegar lá, quantos satélites um celular consegue ver e por que os seus relógios precisam ser ajustados para atrasar

Dados: $GM_\oplus = 3.986 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$ , dia sideral $86\,164\,\mathrm{s}$ , $c = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Os satélites dão a volta na Terra em exatamente meio dia sideral, em órbitas circulares.

Parte I — A órbita.

Calcule o raio orbital e a altitude.
Calcule a velocidade orbital.
Calcule a aceleração do satélite e compare-a com $g$ na superfície.
Calcule a energia mecânica por quilograma, e as partes cinética e potencial.
Por que escolher meio dia sideral e não meio dia solar? O que um observador em terra vê se repetir?
Visto de um satélite, que ângulo o disco da Terra subtende?
Compare o raio dessa órbita com o da geoestacionária; qual é mais alta, e por qual fator?

Parte II — Chegar lá.

Energia por quilograma para ir do repouso na superfície até a órbita final (despreze o ar e a rotação da Terra).
O lançador atinge primeiro uma órbita circular baixa a $400\,\mathrm{km}$ . Qual a velocidade ali?
Transferência de Hohmann daquela órbita para a final: as duas queimas e a sua soma.
Duração da transferência.
Compare a soma das queimas com a velocidade de escape a partir da órbita baixa: quão longe de “deixar a Terra” está esta missão?
O estágio superior e o satélite têm $2000\,\mathrm{kg}$ antes da transferência; a velocidade de exaustão do motor vale $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e a equação do foguete dá $\Delta v = u\ln(m_0/m_1)$ . Quanto propelente é preciso para as duas queimas?

Parte III — Cobertura e cronometragem.

Um satélite é visível de todo ponto da Terra que fique dentro do cone de semiângulo $\theta$ com $\cos\theta = R/r$ em torno da linha Terra–satélite. Calcule $\theta$ e a fração $(1 - \cos\theta)/2$ da superfície da Terra que ele cobre.
Com $24$ satélites distribuídos uniformemente, quantos são visíveis em média de um dado ponto? O mínimo de $4$ necessário para uma posição é plausível?
Tempo de percurso da luz de um satélite no zênite; e no horizonte.
Para localizar o receptor com $3\,\mathrm{m}$ de precisão, com que precisão os sinais devem ser cronometrados?
O relógio do próprio receptor é um quartzo barato, errado em milissegundos: por que são necessários quatro satélites em vez de três?
Os relógios dos satélites são atômicos. Dê a estabilidade relativa necessária para um erro de $3\,\mathrm{m}$ após um dia.

Parte IV — A relatividade, em resumo. Dois efeitos deslocam os relógios dos satélites em relação aos relógios em terra (fórmulas admitidas, do volume do terceiro ano): o movimento atrasa um relógio na fração $v^2/2c^2$ ; a altitude o adianta em $GM(1/R - 1/r)/c^2$ .

Calcule o atraso devido à velocidade, em microssegundos por dia.
Calcule o adiantamento devido à altitude, em microssegundos por dia.
Efeito líquido e erro de posição que ele causaria por dia se não fosse corrigido.
Os relógios dos satélites são ajustados antes do lançamento para $10.229\,999\,995\,43\,\mathrm{MHz}$ em vez de $10.23\,\mathrm{MHz}$ . Verifique que isso compensa o efeito líquido.
As órbitas não são exatamente keplerianas: nomeie três perturbações e diga como o sistema lida com elas.
Resuma a cadeia: duas leis de conservação, uma órbita, uma constelação e a única correção que ninguém teria adivinhado.

Solução

Solução de Problema 16.1.

1. $T = 43\,082\,\mathrm{s}$ : $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.986\times10^{14} \times 1.856\times10^9/39.48)^{1/3} = 2.656 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ; altitude $20\,190\,\mathrm{km}$ .

2. $v = \sqrt{GM/r} = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

3. $a = v^2/r = GM/r^2 = 0.565\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = g(R/r)^2$ , dezessete vezes mais fraca que na superfície — mas não nula: o satélite cai continuamente em torno da Terra.

4. $E_m/m = -GM/2r = -7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ; $E_k/m = +7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , $E_p/m = -15.0\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

5. A Terra gira uma vez por dia sideral em relação às estrelas (o referencial da órbita); após duas órbitas o satélite está de novo sobre o mesmo ponto do solo: os traços em terra se repetem a cada dia sideral.

6. $\sin\beta = R/r = 0.240$ : $\beta = 13.9^\circ$ , um disco de $28^\circ$ de largura.

7. Geoestacionária $42\,200\,\mathrm{km}$ : $1.59$ vezes mais alta; a órbita de navegação fica abaixo dela.

8. $GM(1/R - 1/2r) = 3.986\times10^{14}(1.570\times10^{-7} - 1.88\times 10^{-8}) = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} = 55\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

9. $r_1 = 6771\,\mathrm{km}$ : $v = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

10. $a = 16\,665\,\mathrm{km}$ ; em $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 9.69\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_1 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; em $r_2$ : $2.47\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ contra a circular $3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_2 = 1.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; total $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

11. $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.07 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 3.0\,\mathrm{h}$ .

12. Escape a partir da órbita baixa: $(\sqrt2 - 1)\times 7.67 = 3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : os $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ da missão o superam — alcançar esta órbita custa mais ou menos o mesmo que deixar a Terra de vez.

13. $m_0/m_1 = \eu^{3.4/3.0} = 3.1$ : $m_1 = 640\,\mathrm{kg}$ , propelente $1360\,\mathrm{kg}$ — dois terços da massa.

14. $\cos\theta = 0.240$ , $\theta = 76^\circ$ ; fração $(1 - 0.240)/2 = 0.38$ .

15. $24 \times 0.38 = 9$ em média; quatro é confortavelmente superado quase sempre.

16. Zênite: $2.02\times10^7/c = 67\,\mathrm{ms}$ ; horizonte: distância $\sqrt{r^2 - R^2} = 2.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ , $86\,\mathrm{ms}$ .

17. $3/c = 10\,\mathrm{ns}$ .

18. O desvio do relógio do receptor é uma quarta incógnita, além das suas três coordenadas: quatro distâncias, quatro equações.

19. $10^{-8}\ \mathrm{s}/86\,400\,\mathrm{s} \approx 1 \times 10^{-13}$ .

20. $v^2/2c^2 = (3874)^2/(2 \times 8.99\times10^{16}) = 8.3 \times 10^{-11}$ : $8.3\times10^{-11} \times 86400 = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia, de atraso.

21. $GM(1/R - 1/r)/c^2 = 3.986\times10^{14} \times 1.19\times10^{-7}/ 8.99\times10^{16} = 5.3 \times 10^{-10}$ : $45.7\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia, de adiantamento.

22. Saldo $+38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia; $c \times 38.5\times10^{-6} = 11.5\,\mathrm{km}$ de erro por dia.

23. $(10.23 - 10.22999999543)/10.23 = 4.47 \times 10^{-10}$ , coincidindo com o saldo $4.5\times10^{-10}$ ( $38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ em $86\,400\,\mathrm{s}$ ).

24. O achatamento equatorial da Terra, a atração da Lua e do Sol e a pressão de radiação solar (além de pequenos acionamentos de propulsores): o segmento de solo mede as órbitas continuamente e envia efemérides atualizadas, que os satélites transmitem.

25. A energia e o momento angular fixam uma órbita circular a partir do seu período; Kepler III a posiciona; a geometria fixa a cobertura e os tempos de luz; e os relógios — o coração do sistema — precisam ser corrigidos pela relatividade em $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia, ou o posicionamento se desvia dez quilômetros até o anoitecer.

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