Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

9Filtros e funções de transferência

Dentro de uma caixa acústica, uma bobina e um capacitor decidem, sem um único transistor, que os graves vão para o cone grande e os agudos para a cúpula pequena. O botão “AC” de um osciloscópio remove um nível contínuo que deriva devagar e conserva a ondulação sobre ele. Uma fonte de alimentação transforma uma rede retificada pulsante numa tensão estável com um único capacitor. Os três são filtros: circuitos lineares que tratam cada frequência de modo diferente. Como todo sinal periódico é uma soma de senoides, saber o que um circuito faz com cada senoide — a sua função de transferência — é saber o que ele faz com tudo. Este capítulo define as funções de transferência, traça os seus diagramas de Bode para os circuitos de primeira e segunda ordem dos capítulos anteriores e os usa para prever como uma onda quadrada sai de um filtro.

9.1 Função de transferência e diagrama de Bode

Definição 9.1 (Função de transferência)

Um circuito linear com uma tensão de entrada $\underline U_e$ e uma tensão de saída $\underline U_s$ (tomada com nada ligado à saída) tem a função de transferência

\underline H(j\omega) = \frac{\underline U_s}{\underline U_e}, \qquad G(\omega) = \abs{\underline H}, \qquad \varphi(\omega) = \arg\underline H,

com o ganho $G$ (razão de amplitudes) e a defasagem $\varphi$ da saída em relação à entrada. Um filtro é um circuito desses usado pela sua dependência com a frequência: uma senoide de amplitude $E$ em $\omega$ sai como $G(\omega)E\cos(\omega t + \varphi(\omega))$ .

Definição 9.2 (Decibéis; diagrama de Bode)

O ganho em decibéis vale $G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}G$ : um fator $10$ são $20\,\mathrm{dB}$ , um fator $2$ são $6\,\mathrm{dB}$ , e $1/\sqrt2$ são $-3\,\mathrm{dB}$ . O diagrama de Bode traça $G_{\mathrm{dB}}$ e $\varphi$ contra $\log_{10}\omega$ (ou $f$ ). A frequência de corte é aquela em que $G$ cai a $G_{\max}/\sqrt2$ ( $-3\,\mathrm{dB}$ em relação ao máximo); a banda passante é a faixa de frequências dentro de $3\,\mathrm{dB}$ do máximo. Uma década é um fator $10$ em frequência, e uma oitava um fator $2$ .

Método 9.3 (A natureza de um filtro num relance)

Antes de calcular, olhe os limites: em frequência muito baixa um capacitor é um circuito aberto e uma bobina é um fio; em frequência muito alta é o contrário. Substitua cada um e veja se a saída é a entrada (passa) ou zero (bloqueada). Passa o baixo e bloqueia o alto: passa-baixa; o contrário: passa-alta; bloqueia os dois: passa-faixa; passa os dois: rejeita-faixa. Depois calcule $\underline H$ por um divisor de tensão.

9.2 Filtros de primeira ordem

Proposição 9.4 (Passa-baixa de primeira ordem)

O divisor RC com saída em $C$ (ou o divisor RL com saída em $R$ ) tem

\underline H = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad \omega_c = \frac{1}{RC} \ \Big(\text{ou } \frac{R}{L}\Big), \qquad G = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = -\arctan\frac{\omega}{\omega_c} .

Assíntotas de Bode: $G_{\mathrm{dB}} = 0$ para $\omega \ll \omega_c$ , e uma reta que cai $20\,\mathrm{dB}$ por década para $\omega \gg \omega_c$ , encontrando-se em $\omega_c$ , onde a curva verdadeira vale $-3\,\mathrm{dB}$ e $\varphi = -45^\circ$ . Para $\omega \gg \omega_c$ , $\underline H \approx \omega_c/(j\omega)$ : a saída é proporcional à integral da entrada — ali o filtro é um integrador.

Demonstração. Divisor de tensão:

\underline H = \frac{1/jC\omega}{R + 1/jC\omega} = \frac{1}{1 + jRC\omega} .

Bem acima do corte, $1 + j\omega/\omega_c \approx j\omega/\omega_c$ , e dividir uma amplitude complexa por $j\omega$ é integrar (Proposição 8.3): $u_s \approx \omega_c\int u_e\,\dd t$ . E $20\log(\omega_c/\omega)$ perde $20\,\mathrm{dB}$ a cada $\omega$ dez vezes maior. ∎

Proposição 9.5 (Passa-alta de primeira ordem)

O divisor CR com saída em $R$ (ou LR com saída em $L$ ) tem

\underline H = \frac{j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad G = \frac{\omega/\omega_c}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad \varphi = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{\omega}{\omega_c},

subindo $20\,\mathrm{dB}$ por década abaixo de $\omega_c$ , plano acima, com $-3\,\mathrm{dB}$ e $+45^\circ$ em $\omega_c$ . Para $\omega \ll \omega_c$ , $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ : a saída é proporcional à derivada da entrada.

Demonstração. $\underline H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ ; multiplicar por $j\omega$ é derivar. ∎

Diagramas de Bode do passa-baixa (azul) e do passa-alta (vermelho) de primeira ordem: ganho em decibéis com as assíntotas (tracejadas) encontrando-se na frequência de corte, onde o ganho verdadeiro vale -3\, dB, e fase, que cruza 45 na frequência de corte. — Diagramas de Bode do passa-baixa (azul) e do passa-alta (vermelho) de primeira ordem: ganho em decibéis com as assíntotas (tracejadas) encontrando-se na frequência de corte, onde o ganho verdadeiro vale $-3\,\mathrm{dB}$ , e fase, que cruza $\mp45^\circ$ na frequência de corte.

Exemplo 9.6 (Acoplamento AC)

A entrada AC de um osciloscópio é um passa-alta com $f_c \approx 10\,\mathrm{Hz}$ : um sinal de $1\,\mathrm{kHz}$ montado sobre um nível contínuo de $5\,\mathrm{V}$ passa com $-0.0002\,\mathrm{dB}$ e sem esse nível. Mas uma onda quadrada de $50\,\mathrm{Hz}$ sai visivelmente distorcida — os seus patamares planos afundam — porque em $50\,\mathrm{Hz}$ o filtro está apenas uma década acima do seu corte e os harmônicos baixos do sinal ficam defasados (Exercício 9.12).

9.3 Filtros de segunda ordem

Proposição 9.7 (O RLC série como três filtros)

Com $x = \omega/\omega_0$ , $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ e $Q = \sqrt{L/C}/R$ , o RLC série alimentado por $\underline U_e$ dá, conforme o lugar de onde se toma a saída:

\begin{align*} \text{em } C:&\quad \underline H = \frac{1}{1 - x^2 + jx/Q}, \\ \text{em } R:&\quad \underline H = \frac{jx/Q}{1 - x^2 + jx/Q} = \frac{1}{1 + jQ(x - 1/x)}, \\ \text{em } L:&\quad \underline H = \frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q}: \end{align*}

um passa-baixa, um passa-faixa e um passa-alta de segunda ordem. Longe de $\omega_0$ o passa-baixa e o passa-alta caem $40\,\mathrm{dB}$ por década, e o passa-faixa $20\,\mathrm{dB}$ por década de cada lado; o passa-faixa tem máximo $1$ em $\omega_0$ e a largura de banda $\Delta\omega = \omega_0/Q$ do Teorema 8.9.

Demonstração. Divisores de tensão com a impedância total $R + j(L\omega - 1/C\omega)$ ; multiplique numerador e denominador por $jC\omega$ e use $LC\omega_0^2 = 1$ , $RC\omega_0 = 1/Q$ . O passa-faixa é a ressonância em corrente do capítulo anterior, lida como uma tensão em $R$ . ∎

Proposição 9.8 (Passa-baixa de segunda ordem: o papel de $Q$ )

Para o passa-baixa, $G = 1/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ : para $Q > 1/\sqrt2$ o ganho sobe acima de $1$ perto de $\omega_0$ (ressonância, com pico $\approx Q$ para $Q$ grande); para $Q = 1/\sqrt2$ ele é “maximamente plano”, $G = 1/\sqrt{1 + x^4}$ , exatamente $-3\,\mathrm{dB}$ em $\omega_0$ ; para $Q$ menor ele cai antes da hora. A fase vai de $0$ a $-\pi$ , passando por $-\pi/2$ em $\omega_0$ .

Demonstração. $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2)$ : o termo do meio se anula para $Q^2 = \tfrac12$ , é negativo (pico) acima e positivo (queda) abaixo; o comportamento perto de $x = 1$ foi analisado em Proposição 8.10. ∎

Filtros de segunda ordem a partir do RLC série. À esquerda, o passa-baixa (saída em C) para três valores de Q: um pico de ressonância, a resposta maximamente plana ou uma queda antecipada, todos se juntando à assíntota de -40\, dB por década (tracejada). À direita, o passa-faixa (saída em R): um pico de largura _0/Q caindo 20\, dB por década de cada lado. — Filtros de segunda ordem a partir do RLC série. À esquerda, o passa-baixa (saída em $C$ ) para três valores de $Q$ : um pico de ressonância, a resposta maximamente plana ou uma queda antecipada, todos se juntando à assíntota de $-40\,\mathrm{dB}$ por década (tracejada). À direita, o passa-faixa (saída em $R$ ): um pico de largura $\omega_0/Q$ caindo $20\,\mathrm{dB}$ por década de cada lado.

Exemplo 9.9 (Um divisor de frequências)

O woofer e o tweeter de uma caixa acústica, cada um de $8\,\Omega$ , compartilham o amplificador através de um passa-baixa (uma bobina em série) e de um passa-alta (um capacitor em série) cortados em $2\,\mathrm{kHz}$ : $L = R/\omega_c = 0.64\,\mathrm{mH}$ , $C = 1/R\omega_c = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Em $2\,\mathrm{kHz}$ cada alto-falante recebe $-3\,\mathrm{dB}$ , isto é, metade da potência, e $G_L^2 + G_H^2 = 1$ em toda frequência: a potência é repartida, não perdida. O problema de fim de semana projeta uma versão mais íngreme.

9.4 Filtrando um sinal periódico

Teorema 9.10 (Decomposição de Fourier)

Um sinal periódico de período $T = 2\pi/\omega$ (razoavelmente regular) é a soma de uma constante e de senoides nos múltiplos de $\omega$ :

s(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_n\cos(n\omega t + \varphi_n),

em que $c_0 = \langle s\rangle$ é o seu valor médio; o termo $n = 1$ é a fundamental, os demais os harmônicos, e as amplitudes $c_n$ formam o espectro. Uma onda quadrada de amplitude $\pm E$ tem $c_n = 4E/(n\pi)$ para $n$ ímpar e $0$ para $n$ par; uma onda triangular de amplitude $\pm E$ tem $c_n = 8E/(n\pi)^2$ para $n$ ímpar.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 9.11 (O que reter dela)

O teorema e o cálculo dos $c_n$ pertencem ao curso de matemática do segundo ano. Aqui ele é uma ferramenta: cantos vivos exigem muitos harmônicos (os da onda quadrada caem apenas como $1/n$ ), e sinais suaves exigem poucos (os do triângulo caem como $1/n^2$ ). O conteúdo harmônico de um sinal é aquilo de que o timbre de um instrumento é feito, e aquilo sobre o que um filtro age.

Proposição 9.12 (Filtragem linear de um sinal periódico)

Através de um filtro de função de transferência $\underline H$ , o sinal do teorema se torna

s_{\text{saída}}(t) = G(0)\,c_0 + \sum_{n \geq 1} G(n\omega)\,c_n\cos\!\big(n\omega t + \varphi_n + \varphi(n\omega)\big):

cada harmônico é escalado pelo ganho e defasado pela fase na sua própria frequência, e depois as partes são somadas. Daí:

um passa-baixa com $\omega_c \ll \omega$ guarda essencialmente $c_0$ : ele faz a média (alisamento, remoção de ondulação) e transforma uma onda quadrada num pequeno triângulo (integração);
um passa-alta com $\omega_c \ll \omega$ remove $c_0$ e deixa passar o resto (acoplamento AC); com $\omega_c \gg \omega$ ele deriva (picos nas bordas de uma onda quadrada);
um passa-faixa sintonizado em $n\omega$ com $Q \gg 1$ extrai o $n$ -ésimo harmônico sozinho: uma senoide a partir de uma onda quadrada.

Demonstração. Superposição num circuito linear (Teorema 6.18) aplicada à soma de entradas senoidais, cada uma tratada por Definição 9.1. ∎

Uma onda quadrada através de um passa-baixa de primeira ordem. À esquerda: o seu espectro (harmônicos ímpares em 1/n) e o espectro após um filtro cortado na fundamental. À direita: o sinal no tempo para _c = (vermelho, arcos exponenciais) e _c = 10 (laranja, apenas cantos arredondados); com _c a saída seria um pequeno triângulo em torno do valor médio. — Uma onda quadrada através de um passa-baixa de primeira ordem. À esquerda: o seu espectro (harmônicos ímpares em $1/n$ ) e o espectro após um filtro cortado na fundamental. À direita: o sinal no tempo para $\omega_c = \omega$ (vermelho, arcos exponenciais) e $\omega_c = 10\omega$ (laranja, apenas cantos arredondados); com $\omega_c \ll \omega$ a saída seria um pequeno triângulo em torno do valor médio.

Exemplo 9.13 (Números)

Uma onda quadrada de $1\,\mathrm{kHz}$ e amplitude $5\,\mathrm{V}$ : harmônicos de $6.37\,\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{kHz}$ , $2.12\,\mathrm{V}$ em $3\,\mathrm{kHz}$ e $1.27\,\mathrm{V}$ em $5\,\mathrm{kHz}$ . Através de um passa-baixa RC cortado em $10\,\mathrm{Hz}$ ( $\tau = 16\,\mathrm{ms}$ ) a saída é um triângulo de amplitude $ET/4\tau \approx 80\,\mathrm{mV}$ em torno de zero; através de um passa-faixa sintonizado em $3\,\mathrm{kHz}$ com $Q = 20$ , uma senoide de $2.1\,\mathrm{V}$ em $3\,\mathrm{kHz}$ com apenas alguns por cento dos vizinhos (Exercício 9.8).

9.5 Filtros em cascata

Proposição 9.14 (Cascata e efeito de carga)

Dois filtros em cascata têm $\underline H = \underline H_1\underline H_2$ — os ganhos se multiplicam, os decibéis e as fases se somam — desde que o segundo não carregue o primeiro, isto é, não drene corrente apreciável da sua saída. Caso contrário, as relações de divisor devem ser reescritas para a rede combinada. Um seguidor de tensão com amplificador operacional (Capítulo 10) entre os estágios torna a regra do produto exata.

Demonstração. $\underline H_1$ foi definida com a saída em aberto; se a impedância de entrada do estágio seguinte for muito maior que a impedância de saída do primeiro (a sua resistência de Thévenin), a tensão de saída não muda e o segundo estágio recebe exatamente $\underline U_{s1}$ como entrada. ∎

Exemplo 9.15 (Dois estágios RC)

Dois passa-baixas RC idênticos em série não dão $1/(1 + j\omega/\omega_c)^2$ : o $R$ do segundo estágio carrega o primeiro. O resultado exato é $\underline H = 1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ , $-9.5\,\mathrm{dB}$ em $\omega_c$ em vez dos $-6\,\mathrm{dB}$ que a regra do produto promete, embora ambos acabem alcançando a mesma inclinação de $-40\,\mathrm{dB}$ por década.

9.6 Exercícios

Exercício 9.1 ★

Converta em decibéis: os ganhos $0.5$ , $10$ , $1/\sqrt2$ , $100$ . Converta em razões: $-40\,\mathrm{dB}$ , $+6\,\mathrm{dB}$ . Dois filtros em cascata (sem efeito de carga) dão $-6\,\mathrm{dB}$ e $-20\,\mathrm{dB}$ em certa frequência: qual o ganho total?

Solução

Solução de Exercício 9.1.

$0.5 \to -6.0\,\mathrm{dB}$ ; $10 \to 20\,\mathrm{dB}$ ; $1/\sqrt2 \to -3.0\,\mathrm{dB}$ ; $100 \to 40\,\mathrm{dB}$ . $-40\,\mathrm{dB} \to 0.01$ ; $+6\,\mathrm{dB} \to 2.0$ . Cascata: $-6 - 20 = -26\,\mathrm{dB}$ , uma razão de $0.05$ .

Exercício 9.2 ★

Passa-baixa RC, $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 16\,\mathrm{nF}$ : frequência de corte e ganho em decibéis a $100\,\mathrm{Hz}$ , $1\,\mathrm{kHz}$ , $10\,\mathrm{kHz}$ e $100\,\mathrm{kHz}$ .

Solução

Solução de Exercício 9.2.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 1.6\times10^{-8}) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . Ganhos $-10\log(1 + (f/f_c)^2)$ : $100\,\mathrm{Hz}$ : $-0.04\,\mathrm{dB}$ ; $1\,\mathrm{kHz}$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ; $10\,\mathrm{kHz}$ : $-20\,\mathrm{dB}$ ; $100\,\mathrm{kHz}$ : $-40\,\mathrm{dB}$ .

Exercício 9.3 ★

Sem calcular, dê a natureza (passa-baixa, passa-alta, passa-faixa) de: (a) $R$ em série e $C$ na saída; (b) $C$ em série e $R$ na saída; (c) $L$ em série e $C$ na saída; (d) $L$ e $C$ em série e $R$ na saída.

Solução

Solução de Exercício 9.3.

(a) passa-baixa ( $C$ curto-circuita a saída em $f$ alta); (b) passa-alta ( $C$ abre em $f$ baixa); (c) passa-baixa de segunda ordem ( $L$ abre em $f$ alta, $C$ curto-circuita); (d) passa-faixa ( $C$ bloqueia $f$ baixa, $L$ bloqueia $f$ alta).

Exercício 9.4 ★

Uma onda quadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ e amplitude $5.0\,\mathrm{V}$ : dê as frequências e amplitudes dos seus três primeiros harmônicos não nulos. Por que ela não tem harmônicos pares?

Solução

Solução de Exercício 9.4.

$4E/n\pi$ : $6.37\,\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{kHz}$ , $2.12\,\mathrm{V}$ em $3\,\mathrm{kHz}$ , $1.27\,\mathrm{V}$ em $5\,\mathrm{kHz}$ . A onda quadrada é antissimétrica por um deslocamento de meio período ( $s(t + T/2) = -s(t)$ ), o que os harmônicos pares não são.

Exercício 9.5 ★★

Um passa-alta CR cortado em $10\,\mathrm{kHz}$ recebe uma onda triangular de amplitude $1.0\,\mathrm{V}$ a $100\,\mathrm{Hz}$ . Explique por que ele se comporta como um derivador e dê a forma e a amplitude da saída.

Solução

Solução de Exercício 9.5.

Em $100\,\mathrm{Hz}$ e nos seus harmônicos úteis, $\omega \ll \omega_c$ : $\underline H \approx j\omega/\omega_c$ , uma derivada dividida por $\omega_c$ . A inclinação do triângulo vale $\pm 4Ef = \pm400\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ , de modo que a saída é uma onda quadrada de amplitude $400/(2\pi \times 10^4) = 6.4\,\mathrm{mV}$ .

Exercício 9.6 ★★

Um passa-baixa RC cortado em $10\,\mathrm{Hz}$ recebe uma onda quadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ e amplitude $\pm1.0\,\mathrm{V}$ . Mostre que a saída é um triângulo e calcule a sua amplitude.

Solução

Solução de Exercício 9.6.

$\omega \gg \omega_c$ : $u_s \approx (1/\tau)\int u_e\,\dd t$ , com $\tau = 1/(2\pi \times 10) = 16\,\mathrm{ms}$ . A integral de $\pm E$ é um triângulo que sobe $ET/2$ por meio período: excursão $ET/2\tau$ , amplitude $ET/4\tau = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 0.016) = 16\,\mathrm{mV}$ em torno de zero.

Exercício 9.7 ★★

Um passa-baixa RLC série com $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ : dê $f_0$ ; encontre $R$ para a resposta maximamente plana; dê o ganho em decibéis em $f_0$ e em $10f_0$ .

Solução

Solução de Exercício 9.7.

$f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ . $Q = \sqrt{L/C}/R = 1/\sqrt2$ : $R = \sqrt2 \times 316 = 447\,\Omega$ . Em $f_0$ : $-3\,\mathrm{dB}$ ; em $10f_0$ : $1/\sqrt{1 + 10^4} \to -40\,\mathrm{dB}$ .

Exercício 9.8 ★★

Um passa-faixa ( $Q = 20$ ) sintonizado em $3.0\,\mathrm{kHz}$ recebe a onda quadrada de $1\,\mathrm{kHz}$ do Exercício 9.4. Calcule o ganho em $1$ , $3$ e $5\,\mathrm{kHz}$ e as amplitudes de saída desses harmônicos; descreva a saída.

Solução

Solução de Exercício 9.8.

$G = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ com $x = f/3$ : $1\,\mathrm{kHz}$ : $x = 1/3$ , $Q(x - 1/x) = -53$ , $G = 0.019$ ; $3\,\mathrm{kHz}$ : $G = 1$ ; $5\,\mathrm{kHz}$ : $x = 5/3$ , $21$ , $G = 0.047$ . Saída: $2.1\,\mathrm{V}$ em $3\,\mathrm{kHz}$ , com $0.12\,\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{kHz}$ e $0.06\,\mathrm{V}$ em $5\,\mathrm{kHz}$ — uma senoide de $3\,\mathrm{kHz}$ quase pura.

Exercício 9.9 ★★

Dois passa-baixas RC idênticos ( $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 159\,\mathrm{nF}$ ) em cascata. Calcule a função de transferência exata (o segundo carrega o primeiro) e o ganho em $\omega_c = 1/RC$ ; compare com o produto dos dois ganhos separados.

Solução

Solução de Exercício 9.9.

Nós: com $a = jRC\omega$ , o primeiro capacitor vê $R$ a montante e $R + 1/jC\omega$ a jusante: $\underline H = 1/(1 + 3a + a^2)$ , isto é, $1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$ . Em $\omega_c$ : $1/3j$ , $G = 1/3$ , $-9.5\,\mathrm{dB}$ ; o produto dos dois ganhos separados daria $1/2$ , $-6\,\mathrm{dB}$ . $f_c = 1.0\,\mathrm{kHz}$ .

Exercício 9.10 ★★★

Esboce as assíntotas de Bode de $\underline H = (1 + j\omega/\omega_1)/ (1 + j\omega/\omega_2)$ com $\omega_1 = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\omega_2 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : inclinações, quebras, o patamar de alta frequência em decibéis e a fase em $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ .

Solução

Solução de Exercício 9.10.

Abaixo de $\omega_1$ : $0\,\mathrm{dB}$ ; entre $\omega_1$ e $\omega_2$ : subindo $20\,\mathrm{dB}$ por década; acima de $\omega_2$ : plano em $20\log(\omega_2/\omega_1) = 40\,\mathrm{dB}$ . Fase $\arctan(\omega/\omega_1) - \arctan(\omega/\omega_2)$ : em $\omega = 10^3$ , $\arctan 10 - \arctan 0.1 = 84^\circ - 6^\circ = 78^\circ$ .

Exercício 9.11 ★★★

Um seno retificado em onda completa (rede de $50\,\mathrm{Hz}$ ) tem média $2E/\pi$ e um primeiro harmônico em $100\,\mathrm{Hz}$ de amplitude $4E/3\pi$ . Um passa-baixa RC deve reduzir a ondulação de $100\,\mathrm{Hz}$ abaixo de $1\%$ da média: encontre a frequência de corte e a constante de tempo necessárias. Por que um capacitor sozinho (com a resistência de carga) é a escolha usual?

Solução

Solução de Exercício 9.11.

Bem acima do corte, $G \approx f_c/f$ ; a razão de ondulação após a filtragem vale

\frac{(4E/3\pi)(f_c/100)}{2E/\pi} = \frac{2}{3}\,\frac{f_c}{100} < 0.01,

logo $f_c < 1.5\,\mathrm{Hz}$ e $\tau = 1/2\pi f_c > 0.1\,\mathrm{s}$ . A própria carga faz o papel de $R$ : um capacitor em paralelo com ela não custa nada em queda de tensão nem em potência, ao passo que um resistor em série desperdiçaria as duas coisas.

Exercício 9.12 ★★★

O acoplamento AC de um osciloscópio é um passa-alta com $C = 0.10\,\text{µ}\mathrm{F}$ e $R = 160\,\mathrm{k}\Omega$ . Calcule $f_c$ . Aplica-se uma onda quadrada: mostre que cada patamar plano vira uma exponencial decrescente e calcule o afundamento (fração perdida ao longo de meio período) a $50\,\mathrm{Hz}$ e a $1\,\mathrm{kHz}$ .

Solução

Solução de Exercício 9.12.

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^5 \times 10^{-7}) = 10\,\mathrm{Hz}$ , $\tau = RC = 16\,\mathrm{ms}$ . Durante um patamar plano o capacitor se carrega através de $R$ : a saída decai como $\eu^{-t/\tau}$ a partir de cada borda. Afundamento em $T/2$ : $1 - \eu^{-T/2\tau}$ : $50\,\mathrm{Hz}$ ( $T/2 = 10\,\mathrm{ms}$ ): $1 - \eu^{-0.63} = 47\%$ ; $1\,\mathrm{kHz}$ ( $T/2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ ): $3\%$ .

Dentro de uma caixa acústica de duas vias: as bobinas e os capacitores do divisor de frequências são os filtros passa-baixa e passa-alta que mandam os graves para o woofer e os agudos para o tweeter.

9.7 Problema: o divisor de frequências da caixa acústica

Problema 9.1

Problema de fim de semana — um woofer, um tweeter, uma bobina e um capacitor: como um divisor passivo reparte a música, por que o mais simples deles deixa vazar graves para o tweeter e o que uma bobina móvel real faz com o projeto

O woofer e o tweeter são primeiro modelados como resistências puras $R = 8.0\,\Omega$ . O amplificador é uma fonte de tensão ideal $\underline U_e$ . A frequência de cruzamento vale $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .

Parte I — Divisor de primeira ordem. O woofer é alimentado através de uma bobina em série $L$ , e o tweeter através de um capacitor em série $C$ .

Defina a função de transferência de cada ramo (tensão no alto-falante dividida por $\underline U_e$ ) e o ganho em decibéis.
Mostre que o ramo do woofer é um passa-baixa de primeira ordem e dê a sua frequência de corte $\omega_c$ em termos de $R$ e $L$ .
Calcule $L$ para $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .
Mostre que o ramo do tweeter é um passa-alta de primeira ordem; dê $\omega_c$ e calcule $C$ .
Dê o ganho de cada alto-falante em decibéis em $f_c$ , a $200\,\mathrm{Hz}$ e a $20\,\mathrm{kHz}$ .
Mostre que $G_L^2 + G_H^2 = 1$ em toda frequência. O que isso significa para a potência exigida do amplificador?
Dê a fase de cada ramo em $f_c$ ; de quanto diferem em fase as tensões dos dois alto-falantes ali?
Quais são as inclinações das duas respostas, em dB por oitava, longe de $f_c$ ?

Parte II — Divisor de segunda ordem. O woofer passa agora a ser alimentado por uma bobina em série $L$ com um capacitor $C$ em paralelo com o alto-falante.

Mostre que $\underline H = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .
Identifique $\omega_0$ e $Q$ em termos de $L$ , $C$ , $R$ .
Para $Q = 1/\sqrt2$ mostre que $G = 1/\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^4}$ e que o ganho vale $-3\,\mathrm{dB}$ em $\omega_0$ .
Calcule $L$ e $C$ para $f_0 = 2.0\,\mathrm{kHz}$ e $Q = 1/\sqrt2$ .
Calcule o ganho em decibéis a $4\,\mathrm{kHz}$ e a $8\,\mathrm{kHz}$ ; deduza a inclinação em dB por oitava.
O ramo do tweeter troca os papéis de $L$ e $C$ ( $C$ em série, $L$ em paralelo): escreva a sua função de transferência sem novo cálculo.
Calcule a fase de cada ramo em $f_0$ . O que se deve fazer com a ligação do tweeter, e por quê?

Parte III — Música através do divisor.

Uma nota de violoncelo a $220\,\mathrm{Hz}$ carrega harmônicos até o 20º. Quais harmônicos vão em sua maioria para o tweeter, com o divisor de primeira ordem?
O que acontece com o 9º harmônico?
Usa-se uma onda quadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ como sinal de teste. Com o divisor de primeira ordem, dê o ganho de cada ramo para a fundamental e para o terceiro e o quinto harmônicos.
O amplificador desenvolve por acidente um nível contínuo de $1\,\mathrm{V}$ . Que alto-falante fica protegido, e por quê?
Com o divisor de primeira ordem, que fração da tensão e da potência de um tom de $500\,\mathrm{Hz}$ chega ao tweeter? E com o de segunda ordem? Por que isso importa para a sobrevivência do tweeter?

Parte IV — Uma bobina móvel real. O woofer é, na verdade, $R = 8.0\,\Omega$ em série com uma indutância de bobina móvel $L_{vc} = 0.50\,\mathrm{mH}$ .

Calcule a impedância (módulo) do woofer a $2\,\mathrm{kHz}$ e a $8\,\mathrm{kHz}$ .
Recalcule o ganho do woofer de primeira ordem a $2\,\mathrm{kHz}$ e a $8\,\mathrm{kHz}$ com essa impedância e compare com os ideais $-3\,\mathrm{dB}$ e $-12.3\,\mathrm{dB}$ . O que aconteceu com a atenuação?
Uma “rede de Zobel” — $R_z = R$ em série com $C_z = L_{vc}/R^2$ — é ligada em paralelo com o woofer. Mostre que o conjunto se comporta como uma resistência pura $R$ em todas as frequências, e calcule $C_z$ .
O amplificador entrega $50\,\mathrm{W}$ em $8\,\Omega$ : que tensão eficaz é essa, e que potência cada alto-falante recebe em $f_c$ (divisor de primeira ordem)? A $500\,\mathrm{Hz}$ , quanto chega ao tweeter?
Resuma os compromissos: inclinação, fase, número de componentes, proteção do tweeter e a necessidade de uma rede de Zobel.

Solução

Solução de Problema 9.1.

1. $\underline H = \underline U_{\text{alto-falante}}/\underline U_e$ ; $G_{\mathrm{dB}} = 20\log\abs{\underline H}$ .

2. $\underline H_L = R/(R + jL\omega) = 1/(1 + j\omega/\omega_c)$ , $\omega_c = R/L$ .

3. $L = R/\omega_c = 8.0/(2\pi \times 2000) = 0.64\,\mathrm{mH}$ .

4. $\underline H_H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$ , $\omega_c = 1/RC$ ; $C = 1/(R\omega_c) = 9.9\,\text{µ}\mathrm{F} \approx 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

5. Em $f_c$ : $-3\,\mathrm{dB}$ para cada um. $200\,\mathrm{Hz}$ ( $x = 0.1$ ): woofer $-0.04\,\mathrm{dB}$ , tweeter $-20\,\mathrm{dB}$ . $20\,\mathrm{kHz}$ ( $x = 10$ ): woofer $-20\,\mathrm{dB}$ , tweeter $-0.04\,\mathrm{dB}$ .

6. $G_L^2 + G_H^2 = (1 + x^2)/(1 + x^2) = 1$ : com cargas iguais, as duas potências somam a potência que um único alto-falante de $8\,\Omega$ tomaria — repartida, não perdida.

7. $-45^\circ$ (woofer) e $+45^\circ$ (tweeter): $90^\circ$ de diferença; em $f_c$ os dois cones não se movem juntos.

8. $\pm 6\,\mathrm{dB}$ por oitava ( $20\,\mathrm{dB}$ por década).

9. Divisor entre $jL\omega$ e $R \parallel 1/jC\omega = R/(1 + jRC\omega)$ : $\underline H = R/[R + jL\omega(1 + jRC\omega)] = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .

10. $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; $L\omega/R = x/Q$ dá $Q = R/L\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ .

11. $\abs{\underline H}^{-2} = (1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2) = 1 + x^4$ para $Q^2 = \tfrac12$ ; em $x = 1$ , $G = 1/\sqrt2$ .

12. $L = R/(Q\omega_0) = 8\sqrt2/(1.257\times10^4) = 0.90\,\mathrm{mH}$ ; $C = 1/(L\omega_0^2) = 7.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

13. $x = 2$ : $1/\sqrt{17}$ , $-12.3\,\mathrm{dB}$ ; $x = 4$ : $1/\sqrt{257}$ , $-24.1\,\mathrm{dB}$ : $12\,\mathrm{dB}$ por oitava.

14. Trocar $L$ e $C$ troca $x \leftrightarrow 1/x$ (e $Q$ permanece): $\underline H_H = -x^2/(1 - x^2 + jx/Q)$ .

15. Em $x = 1$ : $\underline H_L = Q/j = -jQ$ ( $-90^\circ$ ), $\underline H_H = jQ$ ( $+90^\circ$ ): os alto-falantes ficam em oposição de fase no cruzamento e se cancelariam acusticamente; o tweeter é ligado com a polaridade invertida.

16. Harmônicos acima de $2\,\mathrm{kHz}$ : $n \geq 10$ ( $2.2\,\mathrm{kHz}$ em diante) vão em sua maioria para o tweeter.

17. $9 \times 220 = 1980\,\mathrm{Hz} \approx f_c$ : repartido em partes iguais, $-3\,\mathrm{dB}$ para cada um.

18. Woofer ( $G_L$ ): $x = 0.5$ : $0.89$ ; $x = 1.5$ : $0.55$ ; $x = 2.5$ : $0.37$ . Tweeter ( $G_H$ ): $0.45$ , $0.83$ , $0.93$ .

19. O tweeter: o seu capacitor em série bloqueia a componente contínua. O woofer é quem recebe o desvio ( $1\,\mathrm{V}$ sobre $8\,\Omega$ : $125\,\mathrm{mA}$ , $0.125\,\mathrm{W}$ de calor e um cone deslocado).

20. Primeira ordem, $x = 0.25$ : $G_H = 0.25/\sqrt{1.0625} = 0.24$ ( $-12\,\mathrm{dB}$ ), fração de potência $6\%$ . Segunda ordem: $0.0625/\sqrt{1 + 0.0039} = 0.06$ ( $-24\,\mathrm{dB}$ ), $0.4\%$ . Um tweeter de poucos watts recebe $6\%$ de uma nota grave forte com o projeto de primeira ordem — ele pode queimar.

21. $\underline Z = 8 + jL_{vc}\omega$ : $2\,\mathrm{kHz}$ : $8 + 6.3j$ , $\abs{\underline Z} = 10.2\,\Omega$ ; $8\,\mathrm{kHz}$ : $8 + 25.1j$ , $26.3\,\Omega$ .

22. $\underline H = \underline Z/(\underline Z + jL\omega)$ : $2\,\mathrm{kHz}$ : $10.2/\abs{8 + 14.3j} = 10.2/16.4 = 0.62$ ( $-4.2\,\mathrm{dB}$ ); $8\,\mathrm{kHz}$ : $26.3/\abs{8 + 57.3j} = 0.45$ ( $-6.9\,\mathrm{dB}$ ) em vez de $-12.3\,\mathrm{dB}$ : a impedância crescente da bobina móvel luta contra a bobina em série, e a atenuação achata para poucos dB por oitava.

23. Admitâncias: $1/(R + jL_{vc}\omega) + jC_z\omega/(1 + jRC_z\omega)$ ; com $C_z = L_{vc}/R^2$ o segundo termo vale $jL_{vc}\omega/[R(R + jL_{vc}\omega)]$ , e a soma vale $(R + jL_{vc}\omega)/[R(R + jL_{vc}\omega)] = 1/R$ . $C_z = 0.50\times10^{-3}/64 = 7.8\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

24. $U = \sqrt{PR} = \sqrt{400} = 20\,\mathrm{V}$ eficazes. Em $f_c$ cada alto-falante recebe metade: $25\,\mathrm{W}$ . A $500\,\mathrm{Hz}$ o tweeter recebe $6\%$ : $3\,\mathrm{W}$ .

25. Primeira ordem: duas peças, complementares em potência, inclinações suaves de $6\,\mathrm{dB}/\mathrm{oit}\,$ , $90^\circ$ entre os alto-falantes e graves vazando para o tweeter. Segunda ordem: quatro peças, $12\,\mathrm{dB}/\mathrm{oit}\,$ , $180^\circ$ no cruzamento (inverta o tweeter) e proteção muito melhor do tweeter. De um jeito ou de outro, a indutância do woofer precisa ser domada por uma rede de Zobel para o projeto valer.

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