Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

29Indução eletromagnética e aplicações

Aproxime um ímã de uma bobina e uma corrente passa a circular nela; pare o ímã e a corrente para. Faraday descobriu isso em 1831, depois de dez anos de procura, e é sobre esse fato que corre o mundo elétrico: toda usina, todo transformador, todo motor, alto-falante e microfone, todo fogão de indução e carregador sem fio converte energia pela lei segundo a qual um fluxo magnético variável produz uma força eletromotriz. Este capítulo enuncia a lei com os seus sinais, dá-lhe as duas faces que ela usa (um campo variável num circuito fixo, um circuito em movimento num campo fixo), define a autoindutância e a indutância mútua e depois percorre as máquinas eletromecânicas — a barra deslizante, o alternador, o transformador, o alto-falante — em que a mesma lei transforma potência mecânica em potência elétrica e de volta, nunca de graça.

Um aparelho de ressonância magnética: um solenoide supercondutor que mantém 1.5\, T sobre um paciente — um megajoule de energia magnética num campo com nada dentro. Fotografia: Jan Ainali, CC BY 3.0. — Um aparelho de ressonância magnética: um solenoide supercondutor que mantém $1.5\,\mathrm{T}$ sobre um paciente — um megajoule de energia magnética num campo com nada dentro. Fotografia: Jan Ainali, CC BY 3.0.

29.1 A lei de Faraday

Definição 29.1 (Fluxo magnético através de um circuito)

Oriente um circuito fechado $\Gamma$ (um sentido de percurso); a sua superfície recebe a normal $\vect n$ dada pela regra da mão direita. O fluxo magnético através do circuito vale $\Phi = \sum\vect B\cdot\vect n\,\dd S$ sobre qualquer superfície apoiada em $\Gamma$ (weber, $1\,\mathrm{Wb} = 1\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}^{2}$ ) — “qualquer”, porque o fluxo de $\vect B$ através de uma superfície fechada é nulo. Para um campo uniforme e uma bobina plana de $N$ espiras e área $S$ , $\Phi = NBS\cos\alpha$ , sendo $\alpha$ o ângulo entre $\vect B$ e $\vect n$ .

Teorema 29.2 (Lei da indução de Faraday)

Sempre que o fluxo através de um circuito varia, o circuito é sede de uma força eletromotriz induzida

e = -\frac{\dd\Phi}{\dd t} ,

contada na orientação do circuito, isto é, agindo como uma fonte de tensão ideal de fem $e$ nesse sentido; num circuito de resistência $R$ ela faz passar a corrente $i = e/R$ . O sinal de menos é a lei de Lenz: a corrente induzida circula de modo a se opor à variação de fluxo que a produz — o seu próprio campo, e as forças que ela sente, combatem a causa.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 29.3 (Duas faces da mesma lei)

O fluxo varia ou porque $\vect B$ varia no tempo através de um circuito fixo (indução de Neumann: transformador, fogão de indução) ou porque o circuito se move ou se deforma num campo permanente (indução de Lorentz: gerador, alto-falante). No segundo caso a fem também pode ser calculada diretamente: os portadores de um elemento condutor $\dd\vect l$ que se move com $\vect v$ sentem a força $q\vect v\wedge \vect B$ , equivalente a um campo elétrico $\vect v\wedge\vect B$ , de modo que $e = \oint(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ — e isso concorda sempre com $-\dd\Phi/\dd t$ . A lei de Faraday cobre os dois casos; o volume do segundo ano explica por que os dois mecanismos dão uma só fórmula.

Orientação e lei de Lenz. À esquerda: a orientação do circuito fixa n e o sinal de . No meio: um ímã que se aproxima de um anel aumenta o fluxo; a corrente induzida cria um campo oposto ao do ímã e o anel o repele. À direita: uma barra que desliza sobre trilhos num campo dirigido para o leitor; o fluxo do circuito cresce, e a corrente induzida circula de modo que a força de Laplace sobre a barra se opõe ao seu movimento. — Orientação e lei de Lenz. À esquerda: a orientação do circuito fixa $\vect n$ e o sinal de $\Phi$ . No meio: um ímã que se aproxima de um anel aumenta o fluxo; a corrente induzida cria um campo oposto ao do ímã e o anel o repele. À direita: uma barra que desliza sobre trilhos num campo dirigido para o leitor; o fluxo do circuito cresce, e a corrente induzida circula de modo que a força de Laplace sobre a barra se opõe ao seu movimento.

Exemplo 29.4 (Ordens de grandeza)

Uma bobina de $100$ espiras e $10\,\mathrm{cm}^{2}$ no campo da Terra, virada em $0.1\,\mathrm{s}$ : $\Delta\Phi = 2 \times 100 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-5} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Wb}$ , $e \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ — mensurável com um galvanômetro sensível, do modo como o campo da Terra foi outrora mapeado. A mesma bobina no entreferro de $1\,\mathrm{T}$ de um ímã, retirada em $0.1\,\mathrm{s}$ : $1\,\mathrm{V}$ . Uma bobina de transformador de $1000$ espiras com $1\,\mathrm{T}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ sobre $10\,\mathrm{cm}^{2}$ : $e_{\max} = 1000 \times 10^{-3} \times 314 = 314\,\mathrm{V}$ — a rede elétrica.

29.2 Autoindutância e indutância mútua

Definição 29.5 (Indutância)

O fluxo do campo próprio de um circuito através dele mesmo é proporcional à sua corrente: $\Phi_{\text{próprio}} = Li$ , sendo $L > 0$ a sua autoindutância (henry, $\mathrm{H}$ ). O fluxo que o circuito 1 envia através do circuito 2 vale $\Phi_{1 \to 2} = Mi_1$ e, simetricamente, $\Phi_{2 \to 1} = Mi_2$ , sendo $M$ a indutância mútua dos dois (com o sinal fixado pelas orientações). O fluxo total do circuito 1 vale então $\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2$ .

Proposição 29.6 (O indutor; o solenoide)

Um circuito de indutância $L$ percorrido por uma corrente variável é sede da fem $e = -L\,\dd i/\dd t$ : na convenção receptor, essa é a tensão $u = L\,\dd i/\dd t$ do indutor usado desde o Capítulo 7. Ele armazena a energia $W = \tfrac12Li^2$ . Um solenoide longo de $n$ espiras por metro, comprimento $\ell$ e seção $S$ tem $L = \mu_0n^2S\ell$ ; a sua energia armazenada vale $\tfrac12\mu_0n^2I^2S\ell = \dfrac{B^2}{2\mu_0}\,S\ell$ : a energia magnética mora no campo, com densidade $B^2/2\mu_0$ , exatamente como a elétrica em $\varepsilon_0E^2/2$ .

Demonstração. Faraday com $\Phi = Li$ e $L$ constante. Energia: a potência recebida pelo indutor vale $ui = Li\,\dd i/\dd t = \dd(\tfrac12Li^2)/\dd t$ . Solenoide: $B = \mu_0nI$ dentro, fluxo $BS$ através de cada uma das $n\ell$ espiras, logo $\Phi = \mu_0n^2S\ell I$ . A densidade geral fica admitida. ∎

Exemplo 29.7 (Um ímã de ressonância magnética)

$1.5\,\mathrm{T}$ sobre cerca de um metro cúbico: $B^2/2\mu_0 = 2.25/2.5 \times 10^{-6} = 0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — a energia de uma bateria de carro, guardada no espaço vazio. Com uma corrente de bobina de $500\,\mathrm{A}$ , $L = 2W/I^2 = 7\,\mathrm{H}$ . Se o supercondutor de repente se torna resistivo (um quench), esse megajoule vira calor em segundos e evapora centenas de litros de hélio líquido: a sala do ímã tem um respiro para isso.

Proposição 29.8 (O transformador ideal)

Duas bobinas de $N_1$ e $N_2$ espiras enroladas no mesmo núcleo de ferro fechado, de modo que o mesmo fluxo $\varphi$ atravesse cada espira, obedecem a

\frac{u_2}{u_1} = \frac{N_2}{N_1} , \qquad N_1i_1 + N_2i_2 = 0 \quad\text{(sem perdas em vazio, sem corrente magnetizante)},

de modo que $u_2i_2 = -u_1i_1$ : a potência tomada no primário é entregue no secundário; as tensões variam com a razão de espiras, e as correntes, inversamente. Só funciona com correntes variáveis.

Demonstração. $u_1 = N_1\,\dd\varphi/\dd t$ e $u_2 = N_2\,\dd\varphi/\dd t$ (convenção receptor nas duas, com as orientações escolhidas segundo o fluxo comum): divida. A relação entre as correntes é a lei de Ampère no núcleo: a sua circulação, $\mu_0\mu_r$ vezes o total de ampère-espiras, teria de criar o fluxo; para um núcleo ideal ( $\mu_r \to \infty$ ) isso exige um número de ampère-espiras que tende a zero, donde $N_1i_1 + N_2i_2 = 0$ . Admitido nesta forma. ∎

À esquerda: um transformador — duas bobinas num núcleo de ferro fechado compartilham o mesmo fluxo; as tensões escalam com o número de espiras, e as correntes, inversamente. À direita: duas bobinas acopladas no ar e a sua indutância mútua M; o fluxo próprio de uma bobina vale Li. — À esquerda: um transformador — duas bobinas num núcleo de ferro fechado compartilham o mesmo fluxo; as tensões escalam com o número de espiras, e as correntes, inversamente. À direita: duas bobinas acopladas no ar e a sua indutância mútua $M$ ; o fluxo próprio de uma bobina vale $Li$ .

29.3 Condutores em movimento: geradores e motores

Proposição 29.9 (A barra deslizante)

Uma barra de comprimento $\ell$ desliza com velocidade $v$ sobre dois trilhos fechados por uma resistência $R$ , num campo uniforme $B$ normal ao plano. Ela é sede da fem $e = B\ell v$ , faz passar $i = B\ell v/R$ e sente a força de Laplace $F = B\ell i = B^2\ell^2v/R$ que se opõe ao seu movimento. A potência mecânica gasta para empurrá-la, $Fv$ , é igual à potência elétrica $ei = Ri^2$ dissipada: a barra é um gerador. Alimentada, em vez disso, por uma fonte $E$ , ela é um motor: a corrente $(E - B\ell v)/R$ a empurra até que a força contraeletromotriz $B\ell v$ equilibre $E$ , na velocidade a vazio $E/B\ell$ .

Demonstração. Fluxo $B\ell x$ , $e = -B\ell\dot x$ na orientação em que $\vect n$ está ao longo de $\vect B$ ; a força de Laplace $i\vect\ell\wedge\vect B$ sobre a corrente assim orientada aponta contra $\vect v$ (Teorema 29.2, Lenz). Multiplique a equação elétrica $e = Ri$ por $i$ e a mecânica por $v$ : $Fv = B\ell iv = ei$ . A potência eletromecânica $ei$ e a potência de Laplace $-Fv$ são sempre opostas — é a lei da conversão. ∎

Proposição 29.10 (A espira girante: o alternador)

Uma bobina de $N$ espiras e área $S$ que gira com velocidade angular $\omega$ em torno de um eixo perpendicular a um $B$ uniforme tem $\Phi = NBS\cos\omega t$ e

e = NBS\omega\sin\omega t :

uma fem senoidal de amplitude $NBS\omega$ e frequência igual à de rotação. Numa resistência $R$ ela entrega a potência média $(NBS\omega)^2/2R$ , fornecida pelo torque que a mantém girando contra o binário de Laplace $-\vect m\wedge\vect B$ da sua própria corrente.

Demonstração. Derive o fluxo; $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$ . O binário é o do Teorema 28.14 com $m = Ni S$ ; a sua potência média $\langle\Gamma\omega\rangle$ é igual a $\langle ei\rangle$ pelo mesmo cálculo feito para a barra. ∎

À esquerda: a barra deslizante como gerador — fem B v, corrente através de R, força de Laplace freando a barra; a potência de quem empurra é o calor do resistor. No meio e à direita: a bobina girante de um alternador e a sua fem senoidal. — À esquerda: a barra deslizante como gerador — fem $B\ell v$ , corrente através de $R$ , força de Laplace freando a barra; a potência de quem empurra é o calor do resistor. No meio e à direita: a bobina girante de um alternador e a sua fem senoidal.

Exemplo 29.11 (Correntes de Foucault)

Um condutor maciço que se move num campo não uniforme, ou que fica num campo variável, é atravessado por fluxo variável ao longo de incontáveis caminhos fechados: as correntes de Foucault circulam nele, aquecendo-o e — por Lenz — freando-o. Um ímã largado dentro de um tubo de cobre desce devagar; os freios de caminhões e de montanhas-russas usam isso (sem contato, sem desgaste, sem falha de freio — mas sem frenagem em repouso); o fogão de indução aquece a panela pelas mesmas correntes, a $25\,\mathrm{kHz}$ ; e os núcleos de transformador são laminados justamente para cortá-las.

29.4 O alto-falante: um sistema acoplado

Proposição 29.12 (Acoplamento eletromecânico de uma bobina num campo radial)

Uma bobina de comprimento total de fio $\ell$ fica num campo radial $B$ , de modo que cada elemento de fio é perpendicular a $\vect B$ ; ela se move ao longo do seu eixo com velocidade $v$ e conduz $i$ . Ela sente então a força de Laplace axial $F = B\ell i$ e é sede da força contraeletromotriz $e = -B\ell v$ (na convenção receptor: uma tensão $B\ell v$ ). Com uma massa $m$ , uma suspensão de rigidez $k$ e um amortecimento mecânico $h$ , alimentada por uma tensão $u$ através da resistência $R$ e da indutância $L$ da bobina:

u = Ri + L\frac{\dd i}{\dd t} + B\ell v , \qquad m\frac{\dd v}{\dd t} = -kx - hv + B\ell i .

Multiplicando por $i$ e por $v$ e somando: a potência elétrica $ui$ é igual à perda Joule $Ri^2$ mais o crescimento das energias armazenadas $\tfrac12Li^2 + \tfrac12mv^2 + \tfrac12kx^2$ mais a perda mecânica $hv^2$ (que inclui o som): o termo de conversão $B\ell iv$ se cancela entre as duas equações. Funcionando ao contrário (movimento imposto, $u$ lido), o mesmo dispositivo é um microfone dinâmico.

Demonstração. Força de Laplace sobre cada elemento $i\,\dd\vect l\wedge\vect B$ , todas axiais e de mesmo sinal; fem por $(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ somado sobre o fio. O balanço de energia é a soma das duas equações multiplicadas como se disse. ∎

Um alto-falante de bobina móvel em corte: a bobina fica no entreferro anular de um ímã onde o campo é radial, de modo que uma corrente dá uma força axial qualquer que seja a posição; o cone que ela move é preso por uma suspensão rígida e amortecida; o movimento da bobina injeta uma força contraeletromotriz B v no circuito elétrico. — Um alto-falante de bobina móvel em corte: a bobina fica no entreferro anular de um ímã onde o campo é radial, de modo que uma corrente dá uma força axial qualquer que seja a posição; o cone que ela move é preso por uma suspensão rígida e amortecida; o movimento da bobina injeta uma força contraeletromotriz $B\ell v$ no circuito elétrico.

Observação 29.13 (Por que o acoplamento amortece)

Em baixa frequência ( $L\omega \ll R$ ), $i \approx (u - B\ell v)/R$ e a força vale $B\ell u/R - (B^2\ell^2/R)\,v$ : o circuito elétrico acrescenta o amortecimento $B^2\ell^2/R$ ao mecânico. Um alto-falante ligado a um amplificador (de baixa resistência de saída) fica bastante amortecido — o seu cone para quando o sinal para — e o mesmo acoplamento é o que permite ao microfone tirar energia do som (Problema 29.1).

29.5 Exercícios

Exercício 29.1 ★

Uma bobina de $100$ espiras e $10\,\mathrm{cm}^{2}$ num campo uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ a $30{}^{\circ}$ da sua normal. Fluxo; fem média se o campo for desligado em $10\,\mathrm{ms}$ ; e em $1\,\mathrm{ms}$ ; sentido da corrente induzida em relação ao campo (Lenz).

Solução

Solução de Exercício 29.1.

$\Phi = NBS\cos30^\circ = 100 \times 0.2 \times 10^{-3} \times 0.866 = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{Wb}$ ; $\langle e\rangle = \Delta\Phi/\Delta t = 1.7\,\mathrm{V}$ em $10\,\mathrm{ms}$ , e $17\,\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{ms}$ . A corrente circula de modo a recriar o fluxo que desaparece: o seu campo tem o sentido do antigo $\vect B$ .

Exercício 29.2 ★

Uma barra de $20\,\mathrm{cm}$ desliza a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre trilhos fechados por $0.10\,\Omega$ , em $0.50\,\mathrm{T}$ . Fem, corrente, força de Laplace, força que quem empurra tem de aplicar, potência mecânica, potência elétrica.

Solução

Solução de Exercício 29.2.

$e = B\ell v = 0.5 \times 0.2 \times 2 = 0.20\,\mathrm{V}$ ; $i = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 0.20\,\mathrm{N}$ freando, de modo que quem empurra aplica $0.20\,\mathrm{N}$ ; $Fv = 0.40\,\mathrm{W} = Ri^2$ .

Exercício 29.3 ★

Solenoide de $1000\,\mathrm{espiras}/\mathrm{m}$ , comprimento $20\,\mathrm{cm}$ , seção $4.0\,\mathrm{cm}^{2}$ : indutância; energia a $5.0\,\mathrm{A}$ ; constante de tempo com uma resistência de $1.0\,\Omega$ ; campo dentro e densidade de energia, para verificar $B^2/2\mu_0$ .

Solução

Solução de Exercício 29.3.

$L = \mu_0n^2S\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.2 = 0.10\,\mathrm{mH}$ ; $W = \tfrac12LI^2 = 1.3\,\mathrm{mJ}$ ; $\tau = L/R = 0.1\,\mathrm{ms}$ . $B = \mu_0nI = 6.3\,\mathrm{mT}$ , $B^2/2\mu_0 = 15.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ sobre $S\ell = 8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ : $1.3\,\mathrm{mJ}$ .

Exercício 29.4 ★

Um transformador de $230\,\mathrm{V}$ para $12\,\mathrm{V}$ : razão de espiras; espiras do primário para um secundário de $50$ espiras; corrente do primário quando o secundário entrega $2.0\,\mathrm{A}$ . Por que ele não funciona com uma bateria de carro?

Solução

Solução de Exercício 29.4.

$N_2/N_1 = 12/230 = 0.052$ ; $N_1 = 50/0.052 = 960$ espiras; $i_1 = 2 \times 0.052 = 0.10\,\mathrm{A}$ . Uma corrente contínua faz um fluxo constante: sem $\dd\varphi/\dd t$ , sem tensão no secundário — e o primário, um curto, queimaria.

Exercício 29.5 ★★

Lei de Lenz: dê o sentido da corrente induzida e a direção da força em cada caso — (a) um polo norte se aproxima de um anel ao longo do seu eixo; (b) um anel está num campo que cresce; (c) um anel é largado sobre um ímã; (d) um ímã cai dentro de um tubo longo de cobre. Para (d), explique pela energia por que ele cai com velocidade constante e pequena.

Solução

Solução de Exercício 29.5.

(a) O fluxo (no sentido da aproximação) cresce: a corrente cria um campo que se opõe a ele — o seu próprio polo norte fica de frente para o norte do ímã — e o anel é empurrado para longe. (b) Uma corrente cujo campo se opõe ao crescimento; o anel, um dipolo antialinhado com $\vect B$ , é empurrado para o campo mais fraco. (c) Ao cair, o fluxo cresce: mesma corrente que em (a), e o anel é freado. (d) Cada trecho de tubo à frente do ímã vê o fluxo crescer, e atrás dele, diminuir; as duas correntes induzidas freiam o ímã; na velocidade em que a força de Laplace equilibra o peso, o ímã cai uniformemente e a sua energia potencial perdida vira calor Joule no tubo.

Exercício 29.6 ★★

Alternador: $N = 200$ , $S = 20\,\mathrm{cm}^{2}$ , $B = 0.10\,\mathrm{T}$ , $50\,\mathrm{Hz}$ . Fem de pico e eficaz; corrente de pico e torque de pico em $10\,\Omega$ ; potência elétrica média; compare com a potência mecânica média e com o torque instantâneo no momento em que a fem se anula.

Solução

Solução de Exercício 29.6.

$E_{\max} = NBS\omega = 200 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 314 = 12.6\,\mathrm{V}$ , eficaz $8.9\,\mathrm{V}$ ; $I_{\max} = 1.26\,\mathrm{A}$ , $\Gamma_{\max} = NBSI_{\max} = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (quando $\sin\omega t = 1$ ); $\langle P\rangle = E_{\max}^2/2R = 7.9\,\mathrm{W}$ $= \langle\Gamma\omega\rangle = \tfrac12 \times 0.05 \times 314$ ; quando $e = 0$ a corrente é nula e o torque se anula — o torque pulsa a $100\,\mathrm{Hz}$ .

Exercício 29.7 ★★

Freio magnético. Uma espira quadrada de lado $a = 10\,\mathrm{cm}$ e resistência $R = 1.0\,\mathrm{m}\Omega$ , de massa $1.0\,\mathrm{kg}$ , sai de uma região de campo uniforme $B = 1.0\,\mathrm{T}$ com velocidade $v$ (um lado ainda dentro do campo). Fem, corrente, força de frenagem; equação do movimento e constante de tempo; distância percorrida antes de parar a partir de $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; para onde foi a energia cinética?

Solução

Solução de Exercício 29.7.

$e = Bav$ , $i = Bav/R$ , $F = B^2a^2v/R = 10\,v$ (N). $m\,\dd v/\dd t = -B^2a^2v/R$ : $v = v_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = mR/B^2a^2 = 0.10\,\mathrm{s}$ ; distância $v_0\tau = 10\,\mathrm{cm}$ (se a região de campo for longa o bastante). A energia cinética, $0.5\,\mathrm{J}$ , é dissipada como $Ri^2$ na espira.

Exercício 29.8 ★★

Uma pequena bobina ( $N_2 = 50$ espiras, seção $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ) fica dentro de um solenoide longo ( $n_1 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ), com os eixos alinhados. Indutância mútua; fem na bobina quando a corrente do solenoide cresce a $100\,\mathrm{A}/\mathrm{s}$ , e quando ela vale $1.0\,\mathrm{A}$ a $10\,\mathrm{kHz}$ . $M$ depende de qual bobina conduz a corrente?

Solução

Solução de Exercício 29.8.

Fluxo do campo do solenoide $\mu_0n_1i_1$ através das $N_2$ espiras: $M = \mu_0n_1N_2S_2 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 50 \times 2 \times 10^{-4} = 25\,\text{µ}\mathrm{H}$ . Rampa: $e = M\,\dd i_1/\dd t = 2.5\,\mathrm{mV}$ ; a $10\,\mathrm{kHz}$ e $1\,\mathrm{A}$ : $e_{\max} = M\omega I = 25 \times 10^{-6} \times 6.3 \times 10^4 = 1.6\,\mathrm{V}$ . $M$ é simétrica: o mesmo número dá o fluxo que a bobina pequena envia através do solenoide — muito mais difícil de calcular diretamente.

Exercício 29.9 ★★

Energia num campo: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ sobre $1.0\,\mathrm{m}^{3}$ , como num ímã de ressonância magnética. Energia; indutância para $I = 500\,\mathrm{A}$ ; altura a que essa energia elevaria um carro de $1\,\mathrm{t}$ ; volume de hélio líquido que ela evapora num quench ( $2.6\,\mathrm{kJ}$ por litro). Energia do campo da Terra ( $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ) numa sala de $50\,\mathrm{m}^{3}$ .

Solução

Solução de Exercício 29.9.

$W = B^2V/2\mu_0 = 2.25/(2.51 \times 10^{-6}) = 0.90\,\mathrm{MJ}$ ; $L = 2W/I^2 = 7.2\,\mathrm{H}$ ; $h = W/mg = 92\,\mathrm{m}$ ; hélio: $9 \times 10^5/2600 = 350\,\mathrm{L}$ . Campo da Terra: $(5 \times 10^{-5})^2/2\mu_0 = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $50\,\mathrm{mJ}$ na sala.

Exercício 29.10 ★★★

Trilhos como motor. A barra do Exercício 29.2 (massa $m$ , sem atrito) é ligada a uma fonte $E$ através da resistência $R$ . (a) Equações elétrica e mecânica; mostre que $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ . (b) Velocidade limite e constante de tempo. (c) Balanço de potência: potência da fonte $=$ Joule $+$ mecânica; rendimento em função de $v$ . (d) Números: $E = 2.0\,\mathrm{V}$ , $m = 50\,\mathrm{g}$ , o resto como no Exercício 29.2. (e) Um canhão eletromagnético acelera um projétil de $10\,\mathrm{g}$ com $1\,\mathrm{MA}$ ao longo de $5\,\mathrm{m}$ em $1\,\mathrm{T}$ : velocidade de saída (ordem de grandeza).

Solução

Solução de Exercício 29.10.

(a) $E - B\ell v = Ri$ (a força contraeletromotriz se opõe à fonte), $m\,\dd v/\dd t = B\ell i$ : $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ . (b) $v_\infty = E/B\ell$ , $\tau = mR/B^2\ell^2$ . (c) Multiplique a equação elétrica por $i$ : $Ei = Ri^2 + B\ell vi$ , e $B\ell vi = Fv$ é a potência mecânica; rendimento $Fv/Ei = B\ell v/E = v/v_\infty$ — $100\%$ só a vazio, quando nada é entregue. (d) $v_\infty = 2/(0.5 \times 0.2) = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tau = 0.05 \times 0.1/0.01 = 0.5\,\mathrm{s}$ . (e) $F = B\ell I = 1 \times 0.1 \times 10^6 = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ (tomando $\ell = 10\,\mathrm{cm}$ ), $a = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v = \sqrt{2a \times 5} = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — dez quilômetros por segundo, a promessa e o problema dos canhões eletromagnéticos (os trilhos se erodem).

Exercício 29.11 ★★★

O disco de Faraday. Um disco de cobre de raio $R$ gira com velocidade angular $\omega$ em torno do seu eixo num $B$ uniforme paralelo ao eixo; escovas tocam o centro e a borda. (a) Fem entre o centro e a borda somando $(\vect v\wedge \vect B)\cdot\dd\vect l$ ao longo de um raio: $e = \tfrac12B\omega R^2$ . (b) Números: $R = 10\,\mathrm{cm}$ , $3000\,\mathrm{rpm}$ , $1.0\,\mathrm{T}$ . (c) Por que ele é uma máquina de baixa tensão e alta corrente; corrente em $1\,\mathrm{m}\Omega$ e o torque de frenagem. (d) Recupere $e$ pela lei de Faraday aplicada ao circuito escova–raio–borda–escova: que fluxo varia?

Solução

Solução de Exercício 29.11.

(a) No raio $r$ o metal se move a $v = \omega r$ ; $\vect v\wedge\vect B$ é radial, de módulo $\omega rB$ : $e = \int_0^R\omega Br\,\dd r = \tfrac12B\omega R^2$ . (b) $\omega = 314$ : $e = 0.5 \times 1 \times 314 \times 0.01 = 1.6\,\mathrm{V}$ . (c) Uma só “espira”, logo alguns volts no máximo; em $1\,\mathrm{m}\Omega$ : $1.6\,\mathrm{kA}$ , torque $= P/\omega = ei/\omega = 2500/314 = 8\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (d) O circuito escova–raio– borda–escova varre a área $\tfrac12R^2\omega\,\dd t$ em cada $\dd t$ : $\dd\Phi/\dd t = \tfrac12BR^2\omega$ — é o fluxo através do circuito móvel e deformável.

Exercício 29.12 ★★★

Fogão de indução. A bobina sob o vidro conduz $i_1 = I_1\cos\omega t$ com $I_1 = 30\,\mathrm{A}$ a $25\,\mathrm{kHz}$ ; o fundo da panela age como uma única espira de resistência $R_p = 10\,\mathrm{m}\Omega$ , acoplada por $M = 1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ (desprezada a indutância da espira da panela). (a) Fem induzida na panela, valor de pico. (b) Corrente e potência média dissipada na panela. (c) Por que uma frequência alta, e por que o calor aparece na panela e não no vidro? (d) A corrente da panela reage sobre a bobina: fem que ela induz ali (de pico) e potência extra que o gerador tem de fornecer — verifique que ela é igual à de (b).

Solução

Solução de Exercício 29.12.

(a) $e_2 = -M\,\dd i_1/\dd t$ , de pico $M\omega I_1 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 30 = 4.7\,\mathrm{V}$ . (b) $I_2 = 4.7/0.01 = 470\,\mathrm{A}$ de pico; $\langle P\rangle = R_pI_2^2/2 = 1.1\,\mathrm{kW}$ . (c) A fem é $\propto\omega$ : uma frequência alta dá uma fem útil com um $M$ modesto; o vidro é isolante, e nada circula nele — o calor nasce dentro do metal. (d) A corrente da panela induz na bobina $M\omega I_2 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 470 = 74\,\mathrm{V}$ de pico, em fase com $i_1$ (a corrente da panela não se atrasa em relação a $e_2$ , sendo resistiva, e $e_2$ se atrasa de $90{}^{\circ}$ em relação a $i_1$ … de modo que a fem refletida vale $-M\,\dd i_2/\dd t$ , em oposição de fase com a tensão motriz de $i_1$ ): o gerador fornece $\tfrac12 \times 74 \times 30 = 1.1\,\mathrm{kW}$ a mais — exatamente o que a panela dissipa.

Um dínamo de garrafa: a roda gira um ímã dentro de uma bobina, o fluxo através da bobina muda, e a lâmpada acende — a lei de Faraday numa bicicleta.

29.6 Problema: o dínamo de bicicleta e o alto-falante

Problema 29.1

Problema de fim de semana — dois conversores eletromecânicos desmontados: um dínamo que se regula sozinho e um alto-falante cujo amplificador é também o seu freio

Parte I — O dínamo de bicicleta. Uma bobina de $N = 300$ espiras e área $S = 3.0\,\mathrm{cm}^{2}$ gira num campo uniforme $B = 0.30\,\mathrm{T}$ ; o seu eixo leva uma roldana de raio $r = 1.0\,\mathrm{cm}$ pressionada contra o pneu, de modo que a bobina gira com $\omega = v/r$ para uma velocidade $v$ da bicicleta. Resistência da bobina $r_c = 4.0\,\Omega$ , indutância $L = 20\,\mathrm{mH}$ ; a lâmpada é uma resistência $R = 12\,\Omega$ .

Fluxo através da bobina e fem induzida em função do tempo; amplitude e frequência a $v = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Desprezando $L$ de início: corrente eficaz e potência na lâmpada a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; uma lâmpada de “ $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ ” fica confortável?
Potência mecânica média que o ciclista fornece ao dínamo e a força correspondente sobre o pneu (compare com o atrito de rolamento, cerca de $2\,\mathrm{N}$ ).
Explique pela lei de Lenz por que o dínamo resiste, e por que uma lâmpada que acende “de graça” não contradiz a conservação da energia.
Inclua agora $L$ : impedância complexa do circuito; mostre que a amplitude da corrente vale $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ e que ela satura em alta velocidade; o seu limite e a velocidade em que ela atinge $70\%$ do limite.
Sem a indutância, o que a lâmpada receberia a $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ numa descida? E com ela?
Corrente e potência da lâmpada a $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e a $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; comente a autorregulação.
Os dínamos reais giram um ímã dentro de uma bobina fixa. A análise muda? Que problema prático isso elimina?
O que a lâmpada faz quando a bicicleta para num sinal vermelho, e como as lanternas modernas resolvem isso?

Parte II — O alto-falante. Bobina móvel: comprimento de fio $\ell = 5.0\,\mathrm{m}$ num campo radial $B = 1.0\,\mathrm{T}$ , resistência $R = 8.0\,\Omega$ , indutância $L = 0.50\,\mathrm{mH}$ ; massa móvel (bobina e cone) $m = 10\,\mathrm{g}$ ; rigidez da suspensão $k = 1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , amortecimento mecânico $h = 1.0\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . Regime senoidal, amplitudes complexas.

Força sobre a bobina para uma corrente $i$ ; força contraeletromotriz para uma velocidade $v$ (deduza as duas, com os sinais).
Escreva as equações elétrica e mecânica.
Elimine $i$ e mostre que $\underline v = \dfrac{B\ell\,\underline u}{(R + jL\omega)(jm\omega + h + k/j\omega) + B^2\ell^2}$ .
Nas frequências em que $L\omega \ll R$ , mostre que o acoplamento age como um amortecimento mecânico suplementar $B^2\ell^2/R$ ; valor; frequência de ressonância do cone e o seu fator de qualidade com e sem o amortecimento elétrico.
O amplificador entrega $i$ de amplitude $1.0\,\mathrm{A}$ a $1\,\mathrm{kHz}$ : amplitudes de força, aceleração, deslocamento e velocidade do cone (regime controlado pela massa); amplitude da força contraeletromotriz comparada com $Ri$ .
A mesma corrente na frequência de ressonância: amplitude da velocidade (regime controlado pelo amortecimento) e força contraeletromotriz; comente.
Potência elétrica a $1\,\mathrm{kHz}$ ; potência mecânica dissipada em $h$ (tomada como o som e as perdas da suspensão); rendimento.
Por que o fato de a pressão sonora ser proporcional à aceleração do cone (admita-o) é a razão de um cone controlado pela massa dar uma resposta plana acima da ressonância?
Por que o campo tem de ser radial, e por que um tweeter é pequeno?
Esboce o módulo da impedância $\underline u/\underline i$ vista pelo amplificador de $10\,\mathrm{Hz}$ a $10\,\mathrm{kHz}$ : valor em baixa frequência, na ressonância (use a velocidade controlada pelo amortecimento) e a $10\,\mathrm{kHz}$ .

Parte III — Ao contrário, e as contas.

O mesmo dispositivo como microfone: um som move o cone a $v = 1.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; tensão em circuito aberto.
Carregado por $R_L = 600\,\Omega$ : corrente e força de frenagem sobre o cone; mostre que o microfone tira potência do som por um amortecimento efetivo $B^2\ell^2/(R + R_L)$ .
A bobina é enrolada sobre um cilindro de alumínio (o carretel), uma espira fechada de comprimento $0.10\,\mathrm{m}$ e resistência $1.0\,\mathrm{m}\Omega$ : amortecimento que ele acrescenta; por que os carretéis são fendidos.
Bata no cone de um alto-falante cujos terminais estão em aberto e depois no de um cujos terminais estão em curto: qual dos dois soa por mais tempo, e por quê?
Escreva o balanço de energia do alto-falante ao longo de um período em regime permanente, nomeando cada termo.
Resuma: para cada dispositivo, a lei usada e os dois números que vale a pena guardar.

Solução

Solução de Problema 29.1.

1. $\Phi = NBS\cos\omega t$ , $e = NBS\omega\sin\omega t$ ; $NBS = 300 \times 0.3 \times 3 \times 10^{-4} = 0.027\,\mathrm{Wb}$ ; $\omega = v/r = 5/0.01 = 500\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : amplitude $13.5\,\mathrm{V}$ , frequência $\omega/2\pi = 80\,\mathrm{Hz}$ .

2. $I_{\text{rms}} = 13.5/\sqrt2/16 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; lâmpada $RI^2 = 4.3\,\mathrm{W}$ sob $7.2\,\mathrm{V}$ : uma lâmpada de $6\,\mathrm{V}$ e $3\,\mathrm{W}$ fica sobrecarregada e não dura.

3. Mecânica $=$ elétrica: $(R + r_c)I_{\text{rms}}^2 = 16 \times 0.36 = 5.7\,\mathrm{W}$ ; $F = P/v = 5.7/5 = 1.1\,\mathrm{N}$ — metade do atrito de rolamento; o ciclista sente.

4. O binário de Laplace da corrente induzida se opõe à rotação (Lenz); a energia da lâmpada vem das pernas do ciclista, $5.7\,\mathrm{W}$ dela.

5. $\underline Z = R + r_c + jL\omega$ ; $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ ; para $L\omega \gg R + r_c$ , $I \to NBS/L = 0.027/0.02 = 1.35\,\mathrm{A}$ . $70\%$ : $L\omega = 0.7(R + r_c)/\sqrt{1 - 0.49} = 15.7$ , $\omega = 784\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v = 7.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

6. Sem $L$ : $e_{\max} = 3 \times 13.5 = 40.5\,\mathrm{V}$ , $I_{\text{rms}} = 1.8\,\mathrm{A}$ , $39\,\mathrm{W}$ na lâmpada — ela queima. Com $L$ : $I = 40.5/\sqrt{256 + 900} = 1.2\,\mathrm{A}$ de pico, $8.5\,\mathrm{W}$ : quente, mas dez vezes menos.

7. $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 6.75$ , $|Z| = \sqrt{256 + 25} = 16.8$ , $I = 0.40$ , $P = \tfrac12 \times 0.16 \times 12 = 1.0\,\mathrm{W}$ : fraca. $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 27$ , $|Z| = 25.6$ , $I = 1.05$ , $P = 6.6\,\mathrm{W}$ . Quatro vezes a velocidade, $2.6$ vezes a corrente: a indutância regula.

8. Só o movimento relativo importa: o fluxo através da bobina fixa varia do mesmo modo, mesma fem. Não são precisos contatos deslizantes (escovas) para tirar a corrente de uma bobina que gira.

9. Sem movimento, sem variação de fluxo, sem luz — daí o capacitor ou a pequena bateria (“luz de parada”) carregada durante o pedal.

10. Cada elemento de fio é perpendicular ao $\vect B$ radial: $F = B\ell i$ , axial. Movendo-se a $v$ , cada elemento vê $\vect v\wedge\vect B$ ao longo do fio: $e = -B\ell v$ , que se opõe à corrente que produz o movimento (convenção receptor: uma tensão $B\ell v$ ).

11. $u = Ri + L\,\dd i/\dd t + B\ell v$ ; $m\,\dd v/\dd t = -kx - hv + B\ell i$ .

12. $\underline i = (\underline u - B\ell\underline v)/(R + jL\omega)$ ; $\underline v\,(jm\omega + h + k/j\omega) = B\ell\,\underline i$ ; substitua e resolva para $\underline v$ .

13. $i \approx (u - B\ell v)/R$ dá $m\dot v + (h + B^2\ell^2/R)v + kx = B\ell u/R$ : amortecimento extra $25/8 = 3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . $f_0 = \tfrac1{2\pi}\sqrt{k/m} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; $Q = \sqrt{km}/h_{\text{tot}}$ : $3.2$ em aberto, $0.77$ com o amplificador.

14. $F = 5.0\,\mathrm{N}$ , $a = F/m = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $x = a/\omega^2 = 13\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $v = a/\omega = 0.080\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $B\ell v = 0.40\,\mathrm{V}$ contra $Ri = 8\,\mathrm{V}$ : $5\%$ .

15. Com a corrente imposta, $v = F/h = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (uma amplitude de $16\,\mathrm{mm}$ — uma excursão enorme para $1\,\mathrm{A}$ ); $B\ell v = 25\,\mathrm{V}$ , três vezes $Ri$ : o amplificador tem de fornecer $33\,\mathrm{V}$ para empurrar $1\,\mathrm{A}$ na ressonância — é o pico de impedância. Um amplificador que fosse fonte de tensão deixaria, em vez disso, o amortecimento elétrico segurar o cone.

16. $\tfrac12RI^2 = 4.0\,\mathrm{W}$ ; $\tfrac12hv^2 = \tfrac12 \times 0.0064 = 3.2\,\mathrm{mW}$ : rendimento de $0.08\%$ — os alto-falantes são aquecedores que sussurram.

17. Acima da ressonância, $a = F/m = B\ell i/m$ não depende da frequência para uma dada corrente, de modo que a pressão, $\propto a$ , fica plana: a banda controlada pela massa é a banda de trabalho.

18. Campo radial: a força é axial e a mesma em cada posição da bobina no entreferro. Um tweeter tem de permanecer controlado pela massa até $20\,\mathrm{kHz}$ com uma excursão minúscula: bobina e cone leves; e um cone pequeno irradia as frequências altas em todas as direções.

19. Baixa frequência: $v$ pequeno, $|Z| \approx R = 8\,\Omega$ ; a $50\,\mathrm{Hz}$ : $u = Ri + B\ell v$ com $v = B\ell i/h$ : $Z = R + B^2\ell^2/h = 8 + 25 = 33\,\Omega$ ; a $10\,\mathrm{kHz}$ : $|R + jL\omega| = |8 + 31j| = 32\,\Omega$ . Um pico na ressonância, um piso plano de $8\,\Omega$ e uma subida com $L\omega$ .

20. $e = B\ell v = 5 \times 10^{-3} = 5\,\mathrm{mV}$ .

21. $i = 5 \times 10^{-3}/608 = 8.2\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 41\,\text{µ}\mathrm{N}$ , opondo-se a $v$ : $F = [B^2\ell^2/(R + R_L)]\,v$ , um amortecimento de $0.041\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ; a potência $Fv = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ é tirada do som e acaba nos dois resistores.

22. Carretel: $B^2\ell_f^2/R_f = 1 \times 0.01/10^{-3} = 10\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , dez vezes $h$ : ele amorteceria o cone e desperdiçaria potência como calor; uma fenda rompe a espira fechada.

23. Em aberto: só $h$ amortece, $Q = 3.2$ , e ele soa. Em curto: a força contraeletromotriz faz passar corrente por $R$ , acrescenta-se o amortecimento $B^2\ell^2/R$ , $Q = 0.77$ : ele para na hora. (Experimente.)

24. Ao longo de um período, as energias armazenadas voltam aos seus valores: $\langle ui\rangle = \langle Ri^2\rangle + \langle hv^2\rangle$ — entrada elétrica $=$ calor Joule na bobina $+$ perdas mecânicas (som irradiado e atrito da suspensão); o termo de acoplamento $B\ell iv$ aparece nas duas equações com sinais opostos e se cancela.

25. Dínamo: Faraday numa bobina girante — $13.5\,\mathrm{V}$ a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , com a corrente limitada a $1.35\,\mathrm{A}$ pela sua própria indutância. Alto-falante: força de Laplace e força contraeletromotriz — $3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ de amortecimento elétrico, rendimento de $0.08\%$ . Microfone: a mesma bobina ao contrário — $5\,\mathrm{mV}$ por milímetro por segundo.

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