Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

21Estática dos fluidos

Um submarino a trezentos metros carrega, em cada metro quadrado do seu casco, o peso de um caminhão carregado. Uma barragem segura um lago com uma parede grossa embaixo e fina em cima, por uma razão que nada tem a ver com o comprimento do lago. Um navio de cem mil toneladas flutua porque empurra para o lado cem mil toneladas de água, e afunda um palmo a mais quando passa do mar para um rio. Cada um desses fatos é consequência de uma única relação — num fluido em repouso a pressão cresce para baixo à taxa $\rho g$ — e este capítulo a deduz, aplica-a aos líquidos e à atmosfera e tira dela a força sobre uma parede e o teorema de Arquimedes.

Um submarino num exercício de emersão de emergência (Marinha dos EUA): esvaziados os seus tanques de lastro, ele fica mais leve do que a água que desloca e sobe — o teorema de Arquimedes a 7000\, t. — Um submarino num exercício de emersão de emergência (Marinha dos EUA): esvaziados os seus tanques de lastro, ele fica mais leve do que a água que desloca e sobe — o teorema de Arquimedes a $7000\,\mathrm{t}$ .

21.1 A pressão num fluido em repouso

Proposição 21.1 (Isotropia da pressão)

Num fluido em repouso, a força exercida pelo fluido sobre uma pequena superfície $\dd S$ colocada num ponto $M$ vale $\dd\vect F = P(M)\,\dd S\,\vect n$ , normal à superfície e dirigida para ela, com uma pressão $P(M)$ que depende do ponto mas não da orientação da superfície.

Demonstração parcial. Um fluido em repouso não transmite força tangencial (senão escoaria): a força é normal. Considere um pequeníssimo prisma triangular de fluido em $M$ com faces de orientações diferentes: ele está em equilíbrio sob as forças de pressão nas suas faces e sob o seu peso; o peso varia como o volume (cubo do tamanho) e as forças de pressão como áreas (quadrado), de modo que, para um prisma bastante pequeno, só as forças de pressão contam, e o seu equilíbrio em toda direção exige o mesmo $P$ em todas as faces. ∎

Teorema 21.2 (Relação fundamental da estática dos fluidos)

Num fluido em repouso na gravidade uniforme $\vect g = -g\vect e_z$ ( $z$ para cima), a pressão depende só de $z$ e

\frac{\dd P}{\dd z} = -\rho g ,

sendo $\rho$ a densidade do fluido nesse nível. A pressão cresce para baixo; as superfícies de pressão igual (as isóbaras) são horizontais, e a superfície livre de um líquido também.

Demonstração. Tome uma fatia horizontal de fluido de área $S$ entre $z$ e $z + \dd z$ : ela é empurrada para cima por $P(z)S$ de baixo, para baixo por $P(z + \dd z)S$ de cima, e puxada para baixo pelo seu peso $\rho gS\,\dd z$ . Em repouso: $P(z)S - P(z + \dd z)S - \rho gS\,\dd z = 0$ . As fatias horizontais de fluido não recebem força horizontal da gravidade, logo na horizontal $P$ é uniforme. ∎

À esquerda: o equilíbrio de uma fatia horizontal de fluido — a pressão de baixo tem de exceder a de cima do peso da fatia por unidade de área. À direita: vasos comunicantes — uma horizontal encontra a mesma pressão em toda parte num líquido conectado, de modo que as superfícies livres ficam num só nível, quaisquer que sejam as formas.

Corolário 21.3 (Fluido incompressível)

Num líquido de densidade uniforme $\rho$ , a pressão à profundidade $h$ abaixo de um ponto onde ela vale $P_0$ é

P = P_0 + \rho gh .

Água: $1\,\mathrm{bar}$ a mais a cada $10\,\mathrm{m}$ . Dois pontos de um líquido conectado no mesmo nível estão à mesma pressão; as superfícies livres de vasos comunicantes ficam num só nível; uma pressão aplicada em qualquer ponto de um líquido confinado é transmitida sem atenuação a todos os pontos (princípio de Pascal).

Demonstração. Integre $\dd P/\dd z = -\rho g$ com $\rho$ constante; o resto é a horizontalidade das isóbaras e a unicidade de $P$ num dado nível. ∎

Exemplo 21.4 (Manômetros e prensas)

Um tubo em U de mercúrio ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) cujas colunas diferem de $h = 760\,\mathrm{mm}$ mede uma diferença de pressão $\rho gh = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ — a atmosfera, que sustenta uma coluna de $10.3\,\mathrm{m}$ de água. Uma prensa hidráulica: uma força $F_1$ sobre um pistão de área $S_1$ eleva a pressão de $F_1/S_1$ em todo o líquido; sobre o pistão grande $S_2$ ela dá $F_2 = F_1S_2/S_1$ — cinquenta vezes mais para cinquenta vezes a área, ao preço de cinquenta vezes menos curso (a energia se conserva: $F_1d_1 = F_2d_2$ ).

21.2 A atmosfera

Proposição 21.5 (Atmosfera isotérmica)

Para um gás perfeito de massa molar $M$ à temperatura uniforme $T$ numa gravidade uniforme,

P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg} ,

a altura de escala: cerca de $8\,\mathrm{km}$ para o ar; a pressão cai pela metade a cada $H\ln2 \approx 5.5\,\mathrm{km}$ .

Demonstração. $\rho = PM/RT$ (equação de estado), logo $\dd P/\dd z = -(Mg/RT)P$ : uma equação linear de primeira ordem, $P = P_0\eu^{-Mgz/RT}$ . ∎

Exemplo 21.6 (Ar rarefeito)

Com $T = 260\,\mathrm{K}$ (uma média sobre a baixa atmosfera), $H = 7.6\,\mathrm{km}$ : $P = 0.52P_0$ a $5000\,\mathrm{m}$ e $0.31P_0$ no cume do Everest — perto dos valores medidos, $0.54$ e $0.33$ ; a atmosfera real esfria com a altitude, o que o volume do segundo ano leva em conta. O modelo também diz por que o mar é diferente: a água é oitocentas vezes mais densa e quase incompressível, de modo que a sua pressão cresce linearmente, um bar a cada dez metros, sem altura de escala.

A atmosfera isotérmica: a pressão (e a densidade) cai exponencialmente com a altitude, dividindo-se por dois a cada 5.5\, km. Nove décimos do ar estão abaixo de 17\, km. — A atmosfera isotérmica: a pressão (e a densidade) cai exponencialmente com a altitude, dividindo-se por dois a cada $5.5\,\mathrm{km}$ . Nove décimos do ar estão abaixo de $17\,\mathrm{km}$ .

21.3 Forças sobre paredes

Proposição 21.7 (Força sobre uma parede vertical)

Um líquido de profundidade $h$ contra uma parede vertical retangular de largura $L$ (a pressão atmosférica agindo nas duas faces e se cancelando) exerce a força horizontal

F = \tfrac12\rho gh^2L ,

equivalente a uma única força aplicada no centro de pressão, à profundidade $2h/3$ — a resultante age embaixo, onde a pressão é maior.

Demonstração. À profundidade $x$ a pressão manométrica vale $\rho gx$ ; sobre a faixa de altura $\dd x$ a força vale $\rho gxL\,\dd x$ ; integre de $0$ a $h$ . O seu momento em relação à linha da superfície é $\int_0^h\rho gx^2L\,\dd x = \tfrac13\rho gh^3L$ ; dividindo por $F$ obtém-se o braço de alavanca $2h/3$ . ∎

A pressão sobre uma barragem cresce linearmente com a profundidade (setas), de modo que a resultante age a dois terços da profundidade: a parede tem de ser mais grossa embaixo. A força depende de h e de L, e não de quanta água há atrás. — A pressão sobre uma barragem cresce linearmente com a profundidade (setas), de modo que a resultante age a dois terços da profundidade: a parede tem de ser mais grossa embaixo. A força depende de $h$ e de $L$ , e não de quanta água há atrás.

Exemplo 21.8 (Uma barragem)

$h = 20\,\mathrm{m}$ , $L = 100\,\mathrm{m}$ : $F = \tfrac12 \times 1000 \times 9.81 \times 400 \times 100 = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ — vinte mil toneladas, aplicadas $13\,\mathrm{m}$ abaixo da superfície, o mesmo quer o lago atrás seja um açude ou um fiorde: é o paradoxo hidrostático.

21.4 O teorema de Arquimedes

Teorema 21.9 (Arquimedes)

Um corpo imerso num fluido em repouso recebe das forças de pressão uma resultante — o empuxo — igual e oposta ao peso do fluido que ele desloca,

\vect\Pi = -\rho_{\text{fluido}}V_{\text{imerso}}\,\vect g ,

aplicada no centro de massa do fluido deslocado (o centro de empuxo).

Demonstração. As forças de pressão sobre a superfície do corpo dependem apenas da forma dessa superfície e do fluido de fora. Substitua o corpo, em pensamento, por fluido em repouso ocupando o mesmo volume: esse fluido está em equilíbrio sob o seu peso e sob as mesmas forças de pressão, de modo que as forças de pressão equilibram o seu peso — a soma delas vale $-\rho V\vect g$ , aplicada no seu centro de massa. Desfaça a experiência de pensamento; as forças de pressão não mudaram. ∎

Corolário 21.10 (Flutuação)

Um corpo de densidade $\rho_b$ flutua num fluido de densidade $\rho_f > \rho_b$ com a fração $\rho_b/\rho_f$ do seu volume imersa; se $\rho_b > \rho_f$ ele afunda, com um peso aparente $(\rho_b - \rho_f)Vg$ .

Demonstração. O peso $\rho_bVg$ é igual ao empuxo $\rho_fV_{\text{im}}g$ . ∎

Um corpo que flutua: o seu peso, aplicado no seu centro de massa G, equilibra o empuxo, aplicado no centro de empuxo C (o centro do volume imerso). Gelo (= 917\, kg/ m3) em água do mar (1025\, kg/ m3): 89\% abaixo da superfície. — Um corpo que flutua: o seu peso, aplicado no seu centro de massa $G$ , equilibra o empuxo, aplicado no centro de empuxo $C$ (o centro do volume imerso). Gelo ( $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) em água do mar ( $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $89\%$ abaixo da superfície.

Exemplo 21.11 (Três empuxos)

Um densímetro é um tubo lastreado que afunda até deslocar o seu próprio peso: quanto mais denso o líquido, menos ele afunda — um medidor de densidade que se lê na haste. Um balão de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ de ar quente a $373\,\mathrm{K}$ desloca $3.4\,\mathrm{t}$ de ar frio e pesa $2.6\,\mathrm{t}$ de ar quente: $0.7\,\mathrm{t}$ de sustentação (Problema 20.1). Um navio de $100\,000\,\mathrm{t}$ desloca $97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ de água do mar; em água doce ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) ele precisa deslocar $2.5\%$ a mais e afunda mais — daí as marcas de Plimsoll no seu casco.

Observação 21.12 (Estabilidade)

Um corpo que flutua, inclinado de um pequeno ângulo, é restaurado se o empuxo, agora aplicado no centro deslocado do novo volume imerso, produz um momento de endireitamento — o que acontece quando o metacentro (o ponto em que a linha de ação do empuxo encontra o eixo do corpo) fica acima de $G$ . Lastro no fundo do casco baixa $G$ e estabiliza o navio; um barco pesado em cima emborca.

21.5 Exercícios

Exercício 21.1 ★

Pressão absoluta a $10\,\mathrm{m}$ , $100\,\mathrm{m}$ e $1\,\mathrm{km}$ sob o mar ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); força sobre uma vigia de $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ a $300\,\mathrm{m}$ .

Solução

Solução de Exercício 21.1.

$P = P_0 + \rho gh$ : $2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ( $2.0\,\mathrm{bar}$ ), $1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ ( $11\,\mathrm{bar}$ ), $1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ ( $101\,\mathrm{bar}$ ). A $300\,\mathrm{m}$ : $P = 3.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ , força $3.1\,\mathrm{MN}$ sobre $1\,\mathrm{m}^{2}$ (resultante, contra $1\,\mathrm{atm}$ do lado de dentro: $3.0\,\mathrm{MN}$ ).

Exercício 21.2 ★

Altura de uma coluna de mercúrio que equilibra $1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; e de uma coluna de água. Por que uma bomba de sucção não consegue elevar a água mais do que uns $10\,\mathrm{m}$ ?

Solução

Solução de Exercício 21.2.

$h = P/\rho g$ : mercúrio $0.760\,\mathrm{m}$ ; água $10.3\,\mathrm{m}$ . Uma bomba pode, no melhor dos casos, fazer vácuo acima da água: a atmosfera então empurra a coluna para cima de $10.3\,\mathrm{m}$ , e não mais.

Exercício 21.3 ★

Um macaco hidráulico: $100\,\mathrm{N}$ sobre um pistão de $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ , carga sobre um pistão de $200\,\mathrm{cm}^{2}$ ; distâncias percorridas por cada um se o pistão pequeno anda $20\,\mathrm{cm}$ .

Solução

Solução de Exercício 21.3.

$F_2 = F_1S_2/S_1 = 10\,\mathrm{kN}$ (uma tonelada); $d_2 = d_1S_1/S_2 = 2.0\,\mathrm{mm}$ (mesmo volume deslocado, mesmo trabalho).

Exercício 21.4 ★

Um tubo em U contém água; despeja-se óleo ( $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) num dos ramos, formando uma coluna de $12\,\mathrm{cm}$ . Diferença de altura entre as duas superfícies livres.

Solução

Solução de Exercício 21.4.

Mesma pressão no nível da interface óleo–água nos dois ramos: $\rho_og h_o = \rho_wgh_w$ , $h_w = 0.85 \times 12 = 10.2\,\mathrm{cm}$ de água acima desse nível no outro ramo; a superfície do óleo fica $12 - 10.2 = 1.8\,\mathrm{cm}$ mais alta.

Exercício 21.5 ★★

Altura de escala da atmosfera a $273\,\mathrm{K}$ ; pressão a $5000\,\mathrm{m}$ e a $8848\,\mathrm{m}$ ; altitude em que $P = P_0/2$ . Compare com os valores citados no Capítulo 20.

Solução

Solução de Exercício 21.5.

$H = RT/Mg = 8.314 \times 273/(0.029 \times 9.81) = 8.0\,\mathrm{km}$ ; $P/P_0 = \eu^{-z/H}$ : $0.54$ a $5\,\mathrm{km}$ , $0.33$ a $8848\,\mathrm{m}$ ; metade em $H\ln2 = 5.5\,\mathrm{km}$ — os números usados no Capítulo 20.

Exercício 21.6 ★★

Uma barragem retangular de $100\,\mathrm{m}$ de largura segura $20\,\mathrm{m}$ de água. Força total, profundidade do centro de pressão e momento da água em relação à base da barragem. Por que uma barragem é curvada na direção da água?

Solução

Solução de Exercício 21.6.

$F = \tfrac12\rho gh^2L = 1.96 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ ; centro de pressão à profundidade de $13.3\,\mathrm{m}$ , isto é, $6.7\,\mathrm{m}$ acima da base; momento em relação à base $F \times 6.7 = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . Curvar a barragem na direção da água transforma o empurrão em compressão do arco, levada às encostas do vale.

Exercício 21.7 ★★

Fração de um iceberg abaixo da superfície (gelo $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , água do mar $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); de um tronco de densidade $600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ em água doce; uma balsa de $2.0\,\mathrm{m}^{3}$ dessa madeira consegue levar quantas pessoas de $75\,\mathrm{kg}$ antes que o seu convés fique alagado?

Solução

Solução de Exercício 21.7.

$917/1025 = 89\%$ ; tronco $60\%$ . Balsa: empuxo com imersão total $1000 \times 2.0 \times 9.81 = 19.6\,\mathrm{kN}$ , peso próprio $11.8\,\mathrm{kN}$ : $7.8\,\mathrm{kN}$ de sobra, dez pessoas… a décima com os pés molhados: nove para ficar seco ( $800\,\mathrm{kg}$ ).

Exercício 21.8 ★★

Um densímetro de massa $20\,\mathrm{g}$ , com uma haste de seção $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ , flutua em água com $4.0\,\mathrm{cm}$ de haste emersa. Quanta haste emerge numa salmoura de densidade $1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ? Sensibilidade (cm por unidade de densidade relativa)?

Solução

Solução de Exercício 21.8.

Volume imerso $m/\rho$ : em água $20\,\mathrm{cm}^{3}$ ; em salmoura $20/1.1 = 18.2\,\mathrm{cm}^{3}$ , $1.8\,\mathrm{cm}^{3}$ a menos, isto é, $1.8/0.50 = 3.6\,\mathrm{cm}$ a mais de haste: $7.6\,\mathrm{cm}$ emersos. Sensibilidade $\approx m/(\rho^2S) \approx 40\,\mathrm{cm}$ por unidade de densidade relativa ( $3.6\,\mathrm{cm}$ por $0.1$ ).

Exercício 21.9 ★★

Um submarino de volume $3000\,\mathrm{m}^{3}$ tem massa de $2800\,\mathrm{t}$ com os tanques de lastro vazios. Fração emersa na superfície (água do mar); massa de água a admitir para ficar em equilíbrio indiferente; e se ele entrar depois num estuário de água doce?

Solução

Solução de Exercício 21.9.

Volume deslocado $2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : $268\,\mathrm{m}^{3}$ ( $9\%$ ) emergem. Equilíbrio indiferente: massa $1025 \times 3000 = 3075\,\mathrm{t}$ : admitir $275\,\mathrm{t}$ . Água doce: o empuxo cai para $3000\,\mathrm{t}$ : $75\,\mathrm{t}$ pesado demais — ele afunda a menos que $75\,\mathrm{t}$ sejam bombeadas para fora.

Exercício 21.10 ★★★

Um balão de criança contém $10\,\mathrm{L}$ de hélio ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) a $1\,\mathrm{bar}$ e $293\,\mathrm{K}$ ; a borracha pesa $3.0\,\mathrm{g}$ . Sustentação líquida; massa de barbante que ele consegue carregar.

Solução

Solução de Exercício 21.10.

Ar deslocado: $10^{-2} \times 1.20 = 12.0\,\mathrm{g}$ ; hélio dentro $12.0 \times 4/29 = 1.7\,\mathrm{g}$ ; borracha $3.0\,\mathrm{g}$ : sustentação líquida $7.3\,\mathrm{g}$ — sete metros de barbante leve.

Exercício 21.11 ★★★

Prove que o centro de pressão sobre uma parede vertical retangular fica a $2h/3$ calculando o momento das forças de pressão em relação à linha da superfície. Onde ele fica para uma parede só parcialmente submersa, digamos da profundidade $h_1$ à $h_2$ ?

Solução

Solução de Exercício 21.11.

Momento $\int_0^h\rho gx\cdot xL\,\dd x = \rho gLh^3/3$ , força $\rho gLh^2/2$ : braço $2h/3$ . De $h_1$ a $h_2$ : momento $\rho gL(h_2^3 - h_1^3)/3$ , força $\rho gL(h_2^2 - h_1^2)/2$ : profundidade $\frac23(h_2^3 - h_1^3)/(h_2^2 - h_1^2)$ .

Exercício 21.12 ★★★

Um densímetro cilíndrico (massa $m$ , seção $S$ ) que flutua num líquido de densidade $\rho$ é empurrado para baixo de $x$ e solto. Mostre que ele oscila harmonicamente e dê o período; calcule-o para $m = 20\,\mathrm{g}$ , $S = 0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ , em água. (Exemplo 14.3 revisitado.)

Solução

Solução de Exercício 21.12.

Uma imersão suplementar $x$ acrescenta o empuxo $\rho gSx$ para cima: $m\ddot x = -\rho gSx$ , $\omega_0^2 = \rho gS/m$ , $T = 2\pi\sqrt{m/\rho gS} = 2\pi\sqrt{0.020/(1000 \times 9.81 \times 5\times10^{-5})} = 1.3\,\mathrm{s}$ .

Enchendo um balão de ar quente: o ar aquecido é menos denso do que o ar frio em volta, e o empuxo de Arquimedes sobre o envelope supera o seu peso.

21.6 Problema: o submarino

Problema 21.1

Problema de fim de semana — um casco de aço a trezentos metros de profundidade: a pressão sobre as suas chapas, a água que ele tem de engolir para descer e cuspir para subir, a mergulhadora que sai dele e o petroleiro que passa lá em cima

Água do mar: $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; água doce $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . O casco do submarino encerra $V = 3000\,\mathrm{m}^{3}$ ; com os tanques de lastro vazios a sua massa é $m_0 = 2800\,\mathrm{t}$ .

Parte I — A pressão sobre o casco.

Pressão absoluta a $300\,\mathrm{m}$ , em pascals e em bars.
Força sobre uma escotilha circular de $0.80\,\mathrm{m}$ de diâmetro nessa profundidade; compare com o peso de um caminhão.
Força sobre um metro quadrado de casco na quilha, se o casco tem $10\,\mathrm{m}$ de altura e o topo está a $300\,\mathrm{m}$ : quão diferente do topo?
A água é ligeiramente compressível ( $\chi_T = 4.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ): de que fração a água do mar é mais densa a $300\,\mathrm{m}$ do que na superfície? Isso importa para a pressão calculada acima?
A tripulação lá dentro respira ar a $1\,\mathrm{atm}$ : por que o casco precisa ser um cilindro espesso, e por que um cilindro resiste melhor do que uma caixa de faces planas?
Uma casca cilíndrica fina de raio $R$ e espessura de parede $e$ sob uma sobrepressão externa $\Delta P$ suporta na parede uma tensão de compressão $\Delta P\,R/e$ . Para $R = 5.0\,\mathrm{m}$ e $e = 3.0\,\mathrm{cm}$ a $300\,\mathrm{m}$ , calcule-a e compare com o limite de escoamento do aço, cerca de $600\,\mathrm{MPa}$ .

Parte II — Afundar e flutuar.

Na superfície, com os tanques vazios, que volume do casco emerge?
Que massa de água do mar os tanques de lastro precisam admitir para o submarino ficar em equilíbrio indiferente?
Uma vez em equilíbrio indiferente a $300\,\mathrm{m}$ , o casco é comprimido de $0.1\%$ pela pressão. Calcule a força resultante e diga se o equilíbrio é estável em relação à profundidade.
O barco navega em equilíbrio indiferente do mar para um estuário de água doce. Força resultante? Para que lado ele vai, e o que a tripulação tem de fazer?
Um torpedo de $20\,\mathrm{t}$ é disparado. O que o sistema de lastro tem de fazer imediatamente, e de quanto?
Por que um submarino usa ar comprimido para esvaziar os seus tanques, e por que a pressão desse ar é o limite da profundidade em que ele pode esvaziá-los?
Estime o volume de ar a $1\,\mathrm{atm}$ necessário para esvaziar $275\,\mathrm{m}^{3}$ de tanques a $300\,\mathrm{m}$ (lei de Boyle, $PV$ constante).

Parte III — A mergulhadora. Uma mergulhadora deixa a superfície com $6.0\,\mathrm{L}$ de ar nos pulmões.

Pressão absoluta a $10\,\mathrm{m}$ e a $30\,\mathrm{m}$ .
Se ela desce prendendo a respiração, qual é o volume dos seus pulmões a $30\,\mathrm{m}$ ?
Uma mergulhadora com cilindro respira ar à pressão ambiente a $30\,\mathrm{m}$ e sobe prendendo a respiração: volume que os seus pulmões precisariam ter na superfície, e a lição.
Um snorkel de $1.0\,\mathrm{m}$ : diferença de pressão entre a água sobre o peito da mergulhadora e o ar dos seus pulmões; força sobre um peito de $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ ; ela consegue inspirar?
O cilindro contém $12\,\mathrm{L}$ a $200\,\mathrm{bar}$ : quantos litros de ar a $30\,\mathrm{m}$ isso dá, e por quanto tempo a $20\,\mathrm{L}$ por minuto?

Parte IV — O petroleiro lá em cima.

Um petroleiro de $100\,000\,\mathrm{t}$ flutua em água do mar: volume de água deslocado.
A sua área de flutuação é $8000\,\mathrm{m}^{2}$ : de quanto ele sobe ou desce ao entrar em água doce?
Carregando $10\,000\,\mathrm{t}$ de petróleo: variação do calado.
O petroleiro vazio tem o centro de massa alto e leva água do mar como lastro quando está vazio. Por quê, em termos do metacentro?
O casco do petroleiro na quilha (calado de $20\,\mathrm{m}$ ): pressão e força por metro quadrado, comparadas com as do submarino a $300\,\mathrm{m}$ .
O petroleiro passa exatamente por cima do submarino. O submarino sente as suas $100\,000\,\mathrm{t}$ ? Explique com o campo de pressão.
Resuma: a única relação que fixou todos os números deste problema, e o teorema que dela decorreu.

Solução

Solução de Problema 21.1.

1. $P = 1.013\times10^5 + 1025 \times 9.81 \times 300 = 3.12 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 31\,\mathrm{bar}$ .

2. $S = \pi(0.40)^2 = 0.503\,\mathrm{m}^{2}$ : força resultante $(P - P_0)S = 1.52 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — 155 toneladas, um caminhão carregado sobre uma escotilha.

3. Quilha $10\,\mathrm{m}$ mais fundo: $+\rho g \times 10 = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ a mais, $3\%$ : o casco é carregado quase uniformemente.

4. $\Delta\rho/\rho = \chi_T\Delta P = 4.6\times10^{-10} \times 3.0\times10^6 = 0.14\%$ : desprezível para a pressão (alguns quilopascals em três milhões).

5. Trinta bars do lado de fora, um do lado de dentro: o casco é um vaso de pressão carregado para dentro; um cilindro (ou uma esfera) transforma a pressão em compressão ao longo da parede, coisa que o aço resiste bem, ao passo que uma chapa plana se dobraria.

6. $\Delta P\,R/e = 3.0\times10^6 \times 5.0/0.030 = 5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ : perto do limite de escoamento — $300\,\mathrm{m}$ está no limite para este casco, e barcos mais profundos exigem aço mais espesso ou mais resistente (ou titânio).

7. Volume deslocado $m_0/\rho = 2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : $268\,\mathrm{m}^{3}$ emergem ( $9\%$ ).

8. Equilíbrio indiferente: $m = \rho V = 3075\,\mathrm{t}$ : admitir $275\,\mathrm{t}$ .

9. O empuxo cai de $0.1\%$ de $\rho Vg$ : $0.001 \times 3075 \times 9.81 \times10^3 = 30\,\mathrm{kN}$ para baixo (três toneladas). Mais fundo $\Rightarrow$ mais compressão $\Rightarrow$ mais pesado: instável — um submarino tem de corrigir o lastro continuamente (e um casco de aço se comprime menos do que a água, o que ajuda; um casco flexível demais afundaria sem volta).

10. Empuxo $1000 \times 3000 \times 9.81 = 29.4\,\mathrm{MN}$ contra o peso $3075 \times 9.81 \times 10^3 = 30.2\,\mathrm{MN}$ : $0.74\,\mathrm{MN}$ para baixo ( $75\,\mathrm{t}$ ); bombear $75\,\mathrm{t}$ para fora.

11. Imediatamente $20\,\mathrm{t}$ mais leve: admitir $20\,\mathrm{t}$ de água ( $19.5\,\mathrm{m}^{3}$ ) nos tanques de compensação.

12. A água só pode ser expulsa por algo a pressão mais alta do que a do mar do lado de fora; o ar comprimido dos cilindros a empurra para fora — mas só enquanto a pressão dos cilindros exceder a pressão ambiente naquela profundidade.

13. $PV$ constante: $275\,\mathrm{m}^{3}$ a $31\,\mathrm{bar}$ exigem $275 \times 31 = 8500\,\mathrm{m}^{3}$ de ar a $1\,\mathrm{atm}$ — guardados a $200\,\mathrm{bar}$ em $43\,\mathrm{m}^{3}$ de cilindros.

14. $2.0\,\mathrm{bar}$ a $10\,\mathrm{m}$ ; $4.0\,\mathrm{bar}$ a $30\,\mathrm{m}$ .

15. $PV$ constante: $6.0/4.0 = 1.5\,\mathrm{L}$ — a caixa torácica é esmagada para dentro; os apneístas sentem isso.

16. O ar tomado a $4\,\mathrm{bar}$ se expande quatro vezes: $24\,\mathrm{L}$ em pulmões que comportam $6\,\mathrm{L}$ : ruptura. Nunca prenda a respiração na subida; expire continuamente.

17. $\Delta P = \rho g \times 1.0 = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ ; força $1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa} \times 0.05 = 500\,\mathrm{N}$ sobre o peito: os músculos respiratórios não levantam cinquenta quilos — um snorkel só funciona nos primeiros decímetros.

18. $12 \times 200 = 2400\,\mathrm{L}$ a $1\,\mathrm{bar}$ , isto é, $600\,\mathrm{L}$ a $4\,\mathrm{bar}$ : $30\,\mathrm{min}$ .

19. $V = 10^8/1025 = 97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ .

20. Em água doce ele precisa deslocar $10^5\ \mathrm{m}^{3}$ : $2400\,\mathrm{m}^{3}$ a mais, isto é, $2400/8000 = 0.30\,\mathrm{m}$ mais fundo.

21. $10^4/1.025 = 9756\,\mathrm{m}^{3}$ a mais: $1.2\,\mathrm{m}$ mais fundo.

22. Vazio, o $G$ do navio fica alto e pouco casco está imerso: o metacentro pode cair abaixo de $G$ e o navio emborcar numa onda. Água do mar no fundo do casco baixa $G$ e aumenta o calado.

23. $\rho gh = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $0.2\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ : quinze vezes menos do que os $3\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ do submarino.

24. Não: a pressão à profundidade do submarino vale $P_0 + \rho gh$ , fixada só pela profundidade. O peso do petroleiro é sustentado pela água que ele desloca, o que eleva o nível do mar em toda parte de uma quantidade imensurável; nenhuma carga suplementar chega ao submarino.

25. $\dd P/\dd z = -\rho g$ — donde $P = P_0 + \rho gh$ para toda profundidade, força e volume pulmonar aqui — e o teorema de Arquimedes, que é essa relação integrada sobre uma superfície fechada.