Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

24Máquinas térmicas

O motor de um carro, uma usina elétrica, uma geladeira e uma bomba de calor são o mesmo objeto visto de quatro lados: um fluido levado por um ciclo, em contato alternadamente com uma fonte quente e uma fria, trocando calor com as duas e trabalho com um eixo. A primeira lei faz a contabilidade da energia; a segunda, pelo balanço de entropia ao longo de um ciclo, fixa o limite que nenhuma esperteza vence — o teorema de Carnot, a desigualdade de maiores consequências de toda a engenharia. Este capítulo deduz esse limite, calcula o ciclo ideal e os ciclos reais que dele se aproximam (Otto, Diesel, Stirling), inverte a máquina para fazer frio e para aquecer casas, e mostra como a entropia criada por uma máquina real é paga, joule a joule, em trabalho perdido.

24.1 Máquinas cíclicas e as duas leis

Definição 24.1 (Máquina termodinâmica)

Uma máquina termodinâmica é um sistema fechado (o fluido de trabalho) levado por um ciclo, de modo que ele volta periodicamente ao mesmo estado, enquanto troca trabalho $W$ com o exterior e calor $Q_i$ com fontes às temperaturas $T_i$ — os termostatos, cuja temperatura a troca não altera. Uma máquina ditérmica usa dois termostatos, a fonte quente a $T_h$ e a fonte fria a $T_c < T_h$ . Ela é uma máquina motriz se fornece trabalho ( $W < 0$ ), um refrigerador se é acionada ( $W > 0$ ) para tirar calor da fonte fria, e uma bomba de calor se é acionada para ceder calor à fonte quente. Todas as grandezas são contadas ao longo de um ciclo, algebricamente, como recebidas pelo fluido.

Teorema 24.2 (As duas leis num ciclo; desigualdade de Clausius)

Ao longo de um ciclo de uma máquina ditérmica,

W + Q_h + Q_c = 0 , \qquad \frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_{\mathrm{created}} \leq 0 ,

com igualdade na segunda relação se e somente se o ciclo for reversível. Mais geralmente, para um número qualquer de termostatos, $\sum_i Q_i/T_i \leq 0$ (desigualdade de Clausius).

Demonstração. $U$ e $S$ são funções de estado, logo $\Delta U = 0$ e $\Delta S = 0$ ao longo de um ciclo. A primeira lei dá $0 = W + Q_h + Q_c$ ; o balanço de entropia (Teorema 23.1) dá $0 = S_{\mathrm{exch}} + S_{\mathrm{created}}$ com $S_{\mathrm{exch}} = \sum Q_i/T_i$ , pois cada termostato troca à sua própria temperatura fixa (Proposição 23.5). ∎

Corolário 24.3 (Kelvin de novo)

Uma máquina monotérmica ( $Q_c = 0$ ) tem $Q_h \leq 0$ , donde $W \geq 0$ : nenhum ciclo pode converter em trabalho o calor de uma única fonte. Um navio não pode navegar esfriando o mar — uma máquina motriz precisa de uma fonte fria onde rejeitar calor, e a segunda lei diz quanto ela tem de rejeitar.

Os dois sentidos de um ciclo ditérmico. À esquerda: a máquina motriz toma calor da fonte quente, rejeita parte dele à fria e fornece a diferença como trabalho. À direita: a mesma máquina acionada ao contrário bombeia calor do frio para o quente; é um refrigerador se se quer Q_c, e uma bomba de calor se se quer |Q_h|. — Os dois sentidos de um ciclo ditérmico. À esquerda: a máquina motriz toma calor da fonte quente, rejeita parte dele à fria e fornece a diferença como trabalho. À direita: a mesma máquina acionada ao contrário bombeia calor do frio para o quente; é um refrigerador se se quer $Q_c$ , e uma bomba de calor se se quer $|Q_h|$ .

24.2 O teorema de Carnot

Definição 24.4 (Rendimento e coeficientes de desempenho)

O rendimento de uma máquina motriz é o trabalho fornecido por unidade de calor tomado da fonte quente, $\eta = -W/Q_h$ ; o coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador é o frio produzido por unidade de trabalho, $e_f = Q_c/W$ ; o de uma bomba de calor é o calor cedido por unidade de trabalho, $e_p = -Q_h/W$ . Cada um é a razão entre “o que se quer” e “o que se paga”; um rendimento vale no máximo 1, mas um COP pode passar de 1.

Teorema 24.5 (Carnot)

Entre termostatos $T_h > T_c$ ,

\eta \leq \eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad e_f \leq \frac{T_c}{T_h - T_c}, \qquad e_p \leq \frac{T_h}{T_h - T_c} = 1 + \frac{T_c}{T_h - T_c},

com igualdade se e somente se o ciclo for reversível. Os limites dependem só das temperaturas — não do fluido, não do mecanismo.

Demonstração. Para uma máquina motriz ( $Q_h > 0$ ): $\eta = -W/Q_h = (Q_h + Q_c)/Q_h = 1 + Q_c/Q_h$ , e a desigualdade de Clausius dá $Q_c/Q_h \leq -T_c/T_h$ . Para um refrigerador ( $Q_c > 0$ , $W > 0$ ): $W = -Q_h - Q_c$ com $-Q_h \geq Q_c T_h/T_c$ , logo $W \geq Q_c(T_h/T_c - 1)$ e $e_f = Q_c/W \leq T_c/(T_h - T_c)$ . Para a bomba de calor, $e_p = -Q_h/W = (W + Q_c)/W = 1 + e_f$ . A igualdade é o caso reversível $S_{\mathrm{created}} = 0$ em toda parte. ∎

Exemplo 24.6 (Três números)

Uma turbina a vapor entre $T_h = 800\,\mathrm{K}$ e um rio a $T_c = 300\,\mathrm{K}$ : $\eta_C = 0.625$ ; as usinas reais chegam a uns $0.40$ . Uma geladeira doméstica entre $275\,\mathrm{K}$ dentro e uma cozinha a $298\,\mathrm{K}$ : $e_f \leq 275/23 = 12$ ; as máquinas reais dão $2$ a $4$ . Uma bomba de calor que aquece uma casa a $293\,\mathrm{K}$ a partir do ar a $273\,\mathrm{K}$ : $e_p \leq 293/20 = 14.7$ ; as bombas reais dão $3$ a $5$ — ainda assim, três a cinco vezes o que a mesma eletricidade daria numa resistência (Problema 24.1).

Observação 24.7 (Por que o rendimento não pode ser 1)

Uma máquina motriz recebe a entropia $Q_h/T_h$ com o calor que toma; o trabalho não leva nenhuma embora; a única saída é o calor rejeitado à fonte fria, que leva $|Q_c|/T_c$ . Como a entropia não pode ser destruída, pelo menos $Q_h T_c/T_h$ de calor tem de ser jogado fora, e o trabalho é o que sobra. Quanto mais baixa a fonte fria e mais alta a quente, melhor — daí as torres de resfriamento e a busca de pás de turbina cada vez mais quentes.

24.3 O ciclo de Carnot

Definição 24.8 (Ciclo de Carnot)

O ciclo de Carnot é o ciclo ditérmico reversível: duas isotermas reversíveis, a $T_h$ (em contato com a fonte quente) e a $T_c$ (com a fria), ligadas por dois trechos adiabáticos reversíveis (isentrópicos, sem fonte em contato). Percorrido no sentido horário no plano $(V, P)$ ele é uma máquina motriz; no sentido anti-horário, um refrigerador ou uma bomba de calor. No diagrama entrópico ele é um retângulo.

Proposição 24.9 (Ciclo de Carnot de um gás perfeito)

Para $n$ mols de gás perfeito levados por $A \to B$ (isoterma $T_h$ , expansão), $B \to C$ (adiabática), $C \to D$ (isoterma $T_c$ , compressão), $D \to A$ (adiabática):

Q_h = nRT_h\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad Q_c = -nRT_c\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ,

o valor de Carnot — como tem de ser para qualquer ciclo ditérmico reversível.

Demonstração. Numa isoterma $\Delta U = 0$ , logo $Q = -W = nRT\ln(V_{\text{final}}/ V_{\text{inicial}})$ . Nas adiabáticas $TV^{\gamma-1}$ é constante: $T_hV_B^{\gamma-1} = T_cV_C^{\gamma-1}$ e $T_hV_A^{\gamma-1} = T_cV_D^{\gamma-1}$ , donde $V_C/V_D = V_B/V_A$ e $Q_c = nRT_c\ln(V_D/V_C) = -nRT_c\ln(V_B/V_A)$ . Então $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h$ . ∎

O ciclo de Carnot de um gás perfeito. À esquerda: no diagrama de Clapeyron, duas isotermas e duas adiabáticas (mais inclinadas), percorridas no sentido horário; a área encerrada é o trabalho fornecido. À direita: o mesmo ciclo no diagrama entrópico é um retângulo de altura T_h - T_c e largura Q_h/T_h; a sua área é de novo -W, e a razão entre essa área e a área sob o lado de cima, Q_h, vale 1 - T_c/T_h a olho nu. — O ciclo de Carnot de um gás perfeito. À esquerda: no diagrama de Clapeyron, duas isotermas e duas adiabáticas (mais inclinadas), percorridas no sentido horário; a área encerrada é o trabalho fornecido. À direita: o mesmo ciclo no diagrama entrópico é um retângulo de altura $T_h - T_c$ e largura $Q_h/T_h$ ; a sua área é de novo $-W$ , e a razão entre essa área e a área sob o lado de cima, $Q_h$ , vale $1 - T_c/T_h$ a olho nu.

Observação 24.10 (O ciclo de Carnot é um teorema, não um motor)

As isotermas reversíveis exigem uma transferência de calor infinitamente lenta através de uma diferença de temperatura que tende a zero: uma máquina de Carnot fornece o seu trabalho máximo com potência nula. As máquinas reais trocam rendimento por potência aceitando diferenças finitas de temperatura nos seus trocadores (Exercício 24.10); o valor de Carnot continua sendo o teto com que todo projeto é comparado.

24.4 Ciclos de máquinas reais

Proposição 24.11 (Ciclo Otto)

O motor a gasolina idealizado leva o ar ( $\gamma$ ) por: $1 \to 2$ compressão adiabática de $V_1$ a $V_2$ (taxa de compressão $r = V_1/V_2$ ); $2 \to 3$ aquecimento isocórico (a combustão); $3 \to 4$ expansão adiabática de volta a $V_1$ ; $4 \to 1$ resfriamento isocórico (o escapamento). O seu rendimento vale

\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} .

Demonstração. O calor só é trocado nas isocóricas: $Q_h = nC_{V,m}(T_3 - T_2)$ e $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$ . Nas adiabáticas $TV^{\gamma-1}$ é constante: $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ e $T_3 = T_4r^{\gamma-1}$ , logo $T_3 - T_2 = (T_4 - T_1)r^{\gamma-1}$ e $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - (T_4 - T_1)/(T_3 - T_2) = 1 - r^{1-\gamma}$ . ∎

Exemplo 24.12 (Números para um motor a gasolina)

$r = 9$ , $\gamma = 1.4$ : $9^{0.4} = 2.41$ e $\eta = 0.58$ . Um motor real dá uns $0.30$ : a combustão não é instantânea, o gás não é perfeito a $2500\,\mathrm{K}$ , o calor foge para as paredes, e o atrito e o bombeamento cobram a sua parte. Aumentar $r$ ajuda — até que a mistura ar–combustível se acenda sozinha no fim da compressão (a detonação); o motor diesel transforma esse vício no seu princípio.

Proposição 24.13 (Ciclo Diesel)

Substitua o aquecimento isocórico do ciclo Otto por um isobárico, de $V_2$ a $V_3 = \rho V_2$ (razão de corte $\rho > 1$ ): o combustível injetado no ar já quente por uma taxa de compressão $r$ de $15$ a $22$ queima à medida que chega. Então

\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}\,\frac{\rho^{\gamma} - 1}{\gamma(\rho - 1)} ,

menor que o valor de Otto para o mesmo $r$ , mas atingido com $r$ muito maiores, e por isso maior na prática ( $0.40$ a $0.45$ nos motores grandes).

Demonstração. $Q_h = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ , $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$ , logo $\eta = 1 - (T_4 - T_1)/[\gamma(T_3 - T_2)]$ . Com $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ , $T_3 = \rho T_2$ e, na adiabática $3 \to 4$ ( $V_4 = V_1 = rV_2$ ), $T_4 = T_3(V_3/V_4)^{\gamma-1} = \rho T_1 r^{\gamma-1}(\rho/r)^{\gamma-1} = T_1\rho^{\gamma}$ : $\eta = 1 - (\rho^\gamma - 1)/[\gamma r^{\gamma-1}(\rho - 1)]$ . ∎

À esquerda: o ciclo Otto no diagrama de Clapeyron (desenhado com r = 4): duas adiabáticas e duas isocóricas; o calor entra no ponto morto superior e sai com o escapamento. À direita: rendimentos ideais em função da taxa de compressão; as linhas tracejadas marcam um motor a gasolina (r = 9) e um diesel (r = 18, = 2). — À esquerda: o ciclo Otto no diagrama de Clapeyron (desenhado com $r = 4$ ): duas adiabáticas e duas isocóricas; o calor entra no ponto morto superior e sai com o escapamento. À direita: rendimentos ideais em função da taxa de compressão; as linhas tracejadas marcam um motor a gasolina ( $r = 9$ ) e um diesel ( $r = 18$ , $\rho = 2$ ).

Proposição 24.14 (Ciclo Stirling e o regenerador)

Duas isotermas ( $T_c$ , $T_h$ ) ligadas por duas isocóricas. O calor dos trechos isocóricos, $\pm nC_{V,m}(T_h - T_c)$ , é igual e de sinais opostos; se ele for armazenado no trecho de resfriamento num regenerador (uma massa porosa através da qual o gás escoa) e devolvido no trecho de aquecimento, só as isotermas trocam com as fontes, e $\eta = 1 - T_c/T_h$ : o motor Stirling é um motor de Carnot em tudo menos na forma do seu ciclo. Sem o regenerador o calor das isocóricas tem de vir da fonte quente e $\eta = \dfrac{nR(T_h - T_c)\ln(V_1/V_2)}{nRT_h\ln(V_1/V_2) + nC_{V,m}(T_h - T_c)}$ , bem menor (Exercício 24.8).

Demonstração. Nas isotermas $Q_h = nRT_h\ln(V_1/V_2)$ e $Q_c = -nRT_c\ln(V_1/V_2)$ , logo $-W = Q_h + Q_c + 0$ assim que os calores isocóricos se cancelam; divida pelo calor efetivamente tirado da fonte quente em cada caso. ∎

Observação 24.15 (Turbinas a vapor e a gás)

As usinas elétricas não usam um gás num cilindro, mas água fervida, expandida através de uma turbina, condensada e bombeada de volta (o ciclo Rankine, com duas mudanças de fase — Capítulo 25), ou ar comprimido, aquecido pela combustão e expandido numa turbina a gás (o ciclo Brayton, duas adiabáticas e duas isobáricas). A sua análise exige o balanço de energia de um fluido em escoamento, dado no volume do segundo ano; o limite de Carnot e a lógica deste capítulo se aplicam sem mudança.

24.5 Refrigeradores e bombas de calor

Definição 24.16 (Ciclo de compressão de vapor)

Quase toda geladeira, congelador, ar-condicionado e bomba de calor faz um fluido refrigerante circular por quatro componentes: um compressor (recebe o trabalho e eleva a pressão do vapor), um condensador (o vapor quente se liquefaz a alta pressão, liberando $|Q_h|$ para o lado quente), uma válvula de expansão (o líquido cai à baixa pressão sem trabalho nem calor, e em parte vira vapor) e um evaporador (o resto ferve a baixa pressão, absorvendo $Q_c$ do lado frio). O calor é transportado como calor latente de vaporização, e as duas pressões fixam as duas temperaturas de ebulição (Capítulo 25).

O ciclo de compressão de vapor. O fluido refrigerante ferve no evaporador, mais frio do que o lado frio, e condensa no condensador, mais quente do que o lado quente: o calor escoa no sentido natural em cada trocador, e o compressor paga por erguê-lo de T_ ev a T_ cd. — O ciclo de compressão de vapor. O fluido refrigerante ferve no evaporador, mais frio do que o lado frio, e condensa no condensador, mais quente do que o lado quente: o calor escoa no sentido natural em cada trocador, e o compressor paga por erguê-lo de $T_{\mathrm{ev}}$ a $T_{\mathrm{cd}}$ .

Proposição 24.17 (O preço das diferenças de temperatura)

Uma máquina reversível que trabalha entre as suas próprias temperaturas internas $T_{\mathrm{ev}} < T_c$ e $T_{\mathrm{cd}} > T_h$ tem $e_p = T_{\mathrm{cd}}/(T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}})$ , menor que o valor de Carnot entre as fontes; uma máquina real atinge uma fração (tipicamente $0.4$ a $0.6$ ) até mesmo desse valor. O desempenho de uma bomba de calor cai, portanto, quando a temperatura externa baixa e quando a temperatura exigida pelo circuito de aquecimento sobe.

Demonstração. Aplique o Teorema 24.5 ao fluido, cujos termostatos são, de fato, as temperaturas dos trocadores; $T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}} > T_h - T_c$ baixa a razão. ∎

Coeficiente de desempenho de uma bomba de calor em função da temperatura externa: o limite de Carnot entre a casa (20 C) e o ar externo; o limite quando se contam as diferenças de temperatura nos trocadores (T_ cd = 313\, K, T_ ev = T_ out - 8\, K); e uma máquina realista a 0.55 deste último. Mesmo a -10 C a bomba real fornece cerca de três joules de calor por joule de eletricidade, onde uma resistência dá um. — Coeficiente de desempenho de uma bomba de calor em função da temperatura externa: o limite de Carnot entre a casa ( $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) e o ar externo; o limite quando se contam as diferenças de temperatura nos trocadores ( $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ , $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ ); e uma máquina realista a $0.55$ deste último. Mesmo a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ a bomba real fornece cerca de três joules de calor por joule de eletricidade, onde uma resistência dá um.

Exemplo 24.18 (Bomba de calor ou resistência?)

Uma casa que perde $6\,\mathrm{kW}$ com $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ lá fora precisa de $6\,\mathrm{kW}$ de eletricidade com resistências; uma bomba de calor ideal de $268\,\mathrm{K}$ a $293\,\mathrm{K}$ precisaria de $6/11.7 = 0.51\,\mathrm{kW}$ ; uma real com temperaturas de trocador de $260\,\mathrm{K}$ e $313\,\mathrm{K}$ e um fator de qualidade $0.55$ , $e_p = 0.55 \times 313/53 = 3.2$ , precisa de $1.9\,\mathrm{kW}$ . O problema de fim de semana percorre a estação inteira, entropia incluída.

24.6 Entropia e trabalho perdido

Teorema 24.19 (Trabalho perdido)

Uma máquina motriz ditérmica que cria a entropia $S_{\mathrm{created}}$ por ciclo fornece

-W = Q_h\Bigl(1 - \frac{T_c}{T_h}\Bigr) - T_c\,S_{\mathrm{created}} ,

e uma bomba de calor ditérmica que fornece $|Q_h|$ consome $W = |Q_h|(1 - T_c/T_h) + T_c\,S_{\mathrm{created}}$ : cada joule por kelvin criado custa $T_c$ joules de trabalho, sendo a temperatura da fonte fria a taxa de câmbio entre entropia e trabalho.

Demonstração. Pelo Teorema 24.2, $Q_c = -T_c(Q_h/T_h + S_{\mathrm{created}})$ ; substitua em $-W = Q_h + Q_c$ . Para a bomba, escreva as mesmas duas relações com $Q_h < 0$ . ∎

Método 24.20 (Auditar uma máquina)

Meça (ou calcule) os calores trocados com cada fonte e o trabalho; verifique a primeira lei; calcule $S_{\mathrm{created}} = -\sum Q_i/T_i$ por ciclo ou por segundo; a potência perdida vale $T_c\dot S_{\mathrm{created}}$ ; localize a criação (diferenças finitas de temperatura nos trocadores, atrito, estrangulamento, compressão não quase-estática) aplicando o balanço de entropia a cada componente, um a um. Um componente que não cria entropia não vale a pena melhorar.

Exemplo 24.21 (A auditoria de uma usina)

Fonte quente $800\,\mathrm{K}$ , rio $300\,\mathrm{K}$ , $1.0\,\mathrm{GW}$ de eletricidade a $\eta = 0.40$ : $\dot Q_h = 2.5\,\mathrm{GW}$ , $\dot Q_c = 1.5\,\mathrm{GW}$ , logo $\dot S_{\mathrm{created}} = 1.5/300 - 2.5/800 = 1.9\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ e a potência perdida vale $300 \times 1.9 = 0.56\,\mathrm{GW}$ : exatamente o intervalo entre a produção de Carnot $0.625 \times 2.5 = 1.56\,\mathrm{GW}$ e o $1.0\,\mathrm{GW}$ real. O rio esquenta com os $1.5\,\mathrm{GW}$ que tem de levar embora; no verão, quando ele está quente e baixo, as usinas reduzem a carga.

24.7 Exercícios

Exercício 24.1 ★

Uma usina toma calor a $800\,\mathrm{K}$ e o rejeita num rio a $300\,\mathrm{K}$ . Rendimento de Carnot; se o rendimento real é $0.40$ e a produção elétrica é $1.0\,\mathrm{GW}$ , calor tomado do combustível e calor rejeitado no rio por segundo.

Solução

Solução de Exercício 24.1.

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$ . A $0.40$ : $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$ vindos do combustível, $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ para o rio — joga-se fora mais calor do que se vende.

Exercício 24.2 ★

Uma geladeira mantém o seu interior a $275\,\mathrm{K}$ numa cozinha a $298\,\mathrm{K}$ . Coeficiente de desempenho máximo; com um COP real de $3$ , potência elétrica necessária para retirar os $100\,\mathrm{W}$ que entram pelas paredes.

Solução

Solução de Exercício 24.2.

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$ . Com $e_f = 3$ : $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (e $133\,\mathrm{W}$ vão para a cozinha).

Exercício 24.3 ★

Rendimento ideal de um ciclo Otto com $r = 9$ e $\gamma = 1.4$ ; e com $r = 11$ (um motor moderno de injeção direta). Por que não $r = 20$ ?

Solução

Solução de Exercício 24.3.

$r = 9$ : $9^{0.4} = 2.41$ , $\eta = 0.585$ ; $r = 11$ : $11^{0.4} = 2.61$ , $\eta = 0.62$ . Com $r = 20$ a mistura gasolina–ar, comprimida a cerca de $900\,\mathrm{K}$ , se acenderia antes da faísca (detonação), destruindo o motor; só o diesel, que comprime ar puro, pode ir até lá.

Exercício 24.4 ★

Uma bomba de calor aquece uma casa a $300\,\mathrm{K}$ a partir do ar externo a $280\,\mathrm{K}$ . $e_p$ máximo; potência elétrica para uma demanda de aquecimento de $5\,\mathrm{kW}$ com essa bomba ideal e com uma real de $e_p = 3.5$ ; compare com uma resistência.

Solução

Solução de Exercício 24.4.

$e_p \leq 300/20 = 15$ : potência ideal $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$ ; real, $5/3.5 = 1.43\,\mathrm{kW}$ ; resistência, $5\,\mathrm{kW}$ .

Exercício 24.5 ★★

Um mol de gás perfeito ( $\gamma = 1.4$ ) percorre um ciclo de Carnot entre $T_h = 500\,\mathrm{K}$ e $T_c = 300\,\mathrm{K}$ ; a isoterma quente o leva de $1.0\,\mathrm{L}$ a $3.0\,\mathrm{L}$ . Calcule $V_C$ , $V_D$ , $Q_h$ , $Q_c$ , $W$ e verifique o rendimento.

Solução

Solução de Exercício 24.5.

Adiabáticas: $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} = 10.8\,\mathrm{L}$ , $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (logo $V_C/V_D = 3 = V_B/V_A$ ). $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$ , $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$ , $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$ , $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$ .

Exercício 24.6 ★★

Um inventor afirma ter uma máquina cíclica que toma $1000\,\mathrm{J}$ por ciclo de uma fonte a $400\,\mathrm{K}$ , rejeita $800\,\mathrm{J}$ numa fonte a $300\,\mathrm{K}$ e fornece $200\,\mathrm{J}$ de trabalho. É possível? Entropia criada por ciclo. Um segundo inventor afirma tirar $300\,\mathrm{J}$ de trabalho dos mesmos $1000\,\mathrm{J}$ , rejeitando $700\,\mathrm{J}$ . É possível? Qual é o máximo de trabalho que alguém pode tirar desses $1000\,\mathrm{J}$ ?

Solução

Solução de Exercício 24.6.

Primeira alegação: a energia fecha, $200 = 1000 - 800$ ; Clausius $1000/400 - 800/300 = 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , logo $S_{\mathrm{created}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$ : possível ( $\eta = 0.20$ ). Segunda: $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$ : seria preciso destruir entropia — impossível. Máximo: $\eta_C = 1 - 300/400 = 0.25$ , isto é, $250\,\mathrm{J}$ .

Exercício 24.7 ★★

Ciclo Diesel com $r = 18$ , $\rho = 2$ , $\gamma = 1.4$ : rendimento; compare com um ciclo Otto de mesmo $r$ e com o ciclo Otto a $r = 9$ . Por que o diesel pode usar um $r$ tão grande?

Solução

Solução de Exercício 24.7.

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$ ; $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$ : $\eta = 1 - 1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$ . Otto com $r = 18$ : $1 - 1/3.18 = 0.69$ ; com $r = 9$ : $0.585$ . O diesel comprime ar puro: não há combustível presente para pré-acender, e o combustível, injetado em ar a $900\,\mathrm{K}$ , queima ao entrar — o limite da detonação não existe.

Exercício 24.8 ★★

Ciclo Stirling de um mol de gás diatômico ( $C_{V,m} = \tfrac52R$ ) entre $600\,\mathrm{K}$ e $300\,\mathrm{K}$ com uma razão de volumes $V_1/V_2 = 2$ . Trabalho por ciclo; rendimento com um regenerador perfeito e sem regenerador.

Solução

Solução de Exercício 24.8.

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$ , $Q_c = -8.314 \times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$ : $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$ por ciclo. Com o regenerador $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$ . Sem ele, a fonte quente tem também de fornecer $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 = 6.24\,\mathrm{kJ}$ : $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$ .

Exercício 24.9 ★★

Dois blocos idênticos de capacidade térmica $C = 4.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ a $T_1 = 400\,\mathrm{K}$ e $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ são usados como fontes de uma máquina até chegarem a uma temperatura comum $T_f$ . Mostre que o trabalho máximo se obtém com uma máquina reversível, que então $T_f = \sqrt{T_1T_2}$ , e calcule $W_{\max}$ . Que $T_f$ se teria se os blocos fossem simplesmente postos em contato, e qual é a entropia então criada?

Solução

Solução de Exercício 24.9.

Entropia dos dois blocos: $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) = C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\mathrm{created}} \geq 0$ (a entropia da própria máquina volta ao seu valor a cada ciclo), logo $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$ , e $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (primeira lei) é máximo para o menor $T_f$ : o caso reversível, $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$ , $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$ . Contato direto: $T_f = 350\,\mathrm{K}$ , nenhum trabalho, $S_{\mathrm{created}} = 4000\ln(350^2/120000) = 82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

Exercício 24.10 ★★★

Máquina a potência máxima. Uma máquina reversível trabalha entre temperaturas internas $x$ e $y$ , e troca calor com as fontes através de trocadores de condutância $K$ : $\dot Q_h = K(T_h - x)$ e $|\dot Q_c| = K(y - T_c)$ . (a) Escreva a potência $P$ e a condição de entropia do núcleo reversível. (b) Mostre que $y = xT_c/(2x - T_h)$ e que $P = \frac{K}{2}\bigl[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u\bigr]$ com $u = 2x - T_h$ . (c) Maximize em $u$ e mostre que o rendimento a potência máxima vale $\eta^\ast = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ . (d) Números para $T_h = 800\,\mathrm{K}$ e $T_c = 300\,\mathrm{K}$ ; compare com o Exercício 24.1.

Solução

Solução de Exercício 24.10.

(a) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$ ; o núcleo reversível não troca entropia líquida: $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$ . (b) Multiplicando em cruz: $y(T_h - x) = x(y - T_c)$ , logo $y(T_h - 2x) = -xT_c$ e $y = xT_c/(2x - T_h)$ . Então $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$ ; com $u = 2x - T_h$ , $T_h - x = (T_h - u)/2$ e $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) = \tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$ . (c) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 + T_hT_c/u^2) = 0$ em $u = \sqrt{T_hT_c}$ , um máximo; então $x = (T_h + \sqrt{T_hT_c})/2$ , $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$ , e $\eta^\ast = 1 - y/x = 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ ; $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$ . (d) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$ , contra $\eta_C = 0.625$ : o $0.40$ real do Exercício 24.1 é uma máquina construída para dar potência, e não rendimento.

Exercício 24.11 ★★★

Refrigerador por absorção. Uma máquina sem peças móveis toma o calor $Q_h$ de um queimador a $T_h$ , o calor $Q_c$ de uma câmara fria a $T_c$ , e rejeita calor para a sala a $T_0$ ( $T_c < T_0 < T_h$ ), sem trabalho algum. Mostre que $Q_c/Q_h \leq \bigl(1 - T_0/T_h\bigr)\,T_c/(T_0 - T_c)$ , interprete os dois fatores e calcule o limite para $T_h = 400\,\mathrm{K}$ , $T_0 = 300\,\mathrm{K}$ , $T_c = 275\,\mathrm{K}$ .

Solução

Solução de Exercício 24.11.

Ciclo: $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ e $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$ . Elimine $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$ : $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$ , isto é, $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$ , donde $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$ . O primeiro fator é o rendimento de uma máquina de Carnot entre o queimador e a sala, e o segundo, o COP de um refrigerador de Carnot entre a câmara e a sala: o limite é o que se obtém acoplando os dois idealmente. Números: $0.25 \times 11 = 2.75$ (nos refrigeradores de absorção reais: cerca de $0.6$ ).

Exercício 24.12 ★★★

Aquecer com eletricidade, de três maneiras. A eletricidade é produzida numa usina térmica de rendimento $0.40$ . Por joule de calor do combustível, quanto calor chega a uma casa (a) por uma resistência, (b) por uma bomba de calor de $e_p = 3.5$ , (c) se o combustível for queimado diretamente numa caldeira de rendimento $0.90$ ? (d) O ideal: uma máquina reversível entre $800\,\mathrm{K}$ e $293\,\mathrm{K}$ acionando uma bomba de calor reversível entre $273\,\mathrm{K}$ e $293\,\mathrm{K}$ — quanto calor por joule de combustível, e por que a resposta é maior do que um sem contradizer nada?

Solução

Solução de Exercício 24.12.

(a) $0.40\,\mathrm{J}$ . (b) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$ . (c) $0.90\,\mathrm{J}$ . (d) Máquina $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$ , bomba $e_p = 293/20 = 14.65$ : $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (e os $0.37\,\mathrm{J}$ que a própria máquina rejeita a $293\,\mathrm{K}$ também poderiam aquecer a casa: $9.7\,\mathrm{J}$ ). Mais do que um joule porque o resto é erguido do ar externo: a energia se conserva, e a segunda lei só pede que a entropia não seja destruída, coisa que uma cadeia reversível respeita exatamente.

Uma bomba de calor com captação no ar, no inverno: ela tira calor do ar externo frio e entrega à casa três a quatro vezes a energia elétrica que consome — é o problema de fim de semana.

24.8 Problema: a bomba de calor da casa

Problema 24.1

Problema de fim de semana — aquecer uma casa durante um inverno: a conta com resistências, com gás, com uma bomba de calor ideal e com uma real, e para onde vai a eletricidade da real

Uma casa perde calor à taxa $K(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ com $K = 250\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; ela é mantida a $T_{\mathrm{in}} = 20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Temperatura externa de projeto: $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; estação de aquecimento: $200$ dias com temperatura externa média de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Preços: eletricidade 0.25 € por $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ , gás 0.10 € por $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ ; $1\,\mathrm{kW}\mathrm{h} = 3.6\,\mathrm{MJ}$ .

Parte I — A casa e os meios antigos.

Potência de aquecimento necessária na temperatura de projeto.
Energia necessária ao longo da estação, em joules e em $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .
Custo da estação com resistências elétricas.
Custo com uma caldeira a gás de rendimento $0.90$ .
A eletricidade vem de uma usina térmica de rendimento $0.40$ . Energia de combustível consumida, por estação, pelas resistências e pela caldeira; comente a frase “o aquecimento elétrico é um desperdício termodinâmico”.

Parte II — A bomba de calor ideal.

Defina $e_p$ e demonstre, a partir das duas leis num ciclo, que $e_p \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ .
$e_p$ ideal na temperatura de projeto e a potência elétrica então necessária.
$e_p$ ideal na temperatura média da estação e (tomando esse valor para toda a estação) a eletricidade sazonal.
Explique fisicamente por que $e_p$ cai quando a temperatura externa cai, e por que esse é o pior comportamento possível para um aparelho de aquecimento.
No ponto de projeto a bomba ideal consome $0.53\,\mathrm{kW}$ e fornece $6.25\,\mathrm{kW}$ : de onde vêm os outros $5.7\,\mathrm{kW}$ , e por que esfriar o ar externo frio para aquecer uma casa quente não viola a segunda lei?

Parte III — A máquina real. A bomba funciona num ciclo de compressão de vapor. O fluido refrigerante evapora a $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ e condensa a $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ (a água de um circuito de piso aquecido circula a $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ ); a máquina atinge $0.55$ do valor de Carnot calculado entre $T_{\mathrm{ev}}$ e $T_{\mathrm{cd}}$ . Calor latente do fluido refrigerante: $L = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

Nomeie os quatro componentes do ciclo, diga em qual deles o fluido recebe $Q_c$ , cede $|Q_h|$ e recebe $W$ , e por que o evaporador tem de ser mais frio que o ar externo e o condensador mais quente que a casa.
Na temperatura de projeto: $T_{\mathrm{ev}}$ e o $e_p$ de Carnot entre $T_{\mathrm{ev}}$ e $T_{\mathrm{cd}}$ .
$e_p$ real, potência elétrica consumida e calor tirado do ar externo, na temperatura de projeto.
Vazão mássica de fluido refrigerante através do evaporador.
As mesmas perguntas ( $e_p$ real, potência elétrica) na temperatura média de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ , em que a casa perde $3.25\,\mathrm{kW}$ .
Dê $e_p$ em função de $T_{\mathrm{out}}$ ; eletricidade e custo sazonais, tomando para a estação o $e_p$ da temperatura média. Compare com a Parte I.
Energia de combustível consumida na usina para a estação com bomba de calor; compare com as resistências e com a caldeira.
Uma onda de frio a $-15{}^{\circ}\mathrm{C}$ : demanda de calor, $e_p$ real, potência elétrica se a bomba pudesse fornecê-la. A capacidade do compressor de fato cai com $T_{\mathrm{ev}}$ e a bomba só consegue fornecer $3.8\,\mathrm{kW}$ ali: potência das resistências de apoio necessária, e o sentido de “dimensionar uma bomba de calor”.
Se a casa tivesse radiadores antigos que exigem água a $60{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $T_{\mathrm{cd}} = 338\,\mathrm{K}$ ): $e_p$ real e potência elétrica na temperatura de projeto; conclua sobre a escolha dos emissores.

Parte IV — Para onde vai a eletricidade.

Mostre que, para uma bomba de calor que fornece $|Q_h|$ à casa a $T_{\mathrm{in}}$ a partir do ar externo a $T_{\mathrm{out}}$ , $W = |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}) + T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ .
No ponto de projeto, entropia criada por segundo pela transferência de calor no condensador (de $313\,\mathrm{K}$ à casa) e no evaporador (do ar externo a $260\,\mathrm{K}$ ).
Potência elétrica que essas duas diferenças de temperatura custam; fração dos $1.92\,\mathrm{kW}$ consumidos.
Entropia total criada por segundo pela máquina real (compare os seus $1.92\,\mathrm{kW}$ com os $0.53\,\mathrm{kW}$ ideais); parcela dos trocadores; cite as outras fontes.
Reduza à metade as duas diferenças ( $4\,\mathrm{K}$ e $10\,\mathrm{K}$ ): entropia criada nos trocadores e potência elétrica economizada; o que custa ao projetista reduzir uma diferença à metade?
Resuma em três números: quilowatt-horas de calor por quilowatt-hora de eletricidade ao longo da estação; custo sazonal contra o do gás; e, com a eletricidade a $60\,\mathrm{g}$ de CO $_2$ por $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ e o gás a $200\,\mathrm{g}$ , o carbono emitido por cada via.

Solução

Solução de Problema 24.1.

1. $P = 250 \times 25 = 6.25\,\mathrm{kW}$ .

2. Perda média $250 \times 13 = 3.25\,\mathrm{kW}$ durante $200 \times 86400 = 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ : $E = 5.6 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 15\,600\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .

3. $15600 \times 0.25 = 3900$ €.

4. Gás $15600/0.90 = 17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ : $1730$ €.

5. Resistências: $15600/0.40 = 39\,000\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustível; caldeira $17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ : $2.25$ vezes menos. A eletricidade é trabalho, a forma que pode fazer qualquer coisa; transformá-la em calor a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ numa resistência descarta os $60\%$ do combustível já perdidos na usina e a possibilidade de bombear calor.

6. Ao longo de um ciclo $W + Q_h + Q_c = 0$ e $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} \leq 0$ com $Q_h < 0$ , $Q_c > 0$ : $Q_c \leq |Q_h|T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}$ , logo $W = |Q_h| - Q_c \geq |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}})$ e $e_p = |Q_h|/W \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ .

7. $293/25 = 11.7$ ; $6.25/11.7 = 0.53\,\mathrm{kW}$ .

8. $293/13 = 22.5$ ; $15600/22.5 = 690\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ (cerca de $170$ €).

9. O trabalho por joule erguido vale $(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})/ T_{\mathrm{in}}$ , a “altura” do levantamento; quanto mais frio lá fora, mais alto cada joule tem de ser bombeado — e mais joules são precisos, pois a perda também é proporcional a $T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}$ : a potência elétrica cresce com o quadrado da diferença de temperatura, e é pior justamente quando o aquecimento mais importa.

10. Do ar externo, que é esfriado: $Q_c = 6.25 - 0.53 = 5.7\,\mathrm{kW}$ . A segunda lei proíbe o calor de escoar espontaneamente do frio para o quente; aqui o trabalho paga o levantamento. Verificação: entropia tirada do ar $5.72/268 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ , entropia cedida à casa $6.25/293 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — nada destruído, nada criado: é a bomba ideal.

11. Compressor (recebe $W$ ), condensador (cede $|Q_h|$ ), válvula de expansão (nenhum dos dois), evaporador (recebe $Q_c$ ). O calor só escoa descendo uma rampa de temperatura: o fluido refrigerante tem de ser mais frio que o ar para tirar calor dele e mais quente que a água da casa para lhe ceder calor.

12. $T_{\mathrm{ev}} = 268 - 8 = 260\,\mathrm{K}$ ; $e_{p,C} = 313/(313 - 260) = 5.9$ .

13. $e_p = 0.55 \times 5.9 = 3.25$ ; $W = 6.25/3.25 = 1.92\,\mathrm{kW}$ ; $Q_c = 6.25 - 1.92 = 4.33\,\mathrm{kW}$ vindos do ar.

14. $\dot m = 4330/200000 = 22\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$ , $1.3\,\mathrm{kg}$ por minuto.

15. $T_{\mathrm{ev}} = 272\,\mathrm{K}$ , $313/41 = 7.6$ , $e_p = 4.2$ ; $W = 3.25/4.2 = 0.77\,\mathrm{kW}$ .

16. $e_p = 0.55 \times 313/(321 - T_{\mathrm{out}}) = 172/(321 - T_{\mathrm{out}})$ (com $T_{\mathrm{out}}$ em kelvin). Estação: $15600/4.2 = 3700\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ , $930$ € — contra $3900$ com resistências e $1730$ com gás.

17. $3700/0.40 = 9300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustível: $46\%$ menos que a caldeira e quatro vezes menos que as resistências, mesmo passando por uma usina de $40\%$ .

18. Demanda $250 \times 35 = 8.75\,\mathrm{kW}$ ; $T_{\mathrm{ev}} = 250\,\mathrm{K}$ , $313/63 = 5.0$ , $e_p = 2.7$ , $W = 3.2\,\mathrm{kW}$ se ela conseguisse. Capacidade $3.8\,\mathrm{kW}$ : apoio de $8.75 - 3.8 \approx 5\,\mathrm{kW}$ de resistências. Uma bomba dimensionada para a hora mais fria ficaria superdimensionada — e ligando e desligando sem eficiência — o inverno inteiro; dimensiona-se para a temperatura de projeto e deixa-se uma resistência barata cobrir o extremo raro.

19. $338/(338 - 260) = 4.33$ , $e_p = 2.4$ , $W = 6.25/2.4 = 2.6\,\mathrm{kW}$ : $36\%$ mais eletricidade do que com o piso a $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Os emissores de baixa temperatura são metade da instalação.

20. Entropia ao longo de um ciclo: $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} + S_{\mathrm{created}} = 0$ dá $Q_c = T_{\mathrm{out}}|Q_h|/T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ ; substitua em $W = |Q_h| - Q_c$ .

21. Condensador: $6250\,(1/293 - 1/313) = 1.36\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; evaporador: $4330\,(1/260 - 1/268) = 0.50\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ .

22. $268 \times 1.86 = 0.50\,\mathrm{kW}$ : um quarto dos $1.92\,\mathrm{kW}$ .

23. $(1.92 - 0.53)/268 = 5.2\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; os trocadores respondem por $36\%$ ; o resto vem do compressor (atrito, compressão não isentrópica, perdas do motor), do estrangulamento na válvula (uma expansão livre), das perdas de carga e dos ventiladores.

24. $T_{\mathrm{cd}} = 303\,\mathrm{K}$ , $T_{\mathrm{ev}} = 264\,\mathrm{K}$ : condensador $6250\,(1/293 - 1/303) = 0.70\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ , evaporador $4330\,(1/264 - 1/268) = 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $0.95\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ em vez de $1.86$ , isto é, $268 \times 0.91 \approx 0.25\,\mathrm{kW}$ economizados ( $13\%$ ; a máquina inteira, avaliada a $0.55$ de um valor de Carnot melhor, ganharia mais). Reduzir uma diferença à metade significa dobrar a superfície de troca: trocadores maiores, mais caros e mais potência de ventilação.

25. $15600/3700 = 4.2$ quilowatt-horas de calor por quilowatt-hora de eletricidade; $930$ € contra $1730$ do gás; carbono: $3700 \times 0.060 = 220\,\mathrm{kg}$ contra $17300 \times 0.20 = 3500\,\mathrm{kg}$ — quinze vezes menos.

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