Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

14Osciladores mecânicos: amortecimento e ressonância

Empurre o balanço de uma criança na hora errada e quase nada acontece; empurre-o uma vez por período, com suavidade, e em uma dezena de idas e vindas a criança já grita no alto do arco. Uma máquina de lavar treme violentamente a uma velocidade determinada da centrifugação e fica quieta acima dela. Uma taça de cristal canta quando um dedo molhado percorre a sua borda no ritmo certo, e se estilhaça quando um cantor sustenta a mesma nota alto o bastante. Todos esses casos são uma ressonância: um sistema com uma frequência própria, excitado perto dessa frequência, acumula energia ciclo após ciclo até que o atrito a drene tão depressa quanto ela entra. Este capítulo toma o oscilador mecânico — livre, amortecido, depois forçado — e deduz as curvas de ressonância cujas gêmeas elétricas apareceram no Capítulo 8.

14.1 O oscilador harmônico

Definição 14.1 (Oscilador harmônico)

Um sistema cujo deslocamento $x$ em relação a um equilíbrio estável obedece a

\ddot x + \omega_0^2\,x = 0

é um oscilador harmônico de frequência angular própria $\omega_0$ (período $T_0 = 2\pi/\omega_0$ ). A solução $x = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ tem amplitude e fase fixadas pelas condições iniciais e um período independente da amplitude (isocronismo).

Proposição 14.2 (De onde vêm os osciladores harmônicos)

Massa $m$ numa mola $k$ : $\omega_0^2 = k/m$ (lei de Hooke).
Pêndulo simples de comprimento $\ell$ , ângulos pequenos: $\omega_0^2 = g/\ell$ .
Qualquer ponto material perto de um equilíbrio estável de um potencial $E_p$ : $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ (Proposição 13.12).
Circuito LC: $\omega_0^2 = 1/LC$ , com $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $1/C \leftrightarrow k$ .

A energia $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12 m\omega_0^2A^2$ é constante e vai e volta entre as formas cinética e potencial duas vezes por período.

Demonstração. Segunda lei de Newton com $F = -kx$ ; a equação do pêndulo $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ com $\sin\theta \approx \theta$ ; a fórmula de Taylor no mínimo de $E_p$ ; a lei das malhas do circuito LC. Energia: derive e use a equação. ∎

Exemplo 14.3 (Um cilindro que bóia e balança)

Um cilindro vertical de seção $S$ flutua com uma profundidade $h$ imersa ( $mg = \rho_wgSh$ , empuxo do Capítulo 21). Afundado de $x$ , ele recebe uma força adicional para cima $\rho_wgSx$ : $m\ddot x = -\rho_wgSx$ , logo $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — o mesmo que um pêndulo de comprimento $h$ . Uma boia imersa $1\,\mathrm{m}$ balança com período de $2\,\mathrm{s}$ , qualquer que seja a sua massa.

14.2 O oscilador amortecido

Proposição 14.4 (Oscilador amortecido)

Com um atrito viscoso $-\alpha\dot x$ , a equação se torna

\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},

a forma canônica de segunda ordem do Capítulo 7: para $Q > \tfrac12$ , um decaimento pseudoperiódico $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t + \varphi)$ com $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; a energia decai como $\eu^{-2t/\tau}$ e

Q = 2\pi\,\frac{\text{energia armazenada}}{\text{energia perdida por período}} \quad (Q \gg 1) .

Demonstração. Divida $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ por $m$ . Para a energia: $E \propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ perde a fração $2T/\tau = 2\pi/Q$ por período quando esta é pequena. ∎

Exemplo 14.5 (Tempos de extinção)

Um diapasão de $440\,\mathrm{Hz}$ ainda soa dez segundos depois de percutido: a sua amplitude caiu a cerca de $5\%$ em $3\tau = 10\,\mathrm{s}$ , logo $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ e $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$ . A suspensão de um carro ( $Q \approx 0.7$ ) para em menos de um período; um balanço de criança ( $Q \approx 20$ ) perde um terço da sua energia por vaivém e precisa de um empurrão a cada vez.

14.3 Oscilações forçadas e ressonância

Teorema 14.6 (Oscilador excitado senoidalmente)

Excitado por uma força $F_0\cos\omega t$ , o oscilador amortecido

m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t

se estabelece, após um transitório de duração $\sim\tau$ , no regime forçado $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ com, escrevendo $x_r = \omega/\omega_0$ e $X_0 = F_0/k$ a deflexão estática,

X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .

A amplitude $X$ passa por um máximo, para $Q > 1/\sqrt2$ , em $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ , com $X_{\max} \approx QX_0$ ; a amplitude da velocidade $V = \omega X$ é máxima exatamente em $\omega_0$ , onde $V_{\max} = F_0/\alpha$ , e a sua curva de ressonância

\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}

tem largura de banda $\Delta\omega = \omega_0/Q$ . Em $\omega_0$ o deslocamento atrasa $\pi/2$ em relação à força, e a velocidade está em fase com ela.

Demonstração. Método complexo (Capítulo 8): $\underline X(-\omega^2 + j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$ , logo $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$ ; divida numerador e denominador por $\omega_0^2 = k/m$ . O módulo e o argumento decorrem daí; o máximo de $X$ foi localizado na Proposição 8.10 (mesma função). Velocidade: $\underline V = j\omega\underline X$ dá $V = \omega X$ ; escrever $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$ transforma o denominador em $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$ , isto é, a forma do RLC. Em $x_r = 1$ , $\underline X = -jQX_0$ : um atraso de $\pi/2$ . ∎

Amplitude (à esquerda) e fase (à direita) do oscilador forçado contra a frequência de excitação, para vários fatores de qualidade. Um pico agudo perto de _0 para Q grande, e nenhum abaixo de Q = 1/√2; o deslocamento passa de em fase ( baixo) a oposto ( alto), atravessando um atraso de π/2 em _0 — quanto mais aguda a ressonância, mais abrupta a transição. — Amplitude (à esquerda) e fase (à direita) do oscilador forçado contra a frequência de excitação, para vários fatores de qualidade. Um pico agudo perto de $\omega_0$ para $Q$ grande, e nenhum abaixo de $Q = 1/\sqrt2$ ; o deslocamento passa de em fase ( $\omega$ baixo) a oposto ( $\omega$ alto), atravessando um atraso de $\pi/2$ em $\omega_0$ — quanto mais aguda a ressonância, mais abrupta a transição.

Observação 14.7 (Duas ressonâncias, um circuito)

A correspondência $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ , $F \leftrightarrow e$ leva o oscilador forçado ao RLC série do Capítulo 8: a ressonância em velocidade é a ressonância em corrente (sempre em $\omega_0$ , com largura de banda $\omega_0/Q$ ), e a ressonância em amplitude é a ressonância da carga, isto é, da tensão no capacitor (ligeiramente abaixo de $\omega_0$ , ausente para $Q$ baixo). A potência absorvida, $\langle F\dot x\rangle = \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$ , é máxima em $\omega_0$ , com o valor $F_0^2/2\alpha$ , e os pontos de meia potência delimitam a largura de banda em velocidade — exatamente como no RLC.

Exemplo 14.8 (Velocidades de ressonância)

A suspensão de um carro tem $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ (Problema 7.1). Numa estrada com ondulações a cada $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ , a frequência de excitação vale $v/\lambda$ : ressonância em $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , cerca de $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — a velocidade em que uma estrada ondulada sacode mais o carro, e a razão de se montar um amortecedor com $Q \approx 0.7$ : com $Q = 5$ a carroceria oscilaria com cinco vezes a amplitude da estrada. Acima da ressonância ( $x_r \gg 1$ ) a amplitude cai como $X_0/x_r^2$ : a carroceria “flutua” sobre as ondulações rápidas — o isolamento, a outra face da ressonância.

14.4 Excitação pela base: isolamento e o sismômetro

Proposição 14.9 (Oscilador sacudido pelo seu suporte)

Seja o suporte de um conjunto massa–mola–amortecedor deslocado de $x_g(t)$ (a estrada sob um carro, o solo sob um sismômetro), e seja $u$ o deslocamento da massa em relação ao suporte e $x = x_g + u$ o seu deslocamento absoluto (a partir do equilíbrio). Então

m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,

e para $x_g = X_g\cos\omega t$ , com $x_r = \omega/\omega_0$ :

\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .

Para $x_r \gg 1$ : $U \to X_g$ (a massa fica parada no espaço — um sismômetro lê o deslocamento do solo) e $X \to 0$ (a massa fica isolada do tremor); para $x_r \ll 1$ : $U \approx \ddot x_g/\omega_0^2$ (um acelerômetro) e $X \approx X_g$ (a massa acompanha o suporte).

Demonstração. A mola e o amortecedor agem sobre o movimento relativo: $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ , e $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ . Em forma complexa, $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$ , donde $U/X_g$ ; depois $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ . ∎

Uma massa sacudida através do seu suporte. À esquerda: o movimento relativo U/X_g — um acelerômetro abaixo de _0 (inclinação 2 em escalas logarítmicas) e um sismômetro acima. À direita: o movimento absoluto X/X_g — a massa acompanha o suporte em baixa frequência e fica isolada dele bem acima de _0; um Q alto não traz nada além de um pico perigoso. — Uma massa sacudida através do seu suporte. À esquerda: o movimento relativo $U/X_g$ — um acelerômetro abaixo de $\omega_0$ (inclinação $2$ em escalas logarítmicas) e um sismômetro acima. À direita: o movimento absoluto $X/X_g$ — a massa acompanha o suporte em baixa frequência e fica isolada dele bem acima de $\omega_0$ ; um $Q$ alto não traz nada além de um pico perigoso.

Exemplo 14.10 (Por que as máquinas ficam sobre coxins macios)

Um motor de $50\,\mathrm{Hz}$ sobre coxins de borracha sintonizados em $f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ ( $x_r = 5$ , $Q \approx 2$ ): $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — nove décimos da vibração não chegam ao piso. Os coxins precisam ser mais macios do que a intuição sugere: enrijecê-los eleva $f_0$ rumo aos $50$ Hz e destrói o isolamento. A mesma fórmula, lida ao contrário, é o carro do Exemplo 14.8 numa estrada ondulada.

14.5 Energia: como uma ressonância se constrói

Proposição 14.11 (Balanço energético no regime forçado)

No regime forçado permanente, a potência média fornecida pela força excitadora iguala a potência média dissipada pelo atrito, $\tfrac12\alpha V^2$ . Na ressonância a energia armazenada $\tfrac12 mV_{\max}^2$ vale $Q/2\pi$ vezes a energia fornecida por período: o oscilador acumula o trabalho da excitação durante cerca de $Q$ ciclos antes que as perdas igualem a entrada, que é também o número de ciclos ( $\sim\tau/T$ ) que o transitório dura.

Demonstração. Tome a média do teorema da energia sobre um período: $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ em regime permanente, logo $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle = \tfrac12\alpha V^2$ . Na ressonância $V_{\max} = F_0/\alpha$ , energia armazenada $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$ , energia fornecida por período $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$ ; razão $m/(\alpha T) = Q/2\pi$ . ∎

Exemplo 14.12 (O balanço)

Um balanço de $2.5\,\mathrm{m}$ ( $T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$ , $Q \approx 20$ ) recebe um empurrão de $50\,\mathrm{N}$ ao longo de $0.5\,\mathrm{m}$ por período: $25\,\mathrm{J}$ por ciclo. Ele cresce até que a perda por período, $2\pi E/Q$ , iguale $25\,\mathrm{J}$ : $E = 80\,\mathrm{J}$ ; com uma criança de $30\,\mathrm{kg}$ , $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ dá $\theta_{\max} \approx 27^\circ$ . Empurrando em qualquer outro ritmo, o trabalho dos empurrões alternaria de sinal e daria média nula.

Partida de uma ressonância (Q = 5, excitação ligada em t = 0 em _0): a amplitude cresce rumo a QX_0 com a constante de tempo = 2Q/ _0, isto é, ao longo de cerca de Q/π períodos — o transitório do superposto ao regime forçado. — Partida de uma ressonância ( $Q = 5$ , excitação ligada em $t = 0$ em $\omega_0$ ): a amplitude cresce rumo a $QX_0$ com a constante de tempo $\tau = 2Q/\omega_0$ , isto é, ao longo de cerca de $Q/\pi$ períodos — o transitório do Capítulo 7 superposto ao regime forçado.

14.6 Exercícios

Exercício 14.1 ★

Uma massa de $0.20\,\mathrm{kg}$ numa mola de constante elástica $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ oscila com amplitude de $5.0\,\mathrm{cm}$ . Frequência angular, frequência, período, velocidade máxima, energia total.

Solução

Solução de Exercício 14.1.

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$ , $T_0 = 0.31\,\mathrm{s}$ ; $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E = \tfrac12 kA^2 = 0.10\,\mathrm{J}$ .

Exercício 14.2 ★

Período de um pêndulo de $1.0\,\mathrm{m}$ na Terra e na Lua ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). O que acontece com o período do sistema massa–mola na Lua?

Solução

Solução de Exercício 14.2.

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ : $2.0\,\mathrm{s}$ na Terra, $4.9\,\mathrm{s}$ na Lua. O período do sistema massa–mola, $2\pi\sqrt{m/k}$ , não envolve $g$ : fica inalterado.

Exercício 14.3 ★

Um oscilador tem $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ e $Q = 50$ . Tempo de decaimento $\tau$ da amplitude; tempo para a energia cair à metade; número de oscilações antes que a amplitude chegue a $5\%$ .

Solução

Solução de Exercício 14.3.

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$ ; a energia $\propto \eu^{-2t/\tau}$ cai à metade em $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$ ; $5\%$ após $3\tau = 24\,\mathrm{s}$ , cerca de $48 \approx Q$ oscilações.

Exercício 14.4 ★

Uma massa numa mola ( $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $Q = 10$ ) é excitada por uma força de amplitude $1.0\,\mathrm{N}$ . Deflexão estática; amplitude na ressonância; amplitude em $\omega = 3\omega_0$ .

Solução

Solução de Exercício 14.4.

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; na ressonância $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$ ; em $3\omega_0$ : $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 14.5 ★★

Um carro ( $f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$ , $Q = 0.7$ ) passa por lombadas espaçadas de $8.0\,\mathrm{m}$ . Velocidade de ressonância? A $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , que fração da amplitude das lombadas a carroceria sente? Comente.

Solução

Solução de Exercício 14.5.

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). A $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$ , $x_r = 1.6$ : $X/X_g = \sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — mal isolado; o isolamento exige $x_r \gg 1$ (a $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , $x_r = 3.2$ : $0.45$ ).

Exercício 14.6 ★★

Explique pelo balanço energético por que um balanço precisa ser empurrado no seu próprio período; para $Q = 20$ e um empurrão que acrescenta $25\,\mathrm{J}$ por ciclo, encontre a energia em regime permanente e a amplitude para uma criança de $30\,\mathrm{kg}$ num balanço de $2.5\,\mathrm{m}$ .

Solução

Solução de Exercício 14.6.

O trabalho de um empurrão só é positivo quando ele age no sentido do movimento; empurrado a cada período, todos os empurrões se somam; em qualquer outro ritmo eles se alternam. Regime permanente: $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$ , $E = 80\,\mathrm{J}$ ; $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$ : $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$ , $\theta_{\max} = 27^\circ$ .

Exercício 14.7 ★★

Máximos sucessivos de uma oscilação livre decrescem $10\%$ a cada período. Encontre $Q$ e a largura de banda (em hertz) da sua ressonância em velocidade se $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ .

Solução

Solução de Exercício 14.7.

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$ , $Q = \pi/\delta = 30$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.067\,\mathrm{Hz}$ .

Exercício 14.8 ★★

Dê a fase do deslocamento em relação à força bem abaixo da ressonância, na ressonância e bem acima, e a fase da velocidade na ressonância. Por que a ressonância em velocidade é a que importa para a potência?

Solução

Solução de Exercício 14.8.

Deslocamento: em fase ( $\varphi = 0$ ) bem abaixo, $-\pi/2$ na ressonância, $-\pi$ (oposto) bem acima. Velocidade na ressonância: em fase com a força. A potência vale $\vect F\cdot\vect v$ : é a fase da velocidade, e não a do deslocamento, que decide quanto trabalho a excitação realiza.

Exercício 14.9 ★★

Mostre que a amplitude da velocidade $V = \omega X$ é máxima exatamente em $\omega_0$ , com $V_{\max} = F_0/\alpha$ , e que $V/V_{\max}$ tem a forma $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$ .

Solução

Solução de Exercício 14.9.

$V = \omega X = \omega(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}$ ; divida numerador e denominador por $\omega\omega_0/Q$ : $V = (F_0Q/m\omega_0)/ \sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}$ , e $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$ . A raiz quadrada é $\geq 1$ , e vale $1$ exatamente em $\omega = \omega_0$ .

Exercício 14.10 ★★★

Calcule a potência média absorvida na ressonância para $F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$ , $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , e a energia armazenada se $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ ; verifique que a razão entre elas vale $Q/\omega_0$ com $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

Solução

Solução de Exercício 14.10.

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$ ; $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$ ; $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ e $Q/\omega_0 = m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$ .

Exercício 14.11 ★★★

Um diapasão de $440\,\mathrm{Hz}$ é ouvido por $10\,\mathrm{s}$ (amplitude reduzida a $5\%$ ). Estime $\tau$ e $Q$ , a largura de banda da sua ressonância, e comente por que ele é um bom padrão de frequência.

Solução

Solução de Exercício 14.11.

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ , $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times 440 \times 3.3/2 \approx 4600$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$ . Ele responde a, e emite, essencialmente uma única frequência: um padrão bom a algumas partes em $10^4$ .

Exercício 14.12 ★★★

Deduza a frequência de balanço de um cilindro flutuante (Exemplo 14.3) pela lei de Newton e pela força de Arquimedes $\rho_wgS(h + x)$ ; mostre que $\omega_0^2 = g/h$ ; calcule o período para $h = 10\,\mathrm{cm}$ . Por que o resultado independe da massa e do líquido?

Solução

Solução de Exercício 14.12.

$m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x) = -\rho_wgSx$ (pois $mg = \rho_wgSh$ ): $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ ; $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$ . Tanto a massa quanto a densidade do líquido entram apenas através da profundidade de equilíbrio $h$ .

Um sismógrafo: uma massa pesada numa suspensão macia fica parada enquanto o solo se move, e a pena escreve a diferença — o oscilador excitado pela base do problema de fim de semana.

14.7 Problema: o sismógrafo

Problema 14.1

Problema de fim de semana — uma massa pende de uma mola dentro de uma caixa aparafusada ao solo; o solo treme: o que a pena registra, por que o mesmo instrumento mede deslocamento em alta frequência e aceleração em baixa frequência, e por que um sismômetro de longo período não pode ser simplesmente uma mola longa

Uma massa $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ pende de uma mola de constante elástica $k$ dentro de uma armação rígida presa ao solo; um amortecedor exerce $-\alpha\dot u$ , sendo $u$ o deslocamento da massa em relação à armação, medido a partir da sua posição de equilíbrio. O solo, e portanto a armação, se move verticalmente segundo $x_g(t)$ . O referencial das estrelas distantes é inercial.

Parte I — A equação.

Escreva a posição absoluta da massa como $x = x_g + u + \text{const}$ , liste as forças sobre a massa (no referencial inercial) e mostre que

$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$
Ponha-a na forma canônica; identifique $\omega_0$ e $Q$ .
O instrumento é construído com $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ e $Q = 0.70$ : calcule $k$ e $\alpha$ .
Uma aceleração constante do solo $a_g$ (a armação se inclinando, digamos) dá que $u$ permanente? Interprete.
O que registra a pena presa à massa, escrevendo num tambor fixo à armação?

Parte II — Movimento harmônico do solo. O solo se move segundo $x_g = X_g\cos\omega t$ ; escreva $x_r = \omega/\omega_0$ .

Usando amplitudes complexas, mostre que $\underline U = X_g\,x_r^2/ (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ .
Deduza $U/X_g$ em função de $x_r$ e de $Q$ .
Limite $x_r \gg 1$ : mostre que $U \to X_g$ e explique fisicamente o que a massa faz (o que o instrumento está medindo?).
Limite $x_r \ll 1$ : mostre que $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ , sendo $a_g$ a amplitude da aceleração do solo: o que é o instrumento agora?
Valor em $x_r = 1$ ; por que $Q \approx 0.7$ é uma escolha sensata?
Esboce $U/X_g$ contra $x_r$ (escalas logarítmicas) para $Q = 0.7$ e $Q = 5$ .
Fase de $u$ em relação a $x_g$ em alta frequência; interprete.

Parte III — Projetando para terremotos. Terremotos distantes produzem ondas de superfície de $0.05\,$ a $0.1\,\mathrm{Hz}$ com amplitudes milimétricas; tremores locais chegam a $5\,$ ou $10\,\mathrm{Hz}$ .

Para registrar ondas de $0.05\,\mathrm{Hz}$ como deslocamentos quer-se $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ , digamos $0.02\,\mathrm{Hz}$ . Que alongamento estático a mola teria sob o peso da massa? Comente.
Um pêndulo simples de mesma frequência: que comprimento?
Os instrumentos reais de longo período usam um pêndulo quase horizontal do tipo “porteira de jardim”, ou uma realimentação eletrônica de força. Explique em uma frase o que cada solução consegue.
Para o instrumento de $0.50\,\mathrm{Hz}$ , calcule o alongamento estático: é viável?
Com ele, uma onda de $0.10\,\mathrm{Hz}$ e amplitude $1.0\,\mathrm{mm}$ dá que $U$ ? Em que regime está o instrumento?
Um tremor local de $5.0\,\mathrm{Hz}$ e amplitude $1.0\,\mathrm{mm}$ : qual $U$ ? Qual regime?

Parte IV — O acelerômetro de um celular. Uma massa micro-usinada sobre molas de silício tem $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ e $Q = 0.7$ .

Um tremor de $10\,\mathrm{Hz}$ com amplitude de aceleração $g$ : calcule $U$ . Como se lê um deslocamento desses?
Até que frequência a leitura fica a menos de $10\%$ de $a_g/\omega_0^2$ ?
Que constante de tempo $\tau = 2Q/\omega_0$ governa a sua resposta a um solavanco, e por que isso importa para detectar uma queda?
O $\tau$ do sismômetro: valor e consequência após um degrau súbito do solo.
Por que se escolhe o amortecimento crítico (ou quase crítico) para os dois instrumentos, em vez de um $Q$ alto?
O celular é sacudido exatamente a $1.0\,\mathrm{kHz}$ : por qual fator a leitura se afasta do valor correto?
Resuma: um único dispositivo, dois regimes, decididos por qual única comparação.

Solução

Solução de Problema 14.1.

1. Forças: peso (equilibrado pelo alongamento estático), mola $-ku$ , amortecedor $-\alpha\dot u$ ; $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ com $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ .

2. $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$ , $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ .

3. $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $\alpha = m\omega_0/Q = 3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

4. $u = -a_g/\omega_0^2$ : a massa se desloca de um valor fixo — o instrumento é um acelerômetro em frequência nula (e um inclinômetro).

5. O deslocamento relativo $u(t)$ .

6. $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U = \omega^2X_g$ ; divida por $\omega_0^2$ .

7. $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ .

8. $U \to X_g$ : a massa não se move no referencial inercial (a sua inércia a mantém parada, enquanto a mola é macia demais para arrastá-la); a armação se move em torno dela, e a pena registra o deslocamento do solo — é um sismômetro.

9. $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$ : um acelerômetro.

10. $U = QX_g = 0.7X_g$ : sem pico; os dois regimes se juntam suavemente e o instrumento não ressoa.

11. Para $Q = 0.7$ : uma reta de inclinação $2$ subindo até $1$ perto de $x_r = 1$ , depois plana em $1$ ; para $Q = 5$ : o mesmo, com um pico de altura $5$ em $x_r = 1$ .

12. $\underline U \to -X_g$ : $u = -x_g$ , a massa parada enquanto a armação se move.

13. $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$ : absurdo.

14. $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$ .

15. Porteira de jardim: o pêndulo oscila em torno de um eixo quase vertical, de modo que só uma fração minúscula de $g$ o restaura e um braço curto dá um período longo. Realimentação de força: uma bobina mantém a massa fixa, e a corrente necessária é proporcional à aceleração do solo — a rigidez passa a ser eletrônica e ajustável.

16. $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$ : viável.

17. $x_r = 0.2$ : $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$ : $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — regime de acelerômetro, exige amplificação (alavanca óptica ou eletrônica).

18. $x_r = 10$ : $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$ : $1.0\,\mathrm{mm}$ , registro fiel do deslocamento.

19. $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — lido como a variação da folga de um capacitor.

20. $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ ; com $Q = 0.7$ ela decresce monotonicamente e permanece acima de $0.9$ até $x_r \approx 0.7$ : cerca de $700\,\mathrm{Hz}$ .

21. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$ : ele acompanha uma queda (dezenas de milissegundos) sem atraso.

22. $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$ : após um degrau do solo o registro se acomoda em meio segundo, sem oscilar.

23. Um $Q$ alto faria o instrumento ressoar em $f_0$ após cada solavanco (registrando a si mesmo em vez do solo) e produziria um pico perto de $f_0$ ; $Q \approx 0.7$ é plano e rápido.

24. $U = QX_g = 0.7X_g$ contra o ideal $X_g$ (ou $a_g/\omega_0^2 = X_g$ ): $30\%$ abaixo.

25. Compare a frequência do sinal com $f_0$ : bem acima, a massa é uma referência fixa e $u$ é o deslocamento; bem abaixo, $u$ é a aceleração dividida por $\omega_0^2$ .

Termos definidos neste capítulo

Oscilador harmônico

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