Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

28Magnetostática: campo, forças e dipolos

Uma agulha de bússola gira quando um fio próximo conduz corrente: essa observação de Ørsted, em 1820, uniu duas ciências que haviam crescido separadas, a eletricidade e o magnetismo, e em poucos meses Ampère tinha a lei da força entre correntes, e Biot e Savart, o campo de um fio. Este capítulo é a estática do campo magnético: o que as correntes criam (mapas de campo, a lei de Biot–Savart e o teorema de Ampère, o gêmeo magnético da lei de Gauss), o que o campo faz às correntes (a força de Laplace, que move todo motor e todo instrumento de medida) e o dipolo magnético, a espira de corrente que explica a bússola, o ímã e o campo da própria Terra.

O mais antigo instrumento do magnetismo: uma agulha de bússola é um pequeno dipolo magnético que se alinha com o campo da Terra.

A experiência de Ørsted: feche o circuito e a agulha gira — uma corrente cria um campo magnético que circula o fio.

28.1 Fontes e mapas de campo

Definição 28.1 (Campo magnetostático)

Correntes permanentes (cargas em movimento permanente) criam em todo ponto um campo magnético $\vect B$ (tesla, $\mathrm{T}$ ), definido pela força $q\vect v\wedge\vect B$ que ele exerce sobre uma carga de prova em movimento (Definição 17.1). As suas linhas de campo são tangentes a $\vect B$ e orientadas segundo ele. Os ímãs permanentes criam campos da mesma natureza, a partir das correntes microscópicas dos seus átomos. Ordens de grandeza: a Terra, $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ; um ímã de geladeira, $0.01\,\mathrm{T}$ ; um aparelho de ressonância magnética, de $1.5\,\mathrm{T}$ a $3\,\mathrm{T}$ ; os maiores campos permanentes de laboratório, $45\,\mathrm{T}$ .

Proposição 28.2 (Mapas de campo)

Um fio retilíneo: círculos centrados no fio, em planos perpendiculares a ele, orientados pela regra da mão direita (polegar no sentido da corrente, dedos no sentido de $\vect B$ ).
Uma espira circular: linhas que a atravessam ao longo do seu eixo e se fecham por fora; de longe, o mapa de um pequeno ímã.
Um solenoide longo: linhas paralelas, densas e uniformes dentro; quase nenhum campo fora; é o mapa de um ímã em barra, cuja face “norte” é aquela de onde as linhas saem.
As linhas de campo magnético não têm começo nem fim: elas se fecham sobre si mesmas ou vão para o infinito. Equivalentemente, o fluxo de $\vect B$ através de qualquer superfície fechada é nulo — não existem cargas magnéticas.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Três mapas de campo. Um ponto é uma corrente que vem para o leitor, e uma cruz, uma corrente que se afasta. As linhas de um fio são círculos; as de uma espira a atravessam e se fecham por fora; as de um solenoide longo são retas e uniformes dentro e se fecham bem longe, onde o campo é fraco — em todos os casos elas não têm nem fonte nem sumidouro.

Proposição 28.3 (Simetrias de $\vect B$ )

$\vect B$ se comporta na reflexão especular de modo oposto a $\vect E$ (ele é um pseudovetor, construído a partir de um produto vetorial): num ponto de um plano de simetria das correntes, $\vect B$ é perpendicular ao plano; num ponto de um plano de antissimetria (a imagem especular inverte as correntes), $\vect B$ está contido no plano. As invariâncias se transferem como para $\vect E$ .

Demonstração. O campo de um elemento de corrente é $\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r$ (veja abaixo); um espelho inverte um dos fatores de um produto vetorial em relação à imagem de um vetor verdadeiro, de modo que a imagem de $\vect B$ é o oposto da imagem especular da flecha. Num plano de simetria $\vect B$ tem de ser igual ao oposto da sua própria imagem especular, e portanto normal ao plano; num plano de antissimetria, o oposto do oposto: contido no plano. ∎

Exemplo 28.4 (Usando as simetrias)

Para um fio retilíneo, todo plano que contém o fio é um plano de simetria, de modo que em cada ponto $\vect B$ é perpendicular ao plano que passa pelo fio e pelo ponto: ortorradial, $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ por invariância ao longo e em torno do fio. Para uma espira, o plano da espira é um plano de simetria: nele $\vect B$ é normal à espira; o eixo está contido em todos os planos de antissimetria que o contêm: no eixo $\vect B$ é axial.

28.2 A lei de Biot–Savart

Teorema 28.5 (Biot–Savart)

Um circuito que conduz a corrente $I$ cria em $M$ o campo

\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{circuito}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,

soma sobre os elementos $\dd\vect l$ do circuito nos pontos $P$ , orientados no sentido da corrente, sendo $\vect e_{PM}$ o vetor unitário de $P$ para $M$ e $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}$ a permeabilidade do vácuo. Cada elemento contribui com um campo perpendicular a si mesmo e à reta $PM$ , que cai como $1/PM^2$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Proposição 28.6 (Fio, espira, solenoide)

Fio retilíneo infinito, à distância $r$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ .
Espira circular de raio $R$ , no seu eixo à distância $z$ do centro: $B_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R} \sin^3\alpha$ , sendo $\alpha$ o semiângulo sob o qual a espira é vista de $M$ ; no centro, $B = \mu_0I/2R$ .
Solenoide de $n$ espiras por metro, no seu eixo: $B = \tfrac12\mu_0nI (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ , sendo $\alpha_1, \alpha_2$ os ângulos sob os quais se veem as duas extremidades; para um solenoide longo, $B = \mu_0nI$ dentro, e metade disso numa extremidade.

Demonstração. (1) $M$ à distância $r$ do fio, $P$ na abscissa $z$ ao longo dele: $\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}$ tem módulo $\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM$ com $PM = \sqrt{r^2 + z^2}$ , e todas as contribuições são ortorradiais: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}$ . (2) Cada elemento da espira está à mesma distância $\sqrt{R^2 + z^2}$ de $M$ , perpendicular a $\vect e_{PM}$ ; o seu campo tem módulo $\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2)$ , e só a componente axial, a fração $R/\sqrt{R^2 + z^2}$ dele, sobrevive à soma ao longo da espira: $B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 + z^2)^{3/2}$ . (3) Uma fatia $\dd z'$ de solenoide é uma espira de corrente $nI\,\dd z'$ ; com $z' - z = R/\tan\alpha$ , $\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha$ , e $B = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha}$ sobre o solenoide $= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ ; infinitamente longo, $\alpha_1 \to 0$ , $\alpha_2 \to \pi$ . ∎

Os três cálculos de Biot–Savart do capítulo: o elemento l de um fio e a sua contribuição em M, perpendicular ao plano da figura; a espira vista de M sob o semiângulo ; e o solenoide, cujas extremidades são vistas sob _1 e _2. — Os três cálculos de Biot–Savart do capítulo: o elemento $\dd\vect l$ de um fio e a sua contribuição em $M$ , perpendicular ao plano da figura; a espira vista de $M$ sob o semiângulo $\alpha$ ; e o solenoide, cujas extremidades são vistas sob $\alpha_1$ e $\alpha_2$ .

Exemplo 28.7 (Ordens de grandeza)

Um fio de $10\,\mathrm{A}$ a $1\,\mathrm{cm}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ , quatro vezes o campo da Terra — a bússola gira mesmo. Uma bobina de $100$ espiras, raio $5\,\mathrm{cm}$ , com $2\,\mathrm{A}$ : $\mu_0NI/2R = 2.5\,\mathrm{mT}$ no seu centro. Um solenoide de $1000$ espiras por metro a $5\,\mathrm{A}$ : $6.3\,\mathrm{mT}$ ; com um núcleo de ferro de permeabilidade relativa $1000$ , seguiriam vários tesla, se o ferro não saturasse perto de $2\,\mathrm{T}$ — o teto de todo eletroímã, e é por isso que os campos mais fortes vêm de bobinas supercondutoras sem ferro.

28.3 A lei de Ampère

Teorema 28.8 (Ampère)

A circulação de $\vect B$ ao longo de qualquer curva fechada orientada $\Gamma$ é igual a $\mu_0$ vezes a corrente total que atravessa qualquer superfície apoiada em $\Gamma$ , contada positivamente quando ela atravessa no sentido dado pela regra da mão direita a partir da orientação de $\Gamma$ :

\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{enlaçada}} .

Demonstração. Para um círculo de raio $r$ centrado num fio retilíneo, $\vect B$ é tangente e de módulo $\mu_0I/2\pi r$ em toda parte, de modo que a circulação vale $2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I$ , independente de $r$ ; para uma curva que não envolve o fio, as contribuições se cancelam. O caso geral fica admitido (volume do segundo ano). ∎

Método 28.9 (Usar a lei de Ampère)

Como no caso de Gauss: (1) as simetrias dão a direção de $\vect B$ e a variável de que ele depende; (2) escolha uma curva amperiana que passe por $M$ e sobre a qual $\vect B$ seja tangente com módulo constante ou então perpendicular; (3) conte a corrente que a atravessa; (4) isole. Funciona para fios e cilindros infinitos, solenoides e toroides infinitos, e lâminas de corrente infinitas.

Proposição 28.10 (Cilindro, solenoide, toroide)

Um fio cilíndrico de raio $a$ que conduz $I$ uniformemente: $B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}$ dentro e $\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ fora — o máximo fica na superfície.
Um solenoide infinito de $n$ espiras por metro: $\vect B = \mu_0nI\, \vect e_z$ uniforme dentro e $\vect 0$ fora, qualquer que seja a forma da sua seção.
Um toroide de $N$ espiras: $B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}$ dentro dos enrolamentos e nulo fora — é um solenoide fechado sobre si mesmo, sem campo disperso.

Demonstração. (1) Círculo de raio $r$ : $2\pi rB = \mu_0I(r/a)^2$ ou $\mu_0I$ . (2) $\vect B$ é axial por simetria e, por Ampère num retângulo com os dois lados longos fora, uniforme fora, e portanto nulo (ele se anula no infinito); um retângulo com um lado longo dentro, de comprimento $\ell$ , dá $B\ell = \mu_0n\ell I$ . (3) Círculo de raio $r$ dentro do toro: $2\pi rB = \mu_0NI$ ; fora, a corrente encerrada é nula. ∎

À esquerda: o campo de um fio espesso, linear dentro e em 1/r fora, máximo na superfície. À direita: o retângulo amperiano que dá o campo de um solenoide infinito — só o lado que fica dentro contribui para a circulação. — À esquerda: o campo de um fio espesso, linear dentro e em $1/r$ fora, máximo na superfície. À direita: o retângulo amperiano que dá o campo de um solenoide infinito — só o lado que fica dentro contribui para a circulação.

28.4 A força de Laplace

Teorema 28.11 (Força de Laplace)

Um elemento de condutor $\dd\vect l$ que conduz $I$ num campo $\vect B$ recebe a força $\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ ; um segmento retilíneo $\vect L$ num campo uniforme recebe $\vect F = I\vect L\wedge\vect B$ , de módulo $ILB\sin\theta$ , perpendicular ao fio e ao campo.

Demonstração. Os portadores de carga em $\dd\vect l$ (em número $n\,S\,\dd l$ , de carga $q$ e velocidade de deriva $\vect v$ ) sentem cada um $q\vect v\wedge\vect B$ ; a sua soma vale $nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ , pois $I = nqvS$ e $\vect v$ é paralelo a $\dd\vect l$ . Os portadores transmitem a força à rede cristalina do fio pelas suas colisões. ∎

Proposição 28.12 (Força entre fios paralelos)

Dois fios longos e paralelos separados de $d$ , conduzindo $I_1$ e $I_2$ , se atraem se as correntes forem paralelas e se repelem se forem antiparalelas, com a força por unidade de comprimento

\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .

Dois fios a $1\,\mathrm{m}$ um do outro conduzindo $1\,\mathrm{A}$ sentem $2 \times 10^{-7}$ N por metro — a definição do ampère de 1948 a 2019, e a origem do valor $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ .

Demonstração. O fio 1 cria $\mu_0I_1/2\pi d$ no fio 2, perpendicular a ele; a força de Laplace sobre um comprimento $\ell$ do fio 2 vale $I_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d$ , dirigida ao fio 1 quando as correntes são paralelas (verifique com a regra da mão direita). ∎

A força de Laplace: entre fios paralelos (à esquerda e no meio) e sobre uma barra deslizante que conduz corrente através de um campo (à direita) — os trilhos de Laplace, cujo balanço de energia é assunto do . — A força de Laplace: entre fios paralelos (à esquerda e no meio) e sobre uma barra deslizante que conduz corrente através de um campo (à direita) — os trilhos de Laplace, cujo balanço de energia é assunto do Capítulo 29.

28.5 O dipolo magnético

Definição 28.13 (Momento magnético)

Uma espira plana de área $S$ que conduz $I$ , orientada pela regra da mão direita (a normal $\vect n$ segundo o polegar quando os dedos seguem $I$ ), tem momento magnético $\vect m = IS\,\vect n$ ( $\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ); para $N$ espiras, $NIS\,\vect n$ . Vista de distâncias $r \gg \sqrt S$ , a espira é um dipolo magnético: o seu campo tem exatamente a forma do campo do dipolo elétrico com $\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m$ :

B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .

Um ímã em barra, um átomo, a Terra são dipolos magnéticos: o momento da Terra vale $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ , e o de um elétron, $9.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ (o magnéton de Bohr).

Demonstração. No eixo, o campo da espira $\mu_0IR^2/2z^3$ para $z \gg R$ é igual a $\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3$ com $m = I\pi R^2$ , coincidindo com $B_r$ em $\theta = 0$ ; a forma angular completa fica admitida. ∎

Teorema 28.14 (Dipolo num campo)

Um momento magnético $\vect m$ num campo uniforme $\vect B$ não sente força resultante, mas sim um torque $\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B$ que o alinha com o campo, e tem a energia potencial $E_p = -\vect m\cdot\vect B$ . Num campo não uniforme ele é puxado para a região de campo intenso quando está alinhado (e empurrado para longe quando antialinhado).

Demonstração. Para uma espira retangular $a \times b$ com $\vect n$ fazendo o ângulo $\theta$ com $\vect B$ : as forças de Laplace sobre os dois lados de comprimento $b$ paralelos ao eixo de rotação valem $\pm IbB$ , opostas e separadas de $a\sin\theta$ : um binário de momento $IabB\sin\theta = mB\sin\theta$ , que tende a reduzir $\theta$ ; as forças sobre os outros dois lados são opostas e colineares. Energia: $\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta$ com $\Gamma = -mB\sin\theta$ dá $E_p = -mB\cos\theta$ . Toda espira plana é uma soma de pequenos retângulos; o caso não uniforme fica admitido. ∎

À esquerda: uma espira de corrente num campo uniforme, vista ao longo do seu eixo de rotação — as forças de Laplace sobre os dois lados formam um binário que alinha o momento com o campo. À direita: as linhas de campo de um ímã em barra são as de um dipolo magnético, de forma idêntica às do dipolo elétrico, saindo da face norte e voltando à sul.

Exemplo 28.15 (A bússola e a Terra)

Uma agulha de bússola é um pequeno ímã, de momento $m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ; na componente horizontal do campo da Terra, $B_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , o torque $mB_h\sin\theta$ a vira para o norte, e ela oscila em torno do norte com período $2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s}$ (Exercício 28.9). O dipolo da própria Terra, $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ , equivale a uma corrente de alguns bilhões de ampères circulando no núcleo de ferro líquido; o campo que ele faz na superfície é o mais fraco do capítulo e foi o primeiro que alguém usou.

28.6 Exercícios

Exercício 28.1 ★

Campo a $1.0\,\mathrm{cm}$ de um fio retilíneo que conduz $10\,\mathrm{A}$ ; corrente necessária para chegar a $1\,\mathrm{T}$ nessa distância; distância em que o campo de um fio de $100\,\mathrm{A}$ iguala os $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ da Terra.

Solução

Solução de Exercício 28.1.

$B = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ . Para $1\,\mathrm{T}$ : $I = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ . O valor da Terra em $r = 2 \times 10^{-7} \times 100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}$ .

Exercício 28.2 ★

Campo no centro de uma bobina de $100$ espiras, raio $5.0\,\mathrm{cm}$ , conduzindo $2.0\,\mathrm{A}$ ; e no seu eixo a $5.0\,\mathrm{cm}$ e a $50\,\mathrm{cm}$ do centro.

Solução

Solução de Exercício 28.2.

Centro: $\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}$ . Em $z = R$ : $\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}$ : $0.89\,\mathrm{mT}$ . Em $z = 10R$ : $\times(1/101)^{3/2} = 10^{-3}$ : $2.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ , já a lei dipolar em $1/z^3$ .

Exercício 28.3 ★

Um solenoide de $1000$ espiras por metro conduz $5.0\,\mathrm{A}$ : campo dentro, longe das extremidades, e bem na extremidade. Número de espiras de fio de $0.5\,\mathrm{mm}$ que se pode enrolar por metro numa única camada, e o campo então a $5\,\mathrm{A}$ .

Solução

Solução de Exercício 28.3.

$B = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}$ ; na extremidade, metade: $3.1\,\mathrm{mT}$ . Fio de $0.5\,\mathrm{mm}$ : $2000$ espiras por metro, logo $12.6\,\mathrm{mT}$ a $5\,\mathrm{A}$ .

Exercício 28.4 ★

Força sobre um fio de $1.0\,\mathrm{m}$ conduzindo $10\,\mathrm{A}$ perpendicular a um campo de $0.10\,\mathrm{T}$ ; e sobre o mesmo fio a $30{}^{\circ}$ do campo. Um motor tem $100$ fios desses num rotor de raio $5\,\mathrm{cm}$ : torque (ordem de grandeza).

Solução

Solução de Exercício 28.4.

$F = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}$ ; a $30{}^{\circ}$ , $\sin30^\circ$ : $0.5\,\mathrm{N}$ . Motor: $100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ — um pequeno motor industrial.

Exercício 28.5 ★★

Campo de um segmento retilíneo finito à distância $d$ da sua reta, com as suas extremidades vistas sob os ângulos $\alpha_1$ e $\alpha_2$ (medidos a partir da perpendicular): $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ . Verifique o limite do fio infinito. Campo no centro de uma espira quadrada de lado $a$ .

Solução

Solução de Exercício 28.5.

Com $z = d\tan\alpha$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d} (\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ ; fio infinito, $\alpha_{1,2} = \mp\pi/2$ : $\mu_0I/2\pi d$ . Quadrado: cada lado a $d = a/2$ visto sob $\pm45^\circ$ dá $\mu_0I\sqrt2/2\pi a$ ; quatro lados: $B = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a$ (um círculo do mesmo “raio” $a/2$ daria $\mu_0I/a$ ).

Exercício 28.6 ★★

Bobinas de Helmholtz. Duas bobinas idênticas ( $N$ espiras, raio $R$ ) num eixo comum, separadas de $R$ , conduzem a mesma corrente no mesmo sentido. Campo no ponto médio; mostre que a primeira e a segunda derivadas de $B$ ao longo do eixo se anulam ali. Números: $N = 100$ , $R = 15\,\mathrm{cm}$ , $I = 1.0\,\mathrm{A}$ .

Solução

Solução de Exercício 28.6.

$B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2)$ com $f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2}$ . Ponto médio: $2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R$ . $f'$ é ímpar, logo $B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0$ ; $f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 + u^2)^{-7/2}$ se anula em $u = R/2$ , logo $B''(0) = 2f''(R/2) = 0$ : o campo é uniforme até a terceira ordem. Números: $0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 = 0.60\,\mathrm{mT}$ .

Exercício 28.7 ★★

Um fio de cobre de raio $2.0\,\mathrm{mm}$ conduz $100\,\mathrm{A}$ . Campo na superfície, a $1.0\,\mathrm{mm}$ do eixo e a $1.0\,\mathrm{cm}$ . Esboce $B(r)$ . O fio passa a ser o condutor interno de um cabo coaxial cuja blindagem conduz a corrente de retorno: campo fora da blindagem.

Solução

Solução de Exercício 28.7.

Superfície: $\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}$ ; a $1\,\mathrm{mm}$ , dentro, $\times r/a$ : $5\,\mathrm{mT}$ ; a $1\,\mathrm{cm}$ : $2\,\mathrm{mT}$ . $B$ cresce linearmente até a superfície e depois cai como $1/r$ . Coaxial: fora da blindagem a corrente encerrada é nula, $B = 0$ .

Exercício 28.8 ★★

Força por metro entre dois fios a $1\,\mathrm{m}$ um do outro com $1\,\mathrm{A}$ ; entre dois barramentos a $10\,\mathrm{cm}$ conduzindo $10\,\mathrm{kA}$ ; e sob um curto-circuito de $100\,\mathrm{kA}$ . O que tem de segurar os barramentos?

Solução

Solução de Exercício 28.8.

$2 \times 10^{-7}$ N/m. Barramentos: $2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; a $100\,\mathrm{kA}$ : $2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — duas toneladas por metro. Os suportes isolantes dos quadros de manobra são dimensionados para a corrente de falta, e não para a de trabalho.

Exercício 28.9 ★★

Uma agulha de bússola, de momento $m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ e momento de inércia $J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ , num campo horizontal $B_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . Torque a $90{}^{\circ}$ ; trabalho para virá-la do norte ao sul; período das pequenas oscilações. Como se mede $B_h$ com ela?

Solução

Solução de Exercício 28.9.

$\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $W = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ ; $J\ddot\theta = -mB_h\theta$ : $T = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} = 1.4\,\mathrm{s}$ . Cronometre as oscilações: $B_h = 4\pi^2J/mT^2$ , uma vez conhecidos $m$ e $J$ (Gauss media $m$ separadamente, pelo desvio que ele impõe a uma segunda agulha).

Exercício 28.10 ★★★

A Terra como dipolo. (a) Mostre que, no seu eixo e bem longe, o campo de uma espira vale $B = \mu_0m/2\pi z^3$ com $m = I\pi R^2$ ; compare com o dipolo elétrico. (b) O campo no polo magnético vale cerca de $6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : deduza o momento dipolar da Terra. (c) Corrente numa espira de raio $3000\,\mathrm{km}$ (o núcleo) que o produziria. (d) Campo no equador no modelo dipolar; e a inclinação magnética do campo na latitude $45{}^{\circ}$ (use $B_r$ e $B_\theta$ ).

Solução

Solução de Exercício 28.10.

(a) $\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3$ : o $2p/4\pi\varepsilon_0z^3$ elétrico com $1/\varepsilon_0 \to \mu_0$ . (b) $m = 2\pi R_E^3B/ \mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ . (c) $I = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}$ . (d) Equador ( $\theta = 90^\circ$ ): $B_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , metade do valor polar. Em $\theta = 45^\circ$ : $\tan(\text{inclinação}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2$ , inclinação $= 63{}^{\circ}$ — o campo mergulha abruptamente no solo nas latitudes médias.

Exercício 28.11 ★★★

Solenoide finito. Comprimento $L = 20\,\mathrm{cm}$ , raio $R = 2.0\,\mathrm{cm}$ , $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ , $I = 3.0\,\mathrm{A}$ . Campo no centro e numa extremidade pela fórmula do curso; fração do valor do solenoide infinito; a que distância fora, ao longo do eixo, o campo caiu a $1\%$ do valor central? Esboce $B(z)$ ao longo do eixo.

Solução

Solução de Exercício 28.11.

$\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}$ . Centro: $\tan\alpha_1 = R/(L/2) = 0.2$ , $\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981$ : $B = 0.981\,\mu_0nI = 7.4\,\mathrm{mT}$ ( $98\%$ ). Extremidade: $\cos\alpha_1 = 0$ , $\tan\alpha_2 = R/L$ , $\cos\alpha_2 = -0.995$ : $B = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT}$ ( $50\%$ ). Fora, a uma distância $x$ além da extremidade, com as duas extremidades do mesmo lado: $B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) \approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]$ ; $1\%$ do valor central em $x \approx 10\,\mathrm{cm}$ , meio comprimento adiante. $B(z)$ : um topo plano ao longo de quase todo o comprimento, caindo à metade nas extremidades e a alguns por cento a um comprimento de distância.

Exercício 28.12 ★★★

Pressão magnética. Num solenoide longo o campo vale $B$ dentro e $0$ fora; os enrolamentos conduzem a corrente superficial $K = nI$ por metro de comprimento. (a) Mostre que o campo sobre os enrolamentos, a média entre o de dentro e o de fora, vale $B/2$ , e que a força de Laplace sobre eles é uma pressão dirigida para fora, $p = B^2/2\mu_0$ . (b) Números para $1\,\mathrm{T}$ , $10\,\mathrm{T}$ e $45\,\mathrm{T}$ ; compare com a pressão atmosférica e com a resistência à tração do aço ( $1\,\mathrm{GPa}$ ). (c) O que limita os ímãs permanentes mais fortes?

Solução

Solução de Exercício 28.12.

(a) O campo próprio dos enrolamentos salta de $0$ a $B$ ao atravessá-los; o campo que age sobre eles é a média, $B/2$ (a lâmina não pode empurrar a si mesma). Força sobre um elemento de enrolamento de comprimento $\dd l$ e largura $\dd z$ conduzindo $K\,\dd z$ : $K\,\dd z\,\dd l\,B/2$ , radial para fora (verifique com $I\,\dd\vect l \wedge\vect B$ ): pressão $p = KB/2 = B^2/2\mu_0$ , pois $K = nI = B/\mu_0$ . (b) $1\,\mathrm{T}$ : $4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $4\,\mathrm{bar}$ ; $10\,\mathrm{T}$ : $400\,\mathrm{bar}$ ; $45\,\mathrm{T}$ : $8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ = $8000\,\mathrm{bar}$ , perto do $1\,\mathrm{GPa}$ do aço. (c) Os enrolamentos têm de suportar uma pressão que cresce como $B^2$ : acima de uns $40\,\mathrm{T}$ nenhum material e nenhum esquema de refrigeração dá conta — o limite dos ímãs permanentes é mecânico (e, para os supercondutores, o seu campo crítico).

Uma linha de transmissão de alta tensão: três condutores por circuito, cujas correntes somam zero, de modo que os seus campos se cancelam a distância. Fotografia: Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.

28.7 Problema: o cabo, a linha e o instrumento

Problema 28.1

Problema de fim de semana — a lei de Ampère num cabo coaxial, forças de Laplace numa linha de transmissão e o projeto de um galvanômetro de bobina móvel

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI; resistividade do cobre $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ .

Parte I — O cabo coaxial. Um cabo conduz $I = 1.0\,\mathrm{A}$ por uma alma maciça de cobre de raio $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ e de volta por uma blindagem de raio interno $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ e raio externo $c = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; as correntes são uniformes na seção de cada condutor.

Simetrias e invariâncias: direção de $\vect B$ e a variável de que ele depende.
$B(r)$ na alma, entre os condutores e fora do cabo, pela lei de Ampère.
Valores em $r = a$ e $r = b$ .
A alma é substituída por um tubo fino de cobre do mesmo raio $a$ conduzindo a mesma corrente: o que muda em cada região?
$B(r)$ dentro da blindagem ( $b < r < c$ ); verifique os valores em $b$ e em $c$ ; esboce $B(r)$ de $0$ a $4\,\mathrm{mm}$ .
Força de Laplace sobre a blindagem: sentido (atração ou repulsão em relação à alma?) e módulo por unidade de área, tomando o campo na blindagem como a média entre os seus valores em $b$ e em $c$ . O mesmo para uma corrente pulsada de $10\,\mathrm{kA}$ .
Por que a geometria coaxial é usada para sinais? Compare com um par de fios paralelos separados de $d = 2\,\mathrm{mm}$ : campo à distância $D = 10\,\mathrm{cm}$ do par (superponha os dois fios).

Parte II — A linha de transmissão. Dois condutores horizontais separados de $d = 1.0\,\mathrm{m}$ , a $h = 10\,\mathrm{m}$ acima do solo, conduzem $I = 500\,\mathrm{A}$ em sentidos opostos.

Campo de um dos condutores no ponto do solo situado abaixo do ponto médio; mostre que os dois campos se combinam num campo vertical e dê o seu valor; compare com o da Terra e com o limite de exposição de $100\,\text{µ}\mathrm{T}$ .
Mostre que, a distâncias $D \gg d$ , o campo do par cai como $\mu_0Id/2\pi D^2$ : por que mais depressa do que o de um único fio?
Campo a $1.0\,\mathrm{m}$ abaixo de um dos condutores, onde um técnico poderia trabalhar.
Força por metro entre os condutores; atração ou repulsão? O mesmo sob uma corrente de curto-circuito de $20\,\mathrm{kA}$ .
Força sobre um vão de $300\,\mathrm{m}$ , em regime normal e em curto-circuito; compare com o peso do vão ( $1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ); o que fazem as linhas durante um curto-circuito?
Uma linha trifásica conduz três correntes de mesma amplitude defasadas de $120{}^{\circ}$ : mostre que a sua soma se anula em todo instante, e o que isso implica para o campo distante.
Uma bússola no ponto da questão 8, onde o campo horizontal da Terra vale $2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : o campo da linha a desvia? (Considere a direção dele.)

Parte III — O galvanômetro de bobina móvel. Uma bobina retangular, $N = 200$ espiras, de lados $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ (paralelo ao eixo de rotação) e $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ , gira em torno do seu eixo no entreferro entre peças polares cilíndricas onde o campo, $B = 0.20\,\mathrm{T}$ , é radial: sempre no plano da bobina e perpendicular aos seus lados $a$ . Uma mola espiral exerce o torque restaurador $-C\theta$ com $C = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ . Momento de inércia da bobina e do ponteiro: $J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

Forças de Laplace sobre os quatro lados; quais delas produzem torque em torno do eixo?
Torque para uma corrente $I$ ; por que o campo radial o torna independente de $\theta$ ?
Deflexão $\theta$ no equilíbrio; sensibilidade em radianos por miliampère; corrente para uma deflexão de fundo de escala de $1.2\,\mathrm{rad}$ .
A bobina é enrolada com fio de cobre de diâmetro $0.10\,\mathrm{mm}$ : resistência da bobina; tensão nos seus terminais e potência dissipada em fundo de escala.
Equação do movimento da bobina; período próprio das oscilações em torno do equilíbrio.
O movimento da bobina no campo induz um torque de frenagem $-\alpha\dot\theta$ (Capítulo 29); valor de $\alpha$ para o amortecimento crítico, e por que ele é desejável.
Resistor em série para fazer um voltímetro de fundo de escala $10\,\mathrm{V}$ ; resistor em derivação para fazer um amperímetro de fundo de escala $1.0\,\mathrm{A}$ .
Momento magnético da bobina em fundo de escala; energia $-\vect m\cdot \vect B$ que ela teria, alinhada, num campo uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ ; compare com a energia armazenada na mola em fundo de escala.
Se o campo fosse uniforme em vez de radial, mostre que a escala deixaria de ser linear: escreva a condição de equilíbrio com $\theta$ medido a partir da posição em que o plano da bobina contém $\vect B$ .
Uma corrente de $50\,\mathrm{Hz}$ e amplitude $0.5\,\mathrm{mA}$ é aplicada ao instrumento: o que o ponteiro mostra, e por quê? (Compare $50\,\mathrm{Hz}$ com a frequência própria.)
Resuma as três cenas em três números, e diga que lei única produziu cada um.

Solução

Solução de Problema 28.1.

1. Todo plano que contém o eixo é um plano de simetria das correntes: $\vect B$ é perpendicular a ele, ortorradial; por invariância ao longo e em torno do eixo: $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ .

2. Círculo de raio $r$ : $2\pi rB = \mu_0I_{\text{enl}}$ . Alma: $I_{\text{enl}} = Ir^2/a^2$ , $B = \mu_0Ir/2\pi a^2$ ; entre os condutores: $\mu_0I/2\pi r$ ; fora ( $r > c$ ): $I - I = 0$ , $B = 0$ .

3. $B(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $B(b) = 2 \times 10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

4. Dentro do tubo nenhuma corrente é encerrada: $B = 0$ ali, em vez da subida linear; em todo o resto nada muda — o campo fora de uma corrente cilíndrica só depende da corrente total.

5. $I_{\text{enl}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 - b^2)$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$ , igual a $\mu_0I/2\pi b$ em $b$ e a $0$ em $c$ : contínuo. Esboço: linear até $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ em $0.5\,\mathrm{mm}$ , depois $1/r$ até $8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ em $2.5\,\mathrm{mm}$ , caindo a zero em $3\,\mathrm{mm}$ e nulo além disso.

6. A corrente da blindagem é antiparalela à da alma: repulsão, uma pressão dirigida para fora. Corrente superficial $K = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; campo médio $\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : $p = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ . A $10\,\mathrm{kA}$ : $\times10^8$ , $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $2.5\,\mathrm{bar}$ — os cabos de potência pulsada são construídos para aguentar isso.

7. Nenhum campo fora: o cabo não irradia nem capta interferência magnética das vizinhanças. Um par de fios: os dois campos quase se cancelam, deixando $\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T}$ a $10\,\mathrm{cm}$ — pouco, mas o coaxial dá zero.

8. $D = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}$ : cada um dá $\mu_0I/2\pi D = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , perpendicular à reta que vem do condutor. Sendo as correntes opostas, as componentes paralelas à reta que une os condutores se cancelam e as verticais se somam: $B = 2 \times 10^{-5} \times (d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}$ , vertical. Cinquenta vezes abaixo do campo da Terra e cem vezes abaixo do limite.

9. Para $D \gg d$ , $B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr) \sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}$ : os dois campos em $1/D$ se cancelam em primeira ordem e só a diferença entre eles, de tamanho relativo $d/D$ , sobrevive — um “dipolo de dois fios”.

10. O próprio condutor a $1\,\mathrm{m}$ : $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ horizontal; o outro a $1.41\,\mathrm{m}$ : $7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ a $45{}^{\circ}$ , em sentido oposto: resultante $(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5})$ , $7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ — $70\,\text{µ}\mathrm{T}$ , abaixo do limite para o público e muito abaixo do ocupacional.

11. $F/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 = 0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , repulsiva; a $20\,\mathrm{kA}$ : $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

12. $15\,\mathrm{N}$ em regime normal; $24\,\mathrm{kN}$ em curto-circuito, oito vezes o peso do vão, $2.9\,\mathrm{kN}$ : os condutores são lançados para longe, balançam e podem se chocar ao voltar — daí os espaçadores e os disjuntores que abrem em poucos ciclos.

13. $I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) = I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0$ : os três fasores somam zero. Os campos em $1/D$ se cancelam como no coaxial; o campo distante cai como $1/D^2$ ou mais depressa.

14. O campo da linha ali é vertical; uma bússola responde só à componente horizontal: nenhum desvio (a inclinação muda de $10^{-6}/(2 \times 10^{-5})$ , três graus, que a bússola não consegue mostrar).

15. Lados $a$ (paralelos ao eixo): o $\vect B$ radial é perpendicular a eles, força $NIaB$ em cada um, perpendicular ao plano da bobina e oposta nos dois lados: um binário. Lados $b$ : $\dd\vect l$ é radial, paralelo a $\vect B$ : nenhuma força.

16. $\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I$ (em N m, com $I$ em A). O campo radial está sempre no plano da bobina e perpendicular aos lados $a$ : as forças são sempre normais ao plano e o seu braço de alavanca $b/2$ nunca muda.

17. $C\theta = NISB$ : $\theta = 2400\,I$ rad, isto é, $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ ; fundo de escala $1.2\,\mathrm{rad}$ em $I = 0.50\,\mathrm{mA}$ .

18. Comprimento $200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}$ , seção $\pi(5 \times 10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}$ : $R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} = 43\,\Omega$ ; $U = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}$ ; $P = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}$ .

19. $J\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I$ : $\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7 \times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 0.51\,\mathrm{s}$ .

20. $J\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I$ : crítico para $\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}$ ; o ponteiro alcança então a sua leitura o mais rápido possível sem ultrapassá-la.

21. Voltímetro: $R_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega$ . Amperímetro: o resistor em derivação conduz $0.9995\,\mathrm{A}$ sob $22\,\mathrm{mV}$ : $R_{\text{der}} = 22\,\mathrm{m}\Omega$ .

22. $m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; mola $\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 = 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ : a mesma ordem — a mola armazena o que o torque magnético realizou enquanto a bobina girava.

23. Num campo uniforme o torque vale $mB\cos\theta$ (máximo quando o plano contém $\vect B$ , nulo quando a normal está ao longo dele): $C\theta = NISB\,I\cos\theta$ — linear só para $\theta$ pequeno, e comprimido no alto da escala.

24. $50\,\mathrm{Hz}$ contra $\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}$ : a bobina não consegue acompanhar; ela fica na média da corrente, zero, com um tremor de amplitude $\approx \theta_{\text{est}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , invisível. Um instrumento de bobina móvel lê a média — para corrente alternada ele precisa de um retificador.

25. $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ na alma de um coaxial de $1\,\mathrm{A}$ e nada fora (lei de Ampère); $1\,\text{µ}\mathrm{T}$ sob uma linha de $500\,\mathrm{A}$ e $0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ entre os seus condutores (Biot–Savart mais Laplace); $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ para o instrumento (binário de Laplace contra uma mola).

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