Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

6Circuitos em corrente contínua: leis de Kirchhoff e teoremas

Gire a chave numa manhã fria: o motor de partida geme, as luzes do painel enfraquecem por um segundo e o carro pega. A bateria que entregava $12.6\,\mathrm{V}$ estáveis um instante antes cai para onze enquanto o motor de partida puxa os seus cento e cinquenta ampères — e os faróis, ligados em paralelo, pagam a conta. Tudo o que acontece nesse segundo é regido por duas leis de conservação e por um punhado de teoremas sobre circuitos lineares, que este capítulo enuncia, demonstra e aplica: as leis de Kirchhoff, os modelos de fontes e resistores, os divisores, Thévenin e Norton, e a arte gráfica de encontrar um ponto de operação.

6.1 Corrente, tensão e regime quase estacionário

Definição 6.1 (Corrente elétrica)

A corrente elétrica através de uma superfície (a seção reta de um fio) é a carga que a atravessa por unidade de tempo, contada positivamente numa orientação escolhida:

i = \frac{\dd q}{\dd t} \qquad (\text{ampères: } 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}).

Inverter a orientação troca o sinal de $i$ . Num metal os portadores são elétrons, que derivam contra o sentido convencional da corrente, a uma fração de milímetro por segundo.

Definição 6.2 (Potencial e tensão)

Cada ponto de um circuito tem um potencial elétrico $V$ (volts), definido a menos de uma constante fixada pela escolha de uma terra ( $V = 0$ ). A tensão entre $A$ e $B$ é a diferença de potencial $u_{AB} = V_A - V_B$ , desenhada como uma seta de $B$ para $A$ . A energia que uma carga $q$ perde ao ir de $A$ a $B$ vale $q\,u_{AB}$ (isso se liga ao potencial eletrostático do Capítulo 27).

Definição 6.3 (Regime quase estacionário (ARQS))

Um circuito de dimensão $\ell$ excitado na frequência $f$ está no regime quase estacionário quando o tempo de propagação $\ell/c$ dos sinais elétricos ao longo dele é desprezível frente ao período $1/f$ : $\ell \ll c/f$ . A corrente é então a mesma em todos os pontos de um fio sem derivação em cada instante, e as leis abaixo se aplicam a cada instante a correntes e tensões variáveis no tempo (minúsculas $i$ , $u$ ) exatamente como às constantes ( $I$ , $U$ ).

Exemplo 6.4 (Quão quase é quase)

A $50\,\mathrm{Hz}$ , $c/f = 6000\,\mathrm{km}$ : uma casa está no regime quase estacionário. A $1\,\mathrm{MHz}$ , $300\,\mathrm{m}$ : um rádio ainda está. A $2\,\mathrm{GHz}$ , $15\,\mathrm{cm}$ : a placa de circuito de um celular não está, e as suas trilhas devem ser tratadas como linhas de transmissão — assunto do volume do segundo ano.

Teorema 6.5 (Leis de Kirchhoff)

No regime quase estacionário:

Lei dos nós: num nó onde chegam vários fios, a soma das correntes que chegam é igual à soma das correntes que saem, $\sum_{\text{entram}} i_k = \sum_{\text{saem}} i_k$ .
Lei das malhas: ao longo de uma malha fechada qualquer, as tensões somam zero quando contadas com o sinal dado por um sentido de percurso escolhido: $\sum_{\text{malha}} \pm u_k = 0$ .

Demonstração. A carga se conserva e, no regime quase estacionário, não se acumula num nó: o que chega por segundo sai por segundo. A lei das malhas é a afirmação de que o potencial é uma função da posição: ao percorrer uma malha e voltar ao ponto de partida, a soma das quedas de potencial vale $V_A - V_A = 0$ . ∎

Notação 6.6 (Convenções e potência)

Para um componente de dois terminais (um dipolo), a convenção receptor desenha a seta de tensão e a seta de corrente em sentidos opostos; a convenção gerador as desenha no mesmo sentido. Na convenção receptor, a potência recebida pelo dipolo vale

p = u\,i \qquad (\text{watts}),

positiva para um resistor que aquece, negativa para uma bateria que fornece. Na convenção gerador, $p = ui$ é a potência fornecida.

As duas convenções de sinal para um dipolo: setas opostas (receptor) ou alinhadas (gerador). A física é a mesma; apenas o sinal de ui é lido de outro modo. — As duas convenções de sinal para um dipolo: setas opostas (receptor) ou alinhadas (gerador). A física é a mesma; apenas o sinal de $ui$ é lido de outro modo.

6.2 Dipolos e seus modelos

Definição 6.7 (Característica; resistor; lei de Ohm)

A característica de um dipolo é a curva $i(u)$ (ou $u(i)$ ) que ele impõe. Um resistor tem característica linear passando pela origem, a lei de Ohm

u = R\,i \qquad (\text{convenção receptor}),

sendo $R$ a sua resistência (ohms, $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ ) e $G = 1/R$ a sua condutância (siemens). Ele recebe $p = Ri^2 = u^2/R \geq 0$ , dissipada em calor (efeito Joule). Um fio de comprimento $\ell$ , seção $S$ e resistividade $\rho$ tem $R = \rho\ell/S$ .

Definição 6.8 (Fontes ideais e reais)

Uma fonte de tensão ideal impõe $u = E$ qualquer que seja a corrente; $E$ é a sua força eletromotriz (fem). Uma fonte de corrente ideal impõe $i = I_N$ qualquer que seja a tensão. Uma fonte real (bateria, gerador, fonte de alimentação) é modelada, na convenção gerador, por

u = E - r\,i \quad (\text{modelo de Thévenin: fem ideal } E \text{ em série com } r)

ou, de modo equivalente, por $i = I_N - u/r$ (modelo de Norton: fonte de corrente ideal $I_N = E/r$ em paralelo com $r$ ); $r$ é a resistência interna. $E$ é a tensão em circuito aberto e $I_N = E/r$ a corrente de curto-circuito.

Proposição 6.9 (Balanço de potência de uma fonte real)

Uma fonte real $(E, r)$ que alimenta um resistor $R$ entrega $i = E/(R + r)$ e a potência

P_R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2},

máxima e igual a $E^2/4r$ quando $R = r$ (casamento de impedâncias), com rendimento $P_R/(Ei) = R/(R + r)$ , de apenas $50\%$ no máximo.

Demonstração. Lei das malhas: $E = ri + Ri$ . $P_R = Ri^2$ ; derive $R/(R + r)^2$ : $\big[(R + r)^2 - 2R(R + r)\big]/(R + r)^4 = (r - R)/(R + r)^3$ , nulo em $R = r$ , positivo antes e negativo depois. A fonte fornece $Ei = (R + r)i^2$ , dos quais $ri^2$ aquecem a própria fonte. ∎

À esquerda: as características de uma fonte real (u = E - ri) e de uma carga resistiva (u = Ri) se cruzam no ponto de operação. À direita: a potência entregue à carga é máxima em R = r, onde metade da potência da fonte é desperdiçada na sua própria resistência. — À esquerda: as características de uma fonte real ( $u = E - ri$ ) e de uma carga resistiva ( $u = Ri$ ) se cruzam no ponto de operação. À direita: a potência entregue à carga é máxima em $R = r$ , onde metade da potência da fonte é desperdiçada na sua própria resistência.

Exemplo 6.10 (Uma bateria de carro sob carga)

Circuito aberto $12.6\,\mathrm{V}$ ; $11.4\,\mathrm{V}$ enquanto o motor de partida puxa $120\,\mathrm{A}$ : $r = 1.2/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$ , $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ (daí o perigo, digno de solda, de uma chave que caia nos terminais). Uma carga casada $R = 10\,\mathrm{m}\Omega$ tomaria $E^2/4r = 4\,\mathrm{kW}$ por alguns segundos — mais ou menos o que um motor de partida precisa.

Observação 6.11 (Outros dipolos)

Um diodo conduz num só sentido: um modelo idealizado é um circuito aberto para $u < U_0$ e uma tensão fixa $u = U_0$ (cerca de $0.7\,\mathrm{V}$ para o silício, $2\,$ a $3\,\mathrm{V}$ para um LED) quando ele conduz. Uma lâmpada de filamento é um resistor cujo $R$ cresce com a temperatura, portanto com $i$ — uma característica curva. Em regime permanente um capacitor é um circuito aberto ( $i = C\,\dd u/\dd t = 0$ ) e um indutor é um curto-circuito ( $u = L\,\dd i/\dd t = 0$ ); o seu papel nos transitórios é o Capítulo 7.

6.3 Associações e divisores

Proposição 6.12 (Resistores em série e em paralelo)

Resistores em série (mesma corrente) somam-se: $R = R_1 + R_2 + \cdots$ . Resistores em paralelo (mesma tensão) somam as suas condutâncias: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots$ ; para dois, $R = R_1R_2/(R_1 + R_2)$ , escrito $R_1 \parallel R_2$ .

Demonstração. Série: $u = u_1 + u_2 = (R_1 + R_2)i$ (lei das malhas). Paralelo: $i = i_1 + i_2 = u/R_1 + u/R_2$ (lei dos nós). ∎

Proposição 6.13 (Divisores de tensão e de corrente)

Dois resistores em série sob uma tensão $u$ a repartem em proporção às suas resistências:

u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,u .

Dois resistores em paralelo alimentados por uma corrente $i$ a repartem em proporção inversa:

i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,i = \frac{G_2}{G_1 + G_2}\,i .

Demonstração. Série: $i = u/(R_1 + R_2)$ e $u_2 = R_2 i$ . Paralelo: $u = (R_1 \parallel R_2)\,i$ e $i_2 = u/R_2$ . ∎

Divisor de tensão (à esquerda): u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2). Divisor de corrente (à direita): i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2) — a corrente prefere a resistência menor. — Divisor de tensão (à esquerda): $u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)$ . Divisor de corrente (à direita): $i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2)$ — a corrente prefere a resistência menor.

Observação 6.14 (Carregar um divisor)

A fórmula do divisor só vale se nada drenar corrente do ponto médio. Uma carga $R_L$ ligada em paralelo com $R_2$ substitui $R_2$ por $R_2 \parallel R_L$ e abaixa $u_2$ — é o “efeito de carga”, e a razão pela qual um voltímetro deve ter resistência alta e um potenciômetro resistência baixa em comparação com o que alimenta (Exercício 6.4).

Método 6.15 (Reduzindo uma rede)

Para encontrar uma corrente ou uma tensão numa rede de resistores com uma única fonte:

começando longe da fonte, substitua os grupos em série e em paralelo pelos seus equivalentes até que um único resistor fique diante da fonte;
calcule a corrente da fonte;
volte atrás, repartindo correntes com divisores de corrente e tensões com divisores de tensão, até o ramo desejado.

Com várias fontes, ou para um ramo cujos vizinhos mudam, use os teoremas da próxima seção.

6.4 Teoremas dos circuitos lineares

Definição 6.16 (Dipolo linear, circuito linear)

Um dipolo é linear se a sua característica é uma reta (resistor, fontes ideais e reais); um circuito feito apenas de dipolos lineares é um circuito linear. As suas incógnitas obedecem a um sistema de equações lineares (as leis de Kirchhoff mais as características), cuja solução é única.

Teorema 6.17 (Thévenin e Norton)

Visto de dois dos seus terminais $A$ e $B$ , todo circuito linear é equivalente a uma fonte real: uma fem $E_{\mathrm{Th}}$ em série com uma resistência $R_{\mathrm{Th}}$ (Thévenin), ou uma fonte de corrente $I_N = E_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$ em paralelo com $R_{\mathrm{Th}}$ (Norton), em que

$E_{\mathrm{Th}}$ é a tensão em circuito aberto $u_{AB}$ ;
$I_N$ é a corrente de curto-circuito de $A$ para $B$ ;
$R_{\mathrm{Th}}$ é a resistência vista entre $A$ e $B$ quando toda fonte independente é desligada (as fontes de tensão ideais substituídas por fios, as fontes de corrente ideais por circuitos abertos).

Demonstração parcial. Por linearidade, a relação entre a tensão $u_{AB}$ e a corrente $i$ drenada nos terminais é afim: $u_{AB} = a - b\,i$ . Fazer $i = 0$ identifica $a = E_{\mathrm{Th}}$ ; fazer $u_{AB} = 0$ dá $b = E_{\mathrm{Th}}/I_N$ . Que $b$ seja igual à resistência vista com as fontes anuladas decorre da superposição (abaixo): a parte de $u_{AB}$ devida apenas à corrente externa é o que uma rede passiva de resistência $R_{\mathrm{Th}}$ produziria. Que todo sistema linear tenha uma relação entrada–saída afim é a álgebra das equações lineares. ∎

Teorema 6.18 (Superposição)

Num circuito linear com várias fontes independentes, qualquer corrente ou tensão é a soma dos valores que ela assume quando cada fonte age sozinha, com as demais desligadas.

Demonstração. As equações são lineares nas incógnitas, com as fontes no segundo membro; a solução é uma função linear desse segundo membro, portanto a soma das soluções para cada fonte separadamente. ∎

Proposição 6.19 (Teorema de Millman)

Um nó $N$ ligado a pontos de potenciais $V_1, \dots, V_n$ através de resistências $R_1, \dots, R_n$ (e a mais nada) tem o potencial

V_N = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} = \frac{\sum_k G_k V_k}{\sum_k G_k},

a média dos potenciais dos seus vizinhos ponderada pelas condutâncias.

Demonstração. Lei dos nós em $N$ : $\sum_k (V_k - V_N)/R_k = 0$ ; isole $V_N$ . ∎

Duas fontes alimentando uma carga comum R_3. Vista dos terminais de R_3, o resto do circuito é uma fonte de Thévenin (E_ Th, R_ Th); o teorema de Millman dá o potencial do nó N em uma linha. — Duas fontes alimentando uma carga comum $R_3$ . Vista dos terminais de $R_3$ , o resto do circuito é uma fonte de Thévenin ( $E_{\mathrm{Th}}$ , $R_{\mathrm{Th}}$ ); o teorema de Millman dá o potencial do nó $N$ em uma linha.

Exemplo 6.20 (Três caminhos para a mesma resposta)

Na figura, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ , $R_2 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_3 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ . Millman: $V_N = (10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 12.5/2 = 6.25\,\mathrm{V}$ . Superposição: $E_1$ sozinha vê $R_2 \parallel R_3 = 1\,\mathrm{k}\Omega$ , logo $u = 10 \times 1/2 = 5\,\mathrm{V}$ ; $E_2$ sozinha vê $R_1 \parallel R_3 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$ , $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$ ; total $6.25\,\mathrm{V}$ . Thévenin visto de $R_3$ : $E_{\mathrm{Th}}$ é a tensão em circuito aberto do divisor $(E_1, R_1, R_2, E_2)$ : $E_2 + (E_1 - E_2)R_2/(R_1 + R_2) = 5 + 5 \times 2/3 = 8.33\,\mathrm{V}$ ; $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$ ; então $u = 8.33 \times 2/2.667 = 6.25\,\mathrm{V}$ .

6.5 Ponto de operação; a ponte de Wheatstone

Método 6.21 (Ponto de operação gráfico)

Um dipolo não linear (característica $i = g(u)$ ) alimentado por uma fonte de Thévenin $(E, R)$ se estabiliza onde as duas relações valem: trace a característica do dipolo e a reta de carga da fonte, $u = E - Ri$ , nos mesmos eixos; a interseção é o ponto de operação. Dimensionar o resistor em série de um LED, um regulador Zener ou a polarização de um transistor é exatamente essa construção.

Um LED (limiar perto de 2\, V) alimentado por E = 5\, V através de R = 200\,: a reta de carga u = E - Ri cruza a característica do diodo em 2.0\, V, 15\, mA. Aumentar R inclina a reta para baixo e enfraquece o LED. — Um LED (limiar perto de $2\,\mathrm{V}$ ) alimentado por $E = 5\,\mathrm{V}$ através de $R = 200\,\Omega$ : a reta de carga $u = E - Ri$ cruza a característica do diodo em $2.0\,\mathrm{V}$ , $15\,\mathrm{mA}$ . Aumentar $R$ inclina a reta para baixo e enfraquece o LED.

Proposição 6.22 (Ponte de Wheatstone)

Quatro resistores $R_1, R_2$ (um ramo) e $R_3, R_4$ (o outro) sob uma fonte $E$ ; a saída da ponte é a tensão entre os dois pontos médios:

u = E\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right),

nula (a ponte está equilibrada) se e só se $R_1R_4 = R_2R_3$ . Para uma ponte equilibrada com $R_4$ perturbado para $R_4(1 + \epsilon)$ , $\epsilon \ll 1$ , e $R_3 = R_4$ : $u \approx -E\epsilon/4$ .

Demonstração. Dois divisores de tensão; subtraia. Equilíbrio: $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 + R_2)$ , isto é, $R_2R_3 = R_1R_4$ . Com $R_3 = R_4 = R$ e $R_1 = R_2$ : $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] = E[(2 + \epsilon - 2 - 2\epsilon)/(2(2 + \epsilon))] \approx -E\epsilon/4$ . ∎

A ponte de Wheatstone: dois divisores lado a lado. Equilibrada quando R_1R_4 = R_2R_3, ela converte uma variação minúscula de uma das resistências (extensômetro, termistor) numa tensão em torno de zero, muito mais fácil de amplificar do que uma pequena variação de uma tensão grande. — A ponte de Wheatstone: dois divisores lado a lado. Equilibrada quando $R_1R_4 = R_2R_3$ , ela converte uma variação minúscula de uma das resistências (extensômetro, termistor) numa tensão em torno de zero, muito mais fácil de amplificar do que uma pequena variação de uma tensão grande.

6.6 Exercícios

Exercício 6.1 ★

Um celular carrega a $1.5\,\mathrm{A}$ durante uma hora: que carga circula, quantos elétrons? Estime se o regime quase estacionário vale para a instalação de uma casa a $50\,\mathrm{Hz}$ , para um circuito de $10\,\mathrm{cm}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ e para o mesmo circuito a $1\,\mathrm{GHz}$ .

Solução

Solução de Exercício 6.1.

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$ , $N = 5400/1.6\times10^{-19} = 3.4 \times 10^{22}$ elétrons. $c/f$ : $6000\,\mathrm{km}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ (casa: sim); $300\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ (circuito de $10\,\mathrm{cm}$ : sim); $30\,\mathrm{cm}$ a $1\,\mathrm{GHz}$ , comparável a $10\,\mathrm{cm}$ : não.

Exercício 6.2 ★

Um aquecedor de $2000\,\mathrm{W}$ em $230\,\mathrm{V}$ : corrente, resistência, energia consumida em $3.0\,\mathrm{h}$ (em kWh e em joules). O seu cabo de cobre de $5.0\,\mathrm{m}$ tem seção de $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ( $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ ): potência perdida no cabo.

Solução

Solução de Exercício 6.2.

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 26.5\,\Omega$ ; $E = 6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ . Cabo: um condutor $R = 1.7\times10^{-8} \times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$ , dois condutores $0.11\,\Omega$ : $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$ .

Exercício 6.3 ★

Com $10\,\Omega$ , $20\,\Omega$ e $30\,\Omega$ : calcule a resistência dos três em série, em paralelo e de $(10 \parallel 20) + 30$ .

Solução

Solução de Exercício 6.3.

Série $60\,\Omega$ ; paralelo $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$ ; $10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$ , mais $30$ : $36.7\,\Omega$ .

Exercício 6.4 ★

Uma fonte de $12\,\mathrm{V}$ alimenta $4.7\,\mathrm{k}\Omega$ e $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ em série. Calcule a tensão sobre o resistor de $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ . Um aparelho de resistência $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ é então ligado em paralelo com ele: nova tensão? Conclua sobre o efeito de carga.

Solução

Solução de Exercício 6.4.

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$ . Sob carga: $2.2 \parallel 2.2 = 1.1\,\mathrm{k}\Omega$ , $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$ : a carga puxa o divisor para baixo em $40\%$ — um divisor só “divide” se alimentar algo de resistência muito maior.

Exercício 6.5 ★★

Uma bateria marca $12.6\,\mathrm{V}$ em aberto e $11.4\,\mathrm{V}$ enquanto fornece $120\,\mathrm{A}$ . Encontre a sua resistência interna e a corrente de curto-circuito, a potência entregue ao motor de partida e a potência perdida internamente, e o rendimento.

Solução

Solução de Exercício 6.5.

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$ ; $I_N = 12.6/0.010 = 1260\,\mathrm{A}$ . Ao motor de partida $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$ ; perdidos $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$ ; rendimento $1368/1512 = 90\%$ .

Exercício 6.6 ★★

Encontre o equivalente de Thévenin, visto dos terminais do resistor de $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ , do divisor do Exercício 6.4 ( $E = 12\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 2.2\,\mathrm{k}\Omega$ ). Use-o para reencontrar a tensão sob carga daquele exercício.

Solução

Solução de Exercício 6.6.

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (divisor em circuito aberto); $R_{\mathrm{Th}} = 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (fonte em curto). Sob carga: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$ .

Exercício 6.7 ★★

Duas baterias, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ ( $r_1 = 1.0\,\Omega$ ) e $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ ( $r_2 = 2.0\,\Omega$ ), são ligadas em paralelo (mesma polaridade) a uma carga de $2.0\,\Omega$ . Encontre a tensão na carga por superposição, depois por Millman, e a corrente em cada bateria. A bateria mais fraca está carregando ou descarregando?

Solução

Solução de Exercício 6.7.

Superposição: $E_1$ sozinha vê $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$ , $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$ ; $E_2$ sozinha vê $r_1 \parallel R = 0.667\,\Omega$ , $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$ ; total $6.25\,\mathrm{V}$ . Millman: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$ . Bateria 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ saindo; bateria 2: $(5 - 6.25)/2 = -0.63\,\mathrm{A}$ , isto é, $0.63\,\mathrm{A}$ entrando nela — ela está sendo carregada pela mais forte; carga $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$ .

Exercício 6.8 ★★

Uma fonte $E = 9.0\,\mathrm{V}$ , $r = 3.0\,\Omega$ . Calcule a potência entregue a cargas de $1.0\,\Omega$ , $3.0\,\Omega$ , $12\,\Omega$ , e o rendimento em cada caso. Que carga um engenheiro escolheria para um aparelho a pilha, e por que não a casada?

Solução

Solução de Exercício 6.8.

$i = 9/(R + 3)$ , $P = Ri^2$ , $\eta = R/(R + 3)$ : $1\,\Omega$ : $5.1\,\mathrm{W}$ , $25\%$ ; $3\,\Omega$ : $6.75\,\mathrm{W}$ , $50\%$ ; $12\,\Omega$ : $4.3\,\mathrm{W}$ , $80\%$ . Um aparelho a pilha quer rendimento (autonomia), logo $R \gg r$ ; a carga casada desperdiça metade da energia como calor na bateria.

Exercício 6.9 ★★

Um LED conduz a $2.0\,\mathrm{V}$ e deve conduzir $15\,\mathrm{mA}$ a partir de uma alimentação de $5.0\,\mathrm{V}$ . Escolha o resistor em série, as potências no resistor e no LED, e esboce a construção da reta de carga. O que acontece se a alimentação for de $3.3\,\mathrm{V}$ ?

Solução

Solução de Exercício 6.9.

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$ ; $P_R = 3.0 \times 0.015 = 45\,\mathrm{mW}$ , $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$ . A reta de carga de $(0, 25\,\mathrm{mA})$ a $(5\,\mathrm{V}, 0)$ encontra a característica vertical em $2.0\,\mathrm{V}$ . Em $3.3\,\mathrm{V}$ o mesmo resistor dá apenas $6.5\,\mathrm{mA}$ ; para $15\,\mathrm{mA}$ é preciso $R = 1.3/0.015 = 87\,\Omega$ .

Exercício 6.10 ★★★

Um extensômetro $R_4 = R(1 + \epsilon)$ , $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , está numa ponte de Wheatstone com três resistores fixos de $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ sob $5.0\,\mathrm{V}$ . Deduza a tensão de saída em primeira ordem em $\epsilon$ e calcule-a para $\epsilon = 1.0 \times 10^{-3}$ . Por que a ponte é preferível a medir a tensão do extensômetro num divisor simples?

Solução

Solução de Exercício 6.10.

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] = -E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} = -1.25\,\mathrm{mV}$ . Num divisor simples a mesma variação se soma a um patamar de $2.5\,\mathrm{V}$ ( $2.501\,25\,\mathrm{V}$ ); a ponte entrega os $1.25\,\mathrm{mV}$ em torno de zero, que podem ser amplificados mil vezes sem saturar nada.

Exercício 6.11 ★★★

Doze resistores idênticos $R$ formam as arestas de um cubo. Usando a simetria (que nós estão ao mesmo potencial quando uma corrente $I$ entra por um vértice e sai pelo oposto), mostre que a resistência entre vértices opostos vale $5R/6$ .

Solução

Solução de Exercício 6.11.

Por simetria, os três vizinhos do vértice de entrada compartilham um potencial, e os três vizinhos do vértice de saída, outro. A corrente $I$ se divide em $I/3$ nas três arestas de entrada, cada uma depois em duas de $I/6$ ao longo das seis arestas do meio, que se recombinam em $I/3$ nas três arestas de saída. Tensão: $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$ , logo $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$ .

Exercício 6.12 ★★★

Uma fonte de corrente $I_N = 2.0\,\mathrm{A}$ em paralelo com $4.0\,\Omega$ é ligada, através de um resistor de $2.0\,\Omega$ , a uma bateria de $6.0\,\mathrm{V}$ (resistência desprezível) cuja fem se opõe a ela. Converta a fonte de Norton em Thévenin e encontre a corrente no resistor de $2.0\,\Omega$ e a potência trocada por cada fonte.

Solução

Solução de Exercício 6.12.

Thévenin: $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$ com $4.0\,\Omega$ em série. Malha: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$ , $i = 0.33\,\mathrm{A}$ em direção à bateria. A bateria recebe $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ (carregando); o resistor de $2\,\Omega$ dissipa $0.22\,\mathrm{W}$ ; a tensão nos terminais do par de Norton vale $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$ , de modo que o seu resistor de $4\,\Omega$ conduz $1.67\,\mathrm{A}$ e dissipa $11.1\,\mathrm{W}$ , e a fonte de corrente entrega $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ — o balanço fecha.

Sob o capô: a bateria de 12\, V, os seus cabos grossos e o alternador — a rede de corrente contínua do problema de fim de semana, com centenas de ampères na partida. — Sob o capô: a bateria de $12\,\mathrm{V}$ , os seus cabos grossos e o alternador — a rede de corrente contínua do problema de fim de semana, com centenas de ampères na partida.

6.7 Problema: o sistema elétrico de um carro

Problema 6.1

Problema de fim de semana — uma bateria, um motor de partida, dois faróis, um alternador e alguns metros de cobre: quem recebe a corrente, quem paga a conta e por que as luzes enfraquecem quando o motor gira

A bateria é uma fonte real, de fem $E = 12.6\,\mathrm{V}$ e resistência interna $r = 10\,\mathrm{m}\Omega$ . Cobre: $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ .

Parte I — A bateria sozinha.

Desenhe o modelo de Thévenin e escreva $u(i)$ na convenção gerador.
Dê a tensão em circuito aberto e a corrente de curto-circuito. Por que uma chave que caia jamais deve unir os terminais?
Escreva o modelo de Norton da mesma bateria.
A bateria alimenta um resistor $R$ : exprima a corrente, a tensão nos terminais, a potência $P_R$ entregue e a potência perdida em $r$ .
Mostre que $P_R$ é máxima para $R = r$ e calcule esse máximo. Qual é o rendimento nesse caso?
Um técnico mede $u = 12.48\,\mathrm{V}$ a $12\,\mathrm{A}$ e $u = 11.40\,\mathrm{V}$ a $120\,\mathrm{A}$ . Verifique que os dois pontos estão sobre o modelo e explique como uma série desses pontos dá $E$ e $r$ por um ajuste de reta.
A bateria armazena $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ . Por quanto tempo ela poderia alimentar sozinha os dois faróis de $55\,\mathrm{W}$ (tome $12\,\mathrm{V}$ )? Quanta energia é isso em joules?

Parte II — Dando a partida com os faróis acesos. O motor de partida é um resistor $R_s = 80\,\mathrm{m}\Omega$ ; cada farol é especificado em $55\,\mathrm{W}$ sob $12.0\,\mathrm{V}$ e é tratado como um resistor.

Calcule a resistência de um farol e a dos dois em paralelo.
Motor de partida sozinho: corrente, tensão nos terminais, potência no motor de partida, potência perdida na bateria.
Motor de partida e os dois faróis juntos: resistência de carga equivalente, corrente total, tensão nos terminais.
Use o divisor de corrente para encontrar a corrente do motor de partida e a corrente dos faróis.
Calcule a potência que cada farol recebe agora e compare com a sua especificação: em que fração as luzes enfraquecem?
Explique em duas frases, com a lei das malhas, por que as luzes enfraquecem precisamente porque o motor de partida drena uma corrente grande.
Cabos de bateria mais grossos ajudariam os faróis? Justifique qualitativamente agora (a Parte IV quantifica).

Parte III — Motor em funcionamento: o alternador. O alternador é uma segunda fonte real, $E_a = 14.2\,\mathrm{V}$ , $r_a = 50\,\mathrm{m}\Omega$ , em paralelo com a bateria; o motor de partida está desligado e os dois faróis estão acesos.

Desenhe o circuito: duas fontes reais e a carga dos faróis em paralelo entre os mesmos dois nós.
Aplique o teorema de Millman para encontrar a tensão comum nos terminais.
Deduza a corrente do alternador, a corrente da bateria (sinal!) e a corrente dos faróis; verifique a lei dos nós.
A bateria está carregando ou descarregando? Que potência ela recebe, e que potência o alternador fornece?
Reencontre a tensão nos terminais por superposição (cada fonte sozinha, a outra substituída pela sua resistência interna) e verifique.

Parte IV — Sensores e fios.

O sensor do líquido de arrefecimento é um termistor cuja resistência cai de $2.0\,\mathrm{k}\Omega$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ para $300\,\Omega$ a $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; ele é o resistor inferior de um divisor alimentado por $5.0\,\mathrm{V}$ , sendo o resistor superior $R_0$ . Exprima a tensão de saída e calcule-a nas duas temperaturas para $R_0 = 775\,\Omega$ .
Mostre que a excursão da saída entre as duas temperaturas é máxima quando $R_0$ é a média geométrica dos dois valores do sensor, e verifique o valor acima.
O mesmo sensor é posto numa ponte de Wheatstone com três resistores de $775\,\Omega$ : escreva a saída da ponte e diga em que temperatura ela está equilibrada.
O cabo do motor de partida tem $1.5\,\mathrm{m}$ de comprimento em cada sentido. Calcule a resistência de um condutor de seção $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , a queda de tensão total a $140\,\mathrm{A}$ e a potência dissipada nos cabos.
O mesmo com cabo de $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : por que o cabo do motor de partida é tão grosso?
Resuma: dê a tensão nos terminais durante a partida, a fração da potência que chega ao motor de partida e a única lei que explica o enfraquecimento das luzes.

Solução

Solução de Problema 6.1.

1. Fem ideal $E$ em série com $r$ : $u = E - ri$ .

2. $u(0) = 12.6\,\mathrm{V}$ ; $I_N = E/r = 1260\,\mathrm{A}$ . Uma chave atravessada nos terminais a conduziria: $16\,\mathrm{kW}$ em poucos gramas de aço — ela derrete e espirra.

3. Fonte de corrente $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ em paralelo com $10\,\mathrm{m}\Omega$ .

4. $i = E/(R + r)$ ; $u = ER/(R + r)$ ; $P_R = E^2R/(R + r)^2$ ; $P_r = E^2r/(R + r)^2$ .

5. $\dd P_R/\dd R \propto (r - R)$ : máximo em $R = r$ , $P_{\max} = E^2/4r = 12.6^2/0.040 = 4.0\,\mathrm{kW}$ ; rendimento $R/(R + r) = 50\%$ .

6. $12.6 - 0.010 \times 12 = 12.48\,\mathrm{V}$ ; $12.6 - 0.010 \times 120 = 11.40\,\mathrm{V}$ . Traçar $u$ contra $i$ dá uma reta de coeficiente linear $E$ e inclinação $-r$ (mínimos quadrados, Capítulo 1).

7. Duas lâmpadas: $110\,\mathrm{W}$ sob $12\,\mathrm{V}$ , $9.2\,\mathrm{A}$ ; $60/9.2 = 6.5\,\mathrm{h}$ . Energia $60 \times 3600 \times 12 = 2.6\,\mathrm{MJ}$ .

8. $R_h = 12^2/55 = 2.62\,\Omega$ ; em paralelo $1.31\,\Omega$ .

9. $i = 12.6/0.090 = 140\,\mathrm{A}$ ; $u = 12.6 - 1.4 = 11.2\,\mathrm{V}$ ; $P_s = 0.080 \times 140^2 = 1.57\,\mathrm{kW}$ ; perdidos $0.010 \times 140^2 = 196\,\mathrm{W}$ .

10. $R = 0.080 \parallel 1.31 = 75.4\,\mathrm{m}\Omega$ ; $i = 12.6/0.0854 = 148\,\mathrm{A}$ ; $u = 12.6 - 1.48 = 11.1\,\mathrm{V}$ .

11. $i_s = i \times 1.31/(1.31 + 0.080) = 139\,\mathrm{A}$ ; $i_h = 8.5\,\mathrm{A}$ para as duas lâmpadas.

12. Cada lâmpada: $u^2/R_h = 11.1^2/2.62 = 47\,\mathrm{W}$ contra $55\,\mathrm{W}$ : queda de $14\%$ .

13. Lei das malhas: a tensão nos terminais vale $u = E - ri$ ; os $140\,\mathrm{A}$ do motor de partida produzem uma queda de $1.4\,\mathrm{V}$ dentro da bateria, e as lâmpadas, em paralelo nos mesmos terminais, recebem essa tensão reduzida.

14. Só em parte: cabos mais grossos cortam a queda nos cabos, não em $r$ ; as lâmpadas alimentadas nos terminais da bateria continuam vendo $E - ri$ .

15. Três ramos entre os mesmos dois nós: $(E, r)$ , $(E_a, r_a)$ e $R_h = 1.31\,\Omega$ .

16. $V = \dfrac{12.6/0.010 + 14.2/0.050 + 0/1.31}{100 + 20 + 0.763} = \dfrac{1544}{120.8} = 12.79\,\mathrm{V}$ .

17. Alternador $(14.2 - 12.79)/0.050 = 28.3\,\mathrm{A}$ ; bateria $(12.6 - 12.79)/0.010 = -18.6\,\mathrm{A}$ (fluindo para dentro dela); lâmpadas $12.79/1.31 = 9.8\,\mathrm{A}$ ; $28.3 = 18.6 + 9.8$ .

18. Carregando. Ela recebe $12.79 \times 18.6 = 238\,\mathrm{W}$ ( $234\,\mathrm{W}$ armazenados, $3.5\,\mathrm{W}$ em calor); o alternador fornece $12.79 \times 28.3 = 362\,\mathrm{W}$ nos seus terminais.

19. Bateria sozinha (alternador $\to$ $50\,\mathrm{m}\Omega$ ): carga $0.050 \parallel 1.31 = 48.2\,\mathrm{m}\Omega$ , $u_1 = 12.6 \times 48.2/58.2 = 10.44\,\mathrm{V}$ . Alternador sozinho (bateria $\to$ $10\,\mathrm{m}\Omega$ ): carga $0.010 \parallel 1.31 = 9.92\,\mathrm{m}\Omega$ , $u_2 = 14.2 \times 9.92/59.9 = 2.35\,\mathrm{V}$ . Soma $12.79\,\mathrm{V}$ .

20. $u = 5.0\,R_s/(R_0 + R_s)$ : $3.60\,\mathrm{V}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $1.40\,\mathrm{V}$ a $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

21. $\Delta u = 5[R_a/(R_0 + R_a) - R_b/(R_0 + R_b)]$ ; $\dd\Delta u/\dd R_0 = 0 \Leftrightarrow R_a/(R_0 + R_a)^2 = R_b/(R_0 + R_b)^2 \Leftrightarrow R_0^2 = R_aR_b$ : $R_0 = \sqrt{2000 \times 300} = 775\,\Omega$ .

22. $u = 5[\tfrac12 - R_s/(775 + R_s)]$ , nula quando $R_s = 775\,\Omega$ , isto é, na temperatura intermediária em que o termistor atinge esse valor.

23. $R = 1.7\times10^{-8} \times 1.5/16\times10^{-6} = 1.6\,\mathrm{m}\Omega$ por condutor, $3.2\,\mathrm{m}\Omega$ no total; queda $0.0032 \times 140 = 0.45\,\mathrm{V}$ ; potência $63\,\mathrm{W}$ .

24. $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : $6.4\,\mathrm{m}\Omega$ cada, $12.8\,\mathrm{m}\Omega$ no total: queda $1.8\,\mathrm{V}$ , $250\,\mathrm{W}$ desperdiçados — o motor de partida perderia um sexto da sua tensão. O cabo grosso mantém $R_{\text{cabo}} \ll R_s$ .

25. Cerca de $11.1\,\mathrm{V}$ nos terminais durante a partida; o motor de partida recebe $1568/(1568 + 196) \approx 89\%$ da potência da bateria; o enfraquecimento é a lei das malhas, $u = E - ri$ .

Termos definidos neste capítulo

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