Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

17Partículas carregadas em campos E e B

Dentro do osciloscópio que traçou as curvas do Capítulo 7, um feixe de elétrons é dirigido pela tela pela tensão entre duas placas; dentro do ímã de um espectrômetro de massa, íons de dois isótopos se separam por milímetros porque um é oito por cento mais pesado que o outro; dentro do cíclotron de um hospital, prótons descrevem espirais por duzentas voltas antes de sair a um terço da velocidade da luz para queimar um tumor. Os três casos são a mesma dinâmica: uma carga num campo uniforme, elétrico ou magnético, e a lei de Newton. Este capítulo a desenvolve — a parábola num campo elétrico, o círculo e a hélice num campo magnético — e a transforma nos instrumentos que separam, aceleram e medem partículas carregadas.

O cíclotron de 60 polegadas de Lawrence, em Berkeley, 1939 (Departamento de Energia dos Estados Unidos): entre os polos do ímã, os prótons descrevem espirais para fora à medida que recebem dois impulsos por volta, exatamente como no problema de fim de semana.

17.1 A força de Lorentz

Definição 17.1 (Força de Lorentz)

Uma partícula de carga $q$ que se move com velocidade $\vect v$ num campo elétrico $\vect E$ e num campo magnético $\vect B$ recebe a força

\vect F = q\big(\vect E + \vect v\wedge\vect B\big) .

A parte elétrica é dirigida ao longo de $\vect E$ (ou em sentido oposto, se $q < 0$ ) e independe do movimento; a parte magnética é perpendicular a $\vect v$ e a $\vect B$ , proporcional à velocidade, e se anula para uma partícula em repouso. Unidades: $\vect E$ em $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (ou $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ ) e $\vect B$ em teslas ( $\mathrm{T}$ ): $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N}/(\mathrm{A}\,\mathrm{m})$ .

Proposição 17.2 (Trabalho da força de Lorentz)

A força magnética não realiza trabalho: a sua potência $q(\vect v\wedge\vect B)\cdot\vect v$ é nula, de modo que um campo magnético sozinho muda a direção da velocidade, mas nunca o seu módulo nem a energia cinética. A força elétrica tem potência $q\vect E\cdot\vect v$ e, entre dois pontos, o seu trabalho vale $q(V_A - V_B) = qU_{AB}$ (Capítulo 27): uma partícula de carga $q$ que atravessa uma tensão $U$ ganha a energia cinética $\abs{qU}$ .

Demonstração. $\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ . O campo eletrostático deriva do potencial, $\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$ , de modo que $q\vect E$ é conservativa, com $E_p = qV$ . ∎

Definição 17.3 (O elétron-volt)

O elétron-volt é a energia cinética ganha por uma carga elementar ao atravessar um volt: $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ . A química vive em alguns eV, os tubos de raios X em dezenas de keV, a física nuclear em MeV e a física de partículas em GeV e TeV.

Observação 17.4 (Por que a gravidade é ignorada)

Para um elétron num campo de $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — um valor modesto de laboratório — a força elétrica vale $eE = 1.6 \times 10^{-16}\,\mathrm{N}$ , contra um peso $mg = 9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$ : $10^{13}$ vezes menor. O peso é descartado de todo cálculo deste capítulo sem hesitação. (O limite relativístico é outra história: as fórmulas abaixo valem para $\tfrac12 mv^2 \ll mc^2$ , isto é, abaixo de cerca de $50\,\mathrm{keV}$ para elétrons e $100\,\mathrm{MeV}$ para prótons; veja o volume do terceiro ano.)

17.2 Campo elétrico uniforme

Proposição 17.5 (Aceleração e deflexão)

Num campo uniforme $\vect E$ a aceleração $\vect a = q\vect E/m$ é constante: o movimento é o de um projétil, com $q\vect E/m$ no lugar de $\vect g$ .

Solta do repouso e acelerada por uma tensão $U$ , a partícula atinge $v = \sqrt{2\abs{qU}/m}$ .
Entrando com velocidade $v_0$ ao longo de $x$ numa região de comprimento $L$ em que $\vect E = E\vect e_y$ , ela segue a parábola $y = (qE/2mv_0^2)x^2$ e sai desviada do ângulo $\alpha$ , com $\tan\alpha = qEL/mv_0^2$ , como se tivesse vindo em linha reta do meio das placas.

Demonstração. Energia: $\tfrac12 mv^2 = \abs{qU}$ . Deflexão: $x = v_0t$ , $y = \tfrac12(qE/m)t^2$ ; na saída, $\dd y/\dd x = (qE/m)(x/v_0^2)$ calculada em $L$ ; a tangente na saída, $y = (qEL/mv_0^2)(x - L/2)$ , cruza o eixo em $x = L/2$ . ∎

Deflexão eletrostática: entre as placas o elétron (aqui q < 0, desviado rumo à placa positiva) segue uma parábola; além delas ele voa em linha reta, como se viesse do ponto médio das placas — a geometria do osciloscópio de raios catódicos. — Deflexão eletrostática: entre as placas o elétron (aqui $q < 0$ , desviado rumo à placa positiva) segue uma parábola; além delas ele voa em linha reta, como se viesse do ponto médio das placas — a geometria do osciloscópio de raios catódicos.

Exemplo 17.6 (O tubo do osciloscópio)

Elétrons acelerados por $U_0 = 2.0\,\mathrm{kV}$ ( $v_0 = 2.65 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , um décimo de $c$ — ainda não relativísticos) atravessam placas de $4.0\,\mathrm{cm}$ separadas por $1.0\,\mathrm{cm}$ sob $100\,\mathrm{V}$ : $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $\tan\alpha = eEL/mv_0^2 = EL/2U_0 = 0.10$ , e numa tela a $30\,\mathrm{cm}$ do centro das placas a mancha se desloca $3.0\,\mathrm{cm}$ — $0.3\,\mathrm{mm}$ por volt, a sensibilidade do tubo, fixada apenas pela geometria e pela tensão de aceleração.

17.3 Campo magnético uniforme

Teorema 17.7 (Movimento num campo magnético uniforme)

Uma partícula de carga $q$ e massa $m$ , com velocidade $\vect v_0$ perpendicular a um $\vect B$ uniforme, descreve um círculo com velocidade constante $v_0$ , de raio e frequência angular

R = \frac{mv_0}{\abs q B}, \qquad \omega_c = \frac{\abs q B}{m},

sendo a frequência ciclotrônica $\omega_c$ independente da velocidade; o sentido de rotação depende do sinal de $q$ . Se $\vect v_0$ tiver também uma componente $v_\parallel$ ao longo de $\vect B$ , essa componente não muda e a trajetória é uma hélice de raio $mv_\perp/\abs qB$ e passo $2\pi mv_\parallel/\abs qB$ enrolada em torno das linhas de campo.

Demonstração. A força $q\vect v\wedge\vect B$ é perpendicular a $\vect v$ e a $\vect B$ ; o módulo da velocidade é constante (sem trabalho) e a componente ao longo de $\vect B$ não sente força alguma. No plano perpendicular a $\vect B$ a força tem norma constante $\abs qv_\perp B$ , sempre perpendicular à velocidade: movimento circular uniforme (Teorema 11.13) com $mv_\perp^2/R = \abs qv_\perp B$ . Então $\omega_c = v_\perp/R$ ; o período $2\pi m/\abs qB$ vezes $v_\parallel$ é o passo. ∎

À esquerda: uma carga cuja velocidade é perpendicular a B descreve círculos na frequência ciclotrônica qB/m, com a força magnética fornecendo a aceleração centrípeta. À direita: com uma componente da velocidade ao longo de B, uma hélice se enrola na linha de campo — o movimento dos elétrons presos no campo da Terra. — À esquerda: uma carga cuja velocidade é perpendicular a $\vect B$ descreve círculos na frequência ciclotrônica $\abs qB/m$ , com a força magnética fornecendo a aceleração centrípeta. À direita: com uma componente da velocidade ao longo de $\vect B$ , uma hélice se enrola na linha de campo — o movimento dos elétrons presos no campo da Terra.

Exemplo 17.8 (Ordens de grandeza)

Um elétron de $1\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) em $1\,\mathrm{mT}$ : $R = 11\,\mathrm{cm}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , uma volta em $36\,\mathrm{ns}$ — o mesmo período em qualquer energia, e é isso que torna o cíclotron possível. Um próton do vento solar ( $1\,\mathrm{keV}$ , $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) nos $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ da Terra: $R = 92\,\mathrm{m}$ ; ele não consegue atravessar as linhas de campo, apenas descrever espirais ao longo delas rumo aos polos — a aurora.

17.4 Instrumentos

Proposição 17.9 (Seletor de velocidades e espectrômetro de massa)

Em campos uniformes cruzados $\vect E \perp \vect B$ , uma partícula que se move perpendicularmente aos dois passa sem desvio se e só se $v = E/B$ , quaisquer que sejam a sua carga e a sua massa (seletor de velocidades). Num campo magnético sozinho, uma partícula de velocidade conhecida descreve um semicírculo de diâmetro $2mv/\abs qB$ : medi-lo dá $m/q$ (espectrômetro de massa). Íons acelerados por uma tensão $U$ e depois curvados em $B$ chegam a

R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{\abs q}} :

dois isótopos de massas $m$ e $m + \Delta m$ se separam por $\Delta R \approx R\,\Delta m/2m$ .

Demonstração. $q\vect E + q\vect v\wedge\vect B = \vect 0$ exige $vB = E$ com a orientação correta. $R = mv/qB$ com $v = \sqrt{2qU/m}$ ; derive $\ln R = \tfrac12\ln m + \text{const}$ . ∎

Exemplo 17.10 (Isótopos do carbono)

Íons $^{12}$ C e $^{13}$ C de carga unitária acelerados por $20\,\mathrm{kV}$ em $0.50\,\mathrm{T}$ : $R = 14.1\,\mathrm{cm}$ e $14.7\,\mathrm{cm}$ , a $5.8\,\mathrm{mm}$ um do outro — duas manchas separadas no detector, e a razão das suas intensidades é a abundância isotópica, matéria-prima da datação por radiocarbono e de toda análise de isótopos.

Proposição 17.11 (Cíclotron)

Dois semicilindros ocos (“dês”) num $\vect B$ uniforme, com uma tensão alternada $U$ entre eles na frequência ciclotrônica: a partícula descreve círculos dentro de cada dê (onde não há campo), é acelerada por $\abs qU$ em cada uma das duas travessias do intervalo por volta, e descreve uma espiral para fora com $R \propto v$ ; no raio de extração $R_{\max}$ a sua energia cinética vale

E_k = \frac{q^2B^2R_{\max}^2}{2m},

independente da tensão, que apenas fixa o número de voltas.

Demonstração. Como $\omega_c$ não depende da velocidade, uma tensão de frequência fixa permanece em passo com a partícula volta após volta; $v = \abs qBR/m$ no raio $R$ . ∎

O cíclotron: dois dês num campo magnético uniforme; a partícula descreve círculos dentro dos dês e recebe um impulso da tensão do intervalo duas vezes por volta, sempre em fase, porque o seu período não depende da sua velocidade. A energia na borda depende apenas de B e do raio. — O cíclotron: dois dês num campo magnético uniforme; a partícula descreve círculos dentro dos dês e recebe um impulso da tensão do intervalo duas vezes por volta, sempre em fase, porque o seu período não depende da sua velocidade. A energia na borda depende apenas de $B$ e do raio.

Exemplo 17.12 (Um cíclotron hospitalar)

Prótons, $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ : $E_k = (1.6\times10^{-19} \times 1.5 \times 0.5)^2/(2 \times 1.67\times10^{-27}) = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ , com $f_c = \omega_c/2\pi = 23\,\mathrm{MHz}$ . Com $50\,\mathrm{kV}$ nos dês, $100\,\mathrm{keV}$ por volta: $270$ voltas em $12\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Acima de algumas dezenas de MeV o aumento relativístico da massa (volume do terceiro ano) tira os prótons de sincronia; as máquinas de terapia a $230\,\mathrm{MeV}$ modulam a frequência ou o campo para compensar — o assunto do problema de fim de semana.

Proposição 17.13 (Efeito Hall)

Uma fita de espessura $d$ que conduz uma corrente $I$ de portadores de carga $q$ e densidade $n$ , num campo $B$ perpendicular à fita, desenvolve ao longo da sua largura a tensão Hall

U_H = \frac{IB}{nqd} :

proporcional a $B$ (um magnetômetro) e inversamente proporcional a $n$ (uma sonda da densidade e do sinal dos portadores).

Demonstração. A força magnética $qv_dB$ sobre os portadores (velocidade de deriva $v_d$ ) os empurra para uma das bordas até que o campo elétrico transversal $E_H$ a equilibre: $qE_H = qv_dB$ , e $U_H = E_Hw$ ao longo da largura $w$ ; com $I = nqv_dwd$ , $E_Hw = v_dBw = IB/(nqd)$ . ∎

17.5 Exercícios

Exercício 17.1 ★

Converta $1\,\mathrm{eV}$ , $13.6\,\mathrm{eV}$ e $1\,\mathrm{MeV}$ em joules. Velocidade de um elétron e de um próton acelerados do repouso por $1.0\,\mathrm{kV}$ .

Solução

Solução de Exercício 17.1.

$1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , $13.6\,\mathrm{eV} = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , $1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ . $v = \sqrt{2eU/m}$ : elétron $1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; próton $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\sqrt{1836}$ vezes mais lento).

Exercício 17.2 ★

Um elétron de $1.0\,\mathrm{keV}$ entra perpendicularmente num campo de $1.0\,\mathrm{mT}$ . Raio, frequência angular ciclotrônica, período.

Solução

Solução de Exercício 17.2.

$v = 1.88 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = mv/eB = 9.11\times10^{-31} \times 1.88\times10^7/ (1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 0.11\,\mathrm{m}$ ; $\omega_c = eB/m = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi/\omega_c = 36\,\mathrm{ns}$ .

Exercício 17.3 ★

Um próton a $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no campo da Terra ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ): raio do seu círculo. O que acontece se a sua velocidade fizer $30^\circ$ com o campo?

Solução

Solução de Exercício 17.3.

$R = mv/qB = 1.67\times10^{-27} \times 10^5/(1.6\times10^{-19} \times 5\times 10^{-5}) = 21\,\mathrm{m}$ . A $30^\circ$ : uma hélice de raio $R\sin 30^\circ = 10\,\mathrm{m}$ e passo $2\pi(m/qB)v\cos 30^\circ = 114\,\mathrm{m}$ , que avança ao longo da linha de campo.

Exercício 17.4 ★

Um seletor de velocidades tem $E = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ e $B = 20\,\mathrm{mT}$ . Que velocidade passa? O que acontece com íons mais rápidos, e com a mesma velocidade e carga oposta?

Solução

Solução de Exercício 17.4.

$v = E/B = 10^4/0.020 = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Íons mais rápidos: a força magnética vence e eles se curvam para o lado magnético; carga oposta com a mesma velocidade: as duas forças se invertem e continuam equilibradas — o seletor é cego ao sinal e à massa.

Exercício 17.5 ★★

Osciloscópio: elétrons a $2.0\,\mathrm{kV}$ , placas de $4.0\,\mathrm{cm}$ de comprimento, separadas por $1.0\,\mathrm{cm}$ , com $100\,\mathrm{V}$ entre elas, e tela a $30\,\mathrm{cm}$ do centro das placas. Deflexão na tela e sensibilidade em mm/V. Por que uma tensão de aceleração maior reduz a sensibilidade?

Solução

Solução de Exercício 17.5.

$\tan\alpha = EL/2U_0 = 10^4 \times 0.04/4000 = 0.10$ ; deflexão $0.30 \times 0.10 = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; sensibilidade $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{V}$ . Elétrons mais rápidos passam menos tempo entre as placas: $\tan\alpha \propto 1/U_0$ .

Exercício 17.6 ★★

Íons $^{12}$ C e $^{13}$ C de carga unitária, acelerados por $20\,\mathrm{kV}$ , entram num campo de $0.50\,\mathrm{T}$ ( $1\,\mathrm{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ). Raios e separação das duas manchas após meia volta.

Solução

Solução de Exercício 17.6.

$R = \sqrt{2mU/e}/B$ : $m_{12} = 1.99 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $R_{12} = \sqrt{2 \times 1.99\times10^{-26} \times 2\times10^4/1.6\times10^{-19}}/0.5 = 14.1\,\mathrm{cm}$ ; $R_{13} = R_{12}\sqrt{13/12} = 14.7\,\mathrm{cm}$ ; separação $2\Delta R = 1.2\,\mathrm{cm}$ entre os pontos de chegada (os raios diferem de $5.8\,\mathrm{mm}$ , e os diâmetros do dobro disso).

Exercício 17.7 ★★

Um cíclotron de prótons tem $B = 1.5\,\mathrm{T}$ e $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ . Frequência da tensão dos dês, energia cinética máxima, número de voltas para $50\,\mathrm{kV}$ nos dês, e tempo passado dentro. Em que fração a massa do próton aumentou na saída ( $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ )?

Solução

Solução de Exercício 17.7.

$f_c = eB/2\pi m = 23\,\mathrm{MHz}$ ; $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $100\,\mathrm{keV}$ por volta: $270$ voltas; tempo $270/f_c = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $\gamma - 1 = 27/938 = 2.9\%$ .

Exercício 17.8 ★★

Um elétron a $1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entra num campo de $2.0\,\mathrm{mT}$ a $30^\circ$ das linhas de campo. Raio e passo da sua hélice; número de voltas por metro ao longo do campo.

Solução

Solução de Exercício 17.8.

$v_\perp = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_\parallel = 8.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $R = mv_\perp/eB = 9.11\times10^{-31} \times 5\times10^5/(3.2\times10^{-22}) = 1.4\,\mathrm{mm}$ ; período $2\pi m/eB = 18\,\mathrm{ns}$ , passo $v_\parallel T = 1.5\,\mathrm{cm}$ : cerca de $64$ voltas por metro.

Exercício 17.9 ★★

Uma lâmina de cobre de $1.0\,\mathrm{mm}$ de espessura conduz $5.0\,\mathrm{A}$ em $1.0\,\mathrm{T}$ ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ). Tensão Hall. Por que os sensores Hall são feitos de semicondutores ( $n \sim 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ )?

Solução

Solução de Exercício 17.9.

$U_H = IB/nqd = 5.0/(8.5\times10^{28} \times 1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 3.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}$ : menos de um microvolt. Com $n$ dez milhões de vezes menor, um semicondutor dá milivolts — um sensor utilizável.

Exercício 17.10 ★★★

Demonstre pela lei de Newton que uma carga em qualquer campo magnético (uniforme ou não), sem campo elétrico, mantém constante o módulo da sua velocidade. Um elétron de $10\,\mathrm{keV}$ entra numa região de campo intenso e não uniforme: o que pode e o que não pode mudar?

Solução

Solução de Exercício 17.10.

$m\,\dd\vect v/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ ; multiplique escalarmente por $\vect v$ : $\dd(\tfrac12 mv^2)/ \dd t = 0$ qualquer que seja $\vect B(\vect r, t)$ , desde que não haja $\vect E$ . A direção da velocidade, o raio de curvatura e o passo podem todos mudar; o módulo da velocidade e a energia cinética ( $10\,\mathrm{keV}$ ) não.

Exercício 17.11 ★★★

Uma carga $q$ parte do repouso na origem, com $\vect E = E\vect e_y$ e $\vect B = B\vect e_z$ . Escreva as equações do movimento, mostre que a partícula deriva em média com a velocidade $E/B$ ao longo de $\vect e_x$ (sugestão: procure uma solução da forma $\vect v = \vect u + \vect w$ com $\vect u$ constante) e descreva a trajetória (uma cicloide). Números para um elétron com $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B = 0.10\,\mathrm{T}$ .

Solução

Solução de Exercício 17.11.

$m\dot v_x = qv_yB$ , $m\dot v_y = qE - qv_xB$ , $v_z = 0$ . Com $\vect v = (E/B)\vect e_x + \vect w$ : $m\dot w_x = qw_yB$ , $m\dot w_y = -qw_xB$ — uma rotação ciclotrônica pura de $\vect w$ em $\omega_c$ . Partindo do repouso, $\vect w(0) = -(E/B)\vect e_x$ : $\vect w$ gira com norma constante $E/B$ , de modo que a velocidade é a deriva $E/B$ mais um vetor girante de mesma norma — uma cicloide, com cúspides onde $\vect v = \vect 0$ . Elétron: deriva $E/B = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , altura do arco $2mE/qB^2 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercício 17.12 ★★★

No osciloscópio do Exercício 17.5, substitua as placas por uma bobina de deflexão magnética que produza $1.0\,\mathrm{mT}$ nos mesmos $4.0\,\mathrm{cm}$ . Ângulo de deflexão (para ângulos pequenos: o arco de raio $R$ ao longo de um comprimento $L$ ) e deflexão na tela. Por que os tubos de televisão, com os seus grandes ângulos, usam deflexão magnética e não elétrica?

Solução

Solução de Exercício 17.12.

$R = mv_0/eB = 9.11\times10^{-31} \times 2.65\times10^7/(1.6\times10^{-22}) = 0.15\,\mathrm{m}$ ; $\alpha \approx L/R = 0.04/0.15 = 0.27$ (cerca de $15^\circ$ ): deflexão $\approx 0.30 \times 0.27 = 8\,\mathrm{cm}$ para um modesto militesla. Ângulos grandes com placas exigiriam quilovolts e placas longas; uma bobina curva o feixe em dezenas de graus sem tensão alguma.

17.6 Problema: prótons contra um tumor

Problema 17.1

Problema de fim de semana — o cíclotron atrás da parede de um hospital: como os prótons são levados a um terço da velocidade da luz, por que a máquina simples deixa de funcionar antes da energia de que um terapeuta precisa, e quantos prótons são necessários para tratar um tumor

Prótons: $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $q = e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Cíclotron: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , raio de extração $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ , amplitude da tensão dos dês $U = 50\,\mathrm{kV}$ .

Parte I — Uma volta.

Escreva a força de Lorentz sobre um próton que se move com $\vect v$ perpendicular a $\vect B$ , e mostre que o módulo da sua velocidade não pode mudar dentro de um dê.
Deduza o raio do seu círculo e o seu período; mostre que o período não depende da velocidade.
Calcule a frequência ciclotrônica $f_c$ para esses prótons.
Energia ganha em cada travessia do intervalo; e por volta.
Por que a tensão dos dês deve alternar exatamente em $f_c$ ? O que acontece se ela estiver ligeiramente fora?
Os prótons são injetados no centro com velocidade desprezível: qual o raio após a primeira volta? E após $n$ voltas?

Parte II — Até a borda.

Energia cinética na extração (em J e em MeV), e a velocidade, como fração de $c$ .
Número de voltas necessárias e tempo passado na máquina.
Comprimento total do trajeto em espiral (soma das circunferências — aproxime a soma por uma integral).
O resultado da questão 7 depende de $U$ ? Sobre o que $U$ age?
O vácuo interno precisa ser bom: estime a distância que um próton percorre entre colisões com moléculas de gás residual, se o livre caminho médio deve exceder o comprimento da espiral; o livre caminho médio varia como $1/p$ e vale cerca de $70\,\mathrm{nm}$ à pressão atmosférica. Que pressão é necessária?
Calcule $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ na extração e a variação relativa do período que dela resulta. Ao longo do número de voltas encontrado acima, de que fração de período o próton escorregou em relação à tensão? Comente.

Parte III — 230 MeV. A protonterapia precisa de cerca de $230\,\mathrm{MeV}$ para alcançar tumores a $30\,\mathrm{cm}$ de profundidade.

Com a fórmula não relativística, que produto $BR$ daria $230\,\mathrm{MeV}$ ? Com $B = 2.0\,\mathrm{T}$ , que raio?
Nessa energia $\gamma - 1 = 0.245$ : o que acontece com o período ciclotrônico à medida que o próton ganha energia, e por que um cíclotron de frequência fixa falha?
Existem dois remédios: variar a frequência da tensão durante a aceleração (sincrocíclotron) ou fazer $B$ crescer com o raio de modo que $B/\gamma$ permaneça constante (cíclotron isócrono). Explique cada um em uma frase e aponte um inconveniente do primeiro.
A quantidade de movimento relativística vale $p = \gamma mv$ e o raio $R = p/qB$ continua valendo: com $\gamma = 1.245$ e $v = 0.60c$ , calcule $R$ para $B = 2.0\,\mathrm{T}$ e compare com a questão 13.
O feixe extraído passa entre duas placas de $1.0\,\mathrm{m}$ de comprimento com $E = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ para ser desviado de um pequeno ângulo: estime o ângulo de deflexão (de modo não relativístico, usando o $p$ da questão anterior no lugar de $mv$ ). O desvio elétrico é prático aqui?
O mesmo desvio com um ímã de $1.0\,\mathrm{T}$ ao longo de $1.0\,\mathrm{m}$ : qual o ângulo? Conclua por que as linhas de feixe usam ímãs.

Parte IV — A dose.

Um próton de $230\,\mathrm{MeV}$ deposita a maior parte da sua energia perto do fim do seu alcance (o pico de Bragg). Se toda ela for absorvida num tumor de massa $0.50\,\mathrm{kg}$ , quantos prótons entregam uma dose de $2.0\,\mathrm{Gy}$ ( $1\,\mathrm{Gy} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ )?
A corrente do feixe vale $1.0\,\mathrm{nA}$ : prótons por segundo e duração da sessão.
Potência transportada pelo feixe; compare com uma lâmpada.
Os prótons são freados até parar dentro do paciente: qual é a energia depositada por próton no último centímetro, grosso modo, se um quarto da energia se perde ali? Em elétron-volts por micrômetro?
Cada ionização no tecido custa cerca de $30\,\mathrm{eV}$ : quantas ionizações um próton provoca ao longo de todo o seu trajeto?
Por que um feixe de prótons é preferível a raios X para um tumor profundo, em uma frase sobre para onde vai a energia?
Resuma a cadeia, da força de Lorentz à dose: que equações fixaram a energia, o raio, o número de voltas e o tempo de tratamento.

Solução

Solução de Problema 17.1.

1. $\vect F = e\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ : sem potência, módulo da velocidade constante.

2. $mv^2/R = evB$ : $R = mv/eB$ ; $T = 2\pi R/v = 2\pi m/eB$ , livre de $v$ .

3. $f_c = eB/2\pi m = 1.6\times10^{-19} \times 1.5/(2\pi \times 1.67 \times10^{-27}) = 23\,\mathrm{MHz}$ .

4. $eU = 50\,\mathrm{keV}$ por travessia, $100\,\mathrm{keV}$ por volta.

5. O intervalo deve estar na polaridade aceleradora cada vez que o próton chega, a meio período de distância; fora da frequência, a fase escorrega e os impulsos acabam por desacelerar.

6. Após uma volta, $E_k = 100\,\mathrm{keV}$ , $v = \sqrt{2E_k/m} = 4.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $R = mv/eB = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; após $n$ voltas, $E_k = n \times 100\,\mathrm{keV}$ e $R = 3.0\,\mathrm{cm}\sqrt n$ .

7. $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $v = \sqrt{2E_k/m} = 7.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 0.24c$ .

8. $270$ voltas; $270 \times 43.5\,\mathrm{ns} = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

9. $\sum 2\pi R_n = 2\pi \times 0.030\sum\sqrt n \approx 2\pi \times 0.030 \times \tfrac23 \times 270^{3/2} = 560\,\mathrm{m}$ .

10. Não: $E_k$ depende apenas de $B$ e de $R_{\max}$ ; $U$ fixa o número de voltas e o tempo.

11. Trajeto de $560\,\mathrm{m}$ : é preciso $\lambda \gtrsim 1\,\mathrm{km}$ , isto é, $p \lesssim 10^5\ \mathrm{Pa} \times 7\times10^{-8}/10^3 = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ — um alto-vácuo.

12. $\gamma - 1 = 27/938 = 0.029$ ; o período cresce $2.9\%$ . Ao longo de $270$ voltas o escorregamento acumula vários períodos — as últimas voltas ficariam fora de fase; na prática ajustam-se $B$ e a fase de injeção, e os $27\,\mathrm{MeV}$ estão perto do limite da máquina simples.

13. $E_k = (eBR)^2/2m$ : $BR = \sqrt{2mE_k}/e = \sqrt{2 \times 1.67\times 10^{-27} \times 3.68\times10^{-11}}/1.6\times10^{-19} = 2.2\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}$ ; $R = 1.1\,\mathrm{m}$ a $2\,\mathrm{T}$ .

14. $T = 2\pi\gamma m/eB$ cresce $24\%$ do centro à borda: uma frequência fixa fica irremediavelmente fora de passo.

15. Sincrocíclotron: baixar a frequência à medida que o pacote ganha energia — um único pacote por vez, corrente média baixa. Isócrono: moldar $B(R) \propto \gamma$ para que o período fique constante — feixe contínuo, a escolha moderna.

16. $p = \gamma mv = 1.245 \times 1.67\times10^{-27} \times 1.8\times10^8 = 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = p/eB = 1.2\,\mathrm{m}$ , um pouco mais que os $1.1\,\mathrm{m}$ não relativísticos.

17. Impulso transversal $eEL/v = 1.6\times10^{-19} \times 10^5 \times 1.0/1.8\times10^8 = 8.9 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; ângulo $\approx 8.9\times10^{-23}/ 3.7\times10^{-19} = 2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : inútil para desviar o feixe.

18. Magnético: $R = p/eB = 2.3\,\mathrm{m}$ , ângulo $L/R = 0.43\,\mathrm{rad} \approx 25^\circ$ : mil vezes mais — ímãs, portanto.

19. Energia por próton $3.68 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ ; dose $2.0 \times 0.50 = 1.0\,\mathrm{J}$ : $2.7\times10^{10}$ prótons.

20. $10^{-9}/1.6\times10^{-19} = 6.2 \times 10^{9}$ prótons por segundo: cerca de $4.4\,\mathrm{s}$ .

21. $P = 230\,\mathrm{MeV} \times 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.23\,\mathrm{W}$ : uma luz de vigília, entregue exatamente onde se quer.

22. $58\,\mathrm{MeV}$ em $1\,\mathrm{cm}$ : cerca de $6\,\mathrm{keV}/\text{µ}\mathrm{m}$ — ionização densa ao longo do último trecho.

23. $230\times10^6/30 \approx 8 \times 10^{6}$ ionizações por próton — o dano molecular que mata a célula.

24. Os raios X depositam energia ao longo de todo o seu caminho, sobretudo perto da entrada; os prótons depositam a maior parte da sua no fim do alcance, poupando o tecido à frente e não deixando nada atrás.

25. $R = mv/eB$ e $T = 2\pi m/eB$ (o círculo), $E_k = (eBR)^2/2m$ (a energia), $E_k/2eU$ (as voltas), dose $=$ (prótons $\times$ energia)/massa e corrente $= e \times$ taxa (o tempo).

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