Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

7Regimes transitórios: primeira e segunda ordem

Aperte o canto de um carro estacionado e solte. Um carro em bom estado sobe uma vez e para; um carro com amortecedores gastos balança duas ou três vezes antes de se acomodar. Num laboratório de eletrônica os mesmos dois comportamentos aparecem num osciloscópio quando um capacitor se descarrega através de uma bobina: um retorno suave, ou uma oscilação que se extingue. Ambos são o transitório entre um regime permanente e outro, e ambos obedecem à mesma pequena família de equações diferenciais lineares — primeira ordem para um único reservatório de energia, segunda ordem para dois que trocam energia. Este capítulo as resolve de uma vez por todas, nomeia os seus parâmetros (constante de tempo, frequência própria, fator de qualidade) e mostra como os mesmos números descrevem um circuito e uma suspensão.

Uma bobina, um capacitor e um resistor num protoboard e, no osciloscópio, a oscilação amortecida que segue um degrau: o regime pseudoperiódico deste capítulo.

7.1 Sistemas de primeira ordem

Definição 7.1 (Sistema linear de primeira ordem)

Uma grandeza $x(t)$ obedece a uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes quando

\tau\,\frac{\dd x}{\dd t} + x = x_\infty ,

com $\tau > 0$ a constante de tempo e $x_\infty$ uma constante (o valor imposto pela fonte). O seu regime permanente é $x = x_\infty$ ; o regime transitório é a aproximação a ele a partir do valor inicial $x(0) = x_0$ .

Teorema 7.2 (Solução)

A única solução com $x(0) = x_0$ é

x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,\eu^{-t/\tau} .

A distância ao regime permanente encolhe pelo fator $\eu^{-1} \approx 0.37$ a cada $\tau$ : $63\%$ do caminho em $\tau$ , $95\%$ em $3\tau$ , $99\%$ em $4.6\tau$ . A tangente na origem atinge $x_\infty$ em $t = \tau$ .

Demonstração. $y = x - x_\infty$ obedece a $\tau y' + y = 0$ , cujas soluções são $y = K\eu^{-t/\tau}$ (o curso de matemática sobre equações diferenciais lineares mostra que não há outras); $K = x_0 - x_\infty$ . A inclinação em $0$ vale $-(x_0 - x_\infty)/\tau$ , que fecharia a distância no tempo $\tau$ . ∎

A resposta ao degrau de primeira ordem a partir de x_0 = 0: a tangente inicial encontra a assíntota em t =; 63\% do caminho em , 95\% em 3. Todo transitório de primeira ordem é essa curva, dilatada por e deslocada por x_0 e x_∈fty. — A resposta ao degrau de primeira ordem a partir de $x_0 = 0$ : a tangente inicial encontra a assíntota em $t = \tau$ ; $63\%$ do caminho em $\tau$ , $95\%$ em $3\tau$ . Todo transitório de primeira ordem é essa curva, dilatada por $\tau$ e deslocada por $x_0$ e $x_\infty$ .

Proposição 7.3 (Circuitos RC e RL)

Um capacitor $C$ carregado através de um resistor $R$ por uma fonte ideal $E$ obedece a $RC\,\dd u_C/\dd t + u_C = E$ : $\tau = RC$ , $u_{C,\infty} = E$ . Uma bobina $L$ em série com $R$ sob $E$ obedece a $(L/R)\,\dd i/\dd t + i = E/R$ : $\tau = L/R$ , $i_\infty = E/R$ . Retirada a fonte ( $E \to 0$ ), as mesmas equações descrevem a descarga rumo a zero.

Demonstração. Lei das malhas $E = Ri + u_C$ com $i = C\,\dd u_C/\dd t$ ; lei das malhas $E = Ri + L\,\dd i/\dd t$ . ∎

Proposição 7.4 (Condições de continuidade)

A tensão nos terminais de um capacitor e a corrente através de um indutor são funções contínuas do tempo: num instante de comutação $t_0$ , $u_C(t_0^+) = u_C(t_0^-)$ e $i_L(t_0^+) = i_L(t_0^-)$ . As correntes nos resistores e as tensões nas bobinas podem saltar.

Demonstração. Um salto de $u_C$ exigiria $i = C\,\dd u_C/\dd t$ infinita, e um salto de $i_L$ exigiria $u = L\,\dd i/\dd t$ infinita; ambos são impossíveis num circuito de tensões e correntes finitas (de modo equivalente, as energias armazenadas $\tfrac12 Cu_C^2$ e $\tfrac12 Li^2$ não podem mudar instantaneamente sem potência infinita). ∎

Método 7.5 (Resolvendo um transitório de primeira ordem)

Escreva as leis das malhas e dos nós depois da comutação, com as leis dos componentes; reduza a uma única equação em $u_C$ ou $i_L$ e coloque-a na forma $\tau x' + x = x_\infty$ ; leia $\tau$ e $x_\infty$ (este último é também o regime permanente obtido substituindo $C$ por um circuito aberto e $L$ por um fio).
Encontre $x_0$ pela continuidade de $u_C$ ou de $i_L$ através do instante de comutação, usando o circuito anterior a ele.
Escreva $x = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\eu^{-t/\tau}$ ; deduza as demais grandezas por derivação e pela lei das malhas.

Quando o capacitor enxerga uma rede de resistores e fontes, substitua primeiro essa rede pelo seu equivalente de Thévenin $(E_{\mathrm{Th}}, R_{\mathrm{Th}})$ (Capítulo 6): $\tau = R_{\mathrm{Th}}C$ , $u_\infty = E_{\mathrm{Th}}$ .

Proposição 7.6 (Balanço energético da carga de um RC)

Ao carregar um capacitor de $0$ até $E$ através de um resistor $R$ qualquer, a fonte fornece $CE^2$ , o capacitor armazena $\tfrac12 CE^2$ e o resistor dissipa o outro $\tfrac12 CE^2$ — seja qual for $R$ .

Demonstração. $i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ ; a fonte fornece $\int_0^\infty Ei\,\dd t = E \cdot (E/R)\tau = CE^2$ ; o resistor toma $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)\int_0^\infty \eu^{-2t/\tau}\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ ; a diferença é o $\tfrac12 CE^2$ armazenado. Um $R$ menor dissipa a mesma energia mais depressa. ∎

Exemplo 7.7 (A bobina de um relé)

$L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ : $\tau = 4.0\,\mathrm{ms}$ , $i_\infty = 2.0\,\mathrm{A}$ ; os contatos fecham quando $i$ atinge $1.5\,\mathrm{A}$ , isto é, em $t = -\tau\ln(1 - 0.75) = 5.5\,\mathrm{ms}$ . Ao abrir o circuito, $i$ deve cair de $2\,\mathrm{A}$ ; um diodo “de roda livre” em paralelo com a bobina lhe dá um caminho apenas através de $R$ , $\tau = 4\,\mathrm{ms}$ , em vez de uma faísca.

7.2 Sistemas de segunda ordem

Definição 7.8 (Forma canônica de segunda ordem)

Uma grandeza $x(t)$ é um sistema linear de segunda ordem quando

\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x = \omega_0^2\,x_\infty ,

com $\omega_0 > 0$ a frequência angular própria, $Q > 0$ o fator de qualidade (adimensional) e $x_\infty$ o regime permanente. Escreve-se também $\omega_0/Q = 2\xi\omega_0$ , com $\xi = 1/2Q$ o fator de amortecimento.

Proposição 7.9 (O circuito RLC série)

Um capacitor $C$ , uma bobina $L$ e um resistor $R$ em série sob uma fonte $E$ : a tensão do capacitor obedece à forma canônica com

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}, \qquad u_{C,\infty} = E .

Demonstração. Lei das malhas: $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ com $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ ; divida por $LC$ e identifique $\omega_0^2 = 1/LC$ , $\omega_0/Q = R/L$ . ∎

As duas faces do sistema de segunda ordem: o circuito RLC série (_0 = 1/√LC, Q = √L/C/R) e o conjunto massa–mola–amortecedor (_0 = √k/m, Q = √km/). Mesma equação, mesmos três regimes. — As duas faces do sistema de segunda ordem: o circuito RLC série ( $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ ) e o conjunto massa–mola–amortecedor ( $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ). Mesma equação, mesmos três regimes.

Proposição 7.10 (O oscilador mecânico)

Uma massa $m$ sobre uma mola de rigidez $k$ com um amortecedor viscoso de coeficiente $\alpha$ (força $-\alpha\dot x$ ), deslocada de $x$ em relação ao equilíbrio, obedece a $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ : a forma canônica com

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} .

A correspondência $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ leva todo resultado de um sistema no outro.

Demonstração. A segunda lei de Newton (Capítulo 12) com a força da mola $-kx$ e a força de amortecimento; divida por $m$ . ∎

Teorema 7.11 (Os três regimes)

As soluções da equação homogênea $x'' + (\omega_0/Q)x' + \omega_0^2 x = 0$ são governadas pelas raízes de $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ , de discriminante $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ :

$Q < \tfrac12$ , regime aperiódico: duas raízes reais negativas $r_\pm = -\frac{\omega_0}{2Q}\big(1 \mp \sqrt{1 - 4Q^2}\big)$ , $x = A\eu^{r_+t} + B\eu^{r_-t}$ , um retorno sem oscilação;
$Q = \tfrac12$ , regime crítico: uma raiz dupla $r = -\omega_0$ , $x = (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ , o retorno mais rápido sem ultrapassagem;
$Q > \tfrac12$ , regime pseudoperiódico: raízes complexas $r = -1/\tau \pm \iu\omega$ com

$\tau = \frac{2Q}{\omega_0}, \qquad \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}, \qquad x = \eu^{-t/\tau}\big(A\cos\omega t + B\sin\omega t\big),$

uma oscilação amortecida de pseudoperíodo $T = 2\pi/\omega$ dentro da envoltória $\pm\sqrt{A^2 + B^2}\,\eu^{-t/\tau}$ .

A solução completa com segundo membro constante é $x_\infty$ mais a solução homogênea; $A$ e $B$ decorrem de $x(0)$ e $x'(0)$ .

Demonstração. Equação característica de uma equação linear com coeficientes constantes (curso de matemática, equações lineares de segunda ordem): as raízes são $r = -\omega_0/2Q \pm \tfrac12\sqrt\Delta$ . Para $Q > \tfrac12$ , $\sqrt\Delta = \iu\omega_0\sqrt{4 - 1/Q^2}$ , o que dá a parte real $-\omega_0/2Q = -1/\tau$ e a parte imaginária $\pm\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; as soluções reais são as combinações de $\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ e $\eu^{-t/\tau}\sin\omega t$ . ∎

Resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem a partir do repouso, para três fatores de qualidade. Q pequeno: uma subida lenta; Q = 1/2: o retorno mais rápido sem ultrapassagem; Q grande: uma oscilação que dura cerca de Q períodos. — Resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem a partir do repouso, para três fatores de qualidade. $Q$ pequeno: uma subida lenta; $Q = \tfrac12$ : o retorno mais rápido sem ultrapassagem; $Q$ grande: uma oscilação que dura cerca de $Q$ períodos.

Proposição 7.12 (Lendo $Q$ num traçado pseudoperiódico)

No regime pseudoperiódico, dois máximos sucessivos estão na razão $x_{n+1}/x_n = \eu^{-T/\tau}$ ; o decremento logarítmico

\delta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{T}{\tau} = \frac{\pi}{Q\sqrt{1 - 1/4Q^2}} \approx \frac{\pi}{Q} \quad (Q \gg 1)

dá $Q$ ; o número de oscilações visíveis antes que a amplitude caia abaixo de $5\%$ é da ordem de $Q$ . Para $Q \gg 1$ , $\omega \approx \omega_0$ e $T \approx 2\pi/\omega_0$ .

Demonstração. A envoltória $\eu^{-t/\tau}$ é multiplicada por $\eu^{-T/\tau}$ a cada período; $T/\tau = (2\pi/\omega)(\omega_0/2Q)$ . A envoltória atinge $\eu^{-3} \approx 5\%$ em $3\tau = 6Q/\omega_0 \approx Q\,T$ , isto é, após cerca de $Q$ períodos. ∎

Decaimento pseudoperiódico livre, x = x_0 -t/ t: os máximos sucessivos encolhem pelo fator constante -T/, e (x_n/x_n+1) = T/ π/Q mede o fator de qualidade a partir do traçado. — Decaimento pseudoperiódico livre, $x = x_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ : os máximos sucessivos encolhem pelo fator constante $\eu^{-T/\tau}$ , e $\ln(x_n/x_{n+1}) = T/\tau \approx \pi/Q$ mede o fator de qualidade a partir do traçado.

Exemplo 7.13 (Uma oscilação RLC)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ : $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-9}} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.16$ : pseudoperiódico, $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $\omega = 0.987\,\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ , três oscilações visíveis. A resistência crítica vale $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ ; acima dela a descarga é aperiódica.

Método 7.14 (Resolvendo um transitório de segunda ordem)

Escreva a equação; ponha-a na forma canônica; leia $\omega_0$ , $Q$ e $x_\infty$ .
Decida o regime a partir de $Q$ e escreva a solução geral como $x_\infty$ mais a solução homogênea.
Encontre $x(0)$ e $x'(0)$ pela continuidade de $u_C$ e de $i_L$ (para o RLC: $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ e $u_C'(0^+) = i(0^-)/C$ ); determine as duas constantes.

Exemplo 7.15 (Condições iniciais)

O capacitor do exemplo anterior é carregado a $U_0$ e, em $t = 0$ , fechado sobre $L$ e $R$ (sem fonte): $x_\infty = 0$ , $u_C(0) = U_0$ , $u_C'(0) = i(0)/C = 0$ , pois a corrente na bobina era nula. Logo $A = U_0$ e $-A/\tau + B\omega = 0$ , $B = U_0/(\omega\tau) = U_0/\sqrt{4Q^2 - 1}$ : $u_C = U_0\eu^{-t/\tau}[\cos\omega t + \sin(\omega t)/\sqrt{4Q^2 - 1}]$ — para $Q \gg 1$ , simplesmente $U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ , e a corrente $i = -C\,\dd u_C/\dd t$ tem pico próximo de $U_0\sqrt{C/L} = U_0/(\omega_0 L)$ .

Observação 7.16 (Energia)

A energia armazenada $\tfrac12 Cu_C^2 + \tfrac12 Li^2$ (ou $\tfrac12 kx^2 + \tfrac12 m\dot x^2$ ) decresce à taxa $Ri^2$ ( $\alpha\dot x^2$ ): derive e use a equação. A cada pseudoperíodo a energia encolhe pelo fator $\eu^{-2T/\tau}$ ; com $Q = 3$ , cerca de $88\%$ dela se perde por oscilação. Um $Q$ alto significa um vazamento lento em relação à oscilação — um bom relógio, uma ressonância aguda (Capítulo 8) — e um $Q$ baixo, um retorno rápido: a escolha certa para uma suspensão ou para o ponteiro de um instrumento.

7.3 Exercícios

Exercício 7.1 ★

Um circuito RC: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 47\,\mathrm{nF}$ , carregado a partir de $E$ . Calcule $\tau$ , $u_C(\tau)/E$ e o tempo para atingir $99\%$ de $E$ .

Solução

Solução de Exercício 7.1.

$\tau = RC = 10^4 \times 47\times10^{-9} = 0.47\,\mathrm{ms}$ ; $u_C(\tau)/E = 1 - \eu^{-1} = 0.63$ ; $99\%$ : $\eu^{-t/\tau} = 0.01$ , $t = \tau\ln 100 = 4.6\tau = 2.2\,\mathrm{ms}$ .

Exercício 7.2 ★

Um circuito RL: $L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ . Calcule $\tau$ , a corrente final, a corrente em $t = \tau$ e a tensão na bobina logo após o fechamento da chave.

Solução

Solução de Exercício 7.2.

$\tau = L/R = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; $i_\infty = E/R = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.26\,\mathrm{A}$ ; em $0^+$ , $i = 0$ (continuidade), logo $u_L = E - Ri = 10\,\mathrm{V}$ .

Exercício 7.3 ★

Um RLC série: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ . Calcule $\omega_0$ , $f_0$ , $Q$ ; nomeie o regime; dê $\tau$ e o pseudoperíodo.

Solução

Solução de Exercício 7.3.

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.2 > \tfrac12$ : pseudoperiódico; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2} = 0.987\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ .

Exercício 7.4 ★

Com os mesmos $L$ e $C$ , que resistência dá o regime crítico? Quanto vale $Q$ nesse caso? O que acontece para $R = 2\,\mathrm{k}\Omega$ ?

Solução

Solução de Exercício 7.4.

$R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ , $Q = \tfrac12$ . Em $2\,\mathrm{k}\Omega$ , $Q = 0.16$ : aperiódico, uma subida lenta governada pela raiz pequena $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ (escala de tempo $0.2\,\mathrm{ms}$ , mas sem oscilação).

Exercício 7.5 ★★

Um capacitor carregado $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ se descarrega através de um $R$ desconhecido; a tensão cai à metade a cada $3.5\,\mathrm{ms}$ . Mostre que a meia-vida vale $\tau\ln 2$ e encontre $R$ .

Solução

Solução de Exercício 7.5.

$u = U_0\eu^{-t/\tau}$ cai à metade quando $\eu^{-t/\tau} = \tfrac12$ : $t_{1/2} = \tau\ln 2$ . $\tau = 3.5/0.693 = 5.05\,\mathrm{ms}$ , $R = \tau/C = 5.1\,\mathrm{k}\Omega$ .

Exercício 7.6 ★★

Mostre por integração direta que carregar um capacitor de $0$ a $E$ através de $R$ dissipa exatamente $\tfrac12 CE^2$ em $R$ , independentemente de $R$ . Qual é, então, o rendimento da transferência, e como se poderia fazer melhor?

Solução

Solução de Exercício 7.6.

$i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ : $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ , sem nenhum $R$ à vista. A fonte fornece $CE^2$ : rendimento de $50\%$ para qualquer resistor. Melhor: carregar através de um indutor (a corrente deixa então de ser proporcional à diferença de tensão) ou em vários degraus de tensão — cada degrau de $E/n$ perde apenas $\tfrac12 C(E/n)^2$ .

Exercício 7.7 ★★

Num osciloscópio, um decaimento RLC livre mostra máximos sucessivos de $2.0\,\mathrm{V}$ , $1.5\,\mathrm{V}$ , $1.12\,\mathrm{V}$ a intervalos de $0.40\,\mathrm{ms}$ . Deduza $Q$ , $\omega_0$ e, com $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ , os valores de $L$ e de $R$ .

Solução

Solução de Exercício 7.7.

$\delta = \ln(2.0/1.5) = 0.29$ (e $\ln(1.5/1.12) = 0.29$ : coerente); $Q \approx \pi/\delta = 11$ . $T = 0.40\,\mathrm{ms}$ , logo $\omega_0 \approx 2\pi/T = 1.57 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (a correção $1/8Q^2$ vale $0.1\%$ ). $L = 1/(\omega_0^2 C) = 4.1\,\mathrm{mH}$ ; $R = \omega_0 L/Q = 5.8\,\Omega$ .

Exercício 7.8 ★★

Um capacitor carregado a $U_0 = 100\,\mathrm{V}$ ( $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ ) é comutado sobre uma bobina $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ de resistência pequena ( $Q \gg 1$ ). Escreva $u_C(t)$ e $i(t)$ e estime a corrente de pico. Onde está a energia no pico?

Solução

Solução de Exercício 7.8.

$u_C \approx U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ ; $i = -C\,\dd u_C/\dd t \approx CU_0\omega_0\sin\omega_0 t$ (para $t \ll \tau$ ), com pico $U_0\sqrt{C/L} = 100 \times 0.1 = 10\,\mathrm{A}$ , atingido um quarto de período após o fechamento, quando $u_C = 0$ : toda a energia ( $\tfrac12 CU_0^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ ) é então magnética, $\tfrac12 Li^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ .

Exercício 7.9 ★★

Um quarto de carro: $m = 400\,\mathrm{kg}$ sobre uma mola $k = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Calcule $\omega_0$ , $f_0$ e o coeficiente de amortecimento crítico. Com um amortecedor $\alpha = 2000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , dê $Q$ , o regime, o pseudoperíodo e o tempo de decaimento $\tau$ .

Solução

Solução de Exercício 7.9.

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = 7.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.1\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{8\times10^6} = 5.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . $\alpha = 2000$ : $Q = \sqrt{km}/\alpha = 2828/2000 = 1.4$ , pseudoperiódico; $T = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}) = 0.89/0.935 = 0.95\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.40\,\mathrm{s}$ .

Exercício 7.10 ★★★

Uma bobina $L = 0.50\,\mathrm{H}$ conduz $I_0 = 2.0\,\mathrm{A}$ ; a fonte é desligada e a bobina fica ligada a um resistor de descarga $R = 100\,\Omega$ . Dê $i(t)$ , $\tau$ , a tensão de pico na bobina e a energia dissipada. O que aconteceria sem o resistor?

Solução

Solução de Exercício 7.10.

$i = I_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = L/R = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; tensão de pico $RI_0 = 200\,\mathrm{V}$ em $t = 0^+$ ; energia $\tfrac12 LI_0^2 = 1.0\,\mathrm{J}$ dissipada em $R$ . Sem o resistor a corrente não tem caminho: $\dd i/\dd t$ é enorme, a tensão da bobina atinge quilovolts e um arco salta na chave.

Exercício 7.11 ★★★

Um capacitor $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ é carregado a partir de $E = 12\,\mathrm{V}$ através de $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , com $R_2 = 20\,\mathrm{k}\Omega$ ligado em paralelo com ele. Usando um equivalente de Thévenin, encontre a constante de tempo e a tensão final; escreva $u_C(t)$ a partir de $u_C(0) = 0$ .

Solução

Solução de Exercício 7.11.

Visto de $C$ : $E_{\mathrm{Th}} = ER_2/(R_1 + R_2) = 8.0\,\mathrm{V}$ , $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 6.67\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = R_{\mathrm{Th}}C = 6.7\,\mathrm{ms}$ ; $u_C = 8.0(1 - \eu^{-t/\tau})$ V.

Exercício 7.12 ★★★

Regime crítico, degrau a partir do repouso ( $x(0) = x'(0) = 0$ ): mostre que $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ e encontre numericamente o tempo para atingir $95\%$ de $x_\infty$ (em unidades de $1/\omega_0$ ). Compare com o tempo de acomodação da envoltória para $Q = 5$ e com o da raiz lenta quando $Q = 0.1$ ; conclua por que o regime “crítico” é o alvo do engenheiro.

Solução

Solução de Exercício 7.12.

Raiz dupla $-\omega_0$ : $x = x_\infty + (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ ; $x(0) = 0$ dá $A = -x_\infty$ , e $x'(0) = 0$ dá $B = \omega_0 A$ : $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ . Para $95\%$ : $(1 + s)\eu^{-s} = 0.05$ , $s \approx 4.7$ : $t_{95} = 4.7/\omega_0$ . Para $Q = 5$ a envoltória $\eu^{-t/\tau}$ com $\tau = 10/\omega_0$ precisa de $3\tau = 30/\omega_0$ ; para $Q = 0.1$ a raiz lenta vale $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q$ e $3/\abs{r_+} = 30/\omega_0$ . Ambos são seis vezes mais lentos: o amortecimento crítico é o retorno mais rápido sem ultrapassagem, que é o que um instrumento, uma mola de porta ou uma suspensão pedem.

7.4 Problema: projetando uma suspensão

Problema 7.1

Problema de fim de semana — a mesma equação diferencial numa bancada de laboratório e sob um carro: quantos balanços um amortecedor gasto permite, o que o projetista escolhe em vez disso e como um único número distingue os dois

A Parte I estuda um circuito RLC série, $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; as Partes II–IV, um modelo de quarto de carro: uma massa $m = 350\,\mathrm{kg}$ apoiada numa mola $k = 22\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ e num amortecedor que exerce $-\alpha\dot x$ . Ultrapassagem de uma resposta ao degrau no regime pseudoperiódico (dada): $x_{\max}/x_\infty - 1 = \exp(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2})$ , $\xi = 1/2Q$ .

Parte I — O circuito.

Escreva a lei das malhas para o RLC série sob uma fonte $E$ e a equação diferencial de $u_C$ .
Ponha-a na forma canônica; exprima $\omega_0$ e $Q$ .
Calcule $\omega_0$ , $f_0$ e a resistência crítica $R_c$ .
Escreva a equação característica e o seu discriminante; enuncie os três regimes em termos de $Q$ .
No caso pseudoperiódico, dê $\tau$ e $\omega$ e a forma de $u_C(t)$ .
Para $R = 100\,\Omega$ calcule $Q$ , $\tau$ , o pseudoperíodo e o número de oscilações visíveis.
O capacitor, carregado a $U_0$ , é comutado sobre $L$ e $R$ em $t = 0$ . Dê $u_C(0^+)$ e $\dd u_C/\dd t(0^+)$ , com a razão física de cada um.

Parte II — O quarto de carro.

Medindo $x$ a partir da posição de equilíbrio, escreva a segunda lei de Newton para a carroceria e mostre que o peso desaparece.
Ponha a equação na forma canônica; dê $\omega_0$ e $Q$ em termos de $m$ , $k$ , $\alpha$ , e liste as correspondências eletromecânicas.
Calcule $\omega_0$ , $f_0$ e o coeficiente crítico $\alpha_c$ .
O projetista monta $\alpha = 4000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ : calcule $Q$ , $\xi$ , e nomeie o regime.
Calcule $\tau$ e o pseudoperíodo.
Calcule a ultrapassagem após um degrau (um meio-fio): o carro é confortável?
Que resistência $R$ daria ao circuito da Parte I o mesmo $Q$ desta suspensão?

Parte III — O amortecedor gasto. Vazou óleo: $\alpha = 1200\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

Calcule $Q$ , o pseudoperíodo e $\tau$ .
Por qual fator os máximos sucessivos encolhem? Quantos balanços são visíveis antes que a amplitude fique abaixo de $5\%$ ?
O teste do balanço: empurra-se o canto para baixo em $x_0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ e solta-se. Dê as condições iniciais, a energia armazenada na mola e diga para onde vai essa energia.
Estime a velocidade de pico da carroceria durante o primeiro retorno ( $\approx x_0\omega_0$ para $Q \gg 1$ ) e a força de pico no amortecedor.
Por que o amortecimento exatamente crítico ( $Q = \tfrac12$ ) não é a escolha do projetista, embora não produza ultrapassagem? (Pense nos últimos milímetros do retorno.)
Calcule a ultrapassagem para o amortecedor gasto e compare com a Parte II.

Parte IV — Diagnosticando $Q$ num traçado. Um acelerômetro na carroceria registra o decaimento livre.

Para o carro gasto, os máximos sucessivos valem $1.00$ , $0.25$ , $0.062$ (unidades arbitrárias). Calcule o decremento logarítmico, deduza $\xi$ exatamente de $\delta = 2\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ e depois $Q$ ; compare com a Parte III.
Para o carro em bom estado nenhum segundo máximo é visível; só a ultrapassagem, $3.8\%$ , pode ser lida. Inverta a fórmula da ultrapassagem para encontrar $\xi$ e $Q$ .
Que fração da energia mecânica o amortecedor gasto dissipa por pseudoperíodo?
Um técnico que não tem um carro à mão monta o RLC da Parte I com $R$ escolhido de modo que $Q = 2.3$ : que $R$ , e por que o traçado do osciloscópio, plotado contra $\omega_0 t$ , tem forma idêntica à do carro?
Resuma: que número adimensional decide a forma de qualquer transitório de segunda ordem, que valor um projetista de suspensão busca e o que um motorista deve concluir de “mais de um balanço”.

Solução

Solução de Problema 7.1.

1. $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ , $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ .

2. $u_C'' + (\omega_0/Q)u_C' + \omega_0^2u_C = \omega_0^2E$ com $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ .

3. $\omega_0 = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ , $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ .

4. $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ , $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ : $Q < \tfrac12$ aperiódico, $Q = \tfrac12$ crítico, $Q > \tfrac12$ pseudoperiódico.

5. $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ , $u_C = E + \eu^{-t/\tau}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ .

6. $Q = 3.16$ , $\tau = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $T = 2\pi/\omega = 0.20\,\mathrm{ms}$ , cerca de três oscilações.

7. $u_C(0^+) = U_0$ ( $u_C$ contínua: corrente finita); $u_C'(0^+) = i(0^+)/C = 0$ ( $i_L$ contínua e nula antes).

8. $m\ddot x = -k(x + x_{\text{eq}}) - \alpha\dot x + mg$ com $kx_{\text{eq}} = mg$ : $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ .

9. $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ; $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{22000/350} = 7.93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.26\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

11. $Q = 2775/4000 = 0.69$ , $\xi = 0.72$ : pseudoperiódico, logo abaixo do crítico.

12. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.18\,\mathrm{s}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2} = 5.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 1.1\,\mathrm{s}$ .

13. Ultrapassagem $\exp(-\pi \times 0.72/0.69) = \exp(-3.3) = 3.8\%$ : uma pequena subida além do equilíbrio e acabou — confortável.

14. $R = \sqrt{L/C}/Q = 316/0.69 = 455\,\Omega$ .

15. $Q = 2775/1200 = 2.3$ , $\xi = 0.22$ ; $\omega = 0.976\omega_0$ , $T = 0.81\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.58\,\mathrm{s}$ .

16. $\eu^{-T/\tau} = \eu^{-1.39} = 0.25$ : cada balanço é um quarto do anterior; $0.25^3 = 1.6\%$ : três balanços visíveis.

17. $x(0) = -x_0$ , $\dot x(0) = 0$ ; energia $\tfrac12 kx_0^2 = 0.5 \times 22000 \times 0.0025 = 28\,\mathrm{J}$ , dissipada como calor no óleo do amortecedor.

18. $v \approx x_0\omega_0 = 0.05 \times 7.93 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; força no amortecedor $\alpha v \approx 1200 \times 0.40 = 480\,\mathrm{N}$ .

19. Em $Q = \tfrac12$ o retorno vale $(1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}$ , que se arrasta assintoticamente: os últimos milímetros demoram. Um sistema levemente subamortecido ( $\xi \approx 0.7$ ) ultrapassa alguns por cento, mas entra e permanece dentro de uma faixa de tolerância antes.

20. $\exp(-\pi \times 0.22/0.976) = \exp(-0.70) = 50\%$ , contra $3.8\%$ : o carro gasto volta metade do caminho além do equilíbrio.

21. $\delta = \ln 4 = 1.39$ (duas vezes, coerente); $\xi = \delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} = 1.39/6.43 = 0.215$ , $Q = 1/2\xi = 2.3$ : o valor do carro gasto.

22. $-\ln 0.038 = 3.27 = \pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ , logo $\xi = 3.27/\sqrt{\pi^2 + 3.27^2} = 0.72$ , $Q = 0.69$ .

23. Energia $\propto$ amplitude $^2$ : fração restante por período $0.25^2 = 6\%$ , ou seja, $94\%$ dissipados por pseudoperíodo.

24. $R = 316/2.3 = 137\,\Omega$ . Na variável $\omega_0 t$ a equação canônica só contém $Q$ : dois sistemas de mesmo $Q$ traçam a mesma curva.

25. O fator de qualidade $Q$ (ou $\xi$ ) sozinho fixa a forma; um projetista busca $Q \approx 0.7$ ( $\xi \approx 0.7$ ); mais de um balanço visível significa $Q$ bem acima de $1$ : o amortecedor está gasto.

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