Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

8Regime senoidal permanente e impedância

Gire o dial de um rádio antigo e, das cem estações que chegam todas à antena ao mesmo tempo, uma se faz ouvir: uma bobina e um capacitor variável foram ajustados de modo que exatamente uma frequência os faça ressoar. A rede elétrica que zumbe em cada parede é uma senoide de $50\,\mathrm{Hz}$ ; a fábrica que faz girar grandes motores com ela paga uma multa se a sua corrente se atrasa demais em relação à tensão. As senoides são a linguagem natural dos circuitos lineares — saem como entraram, apenas escaladas e defasadas — e este capítulo lhes dá a sua álgebra: amplitudes complexas, impedâncias, a ressonância do circuito RLC e a potência que as correntes senoidais realmente entregam.

Um osciloscópio mostrando uma senoide e uma onda quadrada: a senoide é o sinal de que vive este capítulo, e a onda quadrada aquele que o próximo capítulo decompõe em senoides.

8.1 O regime senoidal permanente

Proposição 8.1 (Regime senoidal forçado)

Num circuito linear excitado por uma fonte senoidal de frequência angular $\omega$ , toda corrente e toda tensão são, uma vez extintos os transitórios, senoides de mesma frequência angular $\omega$ , cada uma com a sua própria amplitude e fase: $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ .

Demonstração. As equações do circuito são equações diferenciais lineares com coeficientes constantes; a sua solução geral é uma solução particular mais as soluções da equação homogênea, que são os transitórios do Capítulo 7 e decaem (todo circuito real tem alguma resistência). Existe uma solução particular senoidal porque derivar uma senoide de frequência $\omega$ dá uma senoide da mesma frequência: as equações podem ser satisfeitas termo a termo — o método complexo abaixo a constrói explicitamente. ∎

Definição 8.2 (Amplitude complexa)

À senoide $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ associa-se o sinal complexo $\underline{x}(t) = X\eu^{j(\omega t + \varphi)}$ , de modo que $x = \Rea(\underline{x})$ , e a amplitude complexa

\underline{X} = X\eu^{j\varphi}, \qquad \underline{x}(t) = \underline{X}\,\eu^{j\omega t},

que carrega a amplitude $X = \abs{\underline{X}}$ e a fase $\varphi = \arg\underline{X}$ . Aqui $j$ designa a unidade imaginária, $j^2 = -1$ , ficando a letra $i$ reservada às correntes. Desenhada como um vetor de comprimento $X$ e ângulo $\varphi$ , $\underline{X}$ é um fasor (vetor de Fresnel).

Proposição 8.3 (Regras do método complexo)

As operações lineares comutam com a tomada da parte real: a amplitude complexa de uma soma é a soma das amplitudes complexas.
Derivar em relação ao tempo multiplica a amplitude complexa por $j\omega$ ; integrar a divide por $j\omega$ .
As leis de Kirchhoff, por serem lineares, valem para amplitudes complexas.

Demonstração. $\Rea(\underline a + \underline b) = \Rea\underline a + \Rea\underline b$ ; $\dd(\underline X\eu^{j\omega t})/\dd t = j\omega\underline X\eu^{j\omega t}$ , e $\dd x/\dd t = \Rea(\dd\underline x/\dd t)$ , pois a derivação é linear sobre os reais. As somas de correntes num nó e de tensões numa malha são lineares. ∎

Exemplo 8.4 (Somando duas senoides)

$3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : as amplitudes complexas são $3$ e $4\eu^{-j\pi/2} = -4j$ (pois $\sin\omega t = \cos(\omega t - \pi/2)$ ); a sua soma $3 - 4j$ tem módulo $5$ e argumento $-0.927\ \mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ . Nenhuma identidade trigonométrica é necessária.

8.2 Impedância

Definição 8.5 (Impedância, admitância)

Para um dipolo linear em regime senoidal permanente (convenção receptor), a impedância é a razão das amplitudes complexas

\underline Z = \frac{\underline U}{\underline I} = Z\eu^{j\varphi} \quad (\text{ohms}),

cujo módulo $Z = U/I$ relaciona as amplitudes e cujo argumento $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ é o avanço de fase da tensão sobre a corrente. O seu inverso $\underline Y = 1/\underline Z$ é a admitância (siemens). A parte real de $\underline Z$ é a sua resistência, e a parte imaginária a sua reatância.

Proposição 8.6 (Impedâncias de R, L, C)

\underline Z_R = R, \qquad \underline Z_L = jL\omega, \qquad \underline Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} .

Um resistor mantém tensão e corrente em fase; numa bobina a tensão adianta a corrente de $\pi/2$ ; num capacitor ela atrasa de $\pi/2$ . Em baixa frequência uma bobina tende a um fio e um capacitor a um circuito aberto; em alta frequência é o contrário.

Demonstração. $u = Ri$ ; $u = L\,\dd i/\dd t \to \underline U = jL\omega\,\underline I$ ; $i = C\,\dd u/\dd t \to \underline I = jC\omega\,\underline U$ . Os argumentos de $1$ , $j$ e $-j$ valem $0$ , $\pi/2$ , $-\pi/2$ . ∎

Proposição 8.7 (Associação; divisores; teoremas)

Impedâncias em série somam-se; admitâncias em paralelo somam-se; os divisores de tensão e de corrente, os teoremas de Thévenin e de Norton, a superposição e o teorema de Millman do Capítulo 6 valem todos com amplitudes complexas e impedâncias no lugar de tensões, correntes e resistências reais.

Demonstração. Toda demonstração do Capítulo 6 usou apenas as leis de Kirchhoff e a linearidade de $u = Ri$ , ambas válidas em forma complexa. ∎

Exemplo 8.8 (O divisor RC)

Um resistor $R$ e um capacitor $C$ em série sob $\underline E$ , com a saída tomada em $C$ : $\underline U_C = \underline E\,\dfrac{1/jC\omega} {R + 1/jC\omega} = \dfrac{\underline E}{1 + jRC\omega}$ . Amplitude $E/\sqrt{1 + (RC\omega)^2}$ , fase $-\arctan(RC\omega)$ : transmissão total em baixa frequência, $1/\sqrt2$ e $-45^\circ$ em $\omega = 1/RC$ , e uma queda em $1/\omega$ além dali — um filtro passa-baixa, objeto do Capítulo 9.

8.3 O circuito RLC série: a ressonância

Teorema 8.9 (Ressonância em corrente)

Um resistor $R$ , uma bobina $L$ e um capacitor $C$ em série sob $e(t) = E\cos\omega t$ conduzem a corrente de amplitude complexa

\underline I = \frac{E}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)}, \qquad I = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}, \qquad \varphi_i = -\arctan\frac{L\omega - 1/C\omega}{R} .

A amplitude é máxima, $I_{\max} = E/R$ , com corrente e tensão em fase, na ressonância $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ . Com $Q = L\omega_0/R = 1/(RC\omega_0)$ e $x = \omega/\omega_0$ ,

\frac{I}{I_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(x - \dfrac1x\right)^2}} ,

e a largura de banda — o intervalo de $\omega$ em que $I \geq I_{\max}/\sqrt2$ — vale

\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} .

Demonstração. As impedâncias em série somam-se: $\underline Z = R + jL\omega + 1/jC\omega$ , e $\underline I = \underline E/\underline Z$ . O módulo é máximo quando a reatância $L\omega - 1/C\omega$ se anula, isto é, em $\omega_0$ . Fatore $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ e divida por $R$ : $L\omega_0/R = Q$ . Nas bordas da banda, $Q(x - 1/x) = \pm 1$ , isto é, $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , cujas raízes positivas são $x_{1,2} = \mp\frac{1}{2Q} + \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}$ ; a sua diferença vale $1/Q$ . ∎

RLC série: amplitude da corrente (à esquerda) e a sua fase em relação à fonte (à direita) contra / _0, para Q = 1, 3, 10. O pico se estreita à medida que Q cresce (= _0/Q); abaixo da ressonância o circuito é capacitivo (a corrente adianta) e, acima, indutivo (a corrente atrasa). — RLC série: amplitude da corrente (à esquerda) e a sua fase em relação à fonte (à direita) contra $\omega/\omega_0$ , para $Q = 1, 3, 10$ . O pico se estreita à medida que $Q$ cresce ( $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ); abaixo da ressonância o circuito é capacitivo (a corrente adianta) e, acima, indutivo (a corrente atrasa).

Diagrama de fasores do RLC série acima da ressonância: U_R ao longo de I, U_L um quarto de volta à frente, U_C um quarto de volta atrás; a sua soma E adianta a corrente de . Na ressonância U_L e U_C se cancelam e E = U_R. — Diagrama de fasores do RLC série acima da ressonância: $\underline U_R$ ao longo de $\underline I$ , $\underline U_L$ um quarto de volta à frente, $\underline U_C$ um quarto de volta atrás; a sua soma $\underline E$ adianta a corrente de $\varphi$ . Na ressonância $\underline U_L$ e $\underline U_C$ se cancelam e $\underline E = \underline U_R$ .

Proposição 8.10 (Sobretensão)

Na ressonância, as tensões na bobina e no capacitor têm a mesma amplitude $QE$ e fases opostas: para $Q \gg 1$ o capacitor suporta uma tensão $Q$ vezes maior que a da fonte. A própria amplitude $U_C(\omega)$ passa por um máximo, para $Q > 1/\sqrt2$ , em $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ , ligeiramente abaixo de $\omega_0$ , com $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ .

Demonstração. Em $\omega_0$ , $\underline U_C = \underline I/jC\omega_0 = -jQE$ e $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ , pois $I = E/R$ . Em geral $U_C = I/C\omega = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ (multiplique numerador e denominador por $1/C\omega_0$ ); o quadrado do denominador vale $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2$ , um trinômio em $x^2$ mínimo em $x^2 = 1 - 1/2Q^2$ quando este é positivo, com mínimo $1/Q^2 - 1/4Q^4$ . ∎

Exemplo 8.11 (Sintonizando um rádio)

Uma bobina $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ e um capacitor variável: $C = 127\,\mathrm{pF}$ sintoniza $f_0 = 1.00\,\mathrm{MHz}$ . Com a resistência do fio da bobina $R = 12.6\,\Omega$ , tem-se $L\omega_0 = 1257\,\Omega$ e $Q = 100$ : largura de banda $\Delta f = f_0/Q = 10\,\mathrm{kHz}$ — a largura de um canal AM — e os $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ induzidos por um transmissor distante viram $QE = 1\,\mathrm{mV}$ no capacitor, de graça. O problema de fim de semana constrói esse receptor.

Observação 8.12 (Por que $Q$ de novo)

O $Q$ deste capítulo é o $Q$ do Capítulo 7: o circuito que oscila por cerca de $Q$ períodos quando percutido é o que ressoa numa banda de largura $\omega_0/Q$ quando excitado. Ambos exprimem uma mesma razão: $2\pi$ vezes a energia armazenada dividida pela energia dissipada por período (Exercício 8.12). Uma ressonância aguda e uma oscilação longa são a mesma propriedade, e o mesmo vale para a resposta lenta: um filtro de largura de banda $\Delta\omega$ leva um tempo da ordem de $1/\Delta\omega$ para se estabelecer.

8.4 Potência em regime senoidal

Definição 8.13 (Valor eficaz)

O valor eficaz (ou valor RMS, da raiz da média quadrática) de um sinal periódico $x(t)$ é $X_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle x^2\rangle}$ , a raiz quadrada da média temporal de $x^2$ sobre um período. Para uma senoide de amplitude $X$ , $X_{\mathrm{rms}} = X/\sqrt2$ . Os $230\,\mathrm{V}$ da rede elétrica são um valor eficaz; a sua amplitude vale $325\,\mathrm{V}$ .

Teorema 8.14 (Potência média)

Um dipolo com $u = U\cos\omega t$ e $i = I\cos(\omega t - \varphi)$ (convenção receptor) recebe a potência instantânea $p = ui$ , de média

P = \tfrac12\,UI\cos\varphi = U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi = \tfrac12\Rea\!\big(\underline U\,\underline I^{\,*}\big) = \tfrac12\Rea(\underline Z)\,I^2,

em que $\cos\varphi$ é o fator de potência. Um resistor recebe $\tfrac12 RI^2 = RI_{\mathrm{rms}}^2$ ; uma bobina ou um capacitor ideais ( $\varphi = \pm\pi/2$ ) não recebem potência média — armazenam energia durante meio período e a devolvem durante a outra metade.

Demonstração. $p = UI\cos\omega t\cos(\omega t - \varphi) = \tfrac12 UI[\cos\varphi + \cos(2\omega t - \varphi)]$ ; o segundo termo tem média nula. Com $\underline U = U$ e $\underline I = I\eu^{-j\varphi}$ , $\underline U\,\underline I^* = UI\eu^{j\varphi}$ , cuja parte real vale $UI\cos\varphi$ ; e $\underline U = \underline Z\,\underline I$ dá $\underline U\,\underline I^* = \underline Z I^2$ . ∎

Potência instantânea recebida por um dipolo com 60 de atraso de fase entre corrente e tensão: ela pulsa em 2, mergulha abaixo de zero (energia devolvida à fonte) e tem média 1/2 UI — aqui, metade do que seria em fase. — Potência instantânea recebida por um dipolo com $60^\circ$ de atraso de fase entre corrente e tensão: ela pulsa em $2\omega$ , mergulha abaixo de zero (energia devolvida à fonte) e tem média $\tfrac12 UI\cos\varphi$ — aqui, metade do que seria em fase.

Exemplo 8.15 (Correção do fator de potência)

Um motor de oficina em $230\,\mathrm{V}$ eficazes consome $2.0\,\mathrm{kW}$ com $\cos\varphi = 0.70$ (indutivo): $I_{\mathrm{rms}} = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ , contra $8.7\,\mathrm{A}$ se o fator de potência fosse $1$ — a corrente excedente aquece os cabos da concessionária à toa, daí a multa. Um capacitor em paralelo fornece localmente as trocas de energia de um quarto de período da bobina: a potência reativa $P\tan\varphi = 2.0\,\mathrm{kvar}$ pede $C = P\tan\varphi/(\omega U_{\mathrm{rms}}^2) \approx 120\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ , e a corrente de linha cai para $8.7\,\mathrm{A}$ .

8.5 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Dê a amplitude complexa de $u = 5\cos(\omega t + \pi/3)$ (V), nas formas polar e cartesiana. Usando amplitudes complexas, escreva $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ como um único cosseno.

Solução

Solução de Exercício 8.1.

$\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (V). $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$ , módulo $5$ , argumento $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ .

Exercício 8.2 ★

Calcule a impedância de $R = 100\,\Omega$ , $L = 0.10\,\mathrm{H}$ e $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ e a $1.0\,\mathrm{kHz}$ . Dê o módulo e a fase da impedância de $R$ e $L$ em série a $50\,\mathrm{Hz}$ .

Solução

Solução de Exercício 8.2.

$R$ : $100\,\Omega$ nos dois casos. $L\omega$ : $31.4\,\Omega$ ( $50\,\mathrm{Hz}$ ), $628\,\Omega$ ( $1\,\mathrm{kHz}$ ). $1/C\omega$ : $318\,\Omega$ , $15.9\,\Omega$ . $RL$ em série a $50\,\mathrm{Hz}$ : $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} = 105\,\Omega$ , fase $\arctan(0.314) = 17^\circ$ .

Exercício 8.3 ★

A rede elétrica é de $230\,\mathrm{V}$ eficazes: qual é a sua amplitude? Um aquecedor de $2.0\,\mathrm{kW}$ : corrente eficaz e de pico. Mostre que a potência média num resistor vale $RI_{\mathrm{rms}}^2$ .

Solução

Solução de Exercício 8.3.

$U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$ . $I_{\mathrm{rms}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ , pico $12.3\,\mathrm{A}$ . $\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle = RI_{\mathrm{rms}}^2$ pela própria definição de valor eficaz.

Exercício 8.4 ★

RLC série: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ , $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Dê $f_0$ , $Q$ , a largura de banda em hertz e a amplitude da corrente na ressonância.

Solução

Solução de Exercício 8.4.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$ ; $\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$ ; $I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$ .

Exercício 8.5 ★★

Divisor RC, saída em $C$ : $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 159\,\mathrm{nF}$ . Em que frequência a saída vale $1/\sqrt2$ da entrada? Dê a razão de amplitudes e a fase da saída a $1.0\,\mathrm{kHz}$ e a $10\,\mathrm{kHz}$ .

Solução

Solução de Exercício 8.5.

$1/\sqrt2$ em $\omega = 1/RC$ : $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . A $1.0\,\mathrm{kHz}$ : razão $0.71$ , fase $-45^\circ$ . A $10\,\mathrm{kHz}$ : $RC\omega = 10$ , razão $1/\sqrt{101} = 0.10$ , fase $-84^\circ$ .

Exercício 8.6 ★★

Em certa frequência, um RLC série tem $R = 100\,\Omega$ , $L\omega = 250\,\Omega$ , $1/C\omega = 100\,\Omega$ e $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Calcule $\underline Z$ , a amplitude e a fase da corrente e as três amplitudes de tensão; desenhe o diagrama de fasores. O circuito está acima ou abaixo da ressonância?

Solução

Solução de Exercício 8.6.

$\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$ : $Z = 180\,\Omega$ , $\arg = 56^\circ$ . $I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$ , atrasada em relação à fonte de $56^\circ$ . $U_R = 0.56\,\mathrm{V}$ , $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$ , $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$ ; fasores: $U_R$ ao longo de $I$ , $U_L$ para cima, $U_C$ para baixo, resultante $1.0\,\mathrm{V}$ . $L\omega > 1/C\omega$ : acima da ressonância (indutivo).

Exercício 8.7 ★★

Rádio: $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , $C$ ajustável de $50\,$ a $500\,\mathrm{pF}$ . Encontre a faixa de frequências, a capacitância para $1.00\,\mathrm{MHz}$ e, com $Q = 100$ , a largura de banda e a atenuação (razão de amplitudes) de uma estação a $9\,\mathrm{kHz}$ de distância. Com uma fem de antena de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : qual a tensão em $C$ na ressonância?

Solução

Solução de Exercício 8.7.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ : $1.59\,\mathrm{MHz}$ ( $50\,\mathrm{pF}$ ) a $0.50\,\mathrm{MHz}$ ( $500\,\mathrm{pF}$ ). Em $1.00\,\mathrm{MHz}$ : $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ . $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ . Estação em $1.009\,\mathrm{MHz}$ : $x = 1.009$ , $Q(x - 1/x) = 1.8$ , razão $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$ . Tensão no capacitor $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ .

Exercício 8.8 ★★

Deduza as duas frequências de meia potência do RLC série e mostre que a sua diferença vale $\omega_0/Q$ e o seu produto $\omega_0^2$ .

Solução

Solução de Exercício 8.8.

$Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ ; raízes positivas $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ . Diferença $1/Q$ , logo $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ; produto $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$ , logo $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (a banda é simétrica em escala logarítmica).

Exercício 8.9 ★★

Um motor em $230\,\mathrm{V}$ eficazes, $50\,\mathrm{Hz}$ , absorve $2.0\,\mathrm{kW}$ com $\cos\varphi = 0.70$ . Calcule a corrente eficaz, a potência reativa, a capacitância em paralelo que leva o fator de potência a $1$ e a nova corrente. A linha de alimentação tem $0.50\,\Omega$ : perdas Joule antes e depois.

Solução

Solução de Exercício 8.9.

$I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ . Potência reativa $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$ . $C = 2040/(314 \times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Nova corrente $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ . Perdas $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$ antes e $0.50 \times 8.7^2 = 38\,\mathrm{W}$ depois.

Exercício 8.10 ★★★

RLC paralelo alimentado por uma fonte de corrente: escreva a admitância, mostre que a tensão é máxima em $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ e vale ali $RI$ , e que a largura de banda é $\Delta\omega = 1/RC$ , isto é, $Q = R\sqrt{C/L}$ . Números: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\mathrm{nF}$ .

Solução

Solução de Exercício 8.10.

$\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$ ; $\underline U = \underline I/ \underline Y$ é máxima quando a susceptância se anula, em $\omega_0$ , onde $U = RI$ . Meia potência: $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$ , isto é, $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$ : $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ e $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ . Números: $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$ , $\Delta f = 16\,\mathrm{kHz}$ .

Exercício 8.11 ★★★

Mostre que a tensão no capacitor de um RLC série vale $U_C = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ , que ela passa por um máximo em $x_r = \sqrt{1 - 1/2Q^2}$ se $Q > 1/\sqrt2$ , e calcule $x_r$ e $U_{C,\max}/E$ para $Q = 3.16$ . O que acontece para $Q < 1/\sqrt2$ ?

Solução

Solução de Exercício 8.11.

$U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$ . Multiplicando por $C\omega$ dentro da raiz, o denominador vira $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} = \sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$ . Com $s = x^2$ : $(1 - s)^2 + s/Q^2$ é mínimo em $s = 1 - 1/2Q^2$ (se positivo), com mínimo $1/Q^2 - 1/4Q^4$ : $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ . Para $Q = 3.16$ : $x_r = 0.975$ , $U_{C,\max} = 3.2E$ . Para $Q < 1/\sqrt2$ o mínimo fica em $s = 0$ : $U_C$ decresce monotonicamente a partir de $E$ , sem pico.

Exercício 8.12 ★★★

Na ressonância de um RLC série, mostre que a energia total armazenada $\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2$ é constante e igual a $\tfrac12 LI^2$ , calcule a energia dissipada em $R$ por período e demonstre que $2\pi\,(\text{armazenada})/(\text{dissipada por período}) = Q$ .

Solução

Solução de Exercício 8.12.

Na ressonância $i = I\cos\omega_0 t$ e $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$ , de modo que, usando $1/C\omega_0^2 = L$ ,

\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2 = \tfrac12 LI^2\cos^2\omega_0 t + \tfrac12 LI^2\sin^2\omega_0 t = \tfrac12 LI^2 .

Dissipada por período: $\tfrac12 RI^2T$ . Razão $\times 2\pi$ : $2\pi L/(RT) = L\omega_0/R = Q$ .

Sintonizando um rádio valvulado: girar o botão muda um capacitor, o capacitor fixa a frequência de ressonância de um circuito LC, e a estação cuja frequência coincide é a que se ouve — o problema de fim de semana. — Sintonizando um rádio valvulado: girar o botão muda um capacitor, o capacitor fixa a frequência de ressonância de um circuito $LC$ , e a estação cuja frequência coincide é a que se ouve — o problema de fim de semana.

8.6 Problema: o receptor de rádio ressonante

Problema 8.1

Problema de fim de semana — uma bobina, um capacitor variável e uma antena: como uma ressonância série escolhe uma estação entre cem, multiplica o seu sinal fraco por cem e por que ela não pode ser feita arbitrariamente seletiva

A antena é modelada por uma fem senoidal ideal $e(t) = E\cos\omega t$ em série com uma bobina $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , cujo fio tem resistência $R = 12.6\,\Omega$ , e um capacitor variável $C$ . O receptor lê a tensão em $C$ . Mais adiante (Parte IV), leva-se em conta a resistência própria da antena, $R_a = 50\,\Omega$ .

Parte I — A corrente na ressonância.

Escreva a impedância complexa do circuito série.
Dê a amplitude complexa da corrente, depois a sua amplitude $I(\omega)$ e a sua fase $\varphi_i(\omega)$ em relação a $e$ .
Mostre que $I$ é máxima em $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; dê $I_{\max}$ e a fase nesse caso.
Que capacitância sintoniza $f_0 = 1.000\,\mathrm{MHz}$ ? Calcule $L\omega_0$ .
Defina $Q = L\omega_0/R$ e calcule-o.
Mostre que $I/I_{\max} = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ com $x = \omega/\omega_0$ .
Enuncie o sinal de $\varphi_i$ abaixo e acima da ressonância e interprete (comportamento capacitivo ou indutivo).

Parte II — A seletividade.

Escreva a condição que define as duas frequências em que $I = I_{\max}/\sqrt2$ .
Resolva-a e mostre que $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \omega_0/Q$ .
Calcule a largura de banda $\Delta f$ deste receptor.
Uma segunda estação transmite em $1.010\,\mathrm{MHz}$ e uma terceira em $1.020\,\mathrm{MHz}$ : calcule a razão de amplitudes $I/I_{\max}$ para cada uma e a razão de potências correspondente em decibéis.
As estações AM ficam a $9\,$ ou $10\,\mathrm{kHz}$ umas das outras. O receptor é suficientemente seletivo? O que o melhoraria?
O capacitor pode ser ajustado entre $50\,$ e $500\,\mathrm{pF}$ : que faixa de frequências o receptor cobre?

Parte III — A sobretensão.

Exprima a amplitude complexa da tensão no capacitor e mostre que na ressonância a sua amplitude vale $QE$ .
A fem da antena vale $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : calcule $I_{\max}$ e a tensão no capacitor na ressonância. Comente.
Mostre que a tensão na bobina tem a mesma amplitude e está em oposição de fase com a tensão no capacitor na ressonância: o que a fonte “enxerga”?
Calcule a energia armazenada no circuito na ressonância e a energia dissipada por período; verifique que a razão entre elas, vezes $2\pi$ , vale $Q$ .
A partir do Capítulo 7, qual é a constante de tempo $\tau = 2Q/\omega_0$ deste circuito? Por que um $Q$ muito alto acaba distorcendo a fala e a música (largura de banda do áudio: cerca de $5\,\mathrm{kHz}$ em AM)?
Se a resistência do fio da bobina dobrasse (fio mais fino), como mudariam $Q$ , a largura de banda e a tensão no capacitor?

Parte IV — A resistência da antena e a potência.

Com $R_a = 50\,\Omega$ em série, recalcule $Q$ , a largura de banda e a tensão no capacitor para $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ . Conclua.
Calcule a potência média entregue pela fem da antena na ressonância e a fração dissipada em $R_a$ .
O teorema da máxima potência pediria uma resistência de carga igual a $R_a$ : por que esse objetivo entra em conflito com a seletividade?
Os receptores reais ligam a antena a uma derivação da bobina, ou através de um pequeno capacitor de acoplamento. Explique qualitativamente o que isso consegue.
Usando $P = \tfrac12 UI\cos\varphi$ , calcule o fator de potência nas duas frequências de meia potência e explique o nome “meia potência”.
Resuma o projeto: o que $Q$ traz, o que ele custa e o valor escolhido para um receptor de $1\,\mathrm{MHz}$ com canais de $10\,\mathrm{kHz}$ .

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. $\underline Z = R + j(L\omega - 1/C\omega)$ .

2. $\underline I = E/\underline Z$ ; $I = E/\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}$ ; $\varphi_i = -\arctan[(L\omega - 1/C\omega)/R]$ .

3. A reatância se anula em $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ : $I_{\max} = E/R$ , $\varphi_i = 0$ .

4. $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ ; $L\omega_0 = 2\times10^{-4} \times 6.28\times10^6 = 1257\,\Omega$ .

5. $Q = 1257/12.6 = 100$ .

6. $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ ; divida por $R$ .

7. $x < 1$ : reatância negativa, $\varphi_i > 0$ , a corrente adianta (capacitivo); $x > 1$ : atrasa (indutivo).

8. $Q(x - 1/x) = \pm1$ .

9. $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , $x_{1,2} = \mp1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ , $x_2 - x_1 = 1/Q$ : $\Delta\omega = \omega_0/Q$ .

10. $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ .

11. $1.010\,\mathrm{MHz}$ : $Q(x - 1/x) = 100 \times 0.0199 = 2.0$ , razão $1/\sqrt{5.0} = 0.45$ , potência $0.20$ : $-7\,\mathrm{dB}$ . $1.020\,\mathrm{MHz}$ : $3.96$ , razão $0.25$ , potência $0.06$ : $-12\,\mathrm{dB}$ .

12. No limite: a vizinha está apenas $7\,\mathrm{dB}$ abaixo. Um $Q$ maior (um $R$ menor), ou vários estágios sintonizados em cascata, aguça a seleção.

13. De $0.50\,\mathrm{MHz}$ a $1.59\,\mathrm{MHz}$ : a faixa AM.

14. $\underline U_C = \underline I/jC\omega$ ; em $\omega_0$ , $U_C = I_{\max}/C\omega_0 = E/(RC\omega_0) = QE$ .

15. $I_{\max} = 10^{-5}/12.6 = 0.79\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $U_C = QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ : um ganho de tensão de cem vezes, sem amplificador.

16. $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ , $\underline U_C = -jQE$ : iguais e opostas, elas se cancelam; a fonte enxerga apenas $R$ .

17. Armazenada $\tfrac12 LI_{\max}^2 = 6.2 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ ; dissipada por período $\tfrac12 RI_{\max}^2T = 3.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ ; $2\pi \times 6.2/0.39 \approx 100 = Q$ .

18. $\tau = 2Q/\omega_0 = 32\,\text{µ}\mathrm{s}$ . O circuito não consegue acompanhar variações mais rápidas que $\sim\tau$ : uma largura de banda $\Delta f$ deixa passar apenas modulações mais lentas que $\Delta f$ ; com $Q = 1000$ , $\Delta f = 1\,\mathrm{kHz}$ e os agudos do programa se perderiam.

19. $Q$ cai à metade, $50$ , $\Delta f$ dobra para $20\,\mathrm{kHz}$ e $U_C$ cai à metade, $0.5\,\mathrm{mV}$ .

20. $R_{\text{tot}} = 62.6\,\Omega$ : $Q = 1257/62.6 = 20$ , $\Delta f = 50\,\mathrm{kHz}$ , $U_C = 20 \times 10\,\text{µ}\mathrm{V} = 0.2\,\mathrm{mV}$ : sensibilidade e seletividade desabam juntas.

21. $P = E^2/(2R_{\text{tot}}) = 10^{-10}/125 = 8 \times 10^{-13}\,\mathrm{W}$ ; fração em $R_a$ : $50/62.6 = 80\%$ .

22. O casamento pede uma resistência de carga igual a $R_a$ , isto é, uma resistência total grande; a seletividade pede a menor resistência total possível ( $Q = L\omega_0/R_{\text{tot}}$ ). Não se pode ter as duas com uma ligação direta.

23. Uma derivação da bobina ou um pequeno capacitor de acoplamento apresentam à antena apenas uma fração do circuito ressonante: a resistência da antena é “vista” pelo circuito muito reduzida, o que mantém $Q$ alto, enquanto a antena continua entregando potência perto do seu ótimo.

24. Nas frequências de meia potência a reatância vale $\pm R$ , de modo que $\varphi = \pm45^\circ$ e $\cos\varphi = 1/\sqrt2$ ; como também $I = I_{\max}/\sqrt2$ , a potência $P = \tfrac12 EI\cos\varphi$ vale metade do seu valor na ressonância.

25. $Q$ multiplica o sinal por $Q$ e estreita a banda para $f_0/Q$ , ao custo de uma resposta mais lenta ( $\tau = 2Q/\omega_0$ ) e de um acoplamento frágil com a antena; para canais de $10\,\mathrm{kHz}$ em $1\,\mathrm{MHz}$ , $Q \approx 100$ é o número — e a antena precisa ser acoplada de leve para preservá-lo.

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