Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

2Óptica geométrica: raios, reflexão, refração

Um canudo dentro de um copo d’água parece quebrado na superfície; quem nada e olha para cima do fundo de uma piscina vê o céu inteiro comprimido num disco luminoso, cercado por um espelho do fundo; uma fibra de vidro fina como um fio de cabelo leva uma ligação telefônica através de um oceano com menos perda do que um fio de cobre sofre ao atravessar uma rua. Três leis — a luz caminha em linha reta, reflete-se com ângulos iguais, desvia-se segundo a regra de Snell — explicam tudo isso; este capítulo as enuncia com precisão, marca onde deixam de valer e as põe para trabalhar.

Um prisma desvia um feixe branco em direção à sua base e o espalha: o índice do vidro depende do comprimento de onda, e o violeta é o mais desviado.

2.1 O modelo da óptica geométrica

Definição 2.1 (Raio de luz; meio homogêneo)

No modelo da óptica geométrica, a luz se propaga ao longo de raios de luz: curvas orientadas que são retas num meio homogêneo (mesmas propriedades em todos os pontos) e que transportam energia independentemente umas das outras. Um feixe é um conjunto de raios; uma fonte pontual emite raios em todas as direções.

Definição 2.2 (Índice de refração)

Um meio transparente deixa a luz passar; nele a luz se propaga com velocidade $v < c$ . Seu índice de refração é

n = \frac{c}{v} \geq 1 .

Vácuo: $n = 1$ ; ar: $1.0003$ ; água: $1.33$ ; vidro comum: $1.5$ a $1.6$ ; diamante: $2.42$ . Uma onda de frequência $\nu$ conserva a sua frequência ao entrar num meio, de modo que o seu comprimento de onda encolhe de $\lambda_0 = c/\nu$ no vácuo para $\lambda = \lambda_0/n$ .

Observação 2.3 (Dispersão)

Na matéria o índice depende ligeiramente do comprimento de onda — o meio é dispersivo. Para o vidro no visível, a lei empírica de Cauchy $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ ajusta bem: $n$ é maior para o azul do que para o vermelho, por cerca de $0.01$ a $0.02$ . O prisma e o arco-íris, no fim deste capítulo, vivem dessa diferença.

Observação 2.4 (Limites do modelo)

A luz é uma onda, e uma onda que atravessa uma abertura de largura $a$ se espalha por um ângulo da ordem de $\lambda/a$ (difração, Capítulo 5). Os raios são uma boa descrição enquanto toda abertura, lente e obstáculo for muito maior que o comprimento de onda ( $0.4\,$ a $0.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ para a luz visível): um furo de $1\,\mathrm{mm}$ espalha um feixe por $10^{-3}$ radianos, desprezível numa bancada; um furo de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ o espalha por todo o semiespaço, e nenhuma imagem de raios sobrevive. O núcleo de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ de uma fibra monomodo de telecomunicações já está fora do modelo.

Proposição 2.5 (Retorno inverso da luz)

O trajeto de um raio não depende do sentido em que a luz o percorre: se a luz vai de $A$ até $B$ por um caminho, a luz vinda de $B$ segue o mesmo caminho até $A$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

2.2 Reflexão e refração

Definição 2.6 (Incidência)

Um raio que encontra a superfície que separa dois meios (um dioptro) num ponto $I$ faz com a normal à superfície em $I$ o ângulo de incidência $i_1$ . O plano de incidência contém o raio incidente e a normal.

Teorema 2.7 (Leis da reflexão e da refração (Snell–Descartes))

Na superfície entre meios de índices $n_1$ (lado da incidência) e $n_2$ :

os raios refletido e refratado pertencem ao plano de incidência;
o raio refletido faz com a normal o ângulo $i_1' = i_1$ , do outro lado da normal;
o raio refratado faz com a normal um ângulo $i_2$ tal que

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 .$

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 2.8 (De onde vêm as leis)

As duas leis decorrem do princípio de Fermat: entre dois pontos, a luz segue o caminho de menor tempo de percurso. A reflexão com ângulos iguais é o menor caminho quebrado que toca o espelho; a lei de Snell é o caminho que troca um trajeto mais longo no meio rápido por um mais curto no meio lento (Exercício 2.12). No volume do segundo ano as duas leis são deduzidas da natureza ondulatória da luz numa interface.

Reflexão e refração na superfície entre dois meios. O raio refratado se aproxima da normal quando n_2 > n_1; os três raios e a normal pertencem a um só plano, o plano da figura. — Reflexão e refração na superfície entre dois meios. O raio refratado se aproxima da normal quando $n_2 > n_1$ ; os três raios e a normal pertencem a um só plano, o plano da figura.

Proposição 2.9 (Para que lado o raio se desvia)

Ao entrar num meio mais refringente ( $n_2 > n_1$ ), um raio se aproxima da normal ( $i_2 < i_1$ ); ao entrar num menos refringente, afasta-se dela ( $i_2 > i_1$ ). Um raio ao longo da normal atravessa sem desvio.

Demonstração. $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1$ , com $\sin$ crescente em $[0, \pi/2]$ . ∎

Exemplo 2.10 (Profundidade aparente)

Uma moeda está à profundidade $h$ sob a água ( $n = 1.33$ ), vista quase na vertical. Um raio que parte da moeda e atinge a superfície com ângulo pequeno $i_2$ (na água) sai com $i_1$ tal que $\sin i_1 = n\sin i_2$ ; para ângulos pequenos, $i_1 \approx n\,i_2$ . O olho prolonga o raio emergente para trás: ele parece vir de uma profundidade $h'$ com $\tan i_1 \approx x/h'$ e $\tan i_2 \approx x/h$ para o mesmo ponto da superfície, à distância $x$ da vertical, de modo que $h' = h\,i_2/i_1 = h/n$ . Uma piscina de $2.0\,\mathrm{m}$ parece ter $1.5\,\mathrm{m}$ ; um peixe vê o pescador $1.33$ vezes mais alto do que ele está.

Teorema 2.11 (Reflexão total)

A luz que vai de um meio de índice $n_1$ para um menos refringente ( $n_2 < n_1$ ) só é refratada se $i_1 \leq i_c$ , onde o ângulo limite satisfaz

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

Para $i_1 > i_c$ não há raio refratado: a superfície reflete toda a luz — é a reflexão total.

Demonstração. A lei de Snell exige $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1 > \sin i_1$ ; isso ultrapassa $1$ assim que $\sin i_1 > n_2/n_1$ , e então nenhum ângulo $i_2$ existe. Em $i_1 = i_c$ o raio refratado tangencia a superfície ( $i_2 = 90^\circ$ ). Que toda a energia seja então refletida é uma afirmação sobre intensidades, que a óptica geométrica não trata; o tratamento ondulatório do volume do segundo ano a confirma. ∎

Raios de uma fonte S sob a água. Abaixo do ângulo limite (i_c = 48.8 para água–ar) parte da luz sai; em i_c o raio refratado tangencia a superfície; além dele, a superfície é um espelho perfeito — o disco luminoso de céu que o nadador vê é limitado por esse ângulo. — Raios de uma fonte $S$ sob a água. Abaixo do ângulo limite ( $i_c = 48.8^\circ$ para água–ar) parte da luz sai; em $i_c$ o raio refratado tangencia a superfície; além dele, a superfície é um espelho perfeito — o disco luminoso de céu que o nadador vê é limitado por esse ângulo.

Exemplo 2.12 (Diamantes e nadadores)

Vidro–ar: $\sin i_c = 1/1.5$ , $i_c = 41.8^\circ$ , e é por isso que um prisma de $45^\circ$ reflete totalmente e substitui um espelho nos binóculos. Diamante–ar: $i_c = 24.4^\circ$ ; um diamante lapidado aprisiona a luz que entra pelo topo e devolve quase toda ela pelo topo — o brilho é reflexão total, o fogo é dispersão. Água–ar: $i_c = 48.8^\circ$ ; olhando para cima, um mergulhador vê o céu inteiro dentro de um cone de semiângulo $48.8^\circ$ (a “janela de Snell”) e o fundo da piscina refletido fora dele.

2.3 A fibra óptica

Definição 2.13 (Fibra de índice degrau)

Uma fibra óptica de índice degrau é um núcleo cilíndrico de vidro de índice $n_1$ revestido por uma casca de índice ligeiramente menor $n_2$ . A luz que entra no núcleo dentro de um cone de semiângulo $\theta_a$ em torno do eixo é guiada por reflexões totais sucessivas na superfície núcleo–casca. A abertura numérica é $\mathrm{NA} = \sin\theta_a$ .

Proposição 2.14 (Cone de aceitação e alargamento intermodal)

Para uma fibra cuja face de entrada está no ar,

\sin\theta_a = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} .

Ao longo de um comprimento $L$ , o raio guiado ao longo do eixo e o raio guiado mais inclinado chegam com um atraso

\Delta t = \frac{L\,n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right)

entre eles (dispersão intermodal).

Demonstração. Um raio que entra com ângulo $\theta$ em relação ao eixo é refratado para $\theta'$ com $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ e encontra a casca com incidência $i = 90^\circ - \theta'$ . Guiar exige $\sin i \geq n_2/n_1$ , isto é, $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , isto é, $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ ; basta multiplicar por $n_1$ . O raio axial percorre $L$ com velocidade $c/n_1$ : $t_0 = Ln_1/c$ . O raio mais inclinado ziguezagueia com ângulo $\theta'_{\max}$ tal que $\cos\theta'_{\max} = n_2/n_1$ ; o seu percurso vale $L/\cos\theta'_{\max} = L n_1/n_2$ , de modo que $t_1 = L n_1^2/(n_2 c)$ , e $\Delta t = t_1 - t_0$ . ∎

Uma fibra de índice degrau. Um raio que entra dentro do cone de aceitação de semiângulo _a encontra a casca com incidência i ≥ i_c e é guiado por reflexões totais; o raio axial faz o percurso mais curto, o raio guiado mais inclinado o mais longo — um pulso se alarga no tempo. — Uma fibra de índice degrau. Um raio que entra dentro do cone de aceitação de semiângulo $\theta_a$ encontra a casca com incidência $i \geq i_c$ e é guiado por reflexões totais; o raio axial faz o percurso mais curto, o raio guiado mais inclinado o mais longo — um pulso se alarga no tempo.

Exemplo 2.15 (Os números de uma fibra de telecomunicações)

$n_1 = 1.480$ , $n_2 = 1.465$ : $\mathrm{NA} = \sqrt{2.190 - 2.146} = 0.21$ , $\theta_a = 12^\circ$ ; $i_c = 81.8^\circ$ , de modo que os raios guiados ficam a menos de $8.2^\circ$ do eixo. Alargamento intermodal: $\Delta t/L = (1.48/c)(1.48/1.465 - 1) = 51\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . Ao longo de $2\,\mathrm{km}$ um pulso se alarga $0.1\,\text{µ}\mathrm{s}$ , o que limita a taxa de bits perto de $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ : o problema de fim de semana segue essa limitação até o seu remédio, a fibra monomodo.

2.4 O espelho plano

Proposição 2.16 (Imagem num espelho plano)

Todos os raios que partem de um ponto $A$ e são refletidos por um espelho plano parecem vir do ponto $A'$ simétrico de $A$ em relação ao plano do espelho: $A'$ é a imagem de $A$ . Ela é virtual (nenhuma luz passa por ela) e o espelho é rigorosamente estigmático: todo ponto tem uma imagem pontual exata.

Demonstração. Um raio que parte de $A$ e atinge o espelho em $I$ com incidência $i$ sai com $i$ do outro lado da normal. A reta refletida e a normal em $I$ formam o ângulo $i$ , tal como a reta $IA$ ; por simetria em relação ao plano do espelho, a reta refletida é a simétrica da reta $IA$ e passa, portanto, pelo ponto simétrico $A'$ — para todo $I$ . ∎

Proposição 2.17 (Girando um espelho)

Girar um espelho plano de um ângulo $\alpha$ em torno de um eixo do seu plano, perpendicular ao plano de incidência, gira o raio refletido de $2\alpha$ .

Demonstração. A normal gira de $\alpha$ , de modo que a incidência passa de $i$ a $i + \alpha$ ; o raio refletido, a $i + \alpha$ do outro lado da nova normal, deslocou-se de $\alpha$ (normal) $+ \alpha$ (ângulo) $= 2\alpha$ em relação à sua direção anterior. ∎

Exemplo 2.18 (A alavanca do galvanômetro)

Um espelhinho colado à bobina de um galvanômetro, iluminado por uma lâmpada e projetando uma mancha luminosa numa escala a $2\,\mathrm{m}$ de distância: uma rotação de $1\,\mathrm{mrad}$ da bobina desloca a mancha de $2 \times 10^{-3} \times 2\,\mathrm{m} = 4\,\mathrm{mm}$ — uma alavanca óptica que amplifica sem atrito, princípio do galvanômetro de espelho e do varredor a laser.

2.5 O prisma

Proposição 2.19 (Fórmulas do prisma)

Um raio que atravessa um prisma de ângulo de refringência $A$ e índice $n$ no ar, no plano perpendicular à aresta, com ângulos $i$ (entrada), $r$ , $r'$ (no interior) e $i'$ (saída) medidos a partir das normais, obedece a

\sin i = n \sin r, \qquad r + r' = A, \qquad \sin i' = n \sin r',

e é desviado de $D = i + i' - A$ . O desvio é mínimo quando o trajeto é simétrico, $i = i'$ , $r = r' = A/2$ ; então

n = \frac{\sin\frac{A + D_{\min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}} .

Demonstração. A lei de Snell em cada face; $r + r' = A$ porque as duas normais formam o ângulo $A$ (no quadrilátero formado pelo vértice, pelos dois pontos de incidência e pela interseção das normais). O desvio total vale $(i - r) + (i' - r') = i + i' - A$ . Pelo retorno inverso da luz, o desvio é a mesma função de $i$ e de $i'$ ; se o mínimo ocorresse em $i_0 \neq i_0'$ , ocorreria também na incidência invertida $i_0'$ , dando dois mínimos, o que o comportamento monótono de $D(i)$ de cada lado do seu mínimo proíbe: o mínimo está em $i = i'$ . Então $r = r' = A/2$ e $D_{\min} = 2i - A$ ; substituir $i = (A + D_{\min})/2$ em $\sin i = n\sin(A/2)$ dá a fórmula. ∎

Um raio através de um prisma de ângulo de refringência A: refratado em direção à base na entrada e de novo na saída, ele é desviado de D = i + i' - A em relação à sua direção inicial (tracejada). Desenhado no desvio mínimo, o trajeto é simétrico. — Um raio através de um prisma de ângulo de refringência $A$ : refratado em direção à base na entrada e de novo na saída, ele é desviado de $D = i + i' - A$ em relação à sua direção inicial (tracejada). Desenhado no desvio mínimo, o trajeto é simétrico.

Exemplo 2.20 (Medindo um índice)

Um prisma de $60^\circ$ girado até que o desvio de um feixe amarelo seja o menor possível: $D_{\min} = 38.9^\circ$ . Então $n = \sin 49.45^\circ/\sin 30^\circ = 0.760/0.500 = 1.52$ . O desvio mínimo é a maneira usual de medir o índice de um vidro — o mínimo, agudo, encontrado girando o prisma para um lado e para o outro, é insensível a pequenos desajustes.

Observação 2.21 (Prismas delgados e espectroscópios)

Para $A$ pequeno e incidência pequena, os senos valem os ângulos e $D \approx (n - 1)A$ , independentemente de $i$ : um prisma delgado desvia todo raio do mesmo ângulo — uma cunha de vidro é um “prisma” que desvia a luz, e uma lente vai se revelar uma pilha dessas cunhas. Como $n$ depende de $\lambda$ , o desvio também depende: um prisma espalha a luz branca num espectro (o azul é o mais desviado), coração do espectroscópio de prisma.

2.6 O arco-íris

Exemplo 2.22 (O arco-íris de Descartes)

Um raio de luz solar entra numa gota de chuva esférica com incidência $i$ , é refratado ( $\sin i = n\sin r$ ), reflete-se uma vez na face posterior e sai após uma segunda refração. Cada refração o desvia de $i - r$ , a reflexão interna de $\pi - 2r$ : desvio total $D(i) = \pi + 2i - 4r$ . Os raios enchem a gota com todos os $i$ ; o observador vê a luz mais intensa onde muitos raios saem quase na mesma direção, isto é, onde $D$ é estacionário: $\dd D/\dd i = 2 - 4\,\dd r/\dd i = 0$ . Derivando a lei de Snell, $\cos i = n\cos r\,\dd r/\dd i$ , de modo que a condição se escreve $2\cos i = n\cos r$ ; elevando ao quadrado e usando $n^2\cos^2 r = n^2 - \sin^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ vem

\cos^2 i = \frac{n^2 - 1}{3} .

Para a água, $n = 1.333$ : $i = 59.4^\circ$ , $r = 40.2^\circ$ , $D_{\min} = 137.9^\circ$ . A luz volta para o lado do Sol a $180^\circ - 137.9^\circ = 42^\circ$ da direção anti-solar: o arco-íris é um cone de semiângulo $42^\circ$ em torno da sombra da cabeça do observador. O vermelho ( $n = 1.331$ ) fica a $42.4^\circ$ , o violeta ( $n = 1.343$ ) a $40.6^\circ$ — vermelho por fora, violeta por dentro.

O raio de Descartes numa gota de chuva: duas refrações e uma reflexão interna. Perto de i = 59 o desvio D é estacionário em 138, e os raios se acumulam ali: o arco-íris primário, a 42 do ponto oposto ao Sol. — O raio de Descartes numa gota de chuva: duas refrações e uma reflexão interna. Perto de $i = 59^\circ$ o desvio $D$ é estacionário em $138^\circ$ , e os raios se acumulam ali: o arco-íris primário, a $42^\circ$ do ponto oposto ao Sol.

2.7 Exercícios

Exercício 2.1 ★

Calcule a velocidade da luz na água ( $n = 1.33$ ), no vidro ( $1.50$ ) e no diamante ( $2.42$ ). Quanto tempo a luz leva para atravessar $1.0\,\mathrm{km}$ de uma fibra de índice $1.48$ ?

Solução

Solução de Exercício 2.1.

$v = c/n$ : água $2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , vidro $2.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , diamante $1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Fibra: $t = nL/c = 1.48 \times 10^3/3.00\times10^8 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Exercício 2.2 ★

Um raio no ar encontra a água ( $n = 1.33$ ) a $30^\circ$ e depois a $60^\circ$ da normal: encontre os ângulos refratados. Um raio na água encontra a superfície a $50^\circ$ : o que acontece?

Solução

Solução de Exercício 2.2.

$\sin i_2 = \sin i_1/1.33$ : $30^\circ \to 22.1^\circ$ ; $60^\circ \to 40.6^\circ$ . Da água a $50^\circ$ : $1.33\sin 50^\circ = 1.02 > 1$ , nenhum raio refratado — reflexão total ( $i_c = 48.8^\circ$ ).

Exercício 2.3 ★

Calcule o ângulo limite para vidro–ar ( $n = 1.50$ ), diamante–ar ( $2.42$ ) e água–ar ( $1.33$ ). Qual é o diâmetro angular do disco de céu que um mergulhador vê?

Solução

Solução de Exercício 2.3.

$i_c = \arcsin(1/n)$ : vidro $41.8^\circ$ , diamante $24.4^\circ$ , água $48.8^\circ$ . O disco de céu abrange $2 \times 48.8^\circ = 97.5^\circ$ .

Exercício 2.4 ★

Uma pessoa de $1.70\,\mathrm{m}$ , com os olhos $10\,\mathrm{cm}$ abaixo do alto da cabeça, está diante de um espelho vertical de parede. Encontre o menor espelho (altura e posição das suas bordas acima do chão) no qual todo o corpo é visível. A resposta depende da distância ao espelho?

Solução

Solução de Exercício 2.4.

Olhos a $1.60\,\mathrm{m}$ . O raio que vem dos pés chega ao olho após refletir-se à metade da altura dos olhos, $0.80\,\mathrm{m}$ ; o raio que vem do alto da cabeça reflete-se a meio caminho entre o topo e os olhos, a $1.65\,\mathrm{m}$ . Espelho de $0.80\,\mathrm{m}$ a $1.65\,\mathrm{m}$ : altura $0.85\,\mathrm{m}$ , metade da altura do corpo — independente da distância (a regra do ponto médio vale a qualquer distância).

Exercício 2.5 ★★

Uma moeda está a $1.2\,\mathrm{m}$ de profundidade numa piscina; a que profundidade ela parece estar para quem olha de cima? Os olhos de um pescador estão a $1.8\,\mathrm{m}$ acima da água: a que altura eles parecem estar para um peixe que olha para cima? Justifique ambos com raios de pequeno ângulo.

Solução

Solução de Exercício 2.5.

Para ângulos pequenos, a posição aparente é $h' = h/n$ quando se olha do meio menos refringente, e $h' = nh$ do mais refringente. Moeda: $1.2/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ . Pescador: $1.33 \times 1.8 = 2.4\,\mathrm{m}$ . Justificativa: para um ponto da superfície à distância horizontal $x$ , $\tan i_2 \approx i_2 = x/h$ e $\tan i_1 \approx i_1 = x/h'$ com $i_1 = n i_2$ .

Exercício 2.6 ★★

Um prisma tem $A = 60^\circ$ e $n = 1.52$ . Calcule o desvio mínimo. Mostre que um raio só pode emergir da segunda face se $A \leq 2 i_c$ , e verifique que este prisma satisfaz a condição.

Solução

Solução de Exercício 2.6.

$\sin\frac{A + D_{\min}}{2} = 1.52\sin 30^\circ = 0.760$ , logo $\frac{A + D_{\min}}{2} = 49.5^\circ$ , $D_{\min} = 38.9^\circ$ . A emergência exige $r' \leq i_c$ ; além disso $\sin r = \sin i/n \leq 1/n$ dá $r \leq i_c$ ; logo $A = r + r' \leq 2i_c$ . Aqui $i_c = \arcsin(1/1.52) = 41.1^\circ$ , $2i_c = 82.3^\circ > 60^\circ$ : tudo bem.

Exercício 2.7 ★★

Uma fibra de índice degrau tem $n_1 = 1.50$ , $n_2 = 1.48$ . Calcule a sua abertura numérica, o seu ângulo de aceitação, o atraso intermodal por quilômetro e a taxa máxima de bits resultante ao longo de $1\,\mathrm{km}$ (tome $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t)$ ).

Solução

Solução de Exercício 2.7.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.50^2 - 1.48^2} = \sqrt{0.0596} = 0.244$ , $\theta_a = 14.1^\circ$ . $\Delta t/L = (1.50/c)(1.50/1.48 - 1) = 5.0\times10^{-9} \times 0.0135 = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . Ao longo de $1\,\mathrm{km}$ : $B_{\max} \approx 1/(2 \times 68\,\mathrm{ns}) = 7.4\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Exercício 2.8 ★★

Um prisma delgado de ângulo $10^\circ$ tem $n = 1.510$ para o vermelho e $1.530$ para o azul. Calcule o desvio de cada cor e a largura angular do espectro que ele produz.

Solução

Solução de Exercício 2.8.

$D \approx (n - 1)A$ : vermelho $0.510 \times 10^\circ = 5.10^\circ$ , azul $5.30^\circ$ ; largura do espectro $0.20^\circ$ .

Exercício 2.9 ★★

Um raio encontra uma lâmina de vidro de faces paralelas ( $n = 1.50$ , espessura $e = 2.0\,\mathrm{cm}$ ) a $45^\circ$ . Mostre que ele emerge paralelo à sua direção incidente, deslocado lateralmente de $d = e\,\sin(i - r)/\cos r$ , e calcule $d$ .

Solução

Solução de Exercício 2.9.

Entrada: $\sin r = \sin 45^\circ/1.5 = 0.471$ , $r = 28.1^\circ$ . As duas faces são paralelas, de modo que a incidência na segunda face vale $r$ e $\sin i' = n\sin r = \sin i$ : $i' = i$ , o raio emergente é paralelo ao incidente. Ao longo do percurso interno de comprimento $e/\cos r$ , o deslocamento perpendicular vale $(e/\cos r)\sin(i - r)$ : $d = 2.0 \times \sin 16.9^\circ/\cos 28.1^\circ = 0.66\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 2.10 ★★★

O arco-íris secundário vem de raios refletidos duas vezes dentro da gota. Mostre que $D = 2\pi + 2i - 6r$ , que o desvio estacionário satisfaz $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ , e calcule o ângulo do arco secundário a partir da direção anti-solar para $n = 1.333$ . Onde ele fica em relação ao primário, e em que ordem estão as suas cores?

Solução

Solução de Exercício 2.10.

Duas refrações ( $2(i - r)$ ) e duas reflexões ( $2(\pi - 2r)$ ): $D = 2\pi + 2i - 6r$ . $\dd D/\dd i = 2 - 6\cos i/(n\cos r) = 0$ dá $3\cos i = n\cos r$ , $9\cos^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ , $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ . Com $n = 1.333$ : $\cos^2 i = 0.0971$ , $i = 71.8^\circ$ , $\sin r = 0.950/1.333$ , $r = 45.5^\circ$ , $D = 360^\circ + 143.7^\circ - 272.8^\circ = 230.9^\circ$ : o arco fica a $230.9^\circ - 180^\circ = 51^\circ$ do ponto anti-solar, fora do primário ( $42^\circ$ ). Vermelho ( $n = 1.331$ ) a $50.4^\circ$ , violeta ( $1.343$ ) a $53.6^\circ$ : as cores estão invertidas, o violeta por fora.

Exercício 2.11 ★★★

Numa estrada quente o ar logo acima do asfalto tem índice $n_{\text{quente}} = 1.00026$ , e o ar mais frio acima dele $n_{\text{frio}} = 1.00029$ . Modele as camadas como uma interface abrupta: encontre o ângulo rasante crítico (medido a partir da estrada) abaixo do qual um raio vindo do céu sofre reflexão total para cima. O olho de um motorista está a $1.2\,\mathrm{m}$ acima da estrada: a partir de que distância a estrada parece água?

Solução

Solução de Exercício 2.11.

$\sin i_c = 1.00026/1.00029 = 0.99997$ , $i_c = 89.56^\circ$ : os raios a menos de $0.44^\circ = 7.7\,\mathrm{mrad}$ da superfície da estrada sofrem reflexão total (em geral, ângulo rasante $\approx \sqrt{2\Delta n/n}$ ). De $1.2\,\mathrm{m}$ de altura, a linha de visada fica rasante nesse ângulo além de $1.2/0.0077 \approx 160\,\mathrm{m}$ : a estrada ali reflete o céu — a “poça”.

Exercício 2.12 ★★★

Os pontos $A$ (à altura $a$ acima de uma interface) e $B$ (à profundidade $b$ abaixo dela) estão separados horizontalmente por $d$ ; a luz se propaga com $v_1$ acima e $v_2$ abaixo. Escreva o tempo de percurso do caminho quebrado que passa pelo ponto da interface de abscissa $x$ , e mostre que o tempo é estacionário exatamente quando $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ — a lei de Snell.

Solução

Solução de Exercício 2.12.

$t(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ ; $t'(x) = \dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{d - x}{v_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = \dfrac{\sin i_1}{v_1} - \dfrac{\sin i_2}{v_2}$ , nulo exatamente quando $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ , isto é, $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ com $n = c/v$ .

Um arco-íris duplo: o arco primário a 42 com o vermelho por fora, o secundário, mais fraco, a 51 com as cores invertidas, e a banda escura de Alexandre entre eles — refração, reflexão e dispersão em cada gota. — Um arco-íris duplo: o arco primário a $42{}^{\circ}$ com o vermelho por fora, o secundário, mais fraco, a $51{}^{\circ}$ com as cores invertidas, e a banda escura de Alexandre entre eles — refração, reflexão e dispersão em cada gota.

2.8 Problema: o enlace de fibra óptica

Problema 2.1

Problema de fim de semana — um fio de vidro sob o mar: até onde e com que rapidez um pulso de luz pode carregar um bit antes que a geometria, o vidro e a dispersão o borrem

Um enlace usa uma fibra de índice degrau com núcleo $n_1 = 1.480$ , casca $n_2 = 1.465$ , raio do núcleo $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ , no comprimento de onda $\lambda_0 = 1550\,\mathrm{nm}$ . Dados: $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Parte I — A luz no vidro.

Defina o índice e calcule a velocidade da luz no núcleo.
Quanto tempo um pulso leva para percorrer $50\,\mathrm{km}$ ao longo do eixo?
Calcule a frequência da luz e o seu comprimento de onda dentro do núcleo.
Por que o núcleo é revestido por vidro de índice menor, em vez de ficar nu no ar, o que daria um degrau de índice maior?

Parte II — O guiamento.

Calcule o ângulo limite na superfície núcleo–casca.
Deduza o maior ângulo que um raio guiado pode fazer com o eixo.
Um raio entra pela face plana de extremidade, vindo do ar, com ângulo $\theta$ em relação ao eixo. Mostre que ele é guiado se $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , e calcule o ângulo de aceitação $\theta_a$ .
Dê a abertura numérica. Por que um degrau de índice maior torna a fibra mais fácil de alimentar com luz?
A fibra é curvada segundo um círculo de raio $R_b$ . Considere um raio que viaja paralelo ao eixo ao longo da borda interna do núcleo: mostre que ele encontra a parede externa com incidência $i$ tal que $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ , e encontre o menor $R_b$ para o qual ele ainda é guiado.

Parte III — Dispersão intermodal.

Exprima os tempos de percurso do raio axial e do raio guiado mais inclinado ao longo de um comprimento $L$ .
Deduza o alargamento $\Delta t$ por quilômetro e o seu valor ao longo de $L = 2\,\mathrm{km}$ .
Um bit é um pulso curto; dois pulsos sucessivos precisam ficar separados por pelo menos $2\Delta t$ para serem distinguidos. Estime a taxa máxima de bits ao longo de $2\,\mathrm{km}$ .
Mostre que o produto (taxa de bits) $\times$ (comprimento) é uma constante para esta fibra, e calcule-o em $\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .
Numa fibra de índice gradual o índice decresce suavemente do eixo para fora. Explique qualitativamente por que isso reduz o alargamento intermodal.
Uma fibra monomodo tem diâmetro de núcleo de cerca de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Compare com $\lambda_0$ e explique por que o modelo de raios não pode descrevê-la; o que se ganha?

Parte IV — Atenuação e dispersão cromática. A fibra atenua a potência de $\alpha = 0.20\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ em $1550\,\mathrm{nm}$ : $P(L) = P_0\,10^{-\alpha L/10}$ . O transmissor lança $P_0 = 1.0\,\mathrm{mW}$ ; o receptor precisa de pelo menos $P_{\min} = 1.0\,\text{µ}\mathrm{W}$ . Como $n$ depende de $\lambda$ , dois comprimentos de onda viajam com velocidades ligeiramente diferentes: uma fonte de largura espectral $\Delta\lambda$ dá um alargamento de pulso $\Delta t_c = D\,\Delta\lambda\,L$ com $D = 17\,\mathrm{ps}/(\mathrm{nm}\,\mathrm{km})$ .

Que fração da potência sobrevive a $100\,\mathrm{km}$ ?
Encontre o comprimento máximo antes que seja preciso um amplificador.
Os amplificadores são colocados a cada $100\,\mathrm{km}$ : que margem, em dB e como razão de potências, isso deixa para conectores e emendas?
Calcule $\Delta t_c$ ao longo de $100\,\mathrm{km}$ para uma fonte LED ( $\Delta\lambda = 40\,\mathrm{nm}$ ) e para um laser ( $\Delta\lambda = 0.10\,\mathrm{nm}$ ); deduza a taxa máxima de bits de cada uma nesse comprimento (mesmo critério de antes).
Em $850\,\mathrm{nm}$ a sílica atenua $2.0\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ . Que distância o mesmo orçamento de potência permitiria ali? Por que $1550\,\mathrm{nm}$ é o comprimento de onda das telecomunicações?
O cabo coaxial de cobre atenua cerca de $30\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ nas frequências necessárias para $1\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . Compare o espaçamento entre amplificadores com o da fibra.

Parte V — O enlace inteiro.

Para a fibra de índice degrau ao longo de $2\,\mathrm{km}$ , que efeito limita a taxa de bits: o alargamento intermodal, o alargamento cromático (fonte laser) ou a atenuação? Dê a taxa de bits limite.
Para uma fibra monomodo ao longo de $100\,\mathrm{km}$ com a fonte laser: que efeito limita, e a que taxa de bits?
O enlace monomodo carrega $80$ lasers em comprimentos de onda separados por $0.8\,\mathrm{nm}$ (multiplexação em comprimento de onda), cada um na taxa de bits da questão anterior. Capacidade total?
Forme o produto taxa-de-bits–comprimento do enlace de índice degrau e de um canal monomodo; por qual fator a fibra monomodo vence, e qual fato físico isolado é o responsável?

Solução

Solução de Problema 2.1.

1. $n = c/v$ ; $v_1 = 3.00\times10^8/1.480 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $t = Ln_1/c = 5.0\times10^4 \times 1.48/3.00\times10^8 = 247\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

3. $\nu = c/\lambda_0 = 1.94 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , inalterada no vidro; $\lambda = \lambda_0/n_1 = 1047\,\mathrm{nm}$ .

4. Um núcleo nu só guia enquanto a sua superfície estiver perfeitamente limpa e intocada: poeira, água ou um aperto substituem localmente o ar por um índice maior e a luz escapa, e os riscos a espalham. A casca é uma interface selada e controlada, com um degrau de índice escolhido de propósito.

5. $\sin i_c = 1.465/1.480 = 0.9899$ , $i_c = 81.8^\circ$ .

6. $90^\circ - 81.8^\circ = 8.2^\circ$ .

7. $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ ; guiado se e só se $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , isto é, $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ , isto é, $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{2.1904 - 2.1462} = 0.210$ : $\theta_a = 12.1^\circ$ .

8. $\mathrm{NA} = 0.210$ . Um degrau maior alarga o cone, de modo que mais luz de uma fonte divergente (um LED) é captada.

9. O raio é tangente ao círculo de raio $R_b$ (borda interna) e encontra o círculo de raio $R_b + 2a$ (borda externa); no triângulo retângulo centro–ponto de tangência–ponto de impacto, o ângulo no ponto de impacto entre o raio e o raio do círculo (a normal) satisfaz $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ . Guiado se e só se $\sin i \geq n_2/n_1$ : $R_b \geq 2a\,\dfrac{n_2/n_1}{1 - n_2/n_1} = 50\,\text{µ}\mathrm{m} \times 97.6 = 4.9\,\mathrm{mm}$ . Curvas mais fechadas vazam.

10. $t_0 = Ln_1/c$ ; percurso do raio mais inclinado $L/\cos\theta'_{\max} = Ln_1/n_2$ , de modo que $t_1 = Ln_1^2/(n_2 c)$ .

11. $\Delta t/L = (n_1/c)(n_1/n_2 - 1) = 4.93\times10^{-9} \times 0.01024 = 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; ao longo de $2\,\mathrm{km}$ : $101\,\mathrm{ns}$ .

12. $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t) = 1/202\,\mathrm{ns} \approx 5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

13. $B_{\max} L = 1/(2\,\Delta t/L) = 1/(2 \times 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}) \approx 10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .

14. Os raios afastados do eixo percorrem caminhos mais longos, mas em índice menor, portanto mais depressa; com um perfil bem escolhido os dois efeitos se cancelam e todos os raios chegam juntos.

15. $9\,\text{µ}\mathrm{m} \approx 6\lambda_0$ : o núcleo não é grande em comparação com o comprimento de onda, de modo que a difração domina e os raios perdem o sentido. O tratamento ondulatório mostra um único padrão guiado: nenhum alargamento intermodal; restam apenas a dispersão cromática e a atenuação.

16. $100\,\mathrm{km}$ $\times$ $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ $= 20\,\mathrm{dB}$ : $P/P_0 = 10^{-2}$ , um por cento.

17. $10\log(P_0/P_{\min}) = 30\,\mathrm{dB}$ , logo $L_{\max} = 30/0.20 = 150\,\mathrm{km}$ .

18. $100\,\mathrm{km}$ custam $20\,\mathrm{dB}$ : margem de $10\,\mathrm{dB}$ , um fator $10$ em potência.

19. LED: $\Delta t_c = 17 \times 40 \times 100 = 68\,000\,\mathrm{ps} = 68\,\mathrm{ns}$ , $B \approx 1/136\,\mathrm{ns} = 7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ . Laser: $\Delta t_c = 170\,\mathrm{ps}$ , $B \approx 1/340\,\mathrm{ps} = 2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

20. $30/2.0 = 15\,\mathrm{km}$ , dez vezes menos. A sílica é mais transparente perto de $1550\,\mathrm{nm}$ (o seu mínimo de atenuação), e ali existem amplificadores ópticos.

21. $30/30 = 1\,\mathrm{km}$ entre amplificadores, contra $150\,\mathrm{km}$ : a fibra vence por um fator $150$ .

22. Intermodal: $101\,\mathrm{ns}$ ( $\to$ $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ); cromática (laser): $17 \times 0.1 \times 2 = 3.4\,\mathrm{ps}$ ; atenuação $0.4\,\mathrm{dB}$ , desprezível. O alargamento intermodal limita: $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

23. Nenhum alargamento intermodal; cromático $170\,\mathrm{ps}$ $\to$ $2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ ; atenuação $20\,\mathrm{dB}$ , dentro do orçamento. A dispersão cromática limita, em cerca de $3\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

24. $80 \times 2.9 \approx 230\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

25. Índice degrau: $10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ ; canal monomodo: $2.9 \times 100 = 290\,\mathrm{Gbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ — um fator de cerca de $3\times10^4$ . Um fato: um único caminho guiado, portanto nenhum alargamento geométrico (intermodal) dos tempos de chegada.

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