Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

30Introdução à física quântica

Ilumine com luz ultravioleta um metal limpo e elétrons saem voando na hora, com uma energia que depende da cor da luz e absolutamente não do seu brilho; ilumine com luz vermelha e nada sai, por mais forte que seja a lâmpada. Envie elétrons um a um por duas fendas e eles chegam como pontos, cada um num lugar — e os pontos se acumulam, aos milhares, nas franjas de uma onda. Nenhum dos dois fatos cabe na física dos vinte e nove capítulos anteriores. Este último capítulo introduz as ideias em que eles cabem: a luz vem em quanta, os fótons; a matéria tem um comprimento de onda; o que se propaga é uma amplitude cujo quadrado é uma probabilidade; posição e quantidade de movimento não podem ser ambas exatas; e uma partícula confinada só pode ter certas energias — e é por isso que os átomos têm tamanho, os espectros têm linhas e um grão de semicondutor de alguns nanômetros brilha numa cor fixada pelo seu diâmetro.

30.1 O fóton

Teorema 30.1 (Relações de Planck–Einstein)

A luz de frequência $\nu$ e comprimento de onda $\lambda$ troca energia com a matéria apenas em quanta, os fótons, de energia e quantidade de movimento

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} , \qquad p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} ,

com a constante de Planck $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ( $\hbar = h/2\pi = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ). Útil: $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ — um fóton de $620\,\mathrm{nm}$ carrega $2\,\mathrm{eV}$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Proposição 30.2 (O efeito fotoelétrico)

A luz que incide num metal de função trabalho $W$ (a energia que liga os seus elétrons menos ligados, alguns eV) arranca elétrons de energia cinética máxima

E_{k,\max} = h\nu - W ,

e portanto só acima do limiar $\nu_0 = W/h$ , instantaneamente, com uma energia independente da intensidade; a intensidade fixa o número de elétrons por segundo. O potencial de corte $V_s$ que anula exatamente a corrente mede $E_{k,\max} = eV_s$ , e o gráfico de $V_s$ contra $\nu$ é uma reta de inclinação $h/e$ — foi assim que Millikan mediu $h$ .

Demonstração. Cada fóton é absorvido por um elétron, que fica, no melhor dos casos, com $h\nu - W$ ; uma onda entregaria energia continuamente a cada elétron, a energia cresceria com a intensidade, e uma luz fraca levaria horas para acumular $W$ num átomo (Problema 30.1) — e nada disso se observa. A interpretação de Einstein (1905) fica admitida como lei. ∎

À esquerda: a célula fotoelétrica — a luz liberta elétrons do cátodo; uma tensão inversa V_s apenas suficiente para pará-los mede a sua energia máxima. À direita: o potencial de corte contra a frequência é uma reta para cada metal, de inclinação h/e; o intercepto dá a função trabalho, e o limiar, a frequência mínima. — À esquerda: a célula fotoelétrica — a luz liberta elétrons do cátodo; uma tensão inversa $V_s$ apenas suficiente para pará-los mede a sua energia máxima. À direita: o potencial de corte contra a frequência é uma reta para cada metal, de inclinação $h/e$ ; o intercepto dá a função trabalho, e o limiar, a frequência mínima.

Exemplo 30.3 (Ordens de grandeza)

Um fóton visível: $2\,\mathrm{eV}$ ; um fóton de raios X de $0.1\,\mathrm{nm}$ : $12\,\mathrm{keV}$ ; um fóton de rádio a $100\,\mathrm{MHz}$ : $4 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . Um laser vermelho de $1\,\mathrm{mW}$ emite $10^{-3}/(3.1 \times 10^{-19}) = 3 \times 10^{15}$ fótons por segundo; uma antena de rádio que capta $1\,\mathrm{pW}$ a $100\,\mathrm{MHz}$ recebe $10^{13}$ por segundo — tantos e tão pequenos que a descrição ondulatória é exata para todos os fins; o olho, ao contrário, consegue registrar um clarão de uma centena de fótons. A natureza quântica da luz aparece quando os fótons são poucos ou energéticos: células fotoelétricas, detectores de raios X, o grão de uma fotografia fraca.

Observação 30.4 (Espalhamento Compton)

Um fóton que ricocheteia num elétron livre transfere quantidade de movimento como uma bola de bilhar: o seu comprimento de onda cresce de $\Delta\lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta)$ , com $h/m_ec = 2.43\,\mathrm{pm}$ (admitido — uma colisão relativista, do segundo ano). Invisível para a luz ( $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-5}$ ), é um efeito de $20\%$ para os raios X, e foi a experiência que convenceu os céticos (1923) de que o fóton carrega a quantidade de movimento $h/\lambda$ .

30.2 Ondas de matéria

Teorema 30.5 (de Broglie)

Uma partícula de quantidade de movimento $p$ se propaga como uma onda de comprimento de onda

\lambda = \frac{h}{p} ,

e apresenta, em consequência, difração e interferência: elétrons num cristal (Davisson e Germer, 1927), através de duas fendas (Jönsson, 1961), nêutrons, átomos e moléculas de sessenta átomos de carbono. Para um elétron acelerado por $U$ , $\lambda = h/\sqrt{2m_eeU} = 1.23\,\mathrm{nm}/\sqrt{U/\mathrm{V}}$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 30.6 (Por que nunca víamos isso)

Um elétron de $100\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ , o espaçamento dos átomos num cristal — daí a difração e o microscópio eletrônico. Um nêutron térmico ( $0.025\,\mathrm{eV}$ ): $0.18\,\mathrm{nm}$ . Uma bola de $1\,\mathrm{g}$ a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\lambda = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ , $10^{20}$ vezes menor que um núcleo: fenda nenhuma, cristal nenhum poderia difratá-la. A natureza ondulatória da matéria é universal; é o seu comprimento de onda que a torna visível só para o que é leve e lento.

Proposição 30.7 (Partículas isoladas constroem as franjas)

Elétrons enviados um de cada vez através de duas fendas (Tonomura, 1989) fazem cada um um único ponto na tela, num lugar que não se pode prever; os pontos se acumulam na figura de interferência de duas fendas de uma onda de comprimento de onda $h/p$ . Fechar uma das fendas apaga as franjas — a figura não é feita por elétrons que interferem uns com os outros, mas por a onda de cada elétron passar pelas duas fendas. Detectar por qual fenda uma partícula passou também apaga as franjas.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Elétrons um de cada vez através de duas fendas. Cada um chega como um ponto em algum lugar (à esquerda, em cima); os pontos se acumulam onde a onda de duas fendas é intensa (à esquerda, embaixo), seguindo a densidade de probabilidade | |2 da amplitude que passou pelas duas fendas (à direita). A figura é a mesma para fótons, nêutrons e moléculas. — Elétrons um de cada vez através de duas fendas. Cada um chega como um ponto em algum lugar (à esquerda, em cima); os pontos se acumulam onde a onda de duas fendas é intensa (à esquerda, embaixo), seguindo a densidade de probabilidade $|\psi|^2$ da amplitude que passou pelas duas fendas (à direita). A figura é a mesma para fótons, nêutrons e moléculas.

30.3 Amplitudes, probabilidades e o princípio da incerteza

Definição 30.8 (Função de onda)

O estado de uma partícula é descrito por uma função de onda $\psi(x, t)$ (complexa), tal que $|\psi(x, t)|^2\,\dd x$ é a probabilidade de encontrar a partícula entre $x$ e $x + \dd x$ quando se olha: $|\psi|^2$ é uma densidade de probabilidade, e $\int|\psi|^2\dd x = 1$ . As amplitudes se somam (superposição): se dois caminhos levam ao mesmo ponto, $\psi = \psi_1 + \psi_2$ e $|\psi|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\,\mathrm{Re}(\psi_1^\ast\psi_2)$ — o último termo é a interferência. Uma medida dá um dos resultados possíveis, ao acaso, com as probabilidades que as amplitudes prescrevem, e deixa a partícula no estado encontrado.

Observação 30.9 (O que é que ondula)

$\psi$ não é um campo físico como $\vect E$ : ele não é medido, só o seu quadrado o é, e descreve o melhor conhecimento possível de onde a partícula será encontrada. Um único elétron não está espalhado pela tela; ele é detectado inteiro, num ponto; o que está espalhado é a probabilidade. É esse o conteúdo da teoria, e ela nunca falhou num teste.

Teorema 30.10 (Princípio da incerteza de Heisenberg)

A posição e a quantidade de movimento de uma partícula ao longo do mesmo eixo não podem ser ambas exatamente definidas: os seus desvios padrão, em qualquer estado, obedecem a

\Delta x\,\Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} .

Uma partícula confinada a uma região de tamanho $\ell$ tem, portanto, uma dispersão de quantidade de movimento de pelo menos $\hbar/2\ell$ , e daí uma energia cinética da ordem de $\hbar^2/2m\ell^2$ que resfriamento nenhum remove: confinar custa energia.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 30.11 (O tamanho do átomo de hidrogênio)

Um elétron a menos de $r$ do próton tem $p \gtrsim \hbar/r$ e energia $E(r) \approx \dfrac{\hbar^2}{2m_er^2} - \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$ : o primeiro termo explode se $r$ encolhe, e o segundo, se ele cresce. $\dd E/\dd r = 0$ em

a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 53\,\mathrm{pm} , \qquad E(a_0) = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = -13.6\,\mathrm{eV} :

o raio de Bohr e a energia de ionização do hidrogênio, até o último algarismo. A física clássica não conseguia explicar por que o elétron não espirala até o núcleo (ele irradia) nem por que todos os átomos de um elemento são idênticos; o princípio da incerteza responde às duas coisas numa linha: o átomo é tão pequeno quanto pode ser sem que a energia cinética supere a de ligação.

30.4 Quantização da energia

Proposição 30.12 (Partícula numa caixa)

Uma partícula de massa $m$ confinada entre duas paredes impenetráveis à distância $L$ tem, como a corda de Melde (Capítulo 5), apenas as ondas estacionárias $\lambda_n = 2L/n$ , e portanto apenas as quantidades de movimento $p_n = nh/2L$ e as energias

E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots

com as funções de onda $\psi_n(x) \propto \sin(n\pi x/L)$ . A energia é quantizada; a mais baixa, o estado fundamental $E_1 > 0$ , é a energia de confinamento do princípio da incerteza tornada exata; a partícula salta entre níveis absorvendo ou emitindo um fóton de energia $h\nu = E_p - E_n$ .

Demonstração. $\psi$ tem de se anular nas paredes (a partícula não pode estar lá), de modo que a onda encaixa um número inteiro de meios comprimentos de onda em $L$ — é a condição da corda; de Broglie dá $p$ , e $E = p^2/2m$ . Que $\psi$ obedeça a uma equação de onda com essas condições de contorno fica admitido (a equação de Schrödinger, do segundo ano). ∎

À esquerda: os três estados mais baixos de uma partícula numa caixa — as funções de onda são as ondas estacionárias de uma corda, as energias crescem como n2, e o estado fundamental não fica em zero. À direita: os níveis do átomo de hidrogênio e as suas duas primeiras séries de linhas; cada linha é um fóton de energia igual ao intervalo que ele vence. — À esquerda: os três estados mais baixos de uma partícula numa caixa — as funções de onda são as ondas estacionárias de uma corda, as energias crescem como $n^2$ , e o estado fundamental não fica em zero. À direita: os níveis do átomo de hidrogênio e as suas duas primeiras séries de linhas; cada linha é um fóton de energia igual ao intervalo que ele vence.

Proposição 30.13 (O átomo de hidrogênio)

O elétron do átomo de hidrogênio tem as energias discretas

E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots ,

sendo $n = 1$ o estado fundamental e $E \geq 0$ o átomo ionizado. O seu espectro é feito de linhas em $h\nu = E_p - E_n$ : a série de Lyman até $n = 1$ (ultravioleta, $122\,\mathrm{nm}$ para $2 \to 1$ ), a série de Balmer até $n = 2$ (visível: $656\,\mathrm{nm}$ , $486\,\mathrm{nm}$ , $434\,\mathrm{nm}$ , …), e assim por diante. O modelo de Bohr (1913) obtém essas energias quantizando o momento angular de uma órbita circular, $m_evr = n\hbar$ (Exercício 30.9); a teoria completa substitui as órbitas por funções de onda, mas mantém as energias.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 30.14 (Cores a partir do tamanho: o ponto quântico)

Um nanocristal de semicondutor de alguns nanômetros confina os seus elétrons como uma caixa: quanto menor o cristal, maior a energia de confinamento somada à banda proibida do semicondutor, e mais azul a luz que ele emite. Pontos de seleneto de cádmio de raio $2\,\mathrm{nm}$ brilham em azul, os de $3\,\mathrm{nm}$ em amarelo e os de $4\,\mathrm{nm}$ em vermelho — um só material, com as cores escolhidas com uma régua (Problema 30.1). As telas de televisão os usam.

Observação 30.15 (O que o resto da teoria acrescenta)

A equação de Schrödinger torna exatos a caixa, o átomo e a molécula; ela prevê que uma partícula pode atravessar uma barreira que não tem energia para escalar (o efeito túnel, por trás da radioatividade e do microscópio de varredura por tunelamento); que as partículas idênticas são ou sociáveis (bósons — daí o laser, em que os fótons se amontoam num só modo) ou exclusivas (férmions — daí a tabela periódica e a rigidez da matéria); e que o spin do elétron é um momento magnético sem contrapartida clássica. Tudo isso é do segundo ano em diante; tudo isso repousa sobre as poucas ideias deste capítulo.

30.5 Exercícios

Exercício 30.1 ★

Energia de um fóton de: rádio a $100\,\mathrm{MHz}$ ; luz a $500\,\mathrm{nm}$ ; raios X a $0.10\,\mathrm{nm}$ ; raios gama de $1\,\mathrm{MeV}$ (dê o seu comprimento de onda). Número de fótons por segundo de um laser de $1.0\,\mathrm{mW}$ a $633\,\mathrm{nm}$ .

Solução

Solução de Exercício 30.1.

$h\nu$ : $100\,\mathrm{MHz}$ : $6.6 \times 10^{-26}$ J $= 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ ; $500\,\mathrm{nm}$ : $1240/500 = 2.5\,\mathrm{eV}$ ; $0.10\,\mathrm{nm}$ : $12.4\,\mathrm{keV}$ ; $1\,\mathrm{MeV}$ : $\lambda = 1240/10^6 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm} = 1.2\,\mathrm{pm}$ . Laser: $1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , logo $10^{-3}/3.1 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{15}$ fótons por segundo.

Exercício 30.2 ★

Sódio, $W = 2.3\,\mathrm{eV}$ : comprimento de onda limiar; energia cinética máxima e potencial de corte para luz de $400\,\mathrm{nm}$ ; o que muda se a intensidade for dobrada? e com luz de $600\,\mathrm{nm}$ ?

Solução

Solução de Exercício 30.2.

$\lambda_0 = 1240/2.3 = 540\,\mathrm{nm}$ . A $400\,\mathrm{nm}$ , $h\nu = 3.1\,\mathrm{eV}$ : $E_{k,\max} = 0.8\,\mathrm{eV}$ , $V_s = 0.8\,\mathrm{V}$ . Dobrar a intensidade dobra a corrente e deixa $V_s$ inalterado. A $600\,\mathrm{nm}$ ( $2.07\,\mathrm{eV}$ $< W$ ): nada, com qualquer intensidade.

Exercício 30.3 ★

Comprimento de onda de De Broglie de um elétron de $100\,\mathrm{eV}$ e de $1.0\,\mathrm{keV}$ ; de um nêutron de $0.025\,\mathrm{eV}$ ; de uma bola de $1\,\mathrm{g}$ a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Quais deles podem ser difratados por um cristal (espaçamento de $0.2\,\mathrm{nm}$ )?

Solução

Solução de Exercício 30.3.

Elétron: $1.23/\sqrt{100} = 0.12\,\mathrm{nm}$ ; a $1\,\mathrm{keV}$ : $0.039\,\mathrm{nm}$ . Nêutron: $E = 4.0 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_nE} = 3.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p = 0.18\,\mathrm{nm}$ . Bola: $6.6 \times 10^{-34}/10^{-3} = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ . Os três primeiros têm $\lambda$ da ordem do espaçamento atômico e são difratados (cristalografia de elétrons, de nêutrons e de raios X); a bola, nunca.

Exercício 30.4 ★

Um elétron numa caixa de $1.0\,\mathrm{nm}$ : $E_1$ , $E_2$ , comprimento de onda do fóton emitido em $2 \to 1$ . Um próton numa caixa de $5\,\mathrm{fm}$ (um núcleo): $E_1$ em $\mathrm{MeV}$ .

Solução

Solução de Exercício 30.4.

$E_1 = h^2/8m_eL^2 = 4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-18}) = 6.0 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.38\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = 4E_1 = 1.5\,\mathrm{eV}$ ; fóton de $1.13\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/1.13 = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (infravermelho próximo). Próton em $5\,\mathrm{fm}$ : $4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 25 \times 10^{-30}) = 1.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 8\,\mathrm{MeV}$ — a escala das energias nucleares, só a partir do confinamento.

Exercício 30.5 ★★

Potenciais de corte medidos para um metal: $0.40\,\mathrm{V}$ a $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.23\,\mathrm{V}$ a $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $2.05\,\mathrm{V}$ a $1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ . Deduza $h$ (com $e$ conhecido) e a função trabalho; comprimento de onda limiar; que metal poderia ser (césio $2.1\,\mathrm{eV}$ , potássio $2.3\,\mathrm{eV}$ , zinco $4.3\,\mathrm{eV}$ )?

Solução

Solução de Exercício 30.5.

Inclinação $(2.05 - 0.40)/(4.0 \times 10^{14}) = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ , $h = e \times 4.1 \times 10^{-15} = 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ . $W = h\nu - eV_s = 2.48 - 0.40 = 2.1\,\mathrm{eV}$ , limiar $\lambda_0 = 1240/2.1 = 600\,\mathrm{nm}$ : césio.

Exercício 30.6 ★★

Compton: um fóton de raios X de $10\,\mathrm{pm}$ é espalhado a $90{}^{\circ}$ por um elétron. Novo comprimento de onda; energias do fóton antes e depois; energia cedida ao elétron. Deslocamento relativo para luz de $500\,\mathrm{nm}$ — por que Compton precisou de raios X.

Solução

Solução de Exercício 30.6.

$\Delta\lambda = 2.43\,\mathrm{pm}$ : $\lambda' = 12.4\,\mathrm{pm}$ . Antes: $1240/0.010 = 124\,\mathrm{keV}$ ; depois: $1240/0.0124 = 100\,\mathrm{keV}$ ; o elétron leva $24\,\mathrm{keV}$ . Para a luz, $\Delta\lambda/\lambda = 2.4 \times 10^{-12}/5 \times 10^{-7} = 5 \times 10^{-6}$ : imensurável em 1923 — os raios X tornaram o deslocamento um efeito de $25\%$ .

Exercício 30.7 ★★

A experiência de Jönsson. Elétrons de $50\,\mathrm{keV}$ (use $p = \sqrt{2m_eE}$ ), duas fendas a $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ uma da outra, tela a $35\,\mathrm{cm}$ . Comprimento de onda; espaçamento das franjas; por que foi preciso uma lente eletrônica de aumento. Na versão de Tonomura, um elétron de cada vez atravessa o aparelho: o que a tela mostra depois de 10 e depois de $10^5$ elétrons, e o que isso ensina?

Solução

Solução de Exercício 30.7.

$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19}} = 1.2 \times 10^{-22}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 5.5\,\mathrm{pm}$ (a relatividade corrige para $5.4\,\mathrm{pm}$ ); espaçamento das franjas $\lambda D/d = 5.5 \times 10^{-12} \times 0.35/2 \times 10^{-6} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : invisível a olho nu, daí a lente de aumento. Dez elétrons: dez pontos, aparentemente ao acaso; $10^5$ : as franjas. Cada elétron chega num ponto; a probabilidade de chegada segue a onda de duas fendas — a onda de um único elétron passa pelas duas fendas.

Exercício 30.8 ★★

Energia cinética mínima, pelo princípio da incerteza, de: um elétron confinado a $0.1\,\mathrm{nm}$ (um átomo); um elétron confinado a $5\,\mathrm{fm}$ (um núcleo — use $E \approx pc$ se o resultado for relativista, e conclua se os núcleos podem conter elétrons); um grão de poeira de $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ localizado em $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (dê $\Delta v$ ).

Solução

Solução de Exercício 30.8.

Átomo: $\Delta p \geq \hbar/2\Delta x = 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E \sim \Delta p^2/2m_e = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1\,\mathrm{eV}$ : a escala certa. Núcleo: $\Delta p \geq 1.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta p^2/2m_e$ daria $400\,\mathrm{MeV}$ , muito acima de $m_ec^2$ , de modo que se usa $E \approx \Delta p\,c = 3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 20\,\mathrm{MeV}$ : força nenhuma dentro do núcleo poderia segurar um elétron tão energético — os núcleos não contêm elétrons (os elétrons beta são criados na emissão). Grão: $\Delta v \geq \hbar/2m\Delta x = 1.05 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-9} \times 10^{-6}) = 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : irrelevante.

Exercício 30.9 ★★

O modelo de Bohr. Um elétron numa órbita circular de raio $r$ em torno de um próton: (a) velocidade e energia em função de $r$ (dinâmica coulombiana, Capítulo 16); (b) imponha $m_evr = n\hbar$ e deduza $r_n = n^2a_0$ , $E_n = E_1/n^2$ com $a_0$ e $E_1$ como no Exemplo 30.11; (c) $v_1$ e $v_1/c$ ; (d) comprimentos de onda da Lyman $\alpha$ ( $2 \to 1$ ) e da H $\alpha$ ( $3 \to 2$ ); (e) mostre que a órbita $n$ contém exatamente $n$ comprimentos de onda de De Broglie.

Solução

Solução de Exercício 30.9.

(a) $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ , $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ . (b) $m_evr = n\hbar$ e $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : divida o quadrado da primeira pela segunda: $m_er = n^2\hbar^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0/e^2$ , $r_n = n^2a_0$ , e $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0n^2a_0 = E_1/n^2$ com $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ . (c) $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_1/c = 1/137$ . (d) $2 \to 1$ : $\tfrac34 \times 13.6 = 10.2\,\mathrm{eV}$ , $122\,\mathrm{nm}$ ; $3 \to 2$ : $(\tfrac14 - \tfrac19) \times 13.6 = 1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ . (e) $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (pois $m_ev_1a_0 = \hbar$ ), e $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ .

Exercício 30.10 ★★★

Sistemas hidrogenoides. (a) Para um núcleo de carga $Ze$ , mostre que $E_n = -Z^2 \times 13.6\,\mathrm{eV}/n^2$ e $r_n = n^2a_0/Z$ : energia de ionização do He $^+$ e do último elétron do urânio ( $Z = 92$ ; comente). (b) Hidrogênio muônico: o múon tem $207$ vezes a massa do elétron: raio e energia fundamental; comprimento de onda da sua linha Lyman $\alpha$ ; por que ele é usado para medir o tamanho do próton (raio $0.84\,\mathrm{fm}$ ). (c) Positrônio (elétron e pósitron, de massas iguais): mostre que a massa reduzida divide as energias por dois: a sua Lyman $\alpha$ .

Solução

Solução de Exercício 30.10.

(a) Substitua $e^2$ por $Ze^2$ : $a_0 \to a_0/Z$ , $E_1 \to Z^2E_1$ . He $^+$ : $54.4\,\mathrm{eV}$ . U $^{91+}$ : $92^2 \times 13.6 = 115\,\mathrm{keV}$ — mas $v_1 = Z\alpha c = 0.67c$ : ali o modelo não relativista é apenas indicativo. (b) $a_0/207 = 256\,\mathrm{fm}$ , $E_1 = 207 \times 13.6 = 2.8\,\mathrm{keV}$ ; Lyman $\alpha$ : $2.1\,\mathrm{keV}$ , $\lambda = 0.59\,\mathrm{nm}$ (raios X). A órbita do múon tem só $300$ raios do próton: os seus níveis se deslocam de modo mensurável com o tamanho do próton, e foi assim que o raio do próton foi remedido (2010). (c) As duas partículas orbitam o centro comum: a massa reduzida $m_e/2$ divide por dois cada energia: $E_1 = -6.8\,\mathrm{eV}$ , Lyman $\alpha$ a $5.1\,\mathrm{eV}$ , $243\,\mathrm{nm}$ .

Exercício 30.11 ★★★

Pontos quânticos. Num nanocristal esférico de raio $R$ a energia de confinamento de uma partícula de massa efetiva $m^\ast$ vale $h^2/8m^\ast R^2$ (admitido). CdSe: banda proibida $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ , $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ , $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ (a “lacuna” deixada pelo elétron excitado também fica confinada). (a) Energia do fóton emitido $E_g + E_e + E_h$ e comprimento de onda para $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ e $4.0\,\mathrm{nm}$ ; cores. (b) Raio para emissão a $520\,\mathrm{nm}$ (verde). (c) Por que o CdSe maciço emite só a $713\,\mathrm{nm}$ ? (d) Uma dispersão de $10\,\%$ nos raios de um lote: dispersão em comprimento de onda a $3\,\mathrm{nm}$ .

Solução

Solução de Exercício 30.11.

(a) $h^2/8m_e = 6.02 \times 10^{-38}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{2}$ . $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/ (0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ , $E_h = 0.21\,\mathrm{eV}$ , total $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ , $464\,\mathrm{nm}$ : azul. $3\,\mathrm{nm}$ : confinamento $\times4/9$ , $2.15\,\mathrm{eV}$ , $577\,\mathrm{nm}$ : amarelo. $4\,\mathrm{nm}$ : $\times1/4$ , $1.97\,\mathrm{eV}$ , $629\,\mathrm{nm}$ : vermelho. (b) $520\,\mathrm{nm}$ valem $2.38\,\mathrm{eV}$ : confinamento $0.65\,\mathrm{eV}$ $= 0.93 \times (2/R)^2$ , $R = 2.4\,\mathrm{nm}$ . (c) Sem confinamento: só $E_g$ , $713\,\mathrm{nm}$ . (d) $\delta E = -2 \times 0.1 \times 0.41 = -0.08\,\mathrm{eV}$ , $4\%$ de $2.15\,\mathrm{eV}$ : cerca de $20\,\mathrm{nm}$ de dispersão — cores puras exigem lotes monodispersos.

Exercício 30.12 ★★★

Energia de ponto zero. (a) Para um oscilador harmônico $E = p^2/2m + \tfrac12m\omega^2x^2$ , tome $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ e minimize $E \approx \Delta p^2/2m + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ em $\Delta x$ : mostre que $E_{\min} = \hbar\omega/2$ (a energia fundamental exata). (b) A molécula de H $_2$ vibra a $\omega = 8.3 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : energia de ponto zero em eV, e a menor temperatura em que a sua vibração é “térmica” ( $k_BT \sim \hbar\omega$ ). (c) O hélio líquido nunca congela à pressão atmosférica: estime a energia de ponto zero de um átomo de hélio localizado em $\Delta x = 0.05\,\mathrm{nm}$ (uma fração da distância interatômica) num cristal, e compare com a sua energia de ligação no sólido, cerca de $1\,\mathrm{meV}$ . (d) Compare a fórmula da caixa $E_1 = h^2/8mL^2$ com o limite da incerteza para $\Delta x = L/2$ : qual é maior, e por que tem de ser?

Solução

Solução de Exercício 30.12.

(a) $E(\Delta x) = \hbar^2/8m\Delta x^2 + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ ; derivada nula em $\Delta x^2 = \hbar/2m\omega$ , onde os dois termos valem $\hbar\omega/4$ : $E_{\min} = \hbar\omega/2$ . (b) $\tfrac12 \times 1.055 \times 10^{-34} \times 8.3 \times 10^{14} = 4.4 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ ; $T \sim \hbar\omega/k_B = 6300\,\mathrm{K}$ — à temperatura ambiente a vibração está congelada no seu estado fundamental. (c) $\Delta p = \hbar/2\Delta x = 1.05 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \Delta p^2/2m_{\mathrm{He}} = 1.1 \times 10^{-48}/1.33 \times 10^{-26} = 8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.5\,\mathrm{meV}$ : metade da ligação — os átomos não conseguem ficar quietos o bastante para cristalizar; o hélio permanece líquido até o zero absoluto, a menos que seja comprimido ( $25\,\mathrm{bar}$ ). (d) $E_1 = \pi^2\hbar^2/2mL^2$ contra $\hbar^2/2mL^2$ : dez vezes maior, como tem de ser — o limite é um limite inferior, e o estado da caixa tem $\Delta x \approx 0.18L$ , e não $L/2$ .

O espectro de emissão visível do hidrogênio: as linhas de Balmer a 656\, nm, 486\, nm, 434\, nm e 410\, nm, cada uma um salto para n = 2. — O espectro de emissão visível do hidrogênio: as linhas de Balmer a $656\,\mathrm{nm}$ , $486\,\mathrm{nm}$ , $434\,\mathrm{nm}$ e $410\,\mathrm{nm}$ , cada uma um salto para $n = 2$ .

Pontos quânticos de um mesmo material em frascos: quanto menor o nanocristal, maior a energia de confinamento e mais azul a luz — a cor escolhida pelo tamanho.

30.6 Problema: o espectro do hidrogênio e um ponto quântico

Problema 30.1

Problema de fim de semana — medir $h$ com luz e um voltímetro, construir o átomo de hidrogênio a partir de três constantes e escolher a cor de um cristal pelo seu tamanho

Constantes: $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ , $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ .

Parte I — Medindo a constante de Planck. Um fotocátodo de potássio é iluminado com luz monocromática; mede-se o potencial de corte: $0.30\,\mathrm{V}$ a $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $0.69\,\mathrm{V}$ a $7.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.13\,\mathrm{V}$ a $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.50\,\mathrm{V}$ a $9.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ e $2.36\,\mathrm{V}$ a $1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ .

Descreva a célula e explique por que uma tensão inversa consegue parar a corrente, e o que $eV_s$ mede.
Escreva a relação de Einstein e diga o que dão a inclinação e o intercepto de $V_s(\nu)$ .
A partir dos dados (um ajuste linear, ou os dois pontos extremos), deduza $h$ ; compare com o valor aceito.
Função trabalho do potássio em eV; frequência e comprimento de onda limiares; uma caneta laser vermelha conseguiria arrancar elétrons?
A intensidade da lâmpada é dobrada: o que acontece com $V_s$ e com a corrente? Por que isso é incompatível com uma imagem puramente ondulatória?
Estimativa clássica: uma luz de $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ incide no metal; um átomo oferece uma área de cerca de $1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ : quanto tempo levaria para acumular $2.2\,\mathrm{eV}$ num átomo? O que se observa em vez disso?

Parte II — O átomo de hidrogênio de Bohr.

Um elétron numa órbita circular de raio $r$ em torno de um próton fixo: velocidade $v(r)$ e energia mecânica $E(r)$ .
Condição de Bohr $m_evr = n\hbar$ : mostre que $r_n = n^2a_0$ e dê $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2$ numericamente.
$E_n = E_1/n^2$ com $E_1 = -m_ee^4/[2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2]$ ; valor numérico em eV.
Velocidade na primeira órbita e a razão $v_1/c$ (a constante de estrutura fina $\alpha \approx 1/137$ ).
Comprimentos de onda das linhas $2 \to 1$ (Lyman $\alpha$ ), $3 \to 2$ e $4 \to 2$ (Balmer H $\alpha$ e H $\beta$ ): quais são visíveis?
Mostre que $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/p^2)$ e calcule a constante de Rydberg $R_H$ ; o menor comprimento de onda de Balmer.
Energia de ionização do hidrogênio a partir do estado fundamental; comprimento de onda do fóton que apenas o ioniza.
De Broglie: mostre que a circunferência da órbita $n$ vale $n$ comprimentos de onda — a condição de Bohr é uma condição de onda estacionária.
Duas coisas que o modelo erra, uma que ele acerta exatamente e o que substitui a órbita na teoria completa.

Parte III — O ponto quântico. Um nanocristal de CdSe de raio $R$ confina um elétron excitado (massa efetiva $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ ) e a lacuna que ele deixa ( $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ ); a energia de confinamento de cada um numa esfera de raio $R$ vale $h^2/8m^\ast R^2$ (admitido); a banda proibida do CdSe maciço vale $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ .

Deduza as energias $E_n = n^2h^2/8mL^2$ de uma partícula numa caixa unidimensional a partir da condição de onda estacionária, e comente a analogia com a fórmula da esfera.
Energias de confinamento do elétron e da lacuna para $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ .
Energia e comprimento de onda do fóton emitido para $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ e $4.0\,\mathrm{nm}$ ; cores.
Explique numa frase por que os pontos menores são mais azuis.
Verifique a ordem de grandeza com o princípio da incerteza: $\Delta p \sim \hbar/R$ para o elétron em $R = 2\,\mathrm{nm}$ , e a energia cinética que isso implica.
Um ponto emite $1.0\,\mathrm{nW}$ a $577\,\mathrm{nm}$ : fótons por segundo.

Parte IV — Contando quanta.

Fótons por segundo de um laser de $1.0\,\mathrm{mW}$ a $633\,\mathrm{nm}$ .
O olho adaptado ao escuro detecta um clarão de cerca de $100$ fótons a $500\,\mathrm{nm}$ que chegam em $0.1\,\mathrm{s}$ : a potência correspondente.
Uma antena de FM recebe $1.0\,\mathrm{pW}$ a $100\,\mathrm{MHz}$ : fótons por segundo; há alguma esperança de detectá-los um a um?
Resuma: só a partir de $h$ , $e$ e $m_e$ , que três grandezas do mundo atômico este problema produziu, e com que ordens de grandeza?

Solução

Solução de Problema 30.1.

1. A luz liberta elétrons do cátodo com energias variadas; mantido a $-V_s$ , o ânodo os repele e só chegam os que têm $E_k > eV_s$ . A corrente se anula quando $eV_s = E_{k,\max}$ .

2. $eV_s = h\nu - W$ : inclinação $h/e$ , intercepto $-W/e$ ; $V_s = 0$ no limiar $\nu_0 = W/h$ .

3. Pontos extremos: $(2.36 - 0.30)/(5.0 \times 10^{14}) = 4.12 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ , $h = 1.602 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15} = 6.60 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ (um ajuste sobre os cinco dá $6.62$ ): a $0.5\%$ de $6.626 \times 10^{-34}$ .

4. $W = h\nu - eV_s = 2.47 - 0.30 = 2.2\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_0 = W/h = 5.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\lambda_0 = 1240/2.2 = 560\,\mathrm{nm}$ . Uma caneta vermelha ( $650\,\mathrm{nm}$ , $1.9\,\mathrm{eV}$ ) não arranca nada.

5. $V_s$ inalterado, corrente dobrada: o dobro de fótons, cada um com a mesma energia. Uma onda daria mais energia a cada elétron com mais intensidade, e um limiar em intensidade em vez de em frequência.

6. $10^{-6} \times 10^{-20} = 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ sobre o átomo; $2.2\,\mathrm{eV}$ $= 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ levam $3.5 \times 10^7$ s — um ano. A emissão é observada em nanossegundos: a energia chega em quanta inteiros.

7. $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ ; $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ .

8. $(m_evr)^2 = n^2\hbar^2$ and $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : $r_n = n^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2 = n^2a_0$ , $a_0 = (1.055 \times 10^{-34})^2/(8.99 \times 10^9 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 2.57 \times 10^{-38}) = 52.9\,\mathrm{pm}$ .

9. $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0r_n = -m_ee^4/2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2$ ; $E_1 = -2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 5.29 \times 10^{-11}) = -2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -13.6\,\mathrm{eV}$ .

10. $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_1/c = 7.3 \times 10^{-3} = 1/137$ .

11. $2 \to 1$ : $10.2\,\mathrm{eV}$ , $122\,\mathrm{nm}$ (ultravioleta); $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ (vermelho); $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (azul-esverdeado): as linhas de Balmer são as visíveis.

12. $hc/\lambda = |E_1|(1/n^2 - 1/p^2)$ : $R_H = |E_1|/hc = 13.6/1240 = 1.097 \times 10^{-2}\,\mathrm{nm}^{-1} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ . Limite de Balmer ( $p \to \infty$ ): $\lambda = 4/R_H = 365\,\mathrm{nm}$ .

13. $13.6\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/13.6 = 91\,\mathrm{nm}$ .

14. $v_n = v_1/n$ , $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (pois $m_ev_1a_0 = \hbar$ ); $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ : a órbita carrega $n$ ondas inteiras — a regra de Bohr é uma regra de onda estacionária.

15. Errado: o elétron não tem órbita (ele irradiaria; o estado fundamental tem momento angular nulo) e o modelo falha para qualquer átomo com dois elétrons. Certo: os níveis do hidrogênio, e portanto cada linha do seu espectro. A órbita é substituída por uma função de onda, uma nuvem de probabilidade de tamanho $\sim n^2a_0$ .

16. Ondas estacionárias: $L = n\lambda/2$ , $p_n = h/\lambda_n = nh/2L$ , $E_n = p_n^2/2m = n^2h^2/8mL^2$ . A fórmula da esfera é a mesma com $L \to R$ : o estado fundamental encaixa meio comprimento de onda no raio.

17. $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/(0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ ; $E_h = 0.13/0.45 \times 0.72 = 0.21\,\mathrm{eV}$ .

18. $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ , $464\,\mathrm{nm}$ , azul; $3\,\mathrm{nm}$ : $2.15\,\mathrm{eV}$ , $577\,\mathrm{nm}$ , amarelo; $4\,\mathrm{nm}$ : $1.97\,\mathrm{eV}$ , $629\,\mathrm{nm}$ , vermelho.

19. A energia de confinamento cresce como $1/R^2$ : uma caixa menor eleva os níveis, o fóton fica mais energético e a luz, mais azul.

20. $\Delta p \sim \hbar/R = 5.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E \sim \Delta p^2/2m_e^\ast = 1.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.07\,\mathrm{eV}$ : a ordem certa (o coeficiente exato $\pi^2/2$ e o $\Delta p$ mais grosseiro explicam o fator dez).

21. $1240/577 = 2.15\,\mathrm{eV} = 3.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ : $10^{-9}/3.4 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^9$ fótons por segundo.

22. $10^{-3}/(1.96 \times 1.6 \times 10^{-19}) = 3.2 \times 10^{15}$ por segundo.

23. $100 \times 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ em $0.1\,\mathrm{s}$ : $4 \times 10^{-16}\,\mathrm{W}$ .

24. $h\nu = 6.6 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}$ : $1.5 \times 10^{13}$ fótons por segundo — e cada um é $10^5$ vezes menor que a energia térmica $k_BT$ da antena: sem esperança, e sem necessidade; ali a imagem ondulatória é exata.

25. O tamanho dos átomos, $a_0 = 53\,\mathrm{pm}$ ; a sua escala de energia, $13.6\,\mathrm{eV}$ (donde os fótons de alguns eV, a química, o espectro visível); e a velocidade dos seus elétrons, $\alpha c \approx 2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — os três a partir de $h$ , $e$ e $m_e$ (e $\varepsilon_0$ ), sem nada ajustado.

Termos definidos neste capítulo

Função de onda

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