Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

27Potencial elétrico; condutores e capacitores

Um campo são três números em cada ponto; um potencial é um só. Como a força eletrostática é conservativa, todo o campo de uma distribuição de cargas pode ser dobrado numa única função escalar, o potencial, do qual ele se recupera por derivação — a mesma economia que transformou forças em energia potencial na mecânica. O potencial é o que um voltímetro lê, o que uma bateria mantém, o que acelera elétrons num tubo; as suas superfícies de nível mapeiam um campo num relance. Este capítulo o constrói, usa-o no dipolo (o primeiro modelo elétrico de uma molécula) e depois se volta para os dois objetos de que todo circuito é feito: os condutores, em que a carga se arranja de modo a matar o campo interno, e os capacitores, que armazenam carga e energia num campo.

Carregada a algumas centenas de quilovolts por um gerador de Van de Graaff, uma pessoa é um condutor equipotencial cujos cabelos, todos ao mesmo potencial e todos carregados do mesmo modo, se repelem uns aos outros.

27.1 O potencial eletrostático

Teorema 27.1 (O campo eletrostático é conservativo)

Existe uma função escalar $V(M)$ , o potencial eletrostático (volt, $\mathrm{V}$ ), tal que

\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V , \qquad V_A - V_B = \int_A^B \vect E\cdot\dd\vect l

ao longo de qualquer caminho de $A$ a $B$ (a circulação de $\vect E$ de $A$ a $B$ não depende do caminho e é nula ao longo de um circuito fechado). Para uma carga pontual $q$ em $O$ , $V(M) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,OM}$ com a convenção $V(\infty) = 0$ ; para várias cargas os potenciais se somam. A energia potencial de uma carga $q'$ em $M$ vale $E_p = q'V(M)$ , e o trabalho da força elétrica de $A$ a $B$ vale $q'(V_A - V_B)$ .

Demonstração. A força de Coulomb de uma carga fixa $q$ sobre $q'$ tem a forma da gravitação de Newton com $-Gm_1m_2$ substituído por $qq'/4\pi\varepsilon_0$ ; o mesmo cálculo que deu $E_p = -Gm_1m_2/r$ (Proposição 13.7) dá $E_p = qq'/4\pi\varepsilon_0r$ : dividindo por $q'$ obtém-se $V$ , e $\vect E = \vect F/q' = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}(E_p)/q'$ . A superposição leva o resultado a qualquer distribuição; a fórmula da circulação é a definição do gradiente integrada ao longo do caminho. ∎

Proposição 27.2 (Ler um potencial)

As superfícies equipotenciais $V = \text{const}$ são perpendiculares em toda parte às linhas de campo, e o campo aponta para os potenciais decrescentes.
$|\vect E|$ é a taxa de variação de $V$ ao longo da direção de maior declive: onde as equipotenciais estão próximas, o campo é forte.
$V$ é definido a menos de uma constante aditiva; só as diferenças (as tensões) são mensuráveis. A terra ou o infinito é posto em zero por convenção.
Em coordenadas esféricas com simetria em torno de $O$ , $E_r = -\dd V/ \dd r$ ; em coordenadas polares $(r, \theta)$ num plano, $E_r = -\partial V/\partial r$ e $E_\theta = -\dfrac1r\,\partial V/\partial\theta$ .

Demonstração. Sobre uma equipotencial, $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l = 0$ para todo deslocamento na superfície, de modo que $\vect E$ é normal a ela; deslocando-se ao longo de $\vect E$ , $\dd V = -E\,\dd l < 0$ . As componentes polares seguem de $\dd V = (\partial V/\partial r)\dd r + (\partial V/\partial\theta)\dd\theta$ e $\dd\vect l = \dd r\,\vect e_r + r\,\dd\theta\,\vect e_\theta$ . ∎

Equipotenciais (em laranja) e linhas de campo (em azul) de uma carga pontual e de um capacitor plano. As linhas cruzam as equipotenciais em ângulo reto e vão do potencial alto para o baixo; onde as equipotenciais se adensam, o campo é forte.

Método 27.3 (Calcular um potencial)

Ou some $\dd q/4\pi\varepsilon_0r$ sobre a distribuição (quando a soma é calculável e a distribuição é finita, de modo que $V(\infty) = 0$ faça sentido), ou integre $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l$ ao longo de um caminho conveniente a partir de um ponto onde $V$ é conhecido, usando o campo achado pela lei de Gauss. Para distribuições infinitas (fio, plano) só o segundo caminho funciona, e o zero de $V$ tem de ser escolhido num ponto finito.

Proposição 27.4 (Potenciais das distribuições clássicas)

Esfera de raio $R$ com $Q$ no seu volume: $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}$ fora; $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ dentro, de modo que $V(0) = \tfrac32\,Q/4\pi\varepsilon_0R$ . Com $Q$ na superfície, $V$ é uniforme dentro, igual a $Q/4\pi\varepsilon_0R$ .
Fio infinito $\lambda$ : $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r}{r_0}$ .
Capacitor plano, com campo $E$ da placa 1 para a placa 2, separadas de $d$ : $V$ decresce linearmente através do espaçamento e $V_1 - V_2 = Ed$ .

Demonstração. Integre $E_r = -\dd V/\dd r$ com os campos da Proposição 26.12, do infinito para dentro no caso da esfera (a continuidade em $R$ fixa a constante interna), a partir de $r_0$ no caso do fio, e através do espaçamento no caso do capacitor. ∎

Potencial (traço cheio) e campo (tracejado) de uma esfera carregada uniformemente. O potencial é contínuo e com derivada contínua; ele é parabólico dentro, onde o campo é linear, e vai como 1/r fora. O seu máximo fica no centro, onde o campo se anula — um máximo de V é um ponto de campo nulo, e não o contrário. — Potencial (traço cheio) e campo (tracejado) de uma esfera carregada uniformemente. O potencial é contínuo e com derivada contínua; ele é parabólico dentro, onde o campo é linear, e vai como $1/r$ fora. O seu máximo fica no centro, onde o campo se anula — um máximo de $V$ é um ponto de campo nulo, e não o contrário.

Exemplo 27.5 (O elétron-volt, de novo)

Um elétron que atravessa um espaçamento de $100\,\mathrm{V}$ ganha $eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , qualquer que seja a forma do campo entre os eletrodos: o potencial torna o caminho irrelevante (Definição 17.3). Uma carga de $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ a $1\,\mathrm{m}$ de outra tem $V = 9\,\mathrm{kV}$ e o par armazena $9\,\mathrm{mJ}$ ; o potencial no centro de um núcleo de ouro vale $24\,\mathrm{MV}$ (Exercício 27.6).

27.2 O dipolo elétrico

Definição 27.6 (Dipolo elétrico)

Duas cargas opostas, $-q$ em $N$ e $+q$ em $P$ , separadas de $a = NP$ , formam um dipolo elétrico de momento dipolar $\vect p = q\,\vect{NP}$ ( $\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ), apontando do $-$ para o $+$ . A aproximação dipolar é o estudo do seu campo a distâncias $r \gg a$ . Uma molécula cujos centros de carga positiva e negativa não coincidem (a água, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ) é um dipolo; um átomo neutro num campo se torna um (dipolo induzido).

Proposição 27.7 (Campo de um dipolo)

Em $M$ com $OM = r \gg a$ ( $O$ o meio de $NP$ ) e $\theta$ o ângulo entre $\vect p$ e $\vect{OM}$ ,

V(M) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad E_r = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}, \qquad E_\theta = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3} .

O campo de um dipolo cai como $1/r^3$ , mais depressa que o $1/r^2$ de uma carga: de longe as duas cargas quase se cancelam, e o que resta é a separação entre elas.

Demonstração. $V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{PM} - \dfrac1{NM}\Bigr)$ com $PM \approx r - \tfrac a2\cos\theta$ e $NM \approx r + \tfrac a2\cos\theta$ (projeção de $\pm\tfrac a2$ sobre $\vect{OM}$ ); em primeira ordem em $a/r$ , $1/PM - 1/NM \approx a\cos\theta/r^2$ . Depois, $E_r = -\partial V/\partial r$ e $E_\theta = -(1/r)\,\partial V/\partial\theta$ . ∎

À esquerda: a geometria da aproximação dipolar — M visto do centro O à distância r e sob o ângulo em relação a p, com as componentes radial e ortorradial do campo. À direita: linhas de campo (em azul, r 2) e equipotenciais (em laranja, r √| |) de um dipolo apontando para a direita; o plano que passa por O perpendicular a p é a equipotencial V = 0. — À esquerda: a geometria da aproximação dipolar — $M$ visto do centro $O$ à distância $r$ e sob o ângulo $\theta$ em relação a $\vect p$ , com as componentes radial e ortorradial do campo. À direita: linhas de campo (em azul, $r \propto \sin^2\theta$ ) e equipotenciais (em laranja, $r \propto \sqrt{|\cos\theta|}$ ) de um dipolo apontando para a direita; o plano que passa por $O$ perpendicular a $\vect p$ é a equipotencial $V = 0$ .

Proposição 27.8 (Dipolo num campo externo)

Um dipolo $\vect p$ num campo uniforme $\vect E$ não sente força resultante, mas sim um torque $\vect\Gamma = \vect p\wedge\vect E$ que tende a alinhá-lo com o campo, e tem a energia potencial $E_p = -\vect p\cdot\vect E$ , mínima quando alinhado. Num campo não uniforme ele é, além disso, puxado para as regiões de campo intenso (em uma dimensão, $F_x = p\,\dd E/\dd x$ para um dipolo alinhado).

Demonstração. As forças $\pm q\vect E$ se cancelam; o seu momento em relação a $O$ vale $\vect{OP}\wedge q\vect E + \vect{ON}\wedge(-q\vect E) = q\vect{NP}\wedge\vect E$ . Energia: $qV(P) - qV(N) = -q\,\vect{NP}\cdot\vect E$ para um campo uniforme (pois $V(P) - V(N) = -\vect E\cdot\vect{NP}$ ). Não uniforme, alinhado ao longo de $x$ : $F_x = qE(x + a) - qE(x) \approx qa\,\dd E/\dd x$ . ∎

Exemplo 27.9 (Por que o pente atrai o papel)

Um pente carregado cria um campo que decresce com a distância; um pedacinho de papel, neutro, é polarizado por ele (dipolo induzido ao longo de $\vect E$ ), e a força $p\,\dd E/\dd x$ sobre um dipolo alinhado o puxa para a região de campo intenso: o pente. O sinal da carga do pente não importa; o mesmo mecanismo segura o balão na parede e faz o filete de água entortar. Para as moléculas de água, $pE$ num campo de $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ vale $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ , $600$ vezes menos que $k_BT$ à temperatura ambiente: só um leve alinhamento líquido sobrevive à agitação térmica (Exercício 27.7).

27.3 Condutores em equilíbrio eletrostático

Teorema 27.10 (Propriedades de um condutor em equilíbrio)

Num condutor em que as cargas livres estão em repouso:

$\vect E = \vect 0$ dentro, e o condutor é um volume equipotencial: $V$ uniforme nele e na sua superfície.
Toda carga líquida fica na superfície, com uma densidade superficial $\sigma$ ; o interior é neutro.
Logo do lado de fora, o campo é normal à superfície e vale $\vect E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vect n$ (teorema de Coulomb).
Uma cavidade dentro de um condutor, vazia de carga, tem $\vect E = \vect 0$ e $V$ uniforme, aconteça o que acontecer fora (gaiola de Faraday).

Demonstração. (1) Um campo faria as cargas livres se moverem: o equilíbrio exige $\vect E = \vect 0$ , donde $\dd V = 0$ entre dois pontos internos quaisquer; a superfície é o limite. (2) Lei de Gauss sobre qualquer superfície fechada desenhada dentro do condutor: fluxo nulo, carga encerrada nula. (3) A superfície é uma equipotencial, de modo que $\vect E$ logo do lado de fora é normal a ela; uma caixinha cilíndrica que atravessa a superfície tem fluxo $E\,\dd S$ apenas pela face externa (dentro $\vect E = \vect 0$ ) e carga $\sigma\,\dd S$ . (4) A parede da cavidade é uma equipotencial; uma linha de campo dentro da cavidade teria de ir da parede à parede vencendo uma queda de potencial — impossível sobre uma equipotencial; logo, nenhuma linha e nenhum campo (admitido nesta forma). ∎

Exemplo 27.11 (Poder das pontas e para-raios)

Duas esferas de raios $R_1 > R_2$ , bem afastadas e ligadas por um fio, têm o mesmo $V = Q_i/4\pi\varepsilon_0R_i$ , logo $\sigma_i = Q_i/4\pi R_i^2 = \varepsilon_0V/R_i$ : quanto menor o raio de curvatura, maior a carga superficial e o campo $\sigma/\varepsilon_0 = V/R$ . Numa ponta afiada o campo supera o valor de ruptura do ar ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ) muito antes de superá-lo em qualquer outro lugar: o ar ioniza e a carga escoa em silêncio. Um para-raios funciona por esse poder das pontas — ele não atrai tanto a descarga quanto lhe oferece um caminho, e escoa a carga sob uma nuvem antes que ela se acumule.

À esquerda: um condutor oco num campo externo — as cargas induzidas na sua superfície cancelam o campo dentro dele e na cavidade (a gaiola de Faraday). À direita: o poder das pontas — num condutor equipotencial único, a carga superficial e o campo externo são máximos onde a curvatura é mais aguda.

27.4 Capacitores

Definição 27.12 (Capacitância)

Um condutor isolado ao potencial $V$ leva uma carga $Q$ proporcional a $V$ : $Q = CV$ , sendo $C$ a sua capacitância (farad, $\mathrm{F}$ ); para uma esfera $C = 4\pi\varepsilon_0R$ . Um capacitor é um par de condutores (as placas) que levam cargas opostas $\pm Q$ e ficam frente a frente, de modo que o campo fica confinado entre eles; a sua capacitância vale $C = Q/U$ , sendo $U = V_1 - V_2$ a tensão entre as placas. O símbolo e a lei de circuito $i = C\,\dd u/\dd t$ foram usados no Capítulo 7.

Proposição 27.13 (Três capacitores)

Plano: placas de área $S$ separadas de $d \ll \sqrt S$ : $C = \dfrac{\varepsilon_0S}{d}$ .
Esférico: esferas concêntricas de raios $R_1 < R_2$ : $C = \dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2 - R_1}$ .
Cilíndrico (coaxial), raios $a < b$ , comprimento $L \gg b$ : $C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)}$ .

Preencher o espaçamento com um isolante de permissividade relativa $\varepsilon_r$ multiplica $C$ por $\varepsilon_r$ (as moléculas do dielétrico se polarizam e enfraquecem o campo; $\varepsilon_r = 2$ a $10$ para os plásticos e o vidro comuns, e $80$ para a água).

Demonstração. Em cada caso o campo entre as placas é o da Proposição 26.12: $E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/\varepsilon_0S$ , $U = Ed$ ; $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ , $U = \int_{R_1}^{R_2}E\,\dd r = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$ ; $E = Q/2\pi\varepsilon_0Lr$ , $U = \dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0L}\ln\dfrac ba$ . Divida $Q$ por $U$ . O fator do dielétrico fica admitido. ∎

Teorema 27.14 (Energia de um capacitor)

Um capacitor carregado com $Q$ sob $U$ armazena

W = \tfrac12 CU^2 = \tfrac12 QU = \frac{Q^2}{2C} ,

o trabalho necessário para levar a carga de uma placa à outra contra a tensão que cresce. Num capacitor plano $W = \tfrac12\varepsilon_0E^2 \times Sd$ : a energia está no campo, com densidade $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ por unidade de volume — afirmação que vale para todo campo eletrostático.

Demonstração. Levar $\dd q$ da placa negativa à positiva quando a carga vale $q$ custa $\dd W = (q/C)\,\dd q$ ; integre de $0$ a $Q$ . Depois substitua $C = \varepsilon_0S/d$ e $U = Ed$ ; a densidade geral fica admitida. ∎

Exemplo 27.15 (Três capacitores e as suas energias)

Um metro quadrado de par de folhas metálicas a $1\,\mathrm{mm}$ : $C = 8.85 \times 10^{-12}/ 10^{-3} = 8.9\,\mathrm{nF}$ — o farad é uma unidade enorme. Os $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ de um desfibrilador a $2\,\mathrm{kV}$ : $300\,\mathrm{J}$ , entregues em milissegundos. Um supercapacitor de $3000\,\mathrm{F}$ a $2.7\,\mathrm{V}$ : $11\,\mathrm{kJ}$ numa lata do tamanho de uma garrafa de refrigerante — a sua capacitância vem de um espaçamento molecular $d$ e de um $S$ poroso enorme. A densidade de energia de um campo na ruptura do ar, $\tfrac12\varepsilon_0(3 \times 10^6)^2 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , é a razão de os capacitores armazenarem tão pouco em comparação com as baterias.

Capacitores plano, esférico e com dielétrico. O campo (em laranja) fica confinado entre as placas, a não ser pelo efeito de borda nas extremidades, desprezado quando d é pequeno; a energia 1/2 _0E2 por unidade de volume mora nesse campo. — Capacitores plano, esférico e com dielétrico. O campo (em laranja) fica confinado entre as placas, a não ser pelo efeito de borda nas extremidades, desprezado quando $d$ é pequeno; a energia $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ por unidade de volume mora nesse campo.

Observação 27.16 (Associação de capacitores)

Em paralelo (mesmo $U$ ) as cargas se somam: $C = C_1 + C_2$ ; em série (mesma $Q$ ) as tensões se somam: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ — o contrário dos resistores, porque $C$ mede uma facilidade (carga por volt) onde $R$ mede uma dificuldade. Essas regras seguem de $Q = CU$ e das leis de circuito do Capítulo 6.

27.5 Exercícios

Exercício 27.1 ★

Potencial a $1.0\,\mathrm{m}$ de uma carga de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; energia necessária para trazer uma segunda carga de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ do infinito até esse ponto; velocidade com que ela sairia se fosse solta, sendo a sua massa $1\,\mathrm{g}$ .

Solução

Solução de Exercício 27.1.

$V = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}$ ; $W = qV = 9.0\,\mathrm{mJ}$ ; se solta, $\tfrac12mv^2 = 9\,\mathrm{mJ}$ : $v = \sqrt{18} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 27.2 ★

Placas a $1.0\,\mathrm{mm}$ uma da outra sob $100\,\mathrm{V}$ : campo; energia cinética e velocidade ganhas por um elétron que atravessa o espaçamento a partir do repouso; tempo de voo.

Solução

Solução de Exercício 27.2.

$E = 100/10^{-3} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $E_k = eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , logo $v = \sqrt{2E_k/m_e} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; com aceleração uniforme, $t = 2d/v = 3.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ .

Exercício 27.3 ★

Num mapa de equipotenciais desenhadas a cada $10\,\mathrm{V}$ , as linhas estão a $2\,\mathrm{mm}$ umas das outras perto de $A$ e a $8\,\mathrm{mm}$ perto de $B$ . Campo em $A$ e em $B$ ; para que lado o campo aponta em relação aos potenciais crescentes; para que lado um elétron acelera?

Solução

Solução de Exercício 27.3.

$E_A = 10/0.002 = 5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $E_B = 10/0.008 = 1.25\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ . O campo aponta para os potenciais decrescentes; um elétron ( $q < 0$ ) acelera para o outro lado, rumo aos $V$ crescentes.

Exercício 27.4 ★

Uma esfera de Van de Graaff de raio $15\,\mathrm{cm}$ é carregada a $200\,\mathrm{kV}$ . Capacitância, carga e campo na sua superfície. Potencial máximo antes que o ar em volta rompa ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ).

Solução

Solução de Exercício 27.4.

$C = 4\pi\varepsilon_0R = 1.11 \times 10^{-10} \times 0.15 = 17\,\mathrm{pF}$ ; $Q = CV = 3.3\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = V/R = 2 \times 10^5/0.15 = 1.3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ . Ruptura em $V = E_{\max}R = 3 \times 10^6 \times 0.15 = 450\,\mathrm{kV}$ — as máquinas grandes usam esferas grandes.

Exercício 27.5 ★★

Potencial no eixo de um anel de raio $R$ e carga $Q$ ; recupere o campo axial por derivação. O mesmo para o disco carregado uniformemente (use o Exercício 26.5): $V(z) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$ .

Solução

Solução de Exercício 27.5.

Todo elemento do anel está à distância $\sqrt{R^2 + z^2}$ : $V = Q/4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}$ ; $E_z = -\dd V/\dd z = Qz/4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}$ . Disco: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ a $\sqrt{a^2 + z^2}$ : $V = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R\dfrac{a\,\dd a}{\sqrt{a^2 + z^2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$ , e $-\dd V/\dd z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ .

Exercício 27.6 ★★

Deduza o potencial dentro de uma esfera carregada uniformemente a partir do seu campo. Potencial no centro de um núcleo de ouro ( $Z = 79$ , $R = 7.0\,\mathrm{fm}$ ); energia de que um próton precisaria para chegar ao centro vindo de longe, em $\mathrm{MeV}$ ; comente as partículas alfa de $5\,\mathrm{MeV}$ de Rutherford.

Solução

Solução de Exercício 27.6.

$V(r) = V(R) + \displaystyle\int_r^R\dfrac{Qr'\,\dd r'}{4\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} + \dfrac{Q(R^2 - r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ . Ouro: $V(0) = 1.5 \times 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/7 \times 10^{-15} = 24\,\mathrm{MV}$ : um próton precisa de $24\,\mathrm{MeV}$ , e uma alfa ( $2e$ ), de $48\,\mathrm{MeV}$ para chegar ao centro e de $32\,\mathrm{MeV}$ para tocar a superfície. As alfas de $5\,\mathrm{MeV}$ de Rutherford voltam em $r$ tal que $2eV = 5\,\mathrm{MeV}$ : $V = 2.5\,\mathrm{MV}$ , $r = 45\,\mathrm{fm}$ — bem fora do núcleo, e é por isso que a sua análise de carga pontual funcionou.

Exercício 27.7 ★★

Molécula de água, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ . Campo que ela cria a $1.0\,\mathrm{nm}$ ao longo do seu eixo e perpendicularmente a ele; torque e diferença de energia entre as posições alinhada e antialinhada em $E = 1.0\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ; compare com $k_BT$ a $300\,\mathrm{K}$ . Campo de um íon de sódio a $0.3\,\mathrm{nm}$ e energia do dipolo de água alinhado nele (hidratação).

Solução

Solução de Exercício 27.7.

Eixo: $2p/4\pi\varepsilon_0r^3 = 2 \times 8.99 \times 10^9 \times 6.2 \times 10^{-30}/10^{-27} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; na perpendicular, a metade: $5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . Torque $pE = 6.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; diferença de energia $2pE = 1.2 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ contra $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ : $330$ vezes menor — só um alinhamento líquido de $0.1\%$ . Íon de sódio a $0.3\,\mathrm{nm}$ : $E = e/4\pi\varepsilon_0r^2 = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $-pE = -1.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = -0.6\,\mathrm{eV}$ , $24\,k_BT$ : as moléculas de água se travam no íon — é a hidratação.

Exercício 27.8 ★★

Uma esfera condutora de raio $1.0\,\mathrm{cm}$ no ar: carga e potencial máximos antes da ruptura. Duas esferas condutoras, $R_1 = 10\,\mathrm{cm}$ e $R_2 = 1.0\,\mathrm{mm}$ , ligadas por um fio fino e levadas a $20\,\mathrm{kV}$ : campo na superfície de cada uma; qual delas descarrega no ar?

Solução

Solução de Exercício 27.8.

$Q = 4\pi\varepsilon_0R^2E = 10^{-4} \times 3 \times 10^6/8.99 \times 10^9 = 33\,\mathrm{nC}$ , $V = ER = 30\,\mathrm{kV}$ . Esferas ligadas: $E_1 = V/R_1 = 0.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ , $E_2 = V/R_2 = 20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m} > 3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : a esfera pequena ioniza o ar e escoa a carga — é o poder das pontas.

Exercício 27.9 ★★

Capacitâncias: duas folhas de $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ uma da outra com um filme polimérico $\varepsilon_r = 2.2$ (um capacitor de filme); as mesmas folhas enroladas — enrolar muda $C$ ? Energia a $400\,\mathrm{V}$ . Um capacitor de $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $2.0\,\mathrm{kV}$ (desfibrilador): carga, energia e potência média se ele for descarregado em $5\,\mathrm{ms}$ .

Solução

Solução de Exercício 27.9.

$C = \varepsilon_r\varepsilon_0S/d = 2.2 \times 8.85 \times 10^{-12}/10^{-5} = 2.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; enrolar muda a forma, não a área que fica frente a frente: mesmo $C$ (com um segundo filme, de modo que cada folha fique frente à outra dos dois lados, ele dobra). $W = \tfrac12 \times 2 \times 10^{-6} \times 400^2 = 0.16\,\mathrm{J}$ . Desfibrilador: $Q = 150 \times 10^{-6} \times 2000 = 0.30\,\mathrm{C}$ , $W = \tfrac12CU^2 = 300\,\mathrm{J}$ , $P = 300/0.005 = 60\,\mathrm{kW}$ .

Exercício 27.10 ★★★

Capacitores esférico e cilíndrico. (a) Deduza $C$ para esferas concêntricas e verifique que, para $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ , ele se reduz à fórmula do plano, e que, para $R_2 \to \infty$ , dá a esfera isolada. (b) Cabo coaxial, $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ , polietileno $\varepsilon_r = 2.3$ : capacitância por metro (compare com os $100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ dos cabos usuais). (c) Campo no condutor interno sob $1\,\mathrm{kV}$ ; é seguro?

Solução

Solução de Exercício 27.10.

(a) $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ , $U = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$ , $C = 4\pi\varepsilon_0R_1R_2/(R_2 - R_1)$ ; com $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ , $R_1R_2 \approx R^2$ e $C \approx 4\pi R^2\varepsilon_0/d = \varepsilon_0S/d$ ; com $R_2 \to \infty$ , $C \to 4\pi\varepsilon_0R_1$ . (b) $C/L = 2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0/\ln(b/a) = 2\pi \times 2.3 \times 8.85 \times 10^{-12}/\ln5 = 79\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , a ordem certa. (c) $E(a) = U/[a\ln(b/a)] = 1000/(5 \times 10^{-4} \times 1.61) = 1.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : abaixo dos $20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ do polietileno, seguro; no ar seria marginal.

Exercício 27.11 ★★★

A energia no campo. (a) Energia de uma esfera condutora carregada ( $Q$ , $R$ ) a partir de $Q^2/2C$ . (b) Iguale-a à energia de repouso do elétron, $m_ec^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ , e resolva para $R$ : é o “raio clássico do elétron” (a menos de um fator). (c) Um capacitor plano isolado carregado com $Q$ tem as suas placas afastadas de $d$ a $2d$ : variação da energia armazenada e força entre as placas deduzida dela; confira com o Exercício 26.8. (d) O mesmo com o capacitor mantido a $U$ fixo por uma bateria: variação da energia, e para onde vai a diferença.

Solução

Solução de Exercício 27.11.

(a) $W = Q^2/2C = Q^2/8\pi\varepsilon_0R$ . (b) $R = e^2/8\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 8.19 \times 10^{-14}) = 1.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ (o “raio clássico” usual $e^2/4\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.8\,\mathrm{fm}$ omite o $\tfrac12$ ). (c) $W = Q^2/2C = Q^2d/2\varepsilon_0S$ dobra: $\Delta W = Q^2d/2\varepsilon_0S = F\,d$ com $F = Q^2/2\varepsilon_0S = \sigma^2S/2\varepsilon_0$ , como se achou diretamente. (d) A $U$ fixo, $W = \varepsilon_0SU^2/2d$ cai pela metade: $\Delta W = -W/2$ ; quem puxa ainda realiza $W/2$ (integrando $F = \varepsilon_0SU^2/2x^2$ de $d$ a $2d$ ); as duas metades, $W$ ao todo, voltam para a bateria, à medida que a carga $CU/2$ retorna a ela sob tensão $U$ .

Exercício 27.12 ★★★

Energia coulombiana de um núcleo. (a) Construa uma esfera carregada uniformemente ( $Q$ , $R$ ) casca por casca e mostre que a sua energia eletrostática vale $W = \dfrac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}$ . (b) Urânio-238: $Z = 92$ , $R = 7.4\,\mathrm{fm}$ : $W$ em $\mathrm{MeV}$ . (c) Divida-o em dois fragmentos iguais ( $Z/2$ , $A/2$ , raio $R/2^{1/3}$ ) bem afastados: energia coulombiana liberada. (d) A energia medida da fissão vale cerca de $200\,\mathrm{MeV}$ : o que se opõe ao ganho coulombiano?

Solução

Solução de Exercício 27.12.

(a) A esfera de raio $r$ leva $q = Qr^3/R^3$ ao potencial de superfície $q/4\pi\varepsilon_0r$ ; acrescentar a casca $\dd q = 3Qr^2\,\dd r/R^3$ custa $\dd W = q\,\dd q/4\pi\varepsilon_0r = 3Q^2r^4\,\dd r/4\pi\varepsilon_0R^6$ ; integrando: $W = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0R$ . (b) $Q = 92e = 1.47 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$ : $W = 3 \times 2.17 \times 10^{-34}/(20\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.4 \times 10^{-15}) = 1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J} = 990\,\mathrm{MeV}$ . (c) Cada fragmento: carga $Q/2$ , raio $R/2^{1/3}$ , energia $\tfrac14 2^{1/3}W$ ; os dois juntos: $2^{1/3}W/2 = 0.63W$ : liberados $0.37 \times 990 = 370\,\mathrm{MeV}$ . (d) A “tensão superficial” nuclear: dois fragmentos têm mais superfície do que um núcleo, o que custa cerca de $170\,\mathrm{MeV}$ ; o saldo, perto de $200\,\mathrm{MeV}$ , aparece sobretudo como energia cinética dos dois fragmentos que se afastam sob a repulsão mútua.

O aparelho da gota de óleo de Millikan, por volta de 1916 (Museum of Science and Industry, Chicago): a câmara de latão contém as duas placas horizontais entre as quais as gotas eram observadas.

27.6 Problema: a gota de óleo de Millikan

Problema 27.1

Problema de fim de semana — pesar a carga do elétron com uma gota de óleo: Stokes, o capacitor plano e uma tabela de números que se recusam a ser outra coisa senão múltiplos de um só

Gotas de óleo são pulverizadas entre duas placas horizontais separadas de $d = 16\,\mathrm{mm}$ , com $20\,\mathrm{cm}$ de diâmetro, e observadas ao microscópio. Dados: densidade do óleo $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , densidade do ar $1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , viscosidade do ar $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ . Uma pequena esfera de raio $r$ que se move com velocidade $v$ no ar sente o arrasto de Stokes $6\pi\eta rv$ .

Parte I — A gota que cai.

Forças sobre uma gota que cai sem tensão aplicada; mostre que ela atinge uma velocidade limite $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ (despreze o empuxo do ar — justifique).
Uma gota cai $1.0\,\mathrm{mm}$ em $10\,\mathrm{s}$ : o seu raio e a sua massa.
Constante de tempo da aproximação de $v_1$ ; distância percorrida nesse intervalo. Alguma vez se vê a gota acelerando?
Número de Reynolds $\rho_{\text{ar}}v_1r/\eta$ do movimento: a lei de Stokes é legítima?
Por que as gotas têm de ser tão pequenas? (Compare o peso com a força elétrica sobre uma carga elementar num campo de $3 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .)
Vê-se a gota tremular ligeiramente em torno da sua queda média: o que é isso, e por que limita a precisão?

Parte II — O campo. Aplica-se uma tensão $U$ , com a placa de cima positiva.

Campo entre as placas para $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ ; por que ele é uniforme, e quais são as equipotenciais?
Capacitância das placas, carga nelas a $5.0\,\mathrm{kV}$ e energia armazenada.
A gota da questão 2 fica parada com $U_0 = 1080\,\mathrm{V}$ : sinal e valor da sua carga, em coulombs e em unidades de $e$ .
Com $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ a mesma gota sobe com $v_2$ : mostre que $q = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ e calcule $v_2$ .
Por que cronometrar uma subida e uma queda é melhor do que caçar a tensão de equilíbrio?
Energia potencial da carga da gota entre as placas a $5\,\mathrm{kV}$ , e energia dissipada pelo arrasto numa subida de $1\,\mathrm{cm}$ .

Parte III — A tabela de cargas. Exposta a uma fonte fraca de raios X entre as medidas, a mesma gota muda de carga; medidas sucessivas dão (em $10^{-19}$ C): $4.80$ , $8.01$ , $6.42$ , $3.19$ , $9.63$ .

Mostre que os cinco valores estão perto de múltiplos inteiros de uma mesma quantidade, e dê os inteiros.
Melhor estimativa da carga elementar a partir dos cinco valores; incerteza padrão da média (Capítulo 1).
Por que a carga muda por números inteiros de $e$ entre as medidas?
Mostre que, neste método, $q \propto \eta^{3/2}$ : de quanto um erro de $1\%$ na viscosidade desloca $e$ ? (O valor original de Millikan era $0.6\%$ baixo, exatamente por isso.)
Os quarks têm carga $\pm e/3$ e $\pm 2e/3$ : por que nenhuma gota de óleo jamais mostrou um terço de $e$ ?
A constante de Faraday, a carga de um mol de elétrons, vale $F = 96\,485\,\mathrm{C}/\mathrm{mol}$ : deduza o número de Avogadro.
Thomson havia medido $e/m_e = 1.76 \times 10^{11}\,\mathrm{C}/\mathrm{kg}$ para o elétron: deduza a sua massa e compare com um átomo de hidrogênio ( $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

Parte IV — O aparelho, pelo potencial.

Esboce as equipotenciais e as linhas de campo entre as placas, incluindo o efeito de borda perto das extremidades; justifique desprezá-lo.
Uma gota carregada positivamente à altura $z$ acima da placa de baixo (a $0\,\mathrm{V}$ ): energia potencial em função de $z$ ; energia potencial total incluindo a gravidade; condição sobre $U$ para o ponto de equilíbrio.
Compare a energia da carga da gota (questão 12) com a energia armazenada no capacitor: a gota perturba o campo?
A tensão é invertida (placa de baixo positiva) com $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ : o que faz a gota da questão 9, e com que velocidade?
Um grão de poeira de $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ que leva $10^4e$ no mesmo campo: razão entre a força elétrica e o peso; por que tais grãos não podem ser levitados e por que Millikan escolheu uma névoa de óleo.
Resuma: o que foi medido (três vezes), o que foi deduzido, com que incerteza, e que duas constantes daí resultaram.

Solução

Solução de Problema 27.1.

1. Peso $\tfrac43\pi r^3\rho g$ para baixo, arrasto $6\pi\eta rv$ para cima, empuxo $\tfrac43\pi r^3\rho_{\text{ar}}g$ para cima — $1.2/900 = 0.13\%$ do peso, desprezível. Regime limite: $\tfrac43\pi r^3\rho g = 6\pi\eta rv_1$ , $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ .

2. $v_1 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $r = \sqrt{9\eta v_1/2\rho g} = \sqrt{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 10^{-4}/(2 \times 900 \times 9.8)} = 9.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ , um micrômetro; $m = \tfrac43\pi r^3\rho = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ .

3. $\tau = m/6\pi\eta r = 3.3 \times 10^{-15}/3.3 \times 10^{-10} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$ ; distância $\sim v_1\tau = 1\,\mathrm{nm}$ . Nunca.

4. $\mathrm{Re} = 1.2 \times 10^{-4} \times 9.6 \times 10^{-7}/1.8 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-6} \ll 1$ : Stokes vale.

5. $eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^5 = 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ contra $mg = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ : comparáveis só para gotas de um mícron. Uma gota de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ pesa mil vezes mais; uma carga elementar mudaria a sua velocidade em $0.1\%$ , invisível.

6. O movimento browniano: o bombardeio pelas moléculas do ar sacode a gota ao acaso; os tempos se dispersam, limitando a precisão e fixando um limite inferior para o tamanho útil das gotas.

7. $E = U/d = 5000/0.016 = 3.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; as placas são muito mais largas que $d$ , de modo que a superposição dos dois planos dá um campo uniforme; as equipotenciais são planos horizontais, $V = Uz/d$ .

8. $C = \varepsilon_0\pi(0.1)^2/0.016 = 17\,\mathrm{pF}$ ; $Q = CU = 87\,\mathrm{nC}$ ; $W = \tfrac12CU^2 = 0.22\,\mathrm{mJ}$ .

9. Placa de cima positiva: $\vect E$ aponta para baixo; a força tem de apontar para cima, logo $q < 0$ . $|q| = mgd/U_0 = 3.3 \times 10^{-15} \times 9.8 \times 0.016/ 1080 = 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3e$ : $q = -3e$ .

10. Subindo com velocidade constante: $|q|E = mg + 6\pi\eta rv_2$ e $mg = 6\pi\eta rv_1$ , logo $|q|E = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)$ e $|q| = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ . $v_2 = (|q|E - mg)/6\pi\eta r = (1.5 \times 10^{-13} - 3.2 \times 10^{-14})/ 3.3 \times 10^{-10} = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $1\,\mathrm{mm}$ em $2.8\,\mathrm{s}$ .

11. O equilíbrio é um julgamento de nulo sobre um pontinho que deriva e tremula e cuja carga pode mudar nesse meio-tempo; medidas de tempo sobre uma distância fixa podem ser repetidas à vontade, $r$ fica fixado de uma vez por $v_1$ , e uma só gota fornece então toda uma série de cargas.

12. $|q|U = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5000 = 2.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ ( $15\,\mathrm{keV}$ ) através do espaçamento; arrasto ao longo de $1\,\mathrm{cm}$ : $(|q|E - mg) \times 0.01 = 1.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ , transformados em calor no ar.

13. Dividindo por $1.60$ : $3.00$ , $5.01$ , $4.01$ , $1.99$ , $6.02$ — inteiros $3, 5, 4, 2, 6$ .

14. $q/n$ : $1.600, 1.602, 1.605, 1.595, 1.605$ ; média $1.601$ , desvio padrão $0.004$ , incerteza da média $0.004/\sqrt5 = 0.002$ : $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C.

15. Os raios X ionizam o ar; a gota captura íons um a um, cada um levando um número inteiro de $e$ .

16. $r \propto \eta^{1/2}$ por $v_1$ , $m \propto r^3 \propto \eta^{3/2}$ , e $|q| = mgd/U_0 \propto \eta^{3/2}$ : $1\%$ em $\eta$ dá $1.5\%$ em $e$ . O $\eta$ de Millikan era $0.4\%$ baixo, e daí o seu $e$ $0.6\%$ baixo.

17. Os quarks nunca vêm sozinhos: eles ficam confinados dentro dos hádrons, e todo objeto livre leva uma carga inteira.

18. $N_A = F/e = 96485/1.602 \times 10^{-19} = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ .

19. $m_e = 1.602 \times 10^{-19}/1.76 \times 10^{11} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ : $1840$ vezes mais leve que o átomo de hidrogênio.

20. Planos horizontais entre as placas, abaulados junto às bordas; linhas de campo verticais que se abrem em leque nas extremidades, numa largura da ordem de $d = 1.6\,\mathrm{cm}$ — pequena diante dos $20\,\mathrm{cm}$ de diâmetro, e a gota é observada no centro.

21. $E_p = qUz/d + mgz$ , linear em $z$ : sem mínimo; uma gota parada exige que a inclinação se anule, $q = -mgd/U$ , e o equilíbrio é então indiferente — qualquer deriva residual persiste, e é por isso que o equilíbrio é difícil de julgar.

22. $2.4 \times 10^{-15}$ contra $2.2 \times 10^{-4}$ J: $10^{-11}$ . A gota não perturba o campo.

23. Campo para cima, força sobre a gota negativa para baixo: ela cai a $(mg + |q|E)/6\pi\eta r = (3.2 \times 10^{-14} + 1.5 \times 10^{-13})/3.3 \times 10^{-10} = 5.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

24. $F = 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 3.1 \times 10^5 = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{N}$ contra $9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ : $5\%$ do peso — não dá para levantá-lo, e com $10^4$ cargas a mudança de um $e$ é invisível. A névoa de óleo dá gotas pequenas, que não evaporam e são esféricas.

25. Medidos: $v_1$ , $v_2$ e $U$ (com $d$ , $\eta$ , $\rho$ conhecidos); deduzidos $r$ , $m$ e depois $q$ , sempre um múltiplo inteiro de $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C ( $0.1\%$ ); daí $N_A = F/e$ e $m_e = e/(e/m_e)$ .

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