Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

20Teoria cinética e o gás perfeito

O ar de uma sala de aula pesa tanto quanto um homem adulto e contém mais moléculas do que há grãos de areia na Terra, cada uma voando com a velocidade de uma bala de fuzil e colidindo dez bilhões de vezes por segundo com as vizinhas. Ninguém consegue acompanhar uma delas; ninguém precisa. Um punhado de médias — pressão, temperatura, volume, quantidade de matéria — descreve o ar completamente para todos os fins da engenharia, e uma imagem simples de moléculas ricocheteando nas paredes explica de onde vêm essas médias e como elas se relacionam. Este capítulo abre a parte de termodinâmica do volume olhando a matéria pelas duas pontas: o caos microscópico e a calma macroscópica, e a teoria cinética que os liga no caso do gás perfeito.

20.1 Duas escalas de descrição

Definição 20.1 (Escalas microscópica e macroscópica)

Na escala microscópica a matéria é feita de moléculas: $1\,\mathrm{mol}$ contém $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ delas, cada uma com cerca de $0.3\,\mathrm{nm}$ de diâmetro; num gás em condições comuns elas ficam a $3\,\mathrm{nm}$ umas das outras, movem-se a centenas de metros por segundo e colidem a cada $70\,\mathrm{nm}$ , mais ou menos. Na escala macroscópica um sistema é descrito por algumas poucas variáveis de estado — pressão $P$ , volume $V$ , temperatura $T$ , quantidade de matéria $n$ — que são médias sobre números enormes de moléculas. Uma variável é extensiva se dobra quando o sistema é dobrado ( $V$ , $n$ , massa, energia), e intensiva se não dobra ( $P$ , $T$ , densidade).

Definição 20.2 (Equilíbrio termodinâmico)

Um sistema está em equilíbrio termodinâmico quando as suas variáveis de estado são uniformes e constantes no tempo e nenhum escoamento macroscópico de matéria ou de energia o atravessa. Só então $P$ e $T$ estão definidos para o sistema como um todo; a equação de estado os liga a $V$ e $n$ .

Definição 20.3 (Pressão)

Um fluido em repouso empurra cada elemento de superfície $\dd S$ de uma parede com uma força $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ normal a ela e dirigida para a parede; $P$ é a pressão, em pascals ( $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ ); $1\,\mathrm{bar} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . Num ponto dado ela não depende da orientação da superfície (Capítulo 21).

Definição 20.4 (Temperatura)

Dois sistemas em contato através de uma parede que deixa passar energia atingem, com o tempo, um estado comum: estão então à mesma temperatura, e dois corpos em equilíbrio com um terceiro estão em equilíbrio um com o outro (a lei zero). A escala kelvin é fixada por $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ exatamente; Celsius: $\theta = T - 273.15$ . A teoria cinética abaixo dá a $T$ o seu sentido microscópico.

20.2 O modelo cinético do gás perfeito

Definição 20.5 (Gás perfeito, modelo microscópico)

Um gás perfeito (gás ideal) é um conjunto de $N$ moléculas, tratadas como pontos de massa $m$ , que se movem livremente e ao acaso — sem interação alguma a não ser colisões breves — num recipiente de volume $V$ . No equilíbrio a distribuição das velocidades é isotrópica e estacionária; $n^* = N/V$ é a densidade numérica e $\langle v^2\rangle$ o valor médio do quadrado da velocidade.

Teorema 20.6 (Pressão cinética)

A pressão exercida pelo gás sobre as paredes vale

P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,

onde $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ é a energia cinética média de uma molécula.

Demonstração parcial. Tome o modelo simplificado em que todas as moléculas têm velocidade $u$ e se movem ao longo dos três eixos, um sexto delas em cada sentido. Uma molécula que bate de frente na parede $x = 0$ ricocheteia elasticamente e lhe entrega a quantidade de movimento $2mu$ . Num tempo $\dd t$ , as moléculas que se dirigem à parede e alcançam uma área $S$ são as que estão na fatia de espessura $u\,\dd t$ , um sexto das $n^*Su\,\dd t$ moléculas ali presentes. Força $=$ quantidade de movimento por unidade de tempo $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$ , logo $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Tomar a média sobre a distribuição real das velocidades e das direções substitui $u^2$ por $\langle v^2\rangle$ (a isotropia dá $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ ); o volume do segundo ano faz o cálculo por inteiro. ∎

À esquerda: a origem cinética da pressão — as moléculas que batem numa parede e ricocheteiam lhe entregam quantidade de movimento; o seu número por segundo vezes 2mu é a força. À direita: as velocidades reais são espalhadas (distribuição de Maxwell, aqui para o nitrogênio a duas temperaturas); o único u do modelo é substituído pela velocidade quadrática média. — À esquerda: a origem cinética da pressão — as moléculas que batem numa parede e ricocheteiam lhe entregam quantidade de movimento; o seu número por segundo vezes $2mu$ é a força. À direita: as velocidades reais são espalhadas (distribuição de Maxwell, aqui para o nitrogênio a duas temperaturas); o único $u$ do modelo é substituído pela velocidade quadrática média.

Definição 20.7 (Temperatura cinética; equação de estado)

A temperatura de um gás perfeito é definida pela energia cinética média das suas moléculas,

\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,

de modo que, combinando com o Teorema 20.6,

PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,

a equação de estado do gás perfeito. A velocidade quadrática média vale $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$ , sendo $M$ a massa molar.

Exemplo 20.8 (Números para o ar)

Nitrogênio a $300\,\mathrm{K}$ : $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} = 517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hidrogênio, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; quanto mais pesado, mais lento, como $1/\sqrt M$ . A $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$ , $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $24\,\mathrm{L}$ por mol, $2.7 \times 10^{22}\,$ moléculas num litro. Uma sala de aula de $200\,\mathrm{m}^{3}$ : $8300\,\mathrm{mol}$ , $240\,\mathrm{kg}$ de ar.

Observação 20.9 (Por que o modelo funciona, e quando falha)

Entre duas colisões uma molécula de ar voa um livre caminho médio $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ — duzentas vezes o seu tamanho: o gás é sobretudo vazio, as interações são raras e $PV = nRT$ vale com erro menor que um por cento nas pressões comuns. A alta pressão ou a baixa temperatura, o volume próprio das moléculas e a sua atração passam a contar: a equação de van der Waals $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ corrige as duas coisas, e abaixo de uma temperatura crítica o gás se liquefaz (Capítulo 25).

O diagrama de Clapeyron de um gás perfeito: a cada temperatura a isoterma é uma hipérbole P = nRT/V, tanto mais alta quanto maior T. Uma transformação é um caminho nesse plano; um ciclo, um laço fechado (). — O diagrama de Clapeyron de um gás perfeito: a cada temperatura a isoterma é uma hipérbole $P = nRT/V$ , tanto mais alta quanto maior $T$ . Uma transformação é um caminho nesse plano; um ciclo, um laço fechado (Capítulo 24).

20.3 Energia interna do gás perfeito

Definição 20.10 (Energia interna)

A energia interna $U$ de um sistema é a soma das energias cinéticas das suas moléculas no referencial em que o sistema está em repouso e das suas energias potenciais mútuas; é uma função de estado extensiva.

Proposição 20.11 (Energia interna dos gases perfeitos)

Para um gás perfeito $U$ depende só de $T$ (primeira lei de Joule):

\begin{gather*} U = \tfrac32 nRT \quad (\text{monoatômico: He, Ne, Ar}), \\ U = \tfrac52 nRT \quad (\text{diatômico a temperaturas comuns: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2), \end{gather*}

de modo que a capacidade térmica molar a volume constante $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ vale $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ e $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ , respectivamente.

Demonstração parcial. Nenhuma energia potencial mútua, por hipótese, logo $U = N\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac32 Nk_BT$ para moléculas pontuais. Uma molécula diatômica também gira: cada um dos seus dois graus de liberdade de rotação carrega, no equilíbrio, o mesmo $\tfrac12 k_BT$ que cada grau de translação (o teorema da equipartição, admitido; o volume do terceiro ano o demonstra e explica por que a vibração só entra acima de mil kelvins). ∎

Exemplo 20.12 (O que cabe numa sala)

Os $8300\,\mathrm{mol}$ de ar da sala de aula a $300\,\mathrm{K}$ : $U = \tfrac52 \times 8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — a energia de um litro e meio de gasolina, guardada no movimento molecular. Aquecer a sala de $1$ K custa $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ (a volume constante).

20.4 Fases condensadas

Proposição 20.13 (Modelo da fase incompressível e indilatável)

Líquidos e sólidos são modelados, neste nível, como fases de volume fixo — nem compressíveis nem dilatáveis — cuja energia interna depende só de $T$ : $\dd U = C\,\dd T$ com $C = mc$ , sendo $c$ o calor específico ( $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ para a água, $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ para o aço). Os desvios reais, pequenos, são medidos pelo coeficiente de dilatação térmica $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ ( $\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ para os metais, $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ para os líquidos) e pela compressibilidade isotérmica $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ ( $\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ para a água, contra $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ para um gás).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 20.14 (Quão incompressível)

A água no fundo da fossa das Marianas ( $1100\,\mathrm{bar}$ ) é comprimida de $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$ ; um trilho de aço de $30\,\mathrm{m}$ aquecido de $50$ K se alonga de $\alpha L\Delta T = 18\,\mathrm{mm}$ — daí as juntas de dilatação. Contra um gás, cujo volume cai pela metade quando a pressão dobra, o modelo de volume fixo é bom a alguns por cento na maioria das situações deste volume.

20.5 Exercícios

Exercício 20.1 ★

Número de moléculas em $1.0\,\mathrm{L}$ de gás a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $1\,\mathrm{atm}$ ; distância média entre vizinhas; compare com o tamanho molecular de $0.3\,\mathrm{nm}$ .

Solução

Solução de Exercício 20.1.

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) = 2.7 \times 10^{22}$ ; $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$ , dez vezes o tamanho molecular.

Exercício 20.2 ★

Velocidades quadráticas médias de H $_2$ , N $_2$ , O $_2$ e CO $_2$ a $300\,\mathrm{K}$ , e do N $_2$ a $77\,\mathrm{K}$ (nitrogênio em ebulição).

Solução

Solução de Exercício 20.2.

$u = \sqrt{3RT/M}$ : H $_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , N $_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , O $_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , CO $_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; N $_2$ a $77\,\mathrm{K}$ : $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 20.3 ★

Um pneu de carro de volume $30\,\mathrm{L}$ é calibrado a uma pressão manométrica de $2.5\,\mathrm{bar}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Quantidade e massa do ar dentro dele; pressão absoluta depois de uma viagem que o aquece a $50{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Solução

Solução de Exercício 20.3.

$P = 3.5\,\mathrm{bar}$ absolutos: $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314 \times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$ , $125\,\mathrm{g}$ . A $323\,\mathrm{K}$ , $P \propto T$ : $3.86\,\mathrm{bar}$ (manométrica $2.85\,\mathrm{bar}$ ).

Exercício 20.4 ★

Estime o livre caminho médio das moléculas do ar a $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$ ( $d = 0.37\,\mathrm{nm}$ ), e a frequência de colisões de uma molécula. A que pressão o livre caminho médio chega a $1\,\mathrm{m}$ (um “vácuo”)?

Solução

Solução de Exercício 20.4.

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times 10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$ ; frequência $u/\lambda \approx 500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$ . $\lambda \propto 1/P$ : $1\,\mathrm{m}$ a $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ .

Exercício 20.5 ★★

Densidade do ar a $1.013\,\mathrm{bar}$ e $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) e depois a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Sustentação de um balão de ar quente de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ (diferença entre os dois pesos de ar).

Solução

Solução de Exercício 20.5.

$\rho = PM/RT$ : $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $293\,\mathrm{K}$ , $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $373\,\mathrm{K}$ . Sustentação $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$ : cerca de $720\,\mathrm{kg}$ .

Exercício 20.6 ★★

O ar tem $21\%$ de O $_2$ em número de moléculas. Pressão parcial do oxigênio ao nível do mar; a $5000\,\mathrm{m}$ , onde $P = 0.54\,\mathrm{atm}$ ; no cume do Everest ( $0.33\,\mathrm{atm}$ ). Por que o corpo sofre lá em cima?

Solução

Solução de Exercício 20.6.

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$ : $0.21\,\mathrm{atm}$ ; $0.11\,\mathrm{atm}$ a $5000\,\mathrm{m}$ ; $0.07\,\mathrm{atm}$ no Everest — um terço do valor ao nível do mar. O oxigênio entra no sangue proporcionalmente à sua pressão parcial; a um terço, os pulmões não conseguem saturar a hemoglobina.

Exercício 20.7 ★★

Um mol de CO $_2$ a $300\,\mathrm{K}$ em $1.0\,\mathrm{L}$ : pressão pela lei dos gases perfeitos e depois por van der Waals ( $a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$ , $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$ ). Que correção domina aqui?

Solução

Solução de Exercício 20.7.

Gás perfeito: $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$ . Van der Waals: $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 = 22.4\,\mathrm{bar}$ : a atração ( $-3.6$ bar) pesa mais do que o volume excluído ( $+1.2$ bar); o CO $_2$ real fica $10\%$ abaixo do valor ideal.

Exercício 20.8 ★★

Energia interna do ar de uma sala de $50\,\mathrm{m}^{3}$ a $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$ ; energia para aquecê-lo de $5\,\mathrm{K}$ a volume constante; tempo com um aquecedor de $2\,\mathrm{kW}$ (sem perdas).

Solução

Solução de Exercício 20.8.

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$ ; $U = \tfrac52 nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$ ; $104\,\mathrm{s}$ a $2\,\mathrm{kW}$ .

Exercício 20.9 ★★

Um trilho de aço de $30\,\mathrm{m}$ ( $\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) entre $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ : variação de comprimento. Um anel de latão ( $\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) de diâmetro interno $49.95\,\mathrm{mm}$ deve passar por um eixo de $50.00\,\mathrm{mm}$ : de quanto ele precisa ser aquecido?

Solução

Solução de Exercício 20.9.

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$ . Anel: $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$ : $\Delta T = 10^{-3}/ 1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (o furo se dilata como o metal em volta).

Exercício 20.10 ★★★

Energia por molécula a $300\,\mathrm{K}$ ( $\tfrac32 k_BT$ ) em joules e em eV; capacidades térmicas molares $C_{V,m}$ do argônio e do nitrogênio; por que a do nitrogênio é maior, embora as suas moléculas sejam mais leves?

Solução

Solução de Exercício 20.10.

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$ . Argônio $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; nitrogênio $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ : a molécula diatômica também armazena energia em rotação (dois graus de liberdade a mais), qualquer que seja a sua massa.

Exercício 20.11 ★★★

Refaça a dedução da pressão cinética no modelo das seis direções e mostre em seguida que, para uma distribuição isotrópica de velocidades, $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ , e que a fórmula da pressão não muda.

Solução

Solução de Exercício 20.11.

Modelo das seis direções: como no texto, $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Isotropia: $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ e a soma das três é $\langle v^2\rangle$ , logo cada uma vale $\tfrac13\langle v^2\rangle$ . O argumento de fluxo com uma distribuição dá $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ (moléculas com $v_x > 0$ que batem na parede, quantidade de movimento $2mv_x$ cada uma, fluxo $n^*v_x/2$ por classe de velocidade, tomada a média), isto é, $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ — o mesmo.

Exercício 20.12 ★★★

Velocidades quadráticas médias do H $_2$ e do O $_2$ a $300\,\mathrm{K}$ comparadas com a velocidade de escape da Terra e com a da Lua ( $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). Sabendo que a fração de moléculas mais rápidas do que $3u$ é pequena, mas não nula, explique por que a Terra perdeu o seu hidrogênio, e a Lua, toda a sua atmosfera.

Solução

Solução de Exercício 20.12.

H $_2$ : $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , O $_2$ : $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; Terra $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , Lua $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Para o O $_2$ na Terra, $v_e/u = 23$ : a cauda da distribuição além disso é totalmente desprezível; para o H $_2$ , $v_e/u \approx 6$ : uma fração ínfima mas constante escapa a cada ano e, ao longo de bilhões de anos, o hidrogênio se foi. Na Lua, $v_e/u$ vale $5$ para o O $_2$ e $1.2$ para o H $_2$ : tudo vazou.

20.6 Problema: o ar da sala

Problema 20.1

Problema de fim de semana — uma sala de aula cheia de ar: contar as suas moléculas, pesá-la, cronometrar os seus voos e tirar do mesmo modelo a sustentação de um balão, a rarefação do ar da montanha e a velocidade do som

Uma sala de aula mede $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$ ; o seu ar está a $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $T = 293\,\mathrm{K}$ , massa molar $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $79\%$ de N $_2$ e $21\%$ de O $_2$ em número de moléculas. $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Parte I — Contar e pesar.

Quantidade de ar (em mols) e número de moléculas na sala.
Massa do ar; compare com uma pessoa.
Densidade numérica $n^*$ e distância média entre moléculas ( $n^{*-1/3}$ ); compare com o diâmetro molecular de $0.37\,\mathrm{nm}$ .
Velocidade quadrática média do N $_2$ e do O $_2$ ; por que o gás mais pesado se move mais devagar à mesma temperatura?
Energia cinética média de uma molécula; energia cinética de translação total do ar da sala; compare com a energia cinética de um carro a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Livre caminho médio $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ e tempo médio entre duas colisões de uma molécula.

Parte II — A pressão a partir dos impactos.

Usando o modelo das seis direções com $u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , calcule o número de impactos por segundo em $1\,\mathrm{cm}^{2}$ de parede.
Calcule a quantidade de movimento cedida por segundo e verifique que ela reproduz a pressão atmosférica.
Força total do ar sobre uma parede de $8\,\mathrm{m}$ por $2.5\,\mathrm{m}$ ; por que a parede não se move?
A sala é aquecida a $303\,\mathrm{K}$ com as janelas fechadas e vedadas: nova pressão, e força resultante sobre a parede agora.
O mesmo aquecimento com uma janela aberta: o que sai, e quanto?

Parte III — O empuxo.

Densidade do ar da sala e do ar a $373\,\mathrm{K}$ à mesma pressão.
Um balão de ar quente de volume $2800\,\mathrm{m}^{3}$ é enchido com ar a $373\,\mathrm{K}$ : peso do ar quente, peso do ar frio deslocado e a sustentação disponível (Arquimedes, Capítulo 21).
O envelope, o cesto, o queimador e o gás pesam $300\,\mathrm{kg}$ : quantos passageiros de $75\,\mathrm{kg}$ ele consegue levantar?
A que temperatura o ar deveria ser aquecido para dobrar a sustentação, e por que isso não se faz (o envelope é de náilon)?
Um balão de hélio do mesmo volume a $293\,\mathrm{K}$ ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ): sustentação? Por que, ainda assim, os balões turísticos usam ar quente?

Parte IV — Ar rarefeito e a velocidade do som.

Pressão parcial do oxigênio na sala.
No cume do Everest, $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ e $T \approx 250\,\mathrm{K}$ : densidade numérica de moléculas de oxigênio comparada com a da sala.
A pressão da atmosfera cai com a altitude aproximadamente como $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ com $H = RT/Mg$ (Capítulo 21): calcule $H$ para $260\,\mathrm{K}$ e a altitude em que $P = P_0/2$ .
A velocidade do som num gás perfeito vale $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ com $\gamma = 1.4$ para o ar (Capítulo 22): calcule-a a $293\,\mathrm{K}$ e compare com a velocidade quadrática média; interprete a proximidade.
Como $c_s$ varia com $T$ ? Velocidade do som na sala a $303\,\mathrm{K}$ e no hélio a $293\,\mathrm{K}$ ( $\gamma = 5/3$ ): por que uma voz com hélio soa aguda?
No alto do Everest, o som é mais rápido ou mais lento do que na sala? De quanto?
O ar da sala é substituído por argônio à mesma $P$ e à mesma $T$ : o que muda na contagem, na massa, nas velocidades e na energia interna?
Energia interna do ar da sala ( $U = \tfrac52 nRT$ ) e energia para aquecê-lo de $10\,\mathrm{K}$ a volume constante.
Resuma em três linhas o que o modelo cinético entregou: que grandezas macroscópicas ele explicou, e a partir de que única média microscópica.

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$ : $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314 \times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$ ; $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$ .

2. $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$ : três pessoas.

3. $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; distância $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$ , nove diâmetros moleculares.

4. N $_2$ : $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; O $_2$ : $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . O mesmo $\tfrac32 k_BT$ por molécula: $\tfrac12 mu^2$ fixo, logo $u \propto 1/\sqrt m$ .

5. $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ ; total $N \times 6.1\times10^{-21} = 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — o movimento molecular da sala vale oitenta carros.

6. $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25}) = 66\,\mathrm{nm}$ ; tempo $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ .

7. Impactos por segundo em $S$ : $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times 10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

8. Cada um cede $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ): força $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23} = 10\,\mathrm{N}$ em $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . O modelo reproduz a pressão atmosférica.

9. $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — duzentas toneladas; a mesma pressão age do outro lado.

10. $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; resultante $\Delta P\,S = 3.5 \times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ para fora: sete toneladas sobre a parede.

11. O ar sai até a pressão se igualar: $n \propto 1/T$ com $P$ e $V$ fixos: $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$ , $8\,\mathrm{kg}$ que saem.

12. $\rho = PM/RT$ : $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $293\,\mathrm{K}$ ; $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $373\,\mathrm{K}$ .

13. Ar quente $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$ ; ar frio deslocado $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$ ; sustentação $7.1\,\mathrm{kN}$ ( $725\,\mathrm{kg}$ ).

14. $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$ : cinco passageiros.

15. Sustentação $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$ : dobrar $1 - 293/373 = 0.215$ exige $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ ( $240{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), bem acima do que o náilon tolera (cerca de $120{}^{\circ}\mathrm{C}$ ).

16. Hélio $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : sustentação $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ ( $2.9\,\mathrm{t}$ ), quatro vezes mais — mas o hélio é caro e se perde a cada pouso, enquanto o ar quente é de graça e a sua sustentação se ajusta com o queimador.

17. $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ .

18. $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$ : sala $2.1\times10^4/ (1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; Everest $0.21 \times 0.33 \times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $38\%$ do valor da sala.

19. $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$ ; $P_0/2$ a $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$ .

20. $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , contra $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para a mistura: $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ . O som é uma perturbação transportada pelas próprias moléculas, de modo que viaja a uma velocidade da ordem da delas — um pouco menor, já que só conta a componente ao longo da propagação.

21. $c_s \propto \sqrt T$ : $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Hélio: $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : as ressonâncias do trato vocal escalam com $c_s$ , de modo que cada formante fica três vezes mais alto.

22. Mais frio: $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $8\%$ mais lento; a pressão não entra.

23. O mesmo $N$ (mesmos $P$ , $V$ , $T$ ); massa $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$ ; velocidades $\times\sqrt{29/40}$ : $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $U = \tfrac32 nRT$ em vez de $\tfrac52$ : $60\%$ .

24. $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ .

25. Uma única média, $\langle v^2\rangle$ , fixa a pressão ( $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ ), define a temperatura ( $\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$ ), dá a equação de estado e a energia interna e fixa a escala da velocidade do som.

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