Physics · Livro 3 · Bachelor Year 1

Física universitária — 1.º ano

Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

22A primeira lei da termodinâmica

Encha o pneu de uma bicicleta e o corpo da bomba fica quente demais para segurar. Um motor diesel não tem vela de ignição: ele comprime o seu ar vinte vezes, e o ar fica quente o bastante para acender o combustível sozinho. Um cilindro de gás comprimido cobre-se de gelo enquanto se esvazia. Em cada caso a energia muda de forma — trabalho vira calor, calor vira trabalho, os dois viram energia interna — e a primeira lei da termodinâmica é a contabilidade que fecha as contas. Este capítulo define trabalho e calor para um sistema termodinâmico, enuncia a primeira lei, introduz a energia interna e a entalpia como as grandezas que ela conserva e a aplica às transformações de um gás perfeito e à calorimetria.

Uma bomba de bicicleta: o trabalho da mão sobre o ar preso eleva a sua energia interna, e o corpo da bomba esquenta — a primeira lei na palma da mão.
Uma bomba de bicicleta: o trabalho da mão sobre o ar preso eleva a sua energia interna, e o corpo da bomba esquenta — a primeira lei na palma da mão.

22.1 Transformações, trabalho e calor

Definição 22.1 (Sistema, transformação)

Um sistema termodinâmico é a matéria contida numa fronteira escolhida; todo o resto é o exterior. Uma transformação o leva de um estado de equilíbrio a outro. Ela é quase-estática se o sistema passa por uma sucessão de estados de equilíbrio (lenta o bastante para que PP e TT estejam definidos em todo o sistema), e reversível se, além disso, inverter as condições externas inverte o caminho (sem atrito, sem diferença finita de temperatura ou de pressão com o exterior). Os nomes vêm do que fica constante: isotérmica (TT), isobárica (PP), isocórica (VV); adiabática se não há troca de calor; monobárica (monotérmica) se a pressão (a temperatura) externa é constante, aconteça o que acontecer lá dentro.

Proposição 22.2 (Trabalho das forças de pressão)

Um sistema cujo volume varia de  ⁣dV\dd V contra uma pressão externa PextP_{\mathrm{ext}} recebe o trabalho

δW=−Pext  ⁣dV,W=−∫V1V2Pext  ⁣dV.\delta W = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,\dd V .

Para uma transformação quase-estática Pext=PP_{\mathrm{ext}} = P (a pressão do próprio sistema) e W=−∫P  ⁣dVW = -\int P\,\dd V é menos a área sob o caminho no diagrama de Clapeyron: positivo na compressão, negativo na expansão.

Demonstração. Um pistão de área SS empurrado pelo exterior com a força PextSP_{\mathrm{ext}}S se desloca de  ⁣dx\dd x para fora: o exterior realiza sobre o sistema o trabalho −PextS  ⁣dx=−Pext  ⁣dV-P_{\mathrm{ext}}S\,\dd x = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V. Toda fronteira é um conjunto de pistões como esse. Quase-estática: o pistão está em equilíbrio, Pext=PP_{\mathrm{ext}} = P a menos de uma diferença que tende a zero. ∎

Definição 22.3 (Calor)

Calor QQ é a energia transferida ao sistema de outro modo que não por trabalho macroscópico — por colisões moleculares numa parede (condução), pela circulação de um fluido (convecção), por radiação. Um termostato é um corpo tão grande que a sua temperatura não muda, qualquer que seja o calor que ele troque. Convenção de sinais em todo o livro: WW e QQ são recebidos pelo sistema, positivos quando entram.

22.2 A primeira lei

Teorema 22.4 (Primeira lei da termodinâmica)

Um sistema fechado possui uma função de estado, a sua energia interna UU (extensiva), tal que, para qualquer transformação,

ΔU+ΔEk=W+Q,\Delta U + \Delta E_{k} = W + Q ,

sendo EkE_k a energia cinética macroscópica (nula para um sistema em repouso): a energia recebida como trabalho e como calor fica armazenada como energia interna. WW e QQ dependem cada um do caminho; a sua soma, não.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 22.5 (O que ela diz)

É a conservação da energia, com o calor reconhecido como uma transferência de energia (a experiência da roda de pás de Joule: um trabalho medido eleva sempre a temperatura da água tanto quanto um calor medido). “UU é uma função de estado” quer dizer que ΔU\Delta U está fixado pelos estados inicial e final — de modo que um ciclo tem ΔU=0\Delta U = 0 e W+Q=0W + Q = 0: uma máquina que fornece trabalho tem de receber calor. O conteúdo microscópico de UU é o da Definição 20.10.

Definição 22.6 (Entalpia; capacidades térmicas)

A entalpia H=U+PVH = U + PV é uma função de estado adaptada às transformações a pressão constante. As capacidades térmicas a volume e a pressão constantes são

CV=(∂U∂T)V,CP=(∂H∂T)P,C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P ,

em J/K\mathrm{J}/\mathrm{K}; por mol, CV,mC_{V,m} e CP,mC_{P,m}; por quilograma, os calores específicos cVc_V e cPc_P.

Proposição 22.7 (Calor a volume constante e a pressão constante)

Para um sistema em repouso que troca trabalho apenas por forças de pressão:

  • transformação isocórica: W=0W = 0 e QV=ΔUQ_V = \Delta U;
  • transformação monobárica entre dois estados à pressão externa P0P_0: QP=ΔHQ_P = \Delta H.

Demonstração. Isocórica:  ⁣dV=0\dd V = 0. Monobárica: W=−P0(V2−V1)W = -P_0(V_2 - V_1), logo Q=ΔU+P0ΔV=Δ(U+PV)Q = \Delta U + P_0\Delta V = \Delta(U + PV), pois P1=P2=P0P_1 = P_2 = P_0. ∎

Proposição 22.8 (Gás perfeito: UU, HH, relação de Mayer)

Para um gás perfeito, UU e HH dependem só de TT (leis de Joule):  ⁣dU=CV  ⁣dT\dd U = C_V\,\dd T,  ⁣dH=CP  ⁣dT\dd H = C_P\,\dd T, e

CP,m−CV,m=R,γ=CPCV,CV,m=Rγ−1,CP,m=γRγ−1;C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}, \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}, \quad C_{P,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} ;

γ=5/3\gamma = 5/3 para os gases monoatômicos e 7/57/5 para os diatômicos a temperaturas comuns. Para uma fase condensada no modelo da Proposição 20.13, CP≈CV=CC_P \approx C_V = C e  ⁣dU≈ ⁣dH=C  ⁣dT\dd U \approx \dd H = C\,\dd T.

Demonstração. H=U+nRTH = U + nRT; derive em relação a TT. CV,m=32RC_{V,m} = \tfrac32 R ou 52R\tfrac52 R pela Proposição 20.11. ∎

22.3 Transformações de um gás perfeito

Proposição 22.9 (As quatro transformações usuais)

Para nn mols de gás perfeito:

  • isocórica: W=0W = 0, Q=ΔU=nCV,mΔTQ = \Delta U = nC_{V,m}\Delta T;
  • isobárica (quase-estática): W=−PΔV=−nRΔTW = -P\Delta V = -nR\Delta T, Q=ΔH=nCP,mΔTQ = \Delta H = nC_{P,m}\Delta T;
  • isotérmica reversível: ΔU=0\Delta U = 0, W=−Q=−nRTln⁡(V2/V1)=nRTln⁡(P2/P1)W = -Q = -nRT\ln(V_2/V_1) = nRT\ln(P_2/P_1);

  • adiabática reversível: Q=0Q = 0, W=ΔU=nCV,m(T2−T1)W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1), e ao longo do caminho (lei de Laplace)

    PVγ=const,TVγ−1=const,TγP1−γ=const.PV^\gamma = \text{const}, \qquad TV^{\gamma - 1} = \text{const}, \qquad T^\gamma P^{1 - \gamma} = \text{const} .

Demonstração. Isocórica e isobárica: as proposições anteriores. Isotérmica: W=−∫nRT  ⁣dV/VW = -\int nRT\,\dd V/V. Adiabática:  ⁣dU=δW\dd U = \delta W, isto é, nCV,m ⁣dT=−P  ⁣dV=−nRT  ⁣dV/VnC_{V,m}\dd T = -P\,\dd V = -nRT\,\dd V/V, logo  ⁣dT/T=−(γ−1) ⁣dV/V\dd T/T = -(\gamma - 1)\dd V/V (usando R/CV,m=γ−1R/C_{V,m} = \gamma - 1); integre: TVγ−1TV^{\gamma - 1} constante; as outras formas saem de PV=nRTPV = nRT. ∎

À esquerda: no diagrama de Clapeyron o trabalho recebido numa compressão quase-estática é a área sob o caminho; a partir do mesmo ponto, uma adiabática é mais inclinada do que uma isoterma (> 1): um gás comprimido sem perda de calor esquenta e sobe para uma isoterma mais alta. À direita: o trabalho do exterior sobre um pistão. À esquerda: no diagrama de Clapeyron o trabalho recebido numa compressão quase-estática é a área sob o caminho; a partir do mesmo ponto, uma adiabática é mais inclinada do que uma isoterma (> 1): um gás comprimido sem perda de calor esquenta e sobe para uma isoterma mais alta. À direita: o trabalho do exterior sobre um pistão.
À esquerda: no diagrama de Clapeyron o trabalho recebido numa compressão quase-estática é a área sob o caminho; a partir do mesmo ponto, uma adiabática é mais inclinada do que uma isoterma (γ>1\gamma > 1): um gás comprimido sem perda de calor esquenta e sobe para uma isoterma mais alta. À direita: o trabalho do exterior sobre um pistão.

Exemplo 22.10 (A bomba e o diesel)

Ar (γ=1.4\gamma = 1.4) comprimido adiabaticamente de 1 bar1\,\mathrm{bar} e 300 K300\,\mathrm{K} a 7 bar7\,\mathrm{bar} (uma bomba de bicicleta): T2=300×70.286=523 KT_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K} — 250∘C250{}^{\circ}\mathrm{C} por um instante, o que o corpo da bomba sente. Uma taxa de compressão de 2020 num diesel: T2=300×200.4=994 KT_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}, P2=201.4=66 barP_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar} — acima da temperatura de autoignição do combustível: o motor não precisa de faísca (o problema de fim de semana percorre o ciclo inteiro).

Observação 22.11 (Transformações irreversíveis)

Quando a transformação não é quase-estática, a lei de Laplace e W=−∫P  ⁣dVW = -\int P\,\dd V não se aplicam; só valem W=−∫Pext  ⁣dVW = -\int P_{\mathrm{ext}}\,\dd V e a primeira lei. Dois casos clássicos: um gás que se expande no vácuo (expansão de Joule) não recebe trabalho e, em paredes adiabáticas, nenhum calor — ΔU=0\Delta U = 0, e um gás perfeito mantém a sua temperatura; um gás subitamente comprimido por uma pressão externa que salta para P2P_2 recebe W=−P2ΔVW = -P_2\Delta V, mais do que o trabalho reversível até a mesma pressão, e termina mais quente (Exercício 22.11).

22.4 Calorimetria

Método 22.12 (Balanço calorimétrico)

Corpos postos em contato térmico dentro de um vaso isolado a pressão constante (a atmosférica) trocam calor apenas entre si: o total ΔH=∑QP=0\Delta H = \sum Q_P = 0. Para cada corpo, ΔH=mc ΔT\Delta H = mc\,\Delta T (sem mudança de fase) ou ±mL\pm mL para uma mudança de estado na sua temperatura de transição, sendo LL o calor latente (entalpia de fusão ou de vaporização por unidade de massa: água, Lf=334 kJ/kgL_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg} a 0∘C0{}^{\circ}\mathrm{C}, Lv=2260 kJ/kgL_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg} a 100∘C100{}^{\circ}\mathrm{C}). Escreva o balanço, resolva para a temperatura final e verifique que a fase suposta para cada corpo é compatível com ela.

Exemplo 22.13 (Gelo na água)

50 g50\,\mathrm{g} de gelo a 0∘C0{}^{\circ}\mathrm{C} em 200 g200\,\mathrm{g} de água a 30∘C30{}^{\circ}\mathrm{C}: a fusão exige 16.7 kJ16.7\,\mathrm{kJ}; a água pode dar 25.1 kJ25.1\,\mathrm{kJ} ao esfriar até 0∘C0{}^{\circ}\mathrm{C}, de modo que todo o gelo derrete e o balanço 0.250×4180×(Tf−0)=25.1−16.70.250 \times 4180 \times (T_f - 0) = 25.1 - 16.7 kJ dá Tf=8∘CT_f = 8{}^{\circ}\mathrm{C}. Se houvesse 100 g100\,\mathrm{g} de gelo, seriam precisos 33.4 kJ33.4\,\mathrm{kJ}: só uma parte derrete e Tf=0∘CT_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C} — a verificação importa.

Aquecendo um quilograma de água desde gelo a -20 C até vapor: a temperatura faz uma pausa em cada mudança de estado, enquanto o calor latente é fornecido — 334\, kJ para derreter, 2260\, kJ para ferver, muito mais do que os 418\, kJ que levam o líquido de 0\, a 100 C.
Aquecendo um quilograma de água desde gelo a −20∘C-20{}^{\circ}\mathrm{C} até vapor: a temperatura faz uma pausa em cada mudança de estado, enquanto o calor latente é fornecido — 334 kJ334\,\mathrm{kJ} para derreter, 2260 kJ2260\,\mathrm{kJ} para ferver, muito mais do que os 418 kJ418\,\mathrm{kJ} que levam o líquido de 0 0\, a 100∘C100{}^{\circ}\mathrm{C}.

22.5 Exercícios

Exercício 22.1 ★

Um mol de ar (CP,m=29.1 J/(mol K)C_{P,m} = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})) é aquecido de 300 K300\,\mathrm{K} a 400 K400\,\mathrm{K} a pressão constante. Calor recebido, trabalho recebido, variação da energia interna.

Solução

Solução de Exercício 22.1.

Q=CP,mΔT=29.1×100=2.91 kJQ = C_{P,m}\Delta T = 29.1 \times 100 = 2.91\,\mathrm{kJ}; W=−nRΔT=−0.83 kJW = -nR\Delta T = -0.83\,\mathrm{kJ}; ΔU=Q+W=2.08 kJ=CV,mΔT\Delta U = Q + W = 2.08\,\mathrm{kJ} = C_{V,m}\Delta T.

Exercício 22.2 ★

Um mol de gás a 300 K300\,\mathrm{K} é comprimido isotérmica e reversivelmente de 2.0 L2.0\,\mathrm{L} a 0.50 L0.50\,\mathrm{L}. Trabalho recebido, calor trocado, ΔU\Delta U.

Solução

Solução de Exercício 22.2.

W=−nRTln⁡(V2/V1)=−2494ln⁡(0.25)=+3.46 kJW = -nRT\ln(V_2/V_1) = -2494\ln(0.25) = +3.46\,\mathrm{kJ}; ΔU=0\Delta U = 0, logo Q=−3.46 kJQ = -3.46\,\mathrm{kJ} (cedido ao banho térmico).

Exercício 22.3 ★

Ar a 300 K300\,\mathrm{K} e 1 bar1\,\mathrm{bar} é comprimido adiabática e reversivelmente até um décimo do seu volume. Temperatura e pressão finais.

Solução

Solução de Exercício 22.3.

T2=T1×10γ−1=300×100.4=754 KT_2 = T_1 \times 10^{\gamma - 1} = 300 \times 10^{0.4} = 754\,\mathrm{K}; P2=101.4=25 barP_2 = 10^{1.4} = 25\,\mathrm{bar}.

Exercício 22.4 ★

Dê CV,mC_{V,m}, CP,mC_{P,m} e γ\gamma para o argônio e para o nitrogênio. Para a água líquida (c=4180 J/(kg K)c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})), por que se abandona a distinção entre cPc_P e cVc_V?

Solução

Solução de Exercício 22.4.

Argônio: CV,m=32R=12.5C_{V,m} = \tfrac32 R = 12.5, CP,m=52R=20.8C_{P,m} = \tfrac52 R = 20.8 J/(mol K), γ=1.67\gamma = 1.67; nitrogênio: 20.820.8, 29.129.1, γ=1.40\gamma = 1.40. Para a água, a dilatação com o aquecimento é ínfima, de modo que o trabalho P  ⁣dVP\,\dd V a pressão constante é desprezível diante do calor: cP−cV≈0c_P - c_V \approx 0.

Exercício 22.5 ★★

200 g200\,\mathrm{g} de água a 80∘C80{}^{\circ}\mathrm{C} são misturados com 300 g300\,\mathrm{g} a 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C} num copo isolado. Temperatura final; o que muda se o próprio copo tiver capacidade térmica de 80 J/K80\,\mathrm{J}/\mathrm{K} e começar a 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}?

Solução

Solução de Exercício 22.5.

Tf=(200×80+300×20)/500=44∘CT_f = (200 \times 80 + 300 \times 20)/500 = 44{}^{\circ}\mathrm{C}. Com o copo: (200×4.18×80+(300×4.18+80)×20)/(500×4.18+80)=43∘C(200 \times 4.18 \times 80 + (300 \times 4.18 + 80) \times 20)/(500 \times 4.18 + 80) = 43{}^{\circ}\mathrm{C}.

Exercício 22.6 ★★

50 g50\,\mathrm{g} de gelo a −10∘C-10{}^{\circ}\mathrm{C} (cgelo=2100 J/(kg K)c_{\text{gelo}} = 2100\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})) são jogados em 200 g200\,\mathrm{g} de água a 30∘C30{}^{\circ}\mathrm{C}. Estado e temperatura finais. Mesma pergunta com 150 g150\,\mathrm{g} de gelo.

Solução

Solução de Exercício 22.6.

Gelo: aquecer até 00: 0.050×2100×10=1.05 kJ0.050 \times 2100 \times 10 = 1.05\,\mathrm{kJ}; derreter: 16.7 kJ16.7\,\mathrm{kJ}; total 17.8 kJ17.8\,\mathrm{kJ}. A água pode dar 25.1 kJ25.1\,\mathrm{kJ} até 00: tudo derrete; então 0.250×4180 Tf=25.1−17.80.250 \times 4180\,T_f = 25.1 - 17.8 kJ: Tf=7∘CT_f = 7{}^{\circ}\mathrm{C}. Com 150 g150\,\mathrm{g}: seriam precisos 53.3 kJ53.3\,\mathrm{kJ} >> 25.1 kJ25.1\,\mathrm{kJ}: só (25.1−3.15)/334=66 g(25.1 - 3.15)/334 = 66\,\mathrm{g} de gelo derretem, Tf=0∘CT_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C} e restam 84 g84\,\mathrm{g} de gelo.

Exercício 22.7 ★★

Um gás percorre um ciclo retangular no diagrama de Clapeyron: (V1,P1)→(V2,P1)→(V2,P2)→(V1,P2)→(V1,P1)(V_1, P_1) \to (V_2, P_1) \to (V_2, P_2) \to (V_1, P_2) \to (V_1, P_1) com V2>V1V_2 > V_1 e P2>P1P_2 > P_1. Trabalho recebido ao longo do ciclo, em função da área; sinal, e significado do sinal.

Solução

Solução de Exercício 22.7.

W=−P1(V2−V1)+0−P2(V1−V2)+0=(P2−P1)(V2−V1)>0W = -P_1(V_2 - V_1) + 0 - P_2(V_1 - V_2) + 0 = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) > 0: o ciclo é percorrido no sentido anti-horário (expansão a baixa pressão, compressão a alta), de modo que o gás recebe trabalho líquido, igual à área encerrada; no sentido horário ele o forneceria — uma máquina térmica.

Exercício 22.8 ★★

Uma bomba de bicicleta comprime ar de 1 bar1\,\mathrm{bar} e 300 K300\,\mathrm{K} a 7 bar7\,\mathrm{bar} depressa o bastante para ser adiabática. Temperatura atingida; por que a bomba esquenta; e por que a pressão do pneu cai um pouco depois que se para de bombear.

Solução

Solução de Exercício 22.8.

T2=300×70.286=523 KT_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}. O ar quente e comprimido aquece o corpo da bomba por condução a cada curso. No pneu o ar esfria até a temperatura ambiente a volume fixo: P∝TP \propto T, e a pressão cai na razão das temperaturas — complete o enchimento.

Exercício 22.9 ★★

Um gás perfeito se expande num vaso isolado e previamente evacuado (expansão de Joule). Trabalho, calor, ΔU\Delta U, ΔT\Delta T. A transformação é reversível? O que faria um gás real?

Solução

Solução de Exercício 22.9.

W=0W = 0 (não há pressão externa contra a qual empurrar), Q=0Q = 0: ΔU=0\Delta U = 0, donde ΔT=0\Delta T = 0 para um gás perfeito. Irreversível: o gás nunca volta sozinho. Um gás real, cujas moléculas se atraem, esfria um pouco (parte da energia cinética vira energia potencial quando elas se afastam).

Exercício 22.10 ★★★

Fervura de 1.0 kg1.0\,\mathrm{kg} de água a 100∘C100{}^{\circ}\mathrm{C} e 1 atm1\,\mathrm{atm} (volume do vapor 1.67 m31.67\,\mathrm{m}^{3}). Calor fornecido, trabalho trocado com a atmosfera, ΔU\Delta U. Para onde vai a maior parte do calor latente?

Solução

Solução de Exercício 22.10.

Q=Lv=2.26 MJQ = L_v = 2.26\,\mathrm{MJ}; W=−P(Vg−Vl)=−1.013×105×1.67=−0.17 MJW = -P(V_g - V_l) = -1.013\times10^5 \times 1.67 = -0.17\,\mathrm{MJ}; ΔU=2.09 MJ\Delta U = 2.09\,\mathrm{MJ}: 93%93\% do calor vai para separar as moléculas (energia interna) e 7%7\% para empurrar a atmosfera.

Exercício 22.11 ★★★

Um mol de gás diatômico a 300 K300\,\mathrm{K} e 1 bar1\,\mathrm{bar}, num cilindro isolado, é comprimido pondo-se subitamente a pressão externa em 5 bar5\,\mathrm{bar} e esperando o equilíbrio. Temperatura e volume finais (primeira lei com W=−PextΔVW = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V); compare com a compressão adiabática reversível até 5 bar5\,\mathrm{bar}.

Solução

Solução de Exercício 22.11.

W=−P2(V2−V1)W = -P_2(V_2 - V_1), ΔU=nCV,m(T2−T1)\Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1), V2=nRT2/P2V_2 = nRT_2/P_2, V1=nRT1/P1V_1 = nRT_1/P_1: 52(T2−300)=−T2+300×5\tfrac52(T_2 - 300) = -T_2 + 300 \times 5, 3.5T2=22503.5T_2 = 2250, T2=643 KT_2 = 643\,\mathrm{K}, V2=10.7 LV_2 = 10.7\,\mathrm{L}. Reversível: T2=300×50.286=475 KT_2 = 300 \times 5^{0.286} = 475\,\mathrm{K}, V2=7.9 LV_2 = 7.9\,\mathrm{L}. A compressão súbita realiza mais trabalho sobre o gás (os 5 bar5\,\mathrm{bar} inteiros agem desde o início) e termina mais quente e menos comprimida.

Exercício 22.12 ★★★

O som é uma compressão rápida, portanto adiabática: a sua velocidade vale c=γP/ρc = \sqrt{\gamma P/\rho} (o valor isotérmico P/ρ\sqrt{P/\rho} foi o erro de Newton). Calcule os dois para o ar a 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C} e compare com os 343 m/s343\,\mathrm{m}/\mathrm{s} medidos. Mostre que c=γRT/Mc = \sqrt{\gamma RT/M} e compare com a velocidade quadrática média do Capítulo 20.

Solução

Solução de Exercício 22.12.

ρ=PM/RT=1.20 kg/m3\rho = PM/RT = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}: γP/ρ=1.4×1.013×105/1.20=343 m/s\sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{1.4 \times 1.013\times10^5/1.20} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; P/ρ=290 m/s\sqrt{P/\rho} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, 15%15\% abaixo. Com P/ρ=RT/MP/\rho = RT/M: c=γRT/Mc = \sqrt{\gamma RT/M}; contra u=3RT/Mu = \sqrt{3RT/M} = 502 m/s502\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: c/u=γ/3=0.68c/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68.

22.6 Problema: da bomba de bicicleta ao motor diesel

Problema 22.1

Problema de fim de semana — uma bomba manual que queima os dedos, um cilindro que acende o seu próprio combustível e uma esfera de aço que quica sobre um colchão de ar: a primeira lei em três compressões

Ar: gás perfeito diatômico, γ=1.40\gamma = 1.40, CV,m=52RC_{V,m} = \tfrac52 R, CP,m=72RC_{P,m} = \tfrac72 R, M=29 g/molM = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}; R=8.314 J/(mol K)R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}). Estado inicial em toda parte: P1=1.00 barP_1 = 1.00\,\mathrm{bar}, T1=300 KT_1 = 300\,\mathrm{K}.

Parte I — A bomba de bicicleta. O cilindro da bomba tem volume V1=212 cm3V_1 = 212\,\mathrm{cm}^{3}; o ar que ele contém é comprimido reversível e adiabaticamente até atingir a pressão do pneu, 7.0 bar7.0\,\mathrm{bar}.

  1. Quantidade de ar no cilindro.
  2. Volume no fim da compressão.
  3. Temperatura no fim da compressão.
  4. Trabalho recebido pelo ar durante um curso.
  5. O pneu (2.0 L2.0\,\mathrm{L}) tem de passar de 1 bar1\,\mathrm{bar} a 7 bar7\,\mathrm{bar} a 300 K300\,\mathrm{K}: quantos cursos, e quanto trabalho ao todo (tome o trabalho por curso como constante)?
  6. O ar quente esfria depois no pneu até 300 K300\,\mathrm{K}: o que acontece com a pressão do pneu, e o que o ciclista faz?
  7. Compare o trabalho adiabático por curso com o trabalho de uma compressão isotérmica até os mesmos 7 bar7\,\mathrm{bar}. Por que o trabalho isotérmico é maior, embora o gás termine mais frio?

Parte II — A compressão do diesel. Um cilindro de V1=0.50 LV_1 = 0.50\,\mathrm{L} comprime o seu ar reversível e adiabaticamente por um fator 2020.

  1. Quantidade de ar e temperatura T2T_2 depois da compressão.
  2. Pressão P2P_2.
  3. O combustível se autoinflama acima de uns 500 K500\,\mathrm{K}: explique por que um diesel não precisa de vela de ignição, e por que um motor a gasolina (taxa ≈10\approx 10, veja o Exercício 22.3) não pode autoinflamar.
  4. Trabalho recebido pelo ar durante a compressão.
  5. A 3000 rpm3000\,\mathrm{rpm} um cilindro comprime 2525 vezes por segundo: potência absorvida pela compressão (ela é devolvida mais adiante no ciclo).
  6. As compressões reais são rápidas (irreversibilidade) e perdem calor para as paredes: em que sentido cada efeito desloca T2T_2?

Parte III — Combustão e expansão. No alto do curso, 20 mg20\,\mathrm{mg} de combustível (poder calorífico 43 MJ/kg43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}) queimam enquanto o pistão começa a descer, à pressão constante P2P_2; depois o gás se expande reversível e adiabaticamente de volta a V1V_1. Trate o gás como ar o tempo todo.

  1. Calor liberado pelo combustível.
  2. Temperatura T3T_3 e volume V3V_3 no fim da combustão isobárica.
  3. Trabalho trocado durante a fase isobárica (atenção ao sinal!).
  4. Temperatura T4T_4 no fim da expansão adiabática e o trabalho trocado durante ela.
  5. Trabalho líquido fornecido pelo gás nos quatro tempos e razão entre ele e o calor liberado (o rendimento ideal).
  6. Compare esse rendimento com 1−T1/T31 - T_1/T_3, o limite que o Capítulo 24 estabelecerá para qualquer máquina que funcione entre essas temperaturas extremas.
  7. Calor rejeitado com o escapamento, pela primeira lei ao longo do ciclo; verifique o balanço.

Parte IV — Medindo γ\gamma com uma esfera que quica. Uma esfera de aço de massa m=16.5 gm = 16.5\,\mathrm{g} se ajusta a um tubo vertical de vidro de seção S=2.0 cm2S = 2.0\,\mathrm{cm}^{2} fechado embaixo por um balão de volume V=10 LV = 10\,\mathrm{L} de ar a P=1.0 barP = 1.0\,\mathrm{bar}; deslocada de xx da sua posição de equilíbrio, ela oscila.

  1. Por que as compressões e expansões do ar podem ser tomadas como adiabáticas? Escreva a relação entre um pequeno deslocamento xx e a variação de pressão  ⁣dP\dd P (lei de Laplace, linearizada).
  2. Deduza a força de restituição sobre a esfera e mostre que o seu movimento é harmônico, com ω02=γPS2/mV\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV.
  3. Calcule o período e o valor de γ\gamma que se deduziria de um período medido de 1.10 s1.10\,\mathrm{s}.
  4. Por que o atrito entre a esfera e o tubo, e o vazamento de ar, enviesam o resultado, e em que sentido?
  5. Resuma as três compressões: que grandeza a primeira lei conservou em cada uma, e o que o expoente adiabático γ\gamma governou.
Solução

Solução de Problema 22.1.

1. n=P1V1/RT1=105×2.12×10−4/2494=8.5×10−3 moln = P_1V_1/RT_1 = 10^5 \times 2.12\times10^{-4}/2494 = 8.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}.

2. PVγPV^\gamma constante: V2=V1(P1/P2)1/γ=212×7−0.714=53 cm3V_2 = V_1(P_1/P_2)^{1/\gamma} = 212 \times 7^{-0.714} = 53\,\mathrm{cm}^{3}.

3. T2=T1(P2/P1)(γ−1)/γ=300×70.286=523 KT_2 = T_1(P_2/P_1)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}.

4. W=nCV,m(T2−T1)=8.5×10−3×20.8×223=39 JW = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 8.5\times10^{-3} \times 20.8 \times 223 = 39\,\mathrm{J}.

5. Ar a acrescentar: Δn=ΔP V/RT=6×105×2×10−3/2494=0.48 mol\Delta n = \Delta P\,V/RT = 6\times10^5 \times 2\times10^{-3}/ 2494 = 0.48\,\mathrm{mol}: 0.48/8.5×10−3=570.48/8.5\times10^{-3} = 57 cursos, cerca de 2.2 kJ2.2\,\mathrm{kJ} — um minuto de esforço honesto.

6. A volume constante P∝TP \propto T: a pressão cai enquanto o ar esfria (até 300/523300/523 para o ar do último curso); o ciclista dá mais alguns cursos depois de uma pausa.

7. Wiso=nRTln⁡(P2/P1)=8.5×10−3×2494×1.95=41 J>39 JW_{\text{iso}} = nRT\ln(P_2/P_1) = 8.5\times10^{-3} \times 2494 \times 1.95 = 41\,\mathrm{J} > 39\,\mathrm{J}: o caminho isotérmico comprime o gás ainda mais (até 30 cm330\,\mathrm{cm}^{3} em vez de 53 cm353\,\mathrm{cm}^{3}) para chegar a 7 bar7\,\mathrm{bar}, porque ele fica frio — mais volume varrido, mais trabalho.

8. n=105×5×10−4/2494=0.020 moln = 10^5 \times 5\times10^{-4}/2494 = 0.020\,\mathrm{mol}; T2=300×200.4=994 KT_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}.

9. P2=201.4=66 barP_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}.

10. 994 K994\,\mathrm{K} está bem acima do ponto de autoignição do combustível: o combustível injetado acende ao contato. Um motor a gasolina comprime a sua mistura ar–combustível só até uns 750 K750\,\mathrm{K}, para que ela não acenda antes da faísca; uma taxa alta demais provoca “detonação”.

11. W=nCV,m(T2−T1)=0.020×20.8×694=289 JW = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 694 = 289\,\mathrm{J}.

12. 25×289=7.2 kW25 \times 289 = 7.2\,\mathrm{kW} por cilindro, armazenados no gás quente e devolvidos na expansão.

13. A irreversibilidade (o gás não segue o caminho quase-estático, e um trabalho extra é dissipado) eleva T2T_2; o calor perdido para as paredes o abaixa. Num motor real o segundo efeito costuma vencer: T2T_2 fica um pouco abaixo do valor ideal.

14. Q=20×10−6×43×106=860 JQ = 20\times10^{-6} \times 43\times10^6 = 860\,\mathrm{J}.

15. Isobárica: Q=nCP,m(T3−T2)Q = nC_{P,m}(T_3 - T_2): T3−T2=860/(0.020×29.1)=1480 KT_3 - T_2 = 860/(0.020 \times 29.1) = 1480\,\mathrm{K}, T3=2470 KT_3 = 2470\,\mathrm{K}; V3=V2T3/T2=25×2.48=62 cm3V_3 = V_2T_3/T_2 = 25 \times 2.48 = 62\,\mathrm{cm}^{3}.

16. W=−P2(V3−V2)=−66×105×37×10−6=−244 JW = -P_2(V_3 - V_2) = -66\times10^5 \times 37\times10^{-6} = -244\,\mathrm{J}: trabalho fornecido pelo gás.

17. T4=T3(V3/V1)γ−1=2470×(0.124)0.4=1070 KT_4 = T_3(V_3/V_1)^{\gamma - 1} = 2470 \times (0.124)^{0.4} = 1070\,\mathrm{K}; W=nCV,m(T4−T3)=0.020×20.8×(−1400)=−582 JW = nC_{V,m}(T_4 - T_3) = 0.020 \times 20.8 \times (-1400) = -582\,\mathrm{J}.

18. Trabalho líquido fornecido =244+582−289=537 J= 244 + 582 - 289 = 537\,\mathrm{J}; razão 537/860=62%537/860 = 62\% (o rendimento ideal do ciclo Diesel nestes ajustes; os motores reais chegam a uns 40%40\%).

19. 1−300/2470=88%1 - 300/2470 = 88\%: o ciclo Diesel ideal fica bem abaixo do limite de Carnot, porque recebe o seu calor ao longo de um intervalo de temperaturas, e não todo na mais alta.

20. Ao longo de um ciclo ΔU=0\Delta U = 0: Qsaıˊda=−(860−537)=−323 JQ_{\text{saída}} = -(860 - 537) = -323\,\mathrm{J}, isto é, 323 J323\,\mathrm{J} saem com o escapamento; verificação: nCV,m(T4−T1)=0.020×20.8×770=320 JnC_{V,m}(T_4 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 770 = 320\,\mathrm{J}.

21. A oscilação é rápida (um segundo) comparada com a condução de calor através de 10 L10\,\mathrm{L} de ar: adiabática. Linearizando PVγPV^\gamma:  ⁣dP/P=−γ  ⁣dV/V=−γSx/V\dd P/P = -\gamma\,\dd V/V = -\gamma Sx/V.

22. Força sobre a esfera S  ⁣dP=−γPS2x/VS\,\dd P = -\gamma PS^2x/V: mx¨=−(γPS2/V)xm\ddot x = -(\gamma PS^2/V)x, harmônica, ω02=γPS2/mV\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV.

23. ω02=1.4×105×4×10−8/(0.0165×0.010)=33.9 s−2\omega_0^2 = 1.4 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}/(0.0165 \times 0.010) = 33.9\,\mathrm{s}^{-2}: T=2π/5.83=1.08 sT = 2\pi/5.83 = 1.08\,\mathrm{s}. Com T=1.10 sT = 1.10\,\mathrm{s}: γ=4π2mV/(T2PS2)=4π2×0.0165×0.010/(1.21×105×4×10−8)=1.35\gamma = 4\pi^2mV/(T^2PS^2) = 4\pi^2 \times 0.0165 \times 0.010/(1.21 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}) = 1.35.

24. O atrito amortece o movimento e, se for seco, desloca o equilíbrio; o vazamento ao redor da esfera deixa o ar escapar durante uma compressão, baixando a força de restituição: os dois alongam o período e enviesam γ\gamma para baixo — como o 1.351.35 acima.

25. Bomba e diesel: Q=0Q = 0, logo ΔU=W\Delta U = W — o trabalho virou energia interna e temperatura, pela lei de Laplace com expoente γ\gamma. Esfera: uma compressão rápida é adiabática, e γ\gamma fixa a rigidez de uma mola de ar.

Termos definidos neste capítulo

Ver todos os 393 termos do glossário