Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

19Sistemas de pontos; introdução aos corpos rígidos

Uma saltadora deixa o trampolim, encolhe-se, dá dois mortais e se estica; durante tudo isso um ponto do seu corpo — o seu centro de massa — descreve a mesma parábola simples que uma pedra descreveria. Um ioiô solto da mão leva três vezes mais tempo para chegar ao fim do seu cordão do que levaria uma pedra, e chega girando a duas mil voltas por minuto. Uma esfera maciça vence uma esfera oca em qualquer rampa, sejam quais forem os seus tamanhos ou as suas massas. A mecânica de um único ponto, desenvolvida nos capítulos anteriores, estende-se a sistemas de muitos pontos — e aos corpos rígidos da vida cotidiana — por meio de um punhado de teoremas: o centro de massa se move como um ponto, a energia e o momento angular se separam numa parte do centro de massa e numa parte “em torno” dele, e um corpo que gira em torno de um eixo fixo é um sistema de um grau de liberdade governado pelo seu momento de inércia.

19.1 Centro de massa e quantidade de movimento

Definição 19.1 (Centro de massa; quantidade de movimento de um sistema)

Para partículas de massas $m_i$ em $M_i$ , de massa total $M = \sum m_i$ , o centro de massa (baricentro) $G$ é definido por

\sum_i m_i\,\vect{GM_i} = \vect 0, \qquad\text{isto é,}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vect{OM_i}

qualquer que seja a origem $O$ . A quantidade de movimento do sistema é $\vect P = \sum_i m_i\vect v_i = M\vect v_G$ .

Teorema 19.2 (Teorema do centro de massa)

Num referencial inercial,

M\,\vect a_G = \frac{\dd\vect P}{\dd t} = \sum\vect F_{\mathrm{ext}} :

o centro de massa se move como um ponto material de massa $M$ submetido à resultante das forças externas apenas. Para um sistema fechado sem força externa, $\vect P$ se conserva e $G$ se move uniformemente.

Demonstração. Some a segunda lei de Newton sobre as partículas; as forças internas se cancelam aos pares de ação e reação; $\sum m_i\vect a_i = M\vect a_G$ derivando duas vezes a definição de $G$ . ∎

Exemplo 19.3 (Saltadora, recuo, colisão)

O $G$ da saltadora segue uma parábola só sob o seu peso, por mais que ela gire — os seus músculos são forças internas. Um fuzil de $4.0\,\mathrm{kg}$ que dispara uma bala de $10\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\vect P = \vect 0$ antes e depois, de modo que o fuzil recua a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Dois carros, $1000\,\mathrm{kg}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $1500\,\mathrm{kg}$ parado, que ficam engatados: $v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — a quantidade de movimento se conserva, enquanto $60\%$ da energia cinética foi para o metal amassado e para o calor. A quantidade de movimento se conserva em toda colisão; a energia cinética, só nas elásticas (Exercício 19.12).

19.2 Os teoremas de Koenig

Definição 19.4 (Referencial baricêntrico)

O referencial baricêntrico $\mathcal R^*$ tem origem em $G$ e está em translação em relação ao referencial inercial $\mathcal R$ (os seus eixos mantêm direções fixas). As grandezas nele medidas levam asterisco: $\vect v_i^* = \vect v_i - \vect v_G$ , e $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ .

Teorema 19.5 (Teoremas de Koenig)

O momento angular em relação a um ponto $O$ e a energia cinética de um sistema se separam na contribuição do seu centro de massa, que carrega toda a massa, e nas contribuições no referencial baricêntrico:

\vect L_O = \vect{OG}\wedge M\vect v_G + \vect L^*, \qquad E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*,

onde $\vect L^* = \sum\vect{GM_i}\wedge m_i\vect v_i^*$ e $E_k^* = \sum\tfrac12 m_iv_i^{*2}$ não dependem da origem do referencial.

Demonstração. $\vect{OM_i} = \vect{OG} + \vect{GM_i}$ e $\vect v_i = \vect v_G + \vect v_i^*$ ; desenvolva $\sum\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ e $\sum\tfrac12 m_iv_i^2$ : os termos cruzados contêm $\sum m_i\vect{GM_i} = \vect 0$ ou $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ e se anulam. ∎

Exemplo 19.6 (Uma roda que rola)

Uma roda de massa $M$ , raio $R$ e momento de inércia $J$ em relação ao seu eixo, que rola sem deslizar com velocidade $v$ : o ponto de contato está em repouso, logo $\omega = v/R$ , e $E_k = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 J\omega^2 = \tfrac12 Mv^2(1 + J/MR^2)$ — três quartos de $Mv^2$ para um disco homogêneo ( $J = \tfrac12 MR^2$ ), $Mv^2$ para um aro. É por causa do segundo termo que as rodas de uma bicicleta são feitas leves: a sua rotação custa uma energia que a massa do quadro não custa.

19.3 O problema de dois corpos

Proposição 19.7 (Massa reduzida)

Duas partículas que interagem apenas uma com a outra (força $\vect F$ sobre $m_2$ vinda de $m_1$ , $-\vect F$ sobre $m_1$ ): $G$ se move uniformemente, e a posição relativa $\vect r = \vect{M_1M_2}$ obedece a

\mu\,\frac{\dd^2\vect r}{\dd t^2} = \vect F, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2},

que é a equação de uma única partícula fictícia de massa reduzida $\mu$ que se move sob $\vect F$ em torno de um centro fixo. Em $\mathcal R^*$ , $E_k^* = \tfrac12\mu\dot{\vect r}^2$ e $\vect L^* = \vect r\wedge\mu\dot{\vect r}$ .

Demonstração. $\ddot{\vect r} = \vect a_2 - \vect a_1 = \vect F/m_2 + \vect F/m_1 = \vect F(m_1 + m_2)/m_1m_2$ . Em $\mathcal R^*$ , $\vect{GM_2} = m_1\vect r/(m_1 + m_2)$ e $\vect{GM_1} = -m_2\vect r/(m_1 + m_2)$ ; substitua em $E_k^*$ e $\vect L^*$ . ∎

Exemplo 19.8 (Quando o centro também se move)

No Capítulo 16 o Sol estava fixo: exato apenas no limite $m \ll M$ ; em geral a terceira lei de Kepler se escreve $T^2 = 4\pi^2a^3/G(M + m)$ . Para a molécula de HCl em vibração do Problema 13.1, a massa que oscila no poço vale $\mu = m_Hm_{Cl}/(m_H + m_{Cl}) = 0.972\,m_H$ , o que eleva a frequência de $1.4\%$ ; para o átomo de hidrogênio, o $\mu$ do elétron difere de $m_e$ de uma parte em $1836$ — mensurável no espectro.

19.4 Sólido em rotação em torno de um eixo fixo

Definição 19.9 (Sólido; rotação em torno de um eixo fixo)

Um corpo rígido (sólido) é um sistema cujos pontos mantêm fixas as distâncias mútuas. Se ele gira em torno de um eixo $\Delta$ fixo no referencial, todo ponto descreve um círculo centrado em $\Delta$ com a mesma velocidade angular $\omega = \dot\theta$ ; um ponto à distância $r_i$ do eixo tem velocidade $r_i\omega$ .

Proposição 19.10 (Momento de inércia; momento angular; energia cinética)

Com o momento de inércia $J_\Delta = \sum m_ir_i^2$ (uma integral $\int r^2\,\dd m$ para um corpo contínuo):

L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2 .

Valores usuais (massa $M$ ): anel fino ou cilindro oco em torno do seu eixo, $MR^2$ ; disco homogêneo ou cilindro maciço, $\tfrac12 MR^2$ ; barra fina de comprimento $L$ em torno do seu centro, $\tfrac{1}{12}ML^2$ , e em torno de uma extremidade, $\tfrac13 ML^2$ ; esfera maciça em torno de um diâmetro, $\tfrac25 MR^2$ . Teorema de Huygens: em torno de um eixo $\Delta$ paralelo a um eixo $\Delta_G$ que passa por $G$ à distância $d$ , $J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2$ .

Demonstração. $L_\Delta$ e $E_k$ : Proposição 15.9. Barra em torno de uma extremidade: $\int_0^L x^2(M/L)\,\dd x = ML^2/3$ ; em torno do centro, $\int_{-L/2}^{L/2} x^2(M/L)\dd x = ML^2/12$ . Disco: anel de raio $r$ , largura $\dd r$ , massa $(2Mr/R^2)\dd r$ : $\int_0^R r^2(2Mr/R^2)\dd r = MR^2/2$ ; o anel e a esfera são admitidos (a esfera exige uma integral dupla). Huygens: com $r_i^2 = \abs{\vect{GM_i}_\perp + \vect d}^2 = r_{G,i}^2 + d^2 + 2\vect d\cdot \vect{GM_i}_\perp$ , o termo cruzado soma zero pela definição de $G$ . ∎

À esquerda: o momento de inércia de um disco, somado anel a anel. À direita: o teorema de Huygens — em torno de um eixo pela borda de um disco, paralelo ao eixo que passa pelo seu centro, J = 1/2 MR2 + MR2. — À esquerda: o momento de inércia de um disco, somado anel a anel. À direita: o teorema de Huygens — em torno de um eixo pela borda de um disco, paralelo ao eixo que passa pelo seu centro, $J = \tfrac12 MR^2 + MR^2$ .

Teorema 19.11 (Dinâmica de um sólido em torno de um eixo fixo)

Para um sólido que gira em torno de um eixo fixo $\Delta$ num referencial inercial,

J_\Delta\,\ddot\theta = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}}), \qquad \frac{\dd}{\dd t}\Big(\tfrac12 J_\Delta\dot\theta^2\Big) = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})\,\dot\theta :

os momentos das forças externas em relação ao eixo governam a aceleração angular, e um momento $\mathcal M_\Delta$ fornece a potência $\mathcal M_\Delta\omega$ . Um pivô ideal (mancal sem atrito) não exerce momento algum em torno do seu eixo e portanto nem acelera nem freia a rotação.

Demonstração. Teorema 15.8 projetado sobre $\Delta$ , com $L_\Delta = J_\Delta\dot\theta$ e $J_\Delta$ constante para um corpo rígido; multiplique por $\dot\theta$ para a forma em energia (as forças internas de um corpo rígido não realizam trabalho: as distâncias não mudam). ∎

Exemplo 19.12 (Pêndulo físico; pêndulo de torção)

Um sólido de massa $M$ que gira em torno de um eixo horizontal à distância $d$ de $G$ : o momento do peso vale $-Mgd\sin\theta$ , de modo que $J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta$ e as pequenas oscilações têm o período

T = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{Mgd}} ,

o de um pêndulo simples de comprimento $J_\Delta/Md$ — para uma barra homogênea presa por uma extremidade, $2L/3$ . Um disco pendurado num fio de constante de torção $C$ (momento restaurador $-C\theta$ ): $J\ddot\theta = -C\theta$ , $T = 2\pi\sqrt{J/C}$ — é a balança de torção que mediu $G$ e a lei de Coulomb.

Três sólidos em movimento: um pêndulo físico que oscila em torno de um pivô (momento do peso em relação ao eixo), um pêndulo de torção (momento do fio) e um sólido que rola sem deslizar por uma rampa — quanto maior o seu J/MR2, mais devagar ele rola. — Três sólidos em movimento: um pêndulo físico que oscila em torno de um pivô (momento do peso em relação ao eixo), um pêndulo de torção (momento do fio) e um sólido que rola sem deslizar por uma rampa — quanto maior o seu $J/MR^2$ , mais devagar ele rola.

Proposição 19.13 (Rolamento sem deslizamento numa rampa)

Um sólido de revolução ( $J = kMR^2$ em torno do seu eixo) solto numa rampa de ângulo $\alpha$ rola sem deslizar com a aceleração

a = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} :

$\tfrac57 g\sin\alpha$ para uma esfera maciça, $\tfrac23 g\sin\alpha$ para um disco, $\tfrac12 g\sin\alpha$ para um aro — independentemente da massa e do raio.

Demonstração. Energia: $Mgh = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ ao longo da rampa (o atrito estático no ponto de contato, que está em repouso, não realiza trabalho), logo $v^2 = 2ah$ com o $a$ do enunciado; ou Newton para $G$ e o teorema do momento em relação a $G$ com o atrito $f$ : $Ma = Mg\sin\alpha - f$ , $kMR^2\dot\omega = fR$ , $a = R\dot\omega$ . ∎

Observação 19.14 (Sistemas deformáveis)

Para um sistema que não é rígido, o teorema da energia cinética se escreve $\Delta E_k = W_{\mathrm{ext}} + W_{\mathrm{int}}$ : as forças internas realizam trabalho (músculos, molas, atrito dentro do sistema). A patinadora que recolhe os braços, a saltadora que se encolhe, o ciclista que pedala em pé ganham energia cinética sem trabalho externo — o teorema do centro de massa continua verdadeiro, e a energia vem de dentro.

19.5 Exercícios

Exercício 19.1 ★

Massas de $2.0\,\mathrm{kg}$ em $x = 0$ e de $3.0\,\mathrm{kg}$ em $x = 1.0\,\mathrm{m}$ : posição de $G$ . O sistema Terra–Lua ( $81:1$ , $384\,000\,\mathrm{km}$ ): distância de $G$ ao centro da Terra; compare com o raio da Terra.

Solução

Solução de Exercício 19.1.

$x_G = (2.0 \times 0 + 3.0 \times 1.0)/5.0 = 0.60\,\mathrm{m}$ . Terra–Lua: $384000/82 = 4700\,\mathrm{km}$ a partir do centro da Terra, dentro da Terra ( $6370\,\mathrm{km}$ ): a Terra oscila em torno de um ponto $1700\,\mathrm{km}$ abaixo da sua superfície.

Exercício 19.2 ★

Um fuzil de $4.0\,\mathrm{kg}$ dispara uma bala de $10\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Velocidade de recuo; energias cinéticas da bala e do fuzil; de onde veio a energia?

Solução

Solução de Exercício 19.2.

$4.0v = 0.010 \times 800$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bala $\tfrac12 \times 0.010 \times 800^2 = 3.2\,\mathrm{kJ}$ , fuzil $8\,\mathrm{J}$ : vêm da energia química da pólvora; o corpo leve fica com quase tudo ( $E_k = p^2/2m$ com $p$ igual).

Exercício 19.3 ★

Um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bate num carro de $1500\,\mathrm{kg}$ parado; os dois ficam engatados. Velocidade comum; fração da energia cinética perdida.

Solução

Solução de Exercício 19.3.

$v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k$ : $200\,\mathrm{kJ}$ antes, $\tfrac12 \times 2500 \times 64 = 80\,\mathrm{kJ}$ depois: $60\%$ perdidos.

Exercício 19.4 ★

Deduza o momento de inércia de uma barra homogênea de massa $M$ e comprimento $L$ em torno de um eixo perpendicular que passa por uma extremidade, e depois pelo centro; verifique entre os dois o teorema de Huygens.

Solução

Solução de Exercício 19.4.

Extremidade: $\int_0^L x^2(M/L)\dd x = ML^2/3$ ; centro: $\int_{-L/2}^{L/2}x^2(M/L) \dd x = ML^2/12$ ; Huygens com $d = L/2$ : $ML^2/12 + ML^2/4 = ML^2/3$ .

Exercício 19.5 ★★

Energia cinética de um cilindro homogêneo que rola e de um aro que rola com a mesma massa e a mesma velocidade, em múltiplos de $\tfrac12 Mv^2$ . Qual deles para primeiro num piso plano e rugoso, e qual sobe mais alto numa rampa?

Solução

Solução de Exercício 19.5.

$E_k = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ : cilindro $1.5$ , aro $2$ vezes $\tfrac12 Mv^2$ . À mesma velocidade, mais energia para o aro: ele rola mais longe num piso plano (mesmo atrito) e sobe mais alto ( $h = v^2(1 + k)/2g$ ).

Exercício 19.6 ★★

Massa reduzida do HCl ( $m_{Cl} = 35m_H$ ) e do átomo de hidrogênio ( $m_p = 1836m_e$ ); correção relativa a uma frequência de vibração ou de órbita calculada só com a massa leve.

Solução

Solução de Exercício 19.6.

HCl: $\mu = 35m_H/36 = 0.972m_H$ ; átomo: $\mu = m_e/(1 + 1/1836) = 0.99946m_e$ . As frequências são $\propto 1/\sqrt\mu$ : $+1.4\%$ para o HCl, $+0.027\%$ para o hidrogênio (o desvio isotópico entre os espectros do H e do D repousa nisso).

Exercício 19.7 ★★

Uma barra homogênea de $1.0\,\mathrm{m}$ gira livremente em torno de uma extremidade. Período das pequenas oscilações; comprimento do pêndulo simples de mesmo período; o ponto da barra (o centro de percussão) em que um golpe seco não produz reação no pivô fica a essa distância — por que um batedor o procura?

Solução

Solução de Exercício 19.7.

$J = ML^2/3$ , $d = L/2$ : $T = 2\pi\sqrt{(ML^2/3)/(MgL/2)} = 2\pi\sqrt{2L/3g} = 1.64\,\mathrm{s}$ ; comprimento equivalente $2L/3 = 0.67\,\mathrm{m}$ . Um golpe no centro de percussão põe a barra a girar em torno do pivô sem nenhuma reação impulsiva ali: acerte a bola no “ponto doce” do bastão e as mãos não sentem o repuxo.

Exercício 19.8 ★★

Um disco ( $M = 0.20\,\mathrm{kg}$ , $R = 10\,\mathrm{cm}$ ) pende de um fio e oscila em torção com período de $2.0\,\mathrm{s}$ . Constante de torção do fio.

Solução

Solução de Exercício 19.8.

$J = \tfrac12 MR^2 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $C = 4\pi^2J/T^2 = 9.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ .

Exercício 19.9 ★★

Um volante de inércia de momento de inércia $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ gira a $3000\,\mathrm{rpm}$ . Energia armazenada; momento de frenagem que o para em $10\,\mathrm{s}$ ; número de voltas durante a frenagem.

Solução

Solução de Exercício 19.9.

$\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 J\omega^2 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $\Gamma = J\omega/t = 314\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; voltas: $\tfrac12\omega t/2\pi = 250$ .

Exercício 19.10 ★★★

Uma esfera maciça, um cilindro maciço e um aro são soltos juntos no alto de uma rampa. Ordem de chegada e razão entre as suas acelerações. O resultado depende dos raios ou das massas?

Solução

Solução de Exercício 19.10.

$a = g\sin\alpha/(1 + k)$ : esfera ( $k = 2/5$ ) $0.714$ , cilindro ( $1/2$ ) $0.667$ , aro ( $1$ ) $0.500$ vezes $g\sin\alpha$ : a esfera primeiro, o aro por último; nem massa nem raio aparecem.

Exercício 19.11 ★★★

Pêndulo balístico: uma bala de $10\,\mathrm{g}$ a $400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ se aloja num bloco de $2.0\,\mathrm{kg}$ pendurado num fio de $1.0\,\mathrm{m}$ . Velocidade logo depois do impacto; altura atingida; fração da energia cinética da bala perdida. Por que não se pode usar a conservação da energia no próprio impacto?

Solução

Solução de Exercício 19.11.

Quantidade de movimento: $0.010 \times 400 = 2.01\,v$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; depois, a energia: $h = v^2/2g = 0.20\,\mathrm{m}$ . $E_k$ : $800\,\mathrm{J}$ antes, $\tfrac12 \times 2.01 \times 4.0 = 4.0\,\mathrm{J}$ depois: $99.5\%$ perdidos em deformação e calor. O impacto é inelástico — a energia não se conserva nele, a quantidade de movimento sim (a tração do fio é vertical e o impacto é breve).

Exercício 19.12 ★★★

Colisão elástica frontal de $m_1$ com velocidade $v_1$ contra $m_2$ em repouso: deduza $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ e $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$ . Fração da energia transferida quando um nêutron atinge um próton; um núcleo de carbono ( $12m_n$ ); um núcleo de chumbo ( $207m_n$ ). Por que os reatores são moderados com núcleos leves?

Solução

Solução de Exercício 19.12.

$m_1v_1 = m_1v_1' + m_2v_2'$ e $m_1v_1^2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2$ dão $v_1 + v_1' = v_2'$ (divida a equação da energia pela da quantidade de movimento), donde as fórmulas. Fração da energia cedida ao alvo $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2$ : próton $100\%$ ; carbono $4 \times 12/169 = 28\%$ ; chumbo $4 \times 207/208^2 = 1.9\%$ . Os núcleos leves tomam a energia do nêutron em poucas colisões (água, grafite); o chumbo precisaria de centenas.

Um ioiô se desenrolando: o centro de massa cai, o disco gira, e a tração do cordão é o que amarra os dois movimentos — é o problema de fim de semana.

19.6 Problema: o ioiô

Problema 19.1

Problema de fim de semana — um disco num eixo fino na ponta de um cordão: por que ele cai tão devagar, com que rapidez gira lá embaixo, por que ele “dorme” ali e para que lado rola um carretel quando se puxa o seu fio

Um ioiô é um disco homogêneo de massa $M = 50\,\mathrm{g}$ e raio $R = 3.0\,\mathrm{cm}$ com um eixo fino de raio $r = 0.40\,\mathrm{cm}$ em torno do qual se enrola um cordão de comprimento $h = 1.0\,\mathrm{m}$ ; a ponta de cima do cordão é mantida fixa. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $J = \tfrac12 MR^2$ em torno do eixo.

Parte I — Cinemática e energia.

Onde fica o centro de massa $G$ do ioiô? Por quê?
Mostre, pelo teorema de Koenig, que a sua energia cinética é $\tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12 J\omega^2$ .
Deduza $J = \tfrac12 MR^2$ integrando sobre anéis e calcule $J$ .
À medida que o cordão se desenrola do eixo sem deslizar, relacione $v_G$ e $\omega$ .
Deduza $E_k = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ e calcule o fator entre parênteses. Comente.

Parte II — A queda.

Forças sobre o ioiô; escreva o teorema do centro de massa (eixo vertical para baixo).
Escreva o teorema do momento angular em relação ao eixo que passa por $G$ (que forças têm momento?).
Combine com a questão 4 para achar a aceleração $a_G = g/(1 + R^2/2r^2)$ ; calcule-a.
Calcule a tração do cordão e compare com o peso.
Tempo para desenrolar o $1.0\,\mathrm{m}$ de cordão e a velocidade nesse instante; compare com uma pedra solta da mesma altura.
Velocidade angular lá embaixo, em rad/s e em voltas por minuto.
Separe a energia cinética lá embaixo nas suas partes de translação e de rotação.
Verifique o balanço de energia: compare $Mgh$ com a energia cinética lá embaixo, e diga por que a tração do cordão, embora grande, não realiza trabalho.

Parte III — Lá embaixo: o ioiô que dorme. Quando o cordão está todo desenrolado, ele para o centro de massa em alguns milissegundos; o ioiô continua girando na alça da ponta do cordão (“dormindo”).

Por que a rotação sobrevive à parada de $G$ ? (Que teorema, e que força teria sido necessária para pará-la?)
Estime a tração média durante a parada, se $G$ é detido em $5\,\mathrm{ms}$ .
A alça roça no eixo com um momento de atrito $\Gamma = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : quanto tempo o ioiô dorme?
Um puxão seco para cima no cordão faz o cordão agarrar de novo o eixo, e o ioiô girante então sobe. Pela energia, até que altura ele poderia subir se nada se perdesse? Por que, na prática, menos?
Durante a subida, a tração é maior ou menor do que o peso? (Sinal de $a_G$ .)
O que aconteceria com um ioiô cujo eixo tivesse raio igual a $R$ (cordão enrolado na borda)? Calcule a sua aceleração de queda.

Parte IV — O carretel sobre a mesa. O mesmo objeto está deitado sobre uma mesa rugosa, com o eixo horizontal, e o seu fio sai horizontalmente por baixo do eixo; puxa-se com uma força $F$ . Ele rola sem deslizar.

No ponto de contato $C$ com a mesa, qual é a velocidade da matéria do carretel? Deduza que o movimento é, a cada instante, uma rotação em torno de $C$ .
Calcule o momento de $F$ em relação a $C$ (braço de alavanca $R - r$ ) e os do peso e da reação da mesa.
Usando o teorema do momento angular em relação a $C$ com $J_C = J + MR^2$ (Huygens), ache $a_G$ e mostre que o carretel rola na direção da mão.
Agora o fio é puxado formando um ângulo $\beta$ acima da horizontal. Mostre que o carretel não rola quando a linha de ação de $F$ passa por $C$ , isto é, $\cos\beta = r/R$ , e que ele se afasta da mão para puxões mais inclinados. Calcule esse ângulo.
Calcule $a_G$ para $F = 0.20\,\mathrm{N}$ puxado horizontalmente e a força de atrito necessária; o que limita $F$ antes que o carretel deslize?
Resuma: os três teoremas usados (centro de massa, momento angular em relação a um eixo, energia) e o que cada um decidiu.

Solução

Solução de Problema 19.1.

1. No eixo, no centro do disco, por simetria.

2. Koenig: $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*$ , e no referencial baricêntrico o ioiô gira em torno do seu eixo: $E_k^* = \tfrac12 J\omega^2$ .

3. Anel de raio $\rho$ , de massa $2M\rho\,\dd\rho/R^2$ : $J = \int_0^R \rho^2\cdot 2M\rho\,\dd\rho/R^2 = MR^2/2 = 0.5 \times 0.050 \times 9\times10^{-4} = 2.25 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

4. O cordão está fixo e se desenrola do eixo: o ponto do eixo em contato com ele está momentaneamente em repouso, logo $v_G = r\omega$ .

5. $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12(\tfrac12 MR^2)(v_G/r)^2 = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ ; $R^2/2r^2 = 9/(2 \times 0.16) = 28$ : fator $29$ — quase toda a energia está na rotação.

6. Peso $Mg$ para baixo, tração $T$ para cima: $Ma_G = Mg - T$ .

7. Só a tração tem momento em relação ao eixo (braço de alavanca $r$ ): $J\dot\omega = Tr$ .

8. $\dot\omega = a_G/r$ : $T = Ja_G/r^2 = (R^2/2r^2)Ma_G$ ; então $Ma_G = Mg - (R^2/2r^2)Ma_G$ , $a_G = g/29 = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

9. $T = M(g - a_G) = 0.050 \times 9.47 = 0.47\,\mathrm{N}$ , $97\%$ do peso: o cordão quase o segura.

10. $t = \sqrt{2h/a_G} = 2.4\,\mathrm{s}$ ; $v_G = a_Gt = 0.82\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Uma pedra: $0.45\,\mathrm{s}$ e $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

11. $\omega = v_G/r = 205\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 1960\,\mathrm{rpm}$ .

12. $\tfrac12 Mv_G^2 = 0.017\,\mathrm{J}$ contra $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ : $28$ vezes mais energia na rotação do que na queda.

13. $Mgh = 0.49\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 Mv_G^2 \times 29 = 0.5 \times 0.050 \times 0.67 \times 29 = 0.49\,\mathrm{J}$ . A tração age no ponto do cordão que está em repouso (o cordão não se move): potência nula.

14. A força que para o ioiô age ao longo do cordão, passando pelo eixo: nenhum momento em torno dele, e o momento angular $J\omega$ fica intacto. Só uma força tangencial (atrito no eixo) poderia frear a rotação.

15. $T \approx Mv_G/\Delta t + Mg = 0.050 \times 0.82/0.005 + 0.49 = 8.7\,\mathrm{N}$ , dezoito vezes o peso — daí o tranco sentido no dedo.

16. $J\dot\omega = -\Gamma$ : $t = J\omega/\Gamma = 2.25\times10^{-5} \times 205/10^{-4} = 46\,\mathrm{s}$ .

17. Toda a energia de rotação $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ se converte em $Mgh'$ : $h' = 0.96\,\mathrm{m}$ , quase toda a altura; menos na prática, por causa do atrito no eixo durante o sono e das perdas no tranco.

18. $a_G$ aponta para baixo (o ioiô desacelera na subida) enquanto $v_G$ aponta para cima: $T = M(g - a_G) < Mg$ — menor do que o peso.

19. $r = R$ : fator $1 + 1/2 = 1.5$ , $a_G = 2g/3 = 6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — queda rápida, pouca rotação: é o eixo fino que faz um ioiô.

20. Rolamento sem deslizamento: o ponto material em $C$ tem velocidade nula; o campo de velocidades de um corpo rígido com um ponto em repouso é uma rotação em torno desse ponto (eixo por $C$ , mesmo $\omega$ ).

21. $F$ age por baixo do eixo, a uma altura $R - r$ acima da mesa, horizontalmente na direção da mão: momento $F(R - r)$ em relação a $C$ no sentido que rola o carretel para a mão; o peso e a reação passam por $C$ (sem momento).

22. $(J + MR^2)\dot\omega = F(R - r)$ , $a_G = R\dot\omega = FR(R - r)/ (\tfrac32 MR^2) = 2F(R - r)/3MR > 0$ : na direção da mão.

23. A linha de ação de $F$ passa por $C$ quando o fio que sai de baixo do eixo encontra a mesa em $C$ : $\cos\beta = r/R$ , $\beta = 82^\circ$ . Mais inclinado: o momento em relação a $C$ se inverte e o carretel se afasta (e, para $\beta$ grande o bastante, levanta).

24. $a_G = 2 \times 0.20 \times 0.026/(3 \times 0.050 \times 0.030) = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; o atrito sai de $Ma_G = F - f$ (o atrito se opõe a $F$ ): $f = 0.20 - 0.050 \times 2.3 = 0.085\,\mathrm{N}$ ; ele deve ficar abaixo de $\mu_sMg \approx 0.2\,\mathrm{N}$ (para $\mu_s = 0.4$ ), isto é, $F \lesssim 0.5\,\mathrm{N}$ .

25. Centro de massa: a translação de $G$ e a tração; momento angular em relação a um eixo: a rotação e o sentido do rolamento; energia: a velocidade lá embaixo e a altura da subida.

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