Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

5Propagação de sinais: ondas progressivas e estacionárias

Dedilhe uma corda de violão e um salão inteiro ouve uma nota; encoste levemente um dedo no seu meio e a nota sobe uma oitava. Fique entre dois alto-falantes tocando o mesmo tom e, caminhando devagar, você atravessa pontos de quase silêncio a cada poucos decímetros. A luz de dois furos pinta listras num anteparo. Nada é levado de um lugar a outro em nenhum desses casos — nenhum ar, nenhuma corda, nenhum vidro viaja — e ainda assim algo se propaga: um sinal. Este capítulo descreve como um sinal se move, o que é uma onda senoidal e o que acontece quando duas ondas se encontram: a matemática da superposição, da interferência e das ondas estacionárias, que todo capítulo posterior sobre ondas — acústica, óptica e física quântica — vai reutilizar.

Seis cordas, seis frequências fundamentais: cada uma é uma onda estacionária fixa na pestana e no cavalete, e os dedos a encurtam para elevar a altura do som.

5.1 Sinais

Definição 5.1 (Sinal; sinal senoidal)

Um sinal é uma grandeza física que varia no tempo e carrega informação: a sobrepressão acústica num microfone, a tensão numa antena, o deslocamento transversal de um ponto de uma corda. O sinal senoidal

s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

tem amplitude $A > 0$ , frequência angular $\omega$ ( $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), frequência $f = \omega/2\pi$ , período $T = 1/f$ e fase inicial $\varphi$ ; $\omega t + \varphi$ é a sua fase no instante $t$ .

Observação 5.2 (Espectro)

Todo sinal periódico de período $T$ é uma soma de senoides de frequências $f_1 = 1/T$ (a fundamental) e seus múltiplos $nf_1$ (os harmônicos); a lista das suas amplitudes é o espectro do sinal. Uma flauta e um violino que tocam a mesma nota compartilham a fundamental e diferem no espectro — é o timbre. A decomposição (de Fourier) é enunciada e usada em Capítulo 9; aqui ela importa porque as senoides se propagam de modo simples, e o que vale para cada senoide vale, por adição, para qualquer sinal.

Proposição 5.3 (Batimentos)

A soma de duas senoides de mesma amplitude e frequências próximas $f_1 > f_2$ ,

A\cos(2\pi f_1 t) + A\cos(2\pi f_2 t) = 2A\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\big)\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\big),

é uma senoide na frequência média, cuja amplitude $\abs{2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)}$ cresce e decresce na frequência de batimento $f_1 - f_2$ .

Demonstração. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ . O fator lento se anula duas vezes por período próprio $2/(f_1 - f_2)$ , de modo que a envoltória $\abs{\cdot}$ tem frequência $f_1 - f_2$ . ∎

Batimentos entre 22\, Hz e 20\, Hz: uma oscilação de 21\, Hz cuja envoltória (tracejada) bate duas vezes por segundo — a diferença das frequências. — Batimentos entre $22\,\mathrm{Hz}$ e $20\,\mathrm{Hz}$ : uma oscilação de $21\,\mathrm{Hz}$ cuja envoltória (tracejada) bate duas vezes por segundo — a diferença das frequências.

Exemplo 5.4 (Afinando de ouvido)

Um diapasão a $440\,\mathrm{Hz}$ e uma corda a $443\,\mathrm{Hz}$ soados juntos pulsam três vezes por segundo; apertar a corda torna a pulsação mais lenta, e quando ela cessa a corda está afinada. O ouvido percebe a frequência média ( $441.5\,\mathrm{Hz}$ ) como a altura do som, e a envoltória de $3\,\mathrm{Hz}$ como uma oscilação da intensidade: os batimentos tornam audível uma diferença de frequência de menos de um por cento.

5.2 Ondas progressivas

Definição 5.5 (Onda progressiva, celeridade)

Um sinal $s(x, t)$ definido ao longo de um eixo é uma onda progressiva que se move no sentido $+x$ com celeridade $c$ se

s(x, t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) = F(x - ct)

para alguma função $f$ (ou $F$ ): a forma é transportada sem deformação, deslocada de $c\,\Delta t$ no tempo $\Delta t$ . Uma onda que se move para $-x$ é $g(t + x/c)$ . Um meio em que toda forma se propaga sem deformação com o mesmo $c$ é não dispersivo.

Proposição 5.6 (Atraso)

O sinal recebido em $x_2$ é o sinal emitido em $x_1 < x_2$ , atrasado de $\tau = (x_2 - x_1)/c$ : $s(x_2, t) = s(x_1, t - \tau)$ .

Demonstração. $s(x_2, t) = f(t - x_2/c) = f\big((t - \tau) - x_1/c\big) = s(x_1, t - \tau)$ . ∎

Exemplo 5.7 (Celeridades)

O som no ar, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : um trovão $3\,\mathrm{s}$ depois do clarão põe a descarga a $1\,\mathrm{km}$ . O som na água, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; no aço, $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ondas transversais numa corda de tensão $F$ e massa por unidade de comprimento $\mu$ : $c = \sqrt{F/\mu}$ , como a análise dimensional previu (Exercício 1.5) — $140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para uma corda de violão. A luz no vácuo, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; no vidro, $c/n$ . A celeridade é uma propriedade do meio, não da fonte: um sussurro e um grito chegam juntos.

Proposição 5.8 (Onda progressiva senoidal)

Uma fonte senoidal $s(0, t) = A\cos(\omega t)$ lança

s(x, t) = A\cos\!\big(\omega(t - x/c)\big) = A\cos(\omega t - kx), \qquad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \lambda = cT = \frac{c}{f}.

A onda é periódica no tempo (período $T$ ) e no espaço (período o comprimento de onda $\lambda$ ); $k$ é o número de onda; dois pontos separados por uma distância $d$ oscilam com uma diferença de fase $\Delta\varphi = 2\pi d/\lambda = kd$ — em fase se $d = n\lambda$ , em oposição de fase se $d = (n + \tfrac12)\lambda$ . A velocidade com que uma crista se desloca, $v_\varphi = \omega/k$ , é a velocidade de fase; aqui $v_\varphi = c$ .

Demonstração. Substitua $f(u) = A\cos(\omega u)$ em $f(t - x/c)$ . Com $x$ fixo, o sinal se repete após $T = 2\pi/\omega$ ; com $t$ fixo, ele se repete após $\lambda$ , com $k\lambda = 2\pi$ . Dois pontos $x_1$ , $x_2 = x_1 + d$ : as fases diferem de $kd$ . Uma crista ( $\omega t - kx = \text{const}$ ) se move com $\dd x/\dd t = \omega/k$ . ∎

A dupla periodicidade de uma onda progressiva senoidal: um instantâneo a tempo fixo se repete a cada comprimento de onda e desliza com velocidade c; o sinal num ponto fixo se repete a cada período T, com = cT. — A dupla periodicidade de uma onda progressiva senoidal: um instantâneo a tempo fixo se repete a cada comprimento de onda $\lambda$ e desliza com velocidade $c$ ; o sinal num ponto fixo se repete a cada período $T$ , com $\lambda = cT$ .

Definição 5.9 (Dispersão)

Um meio é dispersivo quando a velocidade de fase depende da frequência. Um sinal não senoidal, soma de senoides, deforma-se então ao viajar, com as suas componentes se separando. O som no ar e a luz no vácuo são não dispersivos; a luz no vidro (Capítulo 2) e as ondas em água profunda são dispersivas — a ondulação longa vinda de uma tempestade distante chega um dia antes da marola curta.

5.3 Superposição e interferência

Teorema 5.10 (Superposição)

Num meio linear, quando várias ondas se propagam juntas, o sinal resultante em cada ponto e em cada instante é a soma dos sinais que cada onda produziria sozinha.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 5.11 (Linearidade)

A superposição é uma afirmação sobre as equações do meio (lineares no sinal), verdadeira enquanto as amplitudes permanecem pequenas: som abaixo do limiar da dor, luz abaixo das intensidades de corte a laser, uma corda dedilhada com suavidade. Dois feixes de luz se cruzam sem se perturbar; duas ondulações atravessam uma à outra e emergem intactas. O que se observa onde elas se superpõem é o assunto da interferência.

Teorema 5.12 (Dois sinais senoidais de mesma frequência)

Num ponto onde chegam dois sinais senoidais de mesma frequência, $s_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ e $s_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$ , a soma é uma senoide de mesma frequência cuja amplitude satisfaz

A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 .

Para ondas cuja intensidade (potência por unidade de área) é proporcional a $A^2$ , as intensidades obedecem à fórmula de Fresnel

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi .

A interferência é construtiva ( $A = A_1 + A_2$ ) quando $\Delta\varphi = 2n\pi$ , e destrutiva ( $A = \abs{A_1 - A_2}$ ) quando $\Delta\varphi = (2n + 1)\pi$ , $n \in \Z$ .

Demonstração. Desenvolvendo: $s_1 + s_2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)\cos\omega t - (A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)\sin\omega t$ , isto é, $X\cos\omega t - Y\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$ , com $A^2 = X^2 + Y^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2)$ . Geometricamente: $A$ é o comprimento da soma de dois vetores de comprimentos $A_1$ , $A_2$ que formam o ângulo $\Delta\varphi$ (a lei dos cossenos). ∎

Proposição 5.13 (Duas fontes em fase; diferença de caminho)

Duas fontes que emitem em fase no comprimento de onda $\lambda$ , a distâncias $d_1$ e $d_2$ de um ponto $M$ , chegam a $M$ com $\Delta\varphi = 2\pi\,\delta/\lambda$ , em que $\delta = d_2 - d_1$ é a diferença de caminho. A interferência em $M$ é construtiva se $\delta = n\lambda$ , e destrutiva se $\delta = (n + \tfrac12)\lambda$ .

Demonstração. Cada onda chega com o atraso de fase $kd_i = 2\pi d_i/\lambda$ do seu percurso (Proposição 5.8); a diferença vale $2\pi(d_2 - d_1)/\lambda$ . Aplique o Teorema 5.12. ∎

Exemplo 5.14 (Dois alto-falantes)

Dois alto-falantes a $2.0\,\mathrm{m}$ um do outro tocam em fase o mesmo tom de $850\,\mathrm{Hz}$ ( $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ ). Na mediatriz do segmento que os une, $\delta = 0$ : som forte em toda parte. Ao longo do segmento que os une, $\delta$ varia de $2\lambda$ por comprimento de onda de deslocamento, de modo que os pontos silenciosos ( $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ ) se sucedem a cada $\lambda/2 = 20\,\mathrm{cm}$ — uma onda estacionária, assunto da próxima seção. Inverta os fios de um dos alto-falantes, para que toque em oposição de fase, e forte e fraco trocam de lugar.

Exemplo 5.15 (Furos de Young)

Dois furos $S_1$ , $S_2$ separados por uma distância $a$ , iluminados por uma única fonte monocromática (de modo que emitam em fase), enviam luz a um anteparo à distância $D \gg a$ . Num ponto do anteparo à altura $x$ do eixo, a diferença de caminho vale

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{a\,x}{D}

(para $x \ll D$ : $S_{1,2}M = \sqrt{D^2 + (x \mp a/2)^2} \approx D + (x \mp a/2)^2/2D$ , e subtraia). Franjas claras em $x = n\lambda D/a$ : a interfranja é

i = \frac{\lambda D}{a} .

Com $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ , $D = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.5\,\mathrm{mm}$ — uma régua mede o comprimento de onda da luz. Num meio de índice $n$ , a diferença a usar é a do caminho óptico, $n \times$ comprimento, já que $\lambda = \lambda_0/n$ .

Furos de Young: duas fontes em fase, separadas por a, alcançam o ponto M de um anteparo distante por caminhos que diferem de ax/D. A intensidade no anteparo, 4I_0 2(π x/i), alterna franjas claras e escuras espaçadas de i = D/a. — Furos de Young: duas fontes em fase, separadas por $a$ , alcançam o ponto $M$ de um anteparo distante por caminhos que diferem de $\delta \approx ax/D$ . A intensidade no anteparo, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ , alterna franjas claras e escuras espaçadas de $i = \lambda D/a$ .

Observação 5.16 (Coerência)

A fórmula de Fresnel supõe uma diferença de fase fixa. Duas lâmpadas separadas têm fases que saltam ao acaso bilhões de vezes por segundo; a média de $\cos\Delta\varphi$ é nula e as intensidades simplesmente se somam: nenhuma franja. A interferência exige fontes coerentes — na prática, duas ondas nascidas de uma mesma fonte, por dois furos, duas fendas, as duas faces de um filme fino ou um divisor de feixe. Dois alto-falantes ligados a um mesmo gerador são coerentes; dois cantores não são.

5.4 Ondas estacionárias

Teorema 5.17 (Onda estacionária)

Duas ondas senoidais de mesma amplitude e frequência que viajam em sentidos opostos somam-se em

A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t),

uma onda estacionária: cada ponto oscila em fase (ou em oposição de fase) com uma amplitude $2A\abs{\cos kx}$ que depende da posição — nula nos nós $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ , máxima nos ventres $x = n\lambda/2$ ; os nós distam $\lambda/2$ . Nada se propaga: as variáveis $x$ e $t$ estão separadas.

Demonstração. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ com $a = \omega t - kx$ , $b = \omega t + kx$ . ∎

Proposição 5.18 (Modos de uma corda fixa nas duas extremidades)

Uma corda de comprimento $L$ e celeridade $c$ , fixa em $x = 0$ e $x = L$ , só pode sustentar uma onda estacionária senoidal se $L$ for um número inteiro de meios comprimentos de onda:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} = n f_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Esses são os seus modos; $f_1 = c/2L$ é a fundamental, e os $f_n$ os seus harmônicos. Excitada numa extremidade a uma frequência próxima de $f_n$ , a corda entra em ressonância com a forma do modo $n$ (experiência de Melde); dedilhada, ela vibra numa superposição de modos, e o ouvido percebe $f_1$ como a altura do som.

Demonstração. Uma extremidade fixa é um nó. A onda refletida em $x = L$ retorna e se superpõe à incidente, formando uma onda estacionária; para que o seu nó caia também em $x = 0$ , é preciso trocar $\cos kx$ por $\sin kx$ (deslocando a origem) e ter $\sin kL = 0$ : $kL = n\pi$ , $\lambda_n = 2L/n$ , e $f_n = c/\lambda_n$ . ∎

Os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas extremidades: n meios comprimentos de onda cabem em L; a corda oscila entre as duas formas extremas (escura e clara), com os nós imóveis. Frequências f_n = nf_1. — Os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas extremidades: $n$ meios comprimentos de onda cabem em $L$ ; a corda oscila entre as duas formas extremas (escura e clara), com os nós imóveis. Frequências $f_n = nf_1$ .

Exemplo 5.19 (Uma corda de violão)

$L = 65\,\mathrm{cm}$ , afinada em $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ : $c = 2Lf_1 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; com $\mu = 5.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ a tensão vale $F = \mu c^2 = 102\,\mathrm{N}$ — dez quilogramas pendurados em cada corda. Um dedo que pressiona no décimo segundo traste reduz $L$ à metade e dobra $f_1$ : a oitava. Um dedo que apenas toca o meio da corda impõe ali um nó e mata todos os modos ímpares: a corda soa em $2f_1$ , o “harmônico” dos violonistas.

Observação 5.20 (Tubos, e uma antecipação)

A coluna de ar de uma flauta, aberta nas duas extremidades, tem nós de pressão nas duas pontas e os mesmos modos $f_n = nc/2L$ ; um tubo fechado numa extremidade tem um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta, de modo que $L = (2n + 1)\lambda/4$ e só soam os harmônicos ímpares $f = (2n + 1)c/4L$ — o timbre cavo do clarinete. Confinar uma onda entre duas paredes quantiza, portanto, as suas frequências; quando a onda é a onda de matéria de um elétron num átomo, a mesma contagem de meios comprimentos de onda quantiza a sua energia (Capítulo 30).

5.5 Exercícios

Exercício 5.1 ★

O trovão chega $6.0\,\mathrm{s}$ depois do clarão: a que distância caiu o raio? Um ping de sonar retorna após $0.40\,\mathrm{s}$ na água ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): qual é a profundidade do fundo do mar?

Solução

Solução de Exercício 5.1.

$d = 340 \times 6.0 = 2.0\,\mathrm{km}$ . Ida e volta: profundidade $= 1500 \times 0.40/2 = 300\,\mathrm{m}$ .

Exercício 5.2 ★

Uma onda sonora de $440\,\mathrm{Hz}$ viaja no ar ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Calcule o seu comprimento de onda, a diferença de fase entre dois microfones separados por $20\,\mathrm{cm}$ ao longo da direção de propagação e as distâncias para as quais dois pontos oscilam em fase.

Solução

Solução de Exercício 5.2.

$\lambda = 340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ ; $\Delta\varphi = 2\pi \times 0.20/0.773 = 1.6\,\mathrm{rad}$ ( $93^\circ$ ); em fase para separações $n\lambda = n \times 0.77\,\mathrm{m}$ .

Exercício 5.3 ★

Uma corda tem tensão $80\,\mathrm{N}$ e massa por unidade de comprimento $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : calcule $c$ e o comprimento de onda de uma onda de $200\,\mathrm{Hz}$ nela.

Solução

Solução de Exercício 5.3.

$c = \sqrt{80/4.0\times10^{-3}} = 141\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.71\,\mathrm{m}$ .

Exercício 5.4 ★

Um diapasão de $440\,\mathrm{Hz}$ e uma corda a $444\,\mathrm{Hz}$ : quantos batimentos por segundo? Qual é o período da envoltória? A corda é afrouxada e os batimentos caem para $1\,\mathrm{Hz}$ : qual é a sua frequência agora (em princípio duas respostas — qual delas, e como você verificaria)?

Solução

Solução de Exercício 5.4.

$444 - 440 = 4$ batimentos por segundo; período da envoltória $1/4 = 0.25\,\mathrm{s}$ . Afrouxar abaixa a corda: $441\,\mathrm{Hz}$ (chegar a $439\,\mathrm{Hz}$ teria exigido passar pelo silêncio em $440\,\mathrm{Hz}$ ); verifique afrouxando um pouco mais: os batimentos devem sumir e depois voltar.

Exercício 5.5 ★★

Uma corda de $0.60\,\mathrm{m}$ , $c = 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , fixa nas duas extremidades. Dê as três primeiras frequências de modo e as posições dos nós do terceiro modo. Onde a corda deve ser tocada para que soe em $600\,\mathrm{Hz}$ ?

Solução

Solução de Exercício 5.5.

$f_1 = c/2L = 240/1.2 = 200\,\mathrm{Hz}$ ; $400$ , $600\,\mathrm{Hz}$ . Terceiro modo: nós em $0$ , $0.20$ , $0.40$ , $0.60\,\mathrm{m}$ . Toque a $20\,\mathrm{cm}$ (ou $40\,\mathrm{cm}$ ) de uma extremidade: um nó ali conserva apenas $n = 3, 6, \dots$ , e a corda soa em $600\,\mathrm{Hz}$ .

Exercício 5.6 ★★

Dois alto-falantes a $2.0\,\mathrm{m}$ um do outro emitem $850\,\mathrm{Hz}$ em fase ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Localize os pontos silenciosos no segmento que os une e diga o que ouve um ouvinte que caminha ao longo da mediatriz desse segmento. O que muda se um dos alto-falantes for ligado em oposição de fase?

Solução

Solução de Exercício 5.6.

$\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ . No segmento, à distância $x$ do alto-falante 1, $\delta = (2.0 - x) - x = 2.0 - 2x$ ; silêncio para $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ : $x = 0.1, 0.3, \dots, 1.9$ m, a cada $20\,\mathrm{cm}$ ; o ponto médio é forte. Na mediatriz $\delta = 0$ : forte em todo o percurso (só com o decaimento em $1/r$ ). Em oposição de fase: forte e fraco trocam — silêncio no ponto médio e a cada $20\,\mathrm{cm}$ a partir dele.

Exercício 5.7 ★★

Furos de Young: $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , luz de sódio $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ . Calcule a interfranja; depois para luz azul a $450\,\mathrm{nm}$ ; quantas franjas claras cabem em $2.0\,\mathrm{cm}$ em torno do centro com a lâmpada de sódio?

Solução

Solução de Exercício 5.7.

$i = \lambda D/a = 5.89\times10^{-7} \times 1.5/2.0\times10^{-4} = 4.4\,\mathrm{mm}$ ; azul: $3.4\,\mathrm{mm}$ . Em $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : franjas em $0$ , $\pm 4.4$ , $\pm 8.8$ mm — cinco.

Exercício 5.8 ★★

Duas ondas coerentes de intensidades $I_0$ e $I_0$ interferem: dê $I_{\max}$ e $I_{\min}$ . Mesma pergunta para $I_0$ e $I_0/4$ . Defina o contraste $(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ e calcule-o nos dois casos.

Solução

Solução de Exercício 5.8.

Iguais: $I_{\max} = 4I_0$ , $I_{\min} = 0$ , contraste $1$ . $I_0$ e $I_0/4$ : $I_{\max} = I_0(1 + \tfrac14 + 2 \times \tfrac12) = 2.25I_0$ , $I_{\min} = I_0(1.25 - 1) = 0.25I_0$ ; contraste $2.0/2.5 = 0.8$ .

Exercício 5.9 ★★

Um tubo de $0.50\,\mathrm{m}$ ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Dê as suas três primeiras frequências de ressonância se ele for fechado numa extremidade e depois se for aberto nas duas. Qual é o clarinete e qual é a flauta?

Solução

Solução de Exercício 5.9.

Fechado–aberto: $f = (2n + 1)c/4L = 170$ , $510$ , $850\,\mathrm{Hz}$ (só harmônicos ímpares: o clarinete). Aberto–aberto: $nc/2L = 340$ , $680$ , $1020\,\mathrm{Hz}$ (a flauta).

Exercício 5.10 ★★★

Em água profunda, a velocidade de fase de uma onda senoidal vale $v_\varphi = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ . Calcule-a para $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ e $100\,\mathrm{m}$ . Uma tempestade a $1000\,\mathrm{km}$ levanta as duas: qual ondulação chega primeiro à costa, e com que antecedência? Por que isso torna o mar “dispersivo”?

Solução

Solução de Exercício 5.10.

$v_\varphi = \sqrt{9.81 \times 10/2\pi} = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $100\,\mathrm{m}$ . A ondulação longa primeiro: $10^6/12.5 = 22\,\mathrm{h}$ contra $10^6/3.95 = 70\,\mathrm{h}$ , dois dias antes. A velocidade depende do comprimento de onda: um mar misturado se separa por comprimento de onda enquanto viaja — é a dispersão.

Exercício 5.11 ★★★

Mostre que tocar levemente uma corda num ponto a $L/3$ de uma extremidade deixa apenas os modos de frequência $3f_1, 6f_1, \dots$ , e que dedilhar uma corda no seu meio não excita nenhum modo par. (Sugestão: o que um nó, ou um deslocamento máximo, nesse ponto exige do $\sin(n\pi x/L)$ de cada modo?)

Solução

Solução de Exercício 5.11.

O modo $n$ tem forma $\sin(n\pi x/L)$ . Um nó imposto em $x = L/3$ exige $\sin(n\pi/3) = 0$ , isto é, $n$ múltiplo de $3$ : frequências $3f_1, 6f_1, \dots$ Dedilhar em $L/2$ dá à corda um deslocamento máximo ali, para o qual o modo $n$ só pode contribuir se $\sin(n\pi/2) \neq 0$ : os modos pares, que têm um nó em $L/2$ , nada recebem.

Exercício 5.12 ★★★

Um receptor de rádio à distância $d$ de uma parede metálica recebe a onda direta de um transmissor distante e a onda refletida pela parede, que percorre $2d$ a mais e ganha uma fase extra de $\pi$ na reflexão. Em $f = 100\,\mathrm{MHz}$ , encontre as distâncias $d$ para as quais o sinal se anula e aquelas em que ele é mais forte. Como isso explica os “pontos mortos” de um rádio de carro num túnel?

Solução

Solução de Exercício 5.12.

$\lambda = c/f = 3.0\,\mathrm{m}$ . Diferença de fase $2\pi(2d)/\lambda + \pi$ ; destrutiva quando ela vale $(2m + 1)\pi$ : $2d/\lambda = m$ , $d = m\lambda/2 = 0, 1.5, 3.0, \dots$ m; construtiva quando $2d/\lambda = m + \tfrac12$ : $d = 0.75, 2.25, \dots$ m. As paredes e o teto do túnel refletem a onda: um padrão estacionário com pontos mortos a cada meio comprimento de onda ao longo do percurso do carro.

5.6 Problema: a corda de Melde e o violão

Problema 5.1

Problema de fim de semana — uma corda vibrante numa bancada, uma polia e alguns pesos, depois um violão: como a contagem de meios comprimentos de onda fixa cada nota do braço

Uma corda de massa por unidade de comprimento $\mu$ é esticada horizontalmente com uma tensão $F$ entre um pequeno vibrador eletromagnético em $x = L$ (que a sacode transversalmente com amplitude minúscula na frequência $f$ ) e um ponto fixo em $x = 0$ ; as ondas transversais nela viajam com $c = \sqrt{F/\mu}$ (deduzido no volume do segundo ano).

Parte I — Ondas na corda.

Verifique por análise dimensional que $\sqrt{F/\mu}$ é uma velocidade.
O vibrador envia para $x = 0$ a onda $s_i(x, t) = A\cos(\omega t + kx)$ . Por que o sinal $+kx$ ? Dê $k$ em função de $f$ e $c$ .
Para $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $F = 0.90\,\mathrm{N}$ e $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , calcule $c$ , $\lambda$ e $k$ .
Dois pontos da corda distam $15\,\mathrm{cm}$ . Qual é a diferença de fase entre os seus movimentos para essa onda progressiva?
Para $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ , qual é a velocidade transversal máxima de um ponto da corda? Compare com $c$ .

Parte II — Reflexão e onda estacionária. Na extremidade fixa $x = 0$ a onda é refletida com o sinal invertido: $s_r(x, t) = -A\cos(\omega t - kx)$ .

Por que a onda refletida deve trazer $-kx$ na sua fase, e por que a amplitude é invertida (pense no que o sinal total precisa ser em $x = 0$ )?
Mostre que $s = s_i + s_r = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .
Localize os nós e os ventres; dê a distância entre dois nós vizinhos.
A amplitude própria do vibrador é tão pequena que $x = L$ é praticamente um nó. Deduza a condição sobre $L$ para uma grande onda estacionária (ressonância) e as frequências permitidas $f_n$ .
Com $L = 1.20\,\mathrm{m}$ e os dados da questão 3, quantos meios comprimentos de onda (“fusos”) aparecem? A corda está em ressonância?
Mantendo $f = 50\,\mathrm{Hz}$ e $L$ , que tensões dão ressonâncias com $3$ e com $6$ fusos?
Inversamente, contam-se os fusos para medir $\mu$ : com $F = 1.6\,\mathrm{N}$ , $3$ fusos a $50\,\mathrm{Hz}$ em $1.20\,\mathrm{m}$ , calcule $\mu$ .
A tensão é imposta por uma massa $m$ pendurada numa polia, $F = mg$ , com $m$ conhecida a $\pm1\,\mathrm{g}$ em $163\,\mathrm{g}$ , e $L$ a $\pm2\,\mathrm{mm}$ . Qual medida limita $\mu$ , e qual é a sua incerteza relativa?

Parte III — O violão. Seis cordas de comprimento vibrante $L = 650\,\mathrm{mm}$ são afinadas em $82.4\,\mathrm{Hz}$ (mi grave), $110$ , $147$ , $196$ , $247$ e $329.6\,\mathrm{Hz}$ (mi agudo).

Qual modo o ouvido toma como altura do som? Exprima $c$ em cada corda a partir de $L$ e da altura, e calcule-o para as duas cordas mi.
A corda mi grave tem $\mu = 6.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , e a mi aguda $\mu = 0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : calcule as suas tensões. Por que as cordas graves são encapadas com metal em vez de simplesmente mais esticadas?
A música ocidental divide a oitava em doze semitons iguais: cada traste multiplica a frequência por $2^{1/12}$ . Mostre que o $n$ -ésimo traste deve ficar a uma distância $L(1 - 2^{-n/12})$ da pestana, e calcule as posições dos trastes $1$ , $5$ , $7$ e $12$ .
O espaçamento dos trastes encolhe ao subir o braço: por qual fator de um traste para o seguinte?
Um capotraste preso no traste $3$ encurta todas as cordas: por qual fator ele eleva cada altura, e qual é o novo comprimento vibrante?
Tocar (sem pressionar) a corda mi grave sobre o traste $12$ e depois sobre o traste $7$ (em $L/3$ ) dá dois “harmônicos”: quais frequências, e quais modos sobrevivem?
Dedilhar perto do cavalete soa mais brilhante do que dedilhar sobre a boca do instrumento. Explique com as formas dos modos.
Duas cordas são afinadas a uma quinta de distância ( $f_2 = 1.5f_1$ ). Tocadas juntas, um ouvinte percebe um leve batimento a $2\,\mathrm{Hz}$ entre o terceiro harmônico da corda grave e o segundo harmônico da aguda: qual é a razão real $f_2/f_1$ , se $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ ?

Parte IV — Afinando com um diapasão.

A corda lá ( $110\,\mathrm{Hz}$ ) é afinada contra o diapasão de $440\,\mathrm{Hz}$ . Qual harmônico da corda bate contra o diapasão? Se se ouvem $3\,$ batimentos por segundo, quais são as duas frequências possíveis da corda?
Girar a cravelha aumenta ligeiramente a tensão e os batimentos aceleram: qual das duas era, e de quanto, relativamente, a tensão deve mudar para chegar à altura correta?
Mostre que uma variação relativa $\dd F/F$ da tensão altera a frequência de $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .
Resuma a cadeia de resultados: como o comprimento, a tensão e a massa da corda fixam a sua fundamental, como os trastes fixam a escala e como os batimentos a afinam — e nomeie a única relação por trás de tudo isso.

Solução

Solução de Problema 5.1.

1. $[F/\mu] = M L T^{-2}/(M L^{-1}) = L^2 T^{-2}$ : uma velocidade ao quadrado.

2. Uma onda que vai para $-x$ depende de $t + x/c$ , isto é, de $\omega t + kx$ ; $k = \omega/c = 2\pi f/c$ .

3. $c = \sqrt{0.90/1.0\times10^{-3}} = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.60\,\mathrm{m}$ ; $k = 2\pi/\lambda = 10.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ .

4. $\Delta\varphi = kd = 10.5 \times 0.15 = 1.6\,\mathrm{rad} = \pi/2$ .

5. $v_{\max} = A\omega = 2.0\times10^{-3} \times 2\pi \times 50 = 0.63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , cinquenta vezes menor que $c$ : os pontos da corda se movem devagar enquanto a forma corre.

6. Ela viaja para $+x$ : fase $\omega t - kx$ . Na extremidade fixa o deslocamento total se anula em todo instante: $s_i(0, t) + s_r(0, t) = A\cos\omega t + (-A)\cos\omega t = 0$ .

7. $\cos(\omega t + kx) - \cos(\omega t - kx) = -2\sin(\omega t)\sin(kx)$ , logo $s = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .

8. Nós: $\sin kx = 0$ , $x = n\lambda/2$ ; ventres $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ ; nós vizinhos separados por $\lambda/2$ .

9. $\sin kL = 0$ : $L = n\lambda/2$ , isto é, $f_n = nc/2L$ .

10. $n = 2L/\lambda = 2.4/0.60 = 4$ : quatro fusos, um inteiro — ressonância.

11. $3$ fusos: $\lambda = 2L/3 = 0.80\,\mathrm{m}$ , $c = \lambda f = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = \mu c^2 = 1.6\,\mathrm{N}$ . $6$ fusos: $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ , $c = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = 0.40\,\mathrm{N}$ .

12. $c = 2Lf/n = 2 \times 1.20 \times 50/3 = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mu = F/c^2 = 1.6/1600 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m} = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ .

13. $\mu = mgn^2/(4L^2f^2)$ : $u(\mu)/\mu = \sqrt{(u_m/m)^2 + (2u_L/L)^2} = \sqrt{0.61^2 + 0.33^2}\,\% = 0.7\%$ ; a massa é o que limita.

14. A fundamental. $c = 2Lf_1$ : mi grave $2 \times 0.650 \times 82.4 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; mi agudo $428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

15. $F = \mu c^2$ : mi grave $6.0\times10^{-3} \times 107^2 = 69\,\mathrm{N}$ ; mi agudo $4.0\times10^{-4} \times 428^2 = 73\,\mathrm{N}$ — tensões comparáveis. Baixar $f$ por um fator $4$ com $L$ e $\mu$ fixos exigiria $16$ vezes menos tensão: uma corda mole e trepidante. Encapar aumenta $\mu$ em vez disso.

16. $f_n = 2^{n/12}f_1$ e $f \propto 1/L$ : $L_n = 2^{-n/12}L$ , distância da pestana $L - L_n = L(1 - 2^{-n/12})$ : traste 1 $36.5\,\mathrm{mm}$ , traste 5 $163\,\mathrm{mm}$ , traste 7 $216\,\mathrm{mm}$ , traste 12 $325\,\mathrm{mm}$ .

17. Cada espaçamento vale $2^{-1/12} = 0.944$ vezes o anterior.

18. Fator $2^{3/12} = 1.19$ (três semitons); comprimento $650 \times 2^{-3/12} = 547\,\mathrm{mm}$ .

19. Tocando em $L/2$ : só modos pares, altura $2f_1 = 165\,\mathrm{Hz}$ ; em $L/3$ : múltiplos de $3$ , altura $3f_1 = 247\,\mathrm{Hz}$ .

20. Perto de uma extremidade, $\sin(n\pi x/L) \approx n\pi x/L$ cresce com $n$ : os modos altos são relativamente mais excitados — som brilhante. Sobre a boca (perto do meio) os modos pares são fracos e a fundamental domina — som doce.

21. $3f_1 = 330\,\mathrm{Hz}$ bate a $2\,\mathrm{Hz}$ com $2f_2$ : $f_2 = 166$ ou $164\,\mathrm{Hz}$ , razão $1.509$ ou $1.491$ (a quinta temperada vale $2^{7/12} = 1.498$ ).

22. O quarto harmônico, $4f$ . Três batimentos: $4f = 437$ ou $443\,\mathrm{Hz}$ , $f = 109.25$ ou $110.75\,\mathrm{Hz}$ .

23. Os batimentos aceleram ao apertar, logo a corda estava alta: $110.75\,\mathrm{Hz}$ . Ela deve baixar $0.75/110.75 = 0.68\%$ , isto é, a tensão deve cair $1.4\%$ .

24. $f = (n/2L)\sqrt{F/\mu}$ , logo $\ln f = \tfrac12\ln F + \text{const}$ e $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .

25. $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ : o comprimento fixa $\lambda_1 = 2L$ , a tensão e a massa fixam $c$ , os trastes escalam $L$ por $2^{-n/12}$ , e os batimentos revelam $f - f_{\text{ref}}$ . Por trás de tudo, uma relação: $\lambda f = c$ , com a condição de onda estacionária $L = n\lambda/2$ .

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