Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

4Instrumentos ópticos e o olho

Da última fileira de uma sala de concertos, um binóculo traz o rosto do cantor à distância de um braço; um microscópio transforma uma gota de água de lagoa num zoológico; um celular da espessura de um dedo fotografa a Via Láctea. Cada um desses instrumentos é um punhado de lentes delgadas dispostas com um único fim: apresentar ao olho, ou a um sensor, uma imagem maior, mais brilhante ou mais nítida do que o olho formaria sozinho. Por isso o capítulo começa pelo próprio olho — o que ele pode e o que não pode fazer — e depois constrói a lupa, o microscópio, a luneta e a câmera a partir da relação de conjugação do capítulo anterior.

O refrator de 40 polegadas do Observatório Yerkes (1897), ainda a maior luneta já construída: uma objetiva de um metro e um tubo de dezenove. Além desse tamanho a lente cede sob o próprio peso, e a astronomia passou aos espelhos.

Uma pequena luneta ao anoitecer: uma objetiva de longa distância focal e uma ocular de distância focal curta — a luneta afocal deste capítulo, apontada para a Lua do seu problema de fim de semana.

4.1 O olho

Definição 4.1 (Olho reduzido)

O olho reduzido modela a córnea e o cristalino como uma única lente delgada convergente de distância focal variável, e a retina como um anteparo a uma distância fixa $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ atrás dela. Os músculos mudam a curvatura do cristalino para manter na retina a imagem do objeto observado: é a acomodação. A íris, diante do cristalino, é um diafragma variável de diâmetro $2\,$ a $8\,\mathrm{mm}$ , a pupila.

Definição 4.2 (Ponto remoto, ponto próximo)

O ponto remoto (punctum remotum) é o ponto-objeto visto nitidamente sem acomodação; o ponto próximo (punctum proximum), o ponto mais próximo visto nitidamente com acomodação máxima. Para um olho normal (emétrope) o ponto remoto está no infinito e o ponto próximo em $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$ , a distância mínima de visão distinta convencional. A diferença de vergências necessária para os dois é a amplitude de acomodação: cerca de $4\,\delta$ para um adulto jovem, decrescente com a idade.

Exemplo 4.3 (A vergência do olho)

Objeto distante: imagem a $d = 17\,\mathrm{mm}$ significa $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 59\,\delta$ . Objeto a $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$ . Quatro dioptrias de acomodação em sessenta: o cristalino acrescenta apenas alguns por cento ao trabalho da córnea, mas esses poucos por cento são tudo para a leitura.

Proposição 4.4 (Defeitos e correções)

Um olho míope é convergente demais: o seu ponto remoto está a uma distância finita $D_r$ ; uma lente divergente de distância focal $f' = -D_r$ (usada junto ao olho) conjuga o infinito no ponto remoto e restaura a visão de longe. Um olho hipermetrope não é convergente o bastante: o seu ponto remoto é virtual (atrás do olho) e o seu ponto próximo, longe demais; uma lente convergente o corrige. A presbiopia é a perda de acomodação com a idade: o ponto próximo se afasta e a leitura exige lentes convergentes, qualquer que seja o ponto remoto.

Demonstração. Uma lente junto ao olho e o olho formam um sistema cujo objeto deve ser o que o olho consegue ver: a lente precisa transformar um objeto no infinito numa imagem virtual no ponto remoto, $\overline{OA'} = -D_r$ para $\overline{OA} = -\infty$ , de modo que $f' = \overline{OA'} = -D_r$ . Os outros casos seguem do mesmo argumento com os pontos pertinentes. ∎

O olho reduzido: uma lente delgada de distância focal variável e uma retina 17\, mm atrás dela. Relaxado, ele focaliza objetos distantes; acomodando, ele encurta f' para trazer à retina a imagem de um objeto próximo. A imagem é invertida — o cérebro a desvira. — O olho reduzido: uma lente delgada de distância focal variável e uma retina $17\,\mathrm{mm}$ atrás dela. Relaxado, ele focaliza objetos distantes; acomodando, ele encurta $f'$ para trazer à retina a imagem de um objeto próximo. A imagem é invertida — o cérebro a desvira.

Definição 4.5 (Tamanho angular e resolução)

O tamanho angular de um objeto de altura $h$ à distância $D$ é $\theta \approx h/D$ (ângulos pequenos). O olho distingue dois pontos apenas se a sua separação angular exceder a sua resolução angular, cerca de $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (um minuto de arco): o espaçamento das células cones e a difração na pupila fixam ambos esse limite.

Observação 4.6 (Para que serve um instrumento)

Levado ao ponto próximo, um detalhe de $1\,\mathrm{mm}$ subtende $1/250 = 4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : treze vezes o limite de resolução; um detalhe de $0.05\,\mathrm{mm}$ subtende $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ e é invisível. Os instrumentos que olham objetos próximos (lupa, microscópio) aumentam o tamanho angular além do que aproximar o objeto conseguiria; os instrumentos para objetos distantes (luneta) aumentam o tamanho angular do que não se pode aproximar; a câmera substitui a retina por um sensor capaz de integrar luz durante segundos e de ser ampliado depois.

4.2 A lupa

Definição 4.7 (Aumento angular)

Para um instrumento usado pelo olho, o aumento angular é $G = \theta'/\theta$ , em que $\theta'$ é o tamanho angular da imagem vista através do instrumento e $\theta$ o tamanho angular do objeto visto a olho nu — no ponto próximo $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ para um objeto próximo, e no lugar em que está para um objeto distante.

Proposição 4.8 (A lupa)

Uma lente convergente de distância focal $f' < d_m$ com o objeto no seu plano focal objeto dá uma imagem no infinito, vista sem acomodação, com

G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .

Demonstração. Objeto $AB$ de altura $h$ no plano focal: os raios que partem de $B$ saem paralelos, com o ângulo do raio que passa por $O$ , $\theta' = h/f'$ . A olho nu, no melhor caso: $\theta = h/d_m$ . Razão $d_m/f'$ . ∎

Exemplo 4.9 (A lupa do relojoeiro)

$f' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = 250/25 = 10$ , vendida como “ $10\times$ ”. Um detalhe de $0.05\,\mathrm{mm}$ subtende então $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , confortavelmente resolvido. Levar $G$ mais alto significa $f'$ de poucos milímetros, uma lente minúscula encostada no olho — o limite da lente única, e a razão de existir do microscópio.

4.3 O microscópio

Definição 4.10 (Microscópio composto)

Um microscópio é uma objetiva $L_1$ de curta distância focal $f_1'$ que forma uma imagem intermediária real e ampliada de um objeto próximo no plano focal objeto de uma ocular $L_2$ (distância focal $f_2'$ ), que funciona como lupa. A distância $\Delta = \overline{F_1'F_2}$ entre o foco imagem da objetiva e o foco objeto da ocular é o intervalo óptico, padronizado em $160\,\mathrm{mm}$ nos instrumentos clássicos.

Proposição 4.11 (Aumento de um microscópio)

Com a imagem final no infinito,

\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'}, \qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .

Demonstração. A imagem intermediária $A_1B_1$ fica no plano focal objeto da ocular, isto é, em $\overline{F_1'A_1} = \Delta$ ; a relação de Newton dá $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$ . A ocular então mostra $A_1B_1$ (altura $\abs{\gamma_1} h$ ) no infinito sob o ângulo $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$ , contra $\theta = h/d_m$ a olho nu. ∎

O microscópio: a objetiva forma uma imagem intermediária real, ampliada e invertida A_1B_1 no plano focal objeto da ocular; a ocular a envia ao infinito, onde o olho relaxado a observa sob um ângulo grande. — O microscópio: a objetiva forma uma imagem intermediária real, ampliada e invertida $A_1B_1$ no plano focal objeto da ocular; a ocular a envia ao infinito, onde o olho relaxado a observa sob um ângulo grande.

Exemplo 4.12 (Um microscópio escolar)

Objetiva $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , ocular $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ : $\gamma_1 = -40$ , $G_2 = 10$ , $G = 400$ . O objeto fica a $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ de $F_1$ : $4.1\,\mathrm{mm}$ da objetiva. Focalizar significa mover o tubo inteiro por frações de milímetro.

Observação 4.13 (O limite de resolução)

Aumentar sem limite seria inútil: a luz é uma onda, e uma objetiva que aceita raios dentro de um semiângulo $u$ (num meio de índice $n$ ) não consegue separar dois pontos mais próximos que cerca de $\lambda/(2n\sin u)$ — o tratamento ondulatório do volume do segundo ano o deduz. Com $n\sin u \approx 1.4$ (imersão em óleo) e $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , o limite fica perto de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Para tornar esse detalhe visível ao olho ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ a $25\,\mathrm{cm}$ , isto é, $75\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), um aumento de cerca de $400$ basta; além de $1000$ a imagem fica apenas maior, não mais rica: é o aumento vazio.

4.4 A luneta astronômica

Proposição 4.14 (Luneta refratora)

Uma objetiva $L_1$ e uma ocular $L_2$ com $F_1' = F_2$ formam um sistema afocal: uma estrela (no infinito) é vista no infinito, o olho relaxado a observa, e

G = -\frac{f_1'}{f_2'} .

A imagem do bordo da objetiva através da ocular é a pupila de saída: um disco luminoso de diâmetro $D/\abs G$ situado $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ atrás da ocular, onde a pupila do olho deve ser colocada para receber toda a luz.

Demonstração. $G$ foi deduzido na Proposição 3.18. A objetiva, vista de $L_2$ , é um objeto em $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ ; Descartes dá $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ , e o aumento $\overline{O_2P'}/ \overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ leva o diâmetro $D$ a $D/\abs G$ . Todo raio que entra na objetiva sai pela pupila de saída, pois cada ponto da objetiva é ali conjugado. ∎

A luneta astronômica: um feixe paralelo vindo de uma estrela é focalizado pela objetiva no plano focal comum e devolvido ao infinito pela ocular, sob um ângulo G vezes maior. Toda a luz recolhida pela objetiva de diâmetro D passa pela pupila de saída, de diâmetro D/ G. — A luneta astronômica: um feixe paralelo vindo de uma estrela é focalizado pela objetiva no plano focal comum e devolvido ao infinito pela ocular, sob um ângulo $\abs G$ vezes maior. Toda a luz recolhida pela objetiva de diâmetro $D$ passa pela pupila de saída, de diâmetro $D/\abs G$ .

Proposição 4.15 (O que uma luneta ganha)

Comparada ao olho nu (pupila $d_p$ ):

tamanho angular: multiplicado por $\abs G$ ;
luz recolhida de uma fonte pontual: multiplicada por $(D/d_p)^2$ , desde que a pupila de saída não seja maior que a pupila do olho, isto é, $\abs G \geq D/d_p$ ;
resolução angular: a difração na objetiva a limita a $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ (critério de Rayleigh), muito abaixo do $\epsilon$ do olho; o aumento que torna esse limite visível é $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , e aumentos maiores só ampliam a mancha.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 4.16 (Um refrator amador de 150 milímetros)

$D = 150\,\mathrm{mm}$ , $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ , ocular de $25\,\mathrm{mm}$ : $G = -48$ ; pupila de saída $3.1\,\mathrm{mm}$ ; ganho de luz $(150/7)^2 \approx 460$ frente a uma pupila adaptada ao escuro de $7\,\mathrm{mm}$ ; resolução $1.22 \times 550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$ , ou seja, crateras de $1.7\,\mathrm{km}$ na Lua; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times 10^{-6} \approx 67$ — a ocular de $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) não mostra mais detalhe, apenas um disco maior e mais fraco. O problema de fim de semana projeta este instrumento.

Observação 4.17 (Refletores, binóculos, lunetas de Galileu)

Um espelho côncavo de distância focal $f_1'$ substitui a objetiva de lente no telescópio refletor (sem dispersão cromática, e um espelho pode ter metros de largura e ser sustentado por trás): tudo o que foi dito acima vale com $f_1'$ igual à distância focal do espelho. A imagem é invertida — inofensivo para estrelas; para uso terrestre, os binóculos inserem um par de prismas de reflexão total para endireitá-la, e a luneta de Galileu usa uma ocular divergente ( $f_2' < 0$ , $G > 0$ ), mais curta, mas com um campo estreito.

4.5 A câmera

Definição 4.18 (Câmera; número f)

Uma câmera é uma lente convergente de distância focal $f'$ que forma uma imagem real sobre um sensor, em $\overline{OA'} \approx f'$ para motivos distantes; focalizar desloca a lente. Um diafragma de diâmetro $D$ limita o feixe; o número f é $N = f'/D$ (escrito $f/N$ ). O ângulo de campo vale $2\arctan(\ell/2f')$ para um sensor de largura $\ell$ .

Proposição 4.19 (Exposição e profundidade de campo)

A irradiância sobre o sensor varia como $1/N^2$ , de modo que o tempo de exposição para um dado brilho de imagem varia como $N^2$ . Um ponto a uma distância diferente daquela em que se focalizou forma um disco de confusão; exigindo que ele fique abaixo de um diâmetro tolerado $c$ , uma lente focalizada na distância hiperfocal

H = \frac{f'^2}{N c}

mostra aceitavelmente nítido tudo o que estiver entre $H/2$ e o infinito.

Demonstração. Irradiância $=$ potência/área $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (a imagem de um dado motivo tem tamanho fixado por $f'$ , e a potência recolhida cresce como $D^2$ ). Focalize à distância $p$ , com a imagem em $q \approx f'$ ; um ponto no infinito focaliza em $f'$ , isto é, $q - f'$ antes do sensor; o seu cone de raios, de base $D$ na lente, tem diâmetro $D(q - f')/q$ sobre o sensor (triângulos semelhantes). Com $1/q = 1/f' - 1/p$ paraxialmente, $q - f' \approx f'^2/p$ para $p \gg f'$ , de modo que o borrão vale $Df'/p = f'^2/(Np)$ ; ele iguala $c$ para $p = H$ . A mesma geometria do lado próximo dá o limite $H/2$ . ∎

Profundidade de campo: a lente está focalizada num ponto à distância p (imagem sobre o sensor); um ponto no infinito focaliza em F', antes do sensor, e deixa um disco de confusão de diâmetro c = Df'/p — menor para uma abertura pequena (grande N), donde o compromisso entre nitidez e tempo de exposição. — Profundidade de campo: a lente está focalizada num ponto à distância $p$ (imagem sobre o sensor); um ponto no infinito focaliza em $F'$ , antes do sensor, e deixa um disco de confusão de diâmetro $c = Df'/p$ — menor para uma abertura pequena (grande $N$ ), donde o compromisso entre nitidez e tempo de exposição.

Exemplo 4.20 (Full frame e celular)

Uma lente de $50\,\mathrm{mm}$ num sensor de $36\,\mathrm{mm}$ de largura: ângulo de campo $2\arctan(18/50) = 40^\circ$ ; em $f/8$ com $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ , $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$ : focalizada a $10\,\mathrm{m}$ , tudo além de $5\,\mathrm{m}$ fica nítido. Uma lente de celular, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ em $f/1.8$ num sensor de $6\,\mathrm{mm}$ com $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : mesmo ângulo de campo ( $70{}^{\circ}$ de largura), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) = 2.1\,\mathrm{m}$ — quase tudo fica focalizado ao mesmo tempo, razão pela qual os celulares simulam o desfoque do fundo por software.

As lentes de prova e a armação de prova de um optometrista: uma lente convergente ou divergente de vergência adequada diante do olho leva o seu ponto remoto de volta ao infinito.

4.6 Exercícios

Exercício 4.1 ★

Com a retina $17\,\mathrm{mm}$ atrás do cristalino, calcule a vergência de um olho normal que olha para o infinito e depois para $25\,\mathrm{cm}$ ; deduza a amplitude de acomodação. A que distâncias focais isso corresponde?

Solução

Solução de Exercício 4.1.

Infinito: $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$ . $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$ , $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$ . Amplitude $4.0\,\delta$ .

Exercício 4.2 ★

Um olho míope tem o ponto remoto a $40\,\mathrm{cm}$ . Que lente o corrige (distância focal, vergência)? Um olho hipermetrope não consegue acomodar em nada mais perto que $1.0\,\mathrm{m}$ : que lente lhe permite ler a $25\,\mathrm{cm}$ ?

Solução

Solução de Exercício 4.2.

Míope: o infinito deve ser conjugado no ponto remoto, $f' = -40\,\mathrm{cm}$ , $V = -2.5\,\delta$ . Hipermetrope: um objeto a $25\,\mathrm{cm}$ deve ser conjugado (virtualmente) a $1.0\,\mathrm{m}$ : $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = -1 + 4 = +3.0\,\delta$ .

Exercício 4.3 ★

Uma lupa tem $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$ . Dê o seu aumento angular, onde o selo deve ser mantido e o tamanho angular de um detalhe de $2\,\mathrm{mm}$ através dela, comparado ao olho nu a $25\,\mathrm{cm}$ .

Solução

Solução de Exercício 4.3.

$G = 25/4.0 = 6.3$ ; selo no plano focal, a $4.0\,\mathrm{cm}$ da lente. Detalhe de $2\,\mathrm{mm}$ : $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$ , contra $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ a $25\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 4.4 ★

Um refrator tem $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$ . Calcule $G$ com uma ocular de $25\,\mathrm{mm}$ e com outra de $9\,\mathrm{mm}$ , o comprimento do tubo em cada caso e o tamanho aparente da Lua ( $0.52^\circ$ ).

Solução

Solução de Exercício 4.4.

$G = 900/25 = 36$ e $900/9 = 100$ ; comprimentos de tubo $f_1' + f_2' = 925\,\mathrm{mm}$ e $909\,\mathrm{mm}$ ; Lua: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ e $52^\circ$ .

Exercício 4.5 ★★

Microscópio: $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ . Calcule $\gamma_1$ , $G_2$ , $G$ e a distância objeto–objetiva. Quanto o tubo precisa se deslocar para trazer ao foco um plano $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ mais profundo do objeto?

Solução

Solução de Exercício 4.5.

$\gamma_1 = -160/4 = -40$ ; $G_2 = 250/20 = 12.5$ ; $G = 500$ . $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ : objeto a $4.1\,\mathrm{mm}$ da objetiva. O objeto deve permanecer a essa distância da objetiva, de modo que o tubo inteiro se desloca $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — é o botão de foco fino.

Exercício 4.6 ★★

Dois faróis distam $1.5\,\mathrm{m}$ um do outro. De que distância o olho nu ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) consegue distingui-los? Uma luneta com $D = 100\,\mathrm{mm}$ : calcule o seu limite de difração ( $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ), a distância em que ela separa os faróis e o aumento $G_r$ além do qual ela nada mostra de novo.

Solução

Solução de Exercício 4.6.

Olho nu: $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$ . Luneta: $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ; faróis separados até $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (em princípio — o ar e a curvatura da Terra intervêm antes). $G_r = 3\times10^{-4}/ 6.7\times10^{-6} = 45$ .

Exercício 4.7 ★★

Uma lente de $50\,\mathrm{mm}$ em $f/2$ : qual é o diâmetro da abertura? Uma cena é corretamente exposta em $f/2$ com $1/500$ $\mathrm{s}$ ; que tempo de exposição em $f/8$ ? O que a abertura menor traz em troca?

Solução

Solução de Exercício 4.7.

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$ . Exposição $\propto N^2$ : $(8/2)^2 = 16$ vezes mais longa, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$ . Ela traz profundidade de campo (e menos aberrações) ao preço de borrão de movimento ou de um tripé.

Exercício 4.8 ★★

Calcule a distância hiperfocal de uma lente de $35\,\mathrm{mm}$ em $f/11$ com $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ , e a faixa de distâncias nítidas quando ela está focalizada em $H$ . Os fotógrafos de rua deixam isso pré-ajustado: por quê?

Solução

Solução de Exercício 4.8.

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$ ; nítido de $H/2 = 1.9\,\mathrm{m}$ ao infinito. Pré-ajustada em $H$ , a câmera dispensa focalizar: a foto pode ser feita no instante em que a cena acontece.

Exercício 4.9 ★★

Um binóculo “ $8\times30$ ” tem $G = 8$ e $D = 30\,\mathrm{mm}$ . Calcule a pupila de saída; toda a luz é aproveitada por uma pupila noturna de $7\,\mathrm{mm}$ ? E para “ $7\times50$ ”? Qual dos dois é melhor ao anoitecer, e por que “ $20\times30$ ” é uma má escolha?

Solução

Solução de Exercício 4.9.

$8\times30$ : pupila de saída $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$ , toda a luz entra no olho. $7\times50$ : $7.1\,\mathrm{mm}$ , casando com a pupila noturna, e $(50/30)^2 = 2.8$ vezes mais luz recolhida: o par para o anoitecer. $20\times30$ : pupila de saída $1.5\,\mathrm{mm}$ , imagem fraca, campo estreito e tremor de mão ampliado vinte vezes.

Exercício 4.10 ★★★

O ponto remoto de um míope está a $25\,\mathrm{cm}$ do olho. Calcule a vergência da lente de contato corretora e depois a de óculos usados $15\,\mathrm{mm}$ à frente do olho. Qual correção é mais forte, e por que as duas diferem?

Solução

Solução de Exercício 4.10.

Lente de contato: $f' = -25\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.0\,\delta$ . Óculos: o ponto remoto fica a $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ da lente, logo $f' = -23.5\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.3\,\delta$ — mais forte. A lente deve formar a imagem no ponto remoto do olho, cuja distância à lente depende de onde a lente se encontra.

Exercício 4.11 ★★★

Luneta de Galileu: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$ , $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$ . Encontre a separação das lentes para um sistema afocal, $G$ e a orientação da imagem. Localize a pupila de saída e explique por que o campo de visão é estreito.

Solução

Solução de Exercício 4.11.

Afocal: $F_1' = F_2$ , separação $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (mais curta que os $40\,\mathrm{cm}$ de uma kepleriana de mesmo $G$ ). $G = -30/(-10) = +3$ : direita. Pupila de saída $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' = -10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$ : virtual, dentro do tubo, onde o olho não pode estar; o olho atrás da ocular capta apenas os feixes que por acaso o alcançam — campo estreito, a queixa clássica contra os binóculos de teatro.

Exercício 4.12 ★★★

Uma luneta de $200\,\mathrm{mm}$ e uma pupila de $7\,\mathrm{mm}$ . Por qual fator a luz de uma estrela é aumentada? Os astrônomos graduam o brilho por magnitudes, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$ ; o olho alcança a magnitude $6$ : que magnitude limite a luneta dá? Quantas vezes mais longe uma dada lâmpada pode ser vista?

Solução

Solução de Exercício 4.12.

$(200/7)^2 = 820$ ; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$ : magnitude limite $13.3$ . Como o fluxo $\propto 1/r^2$ , a lâmpada é vista $\sqrt{820} = 29$ vezes mais longe.

A face visível da Lua (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): o alvo da luneta do problema de fim de semana, 3476\, km de diâmetro a 384\,000\, km. — A face visível da Lua (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): o alvo da luneta do problema de fim de semana, $3476\,\mathrm{km}$ de diâmetro a $384\,000\,\mathrm{km}$ .

4.7 Problema: projetando uma luneta para a Lua

Problema 4.1

Problema de fim de semana — um refrator de 150 milímetros no gramado do quintal: escolher as oculares, posicionar o olho, contar a luz e descobrir qual a menor cratera que ele consegue mostrar

A objetiva é uma lente convergente $L_1$ de distância focal $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ e diâmetro $D = 150\,\mathrm{mm}$ ; há oculares $L_2$ de distâncias focais $25\,\mathrm{mm}$ e $6\,\mathrm{mm}$ . A Lua está a $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ e subtende $0.52^\circ$ ; a pupila noturna do olho vale $7\,\mathrm{mm}$ e a sua resolução $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Parte I — O arranjo afocal.

Onde a ocular deve ser colocada para que uma estrela seja vista sem acomodação? Dê a distância objetiva–ocular para cada ocular.
Verifique, com a relação de Descartes aplicada a cada lente por sua vez, que um ponto no infinito sobre o eixo é conjugado no infinito.
Mostre que um feixe vindo de uma estrela a um ângulo $\alpha$ do eixo emerge como feixe paralelo a um ângulo $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
Calcule $G$ para cada ocular e o diâmetro aparente da Lua através de cada uma.
A imagem é invertida. Por que isso é aceitável aqui, e o que acrescentaria uma luneta terrestre?
Onde está a imagem intermediária real da Lua, e qual é o seu diâmetro? (Ela pode ser fotografada ali.)

Parte II — Onde fica o olho.

Mostre que a ocular forma uma imagem real do bordo da objetiva em $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ atrás dela, de diâmetro $D/\abs G$ (a pupila de saída).
Calcule a posição e o diâmetro da pupila de saída para cada ocular.
Por que a pupila do olho deve ser colocada na pupila de saída? O que acontece com o campo se ela for colocada mais atrás?
Para que a luz de uma estrela seja plenamente aproveitada, a pupila de saída não pode exceder a pupila do olho: deduza o aumento útil mínimo desta luneta à noite.

Parte III — Resolução.

Calcule o limite de difração $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ em radianos e em segundos de arco.
Qual é a menor cratera a que esse ângulo corresponde na Lua? E a olho nu?
Defina e calcule o aumento resolvente $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ . Qual ocular chega mais perto dele?
Com a ocular de $6\,\mathrm{mm}$ a imagem parece mais borrada e mais fraca do que com a de $25\,\mathrm{mm}$ . Explique os dois efeitos.
A turbulência atmosférica espalha as imagens das estrelas em cerca de $1''$ . Para que diâmetros de objetiva o limite de Rayleigh deixa de importar a partir do solo, e o que um $D$ maior ainda traz?

Parte IV — A luz.

Por qual fator a objetiva recolhe mais luz do que a pupila noturna?
Converta isso em magnitudes ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ da razão); se o olho alcança a magnitude $6$ , que magnitude a luneta alcança?
A Lua cheia entrega ao solo uma irradiância de cerca de $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Que potência entra na objetiva, e como ela se distribui sobre a retina em comparação com a observação a olho nu (mesmo argumento de potência por unidade de ângulo sólido: compare o brilho superficial através das duas oculares)?
Por que uma luneta não torna a superfície da Lua mais brilhante por unidade de área do que o olho nu, ao passo que torna as estrelas mais brilhantes?

Parte V — Campo de visão. A ocular traz, no seu plano focal, um diafragma de campo circular de diâmetro $20\,\mathrm{mm}$ (ocular de $25\,\mathrm{mm}$ ) ou $5\,\mathrm{mm}$ (ocular de $6\,\mathrm{mm}$ ).

Mostre que o campo de visão real vale $2\arctan(\phi/2f_1') \approx \phi/f_1'$ para um diafragma de diâmetro $\phi$ .
Calcule-o para as duas oculares e diga se a Lua inteira cabe no campo.
Calcule o campo aparente (o ângulo sob o qual o olho vê o diafragma através da ocular) para as duas.
A Terra gira $15''$ por segundo de tempo: quanto tempo a Lua leva para atravessar o campo de cada ocular sem acompanhamento?
Resuma o projeto: que ocular para a Lua inteira, qual para as crateras, e o menor tamanho de cratera que o instrumento consegue revelar — o seu único número.
A mesma objetiva é substituída por um espelho côncavo de $150\,\mathrm{mm}$ de mesma distância focal. Quais dos resultados acima mudam?

Solução

Solução de Problema 4.1.

1. $F_2 = F_1'$ : separação $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ (ocular de $25\,\mathrm{mm}$ ) ou $1206\,\mathrm{mm}$ ( $6\,\mathrm{mm}$ ).

2. $L_1$ : $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (imagem em $F_1'$ ). $L_2$ : $\overline{O_2A_1} = -f_2'$ , logo $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2') = 0$ : imagem no infinito.

3. O feixe focaliza no plano focal comum à altura $h = f_1'\alpha$ (raio que passa por $O_1$ ); dali, o raio que passa por $O_2$ fixa a direção emergente, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .

4. $G = -48$ e $-200$ ; Lua: $25^\circ$ e $104^\circ$ .

5. Em cima e embaixo nada significam no céu; uma luneta terrestre acrescenta um par de prismas endireitadores (ou um relé de lentes).

6. No plano focal de $L_1$ , diâmetro $f_1'\theta = 1200 \times 9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$ .

7. Objeto $O_1$ em $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ : $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ ; aumento $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ , diâmetro $D/\abs G$ .

8. $25\,\mathrm{mm}$ : $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 = 25.5\,\mathrm{mm}$ , diâmetro $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$ . $6\,\mathrm{mm}$ : $6.0\,\mathrm{mm}$ atrás, diâmetro $0.75\,\mathrm{mm}$ .

9. Todo raio que entrou na objetiva passa pela pupila de saída: um olho ali colocado recebe o campo inteiro. Mais atrás, ele intercepta apenas os feixes centrais: o campo encolhe a um buraco de fechadura.

10. $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$ : $\abs G \geq 150/7 \approx 21$ .

11. $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$ .

12. $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$ ; a olho nu $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$ .

13. $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$ ; a ocular de $25\,\mathrm{mm}$ ( $48$ ) é a mais próxima, ligeiramente abaixo; a de $6\,\mathrm{mm}$ ( $200$ ) fica três vezes acima.

14. Em $G = 200$ a mancha de difração subtende $200 \times 4.5 \times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$ : visivelmente difusa. A luz da Lua se espalha sobre uma área $(200/48)^2 = 17$ vezes maior na retina: mais fraca.

15. $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ : $D = 1.22\lambda/\theta = 140\,\mathrm{mm}$ . Além disso, é a turbulência que limita a resolução a partir do solo (salvo óptica adaptativa); um $D$ maior ainda recolhe mais luz, alcançando objetos mais fracos.

16. $(150/7)^2 = 460$ .

17. $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$ : magnitude $12.7$ .

18. $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ , $460$ vezes a do olho nu. A imagem retiniana tem área $\abs G^2$ vezes maior: razão de brilho superficial $460/G^2 = 0.20$ ( $G = 48$ ), $0.012$ ( $G = 200$ ) — igual a $(D/\abs G)^2/d_p^2$ , o quadrado da razão entre a pupila de saída e a pupila do olho.

19. Para um objeto extenso a luz recolhida cresce como $D^2$ , mas a área da imagem cresce como $G^2 \geq (D/d_p)^2$ : o brilho superficial pode, no máximo, igualar o valor a olho nu (pupila de saída $=$ pupila do olho). Uma estrela não é resolvida: toda a sua luz cai numa única mancha de difração, de modo que o seu brilho cresce como $(D/d_p)^2$ .

20. Um ponto a um ângulo $\beta$ é conjugado à altura $f_1'\beta$ no plano focal; o diafragma deixa passar $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$ : campo total $\phi/f_1'$ (ângulos pequenos).

21. $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$ : a Lua inteira cabe. $5/1200 = 0.24^\circ$ : não cabe.

22. Campo aparente $\phi/f_2'$ : $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$ ; $5/6 = 48^\circ$ .

23. $0.95^\circ = 3420''$ : $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$ , quase quatro minutos; $0.24^\circ = 864''$ : $58\,\mathrm{s}$ .

24. Ocular de $25\,\mathrm{mm}$ ( $G = 48$ , perto de $G_r$ , brilhante, Lua inteira) para o disco; a de $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) para olhar as crateras de perto, mais fraca e mais difusa. O número do instrumento: crateras até $1.7\,\mathrm{km}$ .

25. Mesmos $f_1'$ e $D$ : mesmos $G$ , campos, pupilas de saída, resolução e luz (descontada uma eventual obstrução central). Ganhos: nenhuma aberração cromática. Mudança prática: o foco fica à frente do espelho, de modo que um pequeno espelho secundário precisa desviar o feixe para a ocular.

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