Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

12Energia eletromagnética e o vetor de Poynting

Uma pilha acende uma lâmpada por dois fios de cobre. Por onde viaja a energia? Não pelo interior do cobre: os elétrons ali derivam a um milímetro por segundo e quase nada transportam. A energia flui pelo espaço em torno dos fios, no campo eletromagnético, e entra no filamento da lâmpada pelos seus lados. O Sol entrega um quilowatt a cada metro quadrado de um telhado ensolarado do mesmo modo, através de cento e cinquenta milhões de quilômetros de vácuo. Este capítulo deduz das equações de Maxwell o balanço da energia eletromagnética — quanta se armazena num campo e qual o vetor, o de Poynting, que diz para onde ela vai — e o aplica a um fio, a um capacitor, a uma bobina e a um feixe de luz.

12.1 O balanço de energia do campo

Teorema 12.1 (Teorema de Poynting)

Defina a densidade de energia eletromagnética e o vetor de Poynting

u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad \vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) .

As equações de Maxwell implicam, em cada ponto,

\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E ,

e, para todo volume fixo $V$ limitado por $\Sigma$ ,

\frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau :

a energia do campo dentro de $V$ diminui do que sai pela fronteira — o fluxo de $\vect\Pi$ — e do que o campo entrega às cargas ( $\vect j\cdot\vect E$ , a potência Joule num condutor). $\vect\Pi$ é a densidade de fluxo de energia: a potência que atravessa uma superfície unitária normal a ele.

Demonstração. De Maxwell–Ampère, $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t \vect E$ , de modo que $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$ . A identidade $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B \cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (verifique-a nas componentes) e Maxwell–Faraday dão $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}} \vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0 \operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$ . Reunindo: $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div} \vect\Pi - \partial_tu$ . Integre em $V$ e aplique o teorema do divergente. ∎

Observação 12.2 (O que fica fixado e o que não)

O teorema fixa apenas o fluxo de $\vect\Pi$ por superfícies fechadas e o $u$ total; acrescentar a $\vect\Pi$ qualquer campo de divergente nulo não mudaria nada observável. A escolha acima é a mais simples, é a que concorda com a quantidade de movimento transportada pela luz (adiante) e é usada universalmente. As densidades $\varepsilon_0E^2/2$ e $B^2/2\mu_0$ são as energias do capacitor e do indutor do volume do Ano 1, agora atribuídas a cada ponto do espaço: um campo de $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (o limite de ruptura do ar) armazena $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , e um campo de $1\,\mathrm{T}$ armazena $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — cem mil vezes mais, e é por isso que o armazenamento de energia em ímãs, e não em capacitores, chega ao megajoule.

12.2 Por onde flui a energia: três circuitos

Exemplo 12.3 (O fio resistivo)

Um fio cilíndrico de raio $a$ conduz a corrente constante $I$ sob o campo $E = j/\gamma$ segundo seu eixo; logo do lado de fora, $B = \mu_0I/2\pi a$ (azimutal). Na superfície, $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ aponta radialmente para dentro, com intensidade $EI/2\pi a$ ; seu fluxo pela superfície lateral de um comprimento $L$ vale $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI = RI^2$ : o calor Joule entra no fio pelos seus lados, entregue pelo campo circundante, e não é levado ao longo do fio pelos elétrons. No interior, $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$ : o fluxo que entra decresce rumo ao eixo, à medida que a energia é depositada camada a camada.

Exemplo 12.4 (O capacitor e o solenoide)

Um capacitor de placas circulares sendo carregado: $\vect E$ axial, $\vect B = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ (Capítulo 11), de modo que $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$ , para dentro; pelo cilindro de raio $R$ e altura $d$ seu fluxo vale $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12 \varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$ : a energia elétrica entra pela borda. Um solenoide cuja corrente cresce: $\vect B$ axial, o campo induzido $\vect E = -(r/2) \dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ , de novo para dentro, com fluxo $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{volume})/\dd t$ . Em todos os casos a energia chega ao dispositivo pelo campo do lado de fora; os fios apenas guiam o campo.

À esquerda: um fio percorrido por corrente — o vetor de Poynting, construído com o E axial e o B azimutal, aponta para dentro do fio em toda a sua superfície; o calor Joule entra pelos lados. À direita: um capacitor sendo carregado — a energia entra radialmente pelo vão, e não pelas placas. — À esquerda: um fio percorrido por corrente — o vetor de Poynting, construído com o $\vect E$ axial e o $\vect B$ azimutal, aponta para dentro do fio em toda a sua superfície; o calor Joule entra pelos lados. À direita: um capacitor sendo carregado — a energia entra radialmente pelo vão, e não pelas placas.

Observação 12.5 (Energia num campo cruzado estático)

Um capacitor carregado colocado no campo de um ímã permanente tem $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ em toda parte entre suas placas, embora nada mude e nada aqueça. Não há contradição: ali $\vect\Pi$ tem divergente nulo, suas linhas se fecham sobre si mesmas e seu fluxo por qualquer superfície fechada se anula — o teorema nada diz sobre um fluxo circulante que não entrega nada. Só os fluxos por superfícies fechadas são físicos.

Um cabo coaxial que transporta potência: um E radial e um B azimutal fazem um vetor de Poynting axial no dielétrico; seu fluxo pela coroa entre os condutores vale exatamente UI — a potência viaja no isolante, e o metal apenas a guia. — Um cabo coaxial que transporta potência: um $\vect E$ radial e um $\vect B$ azimutal fazem um vetor de Poynting axial no dielétrico; seu fluxo pela coroa entre os condutores vale exatamente $UI$ — a potência viaja no isolante, e o metal apenas a guia.

12.3 A luz: intensidade e pressão de radiação

Proposição 12.6 (Energia de uma onda plana)

Para uma onda plana no vácuo — a solução do Capítulo 13, com $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ , $B = E/c$ e $\vect E \perp \vect B$ — as densidades de energia elétrica e magnética são iguais e

u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u ,

sendo $\vect u$ a direção de propagação: a energia viaja a $c$ . Para uma onda senoidal de amplitude $E_0$ a intensidade (irradiância) é o fluxo médio,

I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} ,

e a onda transporta uma densidade de quantidade de movimento $\vect\Pi/c^2$ (admitido), de modo que ela exerce, sobre uma superfície que atinge sob incidência normal, a pressão de radiação $P = I/c$ se for absorvida e $2I/c$ se for refletida.

Demonstração. $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$ ; $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c = \varepsilon_0cE^2$ segundo $\vect k$ ; $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ . A densidade de quantidade de movimento $\vect\Pi/c^2$ segue da força de Lorentz sobre as cargas da superfície absorvedora (ou da relatividade: $p = E/c$ para a luz): a quantidade de movimento $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ que chega por unidade de tempo a uma superfície $S$ é uma força $\Pi S/c$ . ∎

Exemplo 12.7 (Luz do Sol, laser, micro-ondas)

A luz do Sol no topo da atmosfera, $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$ , densidade de energia $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , pressão $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — $0.7\,\mathrm{kg}$ de força sobre um quilômetro quadrado, e ainda assim o bastante para guiar uma vela solar e para soprar a poeira de um cometa até formar sua cauda. Um ponteiro laser de $1\,\mathrm{mW}$ numa mancha de $1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , como o Sol; focalizado em $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ , perto da ruptura do ar. Um forno de micro-ondas de $1\,\mathrm{kW}$ com uma onda estacionária preenchendo $30\,\mathrm{L}$ : densidade de energia $\sim 10^{-7}$ J/m $^3$ e $E_0$ de alguns quilovolts por metro.

Uma onda eletromagnética plana: E, B e a direção de propagação formam um triedro direto; o vetor de Poynting aponta no sentido da propagação e oscila ao dobro da frequência, com valor médio igual à intensidade. — Uma onda eletromagnética plana: $\vect E$ , $\vect B$ e a direção de propagação formam um triedro direto; o vetor de Poynting aponta no sentido da propagação e oscila ao dobro da frequência, com valor médio igual à intensidade.

Método 12.8 (Fazer a contabilidade da energia)

(1) Ache $\vect E$ e $\vect B$ (estática, quase estática ou ondas). (2) Forme $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ e $u$ . (3) Escolha uma superfície fechada em torno do dispositivo e calcule o fluxo de $\vect\Pi$ : ele deve ser igual à potência Joule mais a taxa de variação da energia armazenada no interior — uma verificação dos campos. (4) Para uma onda, a média de $\Pi$ é a intensidade; divida por $c$ para a pressão, e pela energia do fóton $hf$ para o fluxo de fótons.

12.4 Exercícios

Exercício 12.1 ★

Luz do Sol no solo, $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : amplitudes $E_0$ e $B_0$ , densidade de energia, pressão de radiação sobre um telhado preto e sobre um espelho; força sobre um telhado de $100\,\mathrm{m}^{2}$ ; fluxo de fótons por metro quadrado para uma energia média de fóton de $2\,\mathrm{eV}$ .

Solução

Solução de Exercício 12.1.

$E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (telhado preto), $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (espelho); $0.33\,\mathrm{mN}$ no telhado; $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Exercício 12.2 ★

Um ponteiro laser de $5\,\mathrm{mW}$ , com feixe de $1.5\,\mathrm{mm}$ de diâmetro: intensidade, $E_0$ , $B_0$ ; o mesmo feixe focalizado numa mancha de $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; um laser pulsado de $1\,\mathrm{PW}$ ( $1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ ) focalizado em $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $E_0$ , comparado com o campo que liga o elétron num átomo de hidrogênio ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ).

Solução

Solução de Exercício 12.2.

Área $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$ : $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ . Focalizado em $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . Petawatt: $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , quinhentas vezes o campo atômico — o átomo é despedaçado em um ciclo.

Exercício 12.3 ★

Densidades de energia: um campo elétrico de $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (ruptura do ar); de $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (um isolante fino); um campo magnético de $0.1\,\mathrm{T}$ , $1.5\,\mathrm{T}$ (ressonância magnética), $45\,\mathrm{T}$ (ímã recordista). Energia em $1\,\mathrm{m}^{3}$ do túnel de uma máquina de ressonância; o equivalente em litros de gasolina ( $35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$ ).

Solução

Solução de Exercício 12.3.

$\tfrac12\varepsilon_0E^2$ : $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . $B^2/2\mu_0$ : $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . O túnel da máquina de ressonância guarda $0.9\,\mathrm{MJ}$ — $26\,\mathrm{mL}$ de gasolina.

Exercício 12.4 ★

Uma vela solar de $100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$ , perfeitamente refletora, à distância da Terra ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ): força; aceleração de uma sonda de $200\,\mathrm{kg}$ ; celeridade ganha em um mês; compare com a gravidade do Sol sobre a sonda a essa distância ( $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ).

Solução

Solução de Exercício 12.4.

$F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$ ; $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ em um mês; o Sol puxa com $1.2\,\mathrm{N}$ : a vela não pode vencer a gravidade, mas bordeja contra ela em órbita.

Exercício 12.5 ★★

Um fio de cobre de raio $a = 1\,\mathrm{mm}$ conduz $10\,\mathrm{A}$ ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ). (a) $E$ no interior, $B$ na superfície, $\vect\Pi$ na superfície (direção e intensidade). (b) Fluxo de $\vect\Pi$ para dentro de $1\,\mathrm{m}$ de fio; compare com $RI^2$ . (c) $\Pi(r)$ dentro do fio e a potência depositada entre $r$ e $r + \dd r$ ; verifique que vale $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$ . (d) De onde vem a energia — descreva o campo entre a pilha e o fio.

Solução

Solução de Exercício 12.5.

(a) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$ ; $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , radialmente para dentro. (b) $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ por metro; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$ . (c) $\Pi(r) = EIr/2\pi a^2$ , de modo que $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ e a casca recebe $\dd(2\pi r\Pi) = 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$ . (d) As cargas superficiais da pilha estabelecem um campo elétrico ao longo de todo o circuito, fora dos fios; o $\vect E\wedge\vect B$ ali leva a energia da pilha até a carga.

Exercício 12.6 ★★

Capacitor de placas circulares ( $R$ , $d$ ) carregado por $I$ . (a) $\vect E$ , $\vect B$ , $\vect\Pi$ entre as placas. (b) Fluxo de $\vect\Pi$ pelo cilindro lateral; mostre que ele vale $\dd W_e/\dd t$ . (c) Para $R = 5\,\mathrm{cm}$ , $d = 1\,\mathrm{mm}$ , $I = 1\,\mathrm{A}$ no instante em que $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : $\Pi$ na borda e a potência que entra. (d) A energia magnética é desprezível?

Solução

Solução de Exercício 12.6.

(a) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ axial, $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ azimutal, $\vect\Pi = -\varepsilon_0 (r/2)E\dot E\,\vect e_r$ . (b) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/ \dd t$ . (c) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; vezes $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ com $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$ . (d) Sim: menor por fatores do tipo $(\omega R/c)^2$ (Capítulo 11).

Exercício 12.7 ★★

Um solenoide longo ( $n$ , raio $R$ ) cuja corrente $I(t)$ cresce. (a) $\vect E$ induzido no interior; $\vect\Pi$ ; direção. (b) Fluxo pela superfície lateral por unidade de comprimento e $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$ . (c) Logo fora do solenoide (onde $\vect B = \vect 0$ ), quanto vale $\vect\Pi$ ? Como, então, a energia entra? (Pense em onde a corrente circula: o enrolamento é uma lâmina fina; tome a superfície logo por dentro dele.)

Solução

Solução de Exercício 12.7.

(a) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ : para dentro enquanto $B$ cresce. (b) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R = \dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$ . (c) Fora, $\vect B = \vect 0$ , logo $\vect\Pi = \vect 0$ : a energia é injetada no próprio enrolamento, onde o gerador força a corrente contra o campo induzido (ali $\vect j\cdot\vect E < 0$ ); logo por dentro da lâmina $\vect\Pi$ já é o fluxo para dentro de (a).

Exercício 12.8 ★★

Por onde viaja a potência de um cabo. Um cabo coaxial (raios $a$ , $b$ ) conduz uma corrente constante $I$ no núcleo e de volta na malha, sob a tensão $U$ entre eles (condutores perfeitos). (a) $\vect E$ e $\vect B$ no dielétrico ( $a < r < b$ ), por Gauss e por Ampère. (b) $\vect\Pi$ : direção e intensidade. (c) Integre $\vect\Pi$ sobre a coroa $a < r < b$ : mostre que o resultado é $UI$ — toda a potência viaja no isolante. (d) Com um núcleo ligeiramente resistivo, em que direção $\vect\Pi$ se inclina, e a quanto equivale seu fluxo para dentro do núcleo?

Solução

Solução de Exercício 12.8.

(a) $E = U/r\ln(b/a)$ radial, $B = \mu_0I/2\pi r$ azimutal. (b) $\vect\Pi = (UI/ 2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ , no sentido da corrente do núcleo. (c) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI$ . (d) $E$ ganha uma componente axial $j/\gamma$ ; $\vect\Pi$ inclina-se rumo ao núcleo, e seu fluxo radial para dentro de um metro de núcleo vale $RI^2$ por metro.

Exercício 12.9 ★★

Poeira de cometa. Um grão esférico de poeira de raio $a$ e massa específica $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à distância $D$ do Sol absorve a luz solar ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ em $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , massa do Sol $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ). (a) Força de radiação e força gravitacional; mostre que a razão entre elas não depende de $D$ . (b) Raio abaixo do qual o grão é soprado para longe. (c) Por que as caudas dos cometas apontam para longe do Sol, e por que elas se encurvam?

Solução

Solução de Exercício 12.9.

(a) $F_{\text{rad}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$ , $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$ : razão $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$ , independente de $D$ . (b) Razão $> 1$ para $a < 3I_0D_0^2/ 4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) A poeira fina é empurrada para longe do Sol, mas guarda a celeridade orbital do cometa, de modo que a cauda de poeira aponta para longe e se encurva; a cauda de íons, impelida pelo vento solar, é reta.

Exercício 12.10 ★★★

Um capacitor que se descarrega. O capacitor do Exercício 12.6 descarrega-se pelo fio do Exercício 12.5 ( $R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ por metro, comprimento $L$ ). (a) Direção de $\vect\Pi$ na borda do capacitor agora. (b) Potência que sai do capacitor e potência que entra no fio; o que acontece com a diferença (se houver)? (c) Escreva o balanço de energia $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ e confira-o com $Q = CU$ , $I = -\dd Q/\dd t$ . (d) Por que a energia magnética do circuito não aparece no balanço no começo e no fim?

Solução

Solução de Exercício 12.10.

(a) $\dot E < 0$ : $\vect\Pi$ aponta para fora na borda. (b) $-\dd W_e/\dd t$ sai do capacitor e $RI^2$ entra no fio; no regime quase estático os dois são iguais — nada se acumula no meio. (c) $W_e = Q^2/2C$ , $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$ . (d) $\tfrac12LI^2$ anula-se nas duas pontas ( $I = 0$ ) e é desprezível no meio, para uma espira pequena.

Exercício 12.11 ★★★

O ímã carregado. Entre as placas de um capacitor carregado ( $\vect E = E\vect e_z$ ) há um campo uniforme $\vect B = B\vect e_x$ (um ímã). (a) $\vect\Pi$ ; seu divergente. (b) Tome a superfície fechada de uma caixa dentro da região: fluxo de $\vect\Pi$ . (c) Para onde vão as linhas de $\vect\Pi$ , e o que as fecha? (d) Uma proposta: medir o fluxo de energia com um pequeno absorvedor colocado no vão — ele aqueceria? Por que não?

Solução

Solução de Exercício 12.11.

(a) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$ , uniforme: $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$ . (b) Nulo. (c) Segundo $y$ pelo vão, fechando-se pelos campos de borda nas extremidades das placas e do ímã. (d) Um corpo em repouso em campos estáticos não conduz corrente: $\vect j\cdot\vect E = 0$ , e não há aquecimento. O $\vect\Pi$ circulante é contabilidade, não um fluxo que deposita energia.

Exercício 12.12 ★★★

Onda estacionária. Duas ondas planas contrapropagantes de mesma amplitude formam $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$ , $\vect B = -2(E_0/c) \sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ (confira com Maxwell–Faraday). (a) $\vect\Pi(x, t)$ ; sua média temporal. (b) Densidade de energia; onde ela é elétrica, onde é magnética, e como ela vai e volta? (c) Um espelho perfeitamente condutor em $x = 0$ reflete a onda incidente: força por unidade de área sobre ele pelo argumento da quantidade de movimento, e pela força de Laplace sobre sua corrente superficial (use a relação de passagem para $\vect B$ ). (d) Mostre que as duas dão $2I/c$ em média.

Solução

Solução de Exercício 12.12.

Faraday: $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ é igual a $-\partial_tB_z$ , pois $\omega = kc$ . (a) $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x = -(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$ : média nula. (b) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$ : elétrica em $x = 0, \lambda/2, \dots$ , magnética em $\lambda/4, \dots$ , indo e vindo entre elas duas vezes por período. (c) Quantidade de movimento: cada onda tem $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ , e a refletida inverte a sua: $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$ . Laplace: em $x = 0$ , $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ logo do lado de fora e $0$ dentro, de modo que $j_s = B/\mu_0$ ; a força por unidade de área sobre a lâmina vale $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2 \omega t$ . (d) Sua média vale $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ .

Uma usina solar: um quilowatt por metro quadrado de fluxo de Poynting chega do Sol através do espaço vazio, e um quinto dele sai pelos cabos.

12.5 Problema: A energia de uma linha, de um painel e de um forno

Problema 12.1

Problema de fim de semana — seguindo a energia eletromagnética de uma linha de transmissão até uma casa, do Sol até um painel solar e de um magnetron até uma xícara de água

Parte I — A linha. Um cabo coaxial de potência (raio do núcleo $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ , raio da malha $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ , dielétrico com $\varepsilon_r = 2.3$ ) conduz uma corrente contínua $I = 500\,\mathrm{A}$ sob $U = 20\,\mathrm{kV}$ ; o núcleo tem condutividade $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

Campos $\vect E(r)$ e $\vect B(r)$ no dielétrico (com condutores perfeitos, primeiro); valores em $r = a$ .
Vetor de Poynting no dielétrico; seu fluxo pela seção anular: verifique que é igual a $UI$ .
Densidades de energia $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ e $B^2/2\mu_0$ em $r = a$ (num dielétrico a densidade de energia elétrica leva $\varepsilon_r$ ); qual domina, e por quanto?
A que fração da velocidade da luz a energia "se move" (tome $\Pi/u$ em $r = a$ )? Compare com $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .
Agora o núcleo é resistivo: campo $E_z$ no seu interior; o vetor de Poynting logo fora de sua superfície ganha uma componente radial: intensidade, e a potência por metro que ele entrega ao núcleo; confira contra $RI^2$ por metro.
Razão entre as componentes radial e axial de $\vect\Pi$ em $r = a$ : o que ela diz sobre para onde vai a energia?
Energia magnética por metro de cabo, $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ , e energia elétrica por metro, $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ; recupere-as como $\tfrac12\Lambda I^2$ e $\tfrac12\Gamma U^2$ com a indutância e a capacitância por metro do Capítulo 8.
Uma linha de $10\,\mathrm{km}$ : potência entregue, potência perdida, fração. Refaça com $U = 200\,\mathrm{kV}$ e $I = 50\,\mathrm{A}$ (mesma potência).

Parte II — O painel. Luz do Sol ao meio-dia num dia claro: $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; um painel fotovoltaico de $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ e $20\%$ de rendimento; energia de fóton de $2.0\,\mathrm{eV}$ em média.

$E_0$ , $B_0$ , densidade de energia e fluxo de fótons no feixe.
Potência elétrica entregue; calor a evacuar; elevação de temperatura se o painel perder calor pelas duas faces com $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
Pressão de radiação sobre o painel (absorvedor); força; compare com seu peso ( $18\,\mathrm{kg}$ ).
Energia recebida por dia ( $6\,\mathrm{h}$ de sol pleno equivalente) e por ano; a área necessária para suprir os $3500\,\mathrm{kWh}/\mathrm{ano}$ de uma residência.
O painel produz $30\,\mathrm{V}$ a $10.7\,\mathrm{A}$ : confira a potência; fluxo de Poynting ao longo dos $5\,\mathrm{m}$ de cabo de dois fios até o inversor — por onde, na imagem dos campos, essa potência viaja?
Na órbita da Terra o Sol irradia $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : potência total do Sol; a massa que ele converte por segundo ( $E = mc^2$ , $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
Número de fótons que atingem o painel por segundo.
Fluxo de quantidade de movimento dos fótons na Terra: força de radiação total do Sol sobre a Terra (disco de raio $6400\,\mathrm{km}$ , absorvedor); compare com a gravidade ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ).

Parte III — O forno. Um forno de micro-ondas entrega $800\,\mathrm{W}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$ numa cavidade de $30\,\mathrm{L}$ ; uma xícara com $250\,\mathrm{g}$ de água absorve $80\%$ disso.

Comprimento de onda; a cavidade é grande em comparação com ele? Por que as paredes são de metal?
Tempo para aquecer a água de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); potência absorvida por unidade de volume.
Se a potência fluísse como uma onda plana pela seção de $50\,\mathrm{cm}^{2}$ da xícara, intensidade e $E_0$ ; os campos reais são ondas estacionárias de amplitude comparável — a que distância ficam os pontos quentes, e por que o prato gira?
Energia armazenada no campo da cavidade se seu fator de qualidade for $Q = 2\pi\times\text{(energia armazenada)}/\text{(energia perdida por período)} \approx 10^3$ quando vazia: energia armazenada, densidade média de energia, $E_0$ — compare com a ruptura do ar ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ).
A água absorve porque suas moléculas são dipolos excitados a $2.45\,\mathrm{GHz}$ : a potência local, análoga à de Joule, vale $\tfrac12\omega\varepsilon_0 \varepsilon''E_0^2$ com $\varepsilon'' \approx 10$ para a água: o $E_0$ na água necessário para a densidade de potência da questão 16; é coerente?
Energia do fóton a $2.45\,\mathrm{GHz}$ em eV, e o número de fótons absorvidos por segundo pela xícara; por que as micro-ondas podem aquecer, mas não ionizar (a ionização exige uns $10\,\mathrm{eV}$ ).
Pressão de radiação do campo da cavidade sobre as paredes (da ordem da densidade de energia $u$ ): vale a pena se preocupar?
Por que um forno vazio (sem carga) corre risco de dano, em termos de Poynting?
Reúna numa tabela, para a linha, o painel e o forno: o portador da energia, a direção de $\vect\Pi$ , a potência e o que a converte.

Solução

Solução de Problema 12.1.

1. $E = U/r\ln(b/a)$ : $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ em $r = a$ ; $B = \mu_0I/2\pi r$ : $10\,\mathrm{mT}$ em $a$ .

2. $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ ; $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI = 10\,\mathrm{MW}$ .

3. $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : comparáveis.

4. $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : $\Pi/u = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .

5. $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ para dentro; $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ .

6. $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$ : quase toda a energia corre ao longo da linha; um sopro dela vaza para o cobre.

7. $133\,\mathrm{kW}$ perdidos de $10\,\mathrm{MW}$ , $1.3\%$ ; a $200\,\mathrm{kV}$ : $1.3\,\mathrm{kW}$ , $0.013\%$ .

8. $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r = (\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} = \tfrac12\Lambda I^2$ com $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ; elétrica: $\tfrac12\Gamma U^2$ com $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ : $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$ .

9. $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ , $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

10. $320\,\mathrm{W}$ elétricos; $1280\,\mathrm{W}$ de calor em $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ de faces: $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$ .

11. $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ ; $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ contra um peso de $180\,\mathrm{N}$ .

12. $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{dia}$ , $700\,\mathrm{kWh}/\mathrm{ano}$ ; cinco painéis, $8\,\mathrm{m}^{2}$ .

13. $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$ ; a potência flui no campo entre os dois fios — $\vect E$ ao longo dos $30\,\mathrm{V}$ , $\vect B$ em torno das correntes — e não no cobre.

14. $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

15. $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ fótons por segundo.

16. $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ : $10^{-14}$ da gravidade.

17. $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$ ; a cavidade de $30\,\mathrm{cm}$ tem alguns comprimentos de onda — um ressoador com modos, e não um feixe livre; as paredes metálicas refletem a onda (profundidade de penetração de micrômetros) e a retêm.

18. $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ a $640\,\mathrm{W}$ : $98\,\mathrm{s}$ ; $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$ .

19. $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ; pontos quentes a $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ um do outro — daí o prato giratório.

20. $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$ ; $u = 1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — cem vezes abaixo da ruptura.

21. $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ dentro da água — da ordem do campo da cavidade, reduzido pela permissividade da água: coerente.

22. $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ ; $4 \times 10^{26}$ fótons por segundo; um milhão de vezes pouca energia por fóton para ionizar.

23. $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$ : não.

24. Sem nada que a absorva, o fluxo de $\vect\Pi$ não tem onde terminar senão de volta no magnetron, que superaquece.

25. Linha: o dielétrico, $\vect\Pi$ axial, $10\,\mathrm{MW}$ , uma carga na ponta. Painel: o feixe, $\vect\Pi$ ao longo dos raios do Sol, $1.6\,\mathrm{kW}$ de entrada, $320\,\mathrm{W}$ de saída, o semicondutor. Forno: o campo da cavidade, $\vect\Pi$ circulante, $800\,\mathrm{W}$ , os dipolos da água.