Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

1Mecânica do corpo rígido

Observe da calçada a roda de uma bicicleta: os raios próximos ao chão estão quase parados e nítidos, os do alto são um borrão que avança ao dobro da velocidade do ciclista. Cada ponto da roda tem uma velocidade diferente, e no entanto a roda é um só objeto — seus pontos guardam as distâncias mútuas, e essa única restrição organiza todos os movimentos em dois vetores, uma translação e uma rotação. O volume do Ano 1 tratou o caso particular de um sólido girando em torno de um eixo fixo; este capítulo dá a cinemática geral de um corpo rígido, sua energia cinética e seu momento angular, as leis de seu movimento e a lei que governa toda roda, pneu, freio e escada: a lei de Coulomb do atrito seco.

1.1 Cinemática de um corpo rígido

Definição 1.1 (Corpo rígido)

Um corpo rígido (ou sólido) é um sistema de pontos cujas distâncias mútuas permanecem constantes: $\|\vect{AB}\|$ não depende do tempo, para todo par $A$ , $B$ de seus pontos. Um referencial no qual todo ponto do sólido está em repouso é um referencial ligado ao sólido.

Teorema 1.2 (Campo de velocidades de um corpo rígido)

Em cada instante existe um vetor $\vect\Omega$ , o vetor de rotação do sólido (unidade $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), tal que as velocidades de dois quaisquer de seus pontos $A$ e $M$ num referencial $\mathcal R$ satisfazem

\vect v_M = \vect v_A + \vect\Omega\wedge\vect{AM} .

$\vect\Omega$ não depende da escolha de $A$ ; um vetor $\vect u$ fixo no sólido evolui segundo $\dd\vect u/\dd t = \vect\Omega\wedge\vect u$ .

Demonstração. Seja $(\vect e_1, \vect e_2, \vect e_3)$ uma base ortonormal ligada ao sólido. De $\vect e_i\cdot\vect e_j = \delta_{ij}$ , os coeficientes $a_{ij} = \dot{\vect e}_i\cdot\vect e_j$ satisfazem $a_{ij} + a_{ji} = 0$ : a matriz da aplicação $\vect u \mapsto \dot{\vect u}$ (para $\vect u$ fixo no sólido, $\vect u = \sum u_i\vect e_i$ com $u_i$ constantes) é antissimétrica, e uma matriz antissimétrica $3\times3$ é a matriz de $\vect u \mapsto \vect\Omega\wedge\vect u$ com $\Omega_1 = a_{23}$ , $\Omega_2 = a_{31}$ , $\Omega_3 = a_{12}$ . Aplique-a a $\vect u = \vect{AM}$ : $\vect v_M - \vect v_A = \vect\Omega\wedge\vect{AM}$ . Se $\vect\Omega'$ fizesse o mesmo, $(\vect\Omega - \vect\Omega')\wedge \vect{AM} = \vect 0$ para todo $M$ , logo $\vect\Omega' = \vect\Omega$ . ∎

Observação 1.3 (Três movimentos)

Translação: $\vect\Omega = \vect 0$ , todos os pontos têm a mesma velocidade (não necessariamente um movimento retilíneo: a cabine de uma roda-gigante translada sobre um círculo). Rotação em torno de um eixo fixo $\Delta$ : os pontos de $\Delta$ estão em repouso, $\vect\Omega = \omega\,\vect e_\Delta$ , e um ponto a distância $r$ do eixo percorre um círculo com celeridade $r|\omega|$ — o caso do volume do Ano 1. O movimento geral combina os dois: $\vect v_M = \vect v_G + \vect\Omega\wedge\vect{GM}$ , uma translação com a velocidade do centro de massa mais uma rotação em torno de $G$ .

Definição 1.4 (Rolamento sem deslizamento)

Dois sólidos $S_1$ e $S_2$ tocam-se num ponto $I$ . A velocidade de deslizamento de $S_1$ sobre $S_2$ é $\vect v_{\text{desl}} = \vect v_{I \in S_1} - \vect v_{I \in S_2}$ , a diferença das velocidades dos dois pontos materiais que coincidem em $I$ nesse instante. $S_1$ rola sem deslizar sobre $S_2$ quando $\vect v_{\text{desl}} = \vect 0$ . Para uma roda de raio $R$ que rola sem deslizar sobre um solo fixo, com velocidade do centro $v_G$ e velocidade angular $\omega$ , a condição é $v_G = R\omega$ (sinais escolhidos de modo que uma roda que rola para a direita gire no sentido horário).

Demonstração. Aplique Teorema 1.2 à roda, entre $G$ e o ponto de contato $I$ : $\vect v_{I\in S_1} = \vect v_G + \vect\Omega \wedge\vect{GI}$ ; com $\vect v_G = v_G\vect e_x$ , $\vect\Omega = -\omega \vect e_z$ e $\vect{GI} = -R\vect e_y$ , isso dá $(v_G - R\omega)\vect e_x$ , que deve se anular. ∎

Exemplo 1.5 (Campo de velocidades de uma roda que rola)

Para a roda que rola, $\vect v_M = \vect\Omega\wedge\vect{IM}$ : a cada instante a roda gira em torno de seu ponto de contato. O ponto de contato está parado, o centro anda a $v = R\omega$ , o topo a $2v$ , e um ponto do aro à altura $h$ anda a $\omega\sqrt{2Rh}$ , perpendicularmente a $\vect{IM}$ . A válvula descreve uma ciclóide; uma pedra lançada pela banda de rodagem parte com a velocidade do ponto do aro, até $2v$ — por isso os para-lamas de um caminhão importam.

Uma roda captada com obturador lento: os raios próximos ao chão, quase em repouso, ficam nítidos; os do alto, a duas vezes a velocidade da bicicleta, borram.

Uma roda que rola sem deslizar. À esquerda: as velocidades de alguns pontos — nula no ponto de contato I, v_G = R no centro, 2v_G no topo. À direita: toda velocidade é perpendicular ao segmento que liga o ponto a I e proporcional ao seu comprimento: a cada instante a roda gira em torno de seu ponto de contato. — Uma roda que rola sem deslizar. À esquerda: as velocidades de alguns pontos — nula no ponto de contato $I$ , $v_G = R\omega$ no centro, $2v_G$ no topo. À direita: toda velocidade é perpendicular ao segmento que liga o ponto a $I$ e proporcional ao seu comprimento: a cada instante a roda gira em torno de seu ponto de contato.

1.2 Grandezas cinéticas de um sólido

Proposição 1.6 (Quantidade de movimento, momento angular, energia cinética)

Para um sólido de massa $M$ , centro de massa $G$ , num referencial $\mathcal R$ :

sua quantidade de movimento é $\vect p = M\vect v_G$ ;
se ele gira em torno de um eixo $\Delta$ (fixo em $\mathcal R$ , ou que passa por $G$ e tem direção fixa) com velocidade angular $\omega$ , seu momento angular ao longo desse eixo é $L_\Delta = J_\Delta\,\omega$ , onde

$J_\Delta = \sum_i m_i r_i^2 = \int r^2\,\dd m$

é seu momento de inércia em relação a $\Delta$ ( $r$ a distância ao eixo; unidade $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ );
sua energia cinética é (Koenig) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 + E_k^*$ , onde a energia cinética no referencial baricêntrico vale $E_k^* = \tfrac12J_{G}\omega^2$ para uma rotação a $\omega$ em torno de um eixo por $G$ — e $E_k = \tfrac12J_\Delta\omega^2$ para uma rotação em torno de um eixo fixo $\Delta$ .

Demonstração. Os teoremas da quantidade de movimento e de Koenig foram demonstrados no volume do Ano 1 para um sistema qualquer. Para a rotação em torno de $\Delta$ por $O$ , um ponto a distância $r_i$ do eixo tem celeridade $r_i\omega$ sobre um círculo em torno do eixo; seu momento angular em relação a $O$ projetado em $\vect e_\Delta$ vale $m_ir_i^2\omega$ (as outras componentes, que se cancelam num sólido simétrico, não são necessárias aqui); some. Energia cinética: $\sum\tfrac12m_ir_i^2 \omega^2$ . ∎

Observação 1.7 (O que é admitido)

Para uma rotação $\vect\Omega$ arbitrária o vetor completo $\vect L_G$ não é, em geral, paralelo a $\vect\Omega$ : $\vect L_G = \mathbf J\,\vect\Omega$ com $\mathbf J$ o tensor de inércia, matriz simétrica cujos autovetores são os eixos principais. Todo sólido deste capítulo gira em torno de um eixo fixo ou de um eixo de simetria por $G$ , para o qual $\vect L = J\vect\Omega$ exatamente; o caso geral fica para o volume do Ano 3.

Proposição 1.8 (Momentos de inércia)

Para sólidos homogêneos de massa $M$ , em torno de um eixo por $G$ : barra delgada de comprimento $\ell$ (eixo perpendicular), $J = \tfrac1{12}M\ell^2$ ; aro fino ou casca cilíndrica de raio $R$ (eixo próprio), $J = MR^2$ ; disco ou cilindro maciço, $J = \tfrac12MR^2$ ; esfera maciça, $J = \tfrac25MR^2$ ; casca esférica, $J = \tfrac23MR^2$ . Teorema de Huygens (eixos paralelos): em torno de um eixo $\Delta$ paralelo a um eixo $\Delta_G$ por $G$ , a distância $d$ ,

J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2 .

Demonstração. Barra: $\int_{-\ell/2}^{\ell/2}x^2\,(M/\ell)\dd x = M\ell^2/12$ . Disco: some os anéis de massa $(2M/R^2)r\,\dd r$ e obtenha $\int_0^R r^2(2M/R^2)r\,\dd r = MR^2/2$ . Esfera: por simetria $J = \tfrac23\int r^2\dd m$ ( $r$ a distância ao centro, pois $x^2 + y^2 = \tfrac23(x^2 + y^2 + z^2)$ em média sobre os três eixos) e $\int r^2\dd m = \int_0^R r^2(3M/R^3)r^2\dd r = \tfrac35MR^2$ . Huygens: com $\vect r_i$ o vetor de $\Delta$ até $m_i$ , perpendicular ao eixo, e $\vect r_i = \vect d + \vect r_i^*$ , $\sum m_ir_i^2 = Md^2 + 2\vect d\cdot\sum m_i\vect r_i^* + \sum m_ir_i^{*2}$ , e a soma do meio se anula pela definição de $G$ . ∎

Exemplo 1.9 (Um volante de inércia)

Um disco de aço de $50\,\mathrm{kg}$ e raio $30\,\mathrm{cm}$ : $J = \tfrac12 \times 50 \times 0.09 = 2.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; a $3000\,\mathrm{rpm}$ ( $\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ) ele armazena $\tfrac12J\omega^2 = 111\,\mathrm{kJ}$ , a energia cinética de um carro pequeno a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Volantes de armazenamento giram rotores de fibra de carbono a $50\,000\,\mathrm{rpm}$ no vácuo, sobre mancais magnéticos: a energia cresce como $\omega^2$ , e o limite é a resistência à tração do aro.

1.3 Dinâmica de um sólido

Teorema 1.10 (Leis do movimento de um sólido)

Num referencial galileano, para um sólido submetido a forças externas $\vect F_i$ aplicadas nos pontos $A_i$ :

(quantidade de movimento) $M\,\dd\vect v_G/\dd t = \sum\vect F_i$ ;
(momento angular em relação a $G$ , ou a um ponto fixo $O$ ) $\dd\vect L_G/\dd t = \sum\vect{GA_i}\wedge\vect F_i$ ; projetado sobre um eixo fixo $\Delta$ ou sobre um eixo por $G$ de direção fixa em torno do qual o sólido gira a $\omega$ : $J_\Delta\,\dd\omega/\dd t = \mathcal M_\Delta$ , a soma dos momentos das forças externas em relação ao eixo;
(potência) a potência de um conjunto de forças sobre um sólido é $\mathcal P = \vect R\cdot\vect v_A + \vect{\mathcal M}_A\cdot \vect\Omega$ para qualquer ponto $A$ do sólido, com $\vect R$ a soma das forças e $\vect{\mathcal M}_A$ seu momento total em relação a $A$ ; as forças internas de um sólido têm potência nula, e $\dd E_k/\dd t = \mathcal P_{\text{ext}}$ .

Demonstração. (1) e (2) são os teoremas do volume do Ano 1 para sistemas de pontos (o teorema do momento angular em relação a $G$ vale mesmo quando $G$ acelera, pois as forças de inércia do referencial baricêntrico têm momento nulo em relação a $G$ ). (3) Com $\vect v_{A_i} = \vect v_A + \vect\Omega \wedge\vect{AA_i}$ : $\sum\vect F_i\cdot\vect v_{A_i} = \vect R\cdot\vect v_A + \sum\vect F_i\cdot(\vect\Omega\wedge\vect{AA_i}) = \vect R\cdot\vect v_A + \vect\Omega\cdot\sum\vect{AA_i}\wedge\vect F_i$ (produto misto). Forças internas: sua soma e seu momento total se anulam (ação–reação, mesma reta de ação), donde potência nula sobre um sólido — não sobre um sistema deformável. O teorema da energia cinética guarda então apenas a potência externa. ∎

Definição 1.11 (Pivô perfeito)

Um sólido gira em torno de um eixo fixo $\Delta$ num pivô perfeito (um mancal ideal) quando as forças de contato do mancal têm momento nulo em relação a $\Delta$ ; elas não desenvolvem então potência alguma ( $\vect v_A = \vect 0$ sobre o eixo, $\mathcal M_\Delta = 0$ ). Um mancal real acrescenta um torque de atrito $-\Gamma_f\operatorname{sgn}\omega$ , ou um torque viscoso $-h\omega$ .

Proposição 1.12 (O pêndulo físico)

Um sólido de massa $M$ oscila em torno de um eixo fixo horizontal $\Delta$ num pivô perfeito, com o centro de massa a distância $d$ do eixo. Com $\theta$ o ângulo de $\vect{OG}$ a partir da vertical descendente,

J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta ,

de modo que as pequenas oscilações têm período $T = 2\pi\sqrt{J_\Delta/Mgd}$ — o de um pêndulo simples de comprimento $\ell_{\text{eq}} = J_\Delta/Md$ .

Demonstração. Teorema do momento angular em relação a $\Delta$ : o momento do peso é $-Mgd\sin\theta$ , o do pivô é nulo. Linearize. ∎

Exemplo 1.13 (A régua de um metro)

Uma régua de um metro articulada numa extremidade: $J = \tfrac13M\ell^2$ (Huygens a partir de $\tfrac1{12}M\ell^2$ ), $d = \ell/2$ , $\ell_{\text{eq}} = \tfrac23\ell = 0.667\,\mathrm{m}$ e $T = 1.64\,\mathrm{s}$ — um pêndulo feito da régua inteira bate mais devagar que uma massa pontual pendurada em seu centro ( $1.42\,\mathrm{s}$ ) e mais rápido que uma na sua ponta ( $2.0\,\mathrm{s}$ ).

À esquerda: o pêndulo físico — o momento do peso em relação ao pivô comanda a rotação, e a força do pivô não tem momento. À direita: as forças sobre uma roda que rola em solo horizontal: peso, reação normal N e atrito tangencial T no ponto de contato, cuja intensidade é limitada pela lei de Coulomb. — À esquerda: o pêndulo físico — o momento do peso em relação ao pivô comanda a rotação, e a força do pivô não tem momento. À direita: as forças sobre uma roda que rola em solo horizontal: peso, reação normal $\vect N$ e atrito tangencial $\vect T$ no ponto de contato, cuja intensidade é limitada pela lei de Coulomb.

1.4 Forças de contato e atrito de Coulomb

Definição 1.14 (Força de contato, normal e tangencial)

A força exercida por um apoio sobre um sólido num ponto de contato $I$ decompõe-se numa reação normal $\vect N$ , perpendicular ao plano tangente comum e dirigida para o sólido ( $N \ge 0$ : um apoio só pode empurrar), e numa componente tangencial $\vect T$ no plano tangente, a força de atrito.

Teorema 1.15 (Leis de Coulomb do atrito seco)

Para dois sólidos secos em contato, com um coeficiente de atrito $f$ que depende dos materiais e do estado das superfícies, mas não da área de contato nem (em boa aproximação) da celeridade:

se os sólidos deslizam um sobre o outro ( $\vect v_{\text{desl}} \ne \vect 0$ ), a força de atrito é oposta à velocidade de deslizamento e tem intensidade $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ (atrito cinético);
se não deslizam, $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$ (atrito estático): a força de atrito vale então o que as demais leis do movimento exigirem, dentro desse limite, e sua direção não é conhecida de antemão.

Um contato perfeito é a idealização $f = 0$ : $\vect T = \vect 0$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 1.16 (Como ler as leis de Coulomb)

A primeira lei é uma igualdade, a segunda uma desigualdade — e nisso está toda a dificuldade dos problemas de atrito. O método é supor que não há deslizamento, resolver para $\vect T$ e $\vect N$ e verificar $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$ ; se a verificação falha, o sólido desliza, $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ oposta ao deslizamento, e o problema é resolvido de novo. Geometricamente, a força de contato deve permanecer dentro do cone de atrito de semiângulo $\varphi$ com $\tan\varphi = f$ . Valores típicos: borracha sobre asfalto seco $f \approx 0.8$ – $1$ , sobre asfalto molhado $0.4$ – $0.6$ , sobre gelo $0.1$ ; aço sobre aço $0.15$ a seco, $0.05$ lubrificado; o coeficiente estático é na realidade um pouco maior que o cinético, e é por isso que uma derrapagem, uma vez iniciada, é difícil de conter.

Proposição 1.17 (Potência das forças de contato; rolamento sem deslizamento)

A potência das forças de contato sobre um sólido que se move num apoio fixo é $\mathcal P = \vect T\cdot\vect v_{I\in S}$ (a força normal é perpendicular à velocidade do ponto de contato, que está no plano tangente). No rolamento sem deslizamento essa potência é nula: o atrito não realiza então trabalho algum, embora possa ser essencial ao movimento. No deslizamento ela vale $-f N v_{\text{desl}} < 0$ : calor.

Demonstração. $\mathcal P = (\vect N + \vect T)\cdot\vect v_{I\in S}$ e $\vect v_{I\in S} = \vect v_{\text{desl}}$ está no plano tangente, de modo que só $\vect T$ contribui; ela é nula quando a velocidade de deslizamento é nula, e vale $-fNv_{\text{desl}}$ quando os sólidos deslizam ( $\vect T$ oposta a $\vect v_{\text{desl}}$ ). O rolamento real dissipa um pouco pela deformação do pneu e do solo (atrito de rolamento, modelado por um torque pequeno $\Gamma_r = \mu_rNR$ ou por uma força equivalente $\mu_rN$ , com $\mu_r \approx 0.01$ para um pneu na estrada): um efeito distinto e muito menor. ∎

Método 1.18 (Um sólido que desce um plano inclinado)

Um sólido homogêneo de raio $R$ , massa $M$ e momento de inércia $J = kMR^2$ em torno de seu eixo ( $k = 1$ aro, $\tfrac12$ disco, $\tfrac25$ esfera) é solto num plano inclinado de ângulo $\alpha$ com coeficiente de atrito $f$ . Suponha rolamento sem deslizamento:

quantidade de movimento ao longo da rampa: $M\dot v = Mg\sin\alpha - T$ ; normal: $N = Mg\cos\alpha$ ;
momento angular em relação a $G$ : $kMR^2\dot\omega = TR$ ;
sem deslizamento: $v = R\omega$ , donde $T = kM\dot v$ e

$\dot v = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} , \qquad T = \frac{k}{1 + k}\, Mg\sin\alpha ;$
verificação: $T \le fN \iff \tan\alpha \le f\,\dfrac{1 + k}{k}$ . Além dessa inclinação o sólido desliza, $T = fMg\cos\alpha$ , $\dot v = g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$ e $\dot\omega = fg\cos\alpha/kR$ .

Verificação por energia (sem deslizamento, atrito sem potência): $\tfrac12(1 + k)Mv^2 = Mgh$ dá $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$ — uma esfera vence um disco, que vence um aro, seja qual for a massa ou o raio.

À esquerda: forças sobre um sólido na descida de um plano inclinado — peso em G, reação normal e atrito no ponto de contato. À direita: a aceleração de um disco (k = 1/2) em função da inclinação para f = 0.5: ele rola sem deslizar enquanto 3f, depois desliza e sua aceleração segue g( - f ), sempre abaixo do valor sem atrito g. — À esquerda: forças sobre um sólido na descida de um plano inclinado — peso em $G$ , reação normal e atrito no ponto de contato. À direita: a aceleração de um disco ( $k = \tfrac12$ ) em função da inclinação para $f = 0.5$ : ele rola sem deslizar enquanto $\tan\alpha \le 3f$ , depois desliza e sua aceleração segue $g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$ , sempre abaixo do valor sem atrito $g\sin\alpha$ .

Exemplo 1.19 (Por que um carro precisa de atrito para acelerar)

Um carro de tração dianteira: o motor aplica um torque às rodas da frente; a única força horizontal externa sobre o carro é o atrito da estrada nos pneus, e é essa força que acelera o carro. Com todo o peso sobre as rodas motrizes, a aceleração máxima vale $fg \approx 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ em asfalto seco — e a metade disso se apenas metade do peso repousa sobre o eixo motriz; no gelo, $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . O trabalho do motor não é realizado pela estrada (cujo ponto de contato está parado): é trabalho interno, convertido pela transmissão em energia cinética — do mesmo modo que as forças internas dos músculos de quem caminha, e não o chão, fornecem a energia da caminhada.

Exemplo 1.20 (A transição do deslizamento ao rolamento)

Uma bola de boliche é lançada deslizando a $v_0$ , sem rotação. O atrito cinético $fMg$ freia o centro ( $\dot v = -fg$ ) e põe a bola a girar ( $\tfrac25MR^2\dot\omega = fMgR$ , $\dot\omega = 5fg/2R$ ) até que $v = R\omega$ : em $t_1 = 2v_0/7fg$ , com $v_1 = \tfrac57v_0$ . Daí em diante ela rola sem deslizar, com celeridade constante. Dois sétimos da celeridade, e $1 - (\tfrac57)^2\tfrac75 = \tfrac27$ da energia cinética, perdem-se em calor no deslizamento — qualquer que seja $f$ ; $f$ só determina em quanto tempo.

Uma bola lançada deslizando sem rotação: o atrito cinético freia o centro e põe a bola a girar, linearmente no tempo, até que R alcança v_G em 5/7v_0; daí em diante a bola rola sem deslizar e o atrito deixa de agir. — Uma bola lançada deslizando sem rotação: o atrito cinético freia o centro e põe a bola a girar, linearmente no tempo, até que $R\omega$ alcança $v_G$ em $\tfrac57v_0$ ; daí em diante a bola rola sem deslizar e o atrito deixa de agir.

1.5 Exercícios

Exercício 1.1 ★

Momentos de inércia: (a) uma barra de $1.0\,\mathrm{m}$ e $0.50\,\mathrm{kg}$ em torno de um eixo perpendicular por seu centro, depois por uma extremidade; (b) um disco de $2.0\,\mathrm{kg}$ de raio $20\,\mathrm{cm}$ em torno de seu eixo, depois de um eixo paralelo pela borda; (c) uma bola de bilhar de $0.16\,\mathrm{kg}$ e diâmetro $57\,\mathrm{mm}$ . (d) Um aro fino e um disco maciço de mesma massa e mesmo raio: qual resiste mais a ser posto a girar, e por que fator?

Solução

Solução de Exercício 1.1.

(a) $\tfrac1{12}M\ell^2 = 4.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; por uma extremidade (Huygens, $d = \ell/2$ ): $\tfrac13M\ell^2 = 0.167\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . (b) $\tfrac12MR^2 = 4.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; pela borda $\tfrac32MR^2 = 0.12\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . (c) $\tfrac25 \times 0.16 \times (0.0285)^2 = 5.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ . (d) O aro, $MR^2$ contra $\tfrac12MR^2$ : o dobro.

Exercício 1.2 ★

Uma bicicleta anda a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ com rodas de diâmetro $70\,\mathrm{cm}$ . Velocidade angular das rodas; celeridade, no referencial do solo, da válvula quando ela está no topo, embaixo e na frente da roda (altura do eixo); celeridade da banda de rodagem em relação ao quadro da bicicleta. Uma pedra presa na banda de rodagem se solta no topo: com que celeridade ela parte?

Solução

Solução de Exercício 1.2.

$v = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = v/R = 5/0.35 = 14.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Topo: $2v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para a frente; embaixo: $0$ ; frente: $\vect v_G + \vect\Omega \wedge\vect{GM} = (v, -v)$ , ou seja, $v\sqrt2 = 7.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ para baixo. Em relação à bicicleta a banda de rodagem anda a $R\omega = v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em toda parte. A pedra parte a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , horizontalmente para a frente.

Exercício 1.3 ★

Um volante de inércia é um disco de aço de $40\,\mathrm{kg}$ e raio $25\,\mathrm{cm}$ . (a) Energia armazenada a $6000\,\mathrm{rpm}$ . (b) Torque constante necessário para acelerá-lo do repouso em $2.0\,\mathrm{min}$ ; potência ao fim da aceleração. (c) Num ônibus, ele deve fornecer $20\,\mathrm{kW}$ durante $10\,\mathrm{s}$ : até que rotação ele desacelera? (d) Por que os volantes de alta rotação funcionam no vácuo?

Solução

Solução de Exercício 1.3.

$J = \tfrac12 \times 40 \times 0.25^2 = 1.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\omega = 628\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (a) $E = \tfrac12J\omega^2 = 246\,\mathrm{kJ}$ . (b) $\Gamma = J\omega/\Delta t = 1.25 \times 628/120 = 6.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $P = \Gamma\omega = 4.1\,\mathrm{kW}$ ao final. (c) $200\,\mathrm{kJ}$ retirados deixam $46\,\mathrm{kJ}$ : $\omega = \sqrt{2 \times 46\,000/1.25} = 271\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 2600\,\mathrm{rpm}$ . (d) O arrasto do ar no aro cresce como $\omega^2$ (a potência como $\omega^3$ ) e aqueceria e frearia o rotor; no vácuo, sobre mancais magnéticos, as perdas caem a alguns watts.

Exercício 1.4 ★

Um disco uniforme de raio $R$ oscila num plano vertical em torno de um eixo horizontal por um ponto de sua borda. Momento de inércia em torno do eixo; período das pequenas oscilações para $R = 20\,\mathrm{cm}$ ; comprimento do pêndulo simples equivalente. As mesmas perguntas para o eixo a uma distância $R/2$ do centro. Onde deve ficar o eixo para que o período seja mínimo?

Solução

Solução de Exercício 1.4.

$J = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32MR^2$ , $d = R$ : $\ell_{\text{eq}} = \tfrac32R = 0.30\,\mathrm{m}$ , $T = 2\pi\sqrt{0.30/9.81} = 1.10\,\mathrm{s}$ . Em $R/2$ : $J = \tfrac12MR^2 + \tfrac14MR^2 = \tfrac34MR^2$ , $d = R/2$ , $\ell_{\text{eq}} = \tfrac32R$ de novo, mesmo período. Em geral $\ell_{\text{eq}}(d) = (R^2/2 + d^2)/d$ , mínimo em $d = R/\sqrt2$ : $\ell_{\text{eq}} = R\sqrt2 = 0.283\,\mathrm{m}$ , $T = 1.07\,\mathrm{s}$ .

Exercício 1.5 ★★

Um aro, um disco e uma esfera de mesmo raio são soltos juntos no alto de um plano inclinado de $2.0\,\mathrm{m}$ de altura e inclinação $20{}^{\circ}$ , $f = 0.30$ . (a) Verifique que os três rolam sem deslizar. (b) Celeridade embaixo para cada um; ordem de chegada. (c) Tempo gasto por cada um. (d) Mostre que a força de atrito sobre a esfera vale $\tfrac27Mg\sin\alpha$ e que ela não realiza trabalho. (e) A partir de que inclinação o aro começaria a deslizar? E a esfera?

Solução

Solução de Exercício 1.5.

(a) $\tan20^\circ = 0.36 \le f(1 + k)/k$ , ou seja, $\le 0.6$ (aro), $0.9$ (disco), $1.05$ (esfera): os três rolam. (b) $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$ : aro $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , disco $5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , esfera $5.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a esfera primeiro, o aro por último. (c) Comprimento $h/\sin\alpha = 5.85\,\mathrm{m}$ , $a = g\sin\alpha/(1 + k) = 1.68$ , $2.24$ , $2.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $t = \sqrt{2d/a} = 2.6$ , $2.3$ , $2.2\,\mathrm{s}$ . (d) $T = \dfrac{k}{1 + k}Mg\sin\alpha = \tfrac27Mg\sin\alpha$ ; o ponto de contato está em repouso, logo $\vect T\cdot\vect v_I = 0$ . (e) Aro: $\tan\alpha > 2f = 0.6$ , $\alpha > 31{}^{\circ}$ ; esfera: $\tan\alpha > 3.5f = 1.05$ , $\alpha > 46{}^{\circ}$ .

Exercício 1.6 ★★

Freio a disco. Uma roda e seu disco de freio têm $J = 1.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ e giram a $900\,\mathrm{rpm}$ ; duas pastilhas pressionam o disco a um raio médio de $12\,\mathrm{cm}$ , cada uma com força normal de $800\,\mathrm{N}$ , $f = 0.40$ . Torque de frenagem; desaceleração angular; tempo e número de voltas até parar; calor liberado, e elevação de temperatura do disco de aço de $1.5\,\mathrm{kg}$ ( $c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) caso ele retenha todo esse calor.

Solução

Solução de Exercício 1.6.

$\Gamma = 2fNr = 2 \times 0.4 \times 800 \times 0.12 = 77\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $\dot\omega = \Gamma/J = 64\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$ ; $\omega_0 = 94\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $t = 1.5\,\mathrm{s}$ ; $\theta = \omega_0^2/2\dot\omega = 69\,\mathrm{rad} = 11$ voltas; calor $= \tfrac12J \omega_0^2 = 5.3\,\mathrm{kJ}$ , $\Delta T = 5300/(1.5 \times 470) = 7.6\,\mathrm{K}$ .

Exercício 1.7 ★★

Máquina de Atwood com polia real. As massas $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ e $m_2 = 1.5\,\mathrm{kg}$ pendem de um fio que passa por uma polia de raio $R = 10\,\mathrm{cm}$ e momento de inércia $J = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ num pivô perfeito; o fio não desliza na polia. (a) Por que as duas trações do fio são diferentes? (b) Equações para as duas massas e para a polia; aceleração. (c) As duas trações. (d) Compare com a polia sem massa; recupere a aceleração por energia.

Solução

Solução de Exercício 1.7.

(a) O fio deve exercer um torque resultante para pôr a polia a girar: $T_1 \ne T_2$ . (b) $m_1a = m_1g - T_1$ , $m_2a = T_2 - m_2g$ , $J\dot\omega = (T_1 - T_2)R$ com $a = R\dot\omega$ : $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 + J/R^2) = 0.5 \times 9.81/4.0 = 1.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) $T_1 = m_1(g - a) = 17.2\,\mathrm{N}$ , $T_2 = m_2(g + a) = 16.6\,\mathrm{N}$ . (d) Sem massa: $1.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Por energia: $(m_1 - m_2)gx = \tfrac12(m_1 + m_2 + J/R^2)v^2$ ; derive.

Exercício 1.8 ★★

A escada. Uma escada uniforme de comprimento $\ell$ e massa $m$ apoia-se, a um ângulo $\theta$ com a horizontal, numa parede vertical lisa; o chão tem coeficiente de atrito $f$ . (a) Forças e seus momentos em relação ao pé; equações de equilíbrio. (b) Mostre que o equilíbrio exige $\tan\theta \ge 1/2f$ . (c) Ângulo mínimo para $f = 0.40$ . (d) Uma pessoa de massa $3m$ sobe a escada posta a $60{}^{\circ}$ : até que altura (fração de $\ell$ ) ela pode ir?

Solução

Solução de Exercício 1.8.

(a) Peso $mg$ no meio; parede: $N_w$ horizontal no topo; chão: $N = mg$ vertical e atrito horizontal $T = N_w$ . Momentos em relação ao pé: $mg\,\tfrac{\ell}2\cos\theta = N_w\ell\sin\theta$ . (b) $T = N_w = mg/(2\tan\theta) \le fmg \iff \tan\theta \ge 1/2f$ . (c) $\tan\theta \ge 1.25$ , $\theta \ge 51{}^{\circ}$ . (d) Pessoa em $x$ : $N = 4mg$ , $N_w = mg(\tfrac12 + 3x/\ell)/\tan60^\circ \le 4fmg = 1.6mg$ : $x/\ell \le (2.77 - 0.5)/3 = 0.76$ .

Exercício 1.9 ★★

Efeito retro. Uma bola de bilhar é golpeada de modo a partir com celeridade do centro $v_0$ e rotação retrógrada $\omega_0$ (rotação oposta ao rolamento). Coeficiente de atrito $f$ . (a) Equações para $v$ e $\omega$ durante o deslizamento. (b) Instante em que ela começa a rolar sem deslizar e sua celeridade nesse instante, em função de $v_0$ , $R\omega_0$ . (c) Condição sobre $R\omega_0$ para que a bola volte em direção ao jogador. (d) Números: $v_0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $R\omega_0 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $f = 0.2$ , $R = 2.9\,\mathrm{cm}$ .

Solução

Solução de Exercício 1.9.

(a) O ponto de contato avança a $v + R\omega$ ( $\omega > 0$ para o efeito retro): atrito $-fmg$ sobre o centro, $\dot v = -fg$ ; torque $-fmgR$ sobre a rotação: $\dot\omega = -5fg/2R$ . (b) O deslizamento $v + R\omega = v_0 + R\omega_0 - \tfrac72fgt$ se anula em $t_1 = 2(v_0 + R\omega_0)/7fg$ , e então $v_1 = v_0 - fgt_1 = (5v_0 - 2R\omega_0)/7$ . (c) $v_1 < 0 \iff R\omega_0 > \tfrac52v_0$ . (d) $t_1 = 16/(7 \times 1.96) = 1.2\,\mathrm{s}$ ; $v_1 = (10 - 12)/7 = -0.29\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ela volta.

Exercício 1.10 ★★★

O carretel. Um carretel (massa $M$ , momento de inércia $J = kMR^2$ em torno de seu eixo, raio externo $R$ ) repousa sobre uma mesa horizontal; um fio enrolado no seu cubo interno de raio $r < R$ é puxado horizontalmente com força $F$ , saindo o fio pela parte de baixo do cubo. (a) Supondo rolamento sem deslizamento, escreva as equações da quantidade de movimento e do momento angular e ache a aceleração do centro; para que lado o carretel rola? (b) Força de atrito necessária, e condição sobre $F$ para que não haja deslizamento. (c) As mesmas perguntas se o fio é puxado a um ângulo $\beta$ acima da horizontal; mostre que o carretel fica parado quando $\cos\beta = r/R$ , e explique geometricamente (eixo instantâneo pelo ponto de contato). (d) O que acontece para $\cos\beta < r/R$ ?

Solução

Solução de Exercício 1.10.

(a) Com $x$ no sentido da tração, atrito $T$ ao longo de $x$ : $Ma = F + T$ ; momentos em relação a $G$ (anti-horário): $rF + RT = -kMRa$ (rolamento, $\omega_z = -a/R$ ). Logo $a = F(R - r)/(1 + k)MR > 0$ : o carretel rola para o lado da tração, enrolando o fio. (b) $T = -F(kR + r)/(1 + k)R$ (para trás); não desliza se $F \le fMg(1 + k)R/(kR + r)$ . (c) A linha de ação do fio é tangente ao cubo; seu momento em relação ao ponto de contato $I$ vale $F(r - R\cos\beta)$ , horário (rolamento para a frente) quando $\cos\beta > r/R$ , e nulo quando a linha passa por $I$ — o eixo instantâneo — e então $a = F(R\cos\beta - r)/(1 + k)MR$ , $T = -F(kR\cos\beta + r)/(1 + k)R$ , $N = Mg - F\sin\beta$ . (d) Para $\cos\beta < r/R$ o momento em relação a $I$ é anti-horário: o carretel rola para longe de quem puxa.

Exercício 1.11 ★★★

Onde golpear uma bola de bilhar. Um taco entrega um impulso horizontal $P$ (força muito breve) a uma bola de raio $R$ em repouso, a uma altura $h$ acima da mesa. (a) Quantidade de movimento e momento angular logo após o golpe (atrito desprezível durante o golpe). (b) Mostre que a bola rola sem deslizar de imediato se $h = \tfrac75R$ , tem efeito à frente acima, efeito retro abaixo. (c) Para $h = R$ (golpe no centro), que distância a bola desliza antes de rolar, com $f = 0.2$ e $v_0 = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ? (d) Por que a tabela de uma mesa de bilhar é construída à altura $\tfrac75R$ ?

Solução

Solução de Exercício 1.11.

(a) $Mv_0 = P$ ; em relação a $G$ : $\tfrac25MR^2\omega_0 = P(h - R)$ (sentido do efeito à frente para $h > R$ ). (b) $v_0 = R\omega_0 \iff 2R = 5(h - R) \iff h = \tfrac75R$ ; acima disso $R\omega_0 > v_0$ (efeito à frente), abaixo, efeito retro. (c) $\omega_0 = 0$ : desliza durante $t_1 = 2v_0/7fg = 0.44\,\mathrm{s}$ , distância $v_0t_1 - \tfrac12fgt_1^2 = 1.1\,\mathrm{m}$ . (d) Uma tabela a $\tfrac75R$ devolve a bola rolando sem deslizar: sem fase de deslizamento, sem celeridade perdida no pano, com rebote previsível.

Exercício 1.12 ★★★

Cilindro numa calha. Um cilindro maciço de raio $r$ rola sem deslizar dentro de uma superfície cilíndrica fixa de raio $R > r$ , eixos horizontais e paralelos. Seja $\theta$ o ângulo da linha dos centros com a vertical. (a) Exprima a velocidade angular do cilindro em torno de seu próprio eixo em função de $\dot\theta$ (dica: o ponto de contato está parado). (b) Energia cinética e energia potencial; mostre que o período das pequenas oscilações é $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$ . (c) Compare com um ponto que desliza sem atrito na calha. (d) Coeficiente de atrito mínimo para rolamento sem deslizamento na amplitude $\theta_0$ (ângulos pequenos).

Solução

Solução de Exercício 1.12.

(a) $v_G = (R - r)\dot\theta$ ; o ponto de contato está em repouso, de modo que o cilindro gira a $\omega = v_G/r = (R - r)\dot\theta/r$ em torno de seu eixo. (b) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 + \tfrac12\cdot\tfrac12Mr^2\omega^2 = \tfrac34M(R - r)^2 \dot\theta^2$ , $E_p = -Mg(R - r)\cos\theta$ ; $\dd E/\dd t = 0$ dá $\ddot\theta + \dfrac{2g}{3(R - r)}\sin\theta = 0$ , $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$ . (c) Um ponto que desliza: $2\pi\sqrt{(R - r)/g}$ — o rolamento é mais lento por $\sqrt{3/2}$ , pois um terço da energia é rotação. (d) Tangencialmente: $M(R - r)\ddot\theta = -Mg\sin\theta + T$ , logo $T = \tfrac13Mg\sin\theta$ ; no ponto de retorno $N = Mg\cos\theta_0$ : $f \ge \tfrac13\tan\theta_0 \approx \theta_0/3$ .

1.6 Problema: Um veículo sobre rodas

Problema 1.1

Problema de fim de semana — o que um carro pede a seus pneus: rolar, acelerar, frear e a única força que faz tudo isso

Um carro de massa $M = 1200\,\mathrm{kg}$ tem entre-eixos $L = 2.6\,\mathrm{m}$ ; seu centro de massa está à altura $h = 0.55\,\mathrm{m}$ e às distâncias horizontais $a = 1.1\,\mathrm{m}$ do eixo dianteiro e $b = 1.5\,\mathrm{m}$ do eixo traseiro. Cada uma das quatro rodas tem raio $R = 0.31\,\mathrm{m}$ , massa $m = 15\,\mathrm{kg}$ e momento de inércia $J = 1.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ em torno de seu eixo. Coeficiente de atrito pneu–estrada $f = 0.80$ (seco); coeficiente de atrito de rolamento $\mu_r = 0.012$ . $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Parte I — Rolar.

O carro anda a $v = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Velocidade angular das rodas; velocidade, no referencial da estrada, dos pontos do topo, de baixo e da frente de um pneu.
Energia cinética total do carro, separando a translação do conjunto e a rotação das quatro rodas; que fração representam as rotações das rodas?
Parado em solo plano, forças normais $N_f$ (as duas rodas dianteiras juntas) e $N_r$ (as duas traseiras) pelas equações da quantidade de movimento e do momento angular — qual eixo carrega mais?
O torque de atrito de rolamento em cada roda vale $\mu_rNR$ . Potência dissipada pelo atrito de rolamento a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; compare com o arrasto aerodinâmico $\tfrac12\rho C_xSv^2$ com $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .
O motor é desligado e o carro segue por inércia em solo plano: escreva a equação para $v(t)$ (inclua a inércia das rodas como uma massa efetiva) e estime a distância para desacelerar de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a $45\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , desprezando o arrasto; depois considerando apenas o arrasto.

Parte II — Acelerar. O carro tem tração dianteira; o motor aplica um torque $\Gamma$ às duas rodas da frente. Despreze aqui o arrasto e o atrito de rolamento.

Desenhe as forças externas sobre o carro inteiro. Que força o acelera? Qual é a potência da estrada sobre o carro, e de onde vem a energia cinética?
Escreva a equação da quantidade de movimento do carro, a equação do momento angular das rodas dianteiras em torno de seu eixo e a condição de não deslizamento; mostre que a aceleração vale $\dot v = \Gamma/R\,/\,(M + 4J/R^2)$ e calcule a massa efetiva.
Momento angular em relação ao centro de massa para o carro inteiro (trate os momentos angulares das rodas como desprezíveis): mostre que a transferência de carga sob aceleração $\dot v$ vale $N_r - N_r^0 = Mh\dot v/L$ — o eixo dianteiro é aliviado, o traseiro carregado.
Aceleração máxima sem que as rodas motrizes (dianteiras) patinem: mostre que $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh)$ e calcule seu valor; o mesmo para um carro de tração traseira, $\dot v_{\max} = fga/(L - fh)$ . Que arquitetura acelera mais, e por que os dragsters põem o peso atrás?
Torque do motor nas rodas necessário para $\dot v_{\max}$ ; a potência correspondente a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
O mesmo carro no gelo ( $f = 0.10$ ): aceleração máxima e o tempo para chegar a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
O que a força de atrito nos pneus dianteiros faz ao pneu — deslizando ou não — e por que uma roda que patina no gelo acelera o carro menos que uma roda que agarra?

Parte III — Frear.

Os freios aplicam um torque a cada roda. Mostre que, para uma roda que continua a rolar, a força de frenagem sobre o carro é o atrito da estrada no pneu, e que o torque do freio é limitado por $fN_iR$ por roda.
Transferência de carga sob desaceleração $\gamma$ : carga do eixo dianteiro $N_f = Mg\,b/L + Mh\gamma/L$ ; números em $\gamma = fg$ .
Desaceleração máxima com as quatro rodas no limite do deslizamento; distância de parada a partir de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ em estrada seca e em estrada molhada ( $f = 0.45$ ).
Se os freios são regulados de modo que os torques dianteiro e traseiro sejam iguais, que eixo trava primeiro numa frenagem forte? Por que um eixo traseiro travado é perigoso (pense na direção da força de atrito num pneu que desliza)?
Uma roda trava e desliza: desaceleração devida à estrada, e que fração da frenagem máxima se perde com $f_{\text{cinético}} = 0.7$ contra $f_{\text{estático}} = 0.8$ . Explique o que faz um sistema antitravamento e por que ele pulsa os freios.
Calor liberado nos freios a partir de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; elevação de temperatura de quatro discos de aço de $6\,\mathrm{kg}$ ( $c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); por que as estradas de montanha têm rampas de escape?
Um carro elétrico recupera a energia de frenagem pelo motor com $70\,\%$ de rendimento: energia recuperada por parada a partir de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; número de paradas desse tipo que uma bateria de $50\,\mathrm{kWh}$ vale.

Parte IV — Fazer curva e uma roda no ar.

O carro faz uma curva em estrada plana, num círculo de raio $\rho = 50\,\mathrm{m}$ , a $v$ : as forças de atrito devem fornecer $Mv^2/\rho$ . Celeridade máxima em curva em estrada seca e molhada.
Momento angular em relação ao centro de massa ao longo da direção do movimento: mostre que as rodas externas são carregadas de $\Delta N = Mv^2h/\rho w$ , onde $w = 1.5\,\mathrm{m}$ é a bitola; celeridade na qual as rodas internas se levantam ( $\Delta N = Mg/2$ ), e compare com a celeridade de derrapagem: este carro capota ou derrapa primeiro?
A curva tem sobrelevação de ângulo $\beta$ . Mostre que na celeridade $v = \sqrt{g\rho\tan\beta}$ nenhum atrito é necessário; valor para $\beta = 10{}^{\circ}$ .
Uma roda é suspensa do solo por um macaco e posta a girar à mão a $60\,\mathrm{rpm}$ ; seu mancal exerce um torque de atrito de $0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . Quanto tempo ela gira? Energia cinética perdida.
A roda girando é baixada sobre a estrada (carro parado, roda a $60\,\mathrm{rpm}$ , $N = 3\,\mathrm{kN}$ ): tempo de deslizamento até parar, e distância que o carro percorreria se estivesse livre para rolar (trate o carro como uma massa $M$ sobre rodas livres, desprezando a inércia das outras rodas).
Resuma numa tabela: os quatro regimes (rolar, acelerar, frear, fazer curva), a força que atua em cada um e o limite de Coulomb que ela deve respeitar.

Solução

Solução de Problema 1.1.

1. $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 80.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; topo $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , embaixo $0$ , frente $(25, -25)$ : $35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ para baixo.

2. $\tfrac12Mv^2 = 375\,\mathrm{kJ}$ ; $4 \times \tfrac12J\omega^2 = 13\,\mathrm{kJ}$ ; total $388\,\mathrm{kJ}$ , rodas $3.3\%$ .

3. $N_f + N_r = Mg = 11.8\,\mathrm{kN}$ , $N_fa = N_rb$ : $N_f = Mgb/L = 6.8\,\mathrm{kN}$ , $N_r = Mga/L = 5.0\,\mathrm{kN}$ — o eixo dianteiro (o do motor).

4. $P_r = \sum\mu_rN_iR\omega = \mu_rMgv = 0.012 \times 11772 \times 25 = 3.5\,\mathrm{kW}$ ; arrasto $\tfrac12 \times 1.2 \times 0.7 \times 625 = 262\,\mathrm{N}$ , $6.6\,\mathrm{kW}$ .

5. $(M + 4J/R^2)\dot v = -\mu_rMg - \tfrac12\rho C_xSv^2$ , $M_{\text{ef}} = 1200 + 41.6 = 1242\,\mathrm{kg}$ . Só rolamento: $\dot v = -0.114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $d = (25^2 - 12.5^2)/0.228 = 2.1\,\mathrm{km}$ . Só arrasto: $v = v_0\eu^{-x/\lambda}$ , $\lambda = M_{\text{ef}}/\tfrac12\rho C_xS = 2.96\,\mathrm{km}$ , $d = \lambda\ln2 = 2.0\,\mathrm{km}$ (os dois juntos: $1.0\,\mathrm{km}$ ).

6. Peso, reações normais, atrito da estrada nos pneus. O atrito para a frente nos pneus dianteiros é a única força horizontal externa, logo é ele que acelera o carro; sua potência é nula (ponto de contato em repouso); a energia cinética vem do motor — trabalho interno.

7. $M\dot v = T_f - T_r$ ; rodas dianteiras $2J\dot v/R = \Gamma - T_fR$ ; rodas traseiras $2J\dot v/R = T_rR$ . Somando: $(M + 4J/R^2)\dot v = \Gamma/R$ ; $M_{\text{ef}} = 1242\,\mathrm{kg}$ .

8. Momentos em relação a $G$ (forças horizontais do solo à profundidade $h$ , total $M\dot v$ ): $aN_f - bN_r + hM\dot v = 0$ com $N_f + N_r = Mg$ , logo $N_r = Mga/L + Mh\dot v/L$ : o traseiro ganha $Mh\dot v/L$ , o dianteiro perde.

9. Tração dianteira: $M\dot v \le fN_f = f(Mgb/L - Mh\dot v/L)$ , logo $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh) = 11.77/3.04 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Tração traseira: $M\dot v \le f(Mga/L + Mh\dot v/L)$ , $\dot v_{\max} = fga/(L - fh) = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . A transferência de carga favorece o eixo traseiro: tração traseira, com o peso atrás, acelera mais.

10. $\Gamma = RM_{\text{ef}}\dot v_{\max} = 0.31 \times 1242 \times 3.87 = 1.5\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ ; $P = \Gamma v/R = 1490 \times 13.9/0.31 = 67\,\mathrm{kW}$ .

11. $\dot v_{\max} = 0.1 \times 9.81 \times 1.5/2.655 = 0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $25\,\mathrm{s}$ até $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

12. Agarrando: atrito estático, sem deslizamento, sem dissipação no contato. Patinando: atrito cinético (coeficiente ligeiramente menor), cujo trabalho aquece o pneu e polir ou derrete o gelo, e a potência do motor vai para girar a roda, não para mover o carro.

13. O torque do freio é interno (roda–carroceria); o carro é freado somente pelo atrito da estrada, para trás, no pneu. Para a roda ( $J\dot\omega$ desprezível): $\Gamma_b \approx T_iR \le fN_iR$ .

14. O mesmo balanço com $\dot v = -\gamma$ : $N_f = Mgb/L + Mh\gamma/L$ ; em $\gamma = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $N_f = 6792 + 1992 = 8.8\,\mathrm{kN}$ , $N_r = 3.0\,\mathrm{kN}$ .

15. $\gamma_{\max} = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $d = v^2/2\gamma = 40\,\mathrm{m}$ ; molhada, $f = 0.45$ : $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $71\,\mathrm{m}$ .

16. Torques iguais dão forças iguais, mas o eixo traseiro carrega apenas $3.0\,\mathrm{kN}$ : é ele que trava primeiro. O atrito de um pneu que desliza é oposto à sua velocidade de deslizamento e não pode mais fornecer força lateral: um eixo traseiro travado perde a estabilidade direcional e o carro roda.

17. Travada: $\gamma = 0.7g = 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $12\%$ menos, distância de parada de $45\,\mathrm{m}$ em vez de $40\,\mathrm{m}$ — e sem direção. Um sistema antitravamento percebe a roda desacelerando rumo ao travamento, alivia e reaplica o freio muitas vezes por segundo, mantendo o pneu perto do pico estático e rolando.

18. $388\,\mathrm{kJ}$ em $4 \times 6 \times 470 = 11.3\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ : $\Delta T = 34\,\mathrm{K}$ por parada. Um caminhão de $40\,\mathrm{t}$ que desce $1000\,\mathrm{m}$ deve dissipar $Mgh = 390\,\mathrm{MJ}$ : os freios superaquecem e perdem eficácia; uma rampa de brita detém o caminhão pelo atrito da brita.

19. $0.7 \times 388 = 272\,\mathrm{kJ} = 0.075\,\mathrm{kWh}$ ; uma bateria de $50\,\mathrm{kWh}$ vale cerca de $660$ paradas desse tipo.

20. $Mv^2/\rho \le fMg$ : $v \le \sqrt{fg\rho} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; molhada, $53\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

21. Atrito lateral $Mv^2/\rho$ à profundidade $h$ , forças normais em $\pm w/2$ : $(N_{\text{ext}} - N_{\text{int}})\,w/2 = Mv^2h/\rho$ , logo $\Delta N = Mv^2h/\rho w$ . As rodas internas se levantam em $\Delta N = Mg/2$ : $v = \sqrt{g\rho w/2h} = 25.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 93\,\mathrm{km}/\mathrm{h} > 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : ele derrapa antes (pois $f < w/2h = 1.36$ ).

22. Numa sobrelevação de ângulo $\beta$ sem atrito, $N\sin\beta = Mv^2/\rho$ e $N\cos\beta = Mg$ : $v = \sqrt{g\rho\tan\beta} = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ para $10{}^{\circ}$ .

23. $\omega_0 = 6.28\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $J\dot\omega = -0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : $t = 126\,\mathrm{s}$ ; $\tfrac12J\omega_0^2 = 20\,\mathrm{J}$ perdidos.

24. O atrito cinético $fN = 2.4\,\mathrm{kN}$ empurra o carro para a frente: $\dot v = 2400/1200 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; na roda $J\dot\omega = -fNR$ , $\dot\omega = -744\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$ . O deslizamento $R\omega - v$ parte de $1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e cai a $233\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : anula-se em $8.4\,\mathrm{ms}$ , tendo o carro ganho $1.7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ e andado $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ — um solavanco, não um empurrão.

25. Rolando: atrito $\approx 0$ , resistência ao rolamento $\mu_rN$ , $|T| \le fN$ trivialmente. Acelerando: atrito para a frente nos pneus motrizes, $T \le fN_{\text{motriz}}$ , $\dot v \le fgb/(L + fh)$ . Freando: atrito para trás em todos os pneus, $T_i \le fN_i$ , $\gamma \le fg$ . Em curva: atrito lateral $Mv^2/\rho \le fMg$ . Em todos os casos uma só força — o atrito da estrada, limitado pela lei de Coulomb — faz o trabalho todo.

Termos definidos neste capítulo

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