Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

4Escoamentos viscosos

Incline um pote de mel e ele escorre numa fita lenta e espessa; incline um copo de água e ela some. Passe uma colher por cada um: o mel resiste, e continua resistindo a qualquer velocidade; a água mal reage até que você se apresse, e então ela se revolve. A diferença é a viscosidade — o atrito interno de um fluido — e a disputa entre viscosidade e inércia, resumida num único número, o de Reynolds, decide se um escoamento rasteja em camadas ordenadas ou desaba em turbulência. Este capítulo acrescenta a força viscosa à equação de Euler, resolve os dois escoamentos laminares que todo engenheiro usa e explica por que, a alto número de Reynolds, a viscosidade se esconde numa fina camada junto à parede e ainda assim custa a todo carro, navio e avião a maior parte de seu combustível.

O mel escorre numa fita fina e regular que se enrola ao chegar: uma viscosidade dez mil vezes a da água torna a inércia irrelevante — é um escoamento rastejante.

4.1 Viscosidade e a equação de Navier–Stokes

Definição 4.1 (Viscosidade newtoniana)

Num cisalhamento plano $\vect v = v_x(y)\,\vect e_x$ , o fluido acima de uma superfície $y =$ const. exerce sobre o fluido de baixo (através de um elemento de superfície $\dd S$ ) a força tangencial

\dd\vect F = \eta\,\frac{\dd v_x}{\dd y}\,\dd S\;\vect e_x ,

arrastando para a frente a camada mais lenta e sendo, em troca, puxado para trás. A tensão de cisalhamento vale $\tau = \eta\,\dd v_x/\dd y$ ; o coeficiente $\eta$ (unidade $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) é a viscosidade dinâmica do fluido, e $\nu = \eta/\rho$ ( $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) sua viscosidade cinemática. Um fluido para o qual $\eta$ não depende da taxa de cisalhamento é newtoniano: água, ar, óleos, álcool; sangue, tinta, ketchup e polímeros fundidos não são. Ordens de grandeza a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : ar $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), água $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), azeite $0.08\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , glicerol $1.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , mel $\sim10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . Os líquidos ficam mais fluidos quando aquecidos, e os gases mais viscosos.

Proposição 4.2 (Densidade de força viscosa; condição de aderência)

No cisalhamento plano, a força viscosa resultante sobre uma fatia de fluido entre $y$ e $y + \dd y$ vale, por unidade de volume, $\eta\,\dd^2v_x/\dd y^2$ : a viscosidade age como uma densidade volumétrica de força $\eta\,\Delta\vect v$ (o laplaciano tomado componente a componente), resultado que vale para qualquer escoamento incompressível. Numa parede sólida o fluido adere: sua velocidade é a da parede (a condição de aderência), e é por isso que a poeira fica na pá de um ventilador e que uma parede sente um arrasto viscoso.

Demonstração. A fatia é puxada por $\eta\,v_x'(y + \dd y)\dd S$ por cima e por $-\eta\,v_x'(y)\dd S$ por baixo: resultante $\eta v_x''\,\dd y\,\dd S$ . A forma geral é admitida (segue de escrever a tensão como função linear simétrica dos gradientes de velocidade). A condição de aderência é experimental. ∎

Teorema 4.3 (Equação de Navier–Stokes)

Um fluido newtoniano incompressível obedece a

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g + \eta\,\Delta\vect v , \qquad \operatorname{div}\vect v = 0 ,

com a condição de aderência em toda parede. A equação de Euler é o caso $\eta = 0$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

À esquerda: escoamento de Couette plano entre uma placa fixa e uma placa que se move a U — perfil linear, e a mesma tensão de cisalhamento em cada camada. À direita: as forças viscosas sobre uma fatia de fluido; elas se cancelam a menos que o perfil de velocidades seja curvo. — À esquerda: escoamento de Couette plano entre uma placa fixa e uma placa que se move a $U$ — perfil linear, e a mesma tensão de cisalhamento em cada camada. À direita: as forças viscosas sobre uma fatia de fluido; elas se cancelam a menos que o perfil de velocidades seja curvo.

Exemplo 4.4 (Tensão de cisalhamento sobre uma mesa)

Um filme de $0.1\,\mathrm{mm}$ de óleo ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) entre uma placa e uma mesa, com a placa deslizando a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\tau = \eta U/h = 1\,\mathrm{kPa}$ , uma força de $100\,\mathrm{N}$ sobre um décimo de metro quadrado — é o princípio do mancal lubrificado, em que o arrasto viscoso substitui um atrito seco cem vezes maior. Mel numa colher, $10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , com $1\,\mathrm{mm}$ de espessura, escorrendo a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : $\tau = 10\,\mathrm{Pa}$ , exatamente o peso de um milímetro de mel por unidade de área — e é por isso que ele escorre nessa velocidade.

4.2 O número de Reynolds

Definição 4.5 (Número de Reynolds)

Para um escoamento de celeridade característica $U$ e comprimento característico $L$ , o número de Reynolds

\mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\eta} = \frac{UL}{\nu}

é a razão entre as ordens de grandeza do termo inercial $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v \sim \rho U^2/L$ e do termo viscoso $\eta\Delta\vect v \sim \eta U/L^2$ na equação de Navier–Stokes. Com $\mathrm{Re} \ll 1$ a inércia é desprezível e o escoamento é rastejante (viscoso, reversível, suave); com $\mathrm{Re} \gg 1$ a viscosidade é desprezível fora das paredes e o escoamento é o de um fluido perfeito — até que, além de um limiar da ordem de $10^3$ (cerca de $2000$ a $3000$ num tubo, baseado no diâmetro), ele se torne turbulento: não permanente, caótico, cheio de turbilhões em todas as escalas. Entre os dois, um escoamento é laminar: permanente e em camadas.

Exemplo 4.6 (Números de Reynolds do cotidiano)

Uma bactéria ( $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , em água): $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ — ela vive num mundo sem inércia, onde parar o flagelo a detém em um diâmetro atômico. Sangue num capilar: $10^{-3}$ ; um grão de poeira caindo: $10^{-2}$ ; um peixinho dourado: $10^3$ ; um nadador: $10^6$ ; um carro a $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $4\,\mathrm{m}$ ): $8 \times 10^6$ ; um avião de linha: $10^8$ ; a Corrente do Golfo: $10^{11}$ . Dois escoamentos de mesma geometria e mesmo número de Reynolds são semelhantes: é isso que permite ensaiar um modelo de navio de $1\,\mathrm{m}$ num tanque de reboque, ou um avião num túnel de vento.

4.3 Escoamentos laminares: Couette, Poiseuille, Stokes

Proposição 4.7 (Escoamento de Poiseuille num tubo)

Num tubo cilíndrico horizontal de raio $R$ e comprimento $L$ , impulsionado pela diferença de pressão $\Delta P = P_1 - P_2$ entre suas extremidades, o escoamento laminar permanente é

v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}\,(R^2 - r^2) , \qquad D_V = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta P :

um perfil parabólico, máximo no eixo, com celeridade média $\langle v\rangle = v_{\max}/2$ . A vazão é proporcional à queda de pressão (lei de Poiseuille), com a resistência hidráulica $R_h = \Delta P/D_V = 8\eta L/\pi R^4$ — e à quarta potência do raio. A tensão de cisalhamento na parede vale $\tau_w = \Delta P\,R/2L = 4\eta\langle v \rangle/R$ . Válido enquanto $\mathrm{Re} = 2R\langle v\rangle/\nu \lesssim 2000$ .

Demonstração. Permanente, $\vect v = v(r)\vect e_z$ (de modo que o termo convectivo se anula: $\vect v \cdot\operatorname{\vect{grad}}$ age ao longo de $z$ , direção em que nada varia). Navier–Stokes ao longo de $z$ : $0 = -\partial_zP + \eta\Delta v$ , e radialmente $\partial_rP = 0$ : $P$ só depende de $z$ , e $\Delta v$ só de $r$ , de modo que ambos os lados valem uma constante, $\partial_zP = -\Delta P/L$ . Em coordenadas cilíndricas $\Delta v = \frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd v}{\dd r}\bigr)$ (enunciado; é o balanço das forças viscosas sobre uma casca cilíndrica, $2\pi rL\,\eta v'$ em $r$ e em $r + \dd r$ ). Integrando duas vezes com $v$ finito no eixo e $v(R) = 0$ obtém-se a parábola; $D_V = \int_0^Rv\,2\pi r\,\dd r$ . A tensão na parede é $-\eta v'(R)$ ; equivalentemente, a força de pressão $\pi R^2\Delta P$ equilibra o atrito na parede $2\pi RL\tau_w$ . ∎

À esquerda: o escoamento de Poiseuille — o perfil parabólico num tubo, impulsionado pela queda de pressão P_1 - P_2. À direita: o balanço de forças numa casca cilíndrica de fluido: a diferença de pressão em suas bases é equilibrada pelas tensões viscosas em suas superfícies interna e externa. — À esquerda: o escoamento de Poiseuille — o perfil parabólico num tubo, impulsionado pela queda de pressão $P_1 - P_2$ . À direita: o balanço de forças numa casca cilíndrica de fluido: a diferença de pressão em suas bases é equilibrada pelas tensões viscosas em suas superfícies interna e externa.

Exemplo 4.8 (A quarta potência)

Uma agulha de seringa de diâmetro interno $0.4\,\mathrm{mm}$ e comprimento $3\,\mathrm{cm}$ , com água e pressão do polegar de $20\,\mathrm{kPa}$ : $D_V = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; uma agulha duas vezes mais larga dá dezesseis vezes mais. Uma artéria estreitada por uma placa a $70\%$ de seu raio oferece $(1/0.7)^4 = 4.2$ vezes a resistência: o corpo compensa elevando a pressão a montante, o que é parte da razão de aterosclerose e hipertensão andarem juntas.

Proposição 4.9 (Arrasto de Stokes)

Uma esfera de raio $R$ que se move com celeridade $v$ num fluido a $\mathrm{Re} = 2\rho vR/\eta \ll 1$ sofre o arrasto

F = 6\pi\eta Rv ,

oposto à sua velocidade. Uma esfera de massa específica $\rho_s$ que cai num fluido de massa específica $\rho$ atinge a velocidade terminal $v_\infty = \dfrac{2R^2(\rho_s - \rho)g}{9\eta}$ — a lei da sedimentação, das centrífugas e das gotas de óleo de Millikan.

Demonstração. O arrasto é admitido (é a solução exata das equações do escoamento rastejante em torno de uma esfera, dois terços dele atrito viscoso e um terço pressão). Velocidade terminal: o peso menos o empuxo, $\tfrac43\pi R^3(\rho_s - \rho)g$ , iguala o arrasto; verifique sempre $\mathrm{Re} \ll 1$ depois. ∎

Exemplo 4.10 (Neblina, chuva e poeira)

Uma gotícula de neblina de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diâmetro cai no ar a $2 \times (5 \times 10^{-6})^2 \times 10^4/(9 \times 1.8 \times 10^{-5}) = 3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ): a menor corrente ascendente a mantém no ar, e é por isso que as nuvens flutuam. Uma gota de chuva de $1\,\mathrm{mm}$ daria $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $\mathrm{Re} \approx 2000$ : Stokes já não se aplica, e o arrasto quadrático da próxima seção dá os $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ observados. Um grão de poeira de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) sedimenta a $8\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , um metro em dois minutos — poeira mais fina fica em suspensão por horas.

4.4 Alto número de Reynolds: camadas limite e arrasto

Proposição 4.11 (A camada limite)

A alto número de Reynolds o escoamento em torno de um corpo é o de um fluido perfeito em toda parte, exceto numa fina camada limite junto à parede, na qual a velocidade cai de seu valor externo $U$ a zero (aderência). Ao longo de uma placa plana sua espessura cresce como

\delta(x) \sim \sqrt{\frac{\nu x}{U}} = \frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} , \qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu} ,

com $x$ a distância ao bordo de ataque; a própria camada torna-se turbulenta além de $\mathrm{Re}_x \sim 5 \times 10^5$ . O atrito viscoso na parede e o descolamento da camada atrás de um corpo rombudo (que deixa uma esteira turbulenta de baixa pressão) são as duas fontes de arrasto.

Demonstração. Ordem de grandeza: uma partícula de fluido gasta o tempo $x/U$ percorrendo a placa, durante o qual a influência da parede se difunde no fluido — o termo viscoso $\nu\,\partial^2v/\partial y^2$ é uma difusão de quantidade de movimento com difusividade $\nu$ , que alcança a distância $\sqrt{\nu t}$ no tempo $t$ (Capítulo 24). Logo $\delta \sim \sqrt{\nu x /U}$ . A teoria completa (de Prandtl) é admitida. ∎

Proposição 4.12 (Arrasto a alto número de Reynolds)

O arrasto sobre um corpo de área frontal $S$ que se move a $v$ num fluido escreve-se

F = \tfrac12\rho v^2\,S\,C_x ,

onde o coeficiente de arrasto $C_x$ depende da forma e de $\mathrm{Re}$ . Para uma esfera, $C_x = 24/\mathrm{Re}$ com $\mathrm{Re} \ll 1$ (Stokes, com $\mathrm{Re}$ baseado no diâmetro), depois cerca de $0.4$ – $0.5$ , quase constante, de $\mathrm{Re} \approx 10^3$ a $2 \times 10^5$ , onde cai bruscamente para cerca de $0.1$ (a crise do arrasto: a camada limite torna-se turbulenta, adere por mais tempo à superfície e a esteira encolhe — as covinhas de uma bola de golfe a antecipam). Corpos fuselados têm $C_x \approx 0.05$ ; um carro, $0.3$ ; um ciclista, $0.9$ ; uma placa plana de frente para o escoamento, $1.2$ . A potência necessária para se mover a $v$ vale $Fv \propto v^3$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

À esquerda: o coeficiente de arrasto de uma esfera em função do número de Reynolds (escalas logarítmicas): a lei de Stokes a baixo Re, um patamar perto de 0.45 e a crise do arrasto perto de Re = 2 × 105. À direita: a camada limite engrossando ao longo de uma placa plana; fora dela o escoamento é o de um fluido perfeito. — À esquerda: o coeficiente de arrasto de uma esfera em função do número de Reynolds (escalas logarítmicas): a lei de Stokes a baixo $\mathrm{Re}$ , um patamar perto de $0.45$ e a crise do arrasto perto de $\mathrm{Re} = 2 \times 10^5$ . À direita: a camada limite engrossando ao longo de uma placa plana; fora dela o escoamento é o de um fluido perfeito.

Exemplo 4.13 (Um ciclista, um carro)

Um ciclista ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ ) a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 0.5 \times 1.2 \times 100 \times 0.35 = 21\,\mathrm{N}$ , $P = 210\,\mathrm{W}$ — um esforço sustentável; a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) seriam $710\,\mathrm{W}$ , e é por isso que os velocistas pegam vácuo. Um carro ( $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ ) a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $550\,\mathrm{N}$ , $20\,\mathrm{kW}$ só contra o ar — o consumo de combustível na velocidade de estrada é sobretudo arrasto.

Observação 4.14 (Tensão superficial)

Uma segunda força mora nas fronteiras de um líquido: sua superfície livre comporta-se como uma membrana esticada de tensão $\gamma$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; água, $0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ), porque às moléculas da superfície falta metade dos vizinhos. A pressão dentro de uma gota de raio $R$ excede a pressão externa da pressão de Laplace $2\gamma/R$ ( $1.4\,\mathrm{kPa}$ numa gota de $0.1\,\mathrm{mm}$ , $14\,\mathrm{bar}$ numa de $10\,\mathrm{nm}$ ); a tensão superficial vence a gravidade abaixo do comprimento capilar $\sqrt{\gamma/\rho g} = 2.7\,\mathrm{mm}$ para a água — o tamanho das gotas de orvalho, do menisco num copo, da ascensão num tubo capilar ( $h = 2\gamma/\rho gr$ , Jurin). É por isso que insetos pequenos andam sobre a água, que os pelos de um pincel se juntam quando molhados e que um jato líquido se rompe em gotas.

Método 4.15 (Qual regime?)

Antes de qualquer cálculo de escoamento viscoso, calcule $\mathrm{Re}$ . Com $\mathrm{Re} \ll 1$ : Stokes e escoamento rastejante, arrasto $\propto v$ , quedas de pressão $\propto$ vazão. Com $\mathrm{Re}$ até $\sim\!2000$ num tubo: laminar, Poiseuille. Acima disso: turbulento — Poiseuille subestima muito a perda; use a lei empírica $\Delta P = \lambda(L/D)\,\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ com $\lambda \approx 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ para tubos lisos, e $F = \tfrac12\rho v^2SC_x$ para corpos. Em todos os casos, verifique depois que o $\mathrm{Re}$ calculado a partir da resposta concorda com o regime suposto.

4.5 Exercícios

Exercício 4.1 ★

Uma placa de $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ desliza a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre um filme de $0.20\,\mathrm{mm}$ de óleo ( $\eta = 0.25\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ). Tensão de cisalhamento, força sobre a placa, potência dissipada; compare com o atrito seco ( $f = 0.3$ ) se a placa pesa $10\,\mathrm{kg}$ .

Solução

Solução de Exercício 4.1.

$\tau = \eta U/h = 0.25 \times 2/2 \times 10^{-4} = 2.5\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 1.25\,\mathrm{kN}$ ; $P = Fv = 2.5\,\mathrm{kW}$ . Atrito seco: $0.3 \times 98 = 29\,\mathrm{N}$ — aqui o filme fino, fortemente cisalhado, resiste muito mais; o arrasto viscoso cresce como $U/h$ , de modo que a lubrificação compensa a velocidades menores e com filmes mais espessos (e nunca gripa).

Exercício 4.2 ★

Números de Reynolds de: (a) uma bactéria de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em água; (b) um nadador ( $1.8\,\mathrm{m}$ , $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); (c) um carro ( $4\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) no ar; (d) o sangue na aorta ( $2.5\,\mathrm{cm}$ , $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\nu = 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ); (e) óleo ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) a $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ num tubo de $1\,\mathrm{cm}$ . Regime de cada um.

Solução

Solução de Exercício 4.2.

(a) $2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-5}/10^{-6} = 6 \times 10^{-5}$ , rastejante. (b) $1.8 \times 1.5/10^{-6} = 2.7 \times 10^6$ , turbulento. (c) $4 \times 30/1.5 \times 10^{-5} = 8 \times 10^6$ , turbulento. (d) $0.025 \times 0.33/3.3 \times 10^{-6} = 2500$ , laminar no limite. (e) $900 \times 0.5 \times 0.01/0.1 = 45$ , laminar.

Exercício 4.3 ★

A água é empurrada por $20\,\mathrm{kPa}$ através de uma agulha de $0.40\,\mathrm{mm}$ (diâmetro interno) e $3.0\,\mathrm{cm}$ . Vazão; tempo para injetar $5\,\mathrm{mL}$ ; celeridade máxima e número de Reynolds; tensão de cisalhamento na parede. E com uma agulha de $0.80\,\mathrm{mm}$ ?

Solução

Solução de Exercício 4.3.

$D_V = \pi R^4\Delta P/8\eta L = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; $12\,\mathrm{s}$ para $5\,\mathrm{mL}$ . $v_{\max} = \Delta PR^2/ 4\eta L = 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\langle v\rangle = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 2R\langle v \rangle/\nu = 1300$ : laminar. $\tau_w = \Delta PR/2L = 67\,\mathrm{Pa}$ . A $0.8\,\mathrm{mm}$ : dezesseis vezes a vazão, $6.7\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ — mas $\mathrm{Re} \approx 10^4$ : o escoamento torna-se turbulento e o ganho é menor.

Exercício 4.4 ★

Velocidades terminais no ar ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) de (a) um grão de pólen de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (b) uma partícula de fumaça de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (c) uma gota de garoa de $0.2\,\mathrm{mm}$ . Verifique $\mathrm{Re}$ em cada caso; tempo para cair $1\,\mathrm{m}$ .

Solução

Solução de Exercício 4.4.

$v_\infty = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta$ . (a) $1.3\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 0.02$ , $75\,\mathrm{s}$ por metro. (b) $0.24\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ , $70\,\mathrm{min}$ por metro. (c) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , mas $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes superestima (a celeridade real é de cerca de $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), cerca de um segundo por metro.

Exercício 4.5 ★★

Uma adutora de diâmetro $30\,\mathrm{cm}$ conduz $0.10\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ao longo de $1.0\,\mathrm{km}$ . (a) Celeridade média e número de Reynolds. (b) Queda de pressão se a lei de Poiseuille valesse. (c) Queda real com $\lambda = 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ ; razão em relação a (b); potência de bombeamento. (d) A mesma vazão em duas adutoras paralelas de $21\,\mathrm{cm}$ (mesma seção total): queda e potência.

Solução

Solução de Exercício 4.5.

(a) $\langle v\rangle = 0.1/0.0707 = 1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 4.2 \times 10^5$ . (b) $8\eta LD_V/\pi R^4 = 500\,\mathrm{Pa}$ . (c) $\lambda = 0.3/25.5 = 0.0118$ , $\Delta P = 0.0118 \times 3333 \times 1000 = 39\,\mathrm{kPa}$ : $80$ vezes mais; $P = \Delta PD_V = 3.9\,\mathrm{kW}$ . (d) Mesma celeridade, $\mathrm{Re} = 3 \times 10^5$ , $\lambda = 0.0128$ , $\Delta P = 0.0128 \times 4717 \times 1000 = 60\,\mathrm{kPa}$ , $6\,\mathrm{kW}$ : mais parede por unidade de vazão, mais perda.

Exercício 4.6 ★★

Células de diâmetro $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ e massa específica $1050\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ em água. (a) Celeridade de sedimentação sob gravidade; tempo para decantar $5\,\mathrm{cm}$ . (b) Numa centrífuga a $1000\,g$ . (c) Frequência de rotação mínima para $1000\,g$ a $10\,\mathrm{cm}$ de raio. (d) Por que as partículas maiores podem ser separadas primeiro?

Solução

Solução de Exercício 4.6.

(a) $v = 2 \times 25 \times 10^{-12} \times 50 \times 9.81/(9 \times 10^{-3}) = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5\,\mathrm{cm}$ em $1.8 \times 10^4$ s, cinco horas. (b) $2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $18\,\mathrm{s}$ . (c) $\Omega = \sqrt{1000g/r} = 313\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{rpm}$ . (d) $v \propto R^2$ : as partículas grandes sedimentam primeiro; centrifugações sucessivas a velocidades crescentes separam os tamanhos.

Exercício 4.7 ★★

Um ciclista ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ , resistência ao rolamento de $4\,\mathrm{N}$ ) anda a $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Arrasto e potência total. (b) A $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) Contra um vento de proa de $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , a $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação ao solo. (d) Pegar vácuo reduz $C_x$ em $30\%$ : potência economizada. (e) Descendo uma rampa de $5\%$ sem pedalar (massa de $80\,\mathrm{kg}$ ): celeridade terminal.

Solução

Solução de Exercício 4.7.

(a) $F = 0.6 \times 144 \times 0.35 = 30\,\mathrm{N}$ , $+4\,\mathrm{N}$ : $P = 34 \times 12 = 410\,\mathrm{W}$ . (b) $47 + 4 = 51\,\mathrm{N}$ , $770\,\mathrm{W}$ . (c) Celeridade relativa $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $61 + 4 = 65\,\mathrm{N}$ , vezes a celeridade em relação ao solo: $780\,\mathrm{W}$ . (d) Arrasto de $21\,\mathrm{N}$ : $300\,\mathrm{W}$ , com economia de $110\,\mathrm{W}$ . (e) $mg\sin\alpha = 39\,\mathrm{N} = 4 + 0.21v^2$ : $v = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercício 4.8 ★★

Arrasto quadrático. (a) Celeridade terminal de uma bola de golfe ( $46\,\mathrm{g}$ , $43\,\mathrm{mm}$ , $C_x = 0.25$ ) e de um paraquedista ( $80\,\mathrm{kg}$ , $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ , e depois $25\,\mathrm{m}^{2}$ com o paraquedas aberto). (b) Equação do movimento de uma queda a partir do repouso com arrasto quadrático; mostre que $v = v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) Tempo e distância para o paraquedista atingir $90\%$ de $v_\infty$ .

Solução

Solução de Exercício 4.8.

(a) Golfe: $\tfrac12\rho C_xS = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ , $v_\infty = \sqrt{0.45/2.2 \times 10^{-4}} = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; paraquedista, $\sqrt{785/0.42} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; com paraquedas, $\sqrt{785/15} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $m\dot v = mg - kv^2$ , ou seja, $\dot v = g(1 - v^2/v_\infty^2)$ , cuja solução a partir do repouso é $v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) $\tanh x = 0.9$ em $x = 1.47$ : $t = 1.47 \times 43/9.81 = 6.5\,\mathrm{s}$ ; $z = (v_\infty^2/g)\ln\cosh x = 190 \times 0.83 = 160\,\mathrm{m}$ .

Exercício 4.9 ★★

Viscosímetro de Couette. Um cilindro de raio $5.0\,\mathrm{cm}$ e altura $10\,\mathrm{cm}$ gira a $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ dentro de um cilindro fixo, com a folga de $1.0\,\mathrm{mm}$ preenchida pelo líquido a ensaiar; o torque necessário é $2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (a) Tratando a folga como escoamento de Couette plano, taxa de cisalhamento e tensão de cisalhamento. (b) Viscosidade. (c) Número de Reynolds do escoamento na folga; o escoamento é laminar? (d) Por que a folga é feita estreita?

Solução

Solução de Exercício 4.9.

(a) Taxa de cisalhamento $\Omega R/e = 0.5/10^{-3} = 500\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Gamma = \tau\cdot2\pi Rh \cdot R$ : $\tau = 0.02/(2\pi \times 2.5 \times 10^{-3} \times 0.1) = 12.7\,\mathrm{Pa}$ . (b) $\eta = 12.7/500 = 2.5 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . (c) $\mathrm{Re} = \rho Ue/\eta \approx 1000 \times 0.5 \times 10^{-3}/0.025 = 20$ : laminar. (d) Uma folga estreita torna a taxa de cisalhamento uniforme (a aproximação plana) e mantém o escoamento laminar.

Exercício 4.10 ★★★

Uma rede vascular. O sangue ( $\eta = 3.5\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ ) escoa a $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ . (a) Resistência hidráulica da aorta (raio $1.25\,\mathrm{cm}$ , comprimento $40\,\mathrm{cm}$ ) e queda de pressão ao longo dela. (b) Os $10^{10}$ capilares (raio $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , comprimento $1\,\mathrm{mm}$ ) estão em paralelo: resistência de um, de todos, e queda de pressão no leito capilar. (c) As arteríolas ( $10^8$ , raio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , comprimento $2\,\mathrm{mm}$ ): mesmas perguntas; onde está a resistência da circulação? (d) A queda total vale $13\,\mathrm{kPa}$ : potência do ventrículo esquerdo e que fração dos $100\,\mathrm{W}$ do corpo ela representa. (e) Um medicamento dilata as arteríolas em $10\%$ : efeito sobre a resistência total.

Solução

Solução de Exercício 4.10.

$D_V = 8.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (a) $R_h = 8\eta L/\pi R^4 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 0.4/(\pi \times 2.4 \times 10^{-8}) = 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ , $\Delta P = 12\,\mathrm{Pa}$ . (b) Um capilar, $3.5 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^{10}$ em paralelo: $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 290\,\mathrm{Pa}$ ( $2\,\mathrm{mmHg}$ ). (c) Uma arteríola, $8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3}/(\pi \times 10^{-20}) = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; o conjunto: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.5\,\mathrm{kPa}$ : as arteríolas dominam as duas outras (é nos vasos pequenos, e não nos grandes, que a pressão cai). (d) $P = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , cerca de $1\%$ . (e) $(1/1.1)^4 = 0.68$ : um terço da resistência arteriolar removido — é assim que os vasodilatadores baixam a pressão arterial.

Exercício 4.11 ★★★

Camada limite e arrasto de atrito. Uma placa plana de comprimento $L$ e largura $b$ move-se de perfil a $U$ . No regime laminar a tensão de cisalhamento na parede vale $\tau_w = 0.332\,\rho U^2/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ (Blasius). (a) Mostre que a força de atrito numa das faces vale $F = 0.664\,\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ . (b) Espessura da camada limite no bordo de fuga de uma placa de $1\,\mathrm{m}$ em água a $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , e força sobre uma placa de $1\,\mathrm{m}^{2}$ (nas duas faces). (c) A $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\mathrm{Re}_L$ , e por que a fórmula deixa de valer. (d) Casco de um navio ( $100\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): estimativa da espessura da camada limite na popa, supondo a lei turbulenta $\delta \approx 0.37x/\mathrm{Re}_x^{1/5}$ .

Solução

Solução de Exercício 4.11.

(a) $F = b\int_0^L\tau_w\,\dd x = 0.332\rho U^2b\sqrt{\nu/U}\int_0^L\dd x/\sqrt x = 0.664\rho U^2b\sqrt{\nu L/U} = 0.664\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ . (b) $\mathrm{Re}_L = 3 \times 10^5$ (laminar); $\delta \approx 5\sqrt{\nu L/U} = 9\,\mathrm{mm}$ ; $F = 0.664 \times 1000 \times 0.09 \times 1/548 = 0.11\,\mathrm{N}$ por face, $0.22\,\mathrm{N}$ . (c) $\mathrm{Re}_L = 10^7$ : a camada é turbulenta além dos primeiros centímetros, e a fórmula laminar falha (o arrasto real é várias vezes maior). (d) $\mathrm{Re}_x = 10^9$ : $\delta \approx 0.37 \times 100/63 = 0.6\,\mathrm{m}$ .

Exercício 4.12 ★★★

Um filme que escorre. Um filme líquido de espessura $h$ escorre por uma parede vertical sob a gravidade, em regime permanente, sem que o ar exerça tensão em sua superfície livre. (a) Escreva Navier–Stokes para $\vect v = v(y)\vect e_z$ ( $y$ a distância à parede, $z$ para baixo) e as condições de contorno. (b) Mostre que $v(y) = \dfrac{\rho g}{2\eta}(2hy - y^2)$ e calcule a vazão por unidade de largura $q = \rho gh^3/3\eta$ . (c) Uma demão fresca de tinta ( $\eta = 0.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 1200\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) de $0.2\,\mathrm{mm}$ de espessura: celeridade da superfície e vazão; quanto a superfície anda em $10\,\mathrm{min}$ ? Por que a tinta escorre quando aplicada grossa demais? (d) Mel ( $\eta = 10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) com $2\,\mathrm{mm}$ de espessura numa colher vertical: celeridade da superfície.

Solução

Solução de Exercício 4.12.

(a) $0 = \rho g + \eta v''(y)$ , $v(0) = 0$ (aderência), $v'(h) = 0$ (sem tensão na superfície livre). (b) Integre duas vezes: $v = (\rho g/2\eta)(2hy - y^2)$ ; $q = \int_0^hv\,\dd y = \rho gh^3/3\eta$ . (c) $v_s = \rho gh^2/2\eta = 1200 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-8}/1 = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $q = 6.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $28\,\mathrm{cm}$ em dez minutos — uma tinta newtoniana com essa espessura escorreria toda; tintas reais afinam sob cisalhamento e são tixotrópicas, e escorrem mesmo assim quando grossas demais, porque $v_s \propto h^2$ . (d) $1400 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-6}/20 = 2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ .

Uma rua de vórtices de von Kármán nas nuvens a jusante de uma ilha, vista do espaço: a esteira de um cilindro a um número de Reynolds de algumas centenas, desenhada na escala de uma centena de quilômetros (NASA).

4.6 Problema: Sangue, petróleo e chuva

Problema 4.1

Problema de fim de semana — as mesmas leis viscosas numa artéria, num oleoduto de mil quilômetros e numa gota que cai

Parte I — O sangue. Sangue: $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 3.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (tratado como newtoniano); débito cardíaco $D_V = 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ .

Aorta, raio $1.25\,\mathrm{cm}$ : celeridade média, número de Reynolds, regime.
Se o escoamento na aorta fosse o de Poiseuille, quais seriam a celeridade máxima e a tensão de cisalhamento na parede? (O endotélio percebe tensões da ordem de $1\,\mathrm{Pa}$ .)
Um capilar de raio $4.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ conduz sangue a $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : número de Reynolds; queda de pressão ao longo de seu comprimento de $1.0\,\mathrm{mm}$ , em pascals e em milímetros de mercúrio ( $1\,\mathrm{mmHg}$ = $133\,\mathrm{Pa}$ ).
Tempo que uma hemácia leva para atravessar o capilar; por que essa é a ordem certa para as trocas gasosas?
Arteríolas (raio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , comprimento $2.0\,\mathrm{mm}$ , $10^8$ em paralelo): resistência do conjunto e queda de pressão nele, no débito cardíaco pleno.
A queda total, do lado arterial ao venoso, vale $13\,\mathrm{kPa}$ : potência mecânica entregue pelo ventrículo esquerdo. Compare com um corpo de $100\,\mathrm{W}$ .
Uma estenose reduz em $40\%$ o raio de uma artéria coronária num trecho curto: fator pelo qual sua resistência aumenta; por que o músculo cardíaco a jusante ainda pode ser irrigado em repouso, mas não durante o esforço.
Num esforço intenso o débito cardíaco chega a $25\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ : número de Reynolds na aorta, e regime.
O sangue não é newtoniano: sua viscosidade aparente cai a alta taxa de cisalhamento e sobe a baixa. Qual dos vasos acima é o mais afetado, e em que sentido?

Parte II — O oleoduto. Um oleoduto de petróleo bruto: diâmetro $D = 1.2\,\mathrm{m}$ , comprimento $L = 1300\,\mathrm{km}$ , vazão $D_V = 3.0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; óleo com $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ quando mantido aquecido. Atrito turbulento: $\Delta P = \lambda (L/D)\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ , $\lambda = 0.316/\mathrm{Re}^{1/4}$ .

Celeridade média e número de Reynolds; regime.
Queda de pressão por quilômetro e ao longo de toda a linha.
O tubo suporta $80\,\mathrm{bar}$ : número mínimo de estações de bombeamento ao longo da linha.
Potência total de bombeamento; energia por metro cúbico de óleo entregue, comparada com o conteúdo energético do óleo ( $36\,\mathrm{GJ}/\mathrm{m}^{3}$ ).
Que queda a lei de Poiseuille preveria? Comente o custo da turbulência (e por que aditivos poliméricos que retardam a turbulência são injetados em alguns oleodutos).
No inverno o óleo sem aquecimento chegaria a $\eta = 2.0\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : novo número de Reynolds e regime; queda de pressão ao longo da linha com a lei apropriada. Conclusão para o projeto (a linha real é isolada e o óleo mantido aquecido).
Tempo de trânsito do óleo de uma ponta à outra.
Tensão de cisalhamento na parede no caso quente e turbulento, a partir da queda de pressão; força de atrito total sobre a parede do tubo.
A mesma vazão num tubo de $1.0\,\mathrm{m}$ : por que fator muda a queda de pressão turbulenta?
Um grão de areia de $0.10\,\mathrm{mm}$ ( $\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) é carregado pelo óleo quente: celeridade de sedimentação de Stokes, número de Reynolds do grão, tempo para decantar a seção do tubo. Compare com as flutuações turbulentas de velocidade, alguns por cento de $\langle v \rangle$ : a areia decanta no oleoduto em operação? E num parado?

Parte III — Gotas. Ar: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; água com $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

Gotícula de nuvem, diâmetro $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : celeridade terminal de Stokes, número de Reynolds, tempo para cair $1\,\mathrm{km}$ ; por que a nuvem permanece.
Garoa, $0.20\,\mathrm{mm}$ : celeridade de Stokes e número de Reynolds; Stokes ainda é confiável?
Gota de chuva, $2.0\,\mathrm{mm}$ : mostre que Stokes falha e ache a celeridade terminal com $C_x = 0.5$ . Tempo para cair de $1\,\mathrm{km}$ .
Numa corrente ascendente de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , a gotícula de nuvem sobe ou desce? Que corrente ascendente sustentaria a gota de garoa?
Pressão de Laplace dentro das três gotas; compare com a pressão dinâmica $\tfrac12\rho v_\infty^2$ de cada uma e explique por que gotas de chuva grandes se achatam e se rompem acima de cerca de $5\,\mathrm{mm}$ .
Numa tabela, dê para os oito escoamentos deste problema o número de Reynolds e a lei que o governa.

Solução

Solução de Problema 4.1.

1. $S = 4.9\,\mathrm{cm}^{2}$ , $\langle v\rangle = 83/4.9 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1060 \times 0.17 \times 0.025/3.5 \times 10^{-3} = 1300$ : laminar (os picos pulsáteis chegam a $\sim 5000$ ).

2. $v_{\max} = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tau_w = 4\eta\langle v\rangle/R = 0.19\,\mathrm{Pa}$ .

3. $\mathrm{Re} = 1060 \times 3 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{-6}/3.5 \times 10^{-3} = 7 \times 10^{-4}$ ; $\Delta P = 8\eta L\langle v\rangle/R^2 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-4}/1.6 \times 10^{-11} = 525\,\mathrm{Pa} = 3.9\,\mathrm{mmHg}$ .

4. $1/0.3 = 3.3\,\mathrm{s}$ : tempo suficiente para o oxigênio difundir os poucos micrômetros até o tecido (Capítulo 24).

5. Uma arteríola, $8\eta L/\pi R^4 = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^8$ em paralelo: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.8 \times 10^7 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.5\,\mathrm{kPa} = 11\,\mathrm{mmHg}$ .

6. $P = \Delta P\,D_V = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , cerca de $1\%$ da potência do corpo.

7. $(1/0.6)^4 = 7.7$ . Em repouso os vasos a jusante se dilatam e compensam; no esforço a demanda sobe quatro ou cinco vezes e a artéria estreitada não consegue atendê-la: angina.

8. Cinco vezes a celeridade: $\mathrm{Re} \approx 6500$ , turbulento — são os sopros que um estetoscópio ouve durante o exercício.

9. No escoamento lento e pouco cisalhado das vênulas e dos capilares as hemácias se agregam e a viscosidade aparente sobe (o contrário na aorta rápida); todas as estimativas de queda de pressão nos vasos pequenos são limites inferiores.

10. $\langle v\rangle = 3/1.13 = 2.65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 850 \times 2.65 \times 1.2/0.02 = 1.35 \times 10^5$ : turbulento.

11. $\lambda = 0.316/19.2 = 0.0165$ ; $\Delta P/L = (0.0165/1.2) \times \tfrac12 \times 850 \times 7.0 = 41\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m} = 41\,\mathrm{kPa}/\mathrm{km}$ ; $534\,\mathrm{bar}$ ao longo da linha.

12. $534/80 = 6.7$ : pelo menos sete estações.

13. $P = \Delta P\,D_V = 5.34 \times 10^7 \times 3 = 160\,\mathrm{MW}$ ; $53\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $0.15\%$ da energia do óleo.

14. $\Delta P = 32\eta L\langle v\rangle/D^2 = 32 \times 0.02 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 15\,\mathrm{bar}$ : trinta e cinco vezes menos. A turbulência é cara; algumas partes por milhão de polímeros longos a retardam e cortam a queda em dezenas por cento.

15. $\mathrm{Re} = 1350$ : laminar; por Poiseuille, $\Delta P = 32 \times 2 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 1500\,\mathrm{bar}$ — impossível; o óleo precisa ser mantido quente, daí o isolamento e o aquecimento.

16. $1.3 \times 10^6/2.65 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.7\,\mathrm{dias}$ .

17. $\tau_w = (\Delta P/L)D/4 = 41 \times 0.3 = 12\,\mathrm{Pa}$ ; $F = \tau_w\pi DL = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{N}$ .

18. $\Delta P \propto \lambda\langle v\rangle^2/D \propto D^{-4.75}$ : $1.2^{4.75} = 2.4$ .

19. $v = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta = 2 \times 2.5 \times 10^{-9} \times 1800 \times 9.81/ 0.18 = 0.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $41\,\mathrm{min}$ para atravessar $1.2\,\mathrm{m}$ . Flutuações turbulentas de alguns centímetros por segundo o mantêm em suspensão enquanto o óleo corre; numa linha parada ele decanta em menos de uma hora.

20. $v = 2 \times 2.5 \times 10^{-11} \times 1000 \times 9.81/1.62 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $1\,\mathrm{km}$ em $3.3 \times 10^5$ s, quatro dias: qualquer corrente ascendente acima de alguns milímetros por segundo a sustenta.

21. $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes superestima em cerca de um fator dois (real: $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

22. Stokes daria $120\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $\mathrm{Re} \sim 10^4$ : absurdo. Arrasto quadrático, $\tfrac43\pi R^3\rho_wg = \tfrac12\rho v^2\pi R^2C_x$ : $v = \sqrt{8R \rho_wg/3\rho C_x} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 900$ , coerente); $150\,\mathrm{s}$ desde $1\,\mathrm{km}$ .

23. $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ $>$ $3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : a gotícula sobe; a gota de garoa precisa de cerca de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , que as nuvens convectivas fornecem.

24. $2\gamma/R$ : $29\,\mathrm{kPa}$ , $1.4\,\mathrm{kPa}$ , $144\,\mathrm{Pa}$ ; pressões dinâmicas $\tfrac12\rho v^2$ : $5 \times 10^{-6}$ , $0.3$ e $26\,\mathrm{Pa}$ . A razão chega a $0.2$ em $2\,\mathrm{mm}$ ; em $5\,\mathrm{mm}$ ( $v \approx 9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tfrac12\rho v^2 = 49\,\mathrm{Pa}$ contra $58\,\mathrm{Pa}$ ) a pressão aerodinâmica achata a gota e a rompe: nenhuma gota de chuva passa de cerca de $5\,\mathrm{mm}$ .

25. Aorta, $10^3$ (laminar, perto da transição); capilar, $10^{-3}$ (Poiseuille); arteríola, $10^{-2}$ (Poiseuille); oleoduto quente, $10^5$ (turbulento, $\lambda(\mathrm{Re})$ ); oleoduto frio, $10^3$ (Poiseuille); areia no óleo, $10^{-3}$ (Stokes); gotícula de nuvem, $10^{-3}$ (Stokes); gota de chuva, $10^3$ (arrasto quadrático, $C_x \approx 0.5$ ).

Termos definidos neste capítulo

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