Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

15Reflexão e transmissão em interfaces

O ultrassonografista espalha um gel entre a sonda e a pele: sem ele o som ricochetearia na película de ar e nunca entraria no corpo. A lente de uma câmera é revestida com um filme de um quarto de comprimento de onda de espessura, e suas superfícies deixam de refletir. Uma onda de rádio encontra a ionosfera e volta; a luz encontra um espelho de prata e volta; um pulso chega ao fim de um cabo e retorna invertido ou direito, conforme o que esteja ligado ali. Toda onda, ao encontrar uma mudança de meio, divide-se numa parte refletida e outra transmitida, e uma só ideia decide as parcelas: as condições de continuidade na interface, escritas com as impedâncias dos dois meios. Este capítulo a aplica ao som, à luz entre dois dielétricos, a um plasma, a um metal e a um cabo, e dela extrai as leis da reflexão e da refração e o único ângulo em que o vidro nada reflete.

Uma lente de câmera com múltiplas camadas: os reflexos púrpura e verde ténues são o que resta dos quatro por cento que cada superfície de vidro nua devolveria.

15.1 Incidência normal: a regra das impedâncias

Teorema 15.1 (Reflexão e transmissão sob incidência normal)

Uma onda plana viaja no meio 1 rumo à interface plana $x = 0$ com o meio 2; cada meio é caracterizado por uma impedância $Z_i$ (a razão entre as duas grandezas de campo contínuas na interface — pressão e velocidade para o som, $E$ e $H = B/\mu_0$ para a luz, tensão e corrente para uma linha). A continuidade das duas grandezas em $x = 0$ dá, para a grandeza "do tipo força" (pressão, $E$ , $v$ ),

r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} , \qquad t = \frac{2Z_2}{Z_2 + Z_1} , \qquad R = r^2 , \quad T = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2} , \quad R + T = 1 .

(Para a grandeza "do tipo escoamento" — velocidade, $H$ , corrente — $r$ muda de sinal.) Nada é refletido quando $Z_1 = Z_2$ (meios casados); quase tudo quando $Z_2 \gg Z_1$ ( $r \to +1$ ) ou $Z_2 \ll Z_1$ ( $r \to -1$ ).

Demonstração. Incidente $p_i = A\cos(\omega t - k_1x)$ , refletida $p_r = rA\cos(\omega t + k_1x)$ , transmitida $p_t = tA\cos(\omega t - k_2x)$ , todas de mesma frequência. As grandezas de escoamento associadas valem $p/Z_1$ , $-p_r/Z_1$ (uma onda que vai para trás carrega $v = -p/Z$ ) e $p_t/Z_2$ . Continuidade em $x = 0$ : $1 + r = t$ e $(1 - r)/Z_1 = t/Z_2$ ; resolva. Energias: as intensidades valem $p^2/Z$ , de modo que $R = r^2$ e $T = t^2Z_1/Z_2$ . ∎

Exemplo 15.2 (Som em três interfaces)

Ar ( $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) para água ( $1.5 \times 10^6$ ): $r = 0.9995$ , $T = 1.1 \times 10^{-3}$ — $99.9\%$ refletidos; um nadador quase nada ouve do mundo lá em cima, e a sonda de ultrassom precisa de seu gel. Tecido ( $1.6 \times 10^6$ ) para osso ( $7 \times 10^6$ ): $r = 0.63$ , $T = 0.6$ . Gordura ( $1.38 \times 10^6$ ) para músculo ( $1.70 \times 10^6$ ): $r = 0.10$ , $R = 1\%$ — os ecos fracos de que uma imagem é feita. Uma corda amarrada a uma parede ( $Z_2 \to \infty$ ): $r = +1$ para a força e $-1$ para a velocidade, e o pulso volta invertido (Capítulo 6).

Proposição 15.3 (A luz sob incidência normal; revestimento antirreflexo)

Para a luz entre dois meios transparentes de índices $n_1$ , $n_2$ (a impedância de um dielétrico vale $Z = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}/n$ , inversamente proporcional a $n$ ), para o campo elétrico

r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} , \qquad R = \Bigl(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\Bigr)^2 :

$4\%$ em cada superfície ar–vidro, $2\%$ para a água, $17\%$ para o diamante. Uma camada de índice $n = \sqrt{n_1n_2}$ e espessura $\lambda/4n$ entre os meios cancela a reflexão em $\lambda$ (revestimento antirreflexo de quarto de onda): as ondas refletidas em suas duas faces têm amplitudes iguais e fases opostas. A mesma camada com índice alto, ou uma pilha de camadas de quarto de onda alternadas, faz o contrário e constrói um espelho que reflete $99.99\%$ — os espelhos dos lasers.

Demonstração. Continuidade dos $\vect E$ e $\vect B$ tangenciais (sem corrente superficial): $E_i + E_r = E_t$ e $B_i - B_r = B_t$ com $B = nE/c$ em cada meio, ou seja, a regra das impedâncias com $Z \propto 1/n$ . Revestimento: as duas amplitudes refletidas valem $(n_1 - n)/(n_1 + n)$ e $(n - n_2)/(n + n_2)$ , iguais quando $n^2 = n_1n_2$ ; uma ida e volta na camada acrescenta a fase $2\times2\pi n(\lambda/4n)/\lambda = \pi$ , de modo que elas se cancelam (as reflexões múltiplas, pequenas, entram no tratamento exato do Exercício 15.5). ∎

À esquerda: incidência normal numa interface — as amplitudes seguem da continuidade das duas grandezas de campo, através das impedâncias. À direita: a camada antirreflexo de quarto de onda — as duas ondas refletidas se cancelam.

15.2 Incidência oblíqua: as leis de Descartes e o ângulo de Brewster

Teorema 15.4 (Leis da reflexão e da refração)

Uma onda plana de vetor de onda $\vect k_i$ encontra a interface plana entre dois meios nos quais as ondas viajam a $v_1$ e $v_2$ . As condições de continuidade devem valer em cada ponto da interface e em cada instante: as ondas refletida e transmitida devem ter a mesma frequência e o mesmo vetor de onda tangencial que a incidente. Daí, os três vetores de onda são coplanares (o plano de incidência), o ângulo de reflexão é igual ao de incidência, e

\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \qquad (n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \text{ para a luz}) .

Quando $v_2 > v_1$ e $\sin\theta_1 > v_1/v_2$ não existe $\theta_2$ real: é a reflexão total interna; o campo no meio 2 é então uma onda evanescente, $\propto\eu^{-x/\ell}\eu^{\iu(\omega t - k_ty)}$ , que viaja ao longo da interface e decai ao se afastar dela ao longo de $\ell = \lambda_2/2\pi \sqrt{\sin^2\theta_1(v_2/v_1)^2 - 1}$ , uma fração de comprimento de onda; ela não leva energia embora — reflexão total.

Demonstração. Com $\vect k = (k_x, k_y, 0)$ e a interface em $x = 0$ , as fases $\omega t - k_yy$ das três ondas devem concordar para todo $y$ e todo $t$ : mesmo $\omega$ , mesmo $k_y = (\omega/v_1)\sin\theta_1 = (\omega/v_1)\sin\theta_r = (\omega/v_2)\sin \theta_2$ . Se $(\omega/v_2)^2 - k_y^2 < 0$ , $k_{2x}$ é imaginário, $k_{2x} = -\iu/\ell$ : evanescência; seu vetor de Poynting segundo $x$ tem média nula. ∎

Proposição 15.5 (Ângulo de Brewster; polarização por reflexão)

Para a luz que incide num dielétrico, a amplitude refletida depende da polarização (coeficientes de Fresnel, admitidos no caso geral): para a polarização no plano de incidência (p) ela se anula no ângulo de Brewster

\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} ,

no qual os raios refletido e refratado são perpendiculares; a luz refletida em $\theta_B$ fica então completamente polarizada perpendicularmente ao plano de incidência (s), e parcialmente polarizada em torno dele — o brilho na água e nas estradas que os óculos de sol polarizados removem. Para o vidro ( $n = 1.5$ ) $\theta_B = 56{}^{\circ}$ , e para a água $53{}^{\circ}$ .

Demonstração. A onda refletida é irradiada pelos dipolos do meio 2, postos a oscilar pela onda refratada segundo seu $\vect E$ , que na polarização p fica no plano de incidência, perpendicular ao raio refratado. Um dipolo não irradia segundo seu próprio eixo (Capítulo 17); quando a direção refletida é paralela a esse eixo — ou seja, perpendicular ao raio refratado, $\theta_1 + \theta_2 = \pi/2$ — nada é refletido. Então $\sin\theta_2 = \cos\theta_1$ e Descartes dá $\tan\theta_1 = n_2/n_1$ . A polarização s tem seu $\vect E$ perpendicular ao plano de incidência, nunca ao longo do raio refletido: ela é sempre parcialmente refletida. ∎

À esquerda: o casamento de fases ao longo da interface dá as leis da reflexão e da refração. À direita: no ângulo de Brewster os dipolos do segundo meio, excitados segundo o campo refratado de polarização p, teriam de irradiar segundo seu próprio eixo para alimentar o raio refletido — eles não podem, e só a polarização s é refletida.

À esquerda: a refletância de uma superfície ar–vidro (n = 1.5) para as duas polarizações — R_p se anula no ângulo de Brewster e ambas sobem a 1 na incidência rasante. À direita: além do ângulo limite o campo transmitido é evanescente, cola-se à interface e morre dentro de um comprimento de onda. — À esquerda: a refletância de uma superfície ar–vidro ( $n = 1.5$ ) para as duas polarizações — $R_p$ se anula no ângulo de Brewster e ambas sobem a $1$ na incidência rasante. À direita: além do ângulo limite o campo transmitido é evanescente, cola-se à interface e morre dentro de um comprimento de onda.

15.3 Plasmas, metais e o condutor perfeito

Proposição 15.6 (Reflexão num plasma e num metal)

(i) Uma onda de $\omega < \omega_p$ sob incidência normal num plasma é totalmente refletida: o "índice" $\underline n = -\iu\sqrt{\omega_p^2/\omega^2 - 1}$ é imaginário, $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n)$ tem módulo $1$ , e o campo penetra como a onda evanescente $\eu^{-\kappa x}$ do Capítulo 14. (ii) Um bom condutor tem $\underline n = (1 - \iu)c/\omega\delta$ , de módulo enorme: $r \approx -1$ , e a refletância vale $R \approx 1 - 2\omega\delta/c = 1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ (Hagen–Rubens): $0.99999$ para o cobre a $10\,\mathrm{GHz}$ , e $0.99$ no infravermelho distante. (iii) O condutor perfeito ( $\gamma \to \infty$ , $\delta \to 0$ ): $r = -1$ exatamente para $\vect E$ , o $\vect E$ tangencial total se anula na superfície, e as ondas incidente e refletida formam a onda estacionária

\vect E = -2E_0\sin kx\sin\omega t\,\vect e_y , \qquad \vect B = 2\frac{E_0}c\cos kx\cos\omega t\,\vect e_z ,

com nós de $\vect E$ (ventres de $\vect B$ ) em $x = 0, -\lambda/2, \dots$ ; o campo é sustentado por uma corrente superficial $\vect j_s = \vect n\wedge\vect B/ \mu_0 = (2E_0/\mu_0c)\cos\omega t\,\vect e_y$ , e a força de Laplace sobre ela é a pressão de radiação $2I/c$ .

Demonstração. (i) e (ii): a regra das impedâncias com $Z \propto 1/\underline n$ e os índices complexos do Capítulo 14; para (ii), $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n) \approx -1 + 2/\underline n$ e $R = |r|^2 \approx 1 - 4\operatorname{Re}(1/ \underline n) = 1 - 2\omega\delta/c$ . (iii) Com $\vect E = \vect 0$ no interior, a relação de passagem $\vect E_{2t} = \vect E_{1t}$ dá $E_{\text{tot}}(0) = 0$ , logo $r = -1$ ; some a incidente $E_0\cos(\omega t - kx)$ e a refletida $-E_0\cos(\omega t + kx)$ ; $\vect B$ sai de Faraday; o salto de $\vect B$ na superfície vale $\mu_0\vect j_s \wedge\vect n$ ; a força média por unidade de área $\tfrac12\langle j_sB\rangle$ sobre a lâmina vale $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ (Capítulo 12). ∎

Reflexão num condutor perfeito: o campo elétrico tem um nó na superfície, e os nós da onda estacionária se repetem a cada meio comprimento de onda; o campo magnético tem ali um ventre, sustentado pela corrente superficial.

Exemplo 15.7 (Espelhos, radar, fornos de micro-ondas)

Um espelho metálico reflete por esse mecanismo: o campo que chega excita uma corrente numa película de alguns nanômetros ( $23\,\mathrm{nm}$ para a prata a $500\,\mathrm{nm}$ ), que reirradia a onda refletida; os $5\%$ que faltam aquecem o metal — e é por isso que o espelho de um laser de alta potência é resfriado, e por que a parede do forno do Capítulo 14 consome $6\%$ da potência. Um radar vê um avião pela onda que sua fuselagem reirradia; um avião furtivo troca o metal plano por absorvedores e por formas que refletem para longe do radar. Os nós da onda estacionária, a $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ um do outro num forno, são os pontos frios.

15.4 A extremidade de um cabo

Proposição 15.8 (Terminação de uma linha de transmissão)

Uma linha de impedância característica $Z_c$ termina em $x = \ell$ numa carga de impedância $\underline Z_L$ : a onda de tensão é refletida com $\underline r = (\underline Z_L - Z_c)/(\underline Z_L + Z_c)$ — nada para uma carga casada $Z_L = Z_c$ , $r = -1$ para um curto-circuito, $r = +1$ para uma extremidade aberta. Uma linha descasada carrega uma onda estacionária parcial cuja razão entre a tensão máxima e a mínima é a razão de onda estacionária $(1 + |r|)/(1 - |r|)$ . Enviar um pulso curto e cronometrar o eco localiza um defeito (reflectometria no domínio do tempo) e revela sua natureza pelo sinal do eco.

Demonstração. Na carga, $v = Z_Li$ com $v = v_i + v_r$ e $i = (v_i - v_r)/Z_c$ (Capítulo 8); a regra das impedâncias mais uma vez. Razão de onda estacionária: $|v|$ varia entre $|v_i|(1 + |r|)$ e $|v_i|(1 - |r|)$ ao longo da linha. ∎

Método 15.9 (Qualquer interface)

(1) Identifique as duas grandezas contínuas através da interface e a impedância de cada meio como a razão delas numa onda progressiva. (2) Escreva incidente $+$ refletida de um lado e transmitida do outro, com frequências iguais e vetores de onda tangenciais iguais (Descartes). (3) Imponha a continuidade: duas equações, duas incógnitas $r$ e $t$ . (4) Energia: $R = |r|^2$ , $T = 1 - R$ para meios sem perdas. (5) Confira os limites: impedâncias iguais (sem reflexão), impedância infinita ou nula ( $|r| = 1$ , com o sinal de $r$ ) e, para camadas, as fases das reflexões sucessivas.

15.5 Exercícios

Exercício 15.1 ★

Impedâncias acústicas: ar $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , água $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , aço $4.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , tecido mole $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , osso $7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Coeficientes de reflexão (em pressão) e frações de energia refletida para ar–água, água–aço, tecido–osso e tecido–ar. Por que um peixe não ouve você, e por que um mergulhador ouve tão bem o motor do barco?

Solução

Solução de Exercício 15.1.

$r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ , $R = r^2$ : ar–água $0.9995$ , $99.9\%$ ; água–aço $0.93$ , $86\%$ ; tecido–osso $0.63$ , $40\%$ ; tecido–ar $-0.9995$ , $99.9\%$ . Sua voz, no ar, é refletida pela superfície; o motor sacode o casco, que é de aço em contato com a água e passa $14\%$ de sua vibração direto para dentro.

Exercício 15.2 ★

Refletância sob incidência normal para ar–água ( $n = 1.33$ ), ar–vidro ( $1.52$ ), ar–diamante ( $2.42$ ) e vidro–água. Uma lente de câmera com $10$ superfícies ar–vidro, sem revestimento: fração da luz transmitida e fração que fica ricocheteando como imagens fantasma; e com revestimentos que deixam $0.5\%$ por superfície.

Solução

Solução de Exercício 15.2.

$R = ((n - 1)/(n + 1))^2$ : $2.0\%$ , $4.3\%$ , $17\%$ ; vidro–água $0.44\%$ . $0.957^{10} = 0.64$ : um terço da luz perdido, boa parte como fantasmas; com revestimento: $0.995^{10} = 0.95$ .

Exercício 15.3 ★

Ângulo de Brewster para ar–vidro ( $1.52$ ), ar–água e água–vidro (luz que passa da água para o vidro). Polarização da luz refletida nesse ângulo; a luz transmitida fica totalmente polarizada? Sob que ângulo um fotógrafo deve olhar para a vitrine de uma loja para matar seus reflexos, e com que orientação do polarizador?

Solução

Solução de Exercício 15.3.

$\tan\theta_B = n_2/n_1$ : $56.7{}^{\circ}$ , $53.1{}^{\circ}$ , $48.8{}^{\circ}$ . A luz refletida fica polarizada perpendicularmente ao plano de incidência; a luz transmitida fica apenas parcialmente polarizada (a componente s é só parcialmente refletida). Olhe para a vitrine a $57{}^{\circ}$ de sua normal, com o eixo do polarizador no plano de incidência (horizontal, para uma vitrine vertical vista de lado).

Exercício 15.4 ★

Ângulos limite de reflexão total para vidro–ar, água–ar e diamante–ar; um prisma de vidro de $45{}^{\circ}$ como espelho; profundidade da onda evanescente para vidro–ar sob incidências de $45{}^{\circ}$ e $60{}^{\circ}$ ( $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ ); por que um diamante é tão brilhante?

Solução

Solução de Exercício 15.4.

$\arcsin(1/n)$ : $41.1{}^{\circ}$ , $48.8{}^{\circ}$ , $24.4{}^{\circ}$ ; $45^\circ > 41^\circ$ : o prisma reflete totalmente. $\ell = \lambda/2\pi\sqrt{n^2\sin^2\theta - 1}$ : $270\,\mathrm{nm}$ a $45{}^{\circ}$ , $115\,\mathrm{nm}$ a $60{}^{\circ}$ . O pequeno ângulo limite do diamante aprisiona a luz que entra nele até ela sair pelas facetas de cima — o brilho.

Exercício 15.5 ★★

Revestimento antirreflexo. Um vidro de $n_2 = 1.52$ é revestido com fluoreto de magnésio, $n = 1.38$ . (a) Índice ideal para uma única camada; espessura para $550\,\mathrm{nm}$ . (b) Refletância residual com MgF $_2$ a $550\,\mathrm{nm}$ : a amplitude vale $r = (r_1 + r_2\eu^{-\iu\varphi})/(1 + r_1r_2 \eu^{-\iu\varphi})$ com $r_1 = (n_1 - n)/(n_1 + n)$ , $r_2 = (n - n_2)/(n + n_2)$ e $\varphi = \pi$ no comprimento de onda de projeto (reflexões múltiplas incluídas): calcule $R$ . (c) $R$ a $400\,\mathrm{nm}$ e $700\,\mathrm{nm}$ (mesma camada): de que cor é o reflexo residual de uma lente revestida? (d) Por que as lentes de alta qualidade usam várias camadas?

Solução

Solução de Exercício 15.5.

(a) $\sqrt{1.52} = 1.23$ ; $e = 550/4 \times 1.38 = 100\,\mathrm{nm}$ . (b) $r_1 = -0.160$ , $r_2 = -0.048$ , $\varphi = \pi$ : $r = (r_1 - r_2)/(1 - r_1r_2) = -0.112$ , $R = 1.3\%$ (contra $4.3\%$ ). (c) A $400\,\mathrm{nm}$ : $\varphi = 1.375\pi$ , $R \approx 2.2\%$ ; a $700\,\mathrm{nm}$ : $\varphi = 0.79\pi$ , $R \approx 1.6\%$ : o azul e o vermelho são mais refletidos que o verde — o brilho arroxeado de uma lente revestida. (d) Várias camadas achatam $R$ ao longo do visível.

Exercício 15.6 ★★

A sonda de ultrassom. A cerâmica do transdutor tem $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , o tecido $Z_2 = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 5\,\mathrm{MHz}$ . (a) Energia transmitida diretamente; o resto ricocheteia dentro da cerâmica — o que isso faz com a duração do pulso? (b) Impedância e espessura de uma camada de casamento de quarto de onda (velocidade do som na camada, $3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). (c) Com um filme de ar de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ diante da sonda: energia transmitida (duas interfaces, sem ressonância) — daí o gel. (d) O gel tem $Z \approx Z_2$ : que fração passa agora pela interface gel–pele?

Solução

Solução de Exercício 15.6.

(a) $T = 4 \times 30 \times 1.6/31.6^2 = 19\%$ ; o resto reverbera, e o pulso ressoa. (b) $Z = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $e = v/4f = 0.15\,\mathrm{mm}$ . (c) $T_1 = 4 \times 30 \times 10^6 \times 410/(30 \times 10^6)^2 = 5.5 \times 10^{-5}$ , $T_2 = 4 \times 1.6 \times 10^6 \times 410/(1.6 \times 10^6)^2 = 1.0 \times 10^{-3}$ : $5.6 \times 10^{-8}$ . (d) $4 \times 1.5 \times 1.6/ 3.1^2 = 0.999$ .

Exercício 15.7 ★★

Espelho de plasma. Uma onda de $3\,\mathrm{MHz}$ encontra a ionosfera ( $n_e = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) sob incidência normal. (a) $\underline n$ ; $r$ ; verifique $|r| = 1$ e dê a fase de $r$ . (b) Profundidade de penetração. (c) Onda estacionária abaixo da camada: posição do primeiro nó de $\vect E$ . (d) Na verdade a onda chega obliquamente a uma camada cuja densidade cresce com a altura: explique qualitativamente por que ela é curvada de volta antes de alcançar o nível em que $\omega = \omega_p$ (use Descartes com um índice decrescente), e por que uma onda de frequência maior escapa.

Solução

Solução de Exercício 15.7.

(a) $\omega_p/\omega = 3$ : $\underline n = -\iu\sqrt8 = -2.83\iu$ ; $r = (1 + 2.83\iu)/(1 - 2.83 \iu)$ , $|r| = 1$ , fase $2\arctan2.83 = 141{}^{\circ}$ . (b) $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 5.6\,\mathrm{m}$ . (c) $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ : primeiro nó em $kx = -(\pi + \varphi)/2$ , $x \approx -45\,\mathrm{m}$ abaixo da camada. (d) O índice cai com a altura, de modo que Descartes afasta o raio da vertical; ele dá meia-volta onde $n(z) = \sin\theta_0$ , ou seja, $\omega_p^2 = \omega^2\cos^2\theta_0$ , abaixo do nível em que $\omega = \omega_p$ ; uma frequência cujo $\omega\cos\theta_0$ excede o $\omega_p$ máximo da camada escapa.

Exercício 15.8 ★★

Espelhos metálicos. Cobre ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ): refletância $1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ a $10\,\mathrm{GHz}$ , a $30\,\mathrm{THz}$ (laser de CO $_2$ ) e, formalmente, a $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — por que a fórmula falha ali (compare $\omega\tau$ )? Potência absorvida de um feixe de laser de CO $_2$ de $1\,\mathrm{kW}$ num espelho de cobre; por que esses espelhos são refrigerados a água.

Solução

Solução de Exercício 15.8.

$\sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ : $2.7 \times 10^{-4}$ ( $R = 0.9997$ ), $1.5 \times 10^{-2}$ ( $0.985$ ), $0.06$ ( $0.94$ ) — mas a $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ $\omega\tau = 80$ : o cobre é um plasma, e não um condutor ôhmico, e reflete cerca de $60\%$ , com cor. $15\,\mathrm{W}$ absorvidos do feixe de CO $_2$ : algumas centenas de kelvin por minuto num espelho pequeno, daí a água.

Exercício 15.9 ★★

Uma linha de $50\,\Omega$ é terminada por $75$ , $25$ , $0$ , $\infty$ e $50\,\Omega$ : coeficiente de reflexão, razão de onda estacionária, fração da potência refletida. Um transmissor de $100\,\mathrm{W}$ alimenta uma antena de $75\,\Omega$ por um cabo de $50\,\Omega$ : potência que chega à antena (na primeira passagem) e para onde vai o resto. Um eco volta depois de $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ( $c_{\text{linha}} = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), direito: onde está o defeito e qual é ele?

Solução

Solução de Exercício 15.9.

$r = 0.2$ , $-1/3$ , $-1$ , $+1$ , $0$ ; razão de onda estacionária $1.5$ , $2$ , $\infty$ , $\infty$ , $1$ ; refletidos $4\%$ , $11\%$ , $100\%$ , $100\%$ , $0$ . $96\,\mathrm{W}$ chegam à antena e $4\,\mathrm{W}$ voltam ao transmissor (e são em parte rerrefletidos). $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : $120\,\mathrm{m}$ ; eco direito: um circuito aberto — um cabo cortado.

Exercício 15.10 ★★★

Fresnel para a polarização s. Uma onda com $\vect E$ perpendicular ao plano de incidência encontra a interface $n_1 \to n_2$ em $\theta_1$ . (a) Escreva os três campos $\vect E$ e as componentes tangenciais de $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ . (b) Imponha a continuidade dos $\vect E$ e $\vect B$ tangenciais e deduza $r_s = \dfrac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2} {n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2}$ . (c) Confira o limite de incidência normal e o limite rasante. (d) Para o vidro a $45{}^{\circ}$ : $R_s$ ; compare com $R_p = \bigl(\frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2}\bigr)^2$ (admitido) e com os $4\%$ da incidência normal.

Solução

Solução de Exercício 15.10.

(a) $\vect E = E\vect e_z$ ; $\vect k\wedge\vect e_z = (k_y, -k_x, 0)$ , de modo que a componente tangencial $B_y = -(n/c)\cos\theta\,E$ para as ondas incidente e transmitida e $+(n_1/c)\cos\theta_1E_r$ para a refletida. (b) $1 + r = t$ e $n_1\cos\theta_1 (1 - r) = n_2\cos\theta_2t$ : o $r_s$ enunciado. (c) $\theta = 0$ : $(n_1 - n_2)/(n_1 + n_2)$ ; $\theta_1 \to 90^\circ$ : $r_s \to -1$ . (d) $\cos\theta_2 = 0.882$ : $r_s = -0.30$ , $R_s = 9.2\%$ ; $R_p = 0.85\%$ ; contra $4.3\%$ na incidência normal.

Exercício 15.11 ★★★

Reflexão total frustrada. A luz no vidro ( $n = 1.5$ ) é totalmente refletida numa face vidro–ar a $45{}^{\circ}$ ; uma segunda superfície de vidro é aproximada até a distância $d$ no ar. (a) Comprimento de decaimento evanescente $\ell$ para $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ . (b) Admitindo que a intensidade transmitida através do vão vale aproximadamente $\eu^{-2d/\ell}$ , ache $d$ para $50\%$ e para $1\%$ de transmissão. (c) O que a ponta de um dedo pressionada no vidro faz com a reflexão (leitores de impressão digital)? (d) Por que este é o análogo óptico do tunelamento do Capítulo 31?

Solução

Solução de Exercício 15.11.

(a) $270\,\mathrm{nm}$ . (b) $d = 0.35\ell = 95\,\mathrm{nm}$ ; $2.3\ell = 620\,\mathrm{nm}$ . (c) As cristas tocam o vidro e deixam a luz sair para a pele: cristas escuras e vales claros no detector. (d) A onda evanescente é a função de onda que decai exponencialmente na região proibida; um segundo meio dentro do comprimento de decaimento a recolhe — tunelamento óptico.

Exercício 15.12 ★★★

Dois espelhos. Dois condutores perfeitos paralelos em $x = 0$ e $x = L$ encerram uma onda estacionária. (a) Mostre que só $L = m\lambda/2$ é possível: os modos da cavidade, $f_m = mc/2L$ . (b) Para $L = 15\,\mathrm{cm}$ , os três primeiros modos; qual deles fica perto de $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? (c) Correntes superficiais nos dois espelhos e a força sobre cada um (para dentro ou para fora?), para uma amplitude de campo $E_0 = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ no interior. (d) Os espelhos agora são de cobre: usando a resistência superficial $R_s = 1/\gamma\delta$ do Capítulo 14, a potência perdida por unidade de área a $2.45\,\mathrm{GHz}$ com $H_0 = E_0/\mu_0c$ (o ventre magnético), e o tempo para a energia armazenada ( $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ por unidade de volume, em média, ao longo do comprimento $L$ ) decair — o fator de qualidade $Q = 2\pi f\,\times$ energia armazenada / potência perdida.

Solução

Solução de Exercício 15.12.

(a) Nós de $\vect E$ nos dois espelhos: $\sin kL = 0$ , $L = m\lambda/2$ , $f_m = mc/2L$ . (b) $1$ , $2$ , $3\,\mathrm{GHz}$ : nenhum em $2.45\,\mathrm{GHz}$ — os modos tridimensionais de um forno real são muito mais densos. (c) $j_s = H_0 = E_0/\mu_0c = 53\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ em cada um, e a pressão $\mu_0j_s^2/2 = 1.8\,\mathrm{mPa}$ afasta os espelhos um do outro. (d) $\delta = 1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 12.5\,\mathrm{m}\Omega$ ; $\tfrac12R_sH_0^2 = 18\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ por espelho; energia média armazenada $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2 \times L = 1.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ ; $Q = 2\pi f \times 1.3 \times 10^{-7}/35 \approx 6 \times 10^4$ .

15.6 Problema: Revestimentos, gel e o absorvedor de radar

Problema 15.1

Problema de fim de semana — fazer interfaces desaparecerem: a lente revestida, o transdutor casado, a tela absorvedora de radar e o espelho que não há como fazer sumir

Parte I — A lente revestida. Uma objetiva zoom tem $16$ superfícies ar–vidro de índice $1.52$ ; luz a $550\,\mathrm{nm}$ .

Refletância de uma superfície sem revestimento; transmissão de toda a objetiva; fração da luz que vagueia como reflexos parasitas.
Revestimento ideal de camada única: índice e espessura; por que não existe sólido comum com esse índice, e qual é a refletância residual com MgF $_2$ ( $1.38$ )?
Com $16$ superfícies a $1.3\%$ cada: transmissão; a $0.3\%$ (multicamada): transmissão. Por que as objetivas antigas dão imagens "chapadas" e de baixo contraste?
O revestimento é projetado para $550\,\mathrm{nm}$ : mostre que a $440\,\mathrm{nm}$ a fase $\varphi$ da ida e volta vale $1.25\pi$ e estime a refletância ali (fórmula de duas reflexões, $R \approx r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos\varphi$ , com $r_1 = -0.16$ , $r_2 = -0.05$ ). De que cor é o reflexo?
Um espelho dielétrico empilha camadas de quarto de onda de $1.38$ e $2.35$ : as amplitudes refletidas nas interfaces sucessivas somam-se agora em fase; reflexão de um par (duas interfaces) e por que $20$ pares chegam a $99.9\%$ .
Na lente revestida a onda refletida é "cancelada": para onde foi sua energia?
Esse espelho reflete uma faixa de comprimentos de onda e transmite o resto: por quê, e de que cor ele parece por transmissão se reflete o verde?

Parte II — A sonda e o gel. Cerâmica $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , camada de casamento, gel, pele com $Z = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 5\,\mathrm{MHz}$ .

Transmissão direta cerâmica–tecido em energia; e com a camada de quarto de onda de impedância ideal (valor) em $f$ .
A camada é um quarto de onda a $5\,\mathrm{MHz}$ : transmissão a $3\,\mathrm{MHz}$ e a $7\,\mathrm{MHz}$ (use a estimativa de duas reflexões com a fase real de ida e volta): o que isso faz com a largura de banda da sonda, e por que um pulso curto (necessário para a resolução em profundidade) entra em conflito com ela?
Um filme de ar de $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ entre a sonda e a pele: transmissão em amplitude pelas duas interfaces (multiplique os $t$ , ignorando a ressonância); energia transmitida; em dB.
O mesmo com gel ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ).
A reverberação própria da cerâmica: o pulso ricocheteia dentro dela com $r \approx 0.9$ por reflexão na face do tecido (e $\approx 1$ no fundo); número de idas e voltas para a amplitude cair a $1\%$ , e por que a cerâmica é apoiada num absorvedor.
Eco de uma superfície óssea de $1\,\mathrm{mm}$ a $5\,\mathrm{cm}$ de profundidade: fração de energia que volta à sonda (reflexão no osso e duas passagens com atenuação de $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}/\mathrm{MHz}$ ); por que o osso projeta uma sombra acústica.

Parte III — O absorvedor de radar. Um radar de $10\,\mathrm{GHz}$ ilumina uma placa metálica. Para escondê-la, uma fina lâmina resistiva de resistência superficial $R_s$ ( $\Omega$ por quadrado) é colocada a uma distância $d$ diante da placa, com ar entre elas. A impedância do vácuo vale $Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 377\,\Omega$ .

Refletância da placa metálica nua (condutor perfeito) e a fase de $r$ .
Trate o vão de ar como uma linha de transmissão de impedância $Z_0$ curto-circuitada pela placa: mostre que a impedância vista na lâmina, olhando para a placa, vale $\underline Z_{\text{ent}} = \iu Z_0 \tan(2\pi d/\lambda)$ (escreva a onda estacionária $v = v_i(\eu^{-\iu kx} - \eu^{\iu kx})$ a partir do curto e tome $v/i$ em $x = -d$ ); para $d = \lambda/4$ ela é infinita (um circuito aberto).
A lâmina de resistência $R_s$ em paralelo com esse circuito aberto apresenta $R_s$ à onda que chega: coeficiente de reflexão $(R_s - Z_0)/(R_s + Z_0)$ ; conclua que uma lâmina de $377\,\Omega$ por quadrado a $\lambda/4$ nada reflete (a tela de Salisbury). Valor de $d$ a $10\,\mathrm{GHz}$ .
Para onde vai a energia? Confira com a potência dissipada na lâmina, $|v|^2/2R_s$ por unidade de área, contra a intensidade incidente.
A $8\,\mathrm{GHz}$ e a $12\,\mathrm{GHz}$ com a mesma tela: $\underline Z_{\text{ent}}$ , a impedância total $R_s \parallel \underline Z_{\text{ent}}$ e a refletância; largura de banda do truque.
O radar ilumina agora a tela a $30{}^{\circ}$ da normal: o que muda na fase da ida e volta pelo vão, e o que isso faz com o casamento?
Por que os revestimentos furtivos reais usam várias camadas com perdas e superfícies moldadas, em vez de uma única tela de Salisbury?

Parte IV — O espelho que fica.

A prata a $500\,\mathrm{nm}$ comporta-se como um plasma ( $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ): $\underline n$ , $r$ (módulo e fase), profundidade de penetração. Por que nenhum revestimento de quarto de onda consegue fazer um metal parar de refletir?
Um laser verde de $1\,\mathrm{kW}$ num espelho de prata ( $R = 0.97$ ): potência absorvida e a taxa de elevação de temperatura de um espelho de $10\,\mathrm{g}$ ( $c = 235\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) se nada o resfriar.
Onda estacionária diante da prata: espaçamento dos nós de $\vect E$ e posição do primeiro (use a fase de $r$ ); o que recebe um grão de poeira pousado num nó?
O feixe da questão 22 tem $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : intensidade, amplitude do campo e a densidade superficial de corrente que o espelho deve conduzir (estimativa de condutor perfeito, $j_s = 2E_0/\mu_0c$ ).
Compare os três "espelhos" deste problema — o metal, o plasma e a pilha dielétrica — pelo mecanismo que devolve a onda, pela fase de $r$ e pelo que limita sua refletância.

Solução

Solução de Problema 15.1.

1. $R = 4.3\%$ ; $0.957^{16} = 0.50$ ; metade da luz se perde.

2. $n = 1.23$ , $e = 112\,\mathrm{nm}$ ; nenhum sólido durável tem índice tão baixo (o MgF $_2$ , $1.38$ , é o menor): residual de $1.3\%$ .

3. $0.987^{16} = 0.81$ ; $0.997^{16} = 0.95$ . Os reflexos parasitas embaçam a imagem: véu de luz, contraste baixo.

4. $\varphi = \pi \times 550/440 = 1.25\pi$ : $R \approx 0.0256 + 0.0025 + 2 \times 0.008 \times \cos1.25\pi = 1.7\%$ — mais que a $550\,\mathrm{nm}$ , como na ponta vermelha: um reflexo magenta.

5. Cada interface reflete $|r| = 0.97/3.73 = 0.26$ ; o espaçamento de quarto de onda põe as reflexões sucessivas em fase, de modo que as amplitudes se somam em vez de se cancelar; a refletância da pilha vale $1 - 4(n_L/n_H)^{2N} \approx 1 - 10^{-9}$ para $N = 20$ .

6. A condição de estarem em fase só vale perto do comprimento de onda de projeto (uma faixa de uns $\pm15\%$ ); o resto passa: um espelho verde parece magenta por transmissão.

7. Para a onda transmitida: a interferência redistribui, com $R + T = 1$ .

8. $19\%$ ; com $Z_m = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $100\%$ a $5\,\mathrm{MHz}$ .

9. $r_1 = 0.63$ , $r_2 = 0.62$ ; a $3\,\mathrm{MHz}$ a fase de ida e volta vale $0.6\pi$ , e a $7\,\mathrm{MHz}$ , $1.4\pi$ : $R \approx 0.39 + 0.39 - 0.24 = 0.54$ , $T \approx 0.46$ nas duas: o casamento só vale numa faixa em torno de $5\,\mathrm{MHz}$ , ao passo que um pulso curto precisa de faixa larga — um compromisso.

10. $t_1 = 2 \times 410/30 \times 10^6 = 2.7 \times 10^{-5}$ , $t_2 = 2.0$ : $t = 5.5 \times 10^{-5}$ , $T = t^2Z_1/Z_3 = 5.6 \times 10^{-8}$ : $-72\,\mathrm{dB}$ .

11. $t = 0.095 \times 1.03 = 0.098$ , $T = 0.098^2 \times 30/1.6 = 0.18$ : o gel apenas elimina o ar.

12. $0.9^N = 0.01$ : $N = 44$ idas e voltas — um repique longo; o apoio absorve a onda que volta e a mata.

13. $R = 0.40$ no osso; $2 \times 5 \times 0.5 \times 5 = 25\,\mathrm{dB}$ de atenuação: $0.40 \times 3.2 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{-3}$ ( $-29\,\mathrm{dB}$ ); o osso absorve o que não reflete: nada volta de trás dele.

14. $R = 1$ , $r = -1$ .

15. Curto em $x = 0$ : $v = -2\iu v_i\sin kx$ , $i = (2v_i/Z_0)\cos kx$ ; em $x = -d$ : $v/i = \iu Z_0\tan kd$ ; infinita em $d = \lambda/4$ .

16. $R_s \parallel \infty = R_s$ : $r = (R_s - Z_0)/(R_s + Z_0) = 0$ para $377\,\Omega$ ; $d = 7.5\,\mathrm{mm}$ .

17. A lâmina vê o campo incidente inteiro: $|v|^2/2R_s = E_0^2/2Z_0$ , a intensidade incidente — tudo absorvido.

18. A $8\,\mathrm{GHz}$ : $kd = 72^\circ$ , $Z_{\text{ent}} = \iu1160\,\Omega$ , $R_s \parallel Z_{\text{ent}} = (340 + 111\iu)\,\Omega$ , $R = |r|^2 = 2.6\%$ ( $-16\,\mathrm{dB}$ ); a $12\,\mathrm{GHz}$ : $kd = 108^\circ$ , mesmo módulo: $-16\,\mathrm{dB}$ . Útil em cerca de $\pm20\%$ .

19. A incidência oblíqua encurta o quarto de onda efetivo ( $d\cos\theta$ ) e muda a impedância de onda com o ângulo: o casamento se perde.

20. Uma tela funciona numa frequência e num ângulo; camadas graduadas com perdas e superfícies moldadas absorvem e desviam numa banda larga.

21. $\underline n = -\iu\sqrt{(\omega_p/\omega)^2 - 1} = -3.6\iu$ ; $|r| = 1$ , fase $2\arctan3.6 = 149{}^{\circ}$ ; profundidade $c/3.6\omega = 22\,\mathrm{nm}$ . A onda nunca entra no metal para ser dividida em duas reflexões comparáveis: não há nada contra o que uma camada de quarto de onda possa cancelar uma reflexão de módulo um.

22. $30\,\mathrm{W}$ ; $30/(0.01 \times 235) = 13\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ .

23. Nós a cada $\lambda/2 = 250\,\mathrm{nm}$ ; $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ com $\varphi = 149^\circ$ : primeiro nó em $x = -(90^\circ + 74.5^\circ)\lambda/360^\circ = -230\,\mathrm{nm}$ ; um grão ali fica no escuro.

24. $I = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 87\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $j_s = 2E_0/\mu_0c = 460\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ .

25. Metal: correntes superficiais numa profundidade de penetração, $r \approx -1$ , limitado pela perda Joule dessas correntes. Plasma: penetração evanescente, $|r| = 1$ com fase dependente da frequência, limitado pelas colisões. Pilha dielétrica: muitas reflexões fracas somadas em fase, $r \to 1$ numa banda, limitado pelo número de camadas e pela largura de banda.