Physics · Livro 4 · Bachelor Year 2

Física universitária — 2.º ano

Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

21Interferência de múltiplas ondas e redes de difração

Incline um disco compacto sob uma lâmpada e ele lança um arco-íris: sua espiral de sulcos, separados por um micrômetro e meio, é uma rede — milhares de minúsculas tiras refletoras, cada uma devolvendo uma cópia da onda, todas interferindo. Duas ondas dão as franjas suaves em cos⁡2\cos^2 dos últimos capítulos; mil dão franjas mil vezes mais estreitas, nítidas o bastante para separar dois comprimentos de onda que diferem de uma parte em cem mil. É o instrumento com o qual se leram a composição do Sol e a velocidade das galáxias, e que está em todo espectrômetro. Este capítulo soma NN ondas, deduz a equação das redes, sua dispersão e seu poder de resolução, e apresenta o outro dispositivo de múltiplas ondas, a cavidade de Fabry–Pérot, que se tornará o ressonador do laser.

Um disco compacto sob a luz do Sol: sua espiral de sulcos, separados por 1.6\, µ m, é uma rede por reflexão, e cada ordem espalha a luz branca num espectro.
Um disco compacto sob a luz do Sol: sua espiral de sulcos, separados por 1.6 µm1.6\,\text{µ}\mathrm{m}, é uma rede por reflexão, e cada ordem espalha a luz branca num espectro.

21.1 Interferência de NN ondas

Teorema 21.1 (NN ondas iguais em progressão aritmética de fase)

NN ondas coerentes de mesma amplitude aa, cada uma atrasada em relação à anterior de uma fase φ\varphi, se superpõem numa onda de amplitude A(φ)A(\varphi) e intensidade

A=a sin⁡(Nφ/2)sin⁡(φ/2),I(φ)=I0 sin⁡2(Nφ/2)sin⁡2(φ/2):A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :

máximos principais de intensidade N2I0N^2I_0 onde φ=2πp\varphi = 2\pi p (todas as ondas em fase), de semilargura angular 2π/N2\pi/N em φ\varphi (os primeiros zeros estão em φ=2πp±2π/N\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N), separados por N−2N - 2 máximos secundários não mais altos que cerca de 4.5%4.5\% dos principais para NN grande. Quanto mais ondas, mais finos e mais brilhantes os picos: a largura encolhe como 1/N1/N, a altura cresce como N2N^2, a energia (seu produto) como NN.

Demonstração. Amplitudes complexas aeikφa\eu^{\iu k\varphi}, k=0,…,N−1k = 0, \dots, N - 1: uma série geométrica, a(1−eiNφ)/(1−eiφ)=aei(N−1)φ/2sin⁡(Nφ/2)/sin⁡(φ/2)a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi}) = a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2) /\sin(\varphi/2). Zeros onde sin⁡(Nφ/2)=0\sin(N\varphi/2) = 0 mas sin⁡(φ/2)≠0\sin(\varphi/2) \ne 0: φ=2πm/N\varphi = 2\pi m/N, com mm não múltiplo de NN. Na representação por fasores as NN flechas se fecham num polígono regular nos zeros e se alinham nos máximos principais. ∎

À esquerda: a soma por fasores de cinco ondas iguais — um leque regular cuja corda é a resultante; ele se fecha num pentágono, e se anula, em = 2π/5. À direita: a intensidade para 2, 5 e 12 ondas, normalizada a seu pico: os máximos principais afinam como 1/N.
À esquerda: a soma por fasores de cinco ondas iguais — um leque regular cuja corda é a resultante; ele se fecha num pentágono, e se anula, em φ=2π/5\varphi = 2\pi/5. À direita: a intensidade para 22, 55 e 1212 ondas, normalizada a seu pico: os máximos principais afinam como 1/N1/N.

21.2 A rede de difração

Proposição 21.2 (Equação das redes)

Uma rede é um conjunto de NN fendas idênticas, equidistantes e paralelas (ou de sulcos) de período aa. Uma onda plana incidente sob o ângulo θ0\theta_0 em relação à normal é reemitida por cada fenda; na direção θ\theta as ondas de fendas vizinhas têm a diferença de caminho δ=a(sin⁡θ−sin⁡θ0)\delta = a(\sin\theta - \sin\theta_0), e elas se reforçam nas direções

a (sin⁡θp−sin⁡θ0)=pλ,p=0,±1,±2,…a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots

— as ordens da rede. A ordem zero é o feixe não desviado para todo comprimento de onda; cada uma das outras ordens espalha os comprimentos de onda, com a dispersão angular

 ⁣dθ ⁣dλ=pacos⁡θ,\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,

maior para uma rede mais fina e uma ordem mais alta; a ordem máxima é ∣p∣≤a(1+∣sin⁡θ0∣)/λ|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda. Uma rede por reflexão (sulcos gravados num espelho) obedece à mesma equação com os ângulos refletidos.

Demonstração. A fase entre fendas sucessivas é φ=2πδ/λ\varphi = 2\pi\delta/\lambda; os máximos principais do Teorema 21.1 estão em δ=pλ\delta = p\lambda. Derive asin⁡θ=pλ+asin⁡θ0a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0 a pp, θ0\theta_0 fixos. ∎

À esquerda: a rede — fendas vizinhas reemitem com a diferença de caminho a sob incidência normal. À direita: num anteparo, a ordem zero branca e os espectros das ordens ±1, ±2, com o violeta mais perto do centro, mais largos (e acabando por se superpor) à medida que p cresce.
À esquerda: a rede — fendas vizinhas reemitem com a diferença de caminho asin⁡θa\sin\theta sob incidência normal. À direita: num anteparo, a ordem zero branca e os espectros das ordens ±1\pm1, ±2\pm2, com o violeta mais perto do centro, mais largos (e acabando por se superpor) à medida que pp cresce.

Exemplo 21.3 (Uma rede de sala de aula e um CD)

Uma rede de 600600 linhas por milímetro (a=1.67 µma = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}) sob incidência normal envia a luz de 500 nm500\,\mathrm{nm} para sin⁡θ=0.3\sin\theta = 0.3, θ=17.5∘\theta = 17.5{}^{\circ} na primeira ordem, 36.9∘36.9{}^{\circ} na segunda, e não tem terceira ordem (3×0.3>13 \times 0.3 > 1); seu espectro de primeira ordem vai de 13.9∘13.9{}^{\circ} (400 nm400\,\mathrm{nm}) a 24.8∘24.8{}^{\circ} (700 nm700\,\mathrm{nm}). Um disco compacto, a=1.6 µma = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}, é uma rede desse tipo em reflexão — daí o arco-íris, e o fato de um DVD (a=0.74 µma = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}) o espalhar mais. O vermelho de segunda ordem (700 nm700\,\mathrm{nm} em sin⁡θ=0.84\sin\theta = 0.84) se superpõe ao violeta de terceira ordem: as ordens se superpõem além da primeira, um incômodo que se cura com filtros ou com um prisma.

21.3 Poder de resolução

Proposição 21.4 (Poder de resolução de uma rede)

Dois comprimentos de onda próximos λ\lambda e λ+Δλ\lambda + \Delta\lambda ficam no limite da separação na ordem pp quando o máximo principal de um cai sobre o primeiro zero do outro (critério de Rayleigh), o que acontece para

λΔλ=pN:\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :

o poder de resolução é a ordem vezes o número de linhas iluminadas. Ele também pode ser escrito W(sin⁡θ−sin⁡θ0)/λW(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda com W=NaW = Na a largura da rede: a maior diferença de caminho ao longo da rede, em comprimentos de onda — razão pela qual os grandes espectrógrafos usam redes de dezenas de centímetros de largura e trabalham sob ângulos rasantes.

Demonstração. O máximo de ordem pp para λ+Δλ\lambda + \Delta\lambda está em φ=2πp\varphi = 2\pi p para esse comprimento de onda, ou seja, em δ=p(λ+Δλ)\delta = p(\lambda + \Delta\lambda); o primeiro zero do máximo para λ\lambda está em δ=pλ+λ/N\delta = p\lambda + \lambda/N. Igualando: pΔλ=λ/Np\Delta\lambda = \lambda/N. Então pN=Na(sin⁡θ−sin⁡θ0)/λpN = Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda. ∎

Exemplo 21.5 (Separar as linhas do sódio)

O dubleto, Δλ=0.6 nm\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm} em 589 nm589\,\mathrm{nm}, exige R=1000R = 1000: mil linhas na primeira ordem, 2 mm2\,\mathrm{mm} de uma rede de 600 linhas/mm600\,\mathrm{linhas}/\mathrm{mm}. Sua própria largura de linha, 0.02 nm0.02\,\mathrm{nm}, exige R=30 000R = 30\,000: uma rede de 5 cm5\,\mathrm{cm} na primeira ordem, ou 2.5 cm2.5\,\mathrm{cm} na segunda — e uma rede de 10 cm10\,\mathrm{cm} com 1200 linhas/mm1200\,\mathrm{linhas}/\mathrm{mm} na segunda ordem alcança 240 000240\,000, resolvendo 0.0025 nm0.0025\,\mathrm{nm}: a largura de uma linha alargada pelo movimento térmico dos átomos, e o desvio Doppler de uma estrela que se move a 1 km/s1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

O critério de Rayleigh: o pico de um comprimento de onda sobre o primeiro zero do outro; a soma (tracejada) mostra uma depressão de cerca de 20\% entre duas linhas resolvidas.
O critério de Rayleigh: o pico de um comprimento de onda sobre o primeiro zero do outro; a soma (tracejada) mostra uma depressão de cerca de 20%20\% entre duas linhas resolvidas.

21.4 A cavidade de Fabry–Pérot

Proposição 21.6 (Interferência de múltiplas ondas por divisão da amplitude)

Dois espelhos paralelos parcialmente refletores (refletância em intensidade RR) separados por uma distância LL só transmitem uma onda sob incidência normal na medida em que as ondas que ricochetearam 0,1,2,…0, 1, 2, \dots vezes entre eles se somam em fase: com φ=4πL/λ\varphi = 4\pi L/\lambda a fase de ida e volta, a intensidade transmitida vale (função de Airy)

ItI0=11+Fsin⁡2(φ/2),F=4R(1−R)2:\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :

picos estreitos de transmissão total em 2L=pλ2L = p\lambda (as ressonâncias da cavidade, espaçadas em frequência do intervalo espectral livre c/2Lc/2L), de largura relativa 1/F1/\mathcal F com a finesse F=πR/(1−R)\mathcal F = \pi \sqrt R/(1 - R) — 3030 para R=0.9R = 0.9, 300300 para R=0.99R = 0.99. Ela iguala a rede em poder de resolução (pFp\mathcal F com p=2L/λ∼105p = 2L/\lambda \sim 10^5, logo R∼107R \sim 10^7) e, fechada sobre si mesma, é o ressonador do laser (Capítulo 23).

Demonstração. Cada ida e volta multiplica a amplitude por ReiφR\eu^{\iu\varphi} (a menos de uma fase constante); a amplitude transmitida é t2a∑(Reiφ)k=t2a/(1−Reiφ)t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k = t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi}) com t2=1−Rt^2 = 1 - R; seu módulo ao quadrado vale (1−R)2/(1−2Rcos⁡φ+R2)=(1−R)2/[(1−R)2+4Rsin⁡2(φ/2)](1 - R)^2/ (1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]. Picos em φ=2πp\varphi = 2\pi p; meia altura onde Fsin⁡2(φ/2)=1F\sin^2(\varphi/2) = 1, ou seja, Δφ≈4/F=2(1−R)/R\Delta\varphi \approx 4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R, contra os 2π2\pi entre picos. ∎

A transmissão de Airy de uma cavidade de Fabry–Pérot: transmissão total nas ressonâncias 2L = p, com picos que se estreitam à medida que a refletância dos espelhos cresce.
A transmissão de Airy de uma cavidade de Fabry–Pérot: transmissão total nas ressonâncias 2L=pλ2L = p\lambda, com picos que se estreitam à medida que a refletância dos espelhos cresce.

Método 21.7 (Cálculos com redes)

(1) Período a=1/(linhas por mm)a = 1/(\text{linhas por mm}); equação das redes com os sinais dos ângulos. (2) Liste as ordens que existem (∣sin⁡θ∣≤1|\sin\theta| \le 1) e verifique sua superposição (pλmax⁡p\lambda_{\max} contra (p+1)λmin⁡(p + 1)\lambda_{\min}). (3) Dispersão p/acos⁡θp/a\cos\theta, convertida numa posição sobre o detector com a distância focal:  ⁣dx=f  ⁣dθ\dd x = f\,\dd\theta. (4) Poder de resolução pNpN com NN o número de linhas efetivamente iluminadas; compare λ/R\lambda/R com a estrutura a resolver. (5) Para instrumentos reais acrescente a largura da fenda de entrada (ela borra as linhas) e os pixels do detector.

21.5 Exercícios

Exercício 21.1 ★

Uma rede de 500500 linhas por milímetro sob incidência normal, λ=550 nm\lambda = 550\,\mathrm{nm}: ângulos das ordens; ordem mais alta; largura angular do espectro visível de primeira ordem (400400–700 nm700\,\mathrm{nm}); a mesma rede sob incidência de 30∘30{}^{\circ}: ordens de cada lado.

Solução

Solução de Exercício 21.1.

a=2 µma = 2\,\text{µ}\mathrm{m}, sin⁡θp=0.275p\sin\theta_p = 0.275p: 16.0∘16.0{}^{\circ}, 33.4∘33.4{}^{\circ}, 55.6∘55.6{}^{\circ}; não há quarta ordem. O visível de primeira ordem vai de 11.5∘11.5{}^{\circ} a 20.5∘20.5{}^{\circ}: 9∘9{}^{\circ}. Sob 30∘30{}^{\circ}: sin⁡θ=0.5+0.275p\sin\theta = 0.5 + 0.275p: p=+1p = +1 (51∘51{}^{\circ}) de um lado, p=−1p = -1 a −5-5 (13∘13^\circ, −3∘-3^\circ, −19∘-19^\circ, −37∘-37^\circ, −61∘-61^\circ) do outro.

Exercício 21.2 ★

O dubleto do sódio com uma rede de 600600 linhas/mm e uma lente de f=50 cmf = 50\,\mathrm{cm}: separação angular e linear das duas linhas sobre o detector na primeira e na segunda ordens; tamanho de pixel necessário para distingui-las.

Solução

Solução de Exercício 21.2.

a=1.67 µma = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}. Ordem 1: θ=20.7∘\theta = 20.7{}^{\circ}, Δθ=Δλ/acos⁡θ=3.9×10−4 rad\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}, 0.19 mm0.19\,\mathrm{mm}; ordem 2: θ=45∘\theta = 45{}^{\circ}, 1.0×10−3 rad1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}, 0.51 mm0.51\,\mathrm{mm}. Pixels de 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} ou menores.

Exercício 21.3 ★

Poder de resolução de uma rede de 2 cm2\,\mathrm{cm} com 600600 linhas/mm nas ordens 11, 22, 33; menor Δλ\Delta\lambda resolvido em 550 nm550\,\mathrm{nm}; ela separa o dubleto do sódio? E a linha Hα\alpha do hidrogênio de sua gêmea do deutério (0.18 nm0.18\,\mathrm{nm} de diferença)?

Solução

Solução de Exercício 21.3.

N=12 000N = 12\,000: R=12 000R = 12\,000, 24 00024\,000, 36 00036\,000; Δλ=0.046\Delta\lambda = 0.046, 0.0230.023, 0.015 nm0.015\,\mathrm{nm}; o dubleto (0.6 nm0.6\,\mathrm{nm}) e o par H/D (0.18 nm0.18\,\mathrm{nm}, que exige R=3600R = 3600) são separados com folga.

Exercício 21.4 ★

Um disco compacto (a=1.6 µma = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}) e um DVD (a=0.74 µma = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}) iluminados sob incidência normal: ângulos do violeta e do vermelho de primeira ordem; que ordens existem para cada um; por que o CD mostra dois arco-íris e o DVD um só?

Solução

Solução de Exercício 21.4.

CD: violeta 14.5∘14.5{}^{\circ}, vermelho 25.9∘25.9{}^{\circ}; o vermelho existe até a ordem 2, o violeta até a ordem 4: dois arco-íris (parcialmente superpostos). DVD: violeta 32.7∘32.7{}^{\circ}, vermelho 71∘71{}^{\circ}; o vermelho só tem a primeira ordem: um arco-íris, mais largo.

Exercício 21.5 ★★

O padrão de NN fendas. (a) Mostre que entre dois máximos principais há N−1N - 1 zeros e N−2N - 2 máximos secundários. (b) Para NN grande, intensidade do primeiro máximo secundário em relação ao principal (em Nφ/2≈3π/2N\varphi/2 \approx 3\pi/2): cerca de 1/221/22. (c) Esboce o padrão para N=3N = 3 e N=6N = 6 e dê as alturas dos máximos secundários para N=3N = 3. (d) Fração da energia total nos máximos principais para NN grande (compare as integrais do pico, de largura ∝1/N\propto 1/N e altura ∝N2\propto N^2, com o resto).

Solução

Solução de Exercício 21.5.

(a) Zeros em φ=2πm/N\varphi = 2\pi m/N, m=1,…,N−1m = 1, \dots, N - 1: N−1N - 1 zeros e N−2N - 2 máximos entre eles. (b) Em Nφ/2=3π/2N\varphi/2 = 3\pi/2, I≈I0/sin⁡2(3π/2N)≈I0(2N/3π)2I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2: 4/9π2=0.0454/9\pi^2 = 0.045 de N2I0N^2I_0. (c) N=3N = 3: um único máximo secundário em φ=π\varphi = \pi, de altura I0I_0, um nono do principal 9I09I_0; N=6N = 6: quatro máximos secundários de alguns por cento. (d) O lóbulo central de sin⁡2x/x2\sin^2x/x^2 contém 90%90\% da energia.

Exercício 21.6 ★★

Ordens superpostas. (a) Mostre que a ordem pp de λmax⁡\lambda_{\max} se superpõe à ordem p+1p + 1 de λmin⁡\lambda_{\min} quando pλmax⁡>(p+1)λmin⁡p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min}; para 400400–700 nm700\,\mathrm{nm}, a partir de que ordem? (b) Intervalo espectral livre na ordem pp: ΔλISL=λ/p\Delta\lambda_{\text{ISL}} = \lambda/p. (c) Um espectrógrafo trabalha na ordem 2020 perto de 500 nm500\,\mathrm{nm} (uma rede echelle): intervalo espectral livre; como se elimina a superposição (dispersor cruzado)? (d) O intervalo espectral livre do Fabry–Pérot é c/2Lc/2L: escreva-o em comprimento de onda e compare com o da rede.

Solução

Solução de Exercício 21.6.

(a) p>λmin⁡/(λmax⁡−λmin⁡)=1.33p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33: a partir de p=2p = 2. (b) λ/p\lambda/p. (c) 25 nm25\,\mathrm{nm}; um prisma cruzado com a rede empilha as ordens uma acima da outra. (d) Δλ=λ2/2L\Delta\lambda = \lambda^2/2L, uma fração de nanômetro — centenas de vezes menor que o de uma rede.

Exercício 21.7 ★★

Rede com blaze. Uma rede por reflexão tem seus sulcos inclinados do ângulo de blaze β\beta para que cada faceta reflita especularmente na direção em que se quer a ordem pp. (a) Para a montagem de Littrow (θ=θ0=β\theta = \theta_0 = \beta): mostre que 2asin⁡β=pλ2a\sin\beta = p\lambda; ângulo de blaze para 500 nm500\,\mathrm{nm} em primeira ordem com 12001200 linhas/mm. (b) Por que o blaze envia a maior parte da luz para uma única ordem (pense na envoltória da difração de uma única faceta, Capítulo 22)? (c) A mesma rede recebe um blaze para 1 µm1\,\text{µ}\mathrm{m}: em que ordem ela é eficiente em 500 nm500\,\mathrm{nm}? (d) Poder de resolução de uma rede de 10 cm10\,\mathrm{cm} em Littrow com β=64∘\beta = 64{}^{\circ}, λ=500 nm\lambda = 500\,\mathrm{nm} (use R=2Wsin⁡β/λR = 2W\sin\beta/\lambda).

Solução

Solução de Exercício 21.7.

(a) sin⁡β=λ/2a=0.3\sin\beta = \lambda/2a = 0.3, β=17.5∘\beta = 17.5{}^{\circ}. (b) A faceta isolada difrata num lóbulo largo centrado em sua direção especular; as ordens que caem dentro dele recebem a luz. (c) Ordem 2 (2×500 nm=1 µm2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m} no mesmo ângulo). (d) R=2Wsin⁡β/λ=3.6×105R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5.

Exercício 21.8 ★★

A fenda. A fenda de entrada de um espectrômetro, de largura ss, é imageada sobre o detector com ampliação 11; a rede (600600 linhas/mm, 5 cm5\,\mathrm{cm}, ordem 11, f=50 cmf = 50\,\mathrm{cm}) dispersa. (a) Largura de uma linha sobre o detector devida só à fenda, para s=50 µms = 50\,\text{µ}\mathrm{m}, em nm. (b) Largura devida ao poder de resolução da rede. (c) Qual domina; largura de fenda para a qual as duas se igualam. (d) Por que não fechar mais a fenda?

Solução

Solução de Exercício 21.8.

(a)  ⁣dλ/ ⁣dx=acos⁡θ/pf=3.1 nm/mm\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}: 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} valem 0.16 nm0.16\,\mathrm{nm}. (b) R=30 000R = 30\,000: 0.018 nm0.018\,\mathrm{nm}. (c) A fenda, por um fator nove; iguais em s=6 µms = 6\,\text{µ}\mathrm{m}. (d) A difração na fenda e um detector faminto de luz.

Exercício 21.9 ★★

Fabry–Pérot. Espelhos com R=0.95R = 0.95, L=5 mmL = 5\,\mathrm{mm}, λ=600 nm\lambda = 600\,\mathrm{nm}. (a) Ordem pp, intervalo espectral livre em frequência e em comprimento de onda. (b) Finesse; largura de um pico de transmissão em frequência e em comprimento de onda. (c) Poder de resolução pFp\mathcal F; compare com a rede de 10 cm10\,\mathrm{cm}. (d) Por que um Fabry–Pérot é sempre usado com um pré-filtro ou uma rede?

Solução

Solução de Exercício 21.9.

(a) p=2L/λ=16 700p = 2L/\lambda = 16\,700; ISL c/2L=30 GHzc/2L = 30\,\mathrm{GHz}, λ2/2L=0.036 nm\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}. (b) F=π0.95/0.05=61\mathcal F = \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61; 0.5 GHz0.5\,\mathrm{GHz}, 0.6 pm0.6\,\mathrm{pm}. (c) pF=106p\mathcal F = 10^6, quatro vezes o da rede de 10 cm10\,\mathrm{cm}. (d) Seu intervalo espectral livre é uma fração de nanômetro: as ordens se superpõem a menos que a luz seja pré-filtrada para uma delas.

Exercício 21.10 ★★★

O limite de uma rede. (a) Mostre que R=pN=W(sin⁡θ−sin⁡θ0)/λ≤2W/λR = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0) /\lambda \le 2W/\lambda: o poder de resolução não pode ultrapassar a largura da rede em comprimentos de onda, vezes dois. (b) Interprete: a maior diferença de caminho entre os raios extremos. (c) Uma rede de 30 cm30\,\mathrm{cm} em 500 nm500\,\mathrm{nm}: RR máximo; menor velocidade resolvível por desvio Doppler (Δλ/λ=v/c\Delta\lambda/\lambda = v/c). (d) Por que os astrônomos ainda assim chegam a 1 m/s1\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (pense em medir a posição de uma linha com uma fração de sua largura, sobre muitas linhas)?

Solução

Solução de Exercício 21.10.

(a) ∣sin⁡θ−sin⁡θ0∣≤2|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2. (b) Os raios extremos diferem em caminho de W(sin⁡θ−sin⁡θ0)W(\sin\theta - \sin\theta_0), no máximo 2W2W. (c) 2×0.3/5×10−7=1.2×1062 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6; c/R=250 m/sc/R = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. (d) O centro de uma linha é localizado com um centésimo de sua largura, e mil linhas baixam a média de 1000\sqrt{1000}: metros por segundo, com uma estabilidade heroica.

Exercício 21.11 ★★★

Bragg. Um cristal é uma rede tridimensional: raios X refletidos por planos atômicos sucessivos separados por uma distância dd, sob o ângulo rasante θ\theta, interferem construtivamente quando 2dsin⁡θ=pλ2d\sin\theta = p\lambda (Bragg). (a) Deduza isso da diferença de caminho entre dois planos. (b) A radiação Kα\alpha do cobre (0.154 nm0.154\,\mathrm{nm}) sobre sal-gema (d=0.282 nmd = 0.282\,\mathrm{nm}): os ângulos de Bragg. (c) Por que os comprimentos de onda visíveis não dão nenhuma reflexão de Bragg nos cristais, e o que a recíproca (nenhuma difração de raios X no vidro) diz sobre o vidro? (d) Por que é preciso que λ<2d\lambda < 2d?

Solução

Solução de Exercício 21.11.

(a) A onda refletida pelo plano inferior percorre 2dsin⁡θ2d\sin\theta a mais. (b) sin⁡θ=0.273p\sin\theta = 0.273p: 15.8∘15.8{}^{\circ}, 33.1∘33.1{}^{\circ}, 55.0∘55.0{}^{\circ}. (c) λ≫2d\lambda \gg 2d: nenhum ângulo satisfaz a equação; o vidro não tem planos regulares, daí apenas anéis difusos — ele é amorfo. (d) sin⁡θ≤1\sin\theta \le 1.

Exercício 21.12 ★★★

Arranjo em fase. NN antenas idênticas alinhadas, espaçadas de aa, alimentadas com a mesma amplitude e um salto de fase ψ\psi entre vizinhas. (a) Mostre que o campo irradiado na direção θ\theta é o da soma de NN ondas com φ=2πasin⁡θ/λ−ψ\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi: o feixe principal aponta para onde sin⁡θ=λψ/2πa\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a. (b) Semilargura do feixe principal, Δθ≈λ/Nacos⁡θ\Delta\theta \approx \lambda/Na\cos\theta. (c) Por que é preciso a≤λ/2a \le \lambda/2 para evitar um segundo feixe principal (um lóbulo de rede) ao orientar o feixe? (d) Um radar com 6464 elementos a λ/2\lambda/2, λ=3 cm\lambda = 3\,\mathrm{cm}: largura do feixe; tempo para varrer 90∘90^\circ em passos de uma largura de feixe se as fases comutam em 1 µs1\,\text{µ}\mathrm{s}.

Solução

Solução de Exercício 21.12.

(a) As vizinhas diferem em fase de 2πasin⁡θ/λ2\pi a\sin\theta/\lambda pelo caminho e de −ψ-\psi pela alimentação; o máximo principal está em φ=0\varphi = 0. (b) Primeiro zero em Δφ=2π/N\Delta\varphi = 2\pi/N: Δθ=λ/Nacos⁡θ\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta. (c) Um segundo máximo principal em φ=±2π\varphi = \pm2\pi exige ∣sin⁡θ±λ/a∣≤1|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1: isso é impossível para todo ângulo de apontamento apenas se a≤λ/2a \le \lambda/2. (d) Na=0.96 mNa = 0.96\,\mathrm{m}: 1.8∘1.8{}^{\circ}; 5050 passos, 50 µs50\,\text{µ}\mathrm{s}.

21.6 Problema: um espectrógrafo para uma estrela

Problema 21.1

Problema de fim de semana — projetar o espectrógrafo que lê a luz de uma estrela: a rede, o detector, as linhas do hidrogênio e o bamboleio de um planeta

Um espectrógrafo: fenda de entrada, colimador de distância focal f1=1.0 mf_1 = 1.0\,\mathrm{m}, uma rede por reflexão de 12001200 linhas/mm e largura W=12 cmW = 12\,\mathrm{cm}, uma câmera de f2=1.0 mf_2 = 1.0\,\mathrm{m}, um detector com pixels de 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m}. Ele trabalha na primeira ordem, em torno de 550 nm550\,\mathrm{nm}, com a rede sob incidência de 20∘20{}^{\circ}.

Parte I — A rede.

  1. Período da rede; número de linhas iluminadas se o feixe cobre toda a largura.
  2. Ângulo de difração de 550 nm550\,\mathrm{nm} na primeira ordem; de 400 nm400\,\mathrm{nm} e de 700 nm700\,\mathrm{nm}; largura angular do espectro visível.
  3. Dispersão angular em 550 nm550\,\mathrm{nm}; dispersão linear sobre o detector em nm por mm e em nm por pixel.
  4. Poder de resolução; menor Δλ\Delta\lambda resolvido em 550 nm550\,\mathrm{nm}; em pixels.
  5. O violeta de segunda ordem cai sobre o visível de primeira ordem? Que filtro o elimina?
  6. Comprimento de detector necessário para todo o espectro visível na primeira ordem.
  7. A rede tem blaze a 17∘17{}^{\circ}: para que comprimento de onda ela é mais eficiente na primeira ordem sob essa incidência (use a estimativa de Littrow 2asin⁡β=λ2a\sin\beta = \lambda)?
  8. A rede devolve 80%80\% da luz no comprimento de onda de blaze e o telescópio mais a óptica, 40%40\%: fração dos fótons da estrela que chegam ao detector.

Parte II — As linhas.

  1. As linhas de Balmer do hidrogênio da estrela: Hα\alpha 656.3 nm656.3\,\mathrm{nm}, Hβ\beta 486.1 nm486.1\,\mathrm{nm}, Hγ\gamma 434.0 nm434.0\,\mathrm{nm}: suas posições sobre o detector em relação a 550 nm550\,\mathrm{nm}.
  2. A Hα\alpha de um átomo de deutério é 0.18 nm0.18\,\mathrm{nm} mais curta: fica separada? De quantos pixels?
  3. O dubleto do sódio no espectro da estrela: separação em pixels; e a largura de cada linha se a atmosfera da estrela as alarga até 0.05 nm0.05\,\mathrm{nm}.
  4. A fenda de entrada tem 100 µm100\,\text{µ}\mathrm{m} de largura, imageada com ampliação f2/f1f_2/f_1: sua largura sobre o detector em pixels e em nm; o espectrógrafo é limitado pela fenda ou pela rede?
  5. A luz do telescópio chega como um disco de 1′′1'' no céu, que o telescópio (f=20 mf = 20\,\mathrm{m}) torna 100 µm100\,\text{µ}\mathrm{m} de largura na fenda: fração de luz perdida se a fenda for estreitada para 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} (tome o disco como uniforme).
  6. Por que uma fenda mais estreita dá linhas mais nítidas mas espectros mais ruidosos?

Parte III — A estrela se move.

  1. Uma estrela se afasta a 30 km/s30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}: desvio Doppler da Hα\alpha em nm e em pixels.
  2. O movimento orbital da Terra acrescenta ±30 km/s\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s} ao longo do ano: por que ele deve ser subtraído, e com que precisão se se quer 100 m/s100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}?
  3. Um planeta faz sua estrela bambolear a 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: desvio em nm e em pixels; ele está abaixo da resolução? Explique como medir o centro de uma linha com um centésimo de sua largura, sobre mil linhas, o recupera (ganho estatístico N\sqrt{N}).
  4. A temperatura do instrumento muda de 1 K1\,\mathrm{K} e a rede (vidro, dilatação 1×10−5 K−11 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}) se dilata: deslocamento das linhas em pixels; que estabilidade é preciso para 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}?
  5. Uma lâmpada de calibração (tório–argônio) põe centenas de linhas conhecidas sobre o mesmo detector: explique seu papel.

Parte IV — Alternativas.

  1. A mesma largura de rede gravada com 300300 linhas/mm e usada na quarta ordem (com um dispersor cruzado para separar as ordens): ângulo de difração, poder de resolução, dispersão e intervalo espectral livre em 550 nm550\,\mathrm{nm}; o que mudou, o que não mudou?
  2. Um etalon de Fabry–Pérot (L=1 mmL = 1\,\mathrm{mm}, R=0.9R = 0.9) colocado antes da fenda: intervalo espectral livre em nm, finesse, largura dos picos; qual é o aspecto de seu pente de picos de transmissão sobre o detector, e para que ele serve?
  3. Um prisma de 60∘60{}^{\circ} de vidro com  ⁣dn/ ⁣dλ=−1×10−4 nm−1\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1} tem a dispersão angular  ⁣dD/ ⁣dλ≈2  ⁣dn/ ⁣dλ\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda perto do desvio mínimo: compare com a da rede; por que as redes substituíram os prismas?
  4. Por que os maiores espectrógrafos astronômicos são construídos com redes de um metro de largura e usados sob grandes ângulos (o limite 2W/λ2W/\lambda)?
  5. Uma estrela de magnitude 8 entrega 1×104 1 \times 10^{4}\, fótons por segundo e por nanômetro no telescópio: fótons por pixel por segundo sobre o detector, e a relação sinal-ruído de uma exposição de 100 s100\,\mathrm{s} (só o ruído de fótons).
  6. Resuma: os três números que descrevem um espectrógrafo (dispersão, poder de resolução, intervalo espectral livre) e o que determina cada um.
Solução

Solução de Problema 21.1.

1. a=0.833 µma = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m}; N=144 000N = 144\,000.

2. sin⁡θ=sin⁡20∘−λ/a\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a (a ordem fica do outro lado da normal): 550 nm550\,\mathrm{nm} a 18.5∘18.5{}^{\circ}, 400 nm400\,\mathrm{nm} a 7.9∘7.9{}^{\circ}, 700 nm700\,\mathrm{nm} a 29.9∘29.9{}^{\circ}: 22∘22{}^{\circ} de espectro.

3. 1/acos⁡θ=1.27×10−3 rad/nm1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}; f2×f_2\times: 1.27 mm/nm1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}, ou seja, 0.79 nm/mm0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}, 0.012 nm0.012\,\mathrm{nm} por pixel.

4. R=N=144 000R = N = 144\,000: 0.0038 nm0.0038\,\mathrm{nm}, um terço de pixel.

5. O 400 nm400\,\mathrm{nm} de segunda ordem cai onde cairia o 800 nm800\,\mathrm{nm} de primeira ordem, além do vermelho: nenhuma superposição no visível; a superposição começaria em 350 nm350\,\mathrm{nm}, que um filtro de vidro elimina.

6. 22∘22{}^{\circ} ×\times 1 m1\,\mathrm{m} =38 cm= 38\,\mathrm{cm}: um detector cobre uma fatia; gira-se a rede para escolhê-la.

7. λ=2asin⁡17∘=490 nm\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}.

8. 0.8×0.4=32%0.8 \times 0.4 = 32\%.

9. Ângulos 26.5∘26.5{}^{\circ}, 14.0∘14.0{}^{\circ}, 10.3∘10.3{}^{\circ}: +14+14, −8-8 e −14 cm-14\,\mathrm{cm} em relação à posição de 550 nm550\,\mathrm{nm}.

10. 0.18 nm0.18\,\mathrm{nm} valem 1515 pixels: separadas.

11. 5050 pixels de separação, cada uma com 44 pixels de largura.

12. 100 µm100\,\text{µ}\mathrm{m}, 6.76.7 pixels, 0.08 nm0.08\,\mathrm{nm} — vinte vezes o limite da rede: limitado pela fenda.

13. A imagem tem 97 µm97\,\text{µ}\mathrm{m} de largura: uma fenda de 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} deixa passar metade da luz.

14. Menos luz para a mesma nitidez: o ruído de fótons cresce.

15. Δλ=λv/c=0.066 nm\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}, 5.55.5 pixels.

16. A velocidade da Terra desloca cada linha de até ±5.5\pm5.5 pixels ao longo do ano; ela é conhecida pelas efemérides muito melhor que os 0.3%0.3\% necessários para 100 m/s100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

17. 2.2×10−5 nm2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}, 0.0020.002 pixel — muito abaixo da largura da linha. Um centroide com um centésimo de uma linha de 7 px7\,\mathrm{px} dá 0.07 px0.07\,\mathrm{px}; mil linhas dão 1000\sqrt{1000}: 0.0020.002 pixel — o sinal, no limite. Os instrumentos reais acrescentam poder de resolução e estabilidade.

18. Δsin⁡θ=(λ/a)×10−5=6.6×10−6\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}, Δθ=7×10−6 rad\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}, 7 µm7\,\text{µ}\mathrm{m}: meio pixel por kelvin — milikelvins para 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

19. Suas linhas, registradas no mesmo instante sobre os mesmos pixels, dão a escala de comprimentos de onda e acompanham toda deriva.

20. a=3.33 µma = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}, N=36 000N = 36\,000, mesmo ângulo (18.5∘18.5{}^{\circ}), R=4N=144 000R = 4N = 144\,000, mesma dispersão, ISL λ/4=137 nm\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm}: o poder de resolução e a dispersão dependem só de WW e do ângulo; o intervalo espectral livre encolheu.

21. ISL λ2/2L=0.15 nm\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm} (1212 pixels); F=30\mathcal F = 30; picos de 0.005 nm0.005\,\mathrm{nm} de largura: um pente de linhas finas ao longo do detector, uma régua de comprimentos de onda.

22. 2×10−42 \times 10^{-4} contra 1.3×10−3 rad/nm1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}: seis vezes menos, e o poder de resolução de um prisma (b  ⁣dn/ ⁣dλ∼104b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4) e sua escala não linear também perdem; as redes ainda funcionam no ultravioleta.

23. R≤2W/λR \le 2W/\lambda: 4×1064 \times 10^6 para um metro em 500 nm500\,\mathrm{nm} — a largura e o ângulo são os únicos caminhos para cima.

24. 104×0.012×0.32=3810^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38 fótons por pixel por segundo; 38003800 em 100 s100\,\mathrm{s}: relação sinal-ruído ≈60\approx 60.

25. A dispersão, fixada por p/acos⁡θp/a\cos\theta e pela distância focal da câmera; o poder de resolução, pela largura iluminada e pelos ângulos (pNpN); o intervalo espectral livre, pela ordem (λ/p\lambda/p).