Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

23O laser: emissão estimulada e feixes gaussianos

Um ponto vermelho numa tela de aula, o leitor de código de barras do caixa, o feixe que lê um disco, solda a carroceria de um carro, leva a internet sob os oceanos, corrige uma córnea e mede a distância até a Lua com precisão de milímetro: cada um deles é um laser, uma fonte de luz diferente de qualquer chama ou lâmpada. Sua luz é de uma só cor, com uma parte em um bilhão, permanece num feixe de milímetros ao longo de uma sala e pode ser focalizada numa mancha de alguns comprimentos de onda, onde sua irradiância supera um milhão de vezes a da superfície do Sol. Nada disso vem de um novo tipo de átomo: vem de um processo que Einstein identificou em 1917 — a emissão estimulada, a emissão de um fóton idêntico a um já presente — e de arranjar a matéria de modo que esse processo vença a absorção, colocando depois o amplificador entre dois espelhos para que ele se alimente a si mesmo. Este capítulo constrói o laser em três etapas: como a luz e uma população de átomos trocam energia (os coeficientes de Einstein), quando a troca amplifica (inversão de população e ganho) e quando o amplificador se torna um oscilador (a cavidade, seu limiar e seus modos). Ele termina com a forma do feixe que sai, o feixe gaussiano, cuja cintura e cuja divergência decidem o que um laser pode fazer a distância e num foco.

Uma mesa óptica: laser, espelhos, lentes e um feixe que permanece uma linha fina através de toda a sala — a diretividade que nenhuma lâmpada pode dar.

23.1 Luz e matéria: os três processos

Definição 23.1 (Absorção, emissão espontânea e emissão estimulada)

Considere átomos com dois níveis de energia $E_1 < E_2$ , populações (densidades numéricas) $N_1$ , $N_2$ , e luz de frequência $\nu$ com $h\nu = E_2 - E_1$ e densidade espectral de energia $u(\nu)$ (energia por unidade de volume e por unidade de frequência). Três processos trocam energia:

absorção: um átomo em $E_1$ absorve um fóton e sobe para $E_2$ , à taxa $B_{12}\,u(\nu)\,N_1$ por unidade de volume e de tempo;
emissão espontânea: um átomo em $E_2$ cai para $E_1$ por si só, emitindo um fóton numa direção aleatória e com fase aleatória, à taxa $A_{21}N_2$ — $1/A_{21} = \tau$ é o tempo de vida do nível;
emissão estimulada: um fóton de frequência $\nu$ que passa por um átomo em $E_2$ o induz a cair, emitindo um segundo fóton idêntico ao primeiro (mesma frequência, direção, fase e polarização), à taxa $B_{21}\,u(\nu)\,N_2$ .

$A_{21}$ , $B_{12}$ , $B_{21}$ são os coeficientes de Einstein da transição.

Proposição 23.2 (Relações de Einstein)

Para níveis não degenerados,

B_{12} = B_{21} \equiv B, \qquad \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}.

A emissão estimulada e a absorção têm o mesmo coeficiente; a taxa espontânea cresce como $\nu^3$ em relação à taxa estimulada.

Demonstração. Coloque os átomos em equilíbrio com a radiação à temperatura $T$ . Dois fatos são tomados de empréstimo a capítulos posteriores: as populações de dois níveis em equilíbrio estão na razão $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu/k_BT}$ (o fator de Boltzmann, Capítulo 29), e a radiação de equilíbrio tem a densidade espectral de Planck $u(\nu) = (8\pi h\nu^3/c^3)/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ (Capítulo 26). Em equilíbrio as populações dos níveis são estacionárias: $B_{12}uN_1 = A_{21}N_2 + B_{21}uN_2$ , e daí

u = \frac{A_{21}}{B_{12}\,N_1/N_2 - B_{21}} = \frac{A_{21}}{B_{12}\eu^{h\nu/k_BT} - B_{21}}.

Isso deve igualar a expressão de Planck a toda temperatura $T$ : o limite $T \to \infty$ (onde $u \to \infty$ ) impõe $B_{12} = B_{21}$ , e a comparação dá então $A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3$ . Os coeficientes são propriedades do átomo, de modo que as relações valem também fora do equilíbrio. ∎

Observação 23.3 (Por que as lâmpadas não amplificam)

Num gás a $300\,\mathrm{K}$ , para uma transição visível ( $h\nu \approx 2\,\mathrm{eV}$ , $k_BT \approx 0.025\,\mathrm{eV}$ ), $N_2/N_1 = \eu^{-80} \approx 10^{-35}$ : praticamente nenhum átomo está excitado, e a luz é apenas absorvida. Uma descarga ou uma chama povoa $E_2$ , mas ainda com $N_2 < N_1$ , e cada fóton emitido é superado em número pelas absorções; além disso a razão entre a emissão espontânea e a estimulada em equilíbrio, $A_{21}/(B_{21}u) = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ , é astronomicamente grande no visível — a luz de uma lâmpada é espontânea: fases aleatórias, todas as direções, toda a largura da linha. Só em frequências de rádio e de micro-ondas ( $h\nu \ll k_BT$ ) a emissão estimulada compete naturalmente; o primeiro dispositivo desse tipo foi de fato o maser, a $24\,\mathrm{GHz}$ (1954), antes do laser óptico (1960).

Os três processos entre dois níveis: a absorção retira um fóton; a emissão espontânea acrescenta um fóton de fase e direção aleatórias; a emissão estimulada acrescenta um fóton idêntico ao incidente — uma cópia.

23.2 Amplificação: inversão de população e ganho

Proposição 23.4 (Ganho de um meio)

Um feixe de intensidade $I$ na frequência $\nu$ que atravessa o meio ganha energia por emissão estimulada e a perde por absorção (a emissão espontânea vai em todas as direções e quase não contribui para o feixe). Ao longo de um comprimento $\dd z$ ,

\dd I = \sigma\,(N_2 - N_1)\,I\,\dd z, \qquad I(z) = I(0)\,\eu^{g z}, \qquad g = \sigma(N_2 - N_1),

onde $\sigma$ (uma área, a seção de choque da transição, $\sigma \propto B\,h\nu/c$ ) mede a força da transição. O meio amplifica ( $g > 0$ ) somente se

N_2 > N_1 :

uma inversão de população. Sem ela ( $N_2 < N_1$ , o caso de todo meio em equilíbrio) o feixe é absorvido.

Demonstração. Por unidade de volume e de tempo, $B u (N_2 - N_1)$ transições acrescentam (ou retiram) um fóton $h\nu$ ao feixe; com $u = I/c$ (por unidade de frequência, sobre a largura da linha), a potência ganha por unidade de volume vale $B h\nu (N_2 - N_1) I/c$ , e isso é $\dd I/\dd z$ ; defina $\sigma = Bh\nu/c$ (vezes o fator de forma da linha). ∎

Observação 23.5 (Por que dois níveis não podem ser invertidos)

Bombeie um sistema de dois níveis tão forte quanto quiser com luz em $\nu$ : o bombeio absorve quando $N_1 > N_2$ e estimula a emissão quando $N_2 > N_1$ , e as populações tendem, no melhor dos casos, à igualdade, $N_2 = N_1$ , em que o meio é transparente mas nada ganha. Uma inversão exige ao menos três níveis: bombear do nível fundamental para um nível de vida curta que decai depressa para o nível laser superior, que é de vida longa (metaestável) e portanto armazena população. Num esquema de três níveis (rubi, o primeiro laser) o nível laser inferior é o estado fundamental, de modo que mais da metade dos átomos deve ser elevada antes da inversão: o bombeio é brutal. Num esquema de quatro níveis (He–Ne, Nd:YAG, a maioria dos lasers) o nível laser inferior é um nível excitado que se esvazia depressa para o estado fundamental; ele fica quase vazio o tempo todo, e uma pequena população no nível superior já é uma inversão — o limiar é baixo.

Esquemas de bombeio. À esquerda: três níveis — a transição laser termina no nível fundamental, que deve ser esvaziado em mais da metade. À direita: quatro níveis — o nível laser inferior escoa de imediato para o estado fundamental, de modo que uma pequena população superior já é uma inversão.

Proposição 23.6 (Saturação do ganho)

A inversão é mantida por um bombeio que fornece átomos ao nível superior à taxa $R$ por unidade de volume, contra o decaimento $1/\tau$ e a emissão estimulada $\sigma I (N_2 - N_1)/h\nu$ . Num meio de quatro níveis ( $N_1 \approx 0$ ) o regime estacionário é

N_2 = \frac{R\tau}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad g = \frac{g_0}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad I_{\text{s}} = \frac{h\nu}{\sigma\tau} :

o ganho de pequeno sinal $g_0 = \sigma R\tau$ é reduzido pelo próprio feixe assim que $I$ se aproxima da intensidade de saturação $I_{\text{s}}$ — o amplificador é não linear, e é essa não linearidade que fixará a potência do laser.

Demonstração. $\dd N_2/\dd t = R - N_2/\tau - \sigma I N_2/h\nu = 0$ . ∎

23.3 O oscilador: cavidade, limiar e modos

Definição 23.7 (Cavidade laser)

Um laser é um meio amplificador de comprimento $\ell$ colocado entre dois espelhos (refletâncias $R_1$ , $R_2$ ) separados por uma distância $L$ : uma cavidade de Fabry–Pérot (Capítulo 21). Um dos espelhos, o acoplador de saída, é parcialmente transmissor ( $T_2 = 1 - R_2$ de alguns por cento) e deixa o feixe sair. A luz que dá a volta na cavidade é amplificada duas vezes pelo meio e atenuada pelos espelhos e pelas outras perdas (espalhamento, absorção, difração).

Teorema 23.8 (Condição de oscilação)

Uma onda de amplitude complexa $\underline s$ se reproduz depois de uma volta completa se

\underline s\,\cdot\, \eu^{g\ell}\sqrt{R_1}\,\eu^{g\ell}\sqrt{R_2}\, \eu^{-\alpha\cdot 2L}\,\eu^{2\iu kL} = \underline s

( $\alpha$ : as outras perdas por unidade de comprimento). Daí duas condições.

Amplitude: $R_1R_2\,\eu^{2(g\ell - \alpha L)} \ge 1$ , ou seja, o ganho deve atingir o limiar

$g_{\text{th}} = \frac{1}{\ell}\Big(\alpha L - \tfrac12\ln(R_1R_2)\Big) \approx \frac{1}{2\ell}\,(T_2 + \text{perdas por volta completa}) ;$
Fase: $2kL = 2\pi p$ , ou seja, $\nu_p = p\,c/2L$ — o laser oscila apenas nos modos longitudinais da cavidade, espaçados de $c/2L$ , e entre eles somente naqueles que ficam sob a curva de ganho, onde $g(\nu) \ge g_{\text{th}}$ .

Demonstração. A amplitude e a fase do fator de volta completa devem ambas ser triviais; a aproximação usa $-\ln R \approx 1 - R = T$ para $T \ll 1$ . ∎

Proposição 23.9 (Regime estacionário acima do limiar)

Partindo da emissão espontânea de um único átomo, todo modo para o qual $g_0 > g_{\text{th}}$ cresce exponencialmente, volta após volta; à medida que sua intensidade cresce, o ganho satura (Proposição 23.6) até igualar exatamente as perdas:

g(I) = g_{\text{th}} \quad\Longrightarrow\quad I_{\text{cav}} = I_{\text{s}}\Big(\frac{g_0}{g_{\text{th}}} - 1\Big), \qquad P_{\text{out}} = T_2\,I_{\text{cav}}\,A .

O ganho fica travado no valor de limiar; cada átomo adicional bombeado acima do limiar se torna um fóton de saída, de modo que a potência de saída cresce linearmente com o bombeio acima do bombeio de limiar.

Observação 23.10 (O laser é um oscilador com realimentação)

Compare com o oscilador em ponte de Wien do Capítulo 9: um amplificador (o meio invertido), uma realimentação seletiva em frequência (a cavidade, que só deixa passar seus modos), uma condição de partida (ganho de malha $> 1$ , ou seja, $g_0 > g_{\text{th}}$ ), uma partida a partir do ruído (aqui a emissão espontânea) e uma amplitude fixada pela não linearidade do amplificador (a saturação do ganho). O laser é o membro óptico da família.

A curva de ganho do meio (largura ), o limiar fixado pelas perdas e o pente de modos da cavidade espaçados de c/2L: só os modos sob a curva e acima do limiar (em traço grosso) oscilam. — A curva de ganho do meio (largura $\Delta\nu$ ), o limiar fixado pelas perdas e o pente de modos da cavidade espaçados de $c/2L$ : só os modos sob a curva e acima do limiar (em traço grosso) oscilam.

Exemplo 23.11 (O laser de hélio–neônio)

Um tubo de vidro de $30\,\mathrm{cm}$ de comprimento, com $1\,\mathrm{mm}$ de diâmetro interno, contendo hélio e neônio a cerca de um milésimo de atmosfera, atravessado por uma descarga de alguns miliampères. Os elétrons excitam o hélio a um nível metaestável a $20.6\,\mathrm{eV}$ , que passa sua energia por colisão a um nível do neônio a quase exatamente a mesma altura; dali o neônio decai para um nível inferior (que se esvazia depressa para o estado fundamental — quatro níveis) emitindo em $632.8\,\mathrm{nm}$ . O ganho de pequeno sinal é minúsculo, alguns por cento por passagem, de modo que os espelhos devem ser excelentes ( $R_1 = 0.999$ , $R_2 = 0.99$ ) e o tubo, limpo; a linha de ganho é alargada por efeito Doppler até $\Delta\nu \approx 1.5\,\mathrm{GHz}$ , os modos estão separados de $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ , de modo que dois ou três modos oscilam ao mesmo tempo. Saída de $1\,\mathrm{mW}$ para vários watts de descarga: eficiência de $10^{-4}$ ; mas um comprimento de onda definido a $10^{-6}$ e um feixe que permanece com $1\,\mathrm{mm}$ de largura por todo o laboratório.

23.4 O feixe gaussiano

Proposição 23.12 (Feixe gaussiano)

O feixe que uma cavidade estável de espelhos curvos emite é (no modo transverso fundamental) um feixe gaussiano: à distância $z$ de sua seção mais estreita (a cintura, de raio $w_0$ ) o perfil de intensidade é

I(r,z) = \frac{2P}{\pi w(z)^2}\,\exp\Big(-\frac{2r^2}{w(z)^2}\Big), \qquad w(z) = w_0\sqrt{1 + \Big(\frac{z}{z_{\text{R}}}\Big)^2}, \qquad z_{\text{R}} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda},

onde $P$ é a potência total e $z_{\text{R}}$ o comprimento de Rayleigh: ao longo de $\pm z_{\text{R}}$ o feixe permanece dentro de $\sqrt2$ de sua cintura, e muito além dele se espalha com o semiângulo

\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0} .

O feixe é uma solução da equação de onda na aproximação paraxial; admitimos sua forma e a usamos. Suas frentes de onda são planas na cintura e esféricas ao longe.

Demonstração. Admitida neste nível (o cálculo é a propagação, em óptica de Fourier, de uma distribuição gaussiana na abertura); sua propriedade essencial é a que a difração já deu no Capítulo 22: uma abertura de tamanho $w_0$ se espalha por $\lambda/w_0$ , aqui com o fator exato $1/\pi$ . ∎

Um feixe gaussiano: o raio w(z) é uma hipérbole — quase constante dentro do comprimento de Rayleigh, depois um cone de semiângulo /π w_0. Uma cintura menor significa um comprimento de Rayleigh mais curto e um cone mais largo. — Um feixe gaussiano: o raio $w(z)$ é uma hipérbole — quase constante dentro do comprimento de Rayleigh, depois um cone de semiângulo $\lambda/\pi w_0$ . Uma cintura menor significa um comprimento de Rayleigh mais curto e um cone mais largo.

Proposição 23.13 (Focalizar e expandir um feixe)

Um feixe gaussiano de raio $w$ (muito maior do que seu campo distante teria na lente, ou seja, quase colimado) que incide sobre uma lente de distância focal $f$ é focalizado numa cintura

w_0' = \frac{\lambda f}{\pi w}

no foco, com comprimento de Rayleigh $\pi w_0'^2/\lambda$ . A irradiância de pico ali vale $2P/\pi w_0'^2$ . Inversamente, um telescópio afocal de ampliação $M$ transforma um feixe de raio $w$ num de raio $Mw$ cuja divergência é $M$ vezes menor: para enviar um feixe longe, primeiro deixe-o largo.

Demonstração. A lente converte a frente de onda plana numa esfera que converge em $f$ ; a difração de uma abertura de raio $w$ dá o espalhamento angular $\lambda/\pi w$ , e portanto a mancha focal $f\lambda/\pi w$ — coerente com $\theta = \lambda/\pi w_0'$ lido ao contrário. ∎

Exemplo 23.14 (Cortar, ler, apontar)

Um laser de dióxido de carbono de $1\,\mathrm{kW}$ em $10.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , com raio de feixe $10\,\mathrm{mm}$ , focalizado por $f = 100\,\mathrm{mm}$ : $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ , irradiância de pico $2P/\pi w_0'^2 = 5 \times 10^{11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — o aço ferve. Um apontador de $1\,\mathrm{mW}$ , $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ em $633\,\mathrm{nm}$ : $\theta = 0.4\,\mathrm{mrad}$ , uma mancha de $4\,\mathrm{cm}$ a $50\,\mathrm{m}$ , uma irradiância de $2.5\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ na saída — acima da luz do Sol, razão pela qual mesmo um miliwatt jamais deve entrar num olho: o cristalino o focalizaria numa mancha de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ sobre a retina, a milhões de watts por metro quadrado. Um leitor de disco em $650\,\mathrm{nm}$ com uma lente de abertura numérica $0.6$ focaliza em cerca de $\lambda/2\mathrm{NA} \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , o tamanho de um sulco.

Observação 23.15 (O que torna especial a luz do laser)

Diretividade: um único modo transverso, divergência no limite de difração. Monocromaticidade: um ou poucos modos da cavidade, cada um mais estreito que um megahertz — comprimentos de coerência de metros a quilômetros (Capítulo 18). Coerência espacial: todo o feixe é uma única onda, de modo que ele interfere consigo mesmo em qualquer lugar (holografia, interferometria). Brilho: um miliwatt num feixe limitado por difração ofusca o Sol por unidade de ângulo sólido e de largura de banda. Potência em pulsos: um joule num nanossegundo é um gigawatt; num femtossegundo, um petawatt. E, como o feixe é a saída de um oscilador, ele pode ser modulado a gigahertz — a portadora da fibra óptica (Capítulo 16).

Método 23.16 (Estimativas com lasers)

(1) Energia do fóton $h\nu = hc/\lambda$ e taxa de fótons $P/h\nu$ . (2) Limiar: $g_{\text{th}}\ell \approx \tfrac12(T_2 + \text{perdas})$ ; compare com o ganho de pequeno sinal $g_0\ell$ do meio. (3) Modos: $c/2L$ contra a largura de ganho; conte os modos que oscilam. (4) Potência: o ganho trava no limiar; saída $\propto$ (bombeio $-$ bombeio de limiar). (5) Feixe: $z_{\text{R}} = \pi w_0^2/\lambda$ , $\theta = \lambda/\pi w_0$ , mancha focal $\lambda f/\pi w$ , irradiância de pico $2P/\pi w_0^2$ . (6) Segurança: compare a irradiância sobre a retina com a do Sol.

23.5 Exercícios

Exercício 23.1 ★

Um laser He–Ne emite $1\,\mathrm{mW}$ em $632.8\,\mathrm{nm}$ . Frequência, energia do fóton em joules e em elétron-volts, fótons por segundo. Cavidade de $30\,\mathrm{cm}$ : espaçamento dos modos; quantos modos cabem sob uma curva de ganho de $1.5\,\mathrm{GHz}$ de largura?

Solução

Solução de Exercício 23.1.

$\nu = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $h\nu = 3.14 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{15}\,$ fótons por segundo; $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ ; três modos.

Exercício 23.2 ★

Dois níveis separados por $2\,\mathrm{eV}$ a $300\,\mathrm{K}$ : razão $N_2/N_1$ (use $k_BT = 0.025\,\mathrm{eV}$ ). A que temperatura as populações seriam iguais? Mostre que uma inversão corresponde a uma temperatura formalmente negativa na razão de Boltzmann. A mesma razão para uma transição de micro-ondas a $24\,\mathrm{GHz}$ .

Solução

Solução de Exercício 23.2.

$\eu^{-80} \approx 2 \times 10^{-35}$ ; a igualdade só quando $T \to \infty$ ; $N_2 > N_1$ exige $\eu^{-h\nu/k_BT} > 1$ , ou seja, formalmente $T < 0$ . Em $24\,\mathrm{GHz}$ , $h\nu = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $N_2/N_1 = 0.996$ .

Exercício 23.3 ★

Feixe gaussiano, $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : comprimento de Rayleigh, divergência, raio depois de $100\,\mathrm{m}$ e na Lua ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ). O mesmo feixe depois de um expansor $\times 20$ .

Solução

Solução de Exercício 23.3.

$z_{\text{R}} = 1.24\,\mathrm{m}$ ; $\theta = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $w(100\,\mathrm{m}) = 40\,\mathrm{mm}$ ; na Lua, $150\,\mathrm{km}$ . Depois de $\times 20$ : $w_0 = 10\,\mathrm{mm}$ , $\theta = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , $z_{\text{R}} = 500\,\mathrm{m}$ , $10.2\,\mathrm{mm}$ a $100\,\mathrm{m}$ , $7.7\,\mathrm{km}$ na Lua.

Exercício 23.4 ★

Cavidade com $R_1 = 1$ , $R_2 = 0.98$ , meio de $20\,\mathrm{cm}$ de comprimento, outras perdas de $0.5\%$ por passagem. Coeficiente de ganho de limiar. O ganho de pequeno sinal do meio vale $0.2\,\mathrm{m}^{-1}$ : ele oscila? E com $R_2 = 0.90$ ?

Solução

Solução de Exercício 23.4.

$g_{\text{th}} = (0.005 + 0.0101)/0.2 = 0.076\,\mathrm{m}^{-1} < 0.2$ : ele oscila. Com $R_2 = 0.90$ : $(0.005 + 0.053)/0.2 = 0.29\,\mathrm{m}^{-1}$ : ele não oscila.

Exercício 23.5 ★★

Relações de Einstein. (a) Escreva o balanço de uma população de dois níveis em equilíbrio com a radiação $u(\nu)$ e deduza as duas relações a partir da lei de Planck (dada). (b) Calcule $A_{21}/B_{21}u = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ a $300\,\mathrm{K}$ para $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ e para $\lambda = 1\,\mathrm{cm}$ . (c) Por que os masers foram inventados antes dos lasers? (d) O tempo de vida de um nível é $\tau = 1/A_{21}$ ; se $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ em $600\,\mathrm{nm}$ , quanto vale $\tau$ para uma transição de mesmo $B$ em $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?

Solução

Solução de Exercício 23.5.

(a) Veja a Proposição 23.2. (b) $600\,\mathrm{nm}$ : $h\nu/k_BT = 80$ , razão $5 \times 10^{34}$ ; $1\,\mathrm{cm}$ : $4.8 \times 10^{-3}$ — a emissão estimulada domina. (c) Em frequências de micro-ondas a emissão espontânea é desprezível e uma pequena inversão já dá ganho; a tecnologia (cavidades, guias de onda) já existia. (d) $A \propto \nu^3$ , logo $\tau \propto \lambda^3$ : $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Exercício 23.6 ★★

Saturação e potência de saída. Meio de quatro níveis, $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ , $\tau = 100\,\mathrm{ns}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ . (a) Intensidade de saturação. (b) Taxa de bombeio $R$ para um ganho de pequeno sinal $g_0 = 0.1\,\mathrm{m}^{-1}$ . (c) O limiar da cavidade vale $g_{\text{th}} = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ : intensidade intracavidade em regime estacionário; saída através de $T_2 = 1\%$ a partir de um feixe de área $1\,\mathrm{mm}^{2}$ . (d) Mostre que a potência de saída é linear em $R$ acima do limiar.

Solução

Solução de Exercício 23.6.

(a) $I_{\text{s}} = h\nu/\sigma\tau = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $R = g_0/\sigma\tau = 3.3 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (c) $I = I_{\text{s}}(5 - 1) = 4.2 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $P_{\text{out}} = 0.01 \times 4.2 \times 10^5 \times 10^{-6} = 4.2\,\mathrm{mW}$ . (d) $I = I_{\text{s}}(\sigma R\tau/g_{\text{th}} - 1) = (h\nu/g_{\text{th}})(R - g_{\text{th}}/\sigma\tau)$ : linear em $R$ acima de $R_{\text{th}} = g_{\text{th}}/\sigma\tau$ .

Exercício 23.7 ★★

Modos e estabilidade. (a) Comprimento de cavidade para operação em modo único sob uma curva de ganho de $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (b) Uma cavidade de $30\,\mathrm{cm}$ se expande de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : deslocamento da frequência de um modo, comparado com o espaçamento dos modos e com a largura de ganho. (c) Por que os He–Ne estabilizados comerciais travam o comprimento do tubo aquecendo-o? (d) A largura do próprio modo é de alguns quilohertz: comprimento de coerência?

Solução

Solução de Exercício 23.7.

(a) $c/2L > 1.5\,\mathrm{GHz}$ : $L < 10\,\mathrm{cm}$ . (b) $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : três espaçamentos de modo, toda a largura de ganho — o modo varre a curva de ganho e passa a vez ao vizinho. (c) Um aquecedor mantém o comprimento a uma pequena fração de $\lambda$ , usando o equilíbrio de dois modos como sinal de erro. (d) $c/\delta\nu \approx 100\,\mathrm{km}$ .

Exercício 23.8 ★★

Focalização. (a) Feixe $w = 1\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $f = 50\,\mathrm{mm}$ : cintura, comprimento de Rayleigh, irradiância de pico para $1\,\mathrm{mW}$ . (b) O mesmo feixe num olho (distância focal $17\,\mathrm{mm}$ ): mancha na retina e irradiância; compare com a imagem do Sol ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ através de uma pupila de $3\,\mathrm{mm}$ numa imagem de $0.15\,\mathrm{mm}$ ). (c) Por que um apontador verde de $5\,\mathrm{mW}$ é mais perigoso que uma lâmpada de $100\,\mathrm{W}$ ? (d) Profundidade de foco da lente de $50\,\mathrm{mm}$ .

Solução

Solução de Exercício 23.8.

(a) $w_0' = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $z_{\text{R}} = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $I = 2P/\pi w_0'^2 = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $w_0' = 3.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $I = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; a imagem do Sol: $10^3 \times (3/0.15)^2 = 4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — o apontador é cem vezes pior. (c) A potência da lâmpada se espalha por $4\pi$ e sua imagem na retina é extensa; toda a potência do apontador cai em alguns micrômetros, no comprimento de onda de sensibilidade máxima. (d) $2z_{\text{R}} = 1\,\mathrm{mm}$ .

Exercício 23.9 ★★

Três níveis contra quatro. Rubi: $N = 1.6 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ íons de cromo, tempo de vida do nível superior $3\,\mathrm{ms}$ , $\lambda = 694\,\mathrm{nm}$ . (a) Potência mínima de bombeio por unidade de volume para manter metade dos íons no nível superior. (b) Para um bastão de $1\,\mathrm{cm}^{3}$ . (c) Um meio de quatro níveis precisa apenas de $\Delta N = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ com $\tau = 230\,\text{µ}\mathrm{s}$ em $1064\,\mathrm{nm}$ : potência de bombeio por unidade de volume. (d) Comente a lâmpada de flash do laser de rubi frente ao bombeio por diodo de um Nd:YAG.

Solução

Solução de Exercício 23.9.

(a) $(N/2)\,h\nu/\tau = 7.6 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ . (b) $760\,\mathrm{W}$ — o regime contínuo está fora de questão: uma lâmpada de flash. (c) $10^{22} \times 1.87 \times 10^{-19}/2.3 \times 10^{-4} = 8 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : $8\,\mathrm{W}$ por centímetro cúbico. (d) Cem vezes menos, e em regime contínuo: alguns watts de luz de diodo bastam.

Exercício 23.10 ★★★

O diodo laser. A região emissora de um laser de diodo tem cerca de $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ por $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\lambda = 780\,\mathrm{nm}$ . (a) Semiângulos de divergência nas duas direções. (b) Que direção diverge mais, e por que o feixe é elíptico? (c) Uma lente de $f = 5\,\mathrm{mm}$ o colima: tamanhos do feixe nas duas direções. (d) Como se pode tornar circular a elipse (duas ideias)?

Solução

Solução de Exercício 23.10.

(a) $\lambda/\pi w_0$ : $0.17\,\mathrm{rad}$ ( $9.5{}^{\circ}$ ) e $0.5\,\mathrm{rad}$ ( $28{}^{\circ}$ ). (b) A direção estreita diverge mais: a elipse de campo distante é perpendicular ao emissor. (c) $f\theta$ : $0.8\,\mathrm{mm}$ e $2.5\,\mathrm{mm}$ . (d) Um par de prismas anamórficos ou uma lente cilíndrica; ou acoplar numa fibra monomodo.

Exercício 23.11 ★★★

Partida. (a) Escreva a condição de amplitude por volta completa com um ganho líquido $G = \eu^{2(g_0 - g_{\text{th}})\ell} = 1.04$ por volta e um tempo de volta $2L/c$ com $L = 30\,\mathrm{cm}$ . (b) De um único fóton espontâneo até o regime estacionário de $100\,\mathrm{mW}$ intracavidade (número de fótons na cavidade?), quantas voltas e quanto tempo? (c) O que limita o crescimento, e o que acontece com um modo cujo $g_0 < g_{\text{th}}$ ? (d) Num laser multimodo os modos competem pelos mesmos átomos: explique o salto de modo.

Solução

Solução de Exercício 23.11.

(a) Intensidade $\times 1.04$ a cada $2\,\mathrm{ns}$ . (b) $N = P\,(2L/c)/h\nu = 6.4 \times 10^8$ fótons; $\ln(6.4 \times 10^8)/\ln 1.04 \approx 520$ voltas completas, cerca de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (c) A saturação do ganho; um modo abaixo do limiar perde mais por volta do que ganha e fica no nível espontâneo. (d) Os modos partilham uma única inversão; o mais forte a satura e faz os outros passarem fome; derivas de comprimento e de ganho mudam o vencedor — a saída salta de modo em modo.

Exercício 23.12 ★★★

Telemetria lunar. Pulsos de $100\,\mathrm{mJ}$ em $532\,\mathrm{nm}$ , de $100\,\mathrm{ps}$ de duração, enviados por um telescópio de $1\,\mathrm{m}$ ( $w_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ ). (a) Fótons por pulso, potência de pico. (b) Divergência de difração e raio da mancha na Lua ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ); a atmosfera espalha o feixe até $1''$ em vez disso: raio da mancha. (c) Um conjunto refletor de $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ na Lua devolve a luz com sua própria difração ( $\lambda/d$ com cubos de canto de $d = 4\,\mathrm{cm}$ ): mancha na Terra, fração captada pelo telescópio, fótons detectados por pulso. (d) Cronometragem a $100\,\mathrm{ps}$ : precisão da distância por pulso, e depois de $10^4$ pulsos.

Solução

Solução de Exercício 23.12.

(a) $2.7 \times 10^{17}$ fótons; $1\,\mathrm{GW}$ . (b) $\theta = 3.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $130\,\mathrm{m}$ ; com o seeing, $1.8\,\mathrm{km}$ . (c) Fração $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ : $2.6 \times 10^9$ fótons; espalhamento de retorno $1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , raio $5\,\mathrm{km}$ ; o telescópio capta $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : cerca de $25$ fótons, uns poucos depois da óptica. (d) $c \times 100\,\mathrm{ps}/2 = 1.5\,\mathrm{cm}$ ; $\times 1/\sqrt{10^4}$ : $0.15\,\mathrm{mm}$ .

Um tubo de laser de hélio–neônio emitindo em sua linha amarela em 594\, nm: o brilho da descarga dentro do tubo e o feixe que sai pelo espelho de saída. Foto: Telementor, CC BY 4.0. — Um tubo de laser de hélio–neônio emitindo em sua linha amarela em $594\,\mathrm{nm}$ : o brilho da descarga dentro do tubo e o feixe que sai pelo espelho de saída. Foto: Telementor, CC BY 4.0.

23.6 Problema: um laser de hélio–neônio, do tubo até a Lua

Problema 23.1

Problema de fim de semana — um laser construído, caracterizado e usado

O laser da bancada: tubo de vidro $L = 30\,\mathrm{cm}$ , diâmetro interno $1\,\mathrm{mm}$ , mistura hélio–neônio, descarga de $5\,\mathrm{mA}$ sob $1.5\,\mathrm{kV}$ ; espelhos $R_1 = 0.999$ , $R_2 = 0.99$ ; comprimento de onda $632.8\,\mathrm{nm}$ ; saída $1\,\mathrm{mW}$ . Dados: o nível metaestável do He fica a $20.61\,\mathrm{eV}$ , o nível laser superior do Ne a $20.66\,\mathrm{eV}$ com tempo de vida $100\,\mathrm{ns}$ , o nível laser inferior a $18.70\,\mathrm{eV}$ com tempo de vida $10\,\mathrm{ns}$ ; temperatura do gás $400\,\mathrm{K}$ ; massa molar do neônio $20\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; seção de choque $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $k_BT$ a $400\,\mathrm{K}$ $= 0.0345\,\mathrm{eV}$ .

Parte I — O meio.

Energia do fóton e frequência da linha laser.
Os níveis do He e do Ne diferem de $0.05\,\mathrm{eV}$ : compare com $k_BT$ e explique por que a transferência por colisão He $\to$ Ne é eficiente.
Razão de Boltzmann entre o nível superior do Ne e o estado fundamental a $400\,\mathrm{K}$ sem a descarga: comente.
Explique, a partir dos dois tempos de vida, por que uma inversão entre os níveis do Ne é fácil de manter uma vez alimentado o nível superior.
Largura Doppler da linha: a velocidade mais provável do neônio a $400\,\mathrm{K}$ e $\Delta\nu \approx \nu\,v/c$ em ordem de grandeza (mais precisamente $\Delta\nu = 2\nu\sqrt{2k_BT\ln2/Mc^2}$ ).
Com $\Delta N = N_2 - N_1 = 3 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-3}$ : coeficiente de ganho de pequeno sinal e ganho por passagem ao longo de $30\,\mathrm{cm}$ .

Parte II — A cavidade.

Coeficiente de ganho de limiar; margem em relação à questão 6.
Espaçamento dos modos; número de modos que podem oscilar.
Potência intracavidade e irradiância intracavidade no capilar.
O que fixa o ganho em regime estacionário, e para onde vai a energia de bombeio excedente?
Potência elétrica de entrada e potência óptica de saída: eficiência; duas razões pelas quais ela é tão baixa.
Partida: ganho líquido por volta $2(g_0 - g_{\text{th}})L$ , número de fótons na cavidade em regime estacionário, número de voltas a partir de um fóton, e o tempo de partida.
O tubo esquenta e se alonga de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : deslocamento em frequência de um modo; consequência para um laser de modo único.
O tubo é fechado por janelas no ângulo de Brewster: o que isso faz com a polarização da saída, e por que não acrescenta perda?

Parte III — O feixe.

A cavidade produz uma cintura $w_0 = 0.3\,\mathrm{mm}$ : comprimento de Rayleigh, divergência, diâmetro do feixe a $10\,\mathrm{m}$ de distância.
Irradiância de pico na saída; compare com a luz do Sol ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ).
Uma lente de $f = 50\,\mathrm{mm}$ : cintura e irradiância de pico no foco.
O feixe entra num olho (distância focal $17\,\mathrm{mm}$ ): mancha na retina e irradiância; por que um piscar não é lento demais para $1\,\mathrm{mW}$ , e o que significa “classe 2”.
Um expansor de feixe $\times 10$ : nova divergência e diâmetro da mancha a $1\,\mathrm{km}$ .
Comprimento de coerência se o laser funciona num único modo de largura $1\,\mathrm{MHz}$ ; se funciona em três modos que cobrem $1\,\mathrm{GHz}$ .

Parte IV — Até a Lua. Uma estação de telemetria dispara pulsos de $100\,\mathrm{mJ}$ e $100\,\mathrm{ps}$ em $532\,\mathrm{nm}$ através de um telescópio de $1\,\mathrm{m}$ ; a atmosfera espalha o feixe de saída até $1''$ ( $4.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ).

Fótons por pulso e potência de pico.
Raio da mancha na Lua ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ); compare com a mancha limitada por difração.
Um conjunto refletor de $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ intercepta que fração do pulso, e quantos fótons?
Os cubos de canto de $4\,\mathrm{cm}$ do conjunto devolvem a luz com o espalhamento $\lambda/d$ : raio da mancha na Terra, fração captada pelo telescópio, fótons detectados por pulso (tome uma eficiência óptica global de $0.1$ ).
O tempo de ida e volta é de cerca de $2.56\,\mathrm{s}$ , medido a $100\,\mathrm{ps}$ : precisão da distância por pulso; depois de $10^4$ retornos; compare com os $3.8\,\mathrm{cm}$ por ano com que a Lua se afasta.

Solução

Solução de Problema 23.1.

1. $1.96\,\mathrm{eV}$ , $4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $0.05\,\mathrm{eV} \approx 1.5\,k_BT$ : a agitação térmica fornece o pequeno déficit; a transferência é quase ressonante e portanto eficiente.

3. $\eu^{-20.66/0.0345} = \eu^{-600} \approx 10^{-260}$ : nenhum; só a descarga alimenta o nível.

4. O nível inferior se esvazia dez vezes mais depressa do que o superior decai: ele está sempre quase vazio — um esquema de quatro níveis.

5. $v^* = \sqrt{2k_BT/m} = 580\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\nu v^*/c \approx 0.9\,\mathrm{GHz}$ ; a fórmula exata dá $1.5\,\mathrm{GHz}$ .

6. $g_0 = 0.09\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\eu^{0.027}$ : $2.7\%$ por passagem.

7. $g_{\text{th}} = -\ln(0.999 \times 0.99)/0.6 = 0.018\,\mathrm{m}^{-1}$ ; margem $5$ .

8. $500\,\mathrm{MHz}$ ; três.

9. $P_{\text{in}} = 1\,\mathrm{mW}/0.01 = 100\,\mathrm{mW}$ ; $1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

10. O ganho satura em $g_{\text{th}}$ ; o excedente se torna fótons de saída (e emissão espontânea, calor).

11. $1\,\mathrm{mW}/7.5\,\mathrm{W} = 1.3 \times 10^{-4}$ : a maior parte da energia dos elétrons vai para outro lugar que não o metaestável do hélio, e o fóton carrega $1.96\,\mathrm{eV}$ dos $20.66\,\mathrm{eV}$ investidos.

12. $2 \times 0.072 \times 0.3 = 0.043$ ; $N = 0.1 \times 2 \times 10^{-9}/3.14 \times 10^{-19} = 6.4 \times 10^8$ ; $20.3/0.043 \approx 470$ voltas completas; $0.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

13. $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : o modo atravessa toda a curva de ganho — o laser salta para outro modo, a menos que o comprimento seja estabilizado.

14. A polarização $p$ atravessa uma superfície de Brewster sem reflexão; a polarização $s$ perde uns $15\%$ por superfície e nunca atinge o limiar: saída polarizada linearmente, sem custo algum.

15. $z_{\text{R}} = 0.45\,\mathrm{m}$ ; $\theta = 6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $w(10\,\mathrm{m}) = 6.7\,\mathrm{mm}$ : $13\,\mathrm{mm}$ de diâmetro.

16. $2P/\pi w_0^2 = 7\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : sete sóis.

17. $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $5.6 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

18. $w_0' = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; a retina sobrevive a $1\,\mathrm{mW}$ durante os $0.25\,\mathrm{s}$ do reflexo de aversão — classe 2: visível, $\le 1\,\mathrm{mW}$ , segura porque se pisca.

19. $6.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; $w_0 = 3\,\mathrm{mm}$ , $z_{\text{R}} = 45\,\mathrm{m}$ , $w(1\,\mathrm{km}) = 67\,\mathrm{mm}$ : $13\,\mathrm{cm}$ .

20. $c/\Delta\nu$ : $300\,\mathrm{m}$ ; $30\,\mathrm{cm}$ .

21. $2.7 \times 10^{17}$ ; $1\,\mathrm{GW}$ .

22. $1.8\,\mathrm{km}$ ; só a difração: $130\,\mathrm{m}$ .

23. $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ ; $2.6 \times 10^9$ fótons.

24. $\lambda/d = 1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , $5\,\mathrm{km}$ ; $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : $25$ fótons, dois ou três detectados.

25. $1.5\,\mathrm{cm}$ ; $0.15\,\mathrm{mm}$ ; o afastamento é medido em semanas.

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