Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

18O modelo escalar da luz

Aponte duas lanternas para a mesma parede e a mancha fica simplesmente duas vezes mais clara; aponte para ela dois feixes de um mesmo laser e a mancha se quebra em franjas claras e escuras. As lanternas somam suas intensidades, os feixes do laser somam suas amplitudes — e todo interferômetro, holograma e rede de difração dos capítulos que vêm repousa em saber quando a luz faz uma coisa ou outra. Este capítulo monta as ferramentas: a luz como onda escalar com uma fase, o caminho óptico que mede essa fase ao longo de um raio, o modo como uma fonte emite — em trens de onda curtos cujo comprimento de coerência decide se duas ondas podem interferir — e o modo como um detector a registra: uma média sobre bilhões de períodos que só guarda a intensidade.

18.1 A luz como onda escalar

Definição 18.1 (Modelo escalar; onda monocromática)

Na maior parte da óptica ondulatória a natureza vetorial da luz não desempenha papel algum (as ondas superpostas compartilham uma polarização, ou a luz não é polarizada e as polarizações se compensam na média): o campo é substituído por uma vibração escalar real

s(M, t) = a(M)\cos\bigl(\omega t - \varphi(M)\bigr) ,

com uma amplitude $a(M)$ e uma fase $\varphi(M)$ em cada ponto, ambas lentamente variáveis na escala de um comprimento de onda. Uma onda monocromática tem um único $\omega$ : uma idealização, já que toda fonte real emite numa banda de frequências. Luz visível: $\lambda_0$ de $400$ a $750\,\mathrm{nm}$ no vácuo, $\nu = c/\lambda_0$ de $7.5 \times 10^{14}$ a $4 \times 10^{14}$ Hz, com períodos de cerca de $2\,\mathrm{fs}$ .

Definição 18.2 (Caminho óptico e fase)

Num meio de índice $n$ a onda viaja a $c/n$ e seu comprimento de onda vale $\lambda_0/n$ . O caminho óptico ao longo de uma curva de $A$ a $B$ é

(AB) = \int_A^Bn\,\dd s ,

e a fase acumulada por uma onda monocromática que viaja ao longo de um raio de $A$ a $B$ vale

\varphi(B) - \varphi(A) = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(AB) = \omega\,\tau_{AB} ,

sendo $\tau_{AB}$ o tempo de percurso. Uma frente de onda é uma superfície de mesma fase; num meio isotrópico os raios da óptica geométrica são perpendiculares às frentes de onda (teorema de Malus–Dupin), e o caminho óptico entre duas frentes de onda é o mesmo ao longo de cada raio.

Justificativa. A fase avança $2\pi$ por comprimento de onda local $\lambda_0/n$ , ou seja, $2\pi n\,\dd s/\lambda_0$ por elemento $\dd s$ ; some ao longo do raio. A onda $a\cos(\omega t - \varphi)$ é solução da equação de onda na qual a energia viaja segundo $\operatorname{\vect{grad}}\varphi$ , perpendicularmente às superfícies $\varphi =$ const.: essa é a definição de raio, e a afirmação "o caminho óptico é o mesmo entre duas frentes de onda" é a definição de frente de onda lida ao contrário. O teorema completo (que sobrevive a reflexões e refrações) é admitido. ∎

Exemplo 18.3 (Estigmatismo; a lente como lâmina de fase)

Uma fonte pontual $A$ conjugada por um instrumento perfeito (estigmático) em $A'$ : todos os raios de $A$ a $A'$ têm o mesmo caminho óptico — as ondas que chegam por cada raio estão em fase em $A'$ , e é por isso que elas se somam num ponto brilhante ali. Para uma lente delgada de distância focal $f$ isso é uma afirmação sobre fase: uma onda plana que chega segundo o eixo deve sair como onda esférica convergindo para o foco $F'$ ; como uma onda esférica centrada à distância $f$ tem, à distância $r$ do eixo, a fase $2\pi r^2/2\lambda f$ adiantada em relação a seu valor axial (aproximação paraxial, $\sqrt{f^2 + r^2} \approx f + r^2/2f$ ), a lente deve atrasar a onda de $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ : ela é mais espessa no centro exatamente na medida que iguala todos os caminhos ópticos até $F'$ . Uma lente é uma lâmina de fase; um holograma ou uma tela de cristal líquido que imponha o mesmo mapa de fases é uma lente.

À esquerda: uma lente delgada transforma frentes de onda planas em esféricas convergindo para o foco — todos os caminhos ópticos até F' são iguais. À direita: dentro do vidro o comprimento de onda encolhe para _0/n e a fase avança mais rápido: o caminho óptico conta o comprimento geométrico n vezes. — À esquerda: uma lente delgada transforma frentes de onda planas em esféricas convergindo para o foco — todos os caminhos ópticos até $F'$ são iguais. À direita: dentro do vidro o comprimento de onda encolhe para $\lambda_0/n$ e a fase avança mais rápido: o caminho óptico conta o comprimento geométrico $n$ vezes.

18.2 Como a luz é emitida: a coerência

Proposição 18.4 (Trens de ondas; tempo e comprimento de coerência)

Uma fonte clássica (uma chama, uma lâmpada, uma estrela) é um conjunto de átomos que emitem, em instantes aleatórios e com fases aleatórias, curtos trens de ondas de duração $\tau_c$ : a vibração que ela produz num ponto guarda uma fase estável apenas durante $\tau_c$ e depois salta. Um trem de duração $\tau_c$ não é monocromático: seu espectro cobre uma banda de frequências $\Delta\nu \approx 1/\tau_c$ (uma reciprocidade de Fourier, admitida: uma senoide finita não pode ter uma só frequência). O tempo de coerência $\tau_c$ e o comprimento de coerência

\ell_c = c\,\tau_c \approx \frac c{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

caracterizam a fonte: luz branca, $\Delta\lambda \approx 300\,\mathrm{nm}$ , $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; uma lâmpada espectral ( $\Delta\lambda \sim 0.01\,\mathrm{nm}$ ), $\ell_c \sim 3\,\mathrm{cm}$ ; um laser, de metros a quilômetros. Duas ondas obtidas da mesma fonte só podem interferir se sua diferença de caminho for menor que $\ell_c$ — além disso elas pertencem a trens diferentes, de fases sem relação alguma.

Demonstração. $\ell_c = c/\Delta\nu$ e $|\Delta\nu/\nu| = |\Delta\lambda/\lambda|$ com $\nu = c/\lambda$ dão $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ . A própria largura espectral tem causas físicas: a largura natural (amortecimento por radiação, Capítulo 17), o alargamento Doppler pelo movimento térmico dos átomos e as colisões — cada um encurtando o trem. ∎

A vibração de uma fonte clássica: uma sucessão de trens de ondas de duração _c com saltos de fase aleatórios entre eles; duas cópias dela só podem interferir se seu atraso for menor que _c. — A vibração de uma fonte clássica: uma sucessão de trens de ondas de duração $\tau_c$ com saltos de fase aleatórios entre eles; duas cópias dela só podem interferir se seu atraso for menor que $\tau_c$ .

Observação 18.5 (Duas fontes, uma fonte)

Duas lâmpadas distintas (ou dois átomos distintos) emitem trens com fases aleatórias independentes: sua fase relativa muda a cada $\tau_c \sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}$ , um milhão de vezes mais rápido do que qualquer olho ou câmera responde — o termo de interferência tem média nula e as intensidades se somam. A interferência exige duas ondas que se lembrem dos mesmos saltos de fase: duas cópias de uma onda, obtidas dividindo-a (duas fendas, dois espelhos, as duas faces de uma lâmina) e recombinadas com um atraso menor que $\tau_c$ . Um laser, cujos trens duram microssegundos ou mais, afrouxa enormemente essa restrição; ele nunca a elimina.

18.3 Detectores e intensidade

Proposição 18.6 (O que um detector mede)

Todo detector de luz — o olho (tempo de resposta $\sim0.1\,\mathrm{s}$ ), um filme fotográfico, um pixel de CCD ( $1\,\mathrm{ms}$ ), um fotodiodo ( $1\,\mathrm{ns}$ ) — responde num tempo longo em comparação com o período ( $10^{-15}$ s) e entrega a intensidade, a média temporal do quadrado da vibração,

I = K\,\langle s^2\rangle = \tfrac12K\,a^2 ,

( $K$ uma constante, muitas vezes omitida; $I$ é proporcional à irradiância em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ). O nível absoluto importa em um aspecto apenas: a luz chega em fótons de energia $h\nu$ , e um detector conta, em média, $I/h\nu$ fótons por unidade de área e de tempo.

Demonstração. $\langle\cos^2(\omega t - \varphi)\rangle = \tfrac12$ em qualquer intervalo muito maior que $2\pi/\omega$ . Fótons: o último capítulo do volume do Ano 1; é aqui que a onda escalar encontra o quântico. ∎

Exemplo 18.7 (Ordens de grandeza)

Uma lâmpada de $60\,\mathrm{W}$ que irradia $3\,\mathrm{W}$ de luz visível, a $2\,\mathrm{m}$ : $I = 3/4\pi\cdot4 = 60\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , $I/h\nu = 1.6 \times 10^{17}$ fótons por metro quadrado e por segundo, $3 \times 10^{12}$ por segundo através de uma pupila de $5\,\mathrm{mm}$ — nos $0.1\,\mathrm{s}$ do olho não há traço algum de granulação. A estrela mais fraca que o olho vê manda $\sim 10^3$ fótons por segundo para a pupila; um bastonete dispara com uns poucos. Luz do Sol: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $3 \times 10^{21}$ fótons por metro quadrado e por segundo.

Escalas de tempo da óptica: o período da vibração, a duração dos trens de ondas de fontes clássicas e de laser, e os tempos de resposta dos detectores — todos os detectores fazem média sobre muitos períodos e, no caso de uma lâmpada, sobre muitos trens.

Observação 18.8 (Superposição coerente e incoerente)

Duas vibrações $a_1\cos(\omega t - \varphi_1)$ e $a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ num ponto dão $s = s_1 + s_2$ e

I = \tfrac12K\bigl[a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\langle\cos(\varphi_1 - \varphi_2)\rangle\bigr] .

Se a diferença de fase é estável durante a detecção (ondas coerentes): $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ , o termo de interferência, que o próximo capítulo estuda. Se ela vagueia aleatoriamente (ondas incoerentes): $\langle\cos\rangle = 0$ e $I = I_1 + I_2$ — as lanternas.

Método 18.9 (Montar um problema de óptica)

(1) Escreva cada onda como $a\cos(\omega t - \varphi)$ com $\varphi = 2\pi(\text{caminho óptico})/\lambda_0$ desde a fonte (ou desde uma frente de onda comum). (2) Decida a coerência: mesma fonte, diferença de caminho $< \ell_c$ ? Então some amplitudes (a notação complexa é cômoda: $\underline s = a\eu^{\iu(\omega t - \varphi)}$ , $I = \tfrac12K|\underline s|^2$ ); caso contrário, some intensidades. (3) Para lentes e espelhos, use a igualdade dos caminhos ópticos entre pontos conjugados, ou a imagem da lâmina de fase. (4) Converta ao que se mede: intensidade, contraste, contagem de fótons, e verifique a resolução do detector no tempo e no espaço.

18.4 Exercícios

Exercício 18.1 ★

Um feixe de $600\,\mathrm{nm}$ atravessa $1.0\,\mathrm{cm}$ de vidro ( $n = 1.5$ ). Caminho óptico; número de comprimentos de onda no interior; fase e atraso adicionais em relação a $1\,\mathrm{cm}$ de ar; espessura de vidro que atrasa a onda exatamente de um comprimento de onda em relação ao ar.

Solução

Solução de Exercício 18.1.

$(AB) = 1.5\,\mathrm{cm}$ ; $25\,000$ comprimentos de onda; $0.5\,\mathrm{cm}$ a mais que o ar, $8300$ comprimentos de onda, $\Delta\varphi = 2\pi \times 8300$ , atraso de $17\,\mathrm{ps}$ ; um comprimento de onda de atraso para $e = \lambda/(n - 1) = 1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercício 18.2 ★

Tempo e comprimento de coerência de: luz branca ( $400$ – $750\,\mathrm{nm}$ ); uma linha de lâmpada de sódio de largura $0.02\,\mathrm{nm}$ a $589\,\mathrm{nm}$ ; um LED vermelho ( $630\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ ); um laser de diodo multimodo ( $\Delta\nu = 100\,\mathrm{GHz}$ ); um laser estabilizado ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{kHz}$ ). Quais poderiam dar franjas com diferença de caminho de $1\,\mathrm{mm}$ ? E de $10\,\mathrm{m}$ ?

Solução

Solução de Exercício 18.2.

$\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ ou $c/\Delta\nu$ , $\tau_c = \ell_c/c$ : branca $0.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $3\,\mathrm{fs}$ ); sódio $1.7\,\mathrm{cm}$ ( $60\,\mathrm{ps}$ ); LED $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $50\,\mathrm{fs}$ ); diodo $3\,\mathrm{mm}$ ( $10\,\mathrm{ps}$ ); estabilizado $300\,\mathrm{km}$ ( $1\,\mathrm{ms}$ ). Com $1\,\mathrm{mm}$ : a lâmpada de sódio, o diodo e o laser; com $10\,\mathrm{m}$ : só o laser estabilizado.

Exercício 18.3 ★

Um ponteiro laser de $1\,\mathrm{mW}$ a $650\,\mathrm{nm}$ : fótons por segundo; uma lâmpada de $100\,\mathrm{W}$ ( $5\,\mathrm{W}$ visíveis, média de $550\,\mathrm{nm}$ ) a $3\,\mathrm{m}$ : fótons por segundo através de uma pupila de $6\,\mathrm{mm}$ ; número deles nos $0.1\,\mathrm{s}$ do olho; flutuação relativa $1/\sqrt N$ desse número — a luz é granulada?

Solução

Solução de Exercício 18.3.

$10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 3.3 \times 10^{15}\,$ por segundo. Lâmpada: $I = 5/4\pi \times 9 = 44\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , pupila de $28\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1.2\,\text{µ}\mathrm{W}$ , $3.5 \times 10^{12}$ fótons por segundo, $3.5 \times 10^{11}$ em $0.1\,\mathrm{s}$ , flutuação de $2 \times 10^{-6}$ : perfeitamente lisa.

Exercício 18.4 ★

Uma fonte pontual a $1.0\,\mathrm{m}$ de um anteparo, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ . Diferença de caminho óptico entre o centro do anteparo e um ponto a $1\,\mathrm{cm}$ do eixo (exatamente, e depois com a fórmula paraxial $r^2/2d$ ); número de comprimentos de onda; raio da frente de onda no anteparo; a que distância do eixo a fórmula paraxial erra de um comprimento de onda?

Solução

Solução de Exercício 18.4.

Exato $\sqrt{1 + 10^{-4}} - 1 = 49.9988\,\text{µ}\mathrm{m}$ , paraxial $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : cem comprimentos de onda; a frente de onda é uma esfera de raio $1\,\mathrm{m}$ ; o termo quártico $r^4/8d^3$ chega a $\lambda$ em $r = (8\lambda d^3)^{1/4} = 4.5\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 18.5 ★★

A lente como lâmina de fase. (a) Uma onda plana segundo o eixo tem fase uniforme no plano de uma lente delgada; depois da lente a fase vale $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ em relação ao centro. Mostre que a frente de onda emergente é, na aproximação paraxial, uma esfera de raio $f$ centrada em $F'$ . (b) Uma fonte pontual à distância $d$ antes da lente manda uma onda cuja fase no plano da lente vale $+\pi r^2/\lambda d$ (em relação ao centro): mostre que depois da lente a onda converge em $d'$ com $1/d' = 1/f - 1/d$ , a fórmula das lentes. (c) Perfil de espessura de uma lente plano-convexa de vidro ( $n = 1.5$ ) de distância focal $10\,\mathrm{cm}$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; flecha em $r = 1\,\mathrm{cm}$ . (d) Uma "lente de Fresnel" dobra o perfil de volta cada vez que ele excede $\lambda/(n - 1)$ : por que ela ainda focaliza, e por que apenas uma cor perfeitamente?

Solução

Solução de Exercício 18.5.

(a) Uma esfera de raio $f$ centrada em $F'$ tem, no plano da lente, a fase $-\pi r^2/\lambda f$ em relação ao eixo (paraxialmente): exatamente a da lente. (b) Fase total $\pi r^2/\lambda\,(1/d - 1/f) = -\pi r^2/\lambda d'$ : uma onda que converge em $d'$ com $1/d' = 1/f - 1/d$ . (c) O vidro acrescenta $(n - 1)e(r) \times2\pi/\lambda$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; flecha $10^{-4}/0.1 = 1\,\mathrm{mm}$ . (d) Uma fase definida a menos de $2\pi$ é a mesma fase — no comprimento de onda de projeto; nos outros os degraus deixam de ser comprimentos de onda inteiros.

Exercício 18.6 ★★

Estigmatismo de um espelho. Um espelho deve enviar uma onda plana que chega segundo seu eixo a um ponto $F$ . (a) Escreva a condição "caminhos ópticos iguais de uma frente de onda plana até $F$ para todo ponto do espelho" e mostre que ela define uma parábola $y^2 = 4fx$ com $F$ em seu foco. (b) Por que um espelho esférico é apenas aproximadamente estigmático (compare $y^2 = 4fx$ com o círculo de raio $2f$ perto do vértice)? (c) Para um espelho de $20\,\mathrm{cm}$ com $f = 1\,\mathrm{m}$ , o erro de caminho da esfera na borda, em comprimentos de onda de $500\,\mathrm{nm}$ . (d) Por que os radiotelescópios toleram uma esfericidade que os ópticos não toleram?

Solução

Solução de Exercício 18.6.

(a) De uma frente de onda plana em $x = -D$ até $(x, y)$ e daí até $F(f, 0)$ : $D + x + \sqrt{(x - f)^2 + y^2} = D + f$ , logo $\sqrt{(x - f)^2 + y^2} = f - x$ , $y^2 = 4fx$ , com $F$ no foco. (b) O círculo $x = 2f - \sqrt{4f^2 - y^2} \approx y^2/4f + y^4/64f^3$ só concorda até a segunda ordem. (c) $y^4/64f^3 = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dobrado pela reflexão: $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ , seis comprimentos de onda — daí os espelhos parabólicos. (d) Em $\lambda \sim 1\,\mathrm{cm}$ o mesmo erro vale um milésimo de comprimento de onda.

Exercício 18.7 ★★

Fermat. O caminho óptico de $A$ (no meio $n_1$ ) a $B$ (em $n_2$ ) através de um ponto $P$ da interface plana vale $n_1AP + n_2PB$ . (a) Mostre que ele é estacionário (mínimo) para o ponto $P$ que satisfaz $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ . (b) Interprete: os caminhos vizinhos têm a mesma fase, de modo que as ondas ao longo deles se somam — é por isso que a luz "escolhe" o raio de Descartes. (c) Deduza a lei da reflexão do mesmo jeito. (d) Por que o caminho através de uma lente, de $A$ até sua imagem $A'$ , é o mesmo ao longo de cada raio, e não apenas estacionário?

Solução

Solução de Exercício 18.7.

(a) $L(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}$ : $L' = n_1\sin\theta_1 - n_2\sin\theta_2 = 0$ . (b) Perto do caminho estacionário os caminhos vizinhos têm fases iguais e suas ondas se somam; fora dali elas se cancelam. (c) Com $n_1 = n_2$ : $\sin\theta_1 = \sin\theta_r$ . (d) O estigmatismo significa que todos os raios de $A$ a $A'$ têm caminhos iguais: toda uma família de caminhos estacionários, e não um só.

Exercício 18.8 ★★

Por que duas lâmpadas não interferem. Duas lâmpadas de sódio iluminam um anteparo; num ponto, suas ondas têm amplitudes $a$ e uma fase relativa $\Delta\varphi$ que salta aleatoriamente a cada $\tau_c = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ . (a) Intensidade nesse ponto em função de $\Delta\varphi$ ; seu máximo e seu mínimo. (b) O detector faz média em $\tau_d = 1\,\mathrm{ms}$ : quantos valores independentes de $\Delta\varphi$ ? Intensidade média; tamanho relativo da flutuação residual do termo de interferência ( $\sim 1/\sqrt N$ ). (c) Um fotodiodo com $\tau_d = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : o que ele veria? (d) Como a primeira experiência que mostrou interferência entre dois lasers independentes (1963) conseguiu isso?

Solução

Solução de Exercício 18.8.

(a) $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi)$ : $4I_0$ e $0$ . (b) $N = 10^7$ : média $2I_0$ , com resíduo $\sim 2I_0/\sqrt N = 6 \times 10^{-4}$ dela. (c) Durante $10\,\mathrm{ps}$ a fase fica congelada: ele veria franjas, saltando a cada $0.1\,\mathrm{ns}$ . (d) Lasers com $\tau_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ e um detector mais rápido que isso: as franjas existem por um microssegundo e foram fotografadas.

Exercício 18.9 ★★

Profundidade aparente. Uma moeda está à profundidade $h$ na água ( $n = 1.33$ ). (a) Usando o caminho óptico (ou a lei de Descartes a pequenos ângulos), mostre que um olho de cima a vê à profundidade $h/n$ . (b) $h = 1.2\,\mathrm{m}$ : profundidade aparente; de quanto o caminho óptico da moeda até o olho excede seu comprimento geométrico? (c) A que altura aparente um peixe à profundidade $h$ vê uma mosca a $1\,\mathrm{m}$ acima da superfície? (d) Por que uma piscina parece ainda mais rasa quando vista obliquamente?

Solução

Solução de Exercício 18.9.

(a) A pequenos ângulos: $\tan i \approx n\tan r$ , e os raios parecem vir de $h/n$ . (b) $0.90\,\mathrm{m}$ ; o caminho óptico vale $n \times 1.2 = 1.6\,\mathrm{m}$ , $0.4\,\mathrm{m}$ a mais. (c) $n \times 1 = 1.33\,\mathrm{m}$ . (d) A grandes ângulos a refração é mais forte e a profundidade aparente é menor.

Exercício 18.10 ★★★

Contraste e coerência. Duas cópias de uma onda com diferença de caminho $\delta$ são superpostas; o espectro da fonte se espalha uniformemente em $[\nu_0 - \Delta\nu/2, \nu_0 + \Delta\nu/2]$ , e cada frequência interfere apenas consigo mesma. (a) Intensidade devida a uma frequência: $2I_0 [1 + \cos(2\pi\nu\delta/c)]$ . (b) Integre na banda e mostre que o total vale $2I_0[1 + \operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)\cos(2\pi\nu_0\delta/c)]$ com $\operatorname{sinc}x = \sin x/x$ . (c) Defina o contraste $V = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ das franjas perto de $\delta$ e mostre que $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)|$ : ele se anula em $\delta = c/\Delta\nu = \ell_c$ . (d) Números para um LED ( $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ a $630\,\mathrm{nm}$ ): o $\delta$ em que o contraste se anula pela primeira vez.

Solução

Solução de Exercício 18.10.

(a) Duas ondas iguais com diferença de fase $2\pi\nu\delta/c$ . (b) Média na banda:

\frac1{\Delta\nu}\int\cos\frac{2\pi\nu\delta}c\,\dd\nu = \cos\frac{2\pi\nu_0\delta}c\,\operatorname{sinc}\frac{\pi\Delta\nu\,\delta}c .

(c) $I_{\max, \min} = 2I_0(1 \pm |\operatorname{sinc}|)$ : $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\delta/c)|$ , nulo em $\delta = c/\Delta\nu$ . (d) $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 1.9 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ : $\delta = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercício 18.11 ★★★

Ver estrelas. O olho detecta um lampejo quando cerca de $10$ fótons alcançam um bastonete em $0.1\,\mathrm{s}$ ; a pupila adaptada ao escuro tem $7\,\mathrm{mm}$ ; tome $500\,\mathrm{nm}$ . (a) Fluxo de fótons mínimo e irradiância no olho. (b) O Sol dá $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; uma estrela de magnitude $m$ dá $10^{-0.4(m + 26.7)}$ disso: irradiância de uma estrela de magnitude 6 (o limite a olho nu) e a taxa de fótons que entra na pupila; é coerente com (a)? (c) Um telescópio de $200\,\mathrm{mm}$ de abertura: ganho em fótons e a magnitude que ele alcança. (d) Por que os astrônomos falam do "ruído de fótons" de uma imagem fraca, e como ele escala com o tempo de exposição?

Solução

Solução de Exercício 18.11.

(a) $100$ fótons por segundo em $38\,\mathrm{mm}^{2}$ : $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\times4 \times 10^{-19}$ J: $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $10^{-13.1} \times 1000 = 8 \times 10^{-11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $2 \times 10^8$ fótons por metro quadrado e por segundo, $8000$ por segundo na pupila — bem acima de (a): o limite real do olho é fixado pelo fundo e pelo espalhamento sobre muitos bastonetes. (c) $(200/7)^2 = 800$ , $+7.3$ magnitudes: $m \approx 13$ . (d) $N$ fótons flutuam de $\sqrt N$ : a relação sinal-ruído cresce com a raiz quadrada da exposição.

Exercício 18.12 ★★★

Além do paraxial. Uma onda esférica vinda de um ponto à distância $d$ tem, à distância transversal $r$ , o caminho extra exato $\sqrt{d^2 + r^2} - d$ . (a) Expanda até a quarta ordem: $r^2/2d - r^4/8d^3$ . (b) O termo quadrático (paraxial) é mantido e o quártico descartado quando este fica abaixo de $\lambda/4$ : mostre que isso exige $r^4 < 2\lambda d^3$ . (c) Números: $d = 1\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : $r$ máximo; $d = 1\,\mathrm{cm}$ (um microscópio): $r$ máximo e o ângulo correspondente. (d) Comente: as "aberrações" da óptica geométrica são esses termos desprezados.

Solução

Solução de Exercício 18.12.

(a) $d(1 + r^2/2d^2 - r^4/8d^4 + \dots) - d$ . (b) $r^4/8d^3 < \lambda/4$ . (c) $r < (2\lambda d^3)^{1/4}$ : $3.2\,\mathrm{cm}$ para $1\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ para $1\,\mathrm{cm}$ , um ângulo de $0.1\,\mathrm{rad}$ . (d) A aberração esférica é esse termo quártico; as demais aberrações são suas primas fora do eixo.

Lâmpadas de sódio de baixa pressão na neblina: uma única linha amarela, um comprimento de coerência de centímetros — a fonte clássica do laboratório de óptica, e das ruas antigas.

18.5 Problema: Uma lâmpada de sódio e um ponteiro laser

Problema 18.1

Problema de fim de semana — duas fontes de luz desmontadas: a lâmpada amarela da rua antiga, o ponteiro vermelho do auditório e o único número que decide se cada uma pode fazer franjas

Parte I — A lâmpada de sódio. O sódio emite seu dubleto amarelo em $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ e $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ . A largura natural de cada linha vale $\Delta\nu_{\text{nat}} = 10\,\mathrm{MHz}$ ; na lâmpada os átomos estão a $500\,\mathrm{K}$ (massa do sódio $23\,\mathrm{u}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $u = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

Frequências das duas linhas e sua diferença.
Comprimento de coerência de uma única linha se só sua largura natural contasse.
Alargamento Doppler: um átomo que se move a $v$ ao longo da linha de visada emite em $\nu(1 + v/c)$ ; com a celeridade térmica eficaz $\sqrt{k_BT /m}$ segundo um eixo, estime $\Delta\nu_D$ e compare com a largura natural.
Comprimento de coerência de uma linha alargada por Doppler; numa lâmpada real de alta pressão as colisões alargam a linha mais dez vezes: comprimento de coerência então.
As duas linhas juntas: em que diferença de caminho seus sistemas de franjas vão da coincidência à oposição e de volta (o "comprimento de batimento" $\lambda^2/\Delta\lambda$ )? A quantas franjas isso corresponde?
Um estudante monta um interferômetro de dois feixes com a lâmpada e aumenta a diferença de caminho a partir de zero: descreva o contraste observado — os batimentos e a extinção final — com os números encontrados.
A lâmpada irradia $1\,\mathrm{W}$ de luz amarela: fótons por segundo; energia de um fóton em eV, e por que a luz é amarela.
Duas lâmpadas de sódio lado a lado: suas luzes podem interferir? Por que a pergunta é diferente para as duas linhas de uma mesma lâmpada?

Parte II — O ponteiro laser. Um laser de diodo vermelho de $1\,\mathrm{mW}$ a $650\,\mathrm{nm}$ emite, quando barato, vários modos longitudinais espalhados por $\Delta\lambda = 0.5\,\mathrm{nm}$ ; um estabilizado monomodo tem $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ .

Comprimentos de coerência dos dois ponteiros.
Fótons emitidos por segundo; espaçamento médio entre fótons ao longo do feixe (em metros); compare com o comprimento de coerência — o que isso diz sobre "fótons interferindo"?
Converta o espalhamento de $0.5\,\mathrm{nm}$ numa largura em frequência; a cavidade do diodo tem $1\,\mathrm{mm}$ de comprimento, com $n = 3.5$ : espaçamento de seus modos longitudinais ( $c/2nL$ ) e o número de modos no espalhamento.
O feixe ( $1\,\mathrm{mm}$ de diâmetro) incide num fotodiodo em que cada fóton dá um elétron: corrente.
O ponteiro barato é usado num interferômetro de dois feixes com $2\,\mathrm{mm}$ de diferença de caminho: há franjas? E o estabilizado com $10\,\mathrm{m}$ ?
A saída do diodo é, na verdade, ligada e desligada em pulsos de $1\,\mathrm{ns}$ : os pulsos de dois períodos sucessivos podem interferir entre si? O que fixa a coerência aqui, o comprimento do pulso ou a largura de linha?
Por que a luz de um laser parece "granulada" numa parede, e por que a da lâmpada não?
Um LED vermelho a $650\,\mathrm{nm}$ tem $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ : comprimento de coerência; por que alguns projetores preferem LEDs a lasers?

Parte III — Caminhos ópticos e detectores.

Uma lâmina de vidro de $2\,\mathrm{mm}$ ( $n = 1.5$ ) é inserida num braço do interferômetro: caminho óptico adicional e o número de franjas que desfilam por uma marca.
A lâmina é inclinada de $10{}^{\circ}$ : caminho adicional (use $e/\cos r$ para o comprimento no vidro, menos o ar que ele substitui, em primeira aproximação $e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)$ — ou simplesmente estime com o caminho geométrico mais longo); ordem de grandeza do deslocamento de franjas.
O detector é uma câmera de pixels de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; as franjas estão a $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ umas das outras: quantos pixels por franja, e o que acontece com o contraste medido se o espaçamento cair para $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Exposição de $10\,\mathrm{ms}$ a $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ num pixel: fótons por pixel; ruído fotônico relativo.
Duas ondas coerentes iguais de intensidade $I_0$ se encontram com diferença de caminho $\delta$ : escreva a intensidade $I(\delta)$ e o período das franjas em $\delta$ .
As franjas desfilam por um ponto a $1\,\mathrm{kHz}$ (um espelho que vibra): o que o olho vê, e o que o fotodiodo vê?
Os braços do interferômetro atravessam $10\,\mathrm{m}$ de ar ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ): caminho óptico em excesso em relação ao vácuo, em franjas; o que uma variação de $1\,\%$ da pressão do ar faz com o padrão.
A lâmpada e o ponteiro dão o mesmo $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ : qual deles dá mais fótons por segundo, e por que isso não importa para as franjas?
Faça o balanço: para cada fonte, o comprimento de coerência, o que o limita e a diferença de caminho que ele permite no interferômetro.

Solução

Solução de Problema 18.1.

1. $\nu_1 = 5.0934 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\nu_2 = 5.0882 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : $\Delta\nu = 5.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $c/\Delta\nu_{\text{nat}} = 30\,\mathrm{m}$ .

3. $\sqrt{k_BT/m} = 425\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Delta\nu_D \approx 2\nu v/c \approx 1.4\,\mathrm{GHz}$ , cem vezes a largura natural.

4. $c/\Delta\nu_D \approx 20\,\mathrm{cm}$ ; com colisões, cerca de $2\,\mathrm{cm}$ .

5. $\lambda^2/\Delta\lambda = 589^2/0.6$ nm $= 0.58\,\mathrm{mm}$ : da coincidência à oposição a cada $0.29\,\mathrm{mm}$ ; cerca de $1000$ franjas por batimento.

6. O contraste oscila com período de $0.58\,\mathrm{mm}$ em diferença de caminho (nulo em $0.29$ , $0.87$ , $1.45\,\mathrm{mm}$ , …) dentro de uma envoltória que se apaga em alguns centímetros: uns cinquenta batimentos, e depois nada.

7. $3 \times 10^{18}\,$ fótons por segundo; $2.1\,\mathrm{eV}$ , o amarelo do espectro.

8. Não: átomos independentes, fases aleatórias. As duas linhas de uma lâmpada também vêm de átomos diferentes e não interferem uma com a outra: os batimentos são dois sistemas de franjas somados em intensidade.

9. $\lambda^2/\Delta\lambda = 0.85\,\mathrm{mm}$ ; $c/\Delta\nu = 300\,\mathrm{m}$ .

10. $3.3 \times 10^{15}\,$ por segundo, espaçados de $c/N = 90\,\mathrm{nm}$ ao longo do feixe: dez mil fótons dentro de um comprimento de coerência. A interferência não é fótons se encontrando: cada fóton interfere consigo mesmo.

11. $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 360\,\mathrm{GHz}$ ; espaçamento dos modos $c/2nL = 43\,\mathrm{GHz}$ : cerca de oito modos.

12. $e \times 3.3 \times 10^{15} = 0.5\,\mathrm{mA}$ .

13. $2\,\mathrm{mm}$ $>$ $0.85\,\mathrm{mm}$ : sem franjas; $10\,\mathrm{m}$ $<$ $300\,\mathrm{m}$ : com franjas.

14. Um pulso de um nanossegundo tem $30\,\mathrm{cm}$ , bem mais que o comprimento de coerência de $0.85\,\mathrm{mm}$ : é a largura de linha, e não o pulso, que fixa a coerência; pulsos sucessivos só interfeririam se a fase do laser sobrevivesse ao período desligado — e ela não sobrevive.

15. A luz coerente espalhada pela parede rugosa interfere na retina com diferenças de caminho aleatórias: é o granulado. A coerência micrométrica da lâmpada dilui tudo isso.

16. $\lambda^2/\Delta\lambda = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ : curto demais para granulado numa parede rugosa — sem granulado, uma imagem mais lisa.

17. $(n - 1)e = 1\,\mathrm{mm}$ : $1540$ franjas.

18. $r = 6.65{}^{\circ}$ ; caminho adicional $\approx e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r) = 3.021 - 2.010 = 1.011\,\mathrm{mm}$ , $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ a mais que sem inclinação: umas vinte franjas a mais.

19. Cinco pixels por franja; com um pixel por franja o pixel integra um período inteiro e o contraste desaba.

20. $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}$ no pixel $\times$ $10\,\mathrm{ms}$ $= 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ : $3 \times 10^4$ fótons, ruído de $0.6\%$ .

21. $I = 2I_0[1 + \cos(2\pi\delta/\lambda)]$ : uma franja por comprimento de onda de diferença de caminho.

22. O olho faz média do movimento em quilohertz e vê um campo uniforme; o fotodiodo o acompanha.

23. $(n - 1) \times 10 = 2.9\,\mathrm{mm}$ : $4500$ franjas; uma variação de $1\%$ da pressão as desloca de $45$ franjas — o interferômetro é um barômetro, a menos que se faça vácuo nele.

24. Quase a mesma taxa de fótons ( $2.1\,\mathrm{eV}$ contra $1.9\,\mathrm{eV}$ ); as franjas dependem das amplitudes e das fases, e a contagem de fótons só do ruído.

25. Lâmpada: centímetros, limitada pelos alargamentos Doppler e por colisões, com franjas até cerca de $1\,\mathrm{cm}$ ; ponteiro barato: $0.85\,\mathrm{mm}$ , limitado por seus vários modos; laser estabilizado: $300\,\mathrm{m}$ , limitado por sua largura de linha.

Termos definidos neste capítulo

Ver todos os 393 termos do glossário