Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

7Ondas sonoras em fluidos

Conte os segundos entre o clarão e o trovão e divida por três: essa é a distância em quilômetros. O som atravessa o ar a um terço de quilômetro por segundo, a água a um quilômetro e meio, e um aparelho de ultrassom cronometra os ecos de dentro do corpo com precisão de um milionésimo de segundo para desenhar sua imagem. Este capítulo aplica a mecânica dos fluidos dos Capítulos 3 e 2 a um fluido em repouso perturbado por uma pequena ondulação de pressão, e reencontra a equação de d’Alembert: a velocidade do som, o que carrega a energia, o que quer dizer alto, como o som se espalha no espaço e por que uma sirene muda de altura ao passar.

7.1 A aproximação acústica

Definição 7.1 (Perturbação acústica)

Um fluido em repouso, de pressão uniforme $P_0$ e massa específica $\rho_0$ , é perturbado: $P = P_0 + p(M, t)$ , $\rho = \rho_0 + \rho_1(M, t)$ , velocidade $\vect v(M, t)$ . A aproximação acústica guarda apenas a primeira ordem nas pequenas grandezas $p$ (a sobrepressão, ou pressão acústica), $\rho_1$ e $\vect v$ : $|p| \ll P_0$ , $|\rho_1| \ll \rho_0$ , $v \ll c$ , e a transformação sofrida por cada partícula de fluido é tão rápida que ela não troca calor: é isentrópica, com a compressibilidade $\chi_S = \frac1\rho\bigl(\frac{\partial\rho}{\partial P}\bigr)_S$ . A gravidade é desprezada.

Teorema 7.2 (Ondas sonoras)

Em primeira ordem, a equação de Euler, a conservação da massa e a lei isentrópica dizem

\rho_0\frac{\partial\vect v}{\partial t} = -\operatorname{\vect{grad}}p , \qquad \frac{\partial\rho_1}{\partial t} + \rho_0\operatorname{div}\vect v = 0 , \qquad \rho_1 = \rho_0\chi_Sp ,

e juntas elas dão a equação de onda para a sobrepressão,

\Delta p = \frac1{c^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\rho_0\chi_S}} ,

(a mesma para $\rho_1$ e para $\vect v$ ). Para um gás perfeito, $\chi_S = 1/\gamma P_0$ e

c = \sqrt{\frac{\gamma P_0}{\rho_0}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}} :

$343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , subindo $0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por kelvin; $1000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no hélio; $1480\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água ( $\chi_S = 4.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ).

Demonstração. Euler: o termo convectivo $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v$ é de segunda ordem, $\rho\,\partial_t\vect v \approx \rho_0\,\partial_t\vect v$ , e $\operatorname{\vect{grad}}P = \operatorname{\vect{grad}}p$ . Massa: $\partial_t\rho + \operatorname{div}(\rho\vect v) \approx \partial_t\rho_1 + \rho_0\operatorname{div}\vect v$ . Lei isentrópica: $\dd\rho = \rho\chi_S\,\dd P$ em primeira ordem. Tome o divergente da primeira equação e a derivada temporal da segunda: $\rho_0\partial_t\operatorname{div}\vect v = -\Delta p = -\partial_t^2\rho_1 = -\rho_0\chi_S \partial_t^2p$ . Para o gás perfeito, $PV^\gamma$ constante ao longo de uma transformação isentrópica dá $\dd\rho/\rho = \dd P/\gamma P$ , donde $\chi_S = 1/\gamma P$ , e $P_0/\rho_0 = RT/M$ . ∎

Observação 7.3 (Por que isentrópica)

Newton calculou a velocidade do som com a compressibilidade isotérmica, $\sqrt{P_0/\rho_0} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $15\%$ baixa demais; Laplace percebeu que as compressões são rápidas demais para que o calor flua entre as cristas quentes e os vales frios — ao longo de um período o calor difunde alguns micrômetros (Capítulo 25), nada em comparação com um comprimento de onda — de modo que a transformação é adiabática e reversível, e $\gamma$ aparece. A velocidade do som é assim uma medida direta de $\gamma$ : $1.40$ para o ar, $1.67$ para o argônio.

À esquerda: uma fatia de fluido deslocada de (x, t) e empurrada pelas pressões em suas faces; sua compressão fixa a sobrepressão. À direita: uma onda sonora plana — zonas alternadas de compressão e rarefação que se movem a c, com o próprio fluido oscilando para a frente e para trás segundo a direção de propagação (uma onda longitudinal). — À esquerda: uma fatia de fluido deslocada de $\xi(x, t)$ e empurrada pelas pressões em suas faces; sua compressão fixa a sobrepressão. À direita: uma onda sonora plana — zonas alternadas de compressão e rarefação que se movem a $c$ , com o próprio fluido oscilando para a frente e para trás segundo a direção de propagação (uma onda longitudinal).

7.2 Ondas planas, impedância, intensidade

Proposição 7.4 (Onda sonora plana progressiva)

Para uma onda plana $p = f(x - ct)$ que viaja rumo a $+x$ , a velocidade do fluido é segundo $x$ , em fase com a sobrepressão, e

p = Z\,v , \qquad Z = \rho_0c = \sqrt{\rho_0/\chi_S} ,

onde $Z$ é a impedância acústica do meio ( $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ): $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ para o ar, $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ para a água, $\sim1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ para o tecido mole, $4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ para o aço. A onda transporta a densidade de energia e a intensidade (potência por unidade de área, rumo a $+x$ )

e = \tfrac12\rho_0v^2 + \tfrac12\chi_Sp^2 , \qquad I = p\,v ,

que obedecem a $\partial_te + \partial_xI = 0$ ; para a onda progressiva as duas metades de $e$ são iguais e $I = p^2/Z = Zv^2$ . Uma onda senoidal de amplitude de pressão $p_m$ tem intensidade média $\langle I\rangle = p_m^2/2Z$ .

Demonstração. Para $p = f(x - ct)$ , $\rho_0\partial_tv = -\partial_xp = f'/c\cdot c\dots$ : mais precisamente, $\rho_0\partial_tv = -f'(x - ct)$ , e $v = f(x - ct)/\rho_0c$ a satisfaz. O termo potencial de $e$ é o trabalho armazenado ao comprimir o fluido (uma compressão isentrópica de volume unitário por $\dd V/V = -\chi_S\,\dd p$ armazena $\int p\,\chi_S\dd p = \tfrac12\chi_Sp^2$ ); $I$ é a taxa de trabalho da força de pressão $pS$ sobre o fluido à frente, que se move a $v$ , por unidade de área. Balanço: $\partial_te = \rho_0v\partial_tv + \chi_Sp\partial_tp = -v\partial_xp - p\partial_xv = -\partial_x(pv)$ pelas duas equações linearizadas. ∎

Definição 7.5 (Nível sonoro)

O nível sonoro de uma onda de intensidade média $I$ vale

L = 10\log_{10}\frac I{I_0} \ \text{dB} , \qquad I_0 = 1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

— o limiar de audição a $1\,\mathrm{kHz}$ , correspondente no ar à amplitude de pressão $p_0 \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ (eficaz) $= 2 \times 10^{-10}$ atmosferas. Dobrar a intensidade acrescenta $3\,\mathrm{dB}$ ; dez vezes, $10\,\mathrm{dB}$ ; cem vezes a amplitude de pressão, $40\,\mathrm{dB}$ . Quarto silencioso, $30\,\mathrm{dB}$ ; conversa, $60\,\mathrm{dB}$ ; rua movimentada, $80\,\mathrm{dB}$ ; show de rock, $110\,\mathrm{dB}$ ; dor, $120\,\mathrm{dB}$ ( $I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $p_m = 29\,\mathrm{Pa}$ ).

Exemplo 7.6 (Quão pequeno é um som)

No limiar, a $1\,\mathrm{kHz}$ : $p_m = 2.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ , $v_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , e a amplitude de deslocamento $\xi_m = v_m/\omega = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ — um décimo de diâmetro atômico: o tímpano detecta movimentos menores que um átomo. A $120\,\mathrm{dB}$ , $\xi_m = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ , ainda invisível, e $p_m/P_0 = 3 \times 10^{-4}$ : mesmo os sons mais altos são perturbações minúsculas, e é por isso que a teoria linear funciona tão bem.

À esquerda: numa onda sonora plana progressiva a sobrepressão e a velocidade do fluido estão em fase, e o deslocamento se atrasa de um quarto de período. À direita: a escala de decibéis — cada degrau de 20\, dB multiplica a intensidade por cem e a amplitude de pressão por dez. — À esquerda: numa onda sonora plana progressiva a sobrepressão e a velocidade do fluido estão em fase, e o deslocamento se atrasa de um quarto de período. À direita: a escala de decibéis — cada degrau de $20\,\mathrm{dB}$ multiplica a intensidade por cem e a amplitude de pressão por dez.

7.3 Ondas esféricas

Proposição 7.7 (Ondas esféricas e a lei do inverso do quadrado)

Uma fonte pequena que irradia igualmente em todas as direções produz a onda esférica

p(r, t) = \frac{A}{r}\,f\Bigl(t - \frac rc\Bigr) ,

cuja amplitude cai como $1/r$ e cuja intensidade cai como $1/r^2$ : para uma fonte de potência acústica $\mathcal P$ , $I = \mathcal P/4\pi r^2$ , ou seja, $-6\,\mathrm{dB}$ cada vez que a distância dobra. Longe da fonte a onda é localmente plana, com $v = p/Z$ radial.

Demonstração. Em coordenadas esféricas, para uma função só de $r$ , $\Delta p = \frac1r\frac{\partial^2(rp)}{\partial r^2}$ (admitido; Capítulo 11), de modo que $u = rp$ obedece à equação de onda unidimensional $\partial_r^2u = \partial_t^2u/c^2$ , donde $u = Af(t - r/c)$ para a onda que sai. A potência que atravessa uma esfera de raio $r$ vale $4\pi r^2I$ , constante se nada for absorvido. ∎

Exemplo 7.8 (Uma sirene, uma conversa)

Uma sirene de $10\,\mathrm{W}$ : $I = 10/4\pi r^2$ , $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ a $1\,\mathrm{m}$ ( $119\,\mathrm{dB}$ , dor), $79\,\mathrm{dB}$ a $100\,\mathrm{m}$ , $59\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{km}$ — ainda audível sobre a cidade. Uma voz irradia cerca de $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ : $60\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{m}$ , e $40\,\mathrm{dB}$ a $10\,\mathrm{m}$ . O ar também absorve som (mais em alta frequência, alguns decibéis por cem metros a $10\,\mathrm{kHz}$ ), e é por isso que o trovão distante ronca grave.

7.4 O efeito Doppler

Teorema 7.9 (Efeito Doppler)

Uma fonte emite na frequência $f$ e se move com celeridade $v_s$ ao longo da reta que a liga a um observador que se move a $v_o$ , ambas as celeridades contadas positivas quando eles se aproximam; o som viaja a $c$ no ar em repouso. O observador recebe a frequência

f' = f\,\frac{c + v_o}{c - v_s} .

Uma fonte em movimento aperta as frentes de onda à sua frente ( $\lambda' = (c - v_s)/f$ ) e as afasta atrás; um observador em movimento encontra as frentes de onda a uma taxa $(c + v_o)/\lambda$ . Para $v_s, v_o \ll c$ ambos dão $\Delta f/f \approx (v_s + v_o)/c$ .

Demonstração. Fonte em movimento: as frentes emitidas em $t$ e em $t + 1/f$ estão separadas por $c/f - v_s/f$ na direção do movimento, de modo que o comprimento de onda à frente é $\lambda' = (c - v_s)/f$ e a frequência recebida por um observador fixo vale $c/\lambda'$ . Observador em movimento: o comprimento de onda é $\lambda = c/f$ , mas as frentes passam com celeridade relativa $c + v_o$ . Combine. ∎

À esquerda: as frentes de onda de uma fonte em movimento se apertam à frente e se afastam atrás — som mais agudo na aproximação, mais grave no afastamento. À direita: uma fonte mais rápida que o som deixa suas frentes para trás; a envoltória delas é o cone de Mach, ouvido no solo como um estrondo.

Exemplo 7.10 (Sirenes, radares e hemácias)

A sirene de uma ambulância a $700\,\mathrm{Hz}$ que passa a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $755\,\mathrm{Hz}$ na aproximação, $651\,\mathrm{Hz}$ no afastamento — uma queda de um sexto de oitava, a familiar oscilação da sirene. Um radar de trânsito mede o mesmo efeito numa onda de rádio de $24\,\mathrm{GHz}$ refletida por um carro (a onda é deslocada duas vezes, na recepção e na reemissão pelo carro): $\Delta f = 2fv/c = 4.8\,\mathrm{kHz}$ a $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Uma sonda de ultrassom a $5\,\mathrm{MHz}$ apontada para uma artéria ouve as hemácias a $\Delta f = 2fv\cos\theta/c \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ para $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $60{}^{\circ}$ : um assobio audível cuja altura é a celeridade do sangue. E as linhas espectrais de uma galáxia que se afasta são deslocadas para o vermelho de $\Delta\lambda/\lambda = v/c$ — a fórmula vale para a luz a baixa velocidade, com a correção relativística além disso.

Observação 7.11 (Supersônico)

Quando $v_s > c$ a fórmula deixa de valer ( $f' < 0$ à frente): nenhum som precede a fonte. As frentes de onda emitidas ao longo do trajeto têm uma envoltória cônica de semiângulo $\theta$ com $\sin\theta = c/v_s$ (o cone de Mach); o salto de pressão carregado pelo cone é o estrondo sônico, que chega a quem escuta no solo apenas depois de o avião ter passado — a Mach $2$ e $10\,\mathrm{km}$ de altitude, $\theta = 30{}^{\circ}$ e o estrondo chega $10\,\text{km}/\tan\theta/v_s \approx 25\,\mathrm{s}$ depois da passagem sobre a cabeça. O estalo de uma bala e a ponta de um chicote são o mesmo cone.

Método 7.12 (Ordens de grandeza em acústica)

Dado um nível sonoro $L$ : $I = I_0\,10^{L/10}$ ; então $p_m = \sqrt{2ZI}$ , $v_m = p_m/Z$ , $\xi_m = v_m/\omega$ ; a potência de uma fonte vale $4\pi r^2I$ se ela irradia em todas as direções (a metade sobre um piso duro, que reflete para um semiespaço). Ir de $r_1$ a $r_2$ muda $L$ de $20\log_{10}(r_1/r_2)$ . Somar $n$ fontes iguais incoerentes acrescenta $10\log_{10}n$ ; duas fontes coerentes em fase num ponto somam $6\,\mathrm{dB}$ .

7.5 Exercícios

Exercício 7.1 ★

Velocidade do som no ar ( $\gamma = 1.40$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $-50{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $10\,\mathrm{km}$ de altitude); no hélio ( $\gamma = 1.67$ , $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) e no dióxido de carbono ( $\gamma = 1.30$ , $M = 44\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Por que a voz fica aguda depois de se respirar hélio?

Solução

Solução de Exercício 7.1.

$c = \sqrt{\gamma RT/M}$ : $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $299\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hélio, $1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; CO $_2$ , $268\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . As pregas vocais vibram na mesma frequência, mas as ressonâncias do trato vocal (que moldam o timbre) escalam com $c$ e sobem por um fator três: a voz soa aguda.

Exercício 7.2 ★

Uma conversa a $60\,\mathrm{dB}$ e $500\,\mathrm{Hz}$ : intensidade, amplitude de pressão, amplitude de velocidade e amplitude de deslocamento no ar ( $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). O mesmo para $120\,\mathrm{dB}$ . Nível de duas pessoas falando ao mesmo tempo; e de cem.

Solução

Solução de Exercício 7.2.

$60\,\mathrm{dB}$ : $I = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $p_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{mPa}$ , $v_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\xi_m = v_m/\omega = 22\,\mathrm{nm}$ . $120\,\mathrm{dB}$ : $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $29\,\mathrm{Pa}$ , $7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $22\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Duas: $63\,\mathrm{dB}$ ; cem: $80\,\mathrm{dB}$ .

Exercício 7.3 ★

Um alto-falante irradia $1.0\,\mathrm{W}$ de som igualmente em todas as direções. Intensidade e nível a $1\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ e $100\,\mathrm{m}$ ; distância em que o nível cai a $60\,\mathrm{dB}$ ; potência necessária para $100\,\mathrm{dB}$ a $30\,\mathrm{m}$ (um show ao ar livre).

Solução

Solução de Exercício 7.3.

$I = 1/4\pi r^2$ : $0.080\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $109\,\mathrm{dB}$ ), $89\,\mathrm{dB}$ , $69\,\mathrm{dB}$ ; $I = 10^{-6}$ em $r = \sqrt{1/4\pi10^{-6}} = 280\,\mathrm{m}$ ; $100\,\mathrm{dB}$ a $30\,\mathrm{m}$ exige $4\pi \times 900 \times 10^{-2} = 110\,\mathrm{W}$ de som.

Exercício 7.4 ★

O trovão é ouvido $4.5\,\mathrm{s}$ depois do clarão: distância. A buzina de um navio ecoa numa falésia depois de $3.0\,\mathrm{s}$ : distância. Sonar: um eco do fundo do mar volta depois de $2.4\,\mathrm{s}$ ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): profundidade. Um eco de ultrassom de $5\,\mathrm{MHz}$ volta depois de $130\,\text{µ}\mathrm{s}$ no tecido ( $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): profundidade.

Solução

Solução de Exercício 7.4.

$4.5 \times 340 = 1.5\,\mathrm{km}$ ; $340 \times 1.5 = 510\,\mathrm{m}$ ; $1500 \times 1.2 = 1.8\,\mathrm{km}$ ; $1540 \times 65 \times 10^{-6} = 10\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 7.5 ★★

A buzina de um trem a $500\,\mathrm{Hz}$ ; $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Frequência ouvida por uma pessoa na plataforma enquanto o trem se aproxima a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , e depois que ele passou. (b) A pessoa está num trem que se move rumo à buzina a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , com a buzina em repouso; depois ambos se movendo um rumo ao outro a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : compare com uma celeridade relativa de $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e um dos corpos em repouso. (c) Frequência ouvida pelo maquinista do trem da buzina no eco de uma parede à frente.

Solução

Solução de Exercício 7.5.

(a) $500 \times 340/300 = 567\,\mathrm{Hz}$ ; $500 \times 340/380 = 447\,\mathrm{Hz}$ . (b) $500 \times 380/340 = 559\,\mathrm{Hz}$ ; os dois: $500 \times 380/300 = 633\,\mathrm{Hz}$ , contra $654\,\mathrm{Hz}$ (só a fonte, a $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ou $618\,\mathrm{Hz}$ (só o observador): é o ar, e não a celeridade relativa, que fixa o resultado. (c) A parede recebe $567\,\mathrm{Hz}$ e a reemite em repouso; o maquinista se aproxima a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $567 \times 380/340 = 633\,\mathrm{Hz}$ .

Exercício 7.6 ★★

Para uma amplitude de pressão de $1.0\,\mathrm{Pa}$ a $1\,\mathrm{kHz}$ , calcule as amplitudes de velocidade e de deslocamento, a intensidade e o nível no ar, na água ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) e no aço ( $4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). Mesma pressão, intensidades muito diferentes: comente. (Os níveis subaquáticos são referidos a $1\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : quanto vale $1\,\mathrm{Pa}$ nessa escala?)

Solução

Solução de Exercício 7.6.

$v_m = p_m/Z$ : $2.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $0.67\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $25\,\mathrm{nm}/\mathrm{s}$ ; $\xi_m = v_m/\omega$ : $390\,\mathrm{nm}$ , $0.11\,\mathrm{nm}$ , $4\,\mathrm{pm}$ ; $I = p_m^2/2Z$ : $1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $91\,\mathrm{dB}$ ), $3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $55\,\mathrm{dB}$ ), $1.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $41\,\mathrm{dB}$ ). Um meio rígido mal se move sob uma dada pressão e transporta pouca potência. $1\,\mathrm{Pa}$ são $120\,\mathrm{dB}$ re $1\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ .

Exercício 7.7 ★★

(a) A celeridade isotérmica de Newton $\sqrt{P_0/\rho_0}$ para o ar a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $\rho_0 = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) e a correção de Laplace. (b) Medidas: $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar, $323\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no argônio ( $M = 40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : deduza $\gamma$ para cada um; interprete com o número de graus de liberdade. (c) Estime a distância que o calor difunde em um período a $1\,\mathrm{kHz}$ (difusividade térmica do ar $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) e compare com o comprimento de onda.

Solução

Solução de Exercício 7.7.

(a) $\sqrt{1.013 \times 10^5/1.2} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\times\sqrt{1.4}$ : $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $\gamma = c^2M/RT$ : $1.40$ para o ar, $1.71$ para o argônio ( $5/3$ dentro do arredondamento): três graus de liberdade de translação ( $\gamma = 1 + 2/3$ ) contra cinco para um gás diatômico ( $1 + 2/5$ ). (c) $\sqrt{D/f} = \sqrt{2 \times 10^{-8}} = 0.14\,\mathrm{mm} \ll \lambda = 34\,\mathrm{cm}$ : nenhum calor flui entre cristas e vales.

Exercício 7.8 ★★

Tubos de órgão. Num tubo a sobrepressão é nula numa extremidade aberta e a velocidade é nula numa extremidade fechada. (a) Ondas estacionárias num tubo aberto nas duas pontas: mostre que os modos são $f_n = nc/2L$ ; num tubo fechado numa ponta, $f_n = (2n - 1)c/4L$ . (b) Comprimentos para um fundamental de $440\,\mathrm{Hz}$ em cada caso. (c) Que harmônicos cada tubo contém? (d) A extremidade aberta real fica cerca de $0.6$ raio além do tubo (correção de extremidade): para um tubo de $4\,\mathrm{cm}$ , a correção em $L$ e em $f$ .

Solução

Solução de Exercício 7.8.

(a) Aberto–aberto: $p = p_m\sin kx\cos\omega t$ com $kL = n\pi$ ; fechado–aberto: $p = p_m\cos kx\cos\omega t$ (nó de velocidade, ventre de pressão na extremidade fechada) com $kL = (2n - 1)\pi/2$ . (b) $L = c/2f = 39\,\mathrm{cm}$ ; $c/4f = 19.5\,\mathrm{cm}$ . (c) Todos os harmônicos; só os ímpares (o som oco da clarineta). (d) $0.6 \times 2 = 1.2\,\mathrm{cm}$ por extremidade aberta: $L_{\text{ef}} = 41.4\,\mathrm{cm}$ , $f = 414\,\mathrm{Hz}$ , $6\%$ grave demais — o tubo deve ser cortado a $36.6\,\mathrm{cm}$ .

Exercício 7.9 ★★

Uma sirene elétrica de $2.0\,\mathrm{kW}$ converte $20\%$ de sua potência em som irradiado num semiespaço (ela fica num telhado). (a) Intensidade, nível e amplitude de pressão a $100\,\mathrm{m}$ . (b) Distância do limiar de dor ( $120\,\mathrm{dB}$ ); e da curva de $70\,\mathrm{dB}$ , onde ela deixa de alarmar. (c) A absorção do ar acrescenta $1\,\mathrm{dB}$ por $100\,\mathrm{m}$ na frequência dela: distância da curva de $70\,\mathrm{dB}$ agora (resolva numericamente). (d) Quantas sirenes dessas cobrem uma cidade de $10\,\mathrm{km}$ de raio?

Solução

Solução de Exercício 7.9.

$\mathcal P = 400\,\mathrm{W}$ , $I = \mathcal P/2\pi r^2$ . (a) $6.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $98\,\mathrm{dB}$ , $p_m = 2.3\,\mathrm{Pa}$ . (b) $r = \sqrt{400/2\pi} = 8\,\mathrm{m}$ ; $70\,\mathrm{dB}$ a $2.5\,\mathrm{km}$ . (c) $98 - 20\log(r/100) - (r - 100)/100 = 70$ : $r \approx 950\,\mathrm{m}$ . (d) $\pi(10)^2/\pi(0.95)^2 \approx 110$ sirenes.

Exercício 7.10 ★★★

Energia de uma onda sonora estacionária. Num tubo fechado de comprimento $L$ a sobrepressão vale $p = p_m\cos(kx)\cos(\omega t)$ , $k = n\pi/L$ . (a) Ache $v(x, t)$ pela equação de Euler linearizada. (b) Densidades de energia cinética e potencial; mostre que elas oscilam em quadratura no tempo e estão defasadas de um quarto de comprimento de onda no espaço. (c) Energia total no tubo (seção $S$ ); verifique que ela é constante. (d) Intensidade média: nula em toda parte — e no entanto a energia se move: descreva como.

Solução

Solução de Exercício 7.10.

(a) $\rho_0\partial_tv = p_mk\sin kx\cos\omega t$ : $v = (p_m/Z)\sin kx\sin\omega t$ . (b) $e_k = \tfrac12\chi_Sp_m^2\sin^2kx\sin^2\omega t$ , $e_p = \tfrac12\chi_Sp_m^2\cos^2kx\cos^2\omega t$ : uma é máxima quando a outra se anula, no tempo e no espaço. (c) $E = S\int_0^L(e_k + e_p)\dd x = \tfrac14\chi_Sp_m^2SL$ , constante. (d) $I = pv = (p_m^2/4Z)\sin2kx\sin2\omega t$ : média nula, mas duas vezes por período a energia flui dos ventres de pressão para os ventres de velocidade e volta.

Exercício 7.11 ★★★

Estrondo sônico. Um avião voa horizontalmente a $v = 1.6\,c$ na altitude $h = 12\,\mathrm{km}$ , com $c = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ali. (a) Deduza o ângulo de Mach da envoltória das frentes de onda esféricas. (b) Tempo entre a passagem sobre a cabeça e o estrondo no solo (despreze a variação de $c$ com a altitude). (c) Largura, no solo, da faixa que ouve o estrondo enquanto o avião passa, se o traço do cone é ouvido dentro de $\pm30\,\mathrm{km}$ da rota: por que o voo supersônico sobre terra é proibido? (d) Uma bala de fuzil a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ângulo de Mach; o que um observador a $10\,\mathrm{m}$ da trajetória ouve, e em que ordem.

Solução

Solução de Exercício 7.11.

(a) A frente emitida em $t = 0$ tem raio $ct$ quando a fonte está a $vt$ de distância: o cone tangente tem $\sin\theta = c/v$ . (b) $\theta = 39{}^{\circ}$ ; o cone alcança o solo sob o avião quando ele já andou $h/\tan\theta = 15\,\mathrm{km}$ adiante: $15000/480 = 31\,\mathrm{s}$ depois da passagem sobre a cabeça. (c) Um tapete de $60\,\mathrm{km}$ de largura ao longo de toda a rota ouve o estrondo. (d) $\sin\theta = 340/800$ , $\theta = 25{}^{\circ}$ ; o estalo do cone chega primeiro, e o estampido da boca do cano, que viaja a $c$ desde a arma, depois.

Exercício 7.12 ★★★

Ultrassom Doppler. Uma sonda emite a $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ no tecido ( $c = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); as hemácias se movem a $v$ ao longo de um vaso que faz o ângulo $\theta$ com o feixe. (a) Frequência recebida por uma hemácia (observador em movimento). (b) Ela reemite (espalha) essa frequência como fonte em movimento: frequência de volta na sonda; mostre que $\Delta f = 2fv\cos\theta/c$ para $v \ll c$ . (c) $\Delta f$ para $v = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\theta = 60{}^{\circ}$ ; e para $\theta = 90{}^{\circ}$ — o que o operador faz? (d) A sonda resolve $50\,\mathrm{Hz}$ : resolução em velocidade. Por que o sinal Doppler é tornado audível, em vez de apenas exibido?

Solução

Solução de Exercício 7.12.

(a) $f_1 = f(c + v\cos\theta)/c$ . (b) $f_2 = f_1c/(c - v\cos\theta) = f(c + v\cos\theta) /(c - v\cos\theta) \approx f(1 + 2v\cos\theta/c)$ . (c) $2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5 \times 0.5/1540 = 1.6\,\mathrm{kHz}$ ; nula a $90{}^{\circ}$ : inclina-se a sonda. (d) $\Delta v = 50 \times 1540/ (2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5) = 1.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . O ouvido acompanha altura e timbre em tempo real: um assobio suave indica escoamento laminar, um chiado indica turbulência depois de um estreitamento.

Um aparelho de ultrassom: alguns megahertz de som, ecos cronometrados e os descasamentos de impedância entre tecidos desenham a imagem; o gel elimina a película de ar que refletiria tudo.

7.6 Problema: Do trovão ao ecógrafo

Problema 7.1

Problema de fim de semana — o som ao ar livre, numa sala de concerto, dentro do corpo e vindo de uma sirene que passa

Ar: $\gamma = 1.40$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $R = 8.31\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ .

Parte I — A tempestade.

Velocidade do som a $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; justifique a regra dos "três segundos por quilômetro".
O trovão chega $4.0\,\mathrm{s}$ depois do clarão: distância da descarga. O trovão dura vários segundos, embora o clarão seja instantâneo: por quê?
Perto da descarga o nível chega a $120\,\mathrm{dB}$ : amplitude de pressão e amplitude de velocidade do ar.
Energia recebida por metro quadrado de parede durante um trovão de $2\,\mathrm{s}$ a $120\,\mathrm{dB}$ .
Numa noite clara o solo esfria e o ar fica mais frio embaixo do que em cima. Os raios sonoros obedecem à lei de Snell entre camadas, $\sin i/c =$ const.: os raios lançados para cima se curvam para baixo ou para cima? Por que os sons distantes são tão bem ouvidos à noite e sobre a água?
De dia é o contrário: quem escuta a $3\,\mathrm{km}$ não ouve nada. Estime o ângulo de que um raio horizontal se curvou depois de $3\,\mathrm{km}$ se $c$ cai $1\,\%$ por $500\,\mathrm{m}$ de altitude (trate a curvatura como uniforme: o raio é um círculo).
O ar absorve as frequências altas muito mais que as baixas: por que o trovão distante ronca e o próximo estala?

Parte II — O concerto. Um alto-falante recebe $100\,\mathrm{W}$ de potência elétrica e converte $2\%$ dela em som, irradiado igualmente no semiespaço à sua frente.

Potência acústica; intensidade e nível a $10\,\mathrm{m}$ .
Amplitude de pressão ali; amplitudes de velocidade e de deslocamento a $100\,\mathrm{Hz}$ .
Nível a $1\,\mathrm{m}$ (é seguro?) e distância em que a música cai a $60\,\mathrm{dB}$ .
Dez alto-falantes idênticos espalhados pelo palco, fora de fase: nível a $10\,\mathrm{m}$ . Dois alto-falantes alimentados em fase, à mesma distância de um ouvinte no eixo deles: nível ali.
A sala (volume $10\,000\,\mathrm{m}^{3}$ ) tem $2000\,\mathrm{m}^{2}$ de paredes e plateia que absorvem $30\%$ do som que as atinge: estime a energia acústica armazenada na sala em equilíbrio e o tempo de reverberação (tempo para o nível cair $60\,\mathrm{dB}$ depois que a música para), usando o balanço entre a potência emitida e a potência absorvida ( $I_{\text{parede}} \approx ce/4$ para um campo difuso, admitido).

Parte III — O ecógrafo. Tecido mole: $c = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; osso, $Z = 7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; ar, $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Sob incidência normal a amplitude de pressão refletida numa interface vale $r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ vezes a incidente (deduzido em Capítulo 15); o tecido atenua o som cerca de $0.5\,\mathrm{dB}$ por centímetro e por megahertz.

Comprimento de onda no tecido a $3\,\mathrm{MHz}$ , $5\,\mathrm{MHz}$ e $10\,\mathrm{MHz}$ ; o menor detalhe que cada um resolve é de cerca de um comprimento de onda.
Atraso do eco de um órgão a $12\,\mathrm{cm}$ de profundidade; taxa máxima com que os pulsos podem ser enviados sem confundir ecos; tempo para construir uma imagem de $200$ linhas.
Fração da pressão, e da energia, refletida numa interface tecido–ar; numa interface tecido–osso; entre gordura ( $Z = 1.38 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) e músculo ( $1.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). Por que o gel, e por que os ossos projetam sombras?
A $5\,\mathrm{MHz}$ o feixe atravessa $2\,\mathrm{cm}$ de gordura antes de encontrar o músculo: fração da energia emitida que volta à sonda dessa interface (reflexão e atenuação de ida e volta), em decibéis.
Atenuação de ida e volta em decibéis para o órgão da questão 12 em cada uma das três frequências; se o aparelho suporta $80\,\mathrm{dB}$ de perda, que frequências funcionam? Enuncie o compromisso entre resolução e profundidade.
A sonda emite pulsos de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ a $5\,\mathrm{MHz}$ : quantos comprimentos de onda tem um pulso, e como isso limita a resolução em profundidade?
Modo Doppler a $5\,\mathrm{MHz}$ numa artéria a $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , feixe a $60{}^{\circ}$ : desvio; o que o operador ouve.

Parte IV — A sirene.

Uma ambulância passa a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ com uma sirene de $700\,\mathrm{Hz}$ : frequências ouvidas na aproximação e no afastamento; o intervalo entre elas em semitons (um semitom é uma razão $2^{1/12}$ ).
O ouvinte está num carro que anda a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rumo à ambulância que se aproxima: frequência ouvida.
Em que instante alguém na calçada ouve exatamente $700\,\mathrm{Hz}$ ?
As frentes de onda da ambulância à frente dela: comprimento de onda; celeridade do som em relação à ambulância, à frente e atrás.
Um radar de $24\,\mathrm{GHz}$ lê um desvio de $3.2\,\mathrm{kHz}$ de um carro: celeridade do carro (a onda é deslocada duas vezes).
Faça o balanço: as seis celeridades deste problema (som no ar, no tecido, a ambulância, o carro, as hemácias, a luz) e a única fórmula que dá conta de todas.

Solução

Solução de Problema 7.1.

1. $c = \sqrt{1.4 \times 8.31 \times 288/0.029} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ . $1\,\mathrm{km}$ em $2.9\,\mathrm{s}$ .

2. $1.4\,\mathrm{km}$ . O canal do raio tem quilômetros de comprimento; o som de suas diferentes partes chega ao longo de segundos, com ecos nas nuvens e no solo.

3. $I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $p_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{Pa}$ , $v_m = 7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ .

4. $It = 2\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ .

5. $c$ cresce para cima; com $\sin i/c$ constante, $i$ cresce, de modo que o raio se curva rumo à horizontal e depois para baixo: o som é canalizado junto ao solo e vai longe. Sobre a água o ar de baixo é resfriado pela água: o mesmo.

6. Os raios se curvam para cima, deixando uma zona de sombra. Raio de curvatura $R = c/(\dd c/\dd z) = 50\,\mathrm{km}$ : depois de $3\,\mathrm{km}$ o raio girou $3/50 = 0.06\,\mathrm{rad} = 3.4{}^{\circ}$ e subiu $90\,\mathrm{m}$ : quem escuta está abaixo dele.

7. A absorção cresce como $f^2$ : as frequências altas do estalo somem depois de alguns quilômetros, e resta o ronco grave.

8. $\mathcal P = 2\,\mathrm{W}$ ; $I = 2/2\pi r^2 = 3.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ a $10\,\mathrm{m}$ : $95\,\mathrm{dB}$ .

9. $p_m = \sqrt{2 \times 410 \times 3.2 \times 10^{-3}} = 1.6\,\mathrm{Pa}$ ; $v_m = 3.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\xi_m = v_m/2\pi f = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

10. $+20\,\mathrm{dB}$ : $115\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{m}$ — nocivo em poucos minutos. $60\,\mathrm{dB}$ : $r = \sqrt{2/2\pi10^{-6}} = 560\,\mathrm{m}$ .

11. Dez incoerentes: $+10\,\mathrm{dB}$ , $105\,\mathrm{dB}$ . Dois em fase: a pressão dobra, $+6\,\mathrm{dB}$ , $101\,\mathrm{dB}$ .

12. Balanço $\mathcal P = \alpha A\,ce/4$ : $e = 8/(0.3 \times 2000 \times 340) = 3.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $E = eV = 0.4\,\mathrm{J}$ . Depois da parada, $\dd E/\dd t = -(\alpha Ac /4V)E$ : $\tau = 4V/\alpha Ac = 0.20\,\mathrm{s}$ , e $60\,\mathrm{dB}$ levam $\tau\ln10^6 = 2.7\,\mathrm{s}$ (tempo de reverberação de Sabine).

13. $\lambda = c/f$ : $0.51\,\mathrm{mm}$ , $0.31\,\mathrm{mm}$ , $0.15\,\mathrm{mm}$ .

14. $2 \times 0.12/1540 = 156\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $6.4\,\mathrm{kHz}$ ; $200$ linhas em $31\,\mathrm{ms}$ (trinta imagens por segundo).

15. Tecido–ar: $r = -0.9995$ , $99.9\%$ da energia refletida — daí o gel, que elimina a película de ar. Tecido–osso: $r = 0.63$ , $40\%$ da energia; o resto é absorvido pelo osso, que projeta uma sombra. Gordura–músculo: $r = 0.10$ , $1\%$ da energia: os ecos fracos de que a imagem é feita.

16. Fração refletida $1.1\%$ ( $-20\,\mathrm{dB}$ ); ida e volta de $4\,\mathrm{cm}$ a $5\,\mathrm{MHz}$ : $-10\,\mathrm{dB}$ ; ao todo $-30\,\mathrm{dB}$ , um milésimo.

17. Ida e volta de $24\,\mathrm{cm}$ : $36\,\mathrm{dB}$ , $60\,\mathrm{dB}$ , $120\,\mathrm{dB}$ : $3\,\mathrm{MHz}$ e $5\,\mathrm{MHz}$ funcionam, $10\,\mathrm{MHz}$ não — os órgãos profundos são vistos em baixa frequência, com resolução grosseira, e os superficiais em alta frequência, com finura.

18. Cinco comprimentos de onda, $1.5\,\mathrm{mm}$ de comprimento: duas interfaces mais próximas que cerca de $0.8\,\mathrm{mm}$ (meio pulso) dão ecos superpostos.

19. $2 \times 5 \times 10^6 \times 0.4 \times 0.5/1540 = 1.3\,\mathrm{kHz}$ : um assobio cuja altura sobe e desce a cada batimento cardíaco.

20. $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $700 \times 340/315 = 756\,\mathrm{Hz}$ , $700 \times 340/365 = 652\,\mathrm{Hz}$ ; razão $1.16$ , $12\log_21.16 = 2.6$ semitons.

21. $700 \times 355/315 = 789\,\mathrm{Hz}$ .

22. No ponto de maior aproximação, quando a velocidade da ambulância é perpendicular à linha de visada (a rigor, quando o som que chega agora foi emitido nesse ponto).

23. $\lambda' = (340 - 25)/700 = 0.45\,\mathrm{m}$ (contra $0.49\,\mathrm{m}$ ); o som se afasta da ambulância a $315\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à frente e a $365\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ atrás.

24. $v = c\,\Delta f/2f = 3 \times 10^8 \times 3200/4.8 \times 10^{10} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

25. $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $f' = f(c + v_o)/(c - v_s)$ , aplicada uma ou duas vezes, e para a luz a baixa velocidade.

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