Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

26Radiação térmica

Tudo o que é morno brilha. Uma mão, uma parede, um copo de água à temperatura ambiente irradiam invisivelmente, em comprimentos de onda perto de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , algumas centenas de watts por metro quadrado; aqueça um atiçador e a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ele brilha em vermelho-escuro, a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em laranja, a $2500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — o filamento de uma lâmpada — em branco; a superfície do Sol a $5800\,\mathrm{K}$ irradia em branco-amarelado, sessenta megawatts por metro quadrado, e essa luz, após oito minutos de viagem, é o que mantém a Terra a uma temperatura em que a água é líquida. A radiação é o terceiro modo de transferência de calor e o único que atravessa o espaço vazio; é também o lugar em que a física clássica falhou e Planck, em 1900, teve de introduzir o quantum. Este capítulo enuncia a lei que ele encontrou, dela extrai os dois resultados que se usam a toda hora — o deslocamento de Wien e a lei de Stefan–Boltzmann — e aplica-os às trocas entre corpos, ao Sol e à Terra, e ao modelo de uma camada do efeito estufa que fixa nosso clima.

Aço na forja: a cor do brilho — vermelho-escuro, laranja, amarelo, branco — é um termômetro, porque o espectro da radiação térmica depende somente da temperatura.

26.1 A radiação térmica e o corpo negro

Definição 26.1 (Radiação térmica, absortividade, corpo negro)

Todo corpo à temperatura $T$ emite radiação eletromagnética a partir da agitação térmica de suas cargas: sua radiação térmica. Sua superfície também recebe radiação do ambiente e absorve uma fração $\alpha$ dela (a absortividade, entre $0$ e $1$ , em geral dependente do comprimento de onda), refletindo ou transmitindo o resto. Um corpo negro absorve tudo ( $\alpha = 1$ em todo comprimento de onda). Um pequeno furo na parede de uma cavidade fechada é o corpo negro prático: a radiação que entra é absorvida pelas paredes antes de conseguir achar a saída.

Proposição 26.2 (Radiação de equilíbrio e lei de Kirchhoff)

Dentro de uma cavidade fechada cujas paredes estão a $T$ , a radiação está em equilíbrio com as paredes e é universal: isotrópica, não polarizada, com uma densidade espectral de energia $u_\nu(T)$ (energia por unidade de volume e de frequência) que depende apenas de $T$ e $\nu$ , e não do material ou da forma da cavidade. A radiação que sai de um pequeno furo numa cavidade dessas é a radiação de corpo negro a $T$ . Uma superfície que absorve a fração $\alpha_\nu$ da radiação que recebe na frequência $\nu$ emite, nessa frequência, a fração $\varepsilon_\nu = \alpha_\nu$ do que um corpo negro à mesma temperatura emitiria (sua emissividade): bons absorvedores são bons emissores.

Demonstração. Universalidade: ligue duas cavidades à mesma $T$ por um furo com um filtro que deixe passar uma única frequência; se as densidades diferissem, a energia fluiria de uma para a outra a temperaturas iguais, violando a segunda lei. Kirchhoff: coloque a superfície na cavidade à sua própria $T$ ; em equilíbrio ela deve emitir em cada frequência exatamente o que absorve, $\varepsilon_\nu u_\nu = \alpha_\nu u_\nu$ . ∎

26.2 A lei de Planck

Teorema 26.3 (Lei de Planck)

A densidade espectral de energia da radiação de corpo negro à temperatura $T$ vale

u_\nu(T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1},

e a potência irradiada por uma superfície negra por unidade de área e por unidade de comprimento de onda (sua exitância espectral) vale

M_\lambda(T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\eu^{hc/\lambda k_BT} - 1}.

Dois limites: para $h\nu \ll k_BT$ , $u_\nu \approx 8\pi\nu^2 k_BT/c^3$ (Rayleigh–Jeans: cada modo da cavidade carrega a energia clássica $k_BT$ — uma lei cuja integral diverge, a “catástrofe ultravioleta”); para $h\nu \gg k_BT$ , $u_\nu \approx (8\pi h\nu^3/c^3) \eu^{-h\nu/k_BT}$ (Wien: o fator de Boltzmann de um fóton de energia $h\nu$ , Capítulo 29).

Demonstração. Admitida: a contagem dos modos da cavidade ( $8\pi\nu^2/c^3$ por unidade de volume e de frequência, duas polarizações) pertence ao volume do terceiro ano, e a energia média de um modo, $h\nu/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ em vez do clássico $k_BT$ , é a hipótese quântica: a energia é trocada com o modo em quanta $h\nu$ , de modo que os modos com $h\nu \gg k_BT$ ficam congelados. A relação $M_\lambda\,\dd\lambda = (c/4)\,u_\nu\,\dd\nu$ é o fator geométrico calculado no Teorema 26.5. ∎

O espectro de Planck a três temperaturas: o pico se desloca para comprimentos de onda menores como 1/T (Wien) e a área cresce como T4 (Stefan). Só a curva mais quente põe boa parte de sua potência na banda visível. — O espectro de Planck a três temperaturas: o pico se desloca para comprimentos de onda menores como $1/T$ (Wien) e a área cresce como $T^4$ (Stefan). Só a curva mais quente põe boa parte de sua potência na banda visível.

A função de Planck e seus dois limites: a equipartição clássica em baixa frequência e o corte exponencial de Boltzmann em alta frequência; o pico fica em x = 2.82 (por unidade de frequência). — A função de Planck e seus dois limites: a equipartição clássica em baixa frequência e o corte exponencial de Boltzmann em alta frequência; o pico fica em $x = 2.82$ (por unidade de frequência).

Proposição 26.4 (Lei do deslocamento de Wien)

A exitância espectral $M_\lambda$ tem seu máximo em

\lambda_{\max}\,T = \frac{hc}{4.965\,k_B} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} .

Um corpo a $300\,\mathrm{K}$ irradia sobretudo perto de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; o Sol ( $5800\,\mathrm{K}$ ) perto de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , no verde, onde o olho é mais sensível — não por acaso.

Demonstração. Com $x = hc/\lambda k_BT$ , $M_\lambda \propto x^5/(\eu^x - 1)$ ; $\dd/\dd x = 0$ dá $5(\eu^x - 1) = x\eu^x$ , ou seja, $x = 5(1 - \eu^{-x})$ , cuja raiz não nula é $x = 4.965$ . ∎

Teorema 26.5 (Lei de Stefan–Boltzmann)

Uma superfície negra a $T$ irradia, por unidade de área, a potência total

M = \int_0^\infty M_\lambda\,\dd\lambda = \sigma T^4, \qquad \sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4} ;

a densidade de energia da radiação de equilíbrio vale $u = (4\sigma/c)T^4$ e sua pressão $P = u/3$ . Uma superfície cinzenta de emissividade $\varepsilon$ irradia $\varepsilon\sigma T^4$ .

Demonstração. Integre a densidade de Planck: $u = \int u_\nu\,\dd\nu = (8\pi h/c^3)(k_BT/h)^4 \int_0^\infty x^3\,\dd x/(\eu^x - 1)$ e a integral vale $\pi^4/15$ (admitido da análise): $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)\,T^4$ . A potência que sai de um furo de área unitária na parede da cavidade é $cu/4$ : a radiação é isotrópica, os fótons que se dirigem ao furo dentro do ângulo sólido $\dd\Omega$ sob o ângulo $\theta$ em relação à sua normal carregam o fluxo $c\,u\,(\dd\Omega/4\pi)\cos\theta$ , e $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi$ sobre o hemisfério exterior vale $1/4$ . Logo $M = cu/4 = \sigma T^4$ . A pressão, como para todo gás isotrópico de partículas que se movem a $c$ , vale $u/3$ . ∎

Exemplo 26.6 (Ordens de grandeza)

A $300\,\mathrm{K}$ : $\sigma T^4 = 460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — uma pessoa de $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ irradia $800\,\mathrm{W}$ , mas recebe quase outro tanto das paredes a $293\,\mathrm{K}$ ; a perda líquida, $\sigma A(T^4 - T_0^4) \approx 100\,\mathrm{W}$ , é toda a produção metabólica do corpo, razão pela qual são necessárias roupas numa sala que parece amena. A superfície do Sol: $\sigma (5800)^4 = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , total $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ . O filamento de uma lâmpada a $2800\,\mathrm{K}$ : $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $60\,\mathrm{W}$ de meio centímetro quadrado de tungstênio. O fundo cósmico, $2.7\,\mathrm{K}$ : pico em $1\,\mathrm{mm}$ , $3 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , e $400$ fótons por centímetro cúbico do universo.

26.3 Trocas radiativas

Proposição 26.7 (Troca líquida e coeficiente radiativo)

Um pequeno corpo cinzento (emissividade $\varepsilon$ , área $S$ , temperatura $T$ ) dentro de um ambiente amplo a $T_0$ perde a potência líquida

P = \varepsilon\sigma S\,(T^4 - T_0^4) \ \approx\ 4\varepsilon\sigma T_0^3\,S\,(T - T_0) = h_{\text{r}}S(T - T_0) \quad\text{para } |T - T_0| \ll T_0 ,

onde $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ à temperatura ambiente — comparável à convecção natural: numa sala, a radiação leva cerca de metade do calor que sai de um corpo ou de um radiador. Entre duas grandes placas negras paralelas a densidade de fluxo líquida vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$ ; para placas cinzentas de emissividades $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ ela vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2 - 1)$ , e cada fina blindagem de radiação interposta a divide ainda mais — o princípio da garrafa térmica e da folha de ouro dos satélites.

Demonstração. O corpo emite $\varepsilon\sigma T^4$ e absorve a fração $\alpha = \varepsilon$ da radiação negra $\sigma T_0^4$ que preenche o recinto (Kirchhoff). Linearize $T^4 - T_0^4 \approx 4T_0^3(T - T_0)$ . Para as placas cinzentas, some as múltiplas reflexões (uma série geométrica). ∎

Exemplo 26.8 (Geada sob um céu limpo, e a câmera térmica)

Numa noite limpa o céu irradia como um corpo a cerca de $250\,\mathrm{K}$ (a alta atmosfera seca), enquanto o ar junto ao solo está a $278\,\mathrm{K}$ . Uma folha ou o teto de um carro ( $\varepsilon = 0.95$ ) equilibra sua perda radiativa para o céu contra a convecção vinda do ar ( $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ dá $T \approx 266\,\mathrm{K}$ — geada a $-7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sobre a grama enquanto o termômetro marca $+5$ . Uma nuvem (que irradia a $275\,\mathrm{K}$ ) eleva $T$ a $277\,\mathrm{K}$ : sem geada. Uma câmera térmica mede a radiância perto de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ e a converte em temperatura supondo $\varepsilon \approx 0.95$ ; um metal polido ( $\varepsilon = 0.1$ ) sobretudo reflete a sala e aparece à temperatura da sala, qualquer que seja a sua — daí a fita preta que os termografistas colam nas peças brilhantes.

26.4 O Sol, a Terra e o efeito estufa

Proposição 26.9 (Constante solar e temperatura efetiva)

O Sol (raio $R_\odot$ , temperatura de superfície $T_\odot$ ) entrega à distância $d$ a densidade de fluxo $S = \sigma T_\odot^4 (R_\odot/d)^2 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ acima da atmosfera terrestre (a constante solar). Um planeta de albedo $A$ (a fração refletida) absorve $(1 - A)S\pi R^2$ e, em regime estacionário, a irradia de toda a sua superfície $4\pi R^2$ como um corpo negro à sua temperatura efetiva

T_{\text{e}} = \Big(\frac{(1 - A)S}{4\sigma}\Big)^{1/4} = 255\,\mathrm{K} \quad\text{para a Terra } (A = 0.30) .

Demonstração. Conservação da energia: absorvido $=$ emitido, com a seção de choque $\pi R^2$ para o feixe interceptado e a esfera inteira para a emissão (dia e noite, distribuídos pela rotação e pela circulação). ∎

O efeito estufa de uma camada: a luz do Sol atravessa a atmosfera e aquece o solo; o infravermelho do solo é absorvido pela camada, que irradia metade para cima e metade para baixo — a superfície deve então irradiar o dobro do que recebe do Sol.

Proposição 26.10 (Modelo de efeito estufa de uma camada)

Envolva o planeta com uma fina camada de atmosfera transparente à luz do Sol mas que absorve todo o infravermelho emitido pela superfície e irradia como um corpo negro a $T_{\text{a}}$ tanto para cima como para baixo. Em regime estacionário,

T_{\text{a}} = T_{\text{e}}, \qquad T_{\text{s}} = 2^{1/4}\,T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K} .

Se a camada absorve apenas a fração $\varepsilon$ do infravermelho, $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$ ; os $288\,\mathrm{K}$ observados correspondem a $\varepsilon \approx 0.78$ . A superfície é mais quente que a temperatura efetiva porque recebe, além do Sol, o infravermelho que a atmosfera devolve para baixo — o efeito estufa, de $33\,\mathrm{K}$ na Terra, sem o qual os oceanos estariam congelados.

Demonstração. Balanço da camada: absorve $\sigma T_{\text{s}}^4$ , emite $2\sigma T_{\text{a}}^4$ . Balanço do planeta visto do espaço: emite $\sigma T_{\text{a}}^4 = (1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$ . Balanço da superfície: recebe $(1 - A)S/4 + \sigma T_{\text{a}}^4 = 2\sigma T_{\text{e}}^4$ , emite $\sigma T_{\text{s}}^4$ . Para a camada parcial, substitua o infravermelho absorvido e emitido por $\varepsilon\sigma T_{\text{s}}^4$ e $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4$ e deixe a fração $1 - \varepsilon$ da radiação da superfície escapar diretamente. ∎

Os espectros do Sol e da Terra (cada um normalizado a seu pico) mal se superpõem: a atmosfera pode ser transparente a um e opaca ao outro. Sombreadas: as principais bandas de absorção infravermelha do vapor de água e do dióxido de carbono; entre elas, a janela de 8\,–13\, µ m pela qual a superfície irradia diretamente para o espaço. — Os espectros do Sol e da Terra (cada um normalizado a seu pico) mal se superpõem: a atmosfera pode ser transparente a um e opaca ao outro. Sombreadas: as principais bandas de absorção infravermelha do vapor de água e do dióxido de carbono; entre elas, a janela de $8\,$ – $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ pela qual a superfície irradia diretamente para o espaço.

Observação 26.11 (Por que a estufa é seletiva)

A luz do Sol tem seu pico em $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , a radiação da Terra em $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : os dois espectros quase não se superpõem, de modo que um gás pode ser transparente ao primeiro e absorvente para o segundo. O nitrogênio e o oxigênio não absorvem nem um nem outro; o vapor de água, o dióxido de carbono, o metano e o ozônio têm bandas de vibração no infravermelho e são os gases de efeito estufa. A janela entre $8\,$ e $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ é aquela pela qual a câmera térmica olha, aquela a que se referem os $250\,\mathrm{K}$ do céu noturno, e aquela que as tintas de resfriamento radiativo exploram. O vidro de uma estufa de verdade faz o mesmo (transparente a $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , opaco a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), mas sobretudo ele bloqueia a convecção — o nome é um pouco injusto.

Método 26.12 (Estimativas de radiação)

(1) $\lambda_{\max} = 2900\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}/T$ diz onde está o espectro; (2) $\varepsilon\sigma T^4$ por unidade de área; (3) trocas: emitido menos absorvido, linearizado como $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T^3$ perto da temperatura ambiente; (4) um planeta: $(1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$ , depois as camadas; (5) compare com a condução e a convecção — a radiação vence em alta temperatura ( $T^4$ ) e no vácuo; (6) atenção às emissividades: metais brilhantes $0.05\,$ , tintas, pele, água e solo $\approx 0.9$ – $0.98$ no infravermelho, seja qual for sua cor visível.

26.5 Exercícios

Exercício 26.1 ★

$\lambda_{\max}$ e $\sigma T^4$ para: o Sol ( $5800\,\mathrm{K}$ ), um ser humano ( $310\,\mathrm{K}$ ), o filamento de uma lâmpada ( $2800\,\mathrm{K}$ ), o fundo cósmico ( $2.73\,\mathrm{K}$ ), o nitrogênio líquido ( $77\,\mathrm{K}$ ), um atiçador em brasa ( $900\,\mathrm{K}$ ). Quais são visíveis?

Solução

Solução de Exercício 26.1.

$\lambda_{\max}$ : $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.06\,\mathrm{mm}$ , $38\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $\sigma T^4$ : $6.4 \times 10^{7}\,$ , $520\,$ , $3.5 \times 10^{6}\,$ , $3.1 \times 10^{-6}\,$ , $2.0\,$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Visíveis: o Sol e o filamento; o atiçador brilha em vermelho-escuro pela cauda de onda curta, um décimo de milésimo de sua potência.

Exercício 26.2 ★

A partir de $T_\odot = 5772\,\mathrm{K}$ , $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ : a constante solar, a luminosidade do Sol, a potência interceptada pela Terra ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ), e a mesma dividida por $8 \times 10^9$ pessoas. Compare com o consumo mundial de potência ( $2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ ).

Solução

Solução de Exercício 26.2.

$S = \sigma T_\odot^4(R_\odot/d)^2 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 4\pi d^2S = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $\pi R^2S = 1.7 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ ; $2 \times 10^{7}\,\mathrm{W}$ por pessoa — nove mil vezes o consumo mundial.

Exercício 26.3 ★

Uma pessoa: pele a $306\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.98$ , $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , numa sala a $293\,\mathrm{K}$ . Potência emitida, potência absorvida, perda líquida; o coeficiente radiativo $h_{\text{r}}$ ; compare com os $100\,\mathrm{W}$ do metabolismo e conclua a respeito das roupas e de uma sala a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ com paredes frias.

Solução

Solução de Exercício 26.3.

Emitidos $830\,\mathrm{W}$ , absorvidos $700\,\mathrm{W}$ , líquido $130\,\mathrm{W}$ ; $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 = 5.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . Mais que o metabolismo: as roupas reduzem isso; paredes a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ acrescentam uns $50\,\mathrm{W}$ de perda — sente-se frio em ar morno entre paredes frias.

Exercício 26.4 ★

Uma lâmpada de $60\,\mathrm{W}$ : filamento de tungstênio a $2800\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.35$ . Área irradiante; comprimento de um fio de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ com essa área; cerca de $8\%$ da potência é visível: potência luminosa; um LED que dê a mesma luz com $30\%$ de eficiência.

Solução

Solução de Exercício 26.4.

$A = P/\varepsilon\sigma T^4 = 49\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $\ell = A/\pi d = 31\,\mathrm{cm}$ ; $4.8\,\mathrm{W}$ de luz; um LED de $16\,\mathrm{W}$ .

Exercício 26.5 ★★

Os dois limites. (a) Desenvolva o $u_\nu$ de Planck para $h\nu \ll k_BT$ e identifique a energia por modo. (b) Mostre que a lei de Rayleigh–Jeans dá uma energia total infinita. (c) A $300\,\mathrm{K}$ , a frequência em que $h\nu = k_BT$ ; conclua que a radiação térmica de rádio e de micro-ondas é clássica. (d) No limite de Wien, interprete $\eu^{-h\nu/k_BT}$ .

Solução

Solução de Exercício 26.5.

(a) $\eu^x - 1 \approx x$ : $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\,k_BT$ — $k_BT$ por modo. (b) $\int\nu^2\dd\nu$ diverge. (c) $\nu = k_BT/h = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{Hz}$ ( $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): o rádio e as micro-ondas a $300\,\mathrm{K}$ estão bem dentro do regime clássico (o ruído de um resistor vale $k_BT$ por unidade de banda). (d) A probabilidade de encontrar o quantum $h\nu$ excitado a $T$ : um fator de Boltzmann.

Exercício 26.6 ★★

Wien. (a) Deduza $x = 5(1 - \eu^{-x})$ e resolva-a numericamente com três algarismos. (b) Valor de $\lambda_{\max}T$ . (c) Mostre que $u_\nu$ tem seu máximo em $h\nu = 2.82\,k_BT$ , e que isso não corresponde a $c/\lambda_{\max}$ : por quê? (d) Temperatura de uma estrela cujo espectro tem pico em $290\,\mathrm{nm}$ ; sua cor ao olho.

Solução

Solução de Exercício 26.6.

(a) $x = 4.965$ . (b) $hc/4.965k_B = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (c) $x^3/(\eu^x - 1)$ tem máximo onde $3(1 - \eu^{-x}) = x$ : $2.82$ ; as densidades por unidade de frequência e por unidade de comprimento de onda são funções diferentes ( $\dd\nu = c\,\dd\lambda/\lambda^2$ ) e têm máximo em lugares diferentes. (d) $10\,000\,\mathrm{K}$ ; branco azulado.

Exercício 26.7 ★★

Stefan. (a) Efetue a integração da lei de Planck, dado $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ , e o valor de $\sigma$ . (b) Justifique o fator $c/4$ entre a densidade e a exitância. (c) Dado $\int_0^\infty x^2\dd x/(\eu^x - 1) = 2.404$ , o número de fótons por unidade de volume a $T$ , e a energia média do fóton em unidades de $k_BT$ . (d) Fótons por centímetro cúbico a $300\,\mathrm{K}$ e a $2.73\,\mathrm{K}$ .

Solução

Solução de Exercício 26.7.

(a) $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)T^4$ , $\sigma = cu/4T^4 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$ . (b) A isotropia e a projeção em $\cos\theta$ : $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi = 1/4$ sobre um hemisfério. (c) $n = 8\pi \times 2.404\,(k_BT/hc)^3 = 60.4\,(k_BT/hc)^3$ ; energia média $(\pi^4/15)/2.404 = 2.70\,k_BT$ . (d) $5 \times 10^8$ e $400$ por centímetro cúbico.

Exercício 26.8 ★★

Blindagens. Duas grandes placas negras a $T_1$ , $T_2$ . (a) Fluxo líquido. (b) Uma folha negra fina é colocada entre elas: sua temperatura e o novo fluxo. (c) $n$ folhas. (d) Placas cinzentas de emissividade $\varepsilon$ : mostre que o fluxo é $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ e calcule-o para superfícies polidas ( $\varepsilon = 0.05$ ) a $300\,\mathrm{K}$ e $77\,\mathrm{K}$ — a garrafa térmica.

Solução

Solução de Exercício 26.8.

(a) $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$ . (b) $T_{\text{s}}^4 = (T_1^4 + T_2^4)/2$ ; a metade. (c) $1/(n + 1)$ . (d) Somando as reflexões, $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ ; $\varepsilon = 0.05$ : $460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/39 = 12\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — uma garrafa de $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ perde $0.6\,\mathrm{W}$ , evaporando um quarto de quilograma de nitrogênio por dia.

Exercício 26.9 ★★

Geada noturna. Superfície com $\varepsilon = 0.95$ , céu a $250\,\mathrm{K}$ , ar a $278\,\mathrm{K}$ com $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . (a) Escreva o balanço e resolva-o para a temperatura da superfície. (b) Sob uma nuvem a $275\,\mathrm{K}$ . (c) Por que o vento impede a geada? (d) Por que um carro estacionado sob uma árvore escapa dela?

Solução

Solução de Exercício 26.9.

(a) $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ : $T \approx 266\,\mathrm{K}$ . (b) $277\,\mathrm{K}$ . (c) Um $h$ maior prende a superfície ao ar. (d) A copa a $278\,\mathrm{K}$ substitui o céu a $250\,\mathrm{K}$ .

Exercício 26.10 ★★★

Planetas. (a) Temperaturas efetivas de Vênus ( $S = 2600\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $A = 0.75$ ), da Terra e de Marte ( $S = 590\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $A = 0.25$ ). (b) Suas temperaturas de superfície são $737\,\mathrm{K}$ , $288\,\mathrm{K}$ , $215\,\mathrm{K}$ : aquecimento de estufa de cada um. (c) No modelo com $n$ camadas opacas, mostre que $T_{\text{s}}^4 = (n + 1)T_{\text{e}}^4$ ; quantas camadas para Vênus? (d) A Lua: $A = 0.12$ , sem atmosfera, rotação lenta — temperatura do ponto subsolar, e por que o lado noturno cai a $100\,\mathrm{K}$ .

Solução

Solução de Exercício 26.10.

(a) $231\,\mathrm{K}$ , $255\,\mathrm{K}$ , $210\,\mathrm{K}$ . (b) $506\,\mathrm{K}$ , $33\,\mathrm{K}$ , $5\,\mathrm{K}$ . (c) Cada camada opaca irradia para cima e para baixo; os balanços dão $T_k^4 = (k + 1)T_{\text{e}}^4$ a partir do topo: $n \approx 100$ para Vênus. (d) $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 381\,\mathrm{K}$ ; sem atmosfera nada leva calor ao lado noturno, e o regolito armazena pouco: a superfície irradia o calor do dia em cerca de um dia e se estabiliza perto de $100\,\mathrm{K}$ .

Exercício 26.11 ★★★

Sensibilidade climática sem realimentações. (a) Linearize o balanço planetário: uma pequena forçante extra $\Delta F$ (em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) no topo da atmosfera eleva a temperatura efetiva de $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$ . Calcule $4\sigma T_{\text{e}}^3$ . (b) Dobrar o dióxido de carbono é uma forçante de cerca de $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $\Delta T$ neste modelo. (c) A camada de mistura do oceano ( $50\,\mathrm{m}$ de água) armazena o calor: constante de tempo da resposta. (d) Por que as realimentações do vapor de água e do albedo do gelo tornam a sensibilidade real maior que a de (b)?

Solução

Solução de Exercício 26.11.

(a) $4\sigma T_{\text{e}}^3 = 3.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . (b) $1.0\,\mathrm{K}$ . (c) $C = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $\tau = C/4\sigma T_{\text{e}}^3 \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , dois anos. (d) Ar mais quente retém mais vapor de água (um gás de efeito estufa) e derrete gelo (albedo menor): ambos amplificam o aquecimento inicial.

Exercício 26.12 ★★★

Pirometria. (a) No limite de Wien, mostre que a razão das radiâncias em dois comprimentos de onda, $\lambda_1$ e $\lambda_2$ , dá $T$ independentemente de uma emissividade cinzenta. (b) Uma barra de aço: $M_{0.65}/M_{0.9} = 0.10$ : temperatura. (c) Uma câmera térmica a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ supõe $\varepsilon = 0.95$ ; ela olha para alumínio polido ( $\varepsilon = 0.1$ ) a $350\,\mathrm{K}$ numa sala a $293\,\mathrm{K}$ : no regime linearizado, que temperatura ela indica? (d) Por que uma superfície pintada ao lado do alumínio, à mesma $350\,\mathrm{K}$ , é lida corretamente?

Solução

Solução de Exercício 26.12.

(a)

\frac{M_1}{M_2} = \Big(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\Big)^5\exp\Big[-\frac{hc}{k_BT}\Big(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\Big)\Big] :

$\varepsilon$ se cancela. (b) $T = 14\,388\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K} \times 0.427/(5\ln 1.385 + \ln 10) = 1570\,\mathrm{K}$ . (c) Recebido $\propto 0.1 \times 350 + 0.9 \times 293 = 299$ ; indicado $(299 - 0.05 \times 293)/0.95 \approx 299\,\mathrm{K}$ : ela erra os $350\,\mathrm{K}$ . (d) Sua emissividade é justamente a suposta.

Os dois corpos negros deste capítulo: o Sol, a 5800\, K, visto pelo Solar Dynamics Observatory no ultravioleta extremo, e a Terra, a 288\, K, fotografada pela tripulação da Apollo 17 — picos em 0.5\, µ m e em 10\, µ m (NASA). — Os dois corpos negros deste capítulo: o Sol, a $5800\,\mathrm{K}$ , visto pelo Solar Dynamics Observatory no ultravioleta extremo, e a Terra, a $288\,\mathrm{K}$ , fotografada pela tripulação da Apollo 17 — picos em $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ e em $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ (NASA).

26.6 Problema: o balanço de energia da Terra e a lâmpada incandescente

Problema 26.1

Problema de fim de semana — corpos negros do Sol ao filamento

Dados: $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$ , $\lambda_{\max}T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Sol: $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $d = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; Terra: $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , albedo $0.30$ .

Parte I — O Sol como corpo negro.

O espectro solar tem pico em $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : temperatura da superfície.
Exitância da superfície e luminosidade total.
Constante solar na Terra; densidade de energia e pressão da luz do Sol ali.
Energia média do fóton ( $\approx 2.7\,k_BT$ ) e número de fótons solares por segundo e por metro quadrado na Terra.
O Sol irradia a essa taxa há $4.5 \times 10^9$ anos: energia emitida; compare com $Mc^2$ para $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Parte II — A Terra sem atmosfera.

Potência absorvida pela Terra; temperatura efetiva.
Por que o balanço divide por $4$ ? Qual seria a temperatura no ponto subsolar de uma Terra sem rotação e sem atmosfera ( $A = 0.30$ )?
A Lua ( $A = 0.12$ ): temperatura subsolar; e por que seu lado noturno cai a $100\,\mathrm{K}$ (pense no calor armazenado no regolito durante o dia de duas semanas, $1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ efetivos).
Comprimento de onda do pico de emissão da Terra; compare com o do Sol.
Se mais gelo ou mais nuvens elevassem o albedo a $0.35$ , de quanto cairia a temperatura efetiva?

Parte III — O efeito estufa.

Escreva os três balanços (espaço, camada, superfície) do modelo de uma camada e obtenha $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}}$ .
Com uma camada que absorve a fração $\varepsilon$ do infravermelho: $T_{\text{s}}(\varepsilon)$ ; o valor de $\varepsilon$ que dá $288\,\mathrm{K}$ .
Que gases absorvem, quais não absorvem, e em que banda de comprimentos de onda; o que é a janela atmosférica?
O infravermelho devolvido ao solo pela atmosfera, em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , no modelo com $\varepsilon = 0.78$ ; compare com a luz do Sol absorvida.
Uma forçante de $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (dióxido de carbono dobrado): variação de temperatura $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$ sem realimentações.
Capacidade térmica de uma camada de mistura oceânica de $50\,\mathrm{m}$ por metro quadrado e a constante de tempo da resposta.
Por que as nuvens ao mesmo tempo resfriam (albedo) e aquecem (infravermelho) a superfície; que efeito vence à noite?

Parte IV — A lâmpada incandescente. Uma lâmpada de $60\,\mathrm{W}$ tem um filamento de tungstênio a $2800\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.35$ ; a fração da potência de um corpo negro que cai no visível ( $0.4$ – $0.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) vale $0.08$ a $2800\,\mathrm{K}$ e $0.14$ a $3200\,\mathrm{K}$ .

Área irradiante do filamento; comprimento de um fio de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ que a tenha; por que ele é enrolado?
Comprimento de onda de pico; potência visível; eficiência luminosa.
Resistência do filamento em funcionamento a $230\,\mathrm{V}$ ; a resistividade do tungstênio é cerca de dez vezes menor à temperatura ambiente: corrente ao ligar, e uma consequência.
A $3200\,\mathrm{K}$ : a área necessária para os mesmos $60\,\mathrm{W}$ e a potência visível; por que não fazer toda lâmpada funcionar a $3200\,\mathrm{K}$ (a taxa de evaporação do tungstênio praticamente dobra a cada $50\,\mathrm{K}$ )?
O que faz o ciclo do halogênio, e por que ele permite um filamento mais quente?
Para onde vai o resto dos $60\,\mathrm{W}$ , e por que o vidro da lâmpada chega a $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
Tempo de resfriamento do filamento depois de desligado: estime-o a partir de sua massa ( $20\,\mathrm{mg}$ , $c = 140\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) e de sua potência irradiada.
Resuma: o que a temperatura de um corpo negro fixa, e o que o filamento, o Sol e a Terra têm em comum.

Solução

Solução de Problema 26.1.

1. $5800\,\mathrm{K}$ .

2. $6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ .

3. $L/4\pi d^2 = 1.37 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $u = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ se absorvida, o dobro se refletida.

4. $2.7k_BT = 2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ( $1.35\,\mathrm{eV}$ ); $6 \times 10^{21}$ fótons por segundo e por metro quadrado.

5. $3.9 \times 10^{26} \times 1.4 \times 10^{17} = 5.5 \times 10^{43}\,\mathrm{J}$ ; $Mc^2 = 1.8 \times 10^{47}\,\mathrm{J}$ : três décimos de milésimo de sua massa.

6. $1.2 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ ; $T_{\text{e}} = 255\,\mathrm{K}$ .

7. Interceptada em $\pi R^2$ , emitida de $4\pi R^2$ graças à rotação e aos ventos; só o ponto subsolar: $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 360\,\mathrm{K}$ .

8. $381\,\mathrm{K}$ ; à noite o calor armazenado ( $\sim C\Delta T$ ) escoa por radiação com a constante de tempo $C/4\sigma T^3 \approx 1\,\mathrm{dia}$ , curta frente à quinzena de escuridão: o solo cai até onde sua radiação iguala o filete que vem de baixo, $100\,\mathrm{K}$ .

9. $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , vinte vezes o do Sol.

10. $(0.65/0.70)^{1/4} = 0.982$ : $4.7\,\mathrm{K}$ menos, $250\,\mathrm{K}$ .

11. Espaço: $\sigma T_{\text{a}}^4 = \sigma T_{\text{e}}^4$ ; camada: $\sigma T_{\text{s}}^4 = 2\sigma T_{\text{a}}^4$ ; superfície: $\sigma T_{\text{s}}^4 = \sigma T_{\text{e}}^4 + \sigma T_{\text{a}}^4$ . Logo $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K}$ .

12. $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$ ; $(288/255)^4 = 1.63$ dá $\varepsilon = 0.77$ .

13. O vapor de água, o dióxido de carbono, o metano e o ozônio absorvem no infravermelho (bandas de vibração: H $_2$ O em torno de $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ e além de $17\,\text{µ}\mathrm{m}$ , CO $_2$ em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ); N $_2$ e O $_2$ não (sem dipolo); a janela vai de $8\,$ a $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

14. $T_{\text{a}}^4 = T_{\text{s}}^4/2$ : $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4 \approx 150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , contra $238\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de luz solar absorvida (uma atmosfera de várias camadas devolve mais, uns $330\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ).

15. $3.7/3.8 \approx 1\,\mathrm{K}$ .

16. $2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; $\tau \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , dois anos.

17. Elas refletem a luz do Sol e irradiam infravermelho para baixo; à noite só o segundo age: as noites nubladas são mais quentes.

18. $49\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $31\,\mathrm{cm}$ ; enrolado para caber e para reduzir as perdas convectivas para o gás de enchimento.

19. $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $4.8\,\mathrm{W}$ ; $8\%$ .

20. $R = V^2/P = 880\,\Omega$ ; frio $88\,\Omega$ : $2.6\,\mathrm{A}$ em vez de $0.26\,\mathrm{A}$ — as lâmpadas queimam ao serem ligadas.

21. $49 \times (2800/3200)^4 = 29\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $8.4\,\mathrm{W}$ visíveis; oito duplicações da evaporação, uma vida $250$ vezes mais curta — horas.

22. O tungstênio evaporado se liga ao halogênio e é devolvido ao filamento quente em vez de enegrecer o vidro: um filamento mais quente com vida normal, num pequeno bulbo de quartzo.

23. $55\,\mathrm{W}$ de infravermelho e de condução pelo gás; o vidro absorve parte do infravermelho.

24. $C = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; com $P \propto T^4$ , o tempo para reduzir $T$ à metade vale $7CT_0/3P \approx 0.3\,\mathrm{s}$ — e o brilho segue a rede com um atraso de $0.04\,\mathrm{s}$ , razão pela qual ele quase não cintila.

25. A temperatura fixa a forma e o pico do espectro ( $\lambda_{\max}T$ ), e o total ( $\sigma T^4$ ); filamento, Sol e Terra são três corpos negros, a $2800\,$ , $5800\,$ e $288\,\mathrm{K}$ , cada um equilibrando o que recebe contra $\sigma T^4$ .

Termos definidos neste capítulo

Radiação térmica, absortividade, corpo negro

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