Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

30A equação de Schrödinger e as funções de onda

Dispare elétrons um a um contra um par de fendas e registre onde cada um cai: um ponto aqui, um ponto ali, aparentemente ao acaso — e, após dez mil pontos, as franjas da experiência de Young, como se cada elétron tivesse passado pelas duas fendas e interferido consigo mesmo. O último capítulo do volume do primeiro ano encontrou essa estranheza: a luz vem em fótons, a matéria tem um comprimento de onda $\lambda = h/p$ , e a posição e o momento não podem ser ambos precisos. O que ele não deu foi a equação — a regra que diz como evolui a onda associada a uma partícula, assim como a lei de Newton diz como evolui uma trajetória. Essa equação é a de Schrödinger (1926), e com ela a descrição quântica se torna uma teoria calculável: escreve-se uma função de onda $\psi(x,t)$ , cujo módulo ao quadrado é a probabilidade de encontrar a partícula, e resolve-se uma equação diferencial parcial linear. Este capítulo enuncia a equação, explica o que $\psi$ significa e o que não significa, encontra seus estados estacionários e os pacotes de onda da partícula livre, e mostra onde a mecânica de Newton reaparece — para tudo o que seja mais pesado que uma molécula.

Um microscópio eletrônico de transmissão: elétrons acelerados a cem quilovolts têm um comprimento de onda de alguns picômetros e sua função de onda, focalizada por lentes magnéticas, forma a imagem dos átomos de um cristal.

30.1 O que o volume do primeiro ano nos deixou

Proposição 30.1 (As partículas são ondas)

Um fóton de frequência $\nu$ tem a energia $E = h\nu = \hbar\omega$ e o momento $p = h/\lambda = \hbar k$ ; uma partícula material de momento $p$ se comporta como uma onda de comprimento de onda $\lambda = h/p$ (de Broglie), com $E = \hbar\omega$ e $p = \hbar k$ também — a difração de elétrons por cristais e a interferometria de nêutrons e mesmo de moléculas o confirmam; e nenhum estado pode ter uma posição e um momento mais precisos que $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ (Heisenberg). Com $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : um elétron a $100\,\mathrm{eV}$ tem $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ , o tamanho de um átomo; um grão de poeira de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ tem $\lambda = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ , menor que um núcleo — ele se comporta classicamente.

Demonstração. Recordado do volume do primeiro ano; a tarefa agora é a dinâmica da onda. ∎

Um padrão de difração de elétrons registrado num microscópio eletrônico (um padrão de Kikuchi vindo de um cristal): elétrons de alguns picômetros de comprimento de onda, difratados pelos planos atômicos — a matéria se comportando como onda (NIST).

30.2 A função de onda

Definição 30.2 (Função de onda e regra de Born)

O estado de uma partícula que se move ao longo de $x$ é descrito por uma função de onda complexa $\psi(x,t)$ tal que

\dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x

é a probabilidade de encontrar a partícula entre $x$ e $x + \dd x$ no instante $t$ (a regra de Born); daí a normalização $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$ , e os valores esperados $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$ , $\Delta x^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$ . As funções de onda obedecem ao princípio de superposição: se $\psi_1$ e $\psi_2$ são estados possíveis, também o é $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ (normalizado), e as probabilidades contêm então o termo de interferência $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$ . Um fator de fase global $\eu^{\iu\theta}$ nada muda; uma fase relativa entre duas componentes superpostas muda a interferência.

Observação 30.3 (O que $\psi$ não é)

$\psi$ não é um campo clássico espalhado no espaço como $\vect E$ , nem uma nuvem de matéria: o elétron é sempre encontrado inteiro, num único ponto. $\psi$ é uma amplitude de probabilidade, o objeto que interfere; só $|\psi|^2$ é observado, e apenas estatisticamente, ao repetir a experiência com partículas preparadas de modo idêntico. Os pontos da fenda dupla são elétrons individuais; as franjas são $|\psi_1 + \psi_2|^2$ .

30.3 A equação de Schrödinger

Teorema 30.4 (Equação de Schrödinger)

Uma partícula de massa $m$ na energia potencial $V(x)$ tem uma função de onda que obedece a

\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi .

Ela é linear (superposição), de primeira ordem no tempo (a função de onda num instante a determina em todos os instantes posteriores) e complexa ( $\psi$ não pode ser real: o $\iu$ é essencial). É um postulado, justificado por suas consequências.

Demonstração. Uma motivação, mais que uma demonstração. Uma partícula livre de momento preciso $p = \hbar k$ e energia $E = \hbar\omega$ deve ser uma onda plana $\psi = A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ , para a qual $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi = E\psi$ e $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$ . A relação clássica $E = p^2/2m$ é assim reproduzida pela equação $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$ , e a generalização natural para $E = p^2/2m + V$ acrescenta $V\psi$ . Note que a equação deve ser linear para valer para superposições de ondas planas, e de primeira ordem no tempo com um $\iu$ para que $\eu^{-\iu\omega t}$ , e não $\cos\omega t$ , seja a dependência temporal — uma equação de onda real daria $E^2 \propto p^4$ . ∎

Proposição 30.5 (Conservação da probabilidade)

A densidade de probabilidade $\rho = |\psi|^2$ e a corrente de probabilidade

j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big) = \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big)

obedecem a $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$ : a probabilidade não é criada nem destruída, e $\int|\psi|^2\dd x$ permanece igual a $1$ . Para uma onda plana $A\eu^{\iu kx}$ , $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$ : densidade vezes velocidade, como para qualquer escoamento.

Demonstração. $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$ ; da equação e de sua conjugada, $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi - (\iu/\hbar)V\psi$ , $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* + (\iu/\hbar)V\psi^*$ ; os termos em $V$ se cancelam e resta $(\iu\hbar/2m)(\psi^* \partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$ . ∎

Proposição 30.6 (Momento, valores esperados e limite clássico)

O momento de um estado se obtém pelo operador $\hat p = -\iu\hbar\,\partial_x$ (que dá $\hbar k$ numa onda plana): $\langle p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$ , e a energia pelo operador $\hat H = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$ . Os valores esperados obedecem (Ehrenfest) a

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle :

o centro do pacote de onda segue a lei de Newton exatamente quando $V$ é no máximo quadrático, e aproximadamente sempre que o pacote é estreito frente à escala em que $V$ varia — o limite clássico, que vale para qualquer objeto macroscópico porque $\hbar$ é pequeníssimo.

Demonstração. Derive $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$ , use $\partial_t\rho = -\partial_xj$ e integre por partes: $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x = \langle p\rangle/m$ . A segunda relação é o mesmo cálculo uma ordem acima (admitido aqui). ∎

30.4 Estados estacionários

Teorema 30.7 (Estados estacionários)

Se $V$ não depende do tempo, a equação tem soluções da forma separada

\psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi

(a equação de Schrödinger independente do tempo): os estados estacionários, de energia $E$ bem definida, cuja densidade de probabilidade $|\varphi|^2$ não se move. As energias $E$ para as quais $\varphi$ é aceitável (limitada, normalizável para um estado ligado) são os níveis de energia; a solução geral é uma superposição $\psi = \sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$ , e uma superposição de dois níveis tem uma densidade que oscila na frequência de Bohr $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — a frequência da luz que o átomo emite ou absorve.

Demonstração. Insira $\varphi(x)f(t)$ : $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$ , uma função de $t$ igual a uma função de $x$ , logo uma constante $E$ ; $f = \eu^{-\iu Et/\hbar}$ . Para dois níveis, $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$ . A completude dos estados estacionários é admitida. ∎

Um estado estacionário: o perfil espacial (x) (aqui o estado fundamental de um poço) multiplicado por um fasor que gira à taxa E/; as partes real e imaginária giram uma na outra enquanto | |2 fica parado. — Um estado estacionário: o perfil espacial $\varphi(x)$ (aqui o estado fundamental de um poço) multiplicado por um fasor que gira à taxa $E/\hbar$ ; as partes real e imaginária giram uma na outra enquanto $|\psi|^2$ fica parado.

Uma superposição dos dois estados mais baixos de um poço: a densidade oscila de um lado para o outro na frequência de Bohr (E_2 - E_1)/h — uma carga que oscila e, portanto (), um dipolo que irradia exatamente na frequência da linha espectral. — Uma superposição dos dois estados mais baixos de um poço: a densidade oscila de um lado para o outro na frequência de Bohr $(E_2 - E_1)/h$ — uma carga que oscila e, portanto (Capítulo 17), um dipolo que irradia exatamente na frequência da linha espectral.

30.5 A partícula livre: ondas planas e pacotes de onda

Proposição 30.8 (Partícula livre)

Para $V = 0$ os estados estacionários são as ondas planas $\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ com

E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} :

as ondas de matéria são dispersivas; a velocidade de fase não tem significado físico, e a velocidade de grupo é a velocidade da partícula. Uma onda plana não é normalizável — uma partícula de momento perfeitamente preciso está espalhada por todo o espaço — de modo que uma partícula real é um pacote de onda, uma superposição de ondas planas sobre uma banda $\Delta k$ , localizada em $\Delta x \sim 1/\Delta k$ , que se move a $v_{\text{g}}$ e se alarga: um pacote gaussiano de largura inicial $\sigma_0$ tem no instante $t$ a largura

\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} ,

e satisfaz $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ em $t = 0$ (o mínimo permitido) e mais depois.

Demonstração. A relação de dispersão decorre da equação; $v_{\text{g}}$ como no Capítulo 8. A fórmula do alargamento vem da síntese de Fourier do pacote — cada componente $\eu^{\iu kx}$ adquire a fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ , e a integral gaussiana com um coeficiente complexo dá uma gaussiana de largura crescente; a integral de Fourier é a ferramenta do volume de matemática do terceiro ano e admitimos o resultado. Fisicamente: o pacote contém momentos espalhados por $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , e portanto velocidades espalhadas por $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , e após $t$ as componentes mais rápidas ultrapassaram as mais lentas de $\Delta v\,t$ — a fórmula diz exatamente isso. ∎

À esquerda: a curva de dispersão da partícula livre, com a velocidade de grupo (tangente) e a velocidade de fase (corda até a origem), a metade dela. À direita: um pacote gaussiano que se move a v_ g e se alarga — com largura √2 vezes maior depois de = 2m _02/, o pico mais baixo e a área constante. — À esquerda: a curva de dispersão da partícula livre, com a velocidade de grupo (tangente) e a velocidade de fase (corda até a origem), a metade dela. À direita: um pacote gaussiano que se move a $v_{\text{g}}$ e se alarga — com largura $\sqrt2$ vezes maior depois de $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ , o pico mais baixo e a área constante.

Exemplo 30.9 (Quem se alarga)

Um elétron localizado em $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — após um nanossegundo seu pacote tem $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura: um elétron deixado sozinho não fica quieto; ligado num átomo ele não se alarga porque o potencial o segura (um estado estacionário). Um grão de poeira de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ localizado em $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\tau = 2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , oito meses; uma bala: mais que a idade do universo. O alargamento quântico é real, e invisível para tudo o que se possa ver.

Observação 30.10 (Energia e tempo)

Um estado que só existe durante $\Delta t$ — um átomo excitado de tempo de vida $\tau$ , um trem de onda de comprimento $c\tau$ — é uma superposição de energias espalhadas por $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$ : a relação de Fourier do Capítulo 18 entre a duração de um trem e sua largura espectral, agora aplicada a $E = \hbar\omega$ . Um nível atômico de tempo de vida $10\,\mathrm{ns}$ tem uma largura $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ , uma largura de linha natural de $16\,\mathrm{MHz}$ ; a largura Doppler do Capítulo 23 ( $1.5\,\mathrm{GHz}$ ) a esconde num gás, mas não num átomo frio ou num íon em repouso.

Método 30.11 (Trabalhar com funções de onda)

(1) Normalize; as probabilidades são $\int|\psi|^2$ sobre a região. (2) $V$ independente do tempo: procure $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ , resolva a equação estacionária, imponha as condições de contorno — daí os níveis. (3) Superponha estados estacionários para a evolução; dois níveis batem em $(E_2 - E_1)/h$ . (4) Movimento livre: $v_{\text{g}} = p/m$ , tempo de alargamento $2m\sigma_0^2/\hbar$ . (5) Correntes: $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ ; para $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ , $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (sem termo cruzado). (6) Limite clássico: Ehrenfest, e $\lambda$ frente ao tamanho do aparelho.

30.6 Exercícios

Exercício 30.1 ★

Comprimentos de onda de de Broglie: um elétron a $100\,\mathrm{eV}$ , $10\,\mathrm{keV}$ , $100\,\mathrm{keV}$ (use $p = \sqrt{2mE}$ e depois diga por que o último precisa de correção); um nêutron térmico ( $25\,\mathrm{meV}$ , $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ); uma molécula de C $_{60}$ ( $m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$ ) a $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; uma bola de tênis. Quais deles mostram interferência?

Solução

Solução de Exercício 30.1.

$h/\sqrt{2mE}$ : $0.123\,\mathrm{nm}$ , $12.3\,\mathrm{pm}$ , $3.9\,\mathrm{pm}$ (a $100\,\mathrm{keV}$ a energia cinética é um quinto de $mc^2$ ; o momento relativístico dá $3.7\,\mathrm{pm}$ ); nêutron $0.18\,\mathrm{nm}$ ; C $_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$ ; bola de tênis $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$ . Todos, menos a bola, já mostraram interferência.

Exercício 30.2 ★

$\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$ : $A$ (use $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ ); $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ ; probabilidade de encontrar a partícula em $|x| < a$ ( $\operatorname{erf}(1) = 0.84$ ) e em $|x| < 2a$ ( $0.9995$ ).

Solução

Solução de Exercício 30.2.

$A = (\pi a^2)^{-1/4}$ ; $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = a/\sqrt2$ ; $0.84$ ; $0.9995$ .

Exercício 30.3 ★

Verifique que $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ resolve a equação quando $\varphi$ resolve a estacionária. Frequência do fasor para $E = 1\,\mathrm{eV}$ ; para uma superposição de dois níveis separados por $2\,\mathrm{eV}$ , frequência e comprimento de onda da oscilação de $|\psi|^2$ — e da luz emitida.

Solução

Solução de Exercício 30.3.

A substituição dá $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$ . $E/h = 2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $620\,\mathrm{nm}$ : a luz vermelha que a transição emite.

Exercício 30.4 ★

Tempo de alargamento $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ e largura após $1\,\mathrm{ns}$ e $1\,\mathrm{s}$ : um elétron com $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ e com $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$ ; um próton com $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ ; um grão de $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ com $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Por que os objetos ficam onde são postos?

Solução

Solução de Exercício 30.4.

Elétron, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ após $1\,\mathrm{ns}$ , $60\,\mathrm{km}$ após $1\,\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ : $\tau = 17\,\mathrm{s}$ , inalterado após $1\,\mathrm{ns}$ , $+0.2\%$ após $1\,\mathrm{s}$ ; próton, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ , $30\,\mathrm{nm}$ , $30\,\mathrm{m}$ ; grão: $\tau = 600$ anos. Para objetos visíveis $\tau$ é astronômico — e o meio ao redor não para de localizá-los.

Exercício 30.5 ★★

Corrente. (a) Deduza a equação da continuidade. (b) $j$ para $A\eu^{\iu kx}$ , para $A\sin kx$ , para $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ . (c) Por que a ausência de termo cruzado no último caso é a afirmação de que os fluxos refletido e incidente simplesmente se subtraem? (d) Mostre que para uma função de onda real $j = 0$ : um estado estacionário ligado não transporta corrente.

Solução

Solução de Exercício 30.5.

(a) Proposição 30.5. (b) $|A|^2\hbar k/m$ ; $0$ ; $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ . (c) Os fluxos incidente e refletido se subtraem sem termo de interferência: os coeficientes de transmissão e de reflexão podem ser definidos a partir dos fluxos. (d) $\psi^*\psi'$ é real e sua parte imaginária é nula.

Exercício 30.6 ★★

Um pacote gaussiano. $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$ . (a) $A$ , $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ . (b) $\langle p\rangle$ com $\hat p = -\iu\hbar\partial_x$ . (c) Admitindo $\Delta p = \hbar/2\sigma$ , verifique $\Delta x\Delta p = \hbar/2$ . (d) Demonstre $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ a partir da equação da continuidade.

Solução

Solução de Exercício 30.6.

(a) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$ , $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = \sigma$ . (b) $\hbar k_0$ . (c) $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$ . (d) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\, \partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^* \psi' = \langle p\rangle/m$ .

Exercício 30.7 ★★

Elétrons num tubo. Elétrons acelerados por $100\,\mathrm{V}$ percorrem $30\,\mathrm{cm}$ . (a) Velocidade, comprimento de onda, tempo de voo. (b) Velocidades de fase e de grupo; qual é a do elétron? (c) Um pacote inicialmente de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura: tempo de alargamento, largura na chegada. (d) Difração por uma abertura de $0.3\,\mathrm{mm}$ no caminho: espalhamento angular e mancha no anteparo. A imagem de raios é válida?

Solução

Solução de Exercício 30.7.

(a) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.123\,\mathrm{nm}$ , $51\,\mathrm{ns}$ . (b) $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : a segunda. (c) $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg 51\,\mathrm{ns}$ : inalterado. (d) $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : os raios servem bem.

Exercício 30.8 ★★

Fases. (a) Mostre que $\psi$ e $\eu^{\iu\theta}\psi$ dão as mesmas previsões. (b) Para $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$ , escreva $|\psi|^2$ e mostre que $\alpha$ importa. (c) Na fenda dupla, o que são $\psi_1$ e $\psi_2$ , e o que fixa sua fase relativa num ponto do anteparo? (d) Por que detectar por qual fenda o elétron passou destrói as franjas (qualitativamente)?

Solução

Solução de Exercício 30.8.

(a) $|\psi|^2$ e todos os valores esperados ficam inalterados. (b) $\tfrac12(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$ . (c) As ondas vindas das duas fendas; sua fase relativa vale $k(r_2 - r_1)$ . (d) O detector termina em estados diferentes para os dois caminhos; as duas componentes já não interferem, e o padrão é a soma de dois padrões de fenda única.

Exercício 30.9 ★★

Ehrenfest. (a) Para $V = \tfrac12m\omega^2x^2$ , mostre que $\langle x\rangle$ obedece exatamente a $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$ . (b) Para $V = mgx$ , $\langle x\rangle$ cai como uma pedra. (c) Para um $V$ geral, quando vale $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$ ? (d) Uma esfera de $1\,\mathrm{g}$ numa tigela: estime o tamanho de pacote necessário para que ela fosse “quântica” e compare com um átomo.

Solução

Solução de Exercício 30.9.

(a) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$ : exato. (b) $\langle V'\rangle = mg$ : exato. (c) Quando o pacote é estreito frente à escala em que $V''$ varia. (d) Seu comprimento de onda a $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vale $10^{-29}\,\mathrm{m}$ ; o pacote teria de ser tão largo quanto a tigela para importar. O comprimento de onda térmico de um átomo, $0.1\,\mathrm{nm}$ , é do tamanho dele próprio.

Exercício 30.10 ★★★

O vaivém. Numa caixa $0 < x < L$ com paredes impenetráveis os estados estacionários são $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ (Capítulo 31). Tome $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$ . (a) $|\psi|^2$ em função do tempo. (b) Mostre que $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (use $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x = -8L^2/9\pi^2$ ). (c) Elétron, $L = 1\,\mathrm{nm}$ : $E_2 - E_1$ , a frequência e o comprimento de onda da oscilação. (d) O que faz uma carga que oscila (Capítulo 17)? Conclua sobre as linhas espectrais.

Solução

Solução de Exercício 30.10.

(a) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$ . (b) $L/2 + \cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ . (c) $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$ , $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Ele irradia em $\nu_{21}$ : a linha; um estado estacionário puro não tem dipolo oscilante e não irradia.

Exercício 30.11 ★★★

O alargamento, deduzido. O pacote $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ é a superposição $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ com $g(k) \propto \eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (admitido: a transformada de Fourier de uma gaussiana é uma gaussiana, de largura $1/2\sigma_0$ em $k$ ). (a) Escreva $\psi(x,t)$ dando a cada componente sua fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ . (b) Complete o quadrado no expoente e admita $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\, \eu^{\beta^2/4\alpha}$ para $\alpha$ complexo de parte real positiva: mostre que $|\psi|^2$ é uma gaussiana de largura $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m \sigma_0^2)^2}$ . (c) Interprete $\tau$ por meio de $\Delta v = \Delta p/m$ . (d) Por que um pacote de fótons no vácuo não se alarga?

Solução

Solução de Exercício 30.11.

(a) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$ . (b) $\alpha = \sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$ , $\beta = \iu x$ : $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$ . (c) $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , e $\Delta v\,\tau = \sigma_0$ . (d) $\omega = ck$ : sem dispersão, todas as componentes a $c$ .

Exercício 30.12 ★★★

Energia–tempo. (a) Um estado que decai como $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ (probabilidade $\eu^{-t/\tau}$ ) é uma superposição de energias: admitindo que sua distribuição de energia é uma lorentziana de largura total $\Gamma = \hbar/\tau$ , dê $\Gamma$ para $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (átomo), $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (uma ressonância hadrônica, em MeV). (b) Largura natural de linha do nível de $10\,\mathrm{ns}$ em frequência; compare com a largura Doppler de $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (c) Como se vê a largura natural (átomos frios, íons aprisionados)? (d) Relacione com o comprimento de coerência do trem de onda emitido.

Solução

Solução de Exercício 30.12.

(a) $\Gamma = \hbar/\tau$ : $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $66\,\mathrm{MeV}$ . (b) $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$ , cem vezes menos que a Doppler. (c) Em átomos frios e íons aprisionados a largura Doppler desaparece e a largura natural é atingida — a base dos padrões de frequência. (d) $c\tau = 3\,\mathrm{m}$ , o comprimento do trem.

30.7 Problema: o elétron num tubo e o alargamento de um pacote de onda

Problema 30.1

Problema de fim de semana — quando um elétron é partícula, quando é onda

Dados: $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ .

Parte I — O tubo de raios catódicos. Os elétrons saem de um cátodo quente com energia desprezível, são acelerados por $U = 20\,\mathrm{kV}$ , atravessam uma abertura de $0.3\,\mathrm{mm}$ e atingem um anteparo a $40\,\mathrm{cm}$ .

Velocidade e momento (não relativísticos); comprimento de onda de de Broglie.
A energia cinética vale $4\%$ de $mc^2$ : o tratamento não relativístico é aceitável para este problema?
Tempo de voo até o anteparo.
Difração pela abertura: espalhamento angular $\sim\lambda/a$ e a mancha que ele produz no anteparo; compare com um pixel ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ).
Heisenberg na abertura: $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ dá o mesmo espalhamento — verifique.
Um pacote de $0.3\,\mathrm{mm}$ de largura ao longo do feixe: tempo de alargamento $2m\sigma_0^2/\hbar$ e largura no anteparo.
Placas de deflexão aplicam uma força transversal: pelo teorema de Ehrenfest, como se move $\langle y\rangle$ ? Conclua que o tubo é um dispositivo clássico.
Velocidade de fase da onda do elétron; por que não é paradoxal que ela diferir da velocidade do elétron?

Parte II — Pacotes de onda.

Para um pacote gaussiano de largura $\sigma_0$ : $\Delta p$ e a dispersão de velocidades $\Delta v$ .
Tempo de alargamento para um elétron com $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; para um próton com $1\,\mathrm{nm}$ ; para um vírus ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) com $10\,\mathrm{nm}$ .
Um elétron num átomo de hidrogênio está localizado em $0.1\,\mathrm{nm}$ e não se alarga: por quê?
Um elétron livre a $1\,\mathrm{eV}$ com $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : que distância ele percorre antes que sua largura dobre? Compare com o comprimento de onda.
Num metal, os elétrons de condução são ondas de $\lambda \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ por todo o cristal: em que sentido eles estão “deslocalizados”?
Um microscópio eletrônico a $100\,\mathrm{keV}$ tem $\lambda \approx 4\,\mathrm{pm}$ e, no entanto, resolve apenas $0.1\,\mathrm{nm}$ : por quê (suas lentes magnéticas aceitam um semiângulo de cerca de $10\,\mathrm{mrad}$ )?
Dê o critério que decide se um objeto deve ser tratado com uma função de onda ou com Newton.

Parte III — Estados estacionários e transições. Um elétron está confinado em $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$ ; $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ .

$E_1$ , $E_2$ , $E_3$ em elétron-volts; as frequências de Bohr $\nu_{21}$ , $\nu_{31}$ e os comprimentos de onda.
Verifique que $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ é independente do tempo; onde o elétron é mais provável no estado fundamental?
Para $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/ \sqrt2$ : $|\psi|^2$ em $t = 0$ e em $t = T_{21}/2$ ; esboce.
$\langle x\rangle(t)$ (dado $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ): amplitude do vaivém.
O dipolo oscilante $e\langle x\rangle$ irradia: em que frequência, e o que isso diz sobre as linhas espectrais e sobre a estabilidade dos estados estacionários?
Energia do estado $\psi$ : é $E_1$ , $E_2$ ou outra coisa? O que dá uma medida?

Parte IV — Interpretação.

Na experiência da fenda dupla com um elétron de cada vez, o que é aleatório e o que não é?
Escreva a corrente de probabilidade de $A\eu^{\iu kx}$ e relacione-a com um feixe de $n$ elétrons por unidade de comprimento à velocidade $v$ .
Por que a equação de Schrödinger deve ser complexa e de primeira ordem no tempo (duas razões)?
Resuma em cinco linhas: a função de onda, a equação, os estados estacionários, o pacote, o limite clássico.

Solução

Solução de Problema 30.1.

1. $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = 8.7\,\mathrm{pm}$ .

2. Erros de alguns por cento: aceitável para estimativas ( $\lambda = 8.6\,\mathrm{pm}$ exatamente).

3. $4.8\,\mathrm{ns}$ .

4. $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ : $12\,\mathrm{nm}$ — $10^4$ vezes menor que um pixel.

5. $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$ : a mesma ordem.

6. $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$ : inalterado.

7. $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ exatamente para um campo uniforme: $\langle y\rangle$ segue a parábola clássica; o tubo é um instrumento clássico.

8. $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; só a velocidade de grupo é observável; a fase de uma onda plana não carrega sinal (e depende do zero arbitrário de energia).

9. $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ .

10. $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ; próton $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ ; vírus $20\,\mathrm{s}$ .

11. Ele está num estado estacionário: o potencial segura o pacote; $|\varphi|^2$ não se move.

12. $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a largura dobra em $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $17\,\mathrm{nm}$ , uns catorze comprimentos de onda.

13. Suas funções de onda se estendem por todo o cristal: um momento definido, nenhuma posição definida.

14. Resolução $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$ : são as aberrações das lentes magnéticas que limitam a abertura, não o comprimento de onda.

15. Compare $\lambda$ com os tamanhos em jogo (aberturas, a escala de $V$ ), e o tempo de alargamento com o tempo de observação.

16. $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $410\,\mathrm{nm}$ ).

17. O fasor tem módulo um; em $x = L/2$ .

18. Em $t = 0$ a densidade se acumula na metade esquerda; em $T_{21}/2$ , na direita.

19. $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ : amplitude $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$ .

20. Em $\nu_{21}$ : a linha espectral; um estado estacionário não tem dipolo oscilante e é estável; a superposição irradia até descer a $\varphi_1$ .

21. Não é definida: $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$ ; uma medida dá $E_1$ ou $E_2$ , cada um com probabilidade um meio.

22. Aleatório: onde cada elétron cai; não aleatório: o padrão $|\psi|^2$ que as quedas constroem.

23. $j = |A|^2\hbar k/m$ : com $|A|^2 = n$ elétrons por unidade de comprimento, $nv$ elétrons por segundo.

24. De primeira ordem, para que $\psi(x,0)$ seja uma descrição completa que fixa o futuro; complexa, para que uma energia definida tenha a única dependência temporal $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ e para que $E = p^2/2m$ apareça.

25. $\psi$ é a amplitude cujo quadrado é a probabilidade; ela obedece à equação linear de Schrödinger; os estados estacionários carregam um fasor e densidades fixas; um pacote livre se move a $p/m$ e se alarga em $2m\sigma_0^2/\hbar$ ; Ehrenfest devolve Newton para o que é grande.

Termos definidos neste capítulo

Função de onda e regra de Born

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