Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

3Fluidos perfeitos: Euler e Bernoulli

Segure uma folha de papel pela borda e sopre sobre ela: a folha sobe. Abra o chuveiro e a cortina do banheiro se aproxima. Uma asa sustenta trezentas toneladas porque o ar passa mais depressa sobre o extradorso do que sob o intradorso. As três situações dizem a mesma coisa: onde um fluido anda mais depressa, sua pressão é menor. Este capítulo escreve a segunda lei de Newton para uma partícula de fluido no modelo mais simples — o fluido perfeito, que sente pressão mas não atrito — e dela extrai o teorema de Bernoulli, o balanço de energia de uma linha de corrente, cujas aplicações vão do medidor de vazão de uma tubulação ao indicador de velocidade de um avião.

3.1 A equação de Euler

Proposição 3.1 (Força de pressão sobre uma partícula de fluido)

A resultante das forças de pressão exercidas pelo fluido circundante sobre uma partícula de volume $\dd\tau$ vale

\dd\vect F_P = -\operatorname{\vect{grad}}P\,\dd\tau :

a pressão age como uma força volumétrica de densidade $-\operatorname{\vect{grad}}P$ , empurrando das altas para as baixas pressões.

Demonstração. Na caixa de Teorema 2.8, as faces em $x$ e em $x + \dd x$ recebem $+P(x)\dd y\dd z$ e $-P(x + \dd x)\dd y\dd z$ ao longo de $x$ : resultante $-\partial_xP\,\dd x\dd y\dd z$ ; o mesmo para $y$ e $z$ . ∎

Definição 3.2 (Fluido perfeito)

Um fluido perfeito é aquele em que a única força de contato entre partículas vizinhas é a pressão — normal a toda superfície, sem tensão tangencial (viscosa). É uma idealização válida, como o próximo capítulo explica, longe das paredes e a alto número de Reynolds: a água numa tubulação longe da parede, o ar em torno de uma asa fora da fina camada limite, uma onda no mar.

Teorema 3.3 (Equação de Euler)

Num referencial galileano, um fluido perfeito de massa específica $\rho$ submetido à gravidade obedece, em cada ponto, a

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g ,

à qual se soma, à direita, qualquer outra densidade de força volumétrica $\vect f_v$ (elétrica, de inércia num referencial não galileano). Em repouso ela se reduz à lei da hidrostática $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho\vect g$ do volume do Ano 1.

Demonstração. Segunda lei de Newton para a partícula de massa $\rho\,\dd\tau$ : sua aceleração é a derivada material (Teorema 2.4), e as forças são a resultante de pressão e o peso $\rho\vect g\,\dd\tau$ ; divida por $\dd\tau$ . ∎

Exemplo 3.4 (Um reservatório que acelera)

A água num reservatório levado por um caminhão que acelera a $\vect a$ está em repouso no referencial do caminhão; ali, Euler com a força de inércia $-\rho\vect a$ dá $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho(\vect g - \vect a)$ : a pressão cresce ao longo da "gravidade efetiva" $\vect g - \vect a$ , a superfície livre (uma isóbara) é perpendicular a ela e se inclina para trás de um ângulo $\arctan(a/g)$ — $11{}^{\circ}$ para $a = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Num balde que gira a $\Omega$ , a força centrífuga $\rho\Omega^2r\,\vect e_r$ dá $P = P_0 + \tfrac12\rho\Omega^2r^2 - \rho gz$ e a superfície livre é o paraboloide $z = \Omega^2r^2/2g$ .

À esquerda: as forças de pressão nas faces de uma caixa de fluido não se cancelam quando P varia — sua resultante é - gradP por unidade de volume. Ao centro e à direita: dois fluidos em repouso num referencial acelerado; a superfície livre é em toda parte perpendicular à gravidade efetiva. — À esquerda: as forças de pressão nas faces de uma caixa de fluido não se cancelam quando $P$ varia — sua resultante é $-\operatorname{\vect{grad}}P$ por unidade de volume. Ao centro e à direita: dois fluidos em repouso num referencial acelerado; a superfície livre é em toda parte perpendicular à gravidade efetiva.

3.2 O teorema de Bernoulli

Teorema 3.5 (Bernoulli)

Para um fluido perfeito e incompressível de massa específica uniforme em escoamento permanente, num referencial galileano com gravidade uniforme, a grandeza

P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz

é constante ao longo de cada linha de corrente. Se o escoamento é, além disso, irrotacional, trata-se da mesma constante em todo o fluido. O termo $\tfrac12\rho v^2$ é a pressão dinâmica; $P + \tfrac12\rho v^2$ é a pressão de estagnação, a pressão que o fluido atingiria se fosse levado ao repouso ao longo de sua linha de corrente.

Demonstração. Euler em regime permanente com $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + \vect\omega\wedge\vect v$ e $\rho\vect g = -\operatorname{\vect{grad}}(\rho gz)$ , com $\rho$ uniforme:

\operatorname{\vect{grad}}\bigl(P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz\bigr) = -\rho\, \vect\omega\wedge\vect v .

O lado direito é perpendicular a $\vect v$ , de modo que o gradiente da grandeza de Bernoulli não tem componente ao longo da linha de corrente: a grandeza é constante ao longo dela. Se $\vect\omega = \vect 0$ o gradiente se anula em toda parte. ∎

Observação 3.6 (O que Bernoulli diz e o que não diz)

Dividido por $\rho$ , o teorema diz: a energia mecânica por unidade de massa, $v^2/2 + gz$ , mais $P/\rho$ , conserva-se ao longo do caminho de uma partícula. O termo de pressão é o trabalho realizado sobre a partícula pela pressão do fluido que vem atrás, menos o trabalho que ela realiza sobre o fluido à frente: o teorema da energia para uma partícula empurrada através de um campo de pressão sem atrito. Quatro condições: fluido perfeito (sem perda viscosa), permanente, incompressível e ao longo de uma linha de corrente. Comparar dois pontos de linhas de corrente diferentes só é permitido em escoamento irrotacional. O teorema não diz que "o ar rápido suga": ele diz que uma partícula que foi acelerada (por uma queda de pressão) está agora a uma pressão menor — a causa é o campo de pressão, a celeridade é o efeito.

Observação 3.7 (Fluidos compressíveis)

Num gás a massa específica varia, mas se o escoamento é permanente, perfeito e isentrópico a mesma demonstração dá a conservação de $h + v^2/2 + gz$ ao longo de uma linha de corrente, onde $h$ é a entalpia por unidade de massa ( $h = c_PT$ para um gás perfeito): a forma usada para bocais e turbinas em Capítulo 27. A celeridades bem abaixo da velocidade do som ( $v \lesssim 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar) a massa específica varia menos de $5\%$ e o teorema incompressível é preciso.

3.3 Aplicações

Proposição 3.8 (O medidor Venturi)

Numa tubulação horizontal que se estreita da seção $S_1$ para $S_2 < S_1$ , a celeridade aumenta ( $v_2 = v_1S_1/S_2$ , conservação da massa) e a pressão cai:

P_1 - P_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2) = \tfrac12\rho v_1^2\Bigl(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\Bigr) , \qquad D_V = S_1v_1 = S_1S_2\sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho(S_1^2 - S_2^2)}} .

Medir a diferença de pressão com um manômetro dá a vazão: é o medidor Venturi. O mesmo efeito faz funcionar um carburador, um pulverizador de tinta, a entrada de ar de um bico de Bunsen e a "sucção" de um trem que passa.

Demonstração. Bernoulli ao longo de uma linha de corrente central a altura constante, com $v_2 = v_1S_1/S_2$ ; isole $v_1$ . ∎

Proposição 3.9 (O tubo de Pitot)

Um tubo voltado para o escoamento, fechado na outra extremidade, leva o fluido ao repouso em sua boca (um ponto de estagnação); uma segunda abertura lateral, paralela ao escoamento, lê a pressão estática $P$ . A diferença é a pressão dinâmica:

P_{\text{estag}} - P = \tfrac12\rho v^2 , \qquad v = \sqrt{2(P_{\text{estag}} - P)/\rho} .

Todo avião mede assim sua velocidade em relação ao ar.

Demonstração. Bernoulli ao longo da linha de corrente que termina no ponto de estagnação, onde $v = 0$ ; os furos laterais não perturbam o escoamento, que passa com o $v$ e o $P$ não perturbados. ∎

Proposição 3.10 (A fórmula de Torricelli)

Um grande reservatório aberto esvazia-se por um pequeno furo à profundidade $h$ abaixo da superfície livre; o jato sai com celeridade

v = \sqrt{2gh} ,

a celeridade de queda livre a partir da superfície. A vazão vale $D_V \approx \alpha s\sqrt{2gh}$ , com $s$ a área do furo e $\alpha \approx 0.6$ o coeficiente de contração de um orifício de bordo vivo (as linhas de corrente continuam a convergir depois do furo).

Demonstração. Bernoulli da superfície livre (em repouso, pois o reservatório é grande: $v_{\text{sup}} = v\,s/S \ll v$ ; pressão $P_0$ ) até o jato (pressão $P_0$ logo depois do furo): $P_0 + \rho gh = P_0 + \tfrac12\rho v^2$ . O escoamento é quase permanente: $h$ varia lentamente. ∎

Três aplicações do teorema de Bernoulli. À esquerda: o medidor Venturi — o manômetro lê a queda de pressão na garganta, e daí a vazão. Ao centro: o tubo de Pitot — a pressão de estagnação na boca excede a pressão estática dos furos laterais exatamente pela pressão dinâmica. À direita: o escoamento de Torricelli, à celeridade de queda livre.

Exemplo 3.11 (Números)

Um Venturi de $5\,\mathrm{cm}$ que se estreita a $2.5\,\mathrm{cm}$ numa tubulação de água, com $\Delta h = 20\,\mathrm{cm}$ de água ( $2.0\,\mathrm{kPa}$ ): $v_1 = \sqrt{2 \times 2000/ (1000 \times 15)} = 0.52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $D_V = 1.0\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Um avião de linha a $11\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.36\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) a $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : pressão dinâmica $11\,\mathrm{kPa}$ , $11\%$ da pressão ambiente — o tubo de Pitot ainda funciona, com uma correção de compressibilidade. Uma caixa d’água $40\,\mathrm{m}$ acima das torneiras: $4\,\mathrm{bar}$ com elas fechadas, e um jato a $28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ se abertas por completo (na prática, bem menos: os canos não são perfeitos).

Proposição 3.12 (Sustentação de uma asa)

No escoamento em torno de uma asa o ar passa mais depressa sobre o extradorso do que sob o intradorso; a pressão é portanto menor em cima do que embaixo, e a resultante é a sustentação $F_L = \tfrac12\rho v^2SC_L$ ( $S$ a área da asa, $C_L \approx 0.3$ – $1.5$ o coeficiente de sustentação, que depende do perfil e do ângulo de ataque). A diferença de celeridade equivale a uma circulação $\Gamma$ da velocidade em torno do perfil, e a sustentação por unidade de envergadura vale $F_L' = \rho v\Gamma$ (Kutta–Joukowski, admitido). Uma bola em rotação arrasta o ar consigo e é desviada lateralmente do mesmo modo: é o efeito Magnus de uma bola de tênis cortada ou de uma falta que "encurva".

Demonstração. Bernoulli nas linhas de corrente logo acima e logo abaixo, que partem das mesmas condições a montante: $P_{\text{inf}} - P_{\text{sup}} = \tfrac12\rho (v_{\text{sup}}^2 - v_{\text{inf}}^2)$ ; integre ao longo da corda. Por que o escoamento superior é mais rápido — o bordo de fuga afiado fixa ali o ponto de estagnação traseiro e determina a circulação (condição de Kutta) — escapa ao modelo do fluido perfeito sozinho; é preciso a camada limite do próximo capítulo. ∎

À esquerda: linhas de corrente em torno de uma asa — apertadas e rápidas em cima, lentas embaixo; a diferença de pressão é a sustentação. À direita: uma coluna líquida de comprimento total L oscilando num tubo em U, a mais simples aplicação não permanente da equação de Euler. — À esquerda: linhas de corrente em torno de uma asa — apertadas e rápidas em cima, lentas embaixo; a diferença de pressão é a sustentação. À direita: uma coluna líquida de comprimento total $L$ oscilando num tubo em U, a mais simples aplicação não permanente da equação de Euler.

Proposição 3.13 (Um escoamento não permanente: o tubo em U)

Uma coluna líquida de comprimento total $L$ preenche um tubo em U de seção uniforme; deslocada de $z$ em relação ao equilíbrio, ela oscila segundo

\ddot z + \frac{2g}{L}\,z = 0 , \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}} ,

como um pêndulo de comprimento $L/2$ . Mais geralmente, para um escoamento não permanente mas irrotacional de potencial $\varphi$ , Euler integra-se em $\rho\,\partial_t\varphi + P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz = C(t)$ , a mesma constante em todo o fluido (Bernoulli não permanente).

Demonstração. A celeridade $v = \dot z$ é uniforme ao longo do tubo (incompressível, seção uniforme). Projete Euler no eixo do tubo e integre ao longo da coluna de uma superfície livre à outra: os termos de pressão se cancelam ( $P_0$ nas duas extremidades), $\int\rho\,\partial_tv\,\dd s = \rho L\ddot z$ , o termo convectivo $\rho\,\Delta(v^2/2)$ se anula (mesma celeridade nas duas extremidades), e o termo de gravidade dá $\rho g\cdot2z$ . Logo $\rho L\ddot z = -2\rho gz$ . O enunciado geral segue de $\partial_t\vect v = \operatorname{\vect{grad}} \partial_t\varphi$ para $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ . ∎

Exemplo 3.14 (Pôr uma tubulação em regime)

Uma tubulação horizontal de comprimento $\ell$ leva de um reservatório de carga constante $h$ a uma saída aberta; a válvula é aberta em $t = 0$ . Com $v$ uniforme ao longo do tubo, Euler integrada da superfície do reservatório até a saída dá $\ell\,\dd v/\dd t = gh - \tfrac12v^2$ , cuja solução é $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ com $V = \sqrt{2gh}$ : o escoamento atinge a celeridade de Torricelli com constante de tempo $2\ell/V$ — $13\,\mathrm{s}$ para um conduto forçado de $400\,\mathrm{m}$ sob $200\,\mathrm{m}$ de carga.

Método 3.15 (Usar Bernoulli)

(1) Verifique as quatro condições; decida se o escoamento é irrotacional (escoamento uniforme a montante em torno de um obstáculo: sim; escoamento numa tubulação com perfil de velocidades: não — fique numa só linha de corrente). (2) Escolha dois pontos de uma linha de corrente onde o maior número possível de grandezas seja conhecido: uma superfície livre ( $P = P_0$ , $v \approx 0$ se a seção é grande), um jato ao ar livre ( $P = P_0$ ), um ponto de estagnação ( $v = 0$ ). (3) Acrescente a conservação da massa $vS =$ const. para relacionar as celeridades. (4) Para escoamentos não permanentes, integre Euler ao longo da linha.

3.4 Exercícios

Exercício 3.1 ★

A água escoa numa tubulação horizontal de diâmetro $8\,\mathrm{cm}$ a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e pressão $3.0\,\mathrm{bar}$ . Ela passa a uma seção de $4\,\mathrm{cm}$ : celeridade e pressão ali; depois a uma seção de $2\,\mathrm{cm}$ : pressão — o que acontece se ela resultar negativa?

Solução

Solução de Exercício 3.1.

$v_2 = 1.5 \times 4 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P_2 = 3.0 \times 10^5 - 500(36 - 2.25) = 2.83\,\mathrm{bar}$ . A $2\,\mathrm{cm}$ : $v = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 3.0 \times 10^5 - 500 (576 - 2.25) = 0.13\,\mathrm{bar}$ — perto da pressão de vapor. Um resultado negativo significa que a vazão suposta é impossível: a água cavita e o escoamento é estrangulado.

Exercício 3.2 ★

O tubo de Pitot de um avião a $5\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.74\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) lê uma pressão dinâmica de $15\,\mathrm{kPa}$ . Velocidade verdadeira em relação ao ar. O indicador é calibrado para a massa específica ao nível do mar ( $1.22\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): que "velocidade indicada" ele mostra, e por que os pilotos acham essa diferença útil, e não incômoda?

Solução

Solução de Exercício 3.2.

$v = \sqrt{2 \times 15000/0.74} = 201\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; indicada, $\sqrt{2 \times 15000/ 1.22} = 157\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . A velocidade indicada mede a pressão dinâmica, que é o que a asa sente: a celeridade de estol é uma velocidade indicada fixa em qualquer altitude.

Exercício 3.3 ★

Um reservatório contém água com $3.0\,\mathrm{m}$ de profundidade; um furo de $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ é aberto $1.0\,\mathrm{m}$ acima do piso. Celeridade de saída; vazão (contração $0.6$ ); onde o jato atinge o piso? A que profundidade deveria ser aberto um segundo furo para alcançar o mesmo ponto?

Solução

Solução de Exercício 3.3.

Profundidade $2.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{2g \times 2} = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = 0.6 \times 10^{-4} \times 6.3 = 0.38\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ ; tempo de queda $\sqrt{2/g} = 0.45\,\mathrm{s}$ , alcance $2.8\,\mathrm{m}$ . O alcance $= 2\sqrt{h(H - h)}$ é simétrico em $h \leftrightarrow H - h$ : um furo à profundidade $1.0\,\mathrm{m}$ ( $2\,\mathrm{m}$ acima do piso) atinge o mesmo ponto.

Exercício 3.4 ★

Um vento de $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sopra sobre um telhado plano de $100\,\mathrm{m}^{2}$ ; o ar sob o telhado está parado, à pressão atmosférica ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). Diferença de pressão e força resultante sobre o telhado; compare com o peso do telhado ( $50\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ ). Para que lado ele é empurrado?

Solução

Solução de Exercício 3.4.

$\Delta P = \tfrac12 \times 1.2 \times 900 = 540\,\mathrm{Pa}$ , com a pressão externa menor: força resultante de $54\,\mathrm{kN}$ para cima; o telhado pesa $49\,\mathrm{kN}$ : ele é arrancado. (Telhados reais rompem primeiro nas bordas, onde o escoamento se descola.)

Exercício 3.5 ★★

Um reservatório fechado e retangular de $2.0\,\mathrm{m}$ de comprimento, meio cheio de água, está sobre um caminhão. (a) Acelerando a $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : ângulo da superfície livre e diferença de altura da água entre a parede traseira e a dianteira. (b) Diferença de pressão entre os dois cantos do fundo. (c) Freando a $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — a água alcança a tampa, $0.8\,\mathrm{m}$ acima do fundo? (d) O mesmo caminhão fazendo uma curva de raio $40\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : inclinação da superfície.

Solução

Solução de Exercício 3.5.

(a) $\tan\theta = 3/9.81$ , $\theta = 17{}^{\circ}$ ; $2 \times 0.306 = 0.61\,\mathrm{m}$ (mais alto atrás). (b) $\Delta P = \rho aL = 6.0\,\mathrm{kPa}$ . (c) $\tan\theta = 0.61$ , diferença de $1.22\,\mathrm{m}$ : a frente sobe $0.61\,\mathrm{m}$ acima da média de $0.40\,\mathrm{m}$ : $1.01\,\mathrm{m}$ $>$ $0.8\,\mathrm{m}$ , e a água bate na tampa. (d) $a = v^2/R = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\theta = 30{}^{\circ}$ , mais alto do lado de fora da curva.

Exercício 3.6 ★★

Um balde de raio $15\,\mathrm{cm}$ contendo água com $20\,\mathrm{cm}$ de profundidade gira em torno de seu eixo a $2.0\,\mathrm{voltas}/\mathrm{s}$ . (a) Forma e equação da superfície livre. (b) Diferença de altura entre a borda e o centro. (c) Conservando-se o volume, altura da água no centro e na borda. (d) A que frequência de rotação o centro do fundo fica seco? (e) Por que o mesmo paraboloide dá um excelente espelho de telescópio (uma piscina de mercúrio em rotação)?

Solução

Solução de Exercício 3.6.

(a) Paraboloide $z = z_0 + \Omega^2r^2/2g$ , $\Omega = 4\pi = 12.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (b) $\Omega^2R^2/2g = 158 \times 0.0225/19.6 = 0.18\,\mathrm{m}$ . (c) A altura média de um paraboloide sobre o disco fica no meio: centro $0.20 - 0.09 = 0.11\,\mathrm{m}$ , borda $0.29\,\mathrm{m}$ . (d) O centro seca quando $\Omega^2R^2/4g = h_0$ : $\Omega = \sqrt{4gh_0}/R = 18.7\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3.0$ voltas por segundo. (e) Um paraboloide focaliza raios paralelos num só ponto, em $f = g/2\Omega^2$ ; telescópios de espelho líquido giram mercúrio.

Exercício 3.7 ★★

Sifão. Um tubo leva a água de um reservatório por sobre um ponto alto $2.0\,\mathrm{m}$ acima da superfície livre até uma saída $3.0\,\mathrm{m}$ abaixo dela. (a) Celeridade de saída e, para um tubo de $2\,\mathrm{cm}$ , vazão. (b) Pressão no ponto alto. (c) Altura máxima desse ponto para que o sifão funcione (a pressão de vapor da água, $2.3\,\mathrm{kPa}$ , não pode ser atingida). (d) Por que o sifão não funciona com o tubo cheio de ar?

Solução

Solução de Exercício 3.7.

(a) $v = \sqrt{2g \times 3} = 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = \pi \times 10^{-4} \times 7.7 = 2.4\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . (b) $P = P_0 - \rho g(2) - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 19.6 - 29.4 = 51\,\mathrm{kPa}$ . (c) $P_0 - \rho gh_c - \tfrac12\rho v^2 \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$ : $h_c \le 7.0\,\mathrm{m}$ . (d) O ar é compressível e leve: não há coluna líquida contínua para transmitir a pressão, e a água dos dois lados simplesmente fica onde está.

Exercício 3.8 ★★

Um avião leve de $1000\,\mathrm{kg}$ voa em cruzeiro a $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ao nível do mar com uma asa de $15\,\mathrm{m}^{2}$ . (a) Diferença média de pressão entre as duas faces da asa; coeficiente de sustentação. (b) Se a celeridade sob a asa é $58\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , quanto vale ela sobre a asa (tome as mesmas condições a montante)? (c) Circulação em torno do perfil pela fórmula de Kutta–Joukowski, para uma envergadura de $10\,\mathrm{m}$ . (d) Celeridade de estol se $C_L$ não pode exceder $1.4$ .

Solução

Solução de Exercício 3.8.

(a) $\Delta P = mg/S = 654\,\mathrm{Pa}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 2.2\,\mathrm{kPa}$ , $C_L = 0.30$ . (b) $v_{\text{sup}}^2 = 58^2 + 2 \times 654/1.22$ : $66.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $F_L' = 981\,\mathrm{N}/\mathrm{m} = \rho v\Gamma$ : $\Gamma = 13.4\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (d) $v = \sqrt{2mg/ \rho SC_L} = \sqrt{19620/25.6} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 3.9 ★★

Estenose. O sangue ( $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) escoa a $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ numa artéria de seção $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ a $13\,\mathrm{kPa}$ acima da pressão atmosférica. Uma placa a estreita para $0.10\,\mathrm{cm}^{2}$ . (a) Celeridade e pressão na estenose. (b) O tecido do lado de fora da artéria está a cerca de $1\,\mathrm{kPa}$ : a artéria pode colapsar? (c) Se ela se estreita, a celeridade sobe ainda mais: explique o descontrole e por que tal estreitamento pode vibrar.

Solução

Solução de Exercício 3.9.

(a) $v_2 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = \tfrac12 \times 1060 \times (6.25 - 0.25) = 3.2\,\mathrm{kPa}$ , $P_2 = 9.8\,\mathrm{kPa}$ . (b) Ainda acima de $1\,\mathrm{kPa}$ : não. (c) A $0.05\,\mathrm{cm}^{2}$ , $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $\Delta P = 13\,\mathrm{kPa}$ : $P_2 \approx 0$ , abaixo da pressão do tecido — a parede colapsa, o escoamento cessa, a pressão se recupera e a artéria reabre: uma vibração (o sopro que o médico ouve).

Exercício 3.10 ★★★

Temperatura de estagnação. Para um gás perfeito em escoamento isentrópico permanente, $c_PT + v^2/2$ conserva-se ao longo de uma linha de corrente. (a) Mostre que o ar levado ao repouso no nariz de um avião atinge $T_0 = T(1 + \tfrac{\gamma - 1}{2}M^2)$ , com $M = v/c$ o número de Mach e $c = \sqrt{\gamma RT/M_{\text{mol}}}$ a velocidade do som. (b) Temperatura no nariz de um avião de linha a $M = 0.85$ em ar a $220\,\mathrm{K}$ ; de um avião supersônico a $M = 2$ ; de uma cápsula de reentrada a $M = 25$ (a fórmula ainda faz sentido?). (c) Mostre que a fórmula de Pitot incompressível superestima a celeridade em $M = 0.85$ , e por quanto aproximadamente (expanda $P_0/P = (T_0/T)^{\gamma/(\gamma - 1)}$ até a segunda ordem em $M^2$ ).

Solução

Solução de Exercício 3.10.

(a) $c_PT_0 = c_PT + v^2/2$ com $c_P = \gamma R/(\gamma - 1)M_{\text{mol}}$ e $c^2 = \gamma RT/M_{\text{mol}}$ : $v^2/2c_PT = \tfrac12(\gamma - 1)M^2$ . (b) $M = 0.85$ : $T_0 = 220 \times 1.145 = 252\,\mathrm{K}$ ; $M = 2$ : $220 \times 1.8 = 396\,\mathrm{K}$ ; $M = 25$ : $220 \times 126 = 28\,000\,\mathrm{K}$ — sem sentido: o ar se dissocia e se ioniza, e $c_P$ não é constante (as temperaturas de estagnação reais são de vários milhares de kelvin). (c) $P_0/P = (1 + \tfrac{\gamma - 1}2M^2)^{\gamma/(\gamma - 1)} \approx 1 + \tfrac{\gamma}2M^2 + \tfrac{\gamma}8M^4$ , e $\gamma PM^2 = \rho v^2$ : $P_0 - P = \tfrac12\rho v^2(1 + M^2/4)$ . Ler $v$ a partir de $\sqrt{2(P_0 - P)/\rho}$ a superestima em $\sqrt{1 + M^2/4} - 1 \approx 9\%$ em $M = 0.85$ .

Exercício 3.11 ★★★

Transitório de partida. Uma tubulação de comprimento $\ell = 50\,\mathrm{m}$ e seção uniforme leva de um grande reservatório (carga $h = 5.0\,\mathrm{m}$ acima da saída) a uma válvula na extremidade aberta. A válvula é aberta em $t = 0$ . (a) Integre Euler ao longo do tubo para obter $\ell\,\dd v/\dd t = gh - v^2/2$ . (b) Resolva: $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ com $V = \sqrt{2gh}$ . (c) Tempo para atingir $90\%$ da celeridade final. (d) A válvula é agora fechada bruscamente em $0.5\,\mathrm{s}$ a partir do escoamento pleno: estime a desaceleração média e a sobrepressão na válvula a partir de $\rho\ell\,\dd v/\dd t$ — e por que um fechamento real produz muito mais (próximos capítulos).

Solução

Solução de Exercício 3.11.

(a) Da superfície ( $v \approx 0$ , $P_0$ , altura $h$ ) até a saída ( $v$ , $P_0$ , altura $0$ ), com $\int\partial_tv\,\dd s = \ell\,\dd v/\dd t$ . (b) $\dd v/(V^2 - v^2) = \dd t/2\ell$ , $V^2 = 2gh$ : $\operatorname{artanh}(v/V) = Vt/2\ell$ . (c) $V = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tanh x = 0.9$ em $x = 1.47$ : $t = 2\ell x/V = 15\,\mathrm{s}$ . (d) $\dd v/\dd t \approx -20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 20 = 9.9\,\mathrm{bar}$ . A água é ligeiramente compressível: um fechamento rápido lança uma onda de pressão, $\Delta P = \rho c\Delta v \approx 140\,\mathrm{bar}$ .

Exercício 3.12 ★★★

A superfície livre de um vórtice. A água gira como o vórtice pontual de Capítulo 2, $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ , irrotacional, com superfície livre em $z = 0$ bem longe. (a) Por que Bernoulli pode ser aplicado entre dois pontos quaisquer? (b) Forma da superfície livre $z(r)$ . (c) Dentro de um núcleo de Rankine ( $r < a$ , $v_\theta = \Omega r$ , rotacional) use antes Euler no referencial girante, ou diretamente: mostre que $z = z(a) + \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (d) Profundidade total do funil para um vórtice de banheira com $\Gamma = 0.03\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ e $a = 5\,\mathrm{mm}$ ; para um tornado ( $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $a = 60\,\mathrm{m}$ , no ar: exprima antes o resultado como uma queda de pressão no centro).

Solução

Solução de Exercício 3.12.

(a) Permanente, perfeito, incompressível e irrotacional: uma só constante para todo o escoamento. (b) Na superfície $P = P_0$ : $\tfrac12\rho v^2 + \rho gz = 0$ , $z = -\Gamma^2/8\pi^2gr^2$ . (c) Euler radial: $\partial_rP = \rho\Omega^2r$ , e hidrostática na vertical: a superfície satisfaz $z(r) - z(a) = \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (d) Banheira: $\Omega = \Gamma/2\pi a^2 = 191\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $z(a) = -\Omega^2a^2/ 2g = -4.7\,\mathrm{cm}$ , e o núcleo acrescenta outros $4.7\,\mathrm{cm}$ : $9.3\,\mathrm{cm}$ de profundidade. Tornado: $\Delta P = \tfrac12\rho v_{\max}^2$ fora, mais o mesmo tanto dentro: $\rho v_{\max}^2 = 1.2 \times 6400 = 7.7\,\mathrm{kPa}$ abaixo da pressão ambiente no centro.

Dois condutos forçados levam a água de um reservatório de montanha até a casa de máquinas: uma carga de duzentos metros, que o teorema de Bernoulli transforma num jato a sessenta metros por segundo.

3.5 Problema: A barragem, o conduto forçado e a turbina

Problema 3.1

Problema de fim de semana — uma usina hidrelétrica do reservatório ao jato: pressões, celeridades, potências, perdas e o golpe de aríete

Um reservatório retém água com $150\,\mathrm{m}$ de profundidade atrás de uma barragem; sua superfície livre está $H = 200\,\mathrm{m}$ acima dos bocais de uma turbina. Um conduto forçado (tubo de aço) de diâmetro $D = 3.0\,\mathrm{m}$ e comprimento $\ell = 400\,\mathrm{m}$ leva a vazão de projeto $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ até a casa de máquinas, onde um bocal a transforma num jato livre à pressão atmosférica $P_0 = 1.0\,\mathrm{bar}$ que golpeia as conchas de uma roda Pelton. $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; o fluido é perfeito salvo menção em contrário.

Parte I — Em repouso e na vazão de projeto.

Pressão na base da barragem e força sobre uma faixa vertical de $1\,\mathrm{m}$ de largura, do topo ao fundo.
Com as válvulas da turbina fechadas, pressão no conduto forçado junto à casa de máquinas.
Celeridade no conduto na vazão de projeto; pressão dinâmica ali; pressão na extremidade do conduto junto à casa de máquinas (antes do bocal), por Bernoulli desde a superfície do reservatório.
Celeridade do jato livre; seção e diâmetro do bocal.
Potência cinética levada pelo jato; mostre que ela vale $\rho gD_VH$ e calcule-a.
Massa e energia cinética da água contida no conduto forçado na vazão de projeto; tempo de trânsito de uma partícula pelo tubo.
Mostre que a carga $H$ se reparte, na vazão de projeto, entre a pressão no fundo do conduto e a energia cinética da água, e que o bocal converte a primeira na segunda: qual é a pressão logo depois do bocal?
Um fluido perfeito não tem perda de carga, um real tem: a perda numa tubulação vale $\Delta P = \lambda(\ell/D)\,\tfrac12\rho v^2$ com $\lambda \approx 0.015$ para aço liso. Perda de carga em metros de coluna d’água e fração da potência perdida.
Um engenheiro propõe um conduto de $2\,\mathrm{m}$ para economizar aço. Refaça a questão 7; comente.

Parte II — Medir a vazão. Um Venturi é embutido no conduto forçado, com garganta de $2.0\,\mathrm{m}$ .

Celeridade na garganta e queda de pressão entre o tubo e a garganta na vazão de projeto.
A queda é lida num manômetro de mercúrio ( $\rho_{\text{Hg}} = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): diferença de altura.
Mostre que a vazão é proporcional à raiz quadrada da leitura do manômetro, e dê a leitura na metade da vazão de projeto.
Por que as tomadas de pressão devem ficar rentes à parede e não avançar para dentro do escoamento?
Um trecho do tubo passa, por razões topográficas, sobre um ponto $6\,\mathrm{m}$ acima da superfície do reservatório. Pressão ali na vazão de projeto; o que acontece, e o que o projetista deve fazer?

Parte III — Regimes não permanentes. O reservatório tem área superficial $A = 2.0\,\mathrm{km}^{2}$ .

Taxa com que o nível do reservatório baixa na vazão de projeto, em centímetros por hora.
A turbina é parada e o bocal (seção da questão 4) é deixado aberto ao ar: o reservatório esvazia-se por gravidade. Escreva o balanço de massa e ache o nível $h(t)$ (escoamento de Torricelli quase permanente).
Tempo para o nível baixar $10\,\mathrm{m}$ ; compare com o tempo na vazão de projeto constante.
Partida da usina: o conduto está cheio e o bocal é aberto em $t = 0$ . Tomando a celeridade uniforme ao longo do conduto e desprezando a geometria do bocal, integre Euler ao longo do tubo para obter $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ , resolva e dê a constante de tempo.
Durante essa partida, no instante em que $v$ vale metade de seu valor final, qual é a pressão no fundo do conduto forçado? Explique o sinal da diferença em relação ao valor permanente.

Parte IV — Fechar a válvula.

A válvula da turbina é fechada em $\tau = 10\,\mathrm{s}$ ; suponha que a água do conduto desacelere uniformemente. Usando Euler ao longo do tubo, estime a sobrepressão na válvula, em bar.
Num fechamento rápido a água não é incompressível: uma onda de pressão sobe pelo tubo a $c = 1400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (a velocidade do som na água dentro de um tubo de aço — Capítulo 7), e a sobrepressão vale $\Delta P = \rho c\,\Delta v$ (Joukowsky). Valor para uma parada súbita a partir da vazão de projeto; compare com a pressão estática. Quanto tempo a onda leva para chegar ao reservatório e voltar, e o que isso diz sobre o significado de "rápido"?
Para proteger o conduto instala-se uma chaminé de equilíbrio — um poço vertical aberto de seção $A_s = 100\,\mathrm{m}^{2}$ — ligada onde um túnel horizontal de comprimento $L = 2000\,\mathrm{m}$ e seção $A = 7.0\,\mathrm{m}^{2}$ vindo do reservatório encontra o conduto forçado. Depois de um fechamento súbito, a água do túnel continua a se mover e o nível $z$ no poço sobe. Escreva a conservação da massa entre o túnel e o poço.
Integre Euler ao longo do túnel (fluido perfeito) para mostrar que $z$ obedece a $\ddot z + \dfrac{gA}{LA_s}z = 0$ ; período da oscilação.
Subida máxima do nível no poço depois de um fechamento a partir da vazão de projeto (argumento de energia: a energia cinética da água do túnel torna-se energia potencial no poço).
Faça o balanço: as cinco pressões encontradas nesta usina (estática na barragem, estática na turbina, dinâmica no tubo, golpe de aríete e chaminé de equilíbrio) e a lei que dá cada uma.

Solução

Solução de Problema 3.1.

1. $\rho g \times 150 = 14.7\,\mathrm{bar}$ acima da atmosférica; $\tfrac12\rho gH_d^2 \times 1\,\mathrm{m} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ .

2. $\rho gH = 19.6\,\mathrm{bar}$ efetivos, $20.6\,\mathrm{bar}$ absolutos.

3. $v = 60/7.07 = 8.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 0.36\,\mathrm{bar}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 = 20.3\,\mathrm{bar}$ absolutos.

4. $v_j = \sqrt{2gH} = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $s = 60/62.6 = 0.96\,\mathrm{m}^{2}$ , $d = 1.1\,\mathrm{m}$ .

5. $\tfrac12\rho D_Vv_j^2 = \tfrac12\rho D_V(2gH) = \rho gD_VH = 118\,\mathrm{MW}$ .

6. $m = \rho S\ell = 2.8 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ , $E_k = \tfrac12mv^2 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$ ; trânsito $\ell/v = 47\,\mathrm{s}$ .

7. $\rho gH = (P - P_0) + \tfrac12\rho v^2$ : $19.3\,\mathrm{bar}$ de pressão e $0.36\,\mathrm{bar}$ de energia cinética; no bocal a pressão cai a $P_0$ enquanto $\tfrac12\rho v^2$ sobe a $\rho gH$ : logo depois dele, $P = P_0$ .

8. $\Delta h = \lambda(\ell/D)v^2/2g = 0.015 \times 133 \times 3.67 = 7.3\,\mathrm{m}$ , $3.7\%$ da potência.

9. $v = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v^2/2g = 18.6\,\mathrm{m}$ , $\Delta h = 0.015 \times 200 \times 18.6 = 56\,\mathrm{m}$ : $28\%$ perdidos — a economia de aço é paga a cada segundo em energia.

10. $v_t = 60/\pi = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = 500(19.1^2 - 8.49^2) = 146\,\mathrm{kPa}$ .

11. $\Delta P = (\rho_{\text{Hg}} - \rho)g\,\Delta h$ : $\Delta h = 146000/(12600 \times 9.81) = 1.18\,\mathrm{m}$ .

12. $\Delta P \propto v^2 \propto D_V^2$ : $D_V \propto \sqrt{\Delta h}$ ; com metade da vazão dá um quarto, $0.30\,\mathrm{m}$ .

13. Uma tomada saliente enfrenta ou perturba o escoamento e lê parte da pressão dinâmica (um Pitot), e não a pressão estática.

14. $P = P_0 - \rho g \times 6 - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 59 - 36 = 5\,\mathrm{kPa}$ : perto da pressão de vapor, o ar dissolvido sai da solução e a água pode ferver (cavitação), rompendo a coluna. Baixe o ponto alto, ou instale uma ventosa e uma bomba de vácuo, ou reduza a vazão.

15. $D_V/A = 60/2 \times 10^6 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11\,\mathrm{cm}/\mathrm{h}$ .

16. $A\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : $\sqrt h = \sqrt{h_0} - (s/A)\sqrt{g/2}\,t$ .

17. $\Delta t = (A/s)\sqrt{2/g}(\sqrt{200} - \sqrt{190}) = 2.09 \times 10^6 \times 0.45 \times 0.36 = 3.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 3.9\,\mathrm{dias}$ ; na vazão de projeto constante, $10A/D_V = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : quase o mesmo, pois o bocal foi dimensionado para o escoamento de Torricelli com $h \approx H$ .

18. $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ : $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ , $V = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , constante de tempo $2\ell/V = 13\,\mathrm{s}$ .

19. Em $v = V/2$ : $\dd v/\dd t = (gH - V^2/8)/\ell = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 - \rho\ell\,\dd v/\dd t = 1.0 + 19.6 - 4.9 - 14.7 = 1.0\,\mathrm{bar}$ : a maior parte da carga está ocupada em acelerar a coluna, de modo que a pressão no fundo fica muito abaixo de seu valor permanente.

20. $|\dd v/\dd t| = 8.49/10 = 0.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 0.85 = 3.4\,\mathrm{bar}$ .

21. $\Delta P = 1000 \times 1400 \times 8.49 = 119\,\mathrm{bar}$ , seis vezes a pressão estática. A ida e volta da onda leva $2\ell/c = 0.57\,\mathrm{s}$ : um fechamento mais rápido que isso é "súbito" e recebe toda a sobrepressão de Joukowsky; fechamentos mais lentos recebem menos.

22. $Av = A_s\,\dd z/\dd t$ .

23. Euler ao longo do túnel, do reservatório (pressão $P_0 + \rho g\times$ profundidade) até o pé do poço (pressão $P_0 + \rho g (\text{profundidade} + z)$ ): $\rho L\,\dd v/\dd t = -\rho gz$ ; com $v = (A_s/A)\dot z$ : $\ddot z + (gA/LA_s)z = 0$ ; $T = 2\pi\sqrt{LA_s/gA} = 2\pi\sqrt{2000 \times 100/ 68.7} = 340\,\mathrm{s} \approx 5.7\,\mathrm{min}$ .

24. $\tfrac12\rho ALv^2 = \tfrac12\rho gA_sz_{\max}^2$ com $v = 60/7 = 8.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $z_{\max} = v\sqrt{AL/gA_s} = 32\,\mathrm{m}$ .

25. Barragem: hidrostática, $\rho gh$ . Turbina com as válvulas fechadas: o mesmo, $\rho gH$ . Conduto forçado em operação: Bernoulli, $\tfrac12\rho v^2$ tomado da carga estática. Golpe de aríete: compressibilidade, $\rho c\Delta v$ . Chaminé de equilíbrio: Euler não permanente ao longo do túnel, uma oscilação de período $2\pi\sqrt{LA_s/gA}$ .

Termos definidos neste capítulo

Fluido perfeito

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