Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

25Condução do calor

Toque num trilho de metal e num banco de madeira na mesma manhã fria: o trilho parece mais frio, embora um termômetro dê a ambos a mesma temperatura. Ponha uma panela no fogão e seu cabo esquenta só depois de um tempo; cave dois metros no verão e o solo ainda estará frio do inverno; um processador que dissipa cem watts num centímetro quadrado não derrete porque um bloco de alumínio com aletas está sobre ele. Tudo isso é condução do calor, o transporte de energia interna através da matéria pela agitação de suas moléculas, sem nenhum escoamento de matéria — e tudo isso obedece a uma lei, a de Fourier, e a uma equação, a equação do calor, que é a equação de difusão do capítulo anterior com a temperatura no lugar da densidade. Este capítulo monta a lei e a equação a partir de um balanço de energia, resolve-as nos casos que importam (paredes estacionárias e suas resistências térmicas, aquecimento periódico e a onda térmica, aletas de resfriamento), introduz a troca com um fluido (a lei de Newton e o número de Biot) e calcula a entropia que a condução cria — pois o calor só flui ladeira abaixo.

Um dissipador com aletas sobre um processador: cem watts conduzidos para fora de um centímetro quadrado de silício, espalhados por uma base metálica e entregues ao ar por aletas que multiplicam a superfície trinta vezes.

25.1 A lei de Fourier

Definição 25.1 (Densidade de corrente de calor)

A densidade de corrente de calor $\vect{j}_Q$ (em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) é o vetor tal que a energia transferida por condução através de um elemento de superfície orientado $\dd\vect S$ durante $\dd t$ vale $\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S\,\dd t$ ; o fluxo térmico (uma potência, em watts) através de uma superfície $S$ é $\Phi = \iint_S\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S$ .

Teorema 25.2 (Lei de Fourier)

Num meio em repouso cuja temperatura não é uniforme,

\vect{j}_Q = -\lambda\,\vect{\operatorname{grad}}\,T ,

onde a condutividade térmica $\lambda > 0$ (em $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) depende do material e, fracamente, da temperatura. O calor desce o gradiente de temperatura, do quente para o frio — a segunda lei embutida numa lei linear.

Demonstração. Fenomenológica, como a lei de Fick, e com a mesma justificativa microscópica: as moléculas (ou os elétrons livres de um metal, ou as vibrações da rede) carregam sua energia num passeio aleatório, e mais dela vem do lado quente. ∎

Exemplo 25.3 (Condutividades)

Metais (os elétrons carregam o calor tanto quanto a corrente — as condutividades acompanham uma à outra): cobre $400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , alumínio $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , aço $50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Sólidos isolantes: concreto $1.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , vidro $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , tijolo $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , madeira $0.15\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Líquidos: água $0.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Gases: ar $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ — e os melhores isolantes, lã de vidro ou espuma a $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , são em sua maior parte ar parado, aprisionado para que não possa convectar. Quatro ordens de grandeza do cobre ao ar.

25.2 O balanço de energia e a equação do calor

Teorema 25.4 (Balanço local de energia)

Num sólido (ou num fluido em repouso) de massa volúmica $\rho$ e calor específico $c$ , com uma potência $p$ liberada por unidade de volume (efeito Joule, uma reação química ou nuclear, radiação absorvida),

\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\operatorname{div}\vect{j}_Q + p , \qquad\text{em uma dimensão}\quad \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial x} + p .

Demonstração. Primeiro princípio para a fatia entre $x$ e $x + \dd x$ (seção $S$ , volume fixo, logo sem trabalho): sua energia interna $\rho c\,T\,S\,\dd x$ varia em $\dd t$ pelo calor recebido, $[j_Q(x) - j_Q(x+\dd x)]S\,\dd t = -\partial_x j_Q\,\dd x\,S\,\dd t$ , mais $p\,S\,\dd x\,\dd t$ . Em três dimensões o calor que entra num volume fixo através de sua superfície fechada vale $-\iint\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S = -\iiint\operatorname{div}\vect{j}_Q\,\dd\tau$ . ∎

Teorema 25.5 (Equação do calor)

Para $\lambda$ , $\rho$ , $c$ uniformes,

\frac{\partial T}{\partial t} = a\,\Delta T + \frac{p}{\rho c}, \qquad a = \frac{\lambda}{\rho c} \quad\text{(a \emph{difusividade térmica}, em $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)} .

Vale tudo o que se disse da equação de difusão: linearidade, irreversibilidade, suavização, e as escalas $L \sim \sqrt{at}$ , $t \sim L^2/a$ .

Demonstração. Insira a lei de Fourier no balanço: $\rho c\,\partial_t T = \lambda\Delta T + p$ . ∎

Exemplo 25.6 (Difusividades e tempos)

Cobre $a = 1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , ar $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , concreto e tijolo $\approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , água $1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , madeira $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . O calor atravessa um centímetro de cobre num segundo, um centímetro de tijolo em três minutos, uma parede de $20\,\mathrm{cm}$ num dia (razão pela qual paredes espessas suavizam o ciclo dia–noite), a meia espessura de $1.5\,\mathrm{cm}$ de um bife em um quarto de hora (os tempos de cozimento variam com o quadrado da espessura), e um quilômetro de rocha em $10^{12}\,\mathrm{s}$ , trinta mil anos — a Terra ainda está esfriando desde sua formação.

25.3 Regime estacionário: resistências térmicas

Proposição 25.7 (Resistência térmica de uma parede)

No regime estacionário sem fontes, uma parede de espessura $e$ , área $S$ e condutividade $\lambda$ , entre as temperaturas $T_1$ e $T_2$ , tem um perfil linear e transporta o fluxo

\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{th}}}, \qquad R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda S}\quad\text{(em $\mathrm{K}/\mathrm{W}$)} :

sua resistência térmica. A temperatura faz o papel do potencial, e o fluxo o da corrente: resistências em série (camadas de uma parede) se somam, resistências em paralelo (parede e janela) somam seus inversos. Para uma casca cilíndrica (o isolamento de uma tubulação) entre os raios $r_1 < r_2$ e de comprimento $\ell$ , $R_{\text{th}} = \ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; para uma casca esférica, $(1/r_1 - 1/r_2)/4\pi\lambda$ .

Demonstração. $\dd^2T/\dd x^2 = 0$ : perfil afim, $j_Q = \lambda(T_1 - T_2)/e$ uniforme, $\Phi = j_QS$ . Em geometria cilíndrica $\Phi = -\lambda\,2\pi r\ell\,\dd T/\dd r$ é o mesmo em todo $r$ (não há acumulação), logo $T = A - (\Phi/2\pi\lambda\ell)\ln r$ ; em geometria esférica, $\Phi = -4\pi r^2\lambda\,\dd T/\dd r$ dá $T = A + \Phi/4\pi\lambda r$ . ∎

Proposição 25.8 (Troca com um fluido: a lei de Newton)

Uma superfície sólida a $T_{\text{s}}$ em contato com um fluido a $T_{\text{f}}$ (longe da superfície) perde a densidade de fluxo

j_Q = h\,(T_{\text{s}} - T_{\text{f}}) ,

onde o coeficiente de troca térmica $h$ (em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ) resume a condução através da fina camada de fluido que adere à parede e a convecção que a renova: $h \approx 5$ – $25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ para o ar em convecção natural ou leve, $50$ – $500\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ para ar forçado, $10^3$ – $10^4$ para a água. A superfície acrescenta então uma resistência de película $1/hS$ em série com a parede.

Demonstração. Fenomenológica: o movimento do fluido não é calculado, ele é resumido em $h$ (medido, ou dado pelas correlações da mecânica dos fluidos). ∎

Uma parede composta e seu circuito térmico: película, tijolo, lã, película em série. À direita: o perfil de temperatura — quase toda a queda se dá através da camada de maior resistência, a lã, embora ela seja a mais fina.

Exemplo 25.9 (Uma parede e uma janela)

Por metro quadrado: tijolo de $20\,\mathrm{cm}$ a $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $R = 0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; as duas películas, $1/8 + 1/25 = 0.165\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : total $0.415$ , ou seja, $U = 1/R = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ e, para uma diferença de $20\,\mathrm{K}$ , $48\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Acrescente $10\,\mathrm{cm}$ de lã de vidro, $R = 2.5\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : o total é $2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ — sete vezes menos. Uma vidraça simples, $4\,\mathrm{mm}$ a $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , é toda película: $R = 0.004 + 0.165$ , $U \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; uma camada de $12\,\mathrm{mm}$ de ar parado entre duas vidraças acrescenta $0.012/0.026 = 0.46\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ e divide a perda por mais de três.

Definição 25.10 (Número de Biot)

Para um sólido de tamanho $L$ que troca com um fluido, o número de Biot

\mathrm{Bi} = \frac{hL}{\lambda} = \frac{\text{resistência interna } L/\lambda S}{\text{resistência de película } 1/hS}

compara as duas. Se $\mathrm{Bi} \ll 1$ o sólido tem temperatura uniforme a cada instante e esfria como um todo, exponencialmente, com a constante de tempo $\tau = \rho c V/hS$ ; se $\mathrm{Bi} \gg 1$ a superfície fica à temperatura do fluido e o interior conduz em seu próprio ritmo $L^2/a$ .

25.4 Aquecimento periódico: a onda térmica

Proposição 25.11 (Onda térmica num semiespaço)

Se a superfície $x = 0$ de um semiespaço é mantida a $T(0,t) = T_0 + \theta_0\cos\omega t$ , a temperatura no interior é, no regime estabelecido,

T(x,t) = T_0 + \theta_0\,\eu^{-x/\delta}\cos\Big(\omega t - \frac{x}{\delta}\Big), \qquad \delta = \sqrt{\frac{2a}{\omega}} :

uma onda que se propaga para dentro à velocidade $\omega\delta = \sqrt{2a\omega}$ e é amortecida ao longo de uma profundidade de penetração $\delta$ por radiano de fase — de $\eu^{-2\pi} = 2 \times 10^{-3}$ por comprimento de onda. As oscilações rápidas penetram menos que as lentas.

Demonstração. Procure $\underline T = \theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline k x)}$ : $\iu\omega = -a\underline k^2$ , logo $\underline k^2 = -\iu\omega/a$ , $\underline k = (1 - \iu)\sqrt{\omega/2a} = (1 - \iu)/\delta$ (a raiz que decai para $x > 0$ ). Tome a parte real. ∎

A onda térmica em três instantes: a oscilação da superfície penetra como uma onda amortecida, com a amplitude caindo como -x/ (tracejado) e a fase atrasada de x/ — em x = π a temperatura é oposta à da superfície. — A onda térmica em três instantes: a oscilação da superfície penetra como uma onda amortecida, com a amplitude caindo como $\eu^{-x/\delta}$ (tracejado) e a fase atrasada de $x/\delta$ — em $x = \pi\delta$ a temperatura é oposta à da superfície.

Exemplo 25.12 (O solo, a adega e o vinho)

Solo, $a \approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Ciclo diário, $\omega = 2\pi/86\,400\,\mathrm{s}$ : $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ — meio metro abaixo o dia desapareceu. Ciclo anual: $\delta = 2.2\,\mathrm{m}$ ; nessa profundidade a variação de $10\,\mathrm{K}$ entre verão e inverno cai a $3.7\,\mathrm{K}$ e se atrasa de um radiano, dois meses: a adega é mais fria em março e mais quente em setembro, e a $5\,\mathrm{m}$ ela está a $1\,\mathrm{K}$ de ser constante — a adega que guarda o vinho. A mesma matemática dá a profundidade de penetração do eletromagnetismo (Capítulo 14): mesma equação, mesmo $\sqrt{2/(\text{difusividade} \times\omega)}$ .

25.5 Aletas

Proposição 25.13 (A aleta de resfriamento)

Uma haste ou placa fina (seção $S$ , perímetro $p$ , condutividade $\lambda$ ) presa em $x = 0$ a uma parede a $T_0$ , num fluido a $T_{\text{f}}$ com o coeficiente $h$ , tem a temperatura em excesso $\theta = T - T_{\text{f}}$ obedecendo a

\frac{\dd^2\theta}{\dd x^2} = m^2\theta, \qquad m = \sqrt{\frac{hp}{\lambda S}} ;

para uma aleta longa, $\theta = \theta_0\eu^{-mx}$ e a aleta evacua $\Phi = \sqrt{hp\lambda S}\,\theta_0$ — tanto quanto uma superfície nua de comprimento $\sqrt{\lambda S/hp} = 1/m$ , com uma temperatura que caiu a $\theta_0/\eu$ em $x = 1/m$ . Para uma aleta de comprimento finito $L$ (ponta adiabática), $\theta = \theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$ e sua eficiência — o fluxo dividido pelo de uma aleta isotérmica a $\theta_0$ — vale $\eta = \tanh(mL)/mL$ .

Demonstração. Balanço estacionário da fatia $[x, x + \dd x]$ : conduzido para dentro, $-\lambda S\theta'(x)$ ; para fora, $-\lambda S\theta'(x + \dd x)$ ; perdido para o fluido, $hp\,\theta\,\dd x$ : $\lambda S\theta'' = hp\theta$ . O fluxo na base é $-\lambda S\theta'(0)$ : $\lambda Sm\theta_0$ para a aleta longa, $\lambda Sm\theta_0\tanh mL$ para a finita, a comparar com $hpL\theta_0$ . O número de Biot através da espessura da aleta, $ht/\lambda$ , deve ser pequeno para o tratamento unidimensional. ∎

À esquerda: a temperatura ao longo de uma aleta, para uma aleta longa e duas finitas (ponta adiabática) — além de mx 2 uma aleta acrescenta pouco. À direita: o balanço de uma fatia: condução ao longo dela, convecção para fora pelo perímetro. — À esquerda: a temperatura ao longo de uma aleta, para uma aleta longa e duas finitas (ponta adiabática) — além de $mx \approx 2$ uma aleta acrescenta pouco. À direita: o balanço de uma fatia: condução ao longo dela, convecção para fora pelo perímetro.

Exemplo 25.14 (Um dissipador)

Aletas de alumínio de $1\,\mathrm{mm}$ de espessura ( $p/S \approx 2/t = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ), $30\,\mathrm{mm}$ de altura, em ar forçado com $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.6$ , $\eta = 0.89$ — as aletas trabalham a $89\%$ de sua área. Trinta delas, com $60\,\mathrm{mm}$ de largura, oferecem $0.11\,\mathrm{m}^{2}$ onde o quadrado nu de $60\,\mathrm{mm}$ oferecia $0.0036\,\mathrm{m}^{2}$ : uma resistência $1/\eta hA = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ em vez de $5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $100\,\mathrm{W}$ elevam a base de $20\,\mathrm{K}$ em vez de $560\,\mathrm{K}$ . Aletas mais longas ganham pouco (a $\tanh$ satura), mais finas perdem eficiência: $mL \approx 1$ é o compromisso do engenheiro.

25.6 A entropia criada pela condução

Proposição 25.15 (Produção de entropia)

Um fluxo $\Phi$ conduzido de um corpo a $T_{\text{h}}$ para um corpo a $T_{\text{c}} < T_{\text{h}}$ através de uma parede estacionária cria entropia à taxa

\dot S_{\text{c}} = \Phi\Big(\frac{1}{T_{\text{c}}} - \frac{1}{T_{\text{h}}}\Big) > 0 ;

localmente, a condução cria $\sigma_s = \lambda\,(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2 \ge 0$ por unidade de volume e de tempo — nula somente onde a temperatura é uniforme. A condução do calor é irreversível: a mesma energia, entregue a uma temperatura mais baixa, pode fornecer menos trabalho.

Demonstração. O estado da parede não muda, de modo que sua entropia é constante: o corpo quente perde $\Phi/T_{\text{h}}$ por unidade de tempo, o frio ganha $\Phi/T_{\text{c}}$ ; a diferença é criada. Localmente, o balanço de entropia $\partial_t(\rho s) + \operatorname{div}(\vect{j}_Q/T) = \sigma_s$ com $\rho T\partial_t s = -\operatorname{div}\vect{j}_Q$ dá $\sigma_s = \vect{j}_Q\cdot\vect{\operatorname{grad}}(1/T) = -\vect{j}_Q\cdot \vect{\operatorname{grad}}\,T/T^2 = \lambda(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2$ . ∎

Método 25.16 (Estimativas de condução)

(1) Estacionário: monte o circuito térmico — paredes $e/\lambda S$ , películas $1/hS$ , cascas $\ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; série e paralelo. (2) Transitório: $\mathrm{Bi} = hL/\lambda$ ; se pequeno, $\tau = \rho cV/hS$ ; se grande, $t \sim L^2/a$ . (3) Periódico: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , amortecimento $\eu^{-x/\delta}$ , atraso $x/\delta$ . (4) Fontes: $p$ por unidade de volume, perfis parabólicos. (5) Aletas: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $\eta = \tanh(mL)/mL$ . (6) Entropia: $\Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .

25.7 Exercícios

Exercício 25.1 ★

Uma parede de tijolo de $20\,\mathrm{cm}$ de espessura ( $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ), de $100\,\mathrm{m}^{2}$ , entre $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dentro e $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ fora (superfícies a essas temperaturas): densidade de fluxo, fluxo total; com $10\,\mathrm{cm}$ de lã de vidro ( $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) acrescentados.

Solução

Solução de Exercício 25.1.

$j = \lambda\Delta T/e = 80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $8\,\mathrm{kW}$ ; com a lã $R = 0.25 + 2.5 = 2.75\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $7.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $730\,\mathrm{W}$ .

Exercício 25.2 ★

Difusividades: cobre ( $\lambda = 400$ , $\rho = 8900$ , $c = 385\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ), concreto ( $1.5$ , $2300$ , $900$ ), madeira ( $0.15$ , $600$ , $2500$ ). Tempos para o calor atravessar $1\,\mathrm{cm}$ e $20\,\mathrm{cm}$ de cada um; a crosta de $30\,\mathrm{km}$ da Terra.

Solução

Solução de Exercício 25.2.

$a$ : $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $7 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . $1\,\mathrm{cm}$ : $0.9\,\mathrm{s}$ , $140\,\mathrm{s}$ , $1000\,\mathrm{s}$ ; $20\,\mathrm{cm}$ : $6\,\mathrm{min}$ , $15\,\mathrm{h}$ , $5\,\mathrm{dias}$ ; crosta ( $a \sim 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ): $10^{15}\,\mathrm{s}$ , trinta milhões de anos.

Exercício 25.3 ★

Vidro simples ( $4\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) com películas $h_{\text{i}} = 8$ , $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; vidro duplo com uma camada de $12\,\mathrm{mm}$ de ar parado ( $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ): valores de $U$ e fluxos para $20\,\mathrm{K}$ . Por que o vidro duplo real é cerca de duas vezes pior que esta estimativa, e o que fazem o argônio e os revestimentos de baixa emissividade?

Solução

Solução de Exercício 25.3.

Simples: $R = 0.169$ , $U = 5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $118\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; duplo: $R = 0.63$ , $U = 1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $32\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . A folga convecta e as vidraças trocam por radiação (cerca de metade da transferência real); o argônio conduz menos e convecta menos, e um revestimento de baixa emissividade suprime a radiação.

Exercício 25.4 ★

Cozimento: $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ para a carne. Tempo para o centro de um bife de $3\,\mathrm{cm}$ sentir a frigideira; de um assado de $12\,\mathrm{cm}$ . Um peru duas vezes mais pesado: quanto mais tempo (a dimensão varia com a raiz cúbica da massa)?

Solução

Solução de Exercício 25.4.

$L^2/a$ com a meia espessura: $27\,\mathrm{min}$ ; assado: $16\times$ , $7\,\mathrm{h}$ ; $t \propto L^2 \propto m^{2/3}$ : $\times 1.6$ .

Exercício 25.5 ★★

Fonte interna. Um cilindro de raio $R$ libera $p$ por unidade de volume; superfície a $T_{\text{s}}$ . (a) Mostre que $T(r) = T_{\text{s}} + p(R^2 - r^2)/4\lambda$ . (b) Fio de cobre, $R = 1\,\mathrm{mm}$ , $j = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ : $p$ e a diferença entre o centro e a superfície. (c) Vareta de combustível nuclear, $R = 5\,\mathrm{mm}$ , $p = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , $\lambda = 3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ : mesma pergunta. (d) Comente.

Solução

Solução de Exercício 25.5.

(a) $(rT')'/r = -p/\lambda$ com $T'(0) = 0$ . (b) $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ; $pR^2/4\lambda = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}$ . (c) $625\,\mathrm{K}$ . (d) Um fio é isotérmico; o centro de uma pastilha de combustível fica centenas de kelvins acima de sua superfície — a densidade de potência de um reator é limitada pela condução no combustível.

Exercício 25.6 ★★

O solo. (a) Deduza $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ . (b) Solo, $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : profundidades de penetração diária e anual. (c) Profundidade em que a amplitude anual é um décimo da da superfície; atraso de fase ali. (d) Um cano de água não deve congelar onde a temperatura da superfície no inverno cai a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em torno de uma média de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : profundidade mínima (onda anual).

Solução

Solução de Exercício 25.6.

(a) Proposição 25.11. (b) $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ . (c) $\delta\ln 10 = 5.2\,\mathrm{m}$ ; atraso $2.3\,\mathrm{rad}$ , $130$ dias. (d) A amplitude de $20\,\mathrm{K}$ deve cair pela metade: $x = \delta\ln 2 = 1.5\,\mathrm{m}$ .

Exercício 25.7 ★★

Biot. (a) Esfera de cobre de raio $1\,\mathrm{cm}$ , no ar ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): número de Biot, constante de tempo de seu resfriamento. (b) Uma batata ( $\lambda = 0.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , raio $3\,\mathrm{cm}$ ) num forno com $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : número de Biot; que tempo governa seu cozimento? (c) Por que a esfera de um termopar é feita pequena? (d) Por que uma xícara de café esfria mais depressa quando mexida ou soprada — que resistência muda?

Solução

Solução de Exercício 25.7.

(a) $\mathrm{Bi} = hR/3\lambda \approx 10^{-4}$ ; $\tau = \rho cR/3h = 1100\,\mathrm{s}$ . (b) $\mathrm{Bi} = 1.2$ : nenhum dos dois limites; o tempo interno $R^2/a \approx 6000\,\mathrm{s}$ governa. (c) $R$ pequeno: $\tau$ minúsculo e número de Biot pequeno. (d) A resistência de película $1/h$ , a dominante, cai.

Exercício 25.8 ★★

Uma aleta. (a) Deduza $\theta'' = m^2\theta$ e a solução da aleta longa. (b) Aleta de alumínio de $1\,\mathrm{mm}$ de espessura e $30\,\mathrm{mm}$ de altura, em convecção natural com $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : $m$ , $mL$ , eficiência. (c) Por que fator a aleta multiplica a área de troca de sua base, e o fluxo? (d) Por que uma aleta muito longa ou muito fina é um desperdício de metal?

Solução

Solução de Exercício 25.8.

(a) Proposição 25.13. (b) $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 13\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.39$ , $\eta = 0.95$ . (c) Área $\times 2L/t = 60$ , fluxo $\times 57$ . (d) Além de $mL \approx 2$ o comprimento extra está à temperatura do fluido; uma aleta mais fina tem $m$ maior e eficiência menor.

Exercício 25.9 ★★

Tubulações. (a) Deduza a resistência de uma casca cilíndrica. (b) Uma tubulação de vapor, de raio externo $5\,\mathrm{cm}$ a $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , envolvida em $5\,\mathrm{cm}$ de lã de vidro, com ar a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ do lado de fora: perda por metro, comparada com a da tubulação nua. (c) Mostre que a resistência total do isolamento mais a película tem um mínimo no raio crítico $r_{\text{c}} = \lambda/h$ . (d) Para um fio elétrico de raio $1\,\mathrm{mm}$ com uma capa plástica ( $\lambda = 0.2\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ), a capa esfria ou aquece o cobre?

Solução

Solução de Exercício 25.9.

(a) Proposição 25.7. (b) Lã $\ln 2/2\pi\lambda = 2.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{W}$ , película externa $1/2\pi r_2h = 0.16$ : $45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; nua, $2\pi r_1h\Delta T = 410\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ . (c) $\dd/\dd r[\ln(r/r_1)/2\pi\lambda + 1/2\pi hr] = 0$ em $r = \lambda/h$ . (d) $r_{\text{c}} = 2\,\mathrm{cm} > 1\,\mathrm{mm}$ : a capa aumenta a perda — ela esfria o cobre.

Exercício 25.10 ★★★

Entropia. A parede do Exercício 25.1 (nua) entre $293\,\mathrm{K}$ e $273\,\mathrm{K}$ . (a) Entropia criada por segundo. (b) Calcule $\int\sigma_s\,\dd V$ com o perfil linear e verifique que concorda. (c) Entropia criada uma vez isolada. (d) O trabalho que uma máquina reversível poderia ter extraído dos $8\,\mathrm{kW}$ entre essas temperaturas, e o que resta dele depois da parede.

Solução

Solução de Exercício 25.10.

(a) $8000(1/273 - 1/293) = 2.0\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (b) $\sigma_s = \lambda T'^2/T^2$ com $T' = 100\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$ ; $\int\sigma_s\,\dd x = \lambda T'(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}}) = j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ ; vezes $100\,\mathrm{m}^{2}$ : o mesmo. (c) $0.18\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (d) $\Phi(1 - T_{\text{c}}/T_{\text{h}}) = 550\,\mathrm{W}$ ; nada — o calor agora está a $T_{\text{c}}$ ( $T_{\text{c}}\dot S_{\text{c}} = 550\,\mathrm{W}$ ).

Exercício 25.11 ★★★

Por que o metal parece frio. (a) Para a onda térmica, calcule o fluxo na superfície $j_Q(0,t)$ e mostre que ele se adianta à temperatura da superfície de $\pi/4$ , com a amplitude $\sqrt{\lambda\rho c\,\omega}\,\theta_0$ . A grandeza $b = \sqrt{\lambda\rho c}$ é a efusividade. (b) Dois semiespaços a $T_1$ e $T_2$ são postos em contato: admitindo que cada um segue então um perfil erfc com a temperatura de superfície comum $T_{\text{c}}$ , e escrevendo a continuidade do fluxo no contato, mostre que $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) Pele ( $b \approx 1000\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}/\mathrm{s}^{1/2}$ , $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) tocando cobre ( $b = 37000$ ) ou madeira ( $b = 400$ ) a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : temperaturas de contato. (d) Por que um piso de cerâmica parece mais frio que um tapete à mesma temperatura, e por que a sensação é apenas transitória?

Solução

Solução de Exercício 25.11.

(a) $j_Q(0,t) = -\lambda\partial_xT = \lambda\theta_0\sqrt2/\delta\,\cos(\omega t + \pi/4) = \sqrt{\lambda\rho c\omega}\,\theta_0\cos(\omega t + \pi/4)$ . (b) O fluxo de cada lado no contato vale $b_i|T_i - T_{\text{c}}|/\sqrt{\pi t}$ ; iguale: $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) Cobre $20.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , madeira $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (d) Cerâmica $b \approx 1500$ , tapete $\approx 100$ ; a fórmula vale enquanto os dois corpos parecerem semi-infinitos; assim que as frentes de calor alcançam a irrigação sanguínea e o outro lado do objeto, o regime estacionário depende do calor efetivamente fornecido.

Exercício 25.12 ★★★

Resfriar uma placa. Uma placa $-L < x < L$ a $T_0$ é mergulhada em $t = 0$ num banho a $T_{\text{f}}$ com $h \to \infty$ . (a) Mostre que $\theta = T - T_{\text{f}}$ admite as soluções $\cos(k_nx)\,\eu^{-ak_n^2t}$ com $k_n = (2n+1)\pi/2L$ . (b) Desenvolva a condição inicial em série de Fourier sobre esses modos e escreva a solução completa. (c) Depois dos primeiros instantes, que modo sobrevive, e qual é a constante de tempo? (d) Tempo para o centro de um bife de $3\,\mathrm{cm}$ ( $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) chegar a $1\%$ do banho.

Solução

Solução de Exercício 25.12.

(a) Substitua; $\theta(\pm L) = 0$ dá $\cos k_nL = 0$ . (b) $a_n = 4\theta_0(-1)^n/(2n+1)\pi$ ; $\theta = \sum a_n\cos(k_nx)\eu^{-ak_n^2t}$ . (c) $n = 0$ , $\tau = 4L^2/\pi^2a$ . (d) $\tau = 650\,\mathrm{s}$ ; centro $(4/\pi)\eu^{-t/\tau} = 0.01$ : $t = 4.8\tau \approx 52\,\mathrm{min}$ .

25.8 Problema: isolar uma casa, resfriar um processador

Problema 25.1

Problema de fim de semana — condução na escala de um edifício e de um chip

Dados: tijolo $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 1800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 840\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; lã de vidro $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; vidro $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; ar parado $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; alumínio $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 900\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; silício $150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; pasta térmica $5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; solo $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; películas $h_{\text{i}} = 8$ , $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

Parte I — A casa. Uma casa tem $100\,\mathrm{m}^{2}$ de paredes (tijolo de $20\,\mathrm{cm}$ ) e $20\,\mathrm{m}^{2}$ de janelas de vidro simples ( $4\,\mathrm{mm}$ ); dentro $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , fora $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Resistência por metro quadrado apenas do tijolo; densidade de fluxo se suas faces estivessem às duas temperaturas.
Com as duas películas: $R$ e $U = 1/R$ por metro quadrado; o mesmo com $10\,\mathrm{cm}$ de lã de vidro acrescentados.
$U$ do vidro simples; de um vidro duplo com $12\,\mathrm{mm}$ de ar parado.
Perda total da casa antes e depois de isolar as paredes e duplicar as janelas.
Ao longo de uma temporada de aquecimento de $2500$ graus-dia (a integral da diferença de temperatura ao longo da temporada, em $\mathrm{K}\,\mathrm{dia}$ ), energia perdida antes e depois, em quilowatt-horas.
Temperatura da face interna da parede, nua e isolada; por que uma parede fria é desconfortável e cria mofo?
Tempo de difusão através do tijolo; o que ele faz com o ciclo dia–noite?

Parte II — O solo sob a casa.

Deduza a profundidade de penetração $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ de uma onda térmica.
$\delta$ diário e anual no solo.
Profundidade em que a variação diária cai a $1\%$ ; amplitude anual a $2.2\,\mathrm{m}$ e a $5\,\mathrm{m}$ para uma variação de $10\,\mathrm{K}$ na superfície.
Atraso de fase a $2.2\,\mathrm{m}$ , em dias: quando a adega é mais fria?
Fluxo de calor na superfície devido à onda anual (amplitude e fase); compare sua amplitude com o fluxo geotérmico de $0.06\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
O gradiente geotérmico vale $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : confira-o contra o fluxo e $\lambda$ , e explique por que ele é invisível nas estações da adega.

Parte III — O processador. Um chip dissipa $100\,\mathrm{W}$ numa pastilha de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ e $0.5\,\mathrm{mm}$ de espessura; uma camada de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ de pasta sobre $10\,\mathrm{cm}^{2}$ o une a um dissipador de alumínio: base de $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $5\,\mathrm{mm}$ , trinta aletas de $60\,\mathrm{mm}$ de largura, $30\,\mathrm{mm}$ de altura e $1\,\mathrm{mm}$ de espessura; um ventilador dá $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; ambiente a $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Densidade de fluxo através da pastilha; resistência da pastilha.
Resistência da pasta; e se uma folga de ar de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ a substituísse.
Parâmetro de aleta $m$ , $mL$ , eficiência; verifique o número de Biot através da espessura da aleta.
Área total das aletas e resistência das aletas; resistência da base (condução através de $5\,\mathrm{mm}$ ); temperatura de junção.
O mesmo sem aletas (quadrado nu de $60\,\mathrm{mm}$ ): conclusão.
O ventilador para ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): temperatura de junção; o que faz o processador a $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
Massa e capacidade térmica do dissipador; sua constante de tempo $RC$ ; e a da pastilha sozinha ( $0.1\,\mathrm{g}$ , $700\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ).
Por que os bons dissipadores têm base de cobre ou tubos de calor?

Parte IV — Entropia.

Entropia criada por segundo pelo envelope nu da casa (questão 4) entre $293\,\mathrm{K}$ e $273\,\mathrm{K}$ ; depois do isolamento.
Entropia criada pelos $100\,\mathrm{W}$ do chip ao passarem da junção ao ambiente; e pela conversão do trabalho elétrico em calor na pastilha.
Mostre que, para uma parede, $\int\sigma_s\,\dd V = \Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .
Resuma em cinco linhas o que governa uma parede, uma aleta, uma adega e um chip.

Solução

Solução de Problema 25.1.

1. $0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

2. $R = 0.415$ , $U = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; isolada $R = 2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

3. $5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; $1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

4. $4800 + 2360 = 7.2\,\mathrm{kW}$ ; $680 + 640 = 1.3\,\mathrm{kW}$ .

5. $UA = 358\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $358 \times 2500 \times 86400 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 21\,500\,\mathrm{kWh}$ ; depois, $66\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $4000\,\mathrm{kWh}$ .

6. $20 - 48/8 = 14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $20 - 6.8/8 = 19.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; uma parede fria irradia menos para o corpo e pode atingir o ponto de orvalho.

7. $a = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $e^2/a = 7.5 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 21\,\mathrm{h}$ : a parede faz a média do dia (o valor diário $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ é menor que sua espessura).

8. Procure $\theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline kx)}$ : $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ .

9. $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ .

10. $4.6\delta = 54\,\mathrm{cm}$ ; $3.7\,\mathrm{K}$ ; $1.1\,\mathrm{K}$ .

11. Um radiano, $58$ dias: meados de março (sendo o mínimo da superfície em meados de janeiro).

12. Amplitude $\lambda\theta_0\sqrt2/\delta = 6.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , adiantada de $\pi/4$ ( $45$ dias); cem vezes o fluxo geotérmico.

13. $\lambda \times 0.03\,\mathrm{K}/\mathrm{m} \approx 0.03\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , a ordem certa; é um valor constante de $0.1\,\mathrm{K}$ ao longo da altura da adega, enterrado na variação sazonal.

14. $1 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $R = 0.033\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ .

15. $0.01\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; ar: $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , $190\,\mathrm{K}$ .

16. $m = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.61$ , $\eta = 0.89$ ; $\mathrm{Bi} = ht/2\lambda = 10^{-4}$ .

17. $A = 0.108\,\mathrm{m}^{2}$ ; $R_{\text{aletas}} = 1/\eta hA = 0.21\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; base $0.006\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; total $0.26\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $26\,\mathrm{K}$ , junção a $51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

18. $1/hS = 5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $560\,\mathrm{K}$ — impossível.

19. $R_{\text{aletas}} \approx 0.94\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , total $\approx 1\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — ele reduz o desempenho e depois se desliga.

20. $V = 7.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ , $0.19\,\mathrm{kg}$ , $C = 175\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $\tau = RC \approx 46\,\mathrm{s}$ ; pastilha: $C = 0.07\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $\tau \approx 3\,\mathrm{ms}$ .

21. O calor deve se espalhar de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ para $36\,\mathrm{cm}^{2}$ : o cobre reduz essa resistência de espalhamento à metade; um tubo de calor transporta calor por evaporação e condensação, com uma condutividade efetiva cem vezes a do cobre.

22. $7200(1/273 - 1/293) = 1.8\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $0.33\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ .

23. $100(1/298 - 1/324) = 0.027\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $100/324 = 0.31\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — dez vezes mais: transformar trabalho em calor é a grande irreversibilidade.

24. $\int\lambda T'^2/T^2\,\dd x = \lambda T'\,[-1/T] = j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$ .

25. Parede: resistências em série, e o pior condutor manda. Aleta: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $mL \approx 1$ . Adega: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , amortecimento e atraso juntos. Chip: uma cadeia de resistências da pastilha ao ar, com a área das aletas fazendo o trabalho. Em toda parte: o calor flui para baixo e cria entropia ao fazê-lo.

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